1.5 一元二次方程与实际问题（教学课件）数学新教材青岛版九年级上册

该初中数学课件核心是一元二次方程解决实际问题，通过回顾列一次方程、分式方程步骤导入，搭建从旧知到新知的学习支架，涵盖增长率、利润、几何等实际问题模型。 其亮点在于结合药品降价、台风轨迹等情境，用数学眼光抽象等量关系，通过方程建模和逻辑推理培养数学思维，以表格、坐标系等数学语言表达。跟踪练习巩固，助学生提升应用能力，为教师提供系统教学案例和流程。

【新教材】青岛版·九年级上册 第1章 一元二次方程 1.5一元二次方程与实际问题 学 习 目 标 1 2 3 经历把实际问题中的等量关系抽象为一元二次方程的过程，体会一元二次方程是刻画现实世界中数量关系的有效的数学模型。 会列出一元二次方程解决简单的实际问题，培养应用意识和分析问题、解决问题的能力。 能根据问题的实际意义，检验方程的解是否合理。 与前面学习的一元一次方程、分式方程等一样, 一元二次方程也是刻画现实问题的一种模型。 建立这种模型可以解决很多实际问题。 还记的列一元一次方程、二元一次方程(组)或分式方程解决实际问题时，一般步骤是什么? 01审题：找题目中的已知量、未知量、量与量的关系及等量关系； 03列方程（组）：根据量与量的关系及等量关系列出方程； 04解方程（组）： 用适当的方法 求出未知数的值； 05验根：验根是否是所列方程的解,且是否符合题意 ； 06答：完整，规范 的写出答案。 02设未知数：根据题 意设合适的未知数 （间接设或直接设）； 思考 知识回顾 例1、某种药品原售价每盒400元,两次降价后每盒售价为原售价的49%, 求该药品两次降价的平均降价率。 解析：降价率是降价的金额与降价前的售价比值. 降价率=×100% 降价后的售价=下降前的量×(1-降价率) 典例讲解 基数 第一次降价后 第二次降价后 售价（元） 设该药品两次降价的平均降价率x 400 400（1-x) 400（1-x)(1-x) 相等量关系： 第二次降价后的售价=两次降价后每盒售价为原售价的49% 典例讲解 解:设两次降价的平均降价率为x, 根据题意,得 400(1-x)2=400×0.49。 解方程,得 x1=0.3, x2=1.7。 根据问题的实际意义,x1=0.3符合题意,即x=30%。 所以,该药品两次降价的平均降价率为30%。 直接开方法解方程 验根：解一定要符合实际意义 典例讲解 下降率问题 归一归 设基数为a，平均下降率为x，下降两次后的数量为b. 则第一次下降后的值为________ ； 第二次下降后的值为___________； a（1-x) a（1-x)2 下降第2次后的数量相等列方程为____________。 a（1-x)2=b 典例讲解 例1变式、学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率. 解析：增长率是增加的数量与增加前数量的比值. 增长率=×100% 增加后的数量=增加前的数量×(1+增长率) 典例讲解 去年 今年 明年 数量（万册） 设这两年的年平均增长率x 5 5（1+x) 5（1+x)(1+x) 相等量关系： 明年图书的数量=明年年底图书增加到7.2万册 典例讲解 解:设这两年的年平均增长率x, 根据题意,得 5(1+x)2=7.2。 解方程,得 x1=0.2, x2=-2.2。 根据问题的实际意义 x1=0.2符合题意,即x=20%。 所以,设这两年的年平均增长率为20%。 直接开方法解方程 验根：解一定要符合实际意义 典例讲解 增长率问题 归一归 设基数为a，平均增长率为x，增加两次后的数量为b. 则第一次增长后的值为________ ； 第二次增长后的值为___________； a（1+x) a（1+x)2 增加第2次后的数量相等列方程为____________。 a（1+x)2=b 典例讲解 1.某科技企业前年的产值为1亿元,今年的产值为1.44亿元,请问该企业这两年 产值的年平均增长率是多少? 解:设该企业产值的年平均增长率为x。1×(1+x)2=1.44 (1+x)2=1.44 解得x1=0.2, x2=-2.2。 根据问题的实际意义 x1=0.2符合题意,即x=20%。答:该企业产值的年平均增长率是20%。 跟踪练习 例2、某商品的进货价为每件2400元。销售商调查发现:若按每件3000元销售,一天能卖出50件;若让利销售,每件每让利50元,一天就能多卖出10件。要使一天的利润达到36000元,销售价应定为多少元? 分析:市场营销问题中等量关系是：每件盈利×销售量=总盈利。 