2.4 函数的图象-【备战高考】备战2027高考数学母题题源同步练

①当a=0时，h(x)=x2+|x|+1,对任意的x, 满足h(一x)=h(x),h(x)为偶函数： ②当a≠0时，h(a)=a2十1，h(-a)=a2+|a 十1，h(a）-h(-a)=-2|a≠0，故h(x)不是偶 函数： 综上可得，a=0时，h(x)为偶函数：a≠0时， (x)为非奇非偶函数. 5.解：()f4)=2 、2 7 -4”=-2m=1. (2)fx)=2-在(0，十0)上单调递减，证明 x 如下： 任取0<x1<x2,则 f)-f:)-(匠-z）厂（层-） =6-(+ 0<x1<xg,∴.x2一x1>0, -+1>0, ∴.f(x1)-f(x2)>0,.f(x1)>f(x2), 2 f(x)=二-x在(0，十∞)上单调递减. 16.解：(1)因为f(x)=x2(x>0),所以g(x)= √x(x>0). 从而f'(x)=2x.g'(x)= 所以切线l1,12的斜率分别为k1=f'(x。)= 1 2xo,k2=g(yo)= 2√y0 又y=xi(x>0),所以k:=2z。 因为11∥12，所以k1=k:.从而(2xo)=1. 1 因为x0>0,所以x0=2 所以M、N两点的坐标分别为 合)保) (2)设过O、M、N三点的圆的方程为：x2+y+ Dx十Ey十F=0.因为圆过原点，所以F=0.因为M、 N关于直线y=x对称，所以圆心在直线y=x上. 所以D=E又因为M(合，)在园上，所以D =E=一 5 12 所以过O、M、N三点的圆的方程为：x2+y 5 5 122-12y=0. §2.4函数的图象 五年高考母题原型训练 1.A【解析】本题考查对函数图象的判断，其 方法一般是结合函数的性质：定义城、值域、单调性与 奇偶性或一些特殊，点来作出正确判断；据已知函数解 析式可得∫（一x)=一f(x),即函数为奇函数，其图 象关于原点对称，从而排除D,又fr)=+= e2红-1 2>1且 ,易知当x>0时，f(x)=1+二 函数为减函数，故排除B、C,只有A项符合上述条 件，故选A. 2.D【解析】本小题主要考查数形结合思想 及函数奇偶性的判断， 设F(红)=fx)-f二2），由fx)为奇函数易 证F(x)为偶函数，所以只需先求出x∈(0，十©∞)时 的解集，当x∈(0，十∞)时，原不等式等价于f(x)一 f(-x)<0,即2f(x)<0,由函数f(x)在(0，+∞) 为增函数，且f(1)=0得f(x)<0的解集为x∈(0， 1),再由对称性得x∈（一∞，0）时的解集为x∈( 1,0).综上得原不等式的解集为x∈（一1,0）U(0,1). 故选D. 3.D【解析】反代入，当t=1时，由图象易得 满足x=一 )对称，故选D,亦可由图象直接排除 4.B【解析】画出f(x)与g(x)的图象如下： 由图可知f(x)与g(x)的交点有3个，故本题选B. Lg(x)=logx fx)=x2-4x+3 O fx)=4x-47 5,C【解析】本题考查了函数图象的知识、数 形结合的数学思想以及估算法.由2x十2x=5得2 .3 =5-2x,可知1<x1<之；由2x+log:(x-1)=5得 5 og:(x-1)=5-2x,可知2<，<2，所以3<x1+ x2<4,由选项可知选择C. 6.C【解析】本题考查的是函数与导数的基 本知识，考查学生化归与转换能力，属于容易题.根据 偶函数在关于原，点对称的区间上单调性相反，故可知 f(x)在（一2,0）上单调递减，注意到要与f(x)的单 调性不同，故所求的函数在（一2,0）上应单调递增.函 数y=x2+1在（一∞，0]上递减：函数y=|x|+1在 (一0,0]时单调递减；函数y= 2x+1x≥0 在 x3+1x<0 (-0,0]上单调递增，理由：y'=3.x2>0(x<0),故 函数单调递增，显然符合题意：而函数y= e220,有y=-。<0(x<0,故其在(- le-:z<0 ∞，0)上单调递减，不符合题意，综上选C. 7.D【解析】对于选项A,点(，)在f(x) 上，但点(1，-2)不在f上 对于选项B,点(0,2)在f(x)上，但点(2,0)不在 f(x)上： 对于选项C,函数的图象不能关于x轴对称； 对于选项D,:f(-x)=4+1=1+型 2 2 =f(x). .函数的图象关于y轴对称 8.√2【解析】令y1=√9一x可知其曲线为 以原点为圆心，3为半径的圆的上半部分，记y2= (x十2)一√2，可知其曲线为过定点（一2，一√2）的直 线系，设两曲线交点p(xo,y),数形结合可知解集为 [x。