4.1 导数与积分 题源2 导数的运算-【备战高考】备战2027高考数学母题题源同步练

第四章 导数及其应用 §4.1导数与积分 考纲·题型解读 1.了解导数概念的实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点的导数的定义和导数的几何 意义：理解导函数的概念.能结合导数的几何意义及物理意义解决相关的实际问题，提高运算能力及解决实际问题的能力， 2.熟记基本初等函数的导数公式；掌提两个函数的和、差、积、商的求导法则；了解复合函数的求导法则，会将一个函数的复 合过程进行分解或将几个函数进行复合.掌握复合函数的求导法则，并会用法则解决一些简单问题. 3.了解定积分的基本思想，了解定积分的概念：了解微积分基本定理的含义会用牛-莱公式求被积函数是简单的暴函数， 正、余弦函数，指数函数的定积分. 4.本节知识在高考中属于重点考查内容，具体考查时往往体现为求曲线的切线方程、切线斜率等。 五年高考母题题源揭秘 题源1导数的有关概念 解题模型 (1)对于函数y=f(x),如果自变量x在x0处有增量 C △x,那么函数y相应地有增量△y=f(x。十△x)一f(zo). [解析]当五角星匀速地升出水 比值Ay就叫做函数y=f(x)在x。到xo十△x之间的 面，五角星露出水面的面积S(t)单调 △x 递增，则S'(t)>0,导函数的图象要在 平均变化率，即Ay=f(x十△x)-f() x轴上方，排除B;当露出部分到达图 △x △x 中的B点到C点之间时，S(t)增长速 如果当dr+0时，二有极限，我们珑说画数y=f) 度变缓，S'(t)图象要下降，排除C:当 露出部分在B点上下一瞬间时，S(t) 在点x。处可导，并把这个极限叫做∫(x)在点x。处的导 突然变大，此时在B点处的S'(t)不 数（或变化率），记作f'(xo)或y'x=0,即 存在，排除D,而A符合条件，故选A. △y=lim )imin f(x。+△x)-f(xo) △x 题源2导数的运算 (2)用导数的定义求导数的步骤： ①计算函数的增量△y=f(x十△x)一f(x): 解题模型 ②计算函数的增量△y与自变量增量△x的比值Ay (1)常见函数的导数： ③计算上迷增量的比值当△x0时的极限 ①C'=0(C为常数)： ②(xm)'=mzm-1(m∈Q)； [真题1]如图，一个正五角星薄片 ③(sinx)/=cos.x; (其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面， ④(cosx)'=-sinx; 记t时刻五角星露出水面部分的图形面 ⑤(er)'=e; 积为S(t)(S(0)=0),则导函数y=S(t) ⑥(a')'=a"lna; 的图象大致为 ⑦nxy=1: 11 ®(log.xy=xin=zlog.e (2)两个函数的四则运算的导数： 若u(x),u(x)的导数都存在，则①(u士)'=u'士'； ·56· A.y=2x-1 B.y=x ②u·u)y=u'u+un':③(“y=uo-u -(0≠0). C.y=3x-2 D.y=-2x+3 v [解析]本题主要考查导数的几何意义、曲线的切线方程、 (3)复合函数求导： 函数的相关性质和复合函数的求导，结构比较新颖，综合性较强， ①设u=g(x)在点x处可导，y=f(u)在点u=g(x) 在f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8中，令x=1, 处可导，则复合函数f[g(x)门在点x处可导，且f'(x)= 则f(1)=2f(1)-1+8-8,f(1)=1. f'(u)·g'(x),即y'=y'。·x. 在f(x)=2f(2一x)一x2+8x-8两边对x求导数得， ②运用复合函数求导法则应注意的几，点： f'(x)=-2f(2-x)-2x+8. ,利用复合函数求导法则求导，要把中间变量换成 于是f'(1)=-2f'(1)-2+8,f'(1)=2.选A. 自变量的函数，层层剥皮： ⅱ·要分清每一步的求导是哪个变量对哪个变量求 题源3 导数的几何意义 导，不能混淆，一直计算到最后 解题模型 [宜题2】(2021·湖北已知函数f(x)=f'(冬)osr十 (1)设函数y=f(x)在点x。处可导，那么它在该点的 sinx,则f(不)的值为 导数等于函数所表示的曲线在相应点M(xo,y。)处的切线 的斜率，过点M的切线方程为：yy=∫'(xo)(x一xo). [解析]“f'(x)=-∫（子）sinx+cos (2)设s=s(t)是位移函数，则s'(t。)表示物体在t=t。 时刻的瞬时速度， f(宁)=-f(受)sm年+cos得f(子)=厄-1… (3)设0=)(t)是速度函数，则0'(t。)表示物体在t= t。时刻的加速度. 则fx)=6巨-1》cosx十sir,f(宁)=1.对号数的理解及运用 【注意】求函数y=f(x)过点(x。,y)的切线方程 是本题的关键. 时，一定要注意点(x。yo)是否在y=f(x)图象上. [真题3](2021·陕西)设曲线y=x+1(n∈N”)在点 (1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xm,令am=lgxm,则a1 [真题] x (2022·全国)曲线)y十2在点(-1，一1)处的 十a2十…十ag的值为 [解析]本题主要考查导数的几何意义、直线方程，数列求 切线方程为 和以及对数的有关运算，其中判断点在曲线上的切线方程和对 A.y=2x+1 B.y=2x-1 数法则的逆用是简化运算的切入，点.求导数，y|x=1=n十1，所求 C.y=-2x-3 D.y=-2x-2 ☑线为：y=(m+1Dx一，令y=0,确定工，=中：由对数运乳 [解桥]由y一千2得=是=品 ,（x+2)2(x+2),所以 法则可知a1十a2十ag十…十a=lg(x1·x2·x3·…·xg)= 在，点（一1，一1）处切线的斜率k=y'|x=一1=2， 1 由，点斜式方程，得切线方程为y十1=2(x十1)，即y=2x十 1g100=-2. 1,故选A. [真题4](2021·全国I)已知直线y=x+1与曲线y= [真题8](2020·全国Ⅱ)设曲线y=a.x在点(1，a)处的 ln(x十a)相切，则a的值为 ( 切线与直线2x一y-6=0平行，则a等于 ( A.1 B.2 C.-1 D.-2 A.1 B. c- D.1 1 [解析]y=ln(x+a),y'= 十a,设切点为P(xo),k [解析]，y'=2ax,.当x=1时，由=y1x=1=2a=2, 1 =1= ①，xo+1=ln(xo+a)②，由①得：xo+a=1代入② 可得a=1,故应选A. xo十a [真题](2022·辽宁)已知点P在曲线y=。十上，a 4 得：x。=一1，故Q=2,选B.本题属于中档题，考查导数的几何意 义、切线的参数值」 为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是() [真题5](2022·山东)观察(x2)′=2x,(x‘)/=4x3, (cosx)'=一sinx,由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x) a] 贤) 满足f(-x)=f(x),记g(x)为f(x)的导函数，则g(-x)等于 ( c(臣引 D臣 A.f(z) B.-f(x) C.g(x) D.-g(z) [解析]y= 4e 4e (e+1)2= e2"+2c+7设t=c∈(0， [解析]观察可知，偶函数f(x)的导函数g(x)都是奇函 4 数，所以g(-x)=-g(x),故选D. +0).则y'=一2+2+1 [真题6](2021·安微)已知函数f(x)在R上满足f(x) （+)+2 +>≥2 =2f(2-x)一x2+8x-8,则曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的 切线方程是 () y∈[-1,0)a∈[3 4,元)，选D. ·57