山东省济南市历城区2024-2025学年七年级下学期期末数学试卷

2024-2025学年山东省济南市历城区七年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.2的算术平方根是(    ) A. 2 B. C. D. 2.下列关于天气的图标是轴对称图形的是(    ) A. B. C. D. 3.在全球对清洁能源需求日益迫切的当下，太阳能作为一种取之不尽、用之不竭的可再生能源，其开发与利用备受关注.某实验室研发的高效太阳能电池的超薄纳米涂层，其厚度仅为米.其中数据用科学记数法表示为(    ) A. B. C. D. 4.下列计算正确的是(    ) A. B. C. D. 5.如图，在中，以A为圆心，AC为半径作弧交BC于点D，再分别以B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于M，N，连结MN交AB于点E，已知的周长为13，，则AB的长为(    ) A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 6.已知a，b，c是的三条边，则下列条件能判定为直角三角形的是(    ) A. a：b：：2：3 B. C. ：：：4：5 D. 7.在螳螂的示意图中，，是等腰三角形，，，则(    ) A. B. C. D. 8.如图是一个H型连通器模型，甲、乙水箱是两个等高的圆柱体，甲水箱的底面积是乙水箱底面积的2倍，连接管在两个水箱的中间处体积忽略不计，现用水管往甲水箱中持续匀速注水，直到连通器中水恰好不溢出为止.下列图象能大致反映甲水箱的水面高度y与注水时间x之间关系的图象是(    ) A. B. C. D. 9.如图，AE是的平分线，BD是中线，AE、BD相交于点E，于F，若，，，则EF的长为(    ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10.某班同学都报名参加了学校举办的数学节闯关活动，该活动共有A，B，C，D，E五个项目，每位同学选择其中的两项不考虑顺序，以下是该班的报名表： 项目类型 A B C D E 报名人数 15 10 13 10 12 若选择BD组合的刚好有10人，则选择AC组合的人数是人. A. 15 B. 12 C. 10 D. 8 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。 11.如图，已知≌，，，则的度数为______. 12.四边形ABCD的边长如图所示，线段AC的长度随四边形形状的改变而变化，当为等腰三角形时，线段AC的长为______. 13.如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同.小亮每次投掷飞镖均扎在该飞镖游戏板上，且扎在飞镖板上任意点处的机会是均等的.则小亮随机投掷一次飞镖，飞镖扎在阴影区域的概率是______. 14.如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在处，交AD于E，，，则DE的长为______. 15.如图，，，，点D是射线BA上的动点，以CD为边在CD左侧作等边三角形CDE，连接AE，则的最小值是______. 三、解答题：本题共10小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题16分 计算： ； ； ； 17.本小题6分 先化简，再求值：，其中， 18.本小题6分 读懂下面的推理过程，并填空理由或数学式 中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷.如图1是一个“互”字，如图2是由图1抽象出的几何图形，其中，点E，M，F在同一直线上，点G，H，N在同一条直线上，且，求证： 证明：如图2，延长EF交CD于点 已知， ______ 又______， ______等量代换 ______ ______两直线平行，同旁内角互补 又______已知， ______ ______ 19.本小题6分 如图，在中，D是BC上一点，，E是外一点，，求证： 20.本小题9分 在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，网格中有一个，该三角形的三个顶点均在格点上. ①计算的面积______； ②在图中作出关于直线l对称的； ③若点P为直线l上的一点，请在图中标出使的值最小时点P的位置. 如图，在的正方形网格中，点A、B在格点网格线的交点上. ①请在网格中找出一个格点C，使成为轴对称图形，画出； ②符合条件的格点C有______个. 21.本小题6分 在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近______； 假如你去摸一次，你摸到白球的概率是______，摸到黑球的概率是______；精确到 试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？ 22.本小题7分 阅读与思考：我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法.配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以帮助我们求代数式的最大值或最小值.例如：求的最小值. 解：，，， 所以当时，即当时，有最小值，最小值为 【直接应用】 在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______； 的最小值等于______； 当______时，多项式有最______值，是______； 【知识迁移】 代数式的最小值为______. 