,3],由条件可知，b=3,a=x0=1,所以yo=2 √2，p(1,2√2)，因此k=√2，本题考查不等式的解集， 但由于是无理不等式，直接解难度较大，所以应用数 形结合思想思路清晰，条理清楚， 9.A【解析】因为函数f(x)=|x十1|十x 一a|的图象关于直线x=1对称，所以，Hx∈R均有 f(x)=f(2-x),即|x+1+|x-a=|3-x|+|2 一x一a,比照选项，选A. 10.B【解折】若函数y=(x)=干的国 象关于直线y=x对称，则f(x)=f-1(x),易求得 f-1(x)=Z,故a=-1,选B a-x 11.A【解析】解法一：函数y=f(x)关于 x=1对称的充要条件是f(x)=f(2一x),.x十 m.x十1=(2一x)2十m(2-x)+1,化简得(m+2)x= m十2，∴.m十2=0，即m=-2. 解法二：，f(x)=x十m.x十1的对称轴为x= 一受一罗=1，即m=-2,故遂N 2 2012一2013高考题源拓展测试 1.B2.C3.C4.A5.C6.B7.A 8.C 9.-1og:(x-1) 10.[0,1]11.4 12.x∈（一1,0）【解析】不等式两侧分别为 对数式和代数式，故需考虑数形结合，如图所示. y=log2(-x) =x+1 13.解：y=〉 2-x≥1， 2x-1,x<1. 故它在区间[1，十∞)上的图象， 可由y=2(x≥0)的图象沿x 轴方向向右平移1个单位得到： 在区间(-∞，1)上的图象，可由y=2(x<0)的图象 沿x轴方向向右平移1个单位得到. 14.解：由f(2+x)=f(2-x),知f(x)图象关 于直线x=2对称设方程f(x)=0的4个实根从小 到大依次为x1、2、xs、x4,则点P(x1,0)、P,(x2, 0)、P(x3,0)、P,(x4,0)从左至右分布在y=f(x) 的图象上，且P1与P:,P:与P:分别关于直线x=2 对称，故有x1十x:=4且x2十x3=4. ∴.四根之和为8 15.(1)证明：f(-x)=(-x)2-2-x|-1 =x2-2|x|-1=f(x). 即f(一x)=f(x),所以f(x)是偶函数. (2)解：当x≥0时，f(x)=x2-2x-1=(x 1)2-2, 当x<0时，f(x)=x +2x-1=(x+1)2-2, 2 即f(x)= x-1)2-2(0≤x≤3) -3 (x+1)2-2(-3≤x<0) 根据二次函数的作图方法， 可得函数图象如图. (3)解：函数f(x)的单调区间为[一3，一1)， [-1,0),[0,1),[1,3]. f(x)在区间[一3，一1)，[0,1)上为减函数，在 [-1,0),[1,3]上为增函数. (4)解：当x≥0时，函数f(x)=(x-1)-2的 最小值为一2，最大值为f(3)=2: 当x<0时，函数f(x)=(x十1)2一2的最小值 为-2，最大值为f(-3)=2; 故函数f(x)的值域为[-2,2]. 16.解：(1)设点P(x,y)是C上的任意一点， 则P(x,y)关于点A(2,1)对称点为P'(4一x,2一 y), 氏人∫(x)=x十可得2y4x+4 1 1 即y=x-2+-心g（x)=x-2+= 3y=m (2)由 y=x-2+ 1,消去y得x2-(m+6) x-4 x+4m+9=0, △=(m+6)2-4(4m+9), 直线y=m与C2只有一个交点， ∴.△=0，解得m=0或m=4. 当m=0时，经检验合理，交点为(3,0)； 当m=4时，经检验合理，交点为(5,4). 1n.解：由x)=千，得x)=1 x+1 f(x)的图象可由y=一 是的圆象向左子移1个单位，再 向上平移1个单位得到如图. (2)f(x)在(-∞，-1)和 (一1，十∞)上为增函数. (3):f(x)在（一1，十o∞）上为增函数. a a b 1+a>1+a+6>01+6>1+a+6>0a+6 >c>0,a>0,b>0. fa)+f6)=年a+年6>1a+6 b a+b 1+b+a1+a+6=f(a+b)>f(c). 第三章 函数的应用 §3.1函数与方程 五年高考母题原型训练 1.C【解析】由于f(0)=-1<0,f(1)=e 1>0,根据函数的零，点存在性定理，知函数f(x)的零 点在区间(0,1)内，选C 2.B【解析】，a<0台a.x2十1=0有一正一 负两个实数根， 。1 .