1.3用反比例函数解决问题（第2课时）同步练习2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 初中数学反比例函数应用同步练，通过基础巩固、跨学科情境、综合问题解决三层设计，培养抽象能力与模型意识，实现从概念到应用的递进。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|反比例函数概念及简单计算|单选题1-2题直接考查基本公式，填空题11-13题结合生活场景| |中档|跨学科情境应用|单选题3-7题融合物理（压强）、生物（微生物）等学科，填空题14-16题强化实际问题建模| |综合|复杂问题解决|解答题22-24题涉及利润计算、实验数据处理，需综合运用函数性质与方程思想|

1.3 用反比例函数解决问题（第2课时） 一、单选题 1．某同学进行米长跑热身训练，若平均每秒跑米，则需秒跑完．根据热身要求，需在秒至秒之间跑完，则该同学的平均速度可以是（    ） A．米/秒 B．米/秒 C．米/秒 D．3米/秒 2．已知某电路中，电压为定值，电流（单位：）与电阻（单位：）成反比例函数关系．当电阻为时，电流为；当电流从增加到时，电阻减小了（　　） A． B． C． D． 3．跨学科  根据物理学知识，当压力不变时，压强p（Pa）与受力面积S（）成反比例函数关系，当某重物与地面的接触面积为时，测得地面所受压强为，要使地面所受压强减小，则该重物与地面的接触面积应调整为（    ） A． B． C． D． 4．《九章算术》中记载了古代“均赋”思想：当物资总量一定时，分摊的人数越多，平均每人分到的数量越少．现有一批粮食总量固定，设分摊人数为x人，平均每人分到粮食为y千克，且当时，，则下列说法错误的是（   ） A．平均每人分到的粮食数量y是分摊人数x的反比例函数 B．当分摊人数减少时，平均每人分到粮食的数量增加 C．当时，平均每人分到粮食12千克 D．这批粮食总量有500千克 5．某智能空调的制冷功率y（单位：W）与用户设定的温度x（单位：）成反比例关系，表达式为．工程师发现，当用户调高设定温度（即增大）时，制冷功率会随之减小．为确保这一现象符合设计要求，参数k可能是（     ） A．3 B．1 C．0 D． 6．近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）之间成反比例函数关系，图象如图所示，若配制一副度数小于200度的近视眼镜，则焦距的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．日常生活中的“盐水”，是指含有氯化钠的水溶液．如图，用三个点分别表示甲、乙、丙三瓶盐水的浓度与盐水的质量的对应关系（盐水处于不饱和盐水的浓度和状态），其中甲、丙两点恰好在反比例函数（，为常数）的图象上．若甲、乙、丙三瓶盐水中含氯化钠的质量分别为，则其大小关系为（提示盐水的浓度）（   ） A． B． C． D． 8．物理实验中，小明分别测量电路中经过甲乙丙丁四个用电器的电流（安）和它们的电压（伏），根据图象及物理学知识，可判断这四个用电器功率（P）最小的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 9．古代杠杆工具“踏碓”利用力矩平衡工作，阻力与阻力臂的乘积保持不变，动力随动力臂变化．下列说法错误的是（    ） A．与成反比例关系 B．越长，越小 C．每增加，一定减少固定值 D．动力臂增大，动力明显减小 10．已知将相同质量的金属完全浸入盛满水的杯中，金属的密度与溢出的水的体积成反比例（常见金属密度如表所示）．如果将密度为的A种金属完全浸入盛满水的杯中，测得溢出的水的体积为，再将与A种金属质量相同的B种金属完全浸入盛满水的杯中后，测得溢出的水的体积为，那么B种金属的种类是（     ） 金属种类 密度（） 金 19.3 银 10.5 铜 8.9 铁 7.9 A．金 B．银 C．铜 D．铁 二、填空题 11．