23.本小题10分 如图1，长方形ABCD中，，动点P从点A出发，沿路线运动到点D停止，已知点P在AB边上的速度为每秒1个单位长度，在BC边上的速度为每秒2个单位长度，在CD边上的速度为每秒3个单位长度.设运动时间为x秒，的面积为S，S与x的关系图象如图2所示. ______，______； 当时，求x的值； 如图3，连接AC，当点P在线段AC的垂直平分线上时，______；当点P在的角平分线上时，______. 24.本小题12分 本学期，我们学习了“特殊化”问题解决策略，面对一般性问题，可以先考虑特殊情形，通过取特殊点、特殊位置如顶点、中点、对称点等、特殊数据等简化问题，借助特殊情形下获得的结论或方法解决一般性问题. 【问题】 如图1，已知等边三角形ABC中，，点P为边BC上一点，过P作于点E，于点求的值. 【特殊化】 因为点P在边BC上，考虑点P与顶点B重合这一特殊情形，此时，PE恰为AC边上的高，借助勾股定理等知识可以求得此时PE的长，由此可得到特殊情形的结论：的值等于______. 【一般化证明】 在上述条件下，请在图1中添加高线BD，求证： 【迁移应用】 已知等边三角形ABC， ①如图2，点P为内任意一点，过P向三边作垂线，垂足分别为D，E，F，则的值为______； ②如图3，若点P在线段BC的延长线上，过点P分别向AC，AB作垂线，垂足为E，F，则用等式表示线段PE，PF的数量关系为______； ③如图4，若点P是等边三角形ABC外一点，且，连接AP，则用等式表示线段PB，PC，PA的数量关系为______. 25.本小题12分 类比思维是根据两个具有相同或相似特征的事物间的对比，从一事物的某些已知特征去推测另一事物的相应特征存在的思维活动.请尝试用类比思维解决以下问题： 如图1，在等腰直角三角形ABC中，，，直线l经过点C但不与边AB相交，过点A作于点D，过点B作于点 小明同学分析图形关系，发现了，以及三角形全等，在此基础上，请进一步探索并直接写出AD，BE，DE之间的数量关系：______； 如图2，在中，，点D，E分别在边BC，AC上，，且，若，，求CE的长度用含a，b的代数式表示； 如图3，在中，，，点D，E分别是边AC，AB上的动点，以DE为腰向右作等腰，使得，且，连接CF，； ①探索BE与AD的数量关系并说明理由； ②在点D，E运动过程中，点F位置也随之发生改变，若，当点E，F，C共线时，直接写出线段DE的长. 答案和解析 1.【答案】C  【解析】解：2的算术平方根是， 故选： 根据算术平方根的定义计算即可． 本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键． 2.【答案】D  【解析】解：选项A、B、C的图标不能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． 选项D的图标能找到一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选： 根据轴对称图形的定义逐项识别即可，一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形．据此解答即可． 本题考查轴对称图形定义的应用，须注意图形细节的不同之处． 3.【答案】B  【解析】解： 故选： 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 4.【答案】C  【解析】解：不能化简，故A选项错误； ，故B选项错误； ，故C选项正确； ，故D选项错误； 故选： 根据公式化简代数式即可． 本题考查了代数式的化简，掌握幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法是解题的关键． 5.【答案】B  【解析】解：由作图知，直线MN垂直平分BD， ， 的周长为13， ， ， 故选： 根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式即可得到结论． 本题考查了作图-基本作图，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，正确地识别图形是解题的关键． 6.【答案】D  【解析】解：A、，不能判定为直角三角形，不符合题意； B、，， ，，不能判定为直角三角形，不符合题意； C、：：：4：5，， 最大角，不能判定为直角三角形，不符合题意； D、， ， ， 能判定为直角三角形，符合题意； 故选： 根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理分别对各个选项进行判断即可． 本题考查了勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理和三角形内角和定理是解题的关键． 7.【答案】C  【解析】解：延长ED，交AC于F， 是等腰三角形，， ， ， ， ， ， 故选： 延长ED，交AC于F，根据等腰三角形的性质得出，根据平行线的性质得出， 由三角形外角的性质即可求得的度数． 本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形外角的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 8.【答案】D  【解析】解：由连通器的原理可知，整个过程分为三个阶段：第一阶段为甲水箱中的水面随着时间的推移逐渐上升，直至到达连通器的入口； 第二阶段为甲水箱中的水面不上升，注入的水通过连通器流入乙中，使乙水箱中的水面上升，直至到达连通器的入口； 第三阶段为甲、乙两个水箱中的水以相同的速度上升上升速度比第一阶段慢 四个选项中，只有D选项中的函数图象符合题意， 故选： 由连通器的原理可知，整个过程分为三个阶段：甲水面上升，乙水面上升，甲、乙水面一起上升，据此即可得到结论． 