“a<0”是“方程ax2十1=0有一个负数根”的 充分必要条件，故应选B. 3.D 4.C【解析】解决本题的关键是要理解“函数 有大于零的极值，点”这一条件，由题意，根据导数公 式，得y'=3十aer,若函数y=er十3x,x∈R有大 于零的极值，点，说明方程y'=3十aer=0有正根，即 c=-3有正根，显然需a<0.此时，x=二ln( 名，由工>≥0立即可解得参数a<-3,故答案为C 5.B【解析】设方程a.x2十b.x十c=0的两根 分别为x1,x2(不妨设x1<x),则有 x1十x2= 6 b2-4ac,又0≤ 0→x-x1=√a2 x1·2= f(x)≤Λ Aac-b2 ,由于(s,f(t))(s,t∈D),故有 Aa /x1≤s≤x2 4ac-b6,由于所有点(s,f(t)(s,t∈ 0≤f)≤√ Aa 4ac-b2 D)构成一个正方形区城，故有关系式：√4a 1x,-=。a=-4a<0,故选B本 题综合考查函数、不等式、线性规划思想解题能力，侧 重于数学思想的考查，此题的难度较大， 6.⑦【解析】分别令两个函数中变量x=0 可得，f(0)=a,f(0)=2,∴.a=2. :f(x)=0,即方程x2+2x十2=0无实数根， .方程f(ax十b)=0也无实数根，即其解集 为0. 7.解：(1)因为f(x)=√3sin2x-(1-cos2x)= 2sn2z+6）-1. 所以，当2江十吾=2谈x+受，即x=x+合（∈ Z)时，函数f(x)取得最大值1. (2)解法一：由(1)及f(x)=0得sin (2x+音）=号所以2x+后=2x+若或2x+日 =2张x十器即x=kx,成x=x十子 故函数f(x)的零点的集合为§2.4函数的图象 考纲·题型解读 1.掌握作函数图象的两种基本方法是描点法和图象变换法 2.学会运用函数图象解决相关问题，理解和研究函数的性质。 3,高考中总是以几类基本初等函数的图象为基础来考查函数图象，往往结合函数性质一并考查，题型主要是选择题与填空 题，考查的形式主要有：知式选图、知图选式、图象变换（平移变换、对称变换）以及灵活地应用图象解题，属于每年必考内容之一， 五年高考母题题源揭秘 [解析]从对数的底数入手进行讨论，再结合各个选项的 题源1 函数图象的作图、识图和用图 图象从抛物线对称轴的取值范围进行判断，故选D. [真题2](2021·上海)用min{a,b,c}表示a,b,c三个数 解题模型 中的最小值.设f(x)=min(2,x+2,10-x}(x≥0)，则f(x) 函数图象是函数的一种表达形式，它形象地显示了函 的最大值为 数的性质，为研究数量关系提供了“形”的直观性，是探求 A.4 B.5 解题途径、获得问题结果的重要工具， C.6 D.7 (1)作图：函数的图象是函数关系的直观表达形式，是 [解析]由已知条件可得f(x)= 研究函数的重要工具，是解决很多函数问题的有力武器 min{2,x+2,10-x}= 作函数的图象有两种基本方法： 2,0≤x<2, ①描点法：其步骤是：列表（尤其注意特殊点、零点、最 )x十2,2x<4,其函数图象如图所 大值与最小值、与坐标轴的交点)、描点、连线； 10-x,x≥4， ②图象变换法. 示，由该函数图象可得，当x=4时， (2)识图：对于给定函数的图象，要能从图象的左、右、 fmx(x)=f(4)=6,故应选C. 上、下分布范围变化趋势、对称性等方面研究函数的定义 [真题3(2022·全国I)直线y=1与曲线y=x2-|x 域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式 十a有四个交点，则a的取值范围是 中参数的关系， 【解析】y=x2一|x|十a是偶函数，图象如图所示 (3)用图：函数的图象形象地显示了函数的性质，为研 究数量关系提供了“形”的直观性，它是探求解题途径、获得 问题结果的重要工具，要重视数形结合解題题的思想方法。 [真题1](2022·湖南)函数y=Qx+bx与y=logx (ab≠0，la|≠|bl)在同一直角坐标系中的图象可能是() 由图可知y=1与y=x-|x|十a有四个交点， 需满足a- <K 1 [真题4](2018·湖北)在y=2,y=logx,y=x2,y= c02x这四个函数中，当0<1<：<1时，使f() f(x)+f(》恒成立的函数的个数是 2 A.0 B.1 C.2 D.3 [解析] 了4十)>)f为上凸通数即1、 2 2 x2两点间的图象，在两点的线段的上方，∴y=og2x和y= cos2x符合条件，故应选C ·39 题源2图象变换的四种形式 [真题5】《2021·米京)为了得到丽意y=g的图象， 只需把函数y=gx的图象上所有的点 ( 解题模型 A.