本题中每件盈利及销售量都是变量： 每件每让利50元,一天就能多卖出10件。 未知数的设法：间接设未知数或直接设未知数。 典例讲解 分析：方法一(间接设未知数)设该商品每件每让利x元， 每件商品的利润(3000-2400-x)元， 每件商品的利润怎么表示？销售量怎么表示？ 该商品的销售量为(50+×10)件。 相等量关系：每件盈利×销售量=36000。 典例讲解 解：方法一(间接设未知数)设该商品每件每让利x元， 由题意得 (3000-2400-x)(50+ ×10)=36000 整理，得x2-350x+30000=0。 解方程，得x1=150，x2=200， 每件商品的利润(3000-2400-x)元，该商品的销售量为(50+ ×10)件， 典例讲解 根据问题的实际意义,两个根都符合题意。 当x=150时,3000-x=2850; 当x=200时,3000-x=2800。 所以,销售价应定为2850元或2800元. 典例讲解 分析：方法二(直接设未知数)设该商品销售价应定为x元， 每件商品的利润怎么表示？让利多少元？销售量怎么表示？ 每件商品的利润(x-2400)元， 每件商品的让利(3000-x)元， 该商品的销售量为(50+×10)件。 相等量关系：每件盈利×销售量=36000。 典例讲解 解：方法二(直接设未知数)设该商品销售价应定为x元， 每件商品的利润(x-2400)元，该商品的销售量为 (50+ ×10)件。 由题意得(x-2400)(50+ ×10)=36000. 整理，得x2-5650x+7980000=0. 解方程，得x1=2850，x2=2800， 所以,销售价应定为2850元或2800元. 根据问题的实际意义,两个根都符合题意。 典例讲解 2.某花圃用花盆培育一种花,经调查发现,出售一盆花的盈利与该盆中花的棵数有关。当盆中栽种3棵花时,平均每棵盈利3元;盆中每增加1棵花,平均每棵盈利将减少0.5元。要使每盆花的盈利达到10元,每盆应栽种花多少棵? 解析： 本题中平均每棵盈利及每盆棵数都是变量。每盆栽种的棵数多，成本就会提高，每棵平均盈利就少。以每盆栽3棵为标准，平均每棵盈利3元。每盆增加1棵，平均每棵盈利将减少0.5元。这是理解题意的关键。找出等量关系:(平均每棵盈利)×(每盆棵数)=10。 跟踪练习 解：设每盆增加种植x棵，则每盆种花(3+x)棵，平均每棵盈利为(3-0.5x)元。 根据题意，得(3-0.5x)(3+x)=10. 整理，得x2-3x+2=0. 解这个方程，得x1=1，x2=2. 经检验，x=1或x=2均符合题意。∴ 3+x =4或5 所以，每盆应种植该种花卉4棵或5棵。 跟踪练习 例3、《九章算术》中记载了这样一个问题:今有户不知高、广,竿不知长、短。横之不出四尺,从之不出二尺,邪之适出。问户高、广、邪各几何。 大意为:有一扇门不知道其高与宽,有一根竹竿也不知道其长度。将竹竿横放量门的宽度,竹竿比门宽4尺;将竹竿竖放量门的高度,竹竿比门高2尺; 将竹竿沿对角线方向丈量,竹竿恰好与门的对角线一样长。求门的高、宽、对 角线长。 解析：门为矩形结构，门的宽度、高度、对角线都与竹竿的长有关，设主干的长为未知数，容易表示门高、宽、对角线长。 相等关系勾股定理: 门宽的平方+门高的平方=门对角线的平方， 典例讲解 解:设竹竿的长度为x 尺,则门的高、宽、对角线长分别为(x-2)尺、 (x-4)尺、x尺。 根据题意,得(x-2)2+(x-4)2=x2。 整理,得 x2-12x+20=0。 解方程,得 x1=10,x2=2。 根据问题的实际意义,x1=10符合题意。 当x=10时, x-2=8, x-4=6。 所以,门的高、宽、对角线长分别是8尺、6尺和10尺。 典例讲解 3.诗歌是人类智慧与情感的结晶,我国古代的一些数学家常常把数学名题编成耐人 寻味的诗词。清代的《增删算法统宗》一书中有一首 “圆内方池”: 今有圆田一块,中间有个方池。 丈量田地待耕犁,恰好三分在记。 池面至周有数,每边三步无疑。 内方圆径若能知,堪作算中第一。 跟踪练习 大意为:有一块圆形的田地,中间有一个正方形水池。量得水池外圆内田地的面积,恰好是3分(注:1分=24平方步)。从水池的每条边到圆周,最远都是3步。如图,求正方形的 边长和圆的直径(π取3) 解:设圆的半径为r步。 由题意可知，田地面积为:3×24=72(平方步） 因为从水池的每条边到圆周最远都是3步，所以正方形的边长为(2r-6)步。 跟踪练习 根据“圆面积-正方形面积=田地面积”，列方程得: πr2 -(2r-6)2=72 解得:r1=6，r2=18。 当r=6时:正方形边长:2×6-6=6(步)圆的直径:2×6=12(步) 当r=18时:正方形边长:2×18-6=30(步)圆的直径:2×18=36(步) 答:正方形的边长为6步，圆的直径为12步; 或正方形边长:30步，圆的直径:2×18=36步。 跟踪练习 例4、中华人民共和国国旗上有五颗极富美感的正五角星,这种视觉上的 美感与正五角星中线段的比例有一定关系。在如图所示的正五角星中,线段AB 上AC与CB的比等于CB 与AB的比,这个比值是多少? 解题核心要点： 首先明确线段的和的关系:点C在线段AB上，所以AC和CB两段的长度和就等于整条线段AB的总长度。 典例讲解 • A B C 解题思路: 先把要求的未知比值设为k， • A B C 就可以把AC、 AB的长度都用CB和k来表示，不需要知道线段的具体长度。 代入线段和的等式后，CB作为公共的非零数可以直接约掉，消去未知的线段长度，只留下关于比值k的算式。 典例讲解 解:设这个比值是k,即 =k,则CB=k·AB, • A B C AC=AB-CB=(1-k)AB。 ∵AC 与CB 的比等于CB 与AB 的比， ∴ = 即CB2=AC·AB,得 k2=1-k。 整理,得 k2+k-1=0。 （k·AB）2=(1-k)AB·AB 典例讲解 解方程,得x1= , x2= 根据问题的实际意义,x1= 符合题意。 所以,的值为。 这里 是一个无理数,精确到0.001的近似值是0.618。在图中,我们称点C为线段AB的黄金分割点。 • A B C 典例讲解 黄金分割的由来和应用 黄金分割,是一个数学和美学概念,通常用希腊字母φ(phi)表示。它是 一种特殊的比例,指的是当一条线段分为两部分时,如果长段与短段的比例 等于整体与长段的比例,会具有美学吸引力与视觉和谐感。早在公元前 纪,毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形作图时就开始关注比例6世关 系。公元前4世纪,古希腊数学家欧多克索斯(EudoxusofCnidus,约前400— 约前347)系统地研究了黄金分割并建立了比例理论。公元前300年左右,欧 几里得在他的著作 《几何原本》中继承并进一步阐述了黄金分割。 黄金分割在建筑、艺术和生 产实际中有广泛的应用。美图欣赏： 古希腊帕提侬神庙 法国巴黎埃 菲尔铁塔 上海东方明珠广播电视塔 维纳斯雕像 《蒙娜丽莎》 例5、一艘轮船以20nmile/h(海里/时)的速度由西向东航行。途中接到台风警报,台风 中心正以40nmile/h的速度由南向北移动,距台风中心20nmile的圆形区城 (包括边界)都属于台风区。测得台风中心此时位于轮船正南方向100nmile处, 如果这艘轮船继续航行,会不会遇到台风? 如果会,求轮船最初遇到台风的时间; 如果不会,请说明理由。 探索创新 解析：本题涉及四个方位，为了清晰的表示轮船与台风的位置，判断轮船是否会遇到台风，我们可以通过建立坐标系分析轮船和台风中心的位置关系，结合“台风区域是以台风中心为圆心、半径为20n mile的圆”这一条件，利用两点间距离公式分析轮船与台风中心的距离是否小于等于20n mile. 探索创新 步骤1:建立坐标系，确定运动轨迹 以轮船初始位置A为坐标原点，东为x轴正方向，北为y轴正方向建立平面直角坐标系: 初始时，台风中心在A的正南方， AB=100n mile，因此台风中心初始位置 B的坐标为(0,-100)。 轮船以20n mile/h的速度向东航行， t小时后，轮船的位置为C(20t,0)。 台风中心以40n mile/h的速度向北移动， t小时后，台风中心的位置为(0,-100+40t) x y “遇上台风”的条件:轮船到台风中心距离≤台风区半径20海里 探索创新 x y 解:会遇到台风。 设这艘轮船接到台风警报后 t小时遇到台风。由题意及勾股定理， 得(100-40t)2+(20t)2=(20)2, 化简此方程，得t2-4t+3=0， 解这个方程，得t1=1,t2=3。 经检验，t=3不符合题意，舍去。 所以轮船最初遇到台风的时间是在接到台风警报后1小时。 探索创新 实际问题 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 一元二次方程的根 验根方程的根 符合实际意义 实际问题的答案 设未知数， 列方程 解方程; 开平方法， 配方法， 公式法， 因式分解法。 课堂小结 【新教材】青岛版·九年级上册 感谢聆听! $