本题考查了函数的图象，解题的关键是根据题意，结合图象来解答． 9.【答案】B  【解析】解：过点E作， 是的平分线，于F， ， 设， 是中线，，， ，， ， ， ， 解得：， 故选： 根据题意先过点E作，设，根据，得出的面积的面积，即，进而求得x的值即可． 本题主要考查三角形的角平分线、中线以及三角形的面积的计算，解决问题的关键是根据的面积，列出方程求解．解题时注意方程思想的运用． 10.【答案】D  【解析】解：每位同学选择其中的两项， 该班人数有人； 选择BD组合的刚好有10人，则还有20人， 其中选E的人数有12，那么没选E的有8人， 即全部是AC组合， 组合的人数有8人． 故选： 由每位同学选择其中的两项，再结合表格数据即可得总人数；根据选择倒退，选择BD组合的刚好有10人，则还有20人，其中选E的人数有12，那么没选E的有8人，即可得解． 本题主要考查了推理论证，正确理解题意是解题的关键． 11.【答案】  【解析】解：，， ， ≌， 故答案为： 由三角形内角和定理求出，由全等三角形的性质得到 本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应角相等． 12.【答案】3  【解析】解：分两种情况： ①时， 在中，，符合题意； ②时， 在中，，不能构成三角形，不符合题意； 综上所述，线段AC的长为3， 故答案为： 分两种情况，①时，②时，再由三角形的三边关系即可得出结论． 本题考查了等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形的三边关系是解题的关键． 13.【答案】  【解析】解：设小正方形的面积为a， 飞镖游戏板由大小相等的9个小正方形格子构成， 飞镖游戏板由大小相等的面积为9a，阴影区域的面积为3a， 随意投掷一个飞镖，击中阴影区域的概率为： 故答案为： 击中黑色区域的概率等于阴影区域面积与正方形总面积之比． 此题考查了几何概率计算公式以及其简单应用．注意面积之比=几何概率． 14.【答案】5  【解析】解：矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在处， ， 而， ， ， 设，而，， ， 在中，，即，解得， 的长为 故答案为： 由折叠的性质得到，而，得到，则，设，在中，利用勾股定理得到关于x的方程，解方程即可． 本题考查了折叠的性质：折叠后重合的两图形全等．也考查了勾股定理． 15.【答案】6  【解析】解：如图，以BC为边在BC下方作等边，连接BE、BF、CF、EF，EF交BC于点O， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ≌， ， ， ， 垂直平分BC， ， ，则当点B、E、A三点共线时，如图， 最小，即最小，为6， 故答案为： 以BC为边在BC下方作等边，连接BE、BF、CF、EF，EF交BC于点O，则有，，又是等边三角形，所以，，证明≌，得到，得，即EF垂直平分BC，则，从而有，则当点B、E、A三点共线时最小，即最小． 本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，两点之间线段最短，垂直平分线的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 16.【答案】；  ；   ；     【解析】原式 ； 原式 ； 原式 ； 原式 利用同底数幂乘法，幂的乘方与积的乘方法则计算后再合并同类项即可； 利用绝对值及二次根式的性质，负整数指数幂，零指数幂计算后再算加减即可； 利用二次根式的乘除法则及性质计算后再算加减即可； 利用平方差公式计算即可． 本题考查二次根式的混合运算，整式的混合运算，实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 17.【答案】；  【解析】解：原式 ； 当，时， 原式 将括号内的式子利用平方差及完全平方公式，单项式差多项式法则展开并合并同类项，然后算除法，最后代入已知数值计算即可． 本题考查整式的混合运算-化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 18.【答案】两直线平行，内错角相等  已知    同位角相等，两直线平行      两直线平行，同旁内角互补  同角的补角相等  【解析】证明：如图2，延长EF交CD于点 已知， 两直线平行，内错角相等 又已知， 等量代换 同位角相等，两直线平行 两直线平行，同旁内角互补 又已知， 两直线平行，同旁内角互补 同角的补角相等 故答案为：两直线平行，内错角相等；已知；；同位角相等，两直线平行；；；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等． 根据平行线的判定与性质求证即可． 此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． 19.【答案】证明：，， 则， ， 在和中， ， ≌，   【解析】根据题意可得，根据全等三角形的判定可证明≌，根据全等三角形的性质即可证明． 本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等；全等三角形的对应边相等是解题的关键． 20.【答案】① ②见解答． ③见解答．   ①见解答． ②  【解析】①的面积为 故答案为： ②如图，即为所求． ③如图，连接，交直线l于点P，连接BP， 此时，为最小值， 则点P即为所求． ①如图，，，，均满足题意． ②由图可知，符合条件的格点C有4个． 