4.1 导数与积分-【备战高考】备战2027高考数学母题题源同步练

第四章 导数及其应用 §4.1导数与积分 考纲·题型解读 1.了解导数概念的实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点的导数的定义和导数的几何 意义：理解导函数的概念.能结合导数的几何意义及物理意义解决相关的实际问题，提高运算能力及解决实际问题的能力， 2.熟记基本初等函数的导数公式；掌提两个函数的和、差、积、商的求导法则；了解复合函数的求导法则，会将一个函数的复 合过程进行分解或将几个函数进行复合.掌握复合函数的求导法则，并会用法则解决一些简单问题. 3.了解定积分的基本思想，了解定积分的概念：了解微积分基本定理的含义会用牛-莱公式求被积函数是简单的暴函数， 正、余弦函数，指数函数的定积分. 4.本节知识在高考中属于重点考查内容，具体考查时往往体现为求曲线的切线方程、切线斜率等。 五年高考母题题源揭秘 题源1导数的有关概念 解题模型 (1)对于函数y=f(x),如果自变量x在x0处有增量 C △x,那么函数y相应地有增量△y=f(x。十△x)一f(zo). [解析]当五角星匀速地升出水 比值Ay就叫做函数y=f(x)在x。到xo十△x之间的 面，五角星露出水面的面积S(t)单调 △x 递增，则S'(t)>0,导函数的图象要在 平均变化率，即Ay=f(x十△x)-f() x轴上方，排除B;当露出部分到达图 △x △x 中的B点到C点之间时，S(t)增长速 如果当dr+0时，二有极限，我们珑说画数y=f) 度变缓，S'(t)图象要下降，排除C:当 露出部分在B点上下一瞬间时，S(t) 在点x。处可导，并把这个极限叫做∫(x)在点x。处的导 突然变大，此时在B点处的S'(t)不 数（或变化率），记作f'(xo)或y'x=0,即 存在，排除D,而A符合条件，故选A. △y=lim )imin f(x。+△x)-f(xo) △x 题源2导数的运算 (2)用导数的定义求导数的步骤： ①计算函数的增量△y=f(x十△x)一f(x): 解题模型 ②计算函数的增量△y与自变量增量△x的比值Ay (1)常见函数的导数： ③计算上迷增量的比值当△x0时的极限 ①C'=0(C为常数)： ②(xm)'=mzm-1(m∈Q)； [真题1]如图，一个正五角星薄片 ③(sinx)/=cos.x; (其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面， ④(cosx)'=-sinx; 记t时刻五角星露出水面部分的图形面 ⑤(er)'=e; 积为S(t)(S(0)=0),则导函数y=S(t) ⑥(a')'=a"lna; 的图象大致为 ⑦nxy=1: 11 ®(log.xy=xin=zlog.e (2)两个函数的四则运算的导数： 若u(x),u(x)的导数都存在，则①(u士)'=u'士'； ·56· A.y=2x-1 B.y=x ②u·u)y=u'u+un':③(“y=uo-u -(0≠0). C.y=3x-2 D.y=-2x+3 v [解析]本题主要考查导数的几何意义、曲线的切线方程、 (3)复合函数求导： 函数的相关性质和复合函数的求导，结构比较新颖，综合性较强， ①设u=g(x)在点x处可导，y=f(u)在点u=g(x) 在f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8中，令x=1, 处可导，则复合函数f[g(x)门在点x处可导，且f'(x)= 则f(1)=2f(1)-1+8-8,f(1)=1. f'(u)·g'(x),即y'=y'。·x. 在f(x)=2f(2一x)一x2+8x-8两边对x求导数得， ②运用复合函数求导法则应注意的几，点： f'(x)=-2f(2-x)-2x+8. ,利用复合函数求导法则求导，要把中间变量换成 于是f'(1)=-2f'(1)-2+8,f'(1)=2.选A. 自变量的函数，层层剥皮： ⅱ·要分清每一步的求导是哪个变量对哪个变量求 题源3 导数的几何意义 导，不能混淆，一直计算到最后 解题模型 [宜题2】(2021·湖北已知函数f(x)=f'(冬)osr十 (1)设函数y=f(x)在点x。处可导，那么它在该点的 sinx,则f(不)的值为 导数等于函数所表示的曲线在相应点M(xo,y。)处的切线 的斜率，过点M的切线方程为：yy=∫'(xo)(x一xo). [解析]“f'(x)=-∫（子）sinx+cos (2)设s=s(t)是位移函数，则s'(t。)表示物体在t=t。 时刻的瞬时速度， f(宁)=-f(受)sm年+cos得f(子)=厄-1… (3)设0=)(t)是速度函数，则0'(t。)表示物体在t= t。时刻的加速度. 则fx)=6巨-1》cosx十sir,f(宁)=1.对号数的理解及运用 【注意】求函数y=f(x)过点(x。,y)的切线方程 是本题的关键. 时，一定要注意点(x。