4.1 导数与积分 题源3 导数的几何意义-【备战高考】备战2027高考数学母题题源同步练

②(u·uy=u'u+uu';③(“y=u'u-u -(0≠0). 02 (3)复合函数求导： ①设u=g(x)在点x处可导，y=f(u)在点u=g(x) 处可导，则复合函数f[g(x)门在点x处可导，且f'(x)= f'(u)·g'(x),即y'x=y'。·u'z. ②运用复合函数求导法则应注意的几，点： 「，利用复合函数求导法则求导，要把中间变量换成 自变量的函数，层层剥皮： ⅱ.要分清每一步的求导是哪个变量对哪个变量求 导，不能混淆，一直计算到最后。 [真题2】(2021·湖北)已知函数f(x)=f'()osx+ sinx,则f(子)的值为 [解析]：f'(x)=-f'(平)sinx+cosx, )=-'()m冬+o至得了（空）=巨-1 则f)=(巨-1Dcox十sirf(受)=1.对号数的理解及运用 是本题的关键 [真题3](2021·陕西)设曲线y=x+1(n∈N)在点 (1,l)处的切线与x轴的交点的横坐标为xm,令am=lgxm,则a1 十a2十…十ag的值为 [解析]本题主要考查导数的几何意义、直线方程、数列求 和以及对数的有关运算，其中判断，点在曲线上的切线方程和对 数法则的逆用是简化运算的切入点.求导数，y=1=n十1，所求 切线为y=(m+1)x一1，令y=0,确定2，=十由对数运第 法则可知a1十a2十ag十…十ag=lg(x1·x2·x3·…·x9）= 1 1g100 -2 [真题4](2021·全国I)已知直线y=x+1与曲线y= ln(x十a)相切，则a的值为 A.1 B.2 C.-1 D.-2 十a设切点为P(xyo),6 1 [解析]y=ln(x+a),y'= =1= 1 ①，xa+1=ln(x十a)②，由①得：xo十a=1代入② xo十a 得：xo=一1，故a=2,选B.本题属于中档题，考查导数的几何意 义、切线的参数值， [真题5](2022·山东)观察(x2)′=2x,(x)′=4x3, (cos.x)'=一sinx,由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x) 满足f(-x)=f(x),记g(x)为f(x)的导函数，则g(-x)等于 () A.f(x) B.-f(x) C.g(x) D.-g(x) [解析]观察可知，偶函数f(x)的导函数g(x)都是奇函 数，所以g(一x)=-g(x),故选D. [真题6](2021·安微)已知函数f(x)在R上满足f(x) =2f(2-x)-x2+8.x-8,则曲线y=f(.x)在点(1，f(1)处的 切线方程是 ·5 A.y=2x-1 B.y=z C.y=3x-2 D.y=-2x+3 [解析]本题主要考查导数的几何意义、曲线的切线方程、 函数的相关性质和复合函数的求导，结构比较新颖，综合性较强 在f(x)=2f(2-x)-x2+8.x-8中，令x=1, 则f(1)=2f(1)-1+8-8,f(1)=1. 在f(x)=2f(2一x)一x2+8x-8两边对x求导数得， f'(x)=-2f'(2-x)-2.x+8. 于是f'(1)=-2f'(1)-2+8,f'(1)=2.选A. 题源3导数的几何意义 解题模型 (1)设函数y=f(x)在点x。处可导，那么它在该点的 导数等于函数所表示的曲线在相应点M(xo,yo)处的切线 的斜率.过点M的切线方程为：y一y=∫'(xo)(x一xo). (2)设s=s(t)是位移函数，则s'(t。)表示物体在t=to 时刻的瞬时速度. (3)设0=(t)是速度函数，则)'(t。)表示物体在t= t。时刻的加速度. 【注意】求函数y=f(x)过点(x。,y)的切线方程 时，一定要注意点(x。yo)是否在y=f(x)图象上. [真题7刀（2022·全国)曲线y=x千2在点(-1，-1)处的 切线方程为 () A.y=2x+1 B.y=2x-1 C.y=-2x-3 D.y=-2x-2 [解折]南y千2择y=气十 2 ,x+2)2(红+2)，所以 在点（一1，一1）处切线的斜率k=y|x=一1=2， 由点斜式方程，得切线方程为y十1=2(x十1)，即y=2x十 1,故选A. [真题8](2020·全国Ⅱ)设曲线y=a.x2在点(1，a)处的 切线与直线2x一y-6=0平行，则a等于 1 A.1 b.2 c.- D.-1 [解析]，y√=2a.x,∴.当x=1时，由k=y|x=1=2a=2, 可得a=1,故应选A. [真题9](2022·过宁)已知点P在曲线y=。