故答案为： ①利用割补法求三角形的面积即可． ②根据轴对称的性质作图即可． ③连接，交直线l于点P，则点P即为所求． ①根据轴对称图形的定义画图即可． ②结合①可得答案． 本题考查作图-轴对称变换、轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． 21.【答案】； ，； 因为摸到白球的概率是，摸到黑球的概率是， 所以口袋中黑、白两种颜色的球有白球有个，黑球有个．  【解析】解：根据题意可得当n很大时，摸到白球的频率将会接近， 故答案为：； 因为当n很大时，摸到白球的频率将会接近； 所以摸到白球的概率是； 摸到黑球的概率是； 故答案为：，； 因为摸到白球的概率是，摸到黑球的概率是， 所以口袋中黑、白两种颜色的球有白球有个，黑球有个． 本题需先根据表中的数据，估计出摸到白球的频率． 本题根据摸到白球的频率即可求出摸到白球和黑球的概率． 根据口袋中黑、白两种颜色的球的概率即可求出口袋中黑、白两种颜色的球有多少只． 本题主要考查了如何利用频率估计概率，在解题时要注意频率和概率之间的关系． 22.【答案】9；  1；  3；大；12；    【解析】， 在横线上添上9可使之成为完全平方式． 故答案为： 由题意得， 对于任意的实数m都有， 的最小值等于 故答案为： 由题意得， 对于任意的实数x都有， 当时，多项式有最大值，是 故答案为：3；大； 由题意得， 又对于任意的a，b都有， 代数式的最小值为 故答案为： 依据题意，由，进而可以判断得解； 依据题意得，，结合对于任意的实数m都有，从而，最后即可判断得解； 依据题意得，，结合对于任意的实数x都有，则，故，进而可以判断得解； 依据题意得，，结合对于任意的a，b都有，故，进而可以判断得解． 本题主要考查了配方法的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用配方法是关键． 23.【答案】8，12；   或11；  ，  【解析】由题意可知，在BC边上运动时，面积为， 解得，点P在AB边上的速度为每秒1个单位长度，在BC边上的速度为每秒2个单位长度，在CD边上的速度为每秒3个单位长度， 故答案为：8，12； 当时，有两种情况：当点P在AB边上时，，解得， 当点P在CD边上时，，解得， 综上可知，或11； 连接AC，当点P在线段AC的垂直平分线上时，如图，连接AP，设，则， ， ， 解得， ； 当点P在的角平分线上时，作于点Q， ， ，设，则， ，，， ≌， ， ，，， ， ， 在中，， ，解得， ， 故答案为：， 根据函数图象进行解答即可； 分两种情况进行解答即可； 利用垂直平分线和角平分线和角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理列方程进行解答即可． 本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、角平分线和垂直平分线的性质等知识，分情况讨论是解题的关键． 24.【答案】；   见解答；   ①； ②； ②  【解析】当点P与顶点B重合时，此时因为P、B重合，，垂足F也与B重合，PE为AC边上的高， 是等边三角形，，则 过B作于D，则D为AC中点等边三角形三线合一， 在中，，即， 把，代入可得：， 此时，， 所以， 故答案为：； 作交AC于点D，连接AP， ， ， ， ， ； ①连接PA、PB、PC，作， 将分割为、、， 过P向三边作垂线，垂足分别为D，E， ，，， ，， 因为是等边三角形， 所以将上述面积关系代入可得：， 在等边三角形ABC中，， 由得等边三角形的高公式为边长，可得， 所以 故答案为：； ②连接AP， 将图形分割为和，， 对于，以AB为底，PF为高，面积对于，以AC为底，PE为高，面积 对于，以BC为底，AG为高是等边三角形ABC的高，面积 是等边三角形， 将上述面积关系代入可得：得 在等边三角形ABC中，，由得等边三角形的高公式为边长， ，，； 故答案为：； ③延长PC至Q，使，连接 是等边三角形， ，， 在四边形ABPC中，， ， ， 在和中， ， ≌ ， ， ，即， ， 是等边三角形， ，且， 故答案为： 利用等边三角形“三线合一”，结合勾股定理求AC边上高，因P与B重合时，故值为该高． 连接AP，将面积拆分为与面积和，依据，通过面积公式化简证得 ①连接PA、PB、PC，把面积拆为三个小三角形面积和，结合等边三角形高公式，推出等于高． ②连接AP，将与面积作差等于面积，利用等边三角形边长与高的关系，得到的数量关系． ③延长PC构造，连接AQ，证≌，再证为等边三角形，从而得出 本题考查三角形综合，等边三角形的性质与全等三角形的判定及性质，解题关键是用特殊化策略，借面积法、构造全等转化线段关系． 25.【答案】；   ；   ①，理由见解答部分； ②  【解析】如图1，，， ， ，， ， ， ≌， ，， ， 故答案为：； 如图2，， ， ，， ， ， ≌， ，， ； ①，理由如下： 如图3，在AC上取一点M，使得，连接FM， ，， ， ， ， ， ，， ≌， ，， ，， ， ， ， ， ， 即； ②如图4，在DC取一点M，使，连接FM， ，， ， ， ， ， ，， ≌， ，， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， 由，，则有，从而可得，然后证明≌即可； 由，则，故有，然后证明≌即可； ①在AC上取一点M，使得，结合图形，证明≌，再根据角度，得到，即可得到结果； ②结合图形，先证得≌，再得到是等腰直角三角形，结合，得到结果． 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角性质，三角形的内角和定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$