在相互啮合的齿轮的传动中，大齿轮的齿数为，每分钟转圈，如果小齿轮的齿数为，每分钟转圈，那么关于的函数表达式为________． 12．人的视觉机能受运动速度的影响很大．在一定条件下，某人驾驶车辆时的视野f（单位：）与车速v（单位：）之间的关系式是．当车速为时，他的视野为______． 13．为预防冬季流感，某学校采用药熏消毒法对教室进行消毒．已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（分钟）成正比例；药物燃烧后，与成反比例（如图所示）．经测量，药物在分钟时燃烧完毕，此时空气中每立方米含药量为毫克．研究表明，当空气中每立方米含药量低于毫克时，学生方可进入教室．那么从消毒开始，至少需要经过_______ 分钟后，学生才能回到教室． 14．根据生物学知识，生存资源总量固定，单个微生物平均获得的营养单位数与微生物数量成反比例关系．某生态培养瓶内营养总量固定，设微生物数量为x个，单个微生物平均获得y个营养单位．当单个微生物平均获得10个营养单位时，微生物总数为200个，若要保证单个微生物平均至少获得4个营养单位，则微生物总数最多为______个． 15．潜水时，潜水深度增加会导致人的呼吸加快，因此气瓶的使用时间会缩短．经研究发现，在一定条件下，气瓶可用时间（分钟）是潜水深度（米）的反比例函数．当潜水深度为米时，气瓶可用时间为分钟．为保证安全，要求气瓶可用时间不少于分钟，则潜水深度最大为______米． 16．武汉光谷作为国家自主创新示范区，高新企业数量连年攀升．经统计，光谷某高新产业园的入驻企业年均产值（单位：亿元）与园区投入的研发资金x（单位：千万元）近似满足反比例函数关系．已知当时，入驻企业年均产值随研发资金的增大而减小，请写出一个满足条件的m的值：______． 17．某新能源汽车品牌推出的快充技术中，电池充满电所需的时间（单位：小时）与充电功率P（单位：）成反比例函数关系，已知用功率充电，需2小时充满；若使用的快充桩，充满电需要_______小时． 18．物理兴趣小组制作了一个圆柱形简易密度计如图所示，用来测量液体密度．该密度计可悬浮在不同液体中，实验测得密度计在不同液体中浸入的深度h（单位：）与液体的密度（单位：）的数据如下表：    液体 汽油 煤油 植物油 水 饱和盐水 蜂蜜 0.72 0.8 0.9 1.0 1.2 1.5 h 10 9 8 7.2 6 4.8 简易密度计浸入液体的深度（单位：cm）与液体的密度（单位：）之间具有函数关系．若牛奶的密度为，则该密度计浸入牛奶的深度为__________cm．（结果保留整数） 三、解答题 19．某垃圾清运公司承担了约的建筑垃圾的运送工作． (1)求每小时运送的垃圾质量关于完成任务所需的时间的函数表达式； (2)该公司调来了若干辆运输车，平均每小时共运送垃圾不超过，至少需要多长时间完成运送工作？ 20．制作古筝钢丝弦时，需保持琴弦材质、粗细、张力不变，琴弦振动频率（单位：）与弦长（单位：）成反比例．已知弦长时，振动频率为． (1)求与的函数关系式； (2)工匠裁剪两根琴弦，弦长分别为、，对应频率、．若，且，求两根弦长的长度． 21．某中学物理兴趣小组在探究液体的压强与容器底面积的关系时，把一定质量的水放入不同底面积的均匀柱形容器中．如图，在实验中发现，水对容器底部的压强（单位：）与容器底面积（单位：）成反比例函数关系． (1)把一定质量的水放入底面积为的容器时，压强是，求压强关于底面积的函数关系式； (2)在（1）的条件下，实验小组计划更换不同规格的同类型容器，底面积的调节取值范围是，请结合实验数据计算此时水对容器底部的压强的取值范围． 22．某水果批发商，对一种特色水果先后进行次销售，已知该水果每吨成本为万元，设第x次销售量为吨，每吨售价万元． 若第次销售水果吨，以后每增加一次销售，水果就少卖出吨； 若第次~第次销售中与成一次函数关系，第次~第次销售中与满足． 经过统计，得到如下数据： （次） （万元） (1)求与之间的函数关系式； (2)当每吨售价为万元时，求的值； (3)在这次销售中，哪一次销售获得的利润最大，最大利润是多少？ 