向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 (1)平移变换： B.向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 ①水平平移：y=f(x士a)(a>0)的图象，可由y= C.向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 f(x)的图象向左或向右平移Q个单位得到； D.向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 ②竖直平移：y=f(x)士b(b>0)的图象，可由y=f [解析]本题主要考查函数图象的平移变换，属于基础知 (x)的图象向上或向下平移b个单位得到」 识、基本运算的考查，A项y=lg(x十3)十1=lg10(x十3)，B项y (2)对称变换： =kc-3》+1=lg10:-3到.C项y=lgc+3)-1=lk. ①y=f(-x)与y=f(x),y=-f(x)与y=f(x),y =-f(-x)与y=f(x),y=f1(x)与y=f(x)每组中 D项y=1g-3)-1=lg0女度选C 两个函数图象分别关于y轴、x轴、原点、直线y=x对称； [真题6](2019·天津)在R上定义的函数f(x)是偶函 ②若对定义战内的一切x均有f(x十m)=∫(m一 数，且f(x)=f(2-x).若f(x)在区间[1,2]上是减函数，则f(x) x),则y=f(x)的图象关于直线x=m对称； ③y=f(x)与y=2b-f(2a-x)关于点(a,b)成中心 A.在区间[一2，一1]上是增函数，在区间[3,4]上是增函数 对称. B.在区间[一2，一1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数 (3)伸缩变换： C.在区间[一2，-1]上是减函数，在区间3,4]上是增函数 ①y=af(x)(a>0)的图象，可将y=f(x)的图象上 D.在区间[-2，一1]上是减函数，在区间[3,4]上是减函数 每，点的纵坐标伸(a>1时)缩(a<1时)到原来的a倍； [解析]考查函数性质，由f(x)=f(2-x)得f(x)的对 ②y=f(a.x)(a>0)的图象，可将y=f(x)的图象上 称轴为x=1.又由偶函数得f(x)图象关于y轴也对称.在[1,2] 每点的横坐标伸(a<1时)缩(a>1时)到原来的】 上为减函数，画出示意图可得，选B. (4)翻折变换： ①y=|f(x),作出y=f(x)的图象，将图象位于x 轴下方部分以x轴为对称轴翻折到上方； ②y=f(x|),作出y=f(x)在y轴右边部分图象， 以y轴为对称轴将右边部分图象翻折到左边得y=f(工 )在y轴的左边部分的图象. 五年高考母题原型训练 (★代表高考出现的频次) 题源1函数图象的作图、识图和用图（★★★★★） 且f1)=0,则不等式(x）-f-）<0的解集为( A.(-1,0)U(1,+∞) 1.(2021·山东)函数y= -。的图象大致为 e*+e B.(-∞，-1)U(0,1) C.(-c∞，-1)U(1,+o∞) D.(-1,0)U(0,1) 3.(2022·湖南)用mina,b}表示a,b两数中的最小值.若 因数fx)=mimz,z+)的图象关于直线x=一对称， 则t的值为 () A.-2 B.2 C.-1 D.1 4.(2019·湖南)函数f(x)=红-4x≤1 1x2-4.x+3,x>1 的图象和 函数g(x)=logz的图象的交点个数是 D A.4 B.3 2.(2020·全国I)设奇函数f(x)在(0，十∞)上为增函数， C.2 D.1 ·40 5.(2021·辽宁)若x1满足2x十2=5，x2满足2x+ A.关于原点对称 B.关于直线y=x对称 log(x-1)=5,则x1十x:等于 C.关于x轴对称 D.关于y轴对称 A.2 B.3 8.(2021·江西)若不等式√9-x≤k(x+2)一√2的解集 为区间[a,],且b-a=2,则k= 7 C.2 D.4 题源2图象变换的四种形式（★★★） 6.(2021·福建)定义在R上的偶函数∫(x)的部分图象如 9.(2020·山东)设函数f(x)=|x+1|+|x一a的图象关 图所示，则在（一2,0）上，下列函数中与f(x)的单调性不同的是 于直线x=1对称，则a的值为 () A.3 B.2 C.1 D.