十上， 4 为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是() A.o B贤) c(层] n臣 [解析]y=- 4e 4e (e+1)=-e+2c+1设1=e∈(0， 4 +00),则y'=一2+2t+1 (+)+2 +>2 y∈[-1,0)a∈[x.选n [真题10](2020·江苏)设直线y=2x+6是曲线y= lnx(x>0)的一条切线，则实数b的值为 [解折]由已如条#可得=y==士-了样切 点的横坐标x=2,切，点坐标为(2，ln2),由点(2，ln2)在切线y= 2x+b上可得b=ln2- 1 ×2=ln2-1. 2 [真题11](2021·湖南)若函数y=f(x)的导函数在区 间[a,b]上是增函数，则函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象可 能是 O a D [解析]本题考查了导数的意义，属于基础知识、基本运算 的考查.由导数是切线的斜率知，即f(x)函数图象上的切线的 斜率依次增大，B选项中曲线上从左到右的点的切线斜率先大 后小，C选项斜率是一常数，D项斜率先增然后又减，只有A项 的曲线上从左到右的，点的切线斜率是依次增大的，选A [真题12](2020·福建)已知函数y=f(x),y=g(x)的 导函数的图象如图，那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是 /y=g(x) y=f(x) y=f(x) yty=g(x yty=g(x) v=g(x) y=f(x) Xo B D [解析]本题考查导函数的几何意义，函数在某点的导数 表示对应的曲线在该点的切线斜率.由图象，当x∈(0，十∞)时， y=f(x),y=g(x)的导函数均大于0，所以y=f(x),y=g（x) 的图象在x∈(0，十)单调递增，四个选项均符合.又当x∈ (0,十)时y=f(x)的导函数单调递减，而y=g(x)的导函数 单调递增，所以随x的增大，y=f(x)的图象坡度越来越平，而 y=g(x)的图象坡度越来越陡，故选D,本题较深入地考查了原 函数与导函数的本质关系，是一道不可多得的好题， 题源4导数几何意义的综合运用 [真题13](2020·湖北)已知函数f(x)=x3+m.x2 m2x十1(m为常数，且m>0)有极大值9. 5 (I)求m的值； (Ⅱ)若斜率为一5的直线是曲线y=f(x)的切线，求此直 线方程 [解析]（1)f'(x)=3x2+十2m.x-m2=(x十m)(3x-m) =0,则x=一m或x=3m. 当x变化时，f(x)与f'(x)的变化情况如下表： x 一m m.3m f'(x) 0 0 + f() 极大值 极小值 从而可知，当x=一m时，函数f(x)取得极大值9，即 f(-m）=-m3+m3+m3+1=9,.m=2. (Ⅱ)由(I)知，f(x)=x3十2x2一4x十1，依题意知f‘(x) =3x2+4x一4=-5， 1 .x=-1或x=- 3 又-1=6() 68 所以切线方程为y一6=一5(x十1)， =-(+) 即5.x+y-1=0,或135x+27y-23=0. [真题14](2021·全国1)已知函数f(x)=x‘-3x2+6. (I)讨论f(x)的单调性： (Ⅱ)设点P在曲线y=f(x)上，若该曲线在点P处的切线 1通过坐标原点，求1的方程. [解折](I)f'(红)=4x-6x=4z(x+50 2 当E(-,年Eo时f0, 当x∈(-6 0)和x∈6， ,+∞)时f'(x)>0. 因此，（在区同(，）和(0，是减画教， 2 ,0)和(6 f(x)在区间(-6 ,十0∞)是增函数. (Ⅱ)设点P的坐标为(xo,f(xo),由1过原点知，l的方程 为y=f'(x。)x. 因此f(xo)=xof'(xo), 即x。-3.x8+6-x。(4x8-6xo)=0, 整理得(x十1)(x6-2)=0. 解得xo=一√2或x。=√2】 因此切线l的方程为y=2√2x或y=2√2x [真题15](2022·重庆)已知函数f(x)=二1+1n(z十1) x十a 其中实数a≠-1. (I)若a=2,求曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线 方程： (Ⅱ)若f(x)在x=1处取得极值，试讨论f(x)的单调性. [解析](I)(x)=+a二（x1卫+1 a+1 (x十a)2 +x+1=(x+a)月