23．在学校开展的红领巾爱心义卖活动中，某小组计划售卖自制的黑糖奶茶．他们采购了一定质量的黑糖，加入适量清水后熬煮糖浆，黑糖总质量不变的情况下，糖浆浓度（）与糖浆总体积（）成反比例关系，其中与的对应值如下表： x（L） 2 2.5 3 4 y（） 750 600 500 375 (1)求关于的函数表达式； (2)为保证奶茶风味，熬煮时要控制加水量，若熬制出的糖浆总体积最多为，则糖浆浓度至少是多少？ (3)该小组熬制出糖浆，试喝后发现甜度偏高（试喝损耗忽略不计），于是加水稀释至，稀释后糖浆浓度比原来降低了，求的值． 24．数学应用：电子托盘秤工作原理． 素材1：图1为某款电子托盘秤，图2为其对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过所称物体质量调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示物体质量．电流与总电阻（单位：）之间的关系式是：，已知． 素材2：可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间的关系如图3所示，当放置物体质量为时，电流表显示为． (1)当放置物体质量为时，求电阻的值． (2)电源两端的电压保持不变，求电源两端的电压． (3)为保证电子秤电路安全，现将电流范围设定为（单位：），请直接写出该电子秤所称物品质量的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】根据路程、速度、时间的关系得到与的函数关系式，再结合时间的取值范围，求出平均速度的取值范围，最后对比选项即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴． ∵时间的范围为， ∴． 解得， ∴该同学的平均速度可以是米/秒． 2．D 【分析】本题主要考查了反比例函数在其他学科的应用．根据题意电流与电阻成反比例关系，先求出定值电压，再分别计算不同电流对应的电阻，最后计算电阻的减少量． 【详解】设电流与电阻的反比例函数关系为，其中为定值电压． 当时，， ，即反比例函数为， 当时，， 当时，， 电阻减小的值为． 故选． 3．C 【分析】根据p与S的反比例关系设出表达式，先求出定值压力，再根据调整后的压强计算接触面积即可． 【详解】解：设压强与受力面积的反比例函数关系为，其中为不变的压力， ∵当 时，， ∴， 压强减小后，新的压强为：， 将和代入得： 4．D 【分析】根据题意可得平均每人分到的粮食数量y是分摊人数x的反比例函数，再结合反比例函数的性质解答即可． 【详解】解：∵当物资总量一定时，分摊的人数越多，平均每人分到的数量越少， ∴平均每人分到的粮食数量y是分摊人数x的反比例函数，当分摊人数减少时，平均每人分到粮食的数量增加，故A、B选项正确，不符合题意； 设该函数解析式为， ∵当时，， ∴， ∴该函数解析式为，这批粮食总量有600千克，故D选项错误，符合题意； 当时，，即当时，平均每人分到粮食12千克，故C选项正确，不符合题意； 5．A 【分析】根据y随x的变化趋势确定比例系数的取值范围，再匹配选项得到答案． 【详解】解：∵x是设定温度，故，又x增大时y随之减小，对于反比例函数，当时，y随x增大而减小. 本题中比例系数， ∴， 解得， 选项中只有，符合要求． 6．A 【分析】根据图象上的点坐标利用待定系数法求出反比例函数解析式，再根据列出不等式求解即可． 【详解】解：设反比例函数解析式为， 由图象可知，函数图象经过点 ， ∴， ∴反比例函数解析式为 ， ∵配制一副度数小于200度的近视眼镜， ∴，即 ， ∵， ∴． 7．A 【分析】根据甲、丙两点恰好在反比例函数的图象上可得，设乙对应的点为，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，设与反比例函数图象相交于点，过点作轴于点，可得 ，进而即可判断求解． 