-1 10.(2022·江西)若函数y=1的图象关于直线y=对 称，则a为 () B.-1 A.y=z+1 A.1 C.±1 D.任意实数 B.y=|x|+1 2x+1,x≥0 11.(2022·四川)函数f(x)=x2+mx+1的图象关于直 C.y= {x3+1,x<0 线x=1对称的充要条件是 () D.y= e,x≥0 A.=-2 B.m=2 C.m=-1 D.m=1 le <0 7.(2022·重庆)函数f(x)=+的图象 2 2022一2023高考题源拓展测试 DP未来高考还会这样考， (测试时间：90分钟总分：100分) 一、选择题（本题包括8小题，每小题2.5分，共20分。每小题 4.(1)若函数f(x)=(k-1)a-ar(a>0且a≠1)在 只有一个选项符合题意) R上既是奇函数，又是减函数，则g(x)=log(x十k)的图象是 1.(1)函数f(x)=lnx-1的图象大致是 2.口2)函数)=10g:号的图象可由函数y=10g:x的图 5.(1)函数y=f(x)的图象如下图所示，则y=log2f(x)的 示意图是 象经过下列的哪种平移得到 A先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度 B.先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度 C.按向量a=(1,-3)平移 12 D.按向量a=(-1,3)平移 3.(⑦2)下列函数的图象中，经过平移或翻折后不能与函数 y=log:x的图象重合的函数是 A.y=2 m B.y=logx 5 6.(们1.2)如图，液体从一圆锥形漏斗漏 C.y=2 入一圆柱桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3 D.y=log:+1 分钟漏完已知圆柱桶中液面上升的速度是一 个常量，H是圆鞋形漏斗中液面下落的距离， ·41… 则H与下落时间t分钟的函数关系表示的图象只可能是 H H 14.(心1,2)若函数y=f(x)对一切实数x都有f(2+x)= f(2一x),且方程f(x)=0恰有4个不同实根，求这些实根 之和 0 C 0 7.(了2)已知定义域为R的函数y=f(x)在（一o,a)(a> 15.(1.2)设函数f(x)=x2-2x|-1(-3≤x≤3). 0)上是增函数，且函数y=f(x十a)是偶函数，当x1<a,x2> (1)证明f(x)是偶函数： a,x1-a<lx-a时，有 (2)画出这个函数的图象： A.f(2a-x1)>f(2a-x2) (3)指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上 B.f(2a-x1)=f(2a-x2) f(x)是增函数还是减函数： C.f(2a-x1)<(2a-x2) (4)求函数的值域. D.f(2a-x1)与f(2a-x)的大小关系不能确定 8.(2)把函数f(x)=a(a>0,a≠1)的图象C1向左平 移一个单位，再把所得图象上每一个点的纵坐标扩大为原来的2 倍，而横坐标不变，得到图象C,此时图象C1恰与C:重合，则 a为 A.4 B.2 1 1 C.2 D.4 二、填空题（本题包括4小题，每小题5分，共20分） 16.(位1.2)设函数fx)=x+1的图象为C1,C,关于点 9.(©2)设函数f(x)=2F,函数g(x)的图象与f(x)的图 象关于直线y=x对称，函数h(x)的图象由g(x)的图象向右平 A(2,1)对称的图象为C2,C对应的函数为g(x). 移1个单位得到，则h(x)解析式为 (1)求g(x)的解析式： 10.(G2)若曲线y=2+1与直线|y=b没有公共点，则b (2)若直线y=m与C:只有一个交点，求m的值和交点 的取值范围是· 坐标. 11.(☐2)若函数y=|-x十4x-3的图象C与直线y= x相交于点M(2,1),那么曲线C与该直线有 个交点. 12.(1.2)使log(-x)<x+1成立的x的取值范围 是 三、解答题（本题包括5小题，每小题12分，共60分） 18口1D作西数y=(宁的图象 17.01.2)尼知函数/a)=千 (1)画出f(x)的草图； (2)由图象指出f(x)的单调区间： (3)设a>0,b>0,c>0,a+b>c,证明：f(a)+f(b)>f (c). ·42·