yo)是否在y=f(x)图象上. [真题3](2021·陕西)设曲线y=x+1(n∈N”)在点 (1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xm,令am=lgxm,则a1 [真题] x (2022·全国)曲线)y十2在点(-1，一1)处的 十a2十…十ag的值为 [解析]本题主要考查导数的几何意义、直线方程，数列求 切线方程为 和以及对数的有关运算，其中判断点在曲线上的切线方程和对 A.y=2x+1 B.y=2x-1 数法则的逆用是简化运算的切入，点.求导数，y|x=1=n十1，所求 C.y=-2x-3 D.y=-2x-2 ☑线为：y=(m+1Dx一，令y=0,确定工，=中：由对数运乳 [解桥]由y一千2得=是=品 ,（x+2)2(x+2),所以 法则可知a1十a2十ag十…十a=lg(x1·x2·x3·…·xg)= 在，点（一1，一1）处切线的斜率k=y'|x=一1=2， 1 由，点斜式方程，得切线方程为y十1=2(x十1)，即y=2x十 1g100=-2. 1,故选A. [真题4](2021·全国I)已知直线y=x+1与曲线y= [真题8](2020·全国Ⅱ)设曲线y=a.x在点(1，a)处的 ln(x十a)相切，则a的值为 ( 切线与直线2x一y-6=0平行，则a等于 ( A.1 B.2 C.-1 D.-2 A.1 B. c- D.1 1 [解析]y=ln(x+a),y'= 十a,设切点为P(xo),k [解析]，y'=2ax,.当x=1时，由=y1x=1=2a=2, 1 =1= ①，xo+1=ln(xo+a)②，由①得：xo+a=1代入② 可得a=1,故应选A. xo十a [真题](2022·辽宁)已知点P在曲线y=。十上，a 4 得：x。=一1，故Q=2,选B.本题属于中档题，考查导数的几何意 义、切线的参数值」 为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是() [真题5](2022·山东)观察(x2)′=2x,(x‘)/=4x3, (cosx)'=一sinx,由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x) a] 贤) 满足f(-x)=f(x),记g(x)为f(x)的导函数，则g(-x)等于 ( c(臣引 D臣 A.f(z) B.-f(x) C.g(x) D.-g(z) [解析]y= 4e 4e (e+1)2= e2"+2c+7设t=c∈(0， [解析]观察可知，偶函数f(x)的导函数g(x)都是奇函 4 数，所以g(-x)=-g(x),故选D. +0).则y'=一2+2+1 [真题6](2021·安微)已知函数f(x)在R上满足f(x) （+)+2 +>≥2 =2f(2-x)一x2+8x-8,则曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的 切线方程是 () y∈[-1,0)a∈[3 4,元)，选D. ·57 1 (I)求m的值； [真题10](2020·江苏)设直线y=2x+6是曲线y= (Ⅱ)若斜率为一5的直线是曲线y=f(x)的切线，求此直 lnx(x>0)的一条切线，则实数b的值为 线方程 解析]由已如条件可得=y=2/=士-子·得切 [解析](1)f'(x)=3x2+2m.x-m=(x+m)(3x-m) 点的横坐标x=2,切点坐标为(2，ln2),由点(2，ln2)在切线y= =0,则x=一m或x=3. 2x+b上可得6=1n2- 1 ×2=ln2-1. 当x变化时，f(x)与f'(x)的变化情况如下表： 2 [真题11](2021·湖南)若函数y=f(x)的导函数在区 -m 间[a,b]上是增函数，则函数y=f(.x)在区间[a,b]上的图象可 f'(x) + 0 0 能是 ( f(a) 极大值 极小值 从而可知，当x=一m时，函数f(x)取得极大值9，即 f(-m）=-m3+m3+m3十1=9，，.m=2. (Ⅱ)由(I)知，f(x)=x3十2x2-4x+1,依题意知f'(x) =3x2+4x-4=-5, ,x=一1或x=一 3 27 所以切线方程为y一6=一5(x十1)， 68 [解析]本题考查了导数的意义，属于基础知识、基本运算 或y27 -+) 的考查，由导数是切线的斜率知，即∫(x)函数图象上的切线的 即5.x+y-1=0,或135x+27y-23=0. 斜率依次增大，B选项中曲线上从左到右的点的切线斜率先大 [真题14](2021·全国1)已知函数f(x)=x‘-3x2+6. 后小，C选项斜率是一常数，D项斜率先增然后又减，只有A项 (I)讨论f(.x)的单调性： 的曲线上从左到右的，点的切线斜率是依次增大的选A. (Ⅱ)设点P在曲线y=f(x)上，若该曲线在点P处的切线 [真题12](2020·福建)已知函数y=f(x),y=g(x)的 1通过坐标原点，求1的方程. 导函数的图象如图，那么y=∫(x),y=g(x)的图象可能是 [解析]（1)f'(x)=4红-6x=4x(x十5)( 2)(x W6、 2 ( y y=8(x) 当x∈(-0， 和∈0 )时，f'(x)<0: 2 2 y=f(x) 当x∈(-6。 20)和x三《g,士)时(x)0 x 周光，)准区网-，一鸟0 )是减函数， ty=f(x) y=8(x) f(x)在区间(- 6 x =f(x) ,0)和(6 ,十∞)是增函数 (Ⅱ)设点P的坐标为(x0,f(xo),由1过原点知，l的方程 o B D 为y=f(xo).x. [解析]本题考查导函数的几何意义，函数在某点的导数 因此f(xo)=xof'(xo), 表示对应的曲线在该点的切线斜率.由图象，当x∈(0，十○)时， 即x8-3.x8+6-xo(4x8-6xo)）=0, y=f(x),y=g(x)的导函数均大于0，所以y=f(x),y=g(x) 整理得(x8十1)(x一2)=0. 的图象在x∈(0，十©)单调递增，四个选项均符合.又当x 解得x0=一√2或x。=√2. (0,十∞)时y=f(x)的导函数单调递减，而y=g(x)的导函数 因此切线1的方程为y=一2√厄x或y=2W2x 单调递增，所以随x的增大，y=∫(x)的图象坡度越来越平，而 [真题15](2022·重庆)已知函数f(x)=-+n(x十1) y=g(x)的图象坡度越来越陡，故选D,本题较深入地考查了原 x十a 函数与导函数的本质关系，是一道不可多得的好题， 其中实数a≠-1. （I)若a=2,求曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线 题源4导数几何意义的综合运用 方程： [真题13](2020·湖北)已知函数f(x)=x3+m.x2 (Ⅱ)若f(x)在x=1处取得极值，试讨论f(x)的单调性。 mx十1(m为常数，且m>0)有极大值9. [解析](I)(z)=+a-（x-D+1 _a+1 (x+a)2 z+1(x+a)2 ·58· 1 .两条曲线交点的坐标为(e2,e). x+1 切线的斜率为k=f(e)=20 1 2+1+1=7 当a=2时.f0)=0+2)+0干，而f0)= 1 2, 1 因此曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y ·切线的方程为y-c=2。x一e), （）=7x-0.学7z-40-2=0 7 (2)由条件知h(.x)=√E-alnx(x>0), 1 :h'(z)=1-a=E-2a (Ⅱ)因为a≠-1，由(I)知f'(1)= a+1 1+a)+1+ 2√Ex 2x 11 ①当a>0时，令h'(x)=0,解得x=4a2, a十十2，又因为f()在x=1处取得极值，所以f(1)=0. ∴当0<x<4a2时，h'(x)<0,h(x)在(0,4a2)上递减 即1 1 当x>4a2时，h'(x)>0,h(x)在(4a2,十o∞)上递增. ?a十1+2=0，解得a=-3. x=4a是h(x)在(0，十©∞)上的唯一极值点，且是极小 光时1e)-要号+ae+1.共定义线为(-1,3U8,+ 值，点，从而也是h(x)的最小值，点， ∴.最小值e(a)=h(4a2)=2a-aln4a=2a(1-ln2a). /0) -2 @当≤0时，'(z)=丘二20>0，h(x)在(0，十0)上递 0得x1=1,x2=7,当-1<x<1或x>7时，f'(.x)>0;当1<x 增，无最小值. <7且x≠3时，f'(x)<0.由以上讨论知，f(x)在区间(-1,1]， 故h(x)的最小值p(a)的解析式为9(a)=2a(1一ln2a)(a [7,十∞)上是增函数，在区间[1,3)，(3,7]上是减函数. >0). [真题16](2022·陕西)已知函数f(x)=√元，g(x)= (3)由(2)知p'(a)=-2ln2a, alnx,a∈R. 对任意的a>0,b≥>0， (1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交，且在交点处有 g'(a)+g'b)__2n2a+21n2b=-n4ab, 相同的切线求a的值及该切线的方程； 2 ① 2 (2)设函数h(x)=f(x)一g(x),当h(x)存在最小值时，求 其最小值g(a)的解析式； (告）=-2加.告）=-ha+6≤-hao,@ (3)对(2)中的9(a)和任意的a>0,b>0,证明：g Aab -ln4ab,③ a+by s9'(a)+g'(b) 2 2 a+b 1 [解析](1)f'(x)= =,g'(x)=4(x>0), 2√ [√E=alnx, e 由已知得 1 a,解得a=x=e, 五年高考母题原型训练 (★代表高考出现的频次) 题源1导数的有关概念（★★★★） 和z(如图所示)那么对于图中给定的t。和t1,下列判断中一 定正确的是 1.(2020·北京)如图，函数f(x)的图象是折线段ABC,其 中A,B,C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f(f(0)=_； v(t) f(1+△.x)-f(1) V甲 lim .(用数字作答) △r*0 △x 0 to t A.在t。时刻，两车的位置相同 B.t。时刻后，乙车在甲车前面 C.在t1时刻，甲车在乙车前面 01234 56 D.t1时刻后，甲车在乙车后面 2.(2021·广东)已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿 同一路线（假定为直线）行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为 ·59 题源2导数的运算（★★★★★） C.y=2x-2 D.y=-2x+2 02021·辽宁)曲线》，在点1,1)处的切线方在 3.2019·全国1)曲线y=子+x在点(，)处的切 () 线与坐标轴围成的三角形面积为 A.y=z-2 A.9 1 c R号 B.y=-3x+2 C.y=2x-3 4.(2020·福建)函数f(x)=cosx(x∈R)的图象按向量 D.y=-2.x+1 (m,0)平移后，得到函数y=一f'(x)的图象，则m的值可以为 11.(2019·浙江)设f'(x)是函数f(x)的导函数，将y= ( f(x)和y='(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正 确的是 A.2 B.π C.-π D. 5.(2022·江西)若函数f(x)=a.x十bx2十c满足f'(1)= 2,则'（一1）等于 A.-1 B.-2 C.2 D.0 6.(2020·全国I)设曲线y=e在点(0,1)处的切线与直 线x+2y+1=0垂直，则a= 7.(2018·全国I)设函数f(x)=cos(W3x+p)(0<9<π). 若f(x)+f'(x)是奇函数，则9= 8.(2020·江苏)请先阅读：在等式cos2x=2cosx一1(x∈ R)的两边对x求导(cos2x)'=(2cosx-1)'. 由求导法则得(-sin2x)·2=4cosx·(-sinz),化简后得 等式sin2x=2 sinccose. 12.(2020·福建)如果函数y=f(x)的图象如下图，那么导 (I)利用上述想法（或者其他方法），试由等式(1十x)”=C” 函数y=f'(x)的图象可能是 +Cmx+C%x2+…十C11x”-1十Cx"(x∈R,整数n≥2)证明：n [(1+x)-1-1]=kCx- k= (Ⅱ)对于整数n≥3，求证： (1)2(-1)kC=0; k=1 (i)(-1)k2C=0: 2c-2 n+1 13.(2019·浙江)曲线y=x3一2x2一4x+2在点(1，一3) 处的切线方程是 14.(2018·北京)过原点作曲线y=e的切线，则切点的坐 标为 ,切线的斜率为 15.(2021·宁海)曲线y=xe+2x+1在点(0,1)处的切 线方程为 16.(2021·江苏)在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线 题源3导数的几何意义（★★★★） C:y=x3-10.x+3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处 9.(2022·全国)曲线y=x3-2x十1在点(1,0)处的切线 的切线的斜率为2，则点P的坐标为 方程为 17.(2021·北京)设f(x)是偶函数.若曲线y=f(x)在点 A.y=x-1 B.y=-x+1 (1,f(1)处的切线的斜率为1，则该曲线在点（一1，f(一1）)处 ·60· 的切线的斜率为 题源4导数几何意义的综合应用（★★★★★） 18.(2022·北京)设函数f(c)=ln1+x)-x+ +2x(k≥0. 20.(2019·天津)已知函数x)=2aa+(x∈R),其 x2十1 (I)当k=2时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线 中a∈R. 方程； (I)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(2，f(2)处的切线 (Ⅱ)求f(x)的单调区间. 方程： (Ⅱ)当a≠0时，求函数f(x)的单调区间与极值. 21.(2021·天津)已知函数f(x)=(x2十a.x-2a+3a)e 19.(2018·重庆)设函数f(x)=x3-3a.x2+3b.x的图象与 (x∈R),其中a∈R. 直线12x+y-1=0相切于点(1，-11). (I)当a=0时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线 (I)求a、b的值； 的斜率； (Ⅱ)讨论函数f(x)的单调性. ()当a≠号时，求函数)的单阔区间与极值 2022一2023高考题源拓展测试 未来高考还会这样考， (测试时间：90分钟总分：100分) 一、选择题（本题包括8小题，每小题2.5分，共20分。每小题 4.(▣2)已知f(x)=x+2xf'(1),则f'(0)等于( 只有一个选项符合题意) A.0 B.-4C.-2 D.2 5.(G2,3)若曲线f(x)=x‘一x在点P处的切线平行于直 1.(G2,3)曲线y=2x在点（1,1)处的切线方程为 线3.x一y=0,则点P的坐标为 (） ( A.(1,0) B.(1,5) A.x-y-2=0 B.x+y-2=0 C.(1,-3) D.(-1,2) C.x+4y-5=0 D.x-4y-5=0 6.(了2.3)曲线y=f(x)在点(xo,f(x。)处的切线方程为 2.(了2)下列求导数运算正确的是 ( 3x十y+3=0,则 () A.(x+2y=1+ 1 B.(log:)-zin2 1 A.f'(.x)>0 B.f'(xo)<0 C.f'(x)=0 D.f'(x)不存在 C.(3)=3*log;e D.(z'cosz)'=-2x sinz 7.(⑦2.3)f(x)=x3+x-2在点P。处的切线平行于直线 3.(2.3)已知定义在R上的函数y=f(x)在x=2处的切 y=4x一1，则P。的坐标为 线方程是y=一x+6,则f(2)+f'(2)等于 A.(1,0) B.(2,8) A.2 B.2 C.3 D.0 C.(1,0)或(-1，-4) D.(2,8)或(-1，一4) ·61 8.(3.0设函数2)=名sn0+5xcos0,其中0eR 16.(宁4)已知函数f(x)一十6的图象在点M(一1，f(一1) 为参数，那么'(1)的最大值是 处的切线方程为x十2y十5=0.求： A.1 B.2 C.3 D.4 (1)函数y=f(x)的解析式； 二、填空题（本题包括4小题，每小题5分，共20分） (2)函数y=f(x)的单调区间. ,.(08)由一条曲线)=（其中≥0与直线y=1y=2 以及y轴所围成的曲边梯形的面积是 10.(G3)曲线y=x3在点(a,a3)(a≠0)处的切线与x轴， 直线=a所西成的三角形的面积为行，则a= I1.(3)函数f(x)=lnx的图象在(e,f(e)处的切线方 程是 12.(G2.3)设a∈R,函数f(x)=e+a·e-r的导函数为 3 奇函数，若曲线y=f(x)的一条切线的斜率为？，则切点的横 坐标为 三、解答题（本题包括5小题，每小题12分，共60分） 13.(心2)求下列函数的导数. (1)y=x·tanx; (2)y=(x+1)(x+2)(x+3). 17.(g4)已知函数f(x)=2√x+I(x>-1),曲线y= f(x)在点P(xo,f(x)处的切线l分别交x轴和y轴于A、B 两点，O为坐标原点。 (1)求x。=1时切线1的方程： (2)若P点为- ,(223 ,求△AOB的面积. 33 14.(23)已知曲线y=x2-1与y=3-x8在x=x。处 的切线互相垂直，求x。的值. 15.(☐3.4)有一个长度为5m的梯于贴靠在笔直的墙上，假 设其下端沿地板以3m/s速度离开墙脚滑动，求当其下端离开墙 脚1.4m时，梯于上端下滑的速度. ·62·(2)设甲方净收入为0元，则=st一0.002t. 将t 1000 代人上式，得：0=1000 2×1000 又令 0' 1000 8×10003 + =1000(8000-s) s ’=0,得s=20 当s<20时，v'>0:当s>20时，0<0，所以s= 20时，v取得最大值. 因此甲方向乙方要求赔付价格s=20(元/吨) 时，获最大净收入 15.解：(1)每套福娃所需成本费用为 P 1000+5.x+10x 2 702x+100+5 2√/100+5=25. 当且仅当0-100时取等号，即x=100时，每 套福娃所需成本费用最少为25元 (2)利润为Q-P=(a+)-(（00+5+局) (-)r+a-50-100. 5-a 150, 由题意可得 →a=25,b=30. +g 30, 16.解：(1)前n天注入水库的总水量为 5000√n(n+24)立方米，并泄水4000n立方米， 所以第n天水库的容水量将达到80000+5000· √n(n+24)-4000n(n∈N',n≤10). (2)设第R天水库的水量超过它的最大容水量， 即f(R)≥128000，即80000+5000√R(R+24) 4000R≥128000. 化简可得，5WR(R+24)≥4R+48, 两边平方并整理可得：R+24R-256≥0，即 (R+32)·(R-8)≥0→R≥8，即第8天发生危险. 17.解：(1)当0<x≤10时，f(x)=-0.1(x 13)2+59.9,故f(.x)递增，最大值为f(10)=59. 当16<x≤30时，f(x)=-3x+107,故f(x) 递减，f(x)<-3×16+107=59. ·2 因此开讲后10分钟学生达到最强接受能力，并 维持6分钟. (2)f(5)=53.5,f(20)=47<53.5,故开讲后5 分钟比开讲后20分钟的接受能力强 第四章导数及其应用 §4.1导数与积分 五年高考母题原型训练 1.2-2【解析】f[f(0)]=f(4)=2, +△)①-1).由因解得号+￥ lim △x =1, .2x+y=4,.y=-2x+4,y′=-2=f'(1). 此题主要考查学生对导数的定义理解以及如何由图 象读取信息，属于中档题， 2.C【解析】由路程S=。v(t)dt的意义即 可产生结论，也就是“在t1时刻，甲车在乙车前面”. 3.A【解析】本小题主要考查导数的几何意 义y=2+1.y1=2,即幽线在点(，)必切 线的斜率为2 4 小切线方程为y-3=2(x-1).则切线在x轴 2 上的载距为3，在y轴上的载距为一3故所求三角 形的面积为S=弓××名=1 2X3X3=g故选A 4.A【解析】考查向量平移、函数求导.解题 关键是先将平移前后的函数名称化为一致，后利用平 移公式求解.本题也可将选项代入验证.由题意， cos(x-m)=-f'(x)=-(-sinx)=sinx.∴.m可 以取 5.B【解析】由f(x)=a.x‘十b.x2+c得f (x)=4ax3+2bx,又f'(1)=2,所以4a+2b=2,即 2a+b=1,f'(-1)=-4a-2b=-2(2a+b)=-2. 故选B. 6.2【解析】y'=aer,当x=0时，可得k= y'lz=0=a 点(0,1)处的切线与直线x十2y十1=0垂直， a=2. 7.吾 【解析】本题考查了复合函数的导数及 函数的奇偶性分析， f(z)+f(z)=cos(3x+o)-v3sin(3x+o) =2sim(后-5x-9）小 由此函教为寺画数可得后-9=x,(质∈)由 0<9<x,可得9=交 6 8.证明：(I)在等式(1十x)”=C十Cwx+Cx2 十…十Cx"1十C”x”两边求导得n(1十x)”-1= C,十2Cx+…+(n-1)Ca-1xw-2十Ciz-1 移项得n[(1十x)”-1-1门]=公kCx-.(*) k=2 (Ⅱ)（ⅰ）(*)式中，令x=一1，整理得 总(-1)C=0 所以2(-1)kC=0. k=1 (i)由(I)知n(1+x)”-1=C,+2Cx+…+ (n-1)C%x"-2+nCmx"-1,n≥3. 两边对x求导，得 n(n-1)(1十x)"-2=2C%+3·2C%x十…+n(n -1)CM"-2 在上式中令x=一1，得 0=2C%+3·2C(-1)+…+n(n-1)C%(-1)"-2, 即2k(k-1)C(-1)-1=0亦即之(-1)(k -k)C=0.① 又由(1)知，2(-1)kC=0.② 由①+②得公(-1)kC=0. k=2 (i)将等式(1+x)”=C9+CWx+Cx2+…+ C”1+Cmx”两边在[0,1]上对x积分， (1+x)"dz=(C9+C4x+C%x2+…+ C”-'x"-1+Cmx")dx. 由微积分基本定理，得 n+71+x)* 所以1 n+1 9.A【解析】由题可知，点(1,0)在曲线y= x3-2x十1上，求导可得y′=3.x2-2,所以在点(1， 0)处的切线的斜率=1，切线过点(1,0)，根据直线 的点斜式可得过点(1,0)的曲线y=x3一2x十1的切 线方程为y=x一1，故选A. 10.D【解析】本题考查导数的几何意义.y= 2 -2 二2所以y=x一2)，所以所求曲线在点 1+ ·2 (1,一1)处的切线斜率为一2，故由点斜式得所求切线 方程为y=一2x+1. 11.D【解析】由函数f(x)递增时，f'(x)> 0,函数f(x)递减时，f'(x)<0,函数f(x)取最值 时，f'(x)为0，结合图象可判得D. 12.A【解析】考查导数与函数的本质关系， 可通过函数图象的单调性判断导数的符号，本题中， 所给函数图象的单调性从左到右依次为增减增减，相 应的导数值应为正负正负，故选A.解此类问题，应牢 记导函数图象的单调性与原函数图象的单调性并无 必然联系，以免误选C. 13.5.x+y一2=0【解析】切线的斜率k= y'1z=1=-5, .在点(1，一3)处的切线方程为y十3=一5(x 1),即5.x+y-2=0. 14.(1,e)e【解析】设过原点y=e切线 方程为y=kx,切点为(xoya), yo=kzo 有y'=(e)′=e',. k=e0,解得x。= (yo=ero 1,yo=e ∴.切点为(1，e),.切线斜率为y'|x=1=e 15.y=3x+1【解析】由y′=e十xe2+2, 可得点(0,1)处的切线的斜率k=e°+0e°十2=3， 点(0,1)处的切线方程为y=3.x+1. 16.(-2,15)【解析】本题考查了导数的几 何意义，曲线方程对应的函数的导数的几何意义是曲 线上某点的切线的斜率.由y′=3x2一10=2可解得 x=士2，，切点P在第二象限内，.x=一2，由此可 得点P的坐标为（一2,15）. 17.一1【解析】本题主要考查导数与曲线在 某一点处切线的斜率的概念，属于基础知识、基本运 算的考查，取∫(x)=x2,如图，采用数形结合法，易得 该曲线在（一1，f(一1）)处的切线的斜率为一1.故应 填一1. f(x)=x (-1-1)八9(11) 18.解：(I)当k=2时，f(x)=ln(1+x)-x+ ,f)=-1+2x.由于/1)=n2f 7 3 2 所以曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程 为y-lh2=2(x-1D.即3x-2y+2h2-3=0. (Ⅱ)f'(z)=r(x+k-1) ,x∈(-1，十∞). 1+x 当k=0时，f(x)=一1+x' 所以，在区间（一1,0）上，f'(x)>0:在区间(0， +∞)上，f'(x)<0. 故f(x)的单调递增区间是（一1,0），单调递减区 间是(0，十∞). 当0<k<1时，由f()=十-D=0,得 1+x x1=0,x2 1一k>0. 所以，在区间(-1.0)和（后+）上f( >0:在区间0，)上f'x)<0. 故f(x)的单调递增区间是（一1,0）和 +)单润递减区间是(，） 当k=1时，f(x)=1十 故f(x)的单调递增区间是（一1，+∞）. 当>1时，由()=-D=0,得x 1+x =∈(-1,0=0 所以，在区间(1，。）和0，+)止f'() >0:在区间(.0）上fx<0 故f(红)的单调递增区间是（1，)和 0,十)，单调通减区间是（片小 19.解：(I)求导得f'(x)=3.x2-6ax+3b. 由于f(x)的图象与直线12x十y一1=0相切于 点(1，-11)， 所以f(1)=-11,f'(1)=-12,即 /1-3a+36=-11, 解得a=1,b=-3. 13-6a+3b=-12, (Ⅱ)由a=1,b=-3得 f'(x)=3.x2-6a.x+3b 2 =3(x2-2x-3) =3(x+1)(x-3), 令f(x)>0,解得x<-1或x>3; 又令f(x)<0,解得-1<x<3. 所以当x∈（一∞，一1）时，f(x)是增函数； 当x∈(3，十∞)时，f(x)也是增函数： 但x∈（一1,3）时，f(x)是减函数 20.解：(1)当a=1时，f(x)=2x 22+1,f(2)= 手又frx)=tD2=22 (x2+1)2 (2+1)'f' @-务 所以曲线y=f(x)在点(2，f(2)处的切线方程 为-吉-2.即6+25y-32=0 6 (1)f'(x)=2a(z+1)-2x(2ax-a+1） (x2+1)2 =-2(x-a)(ax+1) (x2+1) 由于a≠0，以下分两种情况讨论. ①当a>0时，令f'(x)=0,得到x1=- x=a,当x变化时，f'(x),f(x)的变化情况如 下表： a,a (a,十o∞) f(x) 0 0 f(x) 极小值 极大值 所以f(x)在区间 ,）a,+)内为 减函数，在区间（是心内为增函数。 函数f(x)在x1=一 工处取得极小值∫ (a)且f()-a. 函数f(x)在x2=a处取得极大值f(a),且f (a)=1. ②当a<0时，令f'(x)=0,得到x1=a,x:= 当x变化时，f'(x),f(x)的变化情况如下表： (x) 0 0 f (x) 极大值 极小值 所以f(x)在区间（一∞，a), 增函数，在区间口，） 内为减函数。 函数f(x)在x1=a处取得极大值f(a),且f (a)=1. 函数f(x)在x2=一 上处取得极小值 ( 且f(）=-a. 21.解：(I)当a=0时，f(x)=xe, f'(x)=(x2+2x)e2,故f'(1)=3e. 所以曲线y=∫(x)在点(1，f(1)处的切线的斜 率为3e. (Ⅱ)f'(x)=[x2+(a+2).x-2a2+4a]e 令f'(x)=0,解得x=-2a,或x=a-2. 由a≠号知，-2a≠a-2 以下分两种情况讨论. ①若>号则-2a<a-2 当x变化时，f'(x),f(x)的变化情况如下表： -∞，-2a 2a -2a,a- a-2Ka-2,+c∞) (x 0 0 f(x) 极大值 极小值 所以f(x)在(-∞，-2a),(a-2,+∞)内是增 函数，在（一2a,a一2）内是减函数 函数f(x)在x=-2a处取得极大值f(-2a), 且f(-2a)=3ae2a 函数f(x)在x=a-2处取得极小值f(a-2), 且f(a-2)=(4-3a)e-2. @若<号则-2>。-2 当x变化时，f'(x),f(x)的变化情况如下表： -00,a-2】 a-2a-2,-2a) -2a -2a,十0∞ f(x 0 0 f(x) 极大值 极小值 所以f(x)在(-∞，a-2),(-2a,十∞)内是增 函数，在(a-2,-2a)内是减函数. 2 函数f(x)在x=a一2处取得极大值f(a一2)， 且f(a-2)=(4-3a)e-2. 函数f(x)在x=一2a处取得极小值f(一2a), 且f(-2a)=3aea, 2012一2013高考题源拓展测试 1.B2.B3.C4.B5.A6.B7.C 8.B 9.ln210.±1 11.x-ey=0 12.ln2 13.解：(1)y=(x·tanx)'= /x·sinx/ =esinz)'·cosz-rsinz·(cosr)y cos'z =(simx+rcost）·cosz+xsin'x cosx -sinz cosc +xcos'x+zsin'z cos'x 之 2 sin2x+xcos+sin cos'x =sin2z +2x 2cos'x (2)方法一：y=(x2+3x十2)(x+3) =x3+6x2+11x+6, ∴.y'=3x2+12x+11. 方法二：y=[(x+1)(x+2)]丫(.x+3)+(.x+ 1)(x+2)(x+3) =[(x+1)'(x+2)+(x+1)(x+2)门(x+3)+ (x+1)(x+2) =(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2) =(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2) =3.x2+12x+11. 14.解：曲线y=x一1在x=x。处的切线斜率 为2xo,曲线y=3一x3在x=x。处的切线斜率为 -3x8. ,两切线相互垂直， ∴.2x0·(-3x6)=-1,.x0= 15.解：设经时间t秒梯于上端下滑s米，则s= 5一√25-9t2,当下端移开1.4m时，所用时间为t 心、 5又= 9t √/25-9t9 7 15 所以s'(t。)=9X =0.875(m/s), 7 /25-9× 15 9 即梯于上端下滑的速度为0.875m/s. 16.解：(1)由函数f(x)的图象在点M(-1, f(一1))处的切线方程为x十2y+5=0,知一1+ 2f(-1)+5=0, 即f(-1）=-2f(-1D=-2 1 f'(z)=a(x+b)-2x(ax-6) (x2+b)2 -a-6 =-2, 1+b a(1+b)+2(-a-6)1 (1+b)2 , a=2b-4, 即{a(1+b)-2(a+6)__ (1+6)9 2, 解得a=2,b=3(,b+1≠0，.b=-1舍去.) 所以所求的函数解析式是f(x)=21一6 x2+31 (2)f'(z)=-2x2+12x+6 (.x2+3)2 令-2x2+12x+6=0,解得x1=3-2√3，x2 =3+2√3， 当x<3-2√3或x>3+23时，f'(x)<0: 当3-2√3<x<3+2√3时，f'(x)>0. f(r)=2-在(-0,3-2W3)内是减函数： Γx2+3 在(3一2√3,3十2√3)内是增函数；在(3+2√3，+∞) 内是减函数. 1 17.解：(1)f'(x)= ，记yo=f(xo),过 √x+1 1 点P(xo,yo)的切线方程为y一y。= (x √x。+I 2o+2 x).即y=,+干√+T 二十 所以，当x。=1时，切线1的方程为x一√2y+3 =0. (2)当x=0时，y=x+2 ；当y=0时，x= √x。+I 一x0-2. 1 20+2 (x6+2)2 S△AoB= ·(x0+2) 2 √x+1 2√x0+1 .S△A0B= (是+ 83 91 2 3 §4.2导数的应用 五年高考母题原型训练 1.D【解析】f'(x)=(x-3)'e十(x 3)(e)'=(x-2)e,令f'(x)>0,解得x>2,故 选D. 2.(-1,11)【解析】本题考查了导数法求函 数的单调区间问题.由f(x)=x3一15x2一33.x十6， 可得f'(x)=3.x2-30x-33=3(x2-10x-11),令 f'(x)<0可解得-1<x<11,.函数f(x)=x3 15.x2-33x+6的单调减区间为（一1,11）. [片+） 3. 【解析】f'(x)=x'lnx+ xx)/=lx+至=lx十1，由f(x)≥0，可得1x 十1≥0，解之得x≥。，即得画数f(x)的递增区间 为[片+） 4.解：(I)因f(x)=ax2+bx+k(k>0),故 f'(z)=2ax+b, 又f(x)在x=0处取得极值，故f'(0)=0,从而 b=0. 由曲线y=f(x)在(1，f(1)处的切线与直线x +2y+1=0相互垂直可知该切线斜率为2，即f'(1) =2,有2a=2,从而a=1. e (Ⅱ)由(I)知，gx)=+6k>0), g'(x)=e（x-2x+k) (x2+k)(k>0). 令g'(x)=0,有x2-2x十k=0(k>0). (1)当△=4-4k<0,即当k>1时，g'(x)>0在 R上恒成立，故函数g(x)在R上为增函数. (2)当△=4-4k=0.即当k=1时，有g'(x)= e(x-1)2 (.x2+1)2 >0(x≠1)，从而当k=1时，g(x)在R上 为增函数， (3)当△=4-4k>0,即当0<k<1时，方程x 一2x十k=0有两个不相等实根x1=1一√1一，x2 =1+√1-k. 当x∈(-∞，1-1-k)时，g'(x)>0, 故g(x)在（一∞，1一√1一k)上为增函数； 当x∈(1-√1-k,1+√1-k)时，g'(x)<0, 故g(x)在(1一√一k,1+√一k)上为减 函数；