【详解】解：根据题意可知，氯化钠的质量为， ∵甲、丙两点恰好在反比例函数的图象上， ∴甲、丙两瓶盐水中氯化钠的质量相同，即 ， 如图，设乙对应的点为，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，设与反比例函数图象相交于点，过点作轴于点，则 ， ∴大小关系为． 8．C 【分析】根据反比例函数中，越小，图象越接近坐标轴，据此即可判断． 【详解】解：由得， 根据图象可知，乙，丁在同一条反比例函数上，甲在较远的反比例函数图象上，丙在较近的反比例函数图象上， 则丙所在反比例函数中的最小． 9．C 【分析】根据题意推出动力与动力臂为反比例函数关系，结合反比例函数的性质逐一判断选项即可． 【详解】解：设（），由题意得：， ∴，即，是关于的反比例函数． ∵符合反比例函数定义，∴A选项正确． ∵，反比例函数随增大而减小，∴越长越小，B选项正确． 举例验证C选项：设，当时，；增加变为时，，减少量为；再增加变为时，，减少量约为，减少值不是固定值，因此C选项错误． 由反比例函数性质可知，增大时减小，即动力臂增大，动力明显减小，因此D选项正确． 10．B 【分析】本题利用反比例函数的性质求解，根据密度与溢出体积成反比例得到定值（即金属质量），再计算B金属的密度，对照表格得到结果． 【详解】解：设金属密度为，溢出的水的体积为 ， ∵金属的密度与溢出的水的体积成反比例，且A，B金属质量相同， ∴（ 为定值，即金属质量），且 将A金属数据代入得：，， ∴ 对B金属，， ∴. 对照表格可知，密度为的金属是银，因此B种金属为银． 11． 【分析】根据相互啮合齿轮每分钟转过的总齿数相等，建立与的等量关系，整理后即可得到关于的函数表达式． 【详解】解：大齿轮每分钟转过的总齿数为：， 小齿轮每分钟转过的总齿数为， 根据题意得：， 整理得， 由齿数的实际意义可知， 因此，关于的函数表达式为． 12．50 【详解】解：由题意，将代入得：， 即他的视野为． 13． 【分析】先根据药物燃烧阶段（）的条件，用待定系数法求出正比例函数解析式；再根据药物燃烧后阶段（）的条件，求出反比例函数解析式；最后令含药量，代入反比例函数求解，得到学生可以回到教室的最少时间． 【详解】解：药物燃烧时，，关于的函数是正比例函数，设， 代入得， 解得， ∴； 药物燃烧完后，，关于的函数是反比例函数， 设， 代入得， 解得， ∴； 药物燃烧时，；药物燃烧完后，， 令中，即， 结合，解得， ∴从消毒开始，至少需要分钟后学生才能回到教室． 14．500 【分析】根据单个微生物平均获得的营养单位数与微生物数量成反比例关系，设出反比例函数解析式，利用已知条件求出营养总量即比例系数，再根据单个微生物平均至少获得个营养单位的条件，求解微生物数量的最大值． 【详解】解：与成反比例关系， 设． 把，代入解析式得：， 解得， 因此函数解析式为． 根据题意得， 即， 为微生物数量， ，不等式两边同乘得， 解得． 15． 【分析】利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再根据 列出不等式求出的取值范围即可求解． 【详解】解：设反比例函数解析式为，把，代入得， ， ∴， ∴反比例函数解析式为， 由题意得， ∴ ， 解得 ， ∴潜水深度最大为米． 16．3（答案不唯一） 【分析】根据反比例函数的性质，得到反比例函数的比例系数大于0，列出关于的不等式，求解得到的取值范围，任取范围内一个值即可． 【详解】解：对于反比例函数，当且时，随的增大而减小． 由题意得反比例函数的比例系数，因此可得不等式 移项得 系数化为得 任取一个满足条件的即可，例如． 17． 【分析】根据与成反比例关系设出函数解析式，利用已知条件求出待定系数得到完整函数解析式，再代入所求充电功率计算得到对应充电时间． 【详解】解：设与的函数解析式为 把，代入解析式得， 解得 因此函数解析式为 把代入解析式得． 18． 【分析】先判断出深度与密度之间具有反比例函数关系，然后写出函数关系式，最后把代入计算即可. 【详解】解：∵，，，，，， ∴深度（单位：）与液体的密度（单位：）之间具有反比例函数关系， ∴， ∴当时，， 即该密度计浸入牛奶的深度为. 19．(1) (2)至少需要完成运送工作 【分析】（1）由每小时运送的垃圾质量和总量列出函数关系即可； （2）结合（1）的解析式结合函数性质解答. 【详解】（1）解：由题意可得：每小时运送的垃圾质量关于完成任务所需的时间的函数表达式为：； （2）解：令，则， 解得， 根据反比例函数的性质，当时， 随 的增大而减小， 因此平均每小时共运送垃圾不超过时，至少需要完成运送工作. 20．(1)； (2)弦长、的长度分别为和． 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据，列出方程进行求解即可. 【详解】（1）解：设． 时，， ． 解得． 与的函数关系式为． （2） 解：∵弦长、，对应频率、，且， ，． ， ． 解得，． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：弦长、的长度分别为和． 21．(1) (2) 【分析】（1）由待定系数法进行求解即可； （2）由反比例函数的性质，算出临界值，即可得出对应的取值范围； 【详解】（1）解：由题可知，设（）， 当时，，代入得， ∴， ∴． （2）解：已知且， ∵， ∴在第一象限内，随的增大而减小， 当时，； 当时，； ∴． 22．(1) (2) (3)第次获得的利润最大，最大利润是万元 【分析】（1）根据“第一次销售水果为吨，然后每一次总比前一次销售减少吨”即可列出与之间的函数表达式； （2）根据待定系数法求出当，时的函数关系系，再求出即可； （3）设第次销售获得利润为万元，分类求出当时，当时与的函数关系式，再分别求出最大值，进行比较，问题得解． 【详解】（1）解：由题意可得． （2）解：当时， 设， ∴， 解得： ； 当时，， 解得：（舍）， 当时，， 代入， 得 解得， ， 当时，， 解得：． （3）解：设第次销售获得利润为万元， 当时，， ， ，其开口向下，对称轴为， 当时，的值最大为（万元）； 当时，， 是反比例函数，当时，函数图像在第一象限，函数随着的增大而减小， ∴当时，取最大值，最大值为（万元）， ， 第次获得的利润最大，最大利润是万元． 23．(1) (2) (3) 【分析】（1）设关于的函数表达式为，代入，，求得，即可求解； （2）当时，求得； （3）根据题意可列方程，，解方程即可求得的值． 【详解】（1）解：∵糖浆浓度与糖浆总体积成反比例关系， ∴设关于的函数表达式为， 当时，， ∴， ∴关于的函数表达式为； （2）解：，， ∴当糖浆总体积最多为，则糖浆浓度至少是； （3）解，由题意得，， ， ， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ∴的值为． 24．(1) (2) (3)最大值为 【分析】（1）待定系数法先求出函数解析式，然后将，代入求值即可； （2）根据公式，代入求值即可； （3）根据一次函数和反比例函数的增减性进行求解即可． 【详解】（1）解：由图3可知，可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间的关系为一次函数关系，设， 把，代入解析式得：， 解得， ∴， 当时，； （2）解：设电流与总电阻（单位：）的函数解析式为， 由（1）知，， 代入解析式，可得：， 解得：； （3）解：由（2）知电流与总电阻（单位：）的函数解析式为， ∴随的增大而减小， ∵， ∴当时，取得最大值，且最大值为， 此时取得最大值为； 当时，取得最小值，最小值为， 此时取得最小值为， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当取得最小值2时，取得最大值， 把代入得：， 解得：， 所以该电子秤所称物品质量的最大值为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $