精品解析：山东省济南市历城区2025-2026学年度第二学期期末质量检测七年级数学试题

2025-2026学年度第二学期期末质量检测 七年级数学试题 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 在实数，0，，中，最大的数是（　　） A. B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键． 利用实数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴最大的数是：． 故选：C． 2. 中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下面有关我国航天领域的图标，其图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B．是轴对称图形，故此选项符合题意； C．不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D．不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 故选：B． 3. 在中国科研团队的努力下，氮化镓量子光源芯片问世，将芯片输出波长最大值从0.0000000256m扩展至原来的4倍左右．将0.0000000256用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法表示较小的数，解题的关键是掌握科学记数法的表示形式（其中为正整数，的值等于原数中左起第一个非零数前零的个数）． 确定和的值来用科学记数法表示0.0000000256． 【详解】科学记数法的表示形式为，对于0.0000000256，要使，则． 原数中左起第一个非零数2前面有8个0，所以， 那么0.0000000256用科学记数法表示为， 故选：B． 4. 下列各式运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】需分别根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂乘法、同底数幂除法的法则计算各选项，选出结果为的选项． 【详解】解：选项A：与不是同类项，不能合并，运算结果不是，A错误； 选项B：根据幂的乘方法则，，结果不是，B错误； 选项C：根据同底数幂乘法法则，，结果为，C正确； 选项D：根据同底数幂除法法则，，结果不是，D错误； 故选：C． 5. 如图，点E在延长线上，下列条件中不能判定的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】判定，需要寻找由直线和被第三条直线（截线）所截形成的角，判定，需要寻找由直线和被第三条直线（截线）所截形成的角，逐一分析每个选项中的角是由哪两条直线被哪条直线所截，从而判断能判定哪两条直线平行即可． 【详解】A项：与是直线、被所截形成的内错角， ∵， ∴，故A不符合题意； B项：∵， ∴通过内错角相等，两直线平行可得，不能判定，故B符合题意； C项：∵， ∴通过内错角相等，两直线平行可得，故C不符合题意； D项：∵， ∴通过同旁内角互补，两直线平行可得，故D不符合题意． 6. 下列说法正确的是（ ） ①三角形的角平分线是射线； ②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于同一点； ③三角形的三条高都在三角形内部； ④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分． A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的角平分线的定义与性质判断①与②；根据三角形的高的定义及性质判断③；根据三角形的中线的定义及性质判断④即可． 【详解】①三角形的角平分线是线段，说法错误； ②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于同一点，说法正确； ③锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部．说法错误； ④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分，说法正确． 故选D． 【点睛】本题考查了三角形的角平分线、中线和高的定义及性质，是基础题．从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高；三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线；三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． 7. 端午假期的第一天，小颖全家上午8时自驾小汽车从家里出发，到某旅游景点游玩一段时间后返程回家．该小汽车离家的距离s（千米）与时间（时）之间的关系如图所示，根据图象提供的有关信息，下列说法中错误的是（ ） A. 小汽车往返速度相同 B. 小颖到家的时间为17时 C. 景点离小颖的家180千米 D. 10时至14时小汽车没有行驶 【答案】A 【解析】 【分析】观察函数图象，获取去程、停留、返程的时间与路程信息，分别计算速度和时刻进行判断． 【详解】由图象纵坐标可知，景点离小颖家180千米，故C正确，不符合题意； 10时至14时，保持180不变，说明小汽车没有行驶，故D正确，不符合题意； 去程速度为 千米/时，返程时，14时至15时行驶了 千米，速度为 千米/时， ，往返速度不相同，故A错误，符合题意； 返程全程所需时间为 小时，到家时刻为 时，故B正确，不符合题意． 8. 如图，在中，，分别以其三边为边向外作正方形．连接，．与关系描述正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过B作，交延长线于P，过M作，交延长线于Q，证明得到，再证明，进而可推导出，同理可证，进而可得答案． 【详解】解：过B作，交延长线于P，过M作，交延长线于Q， 则，， 在正方形中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在正方形中，， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可证， ∴． 9. 如图，在中，，，．以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线与交于点，，垂足为．则下列结论不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由作图方法可知，是的角平分线，则由角平分线的定义和性质即可判定A、C；利用勾股定理求出，利用等面积法求出，由此求出即可判断B；利用三角形的面积可判断D，进而可得答案． 【详解】解：由作图方法可知，是的角平分线， ∴，故A结论正确，不符合题意； 又∵， ∴，故C结论正确，不符合题意； 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，，故B结论错误，符合题意； ，故D结论正确，不符合题意． 10. 将一个等腰三角形纸板沿垂线段，进行剪切，得到三角形①②③，再按如图2方式拼放，其中与共线．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等腰三角形的性质可以得到，设为x，再运用勾股定理得，然后代入解方程即可解题． 【详解】解：如图，设图1中交点为O，为，为，为，图2中的余角为，由图可知：， ∵是等腰三角形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， 根据勾股定理得， ∴，解得：． 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．直接填写答案． 11. 的算术平方根是_________． 【答案】 【解析】 【详解】解：因为， 所以的算术平方根是． 12. 如图，一个圆形转盘被分成红、黄、蓝三个扇形，其中红、蓝扇形的圆心角度数分别为，，转动转盘，停止后指针落在黄色区域的概率是_________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据周角的定义求出黄色扇形的圆心角度数，再利用概率公式计算指针落在黄色区域的概率即可． 【详解】解：由题意可知，黄色扇形的圆心角度数为， 则指针落在黄色区域的概率为． 13. 如图是的角平分线，于点，若，，则的度数是______． 【答案】10° 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理求出∠DAC＝50°，根据角平分线定义求出∠EAC＝∠BAC＝60°，即可得出∠DAE＝∠EAC−∠DAC＝10°． 【详解】解：∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90° ． ∵∠C＝40°， ∴∠DAC＝50°． ∵AE是△ABC的角平分线，∠BAC＝120°， ∴∠EAC＝∠BAC＝60°． ∴∠DAE＝∠EAC−∠DAC＝10°． 故答案为：10°． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义的应用，解此题的关键是求出∠DAC和∠EAC的度数． 14. 定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值k称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为，，则它的“优美比”k为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形三边关系的应用，分两种情况：当为腰时，当为底时，分别求解并结合三角形三边关系判断即可． 【详解】解：当为腰时，底边长为，此时三边长为，，，不满足三角形三边关系，不符合题意； 当为底时，腰长为，此时三边长为，，，满足三角形三边关系，符合题意，它的“优美比”k为， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，是的平分线．若，分别是和上的动点，则的最小值是_________． 【答案】14.4 【解析】 【分析】连接、，由等腰三角形的三线合一可得出垂直平分，则，，由两点之间线段最短和垂线段最短得到，当Q、P、B共线且时，的最小，最小值为的长，由勾股定理求得，利用三角形的面积公式求得即可解答． 【详解】解： 如图，连接、， ∵，是的平分线， ∴垂直平分，， ∴，， ∴，当Q、P、B共线时取等号， ∵Q在上运动， ∴当时，最短，此时最小． 由勾股定理得：， ∵ ， ∴，即的最小值是． 三、解答题：本题共10小题，共90分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1） （2） （3） （4）（用乘法公式计算） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）先化简绝对值，计算零指数幂、负整数指数幂，立方根，再加减运算即可； （2）先积的乘方运算，再单项式乘单项式运算、单项式除以单项式运算，然后合并同类项即可求解； （3）先根据多项式乘多项式运算法则、单项式乘多项式运算法则展开原式，再进行加减运算即可求解； （4）先将原式化为，再利用平方差公式求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 17. 先化简，再求值：，其中x，y满足． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算—化简求值，非负数的性质，先根据整式的混合运算法则计算进行化简，再根据非负数的性质计算得出，，代入化简后的式子计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ， ∵，，， ∴，， ∴，， ∴原式． 18. 如图，与相交于点，已知点为的中点，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）证明：∵点为的中点， ∴， ∵， ∴，， ， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件可得，根据平行线的性质可得，，运用证明，最后根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）由三角形内角和定理得，根据（1）可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 根据（1）可得：． 19. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，在网格中的位置如图所示（三角形的顶点都在格点上）． （1）的面积为_________； （2）如图，直线上有三个点分别为，，，与点连接后能平分面积的是点_________； （3）利用网格线作出关于直线的对称图形． 【答案】（1）3 （2）D （3）如图，即为所求； 【解析】 【分析】（1）根据割补法求出三角形的面积即可； （2）根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，进行解答即可； （3）根据轴对称的性质，先分别作出点A、B、C的对应点、、，再顺次连接即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解：如图，连接，交于点M， 由图可知，点M为的中点， ∴为的中线， ∴； 【小问3详解】 略 20. 商场内购进了一个如图所示的扭蛋机，扭蛋机中装有甲、乙两种球形盲盒，其中甲种球形盲盒有6个．每次扭动扭蛋机开关，会随机掉出一个球形盲盒，掉出后工作人员将球形盲盒再放入扭蛋机中，重复试验． （1）若乙种球形盲盒有8个，则扭动一次开关掉出_________种球形盲盒的可能性大；（填“甲”或“乙”） （2）工作人员多次试验后发现，扭动开关随机掉出的球形盲盒为乙种球形盲盒的频率稳定在，求乙种球形盲盒的数量； （3）在（2）的条件下，若再放入2个甲种球形盲盒，求扭动一次开关掉出的球形盲盒为甲种球形盲盒的概率． 【答案】（1）乙 （2）12个 （3） 【解析】 【分析】（1）根据甲种球形盲盒有6个，乙种球形盲盒有8个，进行判断即可； （2）因为多次试验后，扭动开关随机掉出的球形盲盒为乙种球形盲盒的频率稳定在，所以扭动开关随机掉出的球形盲盒为乙种球形盲盒的概率为，然后根据概率公式计算数量即可； （3）根据概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵甲种球形盲盒有6个，乙种球形盲盒有8个 ∴扭动开关随机掉出球形盲盒，可能出现的结果为种，并且它们出现的可能性相等， ∴扭动一次开关掉出甲种球形盲盒的概率为， 扭动一次开关掉出乙种球形盲盒的概率为， ∵， ∴扭动一次开关掉出一个乙种球形盲盒的可能性大． 【小问2详解】 解：∵多次试验后，扭动开关随机掉出的球形盲盒为乙种球形盲盒的频率稳定在， ∴扭动开关随机掉出的球形盲盒为乙种球形盲盒的概率为， ∴扭动开关随机掉出的球形盲盒为甲种球形盲盒的概率为， ∴球形盲盒的总个数为：， ∴乙种球形盲盒的数量为（个）． 【小问3详解】 解：再放入2个甲种球形盲盒，则扭动一次开关掉出的球形盲盒为甲种球形盲盒的概率为： ． 21. 如图，地面上放着一个小凳子（凳宽与地面平行，墙面与地面垂直），点到地面的距离为．在图①中，一根长的木杆一端与墙角重合，另一端靠在点处． （1）求小凳子顶点与墙面的距离； （2）在图②中另一木杆的一端与点重合，另一端靠在墙上的点处，若，木杆比凳宽B长，求小凳子宽和木杆的长度． 【答案】（1）小凳子顶点与墙面的距离为 （2）小凳子宽的长度为，木杆的长度为 【解析】 【分析】（1）过作垂直于墙面，垂足为点，则，勾股定理即可求解． （2）延长交墙面于点，则，设，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：如图①，过作垂直于墙面，垂足为点，则， 由题意可知，， 由勾股定理得：， 答：小凳子顶点与墙面的距离为； 【小问2详解】 如图②，延长交墙面于点，则， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ， 答：小凳子宽的长度为，木杆的长度为． 22. 如图1，已知中，为边上的高，是上一动点，沿由向运动，连接，在这个变化过程中，设，且把看成自变量． （1）图1中下列三角形的面积可以看成因变量的是_________．（填序号） ① ② ③ ④ ⑤ （2）设的面积为S，图2刻画的是S随变化而变化的图象，根据图象回答以下问题： ①图2中点代表的意义是________________________； ②的高的长为______________________； ③写出S与之间的关系式：________________________________； ④的值为_____________． （3）在（2）的条件下，设的面积为，写出与之间的关系式，并求当为何值时，的面积与的面积相等． 【答案】（1）①③④ （2）①时，的面积为10；②4；③；④6 （3）；时，的面积与的面积相等 【解析】 【分析】（1）根据三角形面积公式，自变量和因变量定义，结合图形，逐项进行判断即可； （2）①M点代表的意义是：时，的面积为10，即可求解； ②根据当时，的面积为12，得出，设，则，再根据时，的面积为10，得出，求出结果即可； ③先求出，再根据三角形面积公式写出函数解析式即可； ④把代入函数解析式，即可求解； （3）根据三角形面积公式列出函数解析式即可；根据的面积与的面积相等，列出方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：①∵的面积为：，其中是变量，为常量， ∴的面积随的改变而改变， ∴可以看作因变量； ②∵的面积为：，其中和都是常量， ∴的面积也是个常量， ∴不可以看作因变量； ③∵的面积为：，其中是变量，为常量， ∴的面积随的改变而改变， ∴可以看作因变量； ④∵的面积为：，其中是变量，为常量， ∴的面积随的改变而改变， ∴可以看作因变量； ⑤∵的面积为：，其中和都是常量， ∴的面积也是个常量， ∴不可以看作因变量； 综上，可以看成因变量的是①③④． 【小问2详解】 解：①图2中点代表的意义是时，的面积为10； ②根据图2可知，当时，的面积为12， 即， 设，则， ∵时，的面积为10， ∴， 即， 解得：， ∴的高的长为4； ③∵， ∴S与之间的关系式为：； ④把代入得：， 解得：， 即的值为6． 【小问3详解】 解：根据题意得：； 当时，的面积与的面积相等， 即：， 解得：， 故时，的面积与的面积相等． 23. 2025年央视春节联欢晚会上，一群穿着花棉袄的人形机器人科技感爆棚．节目中的机器人名为，将传统文化与尖端技术融为一体，不仅展现了极高的艺术表现力，更体现了中国在机器人技术领域的重大突破． 【提出问题】 图1是练习时的侧面示意图，上身与地面呈垂直状态，脚面呈水平状态，此时，，则的度数是多少？ 【思考过程】 依靠图中现有的线无法解决该问题，因此，需要添加辅助线构造新的图形． 【问题解决】 （1）解：如图2，过点作，过点作，则 因为， 所以 因为， 根据_____________________① 所以， 根据__________________② 所以 因为 所以__________________③ 所以 请补全解题过程中横线的内容． 【迁移应用】 如图③是一款手推车的平面示意图，已知． （2）若，，则_________； （3）写出，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）①平行于同一条直线的两条直线平行；②两直线平行，内错角相等；③ （2）125 （3），理由如下： 如图，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）先根据平行公理推论可得，再根据平行线的性质可得，，然后根据角的和差即可得； （2）过点作，先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质求解即可得； （3）过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质可得，最后根据即可得． 【小问1详解】 解：问题解决：如图2，过点作，过点作，则． 因为，， 所以． 因为，， 根据平行于同一条直线的两条直线平行， 所以， 根据两直线平行，内错角相等， 所以． 因为， 所以， 所以． 【小问2详解】 解：如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【小问3详解】 略 24. 阅读材料并回答下列问题： 材料一：我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．如图1可以得到，，之间的等量关系是_________________①； 材料二：换元法：是指引入一个或者几个新的变量代替原来的某些变量，通过引入新的变量将分散的条件联系起来，变为熟悉的问题，其理论依据是等量代换．对于结构比较复杂的式子，可以把其中某些部分看作整体，用新的字母代替（即整体换元），可以化繁为简从而找到解题的捷径，请看以下例子： 若满足，求的值． 解：设，，则，_________②， 所以_________③． 问题： （1）补全材料一、材料二中横线处；①_________，②_________，③_________． （2）若满足，求的值； （3）如图2，在长方形中，，，点，分别是边，上的点，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为60，求图中两个正方形的面积之和． 【答案】（1）①；②20；③340 （2） （3）136 【解析】 【分析】（1）根据题干信息提示完善材料一，材料二即可； （2）设，，可得，，再结合完全平方公式的变形可得答案； （3）由，，，可得，，，结合，利用，从而可得答案． 【小问1详解】 解：材料一：； 材料二：设，，则， ； ∴； 【小问2详解】 解：设，， ∴，， ∴ ； 【小问3详解】 解：由题意可得：，，， ∴，， ∴， ∵长方形的面积为60， ∴， ∴ ； 25. 在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型，它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”．兴趣小组进行了如下探究： 【模型探究】 （1）如图1，若和均为等边三角形，点，，在同一条直线上，连接，易证全等于_________，进而可求出的度数为________； 【类比探究】 （2）在中，，过点引一条射线，是射线上一点．若， ①如图2，当射线在内部时，的度数为_________； ②如图3，当射线在下方时，的度数会发生变化吗？若不变，请说明理由，若改变，请求出的度数； 【拓展应用】 （3）如图4，在四边形中，，，，则_________． 【答案】（1）；60 （2）①100；②改变； （3）66 【解析】 【分析】（1）根据“”证明；求出，即可得出； （2）①在上取点N，使，连接，证明，得出，即可求出结果； ②延长，在的延长线上取点N，使，连接，证明，得出，求出； （3）过点A作，截取，连接、，证明，得出，证明为直角三角形，求出即可． 【小问1详解】 解：∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴； ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①在上取点N，使，连接，如图所示： ∵在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②改变； 延长，在的延长线上取点N，使，连接，如图所示： ∵在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：过点A作，截取，连接、，如图所示： 则，， ∵， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期末质量检测 七年级数学试题 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 在实数，0，，中，最大的数是（　　） A. B. 0 C. D. 2. 中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下面有关我国航天领域的图标，其图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 在中国科研团队的努力下，氮化镓量子光源芯片问世，将芯片输出波长最大值从0.0000000256m扩展至原来的4倍左右．将0.0000000256用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点E在延长线上，下列条件中不能判定的是（　　） A. B. C. D. 6. 下列说法正确的是（ ） ①三角形的角平分线是射线； ②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于同一点； ③三角形的三条高都在三角形内部； ④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分． A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②④ 7. 端午假期的第一天，小颖全家上午8时自驾小汽车从家里出发，到某旅游景点游玩一段时间后返程回家．该小汽车离家的距离s（千米）与时间（时）之间的关系如图所示，根据图象提供的有关信息，下列说法中错误的是（ ） A. 小汽车往返速度相同 B. 小颖到家的时间为17时 C. 景点离小颖的家180千米 D. 10时至14时小汽车没有行驶 8. 如图，在中，，分别以其三边为边向外作正方形．连接，．与关系描述正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，．以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线与交于点，，垂足为．则下列结论不成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 将一个等腰三角形纸板沿垂线段，进行剪切，得到三角形①②③，再按如图2方式拼放，其中与共线．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．直接填写答案． 11. 的算术平方根是_________． 12. 如图，一个圆形转盘被分成红、黄、蓝三个扇形，其中红、蓝扇形的圆心角度数分别为，，转动转盘，停止后指针落在黄色区域的概率是_________． 13. 如图是的角平分线，于点，若，，则的度数是______． 14. 定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值k称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为，，则它的“优美比”k为________． 15. 如图，在中，，，是的平分线．若，分别是和上的动点，则的最小值是_________． 三、解答题：本题共10小题，共90分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1） （2） （3） （4）（用乘法公式计算） 17. 先化简，再求值：，其中x，y满足． 18. 如图，与相交于点，已知点为的中点，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 19. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，在网格中的位置如图所示（三角形的顶点都在格点上）． （1）的面积为_________； （2）如图，直线上有三个点分别为，，，与点连接后能平分面积的是点_________； （3）利用网格线作出关于直线的对称图形． 20. 商场内购进了一个如图所示的扭蛋机，扭蛋机中装有甲、乙两种球形盲盒，其中甲种球形盲盒有6个．每次扭动扭蛋机开关，会随机掉出一个球形盲盒，掉出后工作人员将球形盲盒再放入扭蛋机中，重复试验． （1）若乙种球形盲盒有8个，则扭动一次开关掉出_________种球形盲盒的可能性大；（填“甲”或“乙”） （2）工作人员多次试验后发现，扭动开关随机掉出的球形盲盒为乙种球形盲盒的频率稳定在，求乙种球形盲盒的数量； （3）在（2）的条件下，若再放入2个甲种球形盲盒，求扭动一次开关掉出的球形盲盒为甲种球形盲盒的概率． 21. 如图，地面上放着一个小凳子（凳宽与地面平行，墙面与地面垂直），点到地面的距离为．在图①中，一根长的木杆一端与墙角重合，另一端靠在点处． （1）求小凳子顶点与墙面的距离； （2）在图②中另一木杆的一端与点重合，另一端靠在墙上的点处，若，木杆比凳宽B长，求小凳子宽和木杆的长度． 22. 如图1，已知中，为边上的高，是上一动点，沿由向运动，连接，在这个变化过程中，设，且把看成自变量． （1）图1中下列三角形的面积可以看成因变量的是_________．（填序号） ① ② ③ ④ ⑤ （2）设的面积为S，图2刻画的是S随变化而变化的图象，根据图象回答以下问题： ①图2中点代表的意义是________________________； ②的高的长为______________________； ③写出S与之间的关系式：________________________________； ④的值为_____________． （3）在（2）的条件下，设的面积为，写出与之间的关系式，并求当为何值时，的面积与的面积相等． 23. 2025年央视春节联欢晚会上，一群穿着花棉袄的人形机器人科技感爆棚．节目中的机器人名为，将传统文化与尖端技术融为一体，不仅展现了极高的艺术表现力，更体现了中国在机器人技术领域的重大突破． 【提出问题】 图1是练习时的侧面示意图，上身与地面呈垂直状态，脚面呈水平状态，此时，，则的度数是多少？ 【思考过程】 依靠图中现有的线无法解决该问题，因此，需要添加辅助线构造新的图形． 【问题解决】 （1）解：如图2，过点作，过点作，则 因为， 所以 因为， 根据_____________________① 所以， 根据__________________② 所以 因为 所以__________________③ 所以 请补全解题过程中横线的内容． 【迁移应用】 如图③是一款手推车的平面示意图，已知． （2）若，，则_________； （3）写出，，之间的数量关系，并说明理由． 24. 阅读材料并回答下列问题： 材料一：我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．如图1可以得到，，之间的等量关系是_________________①； 材料二：换元法：是指引入一个或者几个新的变量代替原来的某些变量，通过引入新的变量将分散的条件联系起来，变为熟悉的问题，其理论依据是等量代换．对于结构比较复杂的式子，可以把其中某些部分看作整体，用新的字母代替（即整体换元），可以化繁为简从而找到解题的捷径，请看以下例子： 若满足，求的值． 解：设，，则，_________②， 所以_________③． 问题： （1）补全材料一、材料二中横线处；①_________，②_________，③_________． （2）若满足，求的值； （3）如图2，在长方形中，，，点，分别是边，上的点，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为60，求图中两个正方形的面积之和． 25. 在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型，它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”．兴趣小组进行了如下探究： 【模型探究】 （1）如图1，若和均为等边三角形，点，，在同一条直线上，连接，易证全等于_________，进而可求出的度数为________； 【类比探究】 （2）在中，，过点引一条射线，是射线上一点．若， ①如图2，当射线在内部时，的度数为_________； ②如图3，当射线在下方时，的度数会发生变化吗？若不变，请说明理由，若改变，请求出的度数； 【拓展应用】 （3）如图4，在四边形中，，，，则_________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $