2.3 幂函数-【备战高考】备战2027高考数学母题题源同步练

.f(-x0-4)=-f(-x。-2)=f(-x。). 又f(x)为R上的奇函数， .f(xo)=-f(-xo), ∴.f(x0)=-f(-x0-4)=-20-4+1. :x。=1og524,.-(xo+4)=-logg2 3 log2 2' /0osg20=- 15.(1)(-∞，-b)U(b,+∞) 2四f(-=lo+台le( 也=一f(x),故f()是奇函数. =-loga -b 3)令u(x)=6,则函数u(z)=1+ 2b在 x-b (一∞，一b)和(b,十∞)上分别为减函数，所以当0< a<1时，f(x)在(-∞，一b)和(b,+∞)上分别为增 函数； 当a>1时，f(x)在(-∞，一b)和(b,十∞)上分 别为减函数 (4)解关于x的方程y=log-五，得x=) a'-1 f1(x)=6(a+1) a*-1 (x∈R且x≠0). 16.(zlz<log2 §2.3幂函数 五年高考母题原型训练 1.B【解析】由已知条件可得y=f(一x)= 一x3,该函数为单调递减的奇函数，故应选B 2.D【解析】本题主要考查互为反函数的求 解，属于基础知识、基本能力运算的考查.由∫(x)= 是xe0,十eo到)=zE0,+o。 3.C【解析】原命题是真命题，故它的逆否命 题是真命题；它的逆命题为假命题，故它的否命题也 为假命题，因此在它的逆命题、否命题、逆命题中的真 命题只有一个. 4.D【解析】本题考查了函数的奇偶性及单 调性的研究，考查了灵活选择方法解选择题的策略. y=sinx,x∈R不是减函数，y=x,x∈R是增函数， 仅y=一x3,x∈R是减函数，故应选D. 5,/x一I【解析】由已知条件可得反函数 。1 f(x)-1=x3,f-1(x)=x-I. 6.21【解析】y=2x=2a6,所以图象在(a, a)处的切线方程为y一a:=2ak(x-ak),令y=0 20小(am}为首项为16公比为 1 且ak>0得ak+1= 。的等比数列，由等比教列通项公式知a=16 (份)=(2分)a+a,+a:=16+4+1=21 2012一2013高考题源拓展测试 1.B2.A3.A4.B5.A6.D7.C 8.49.-1或210. 3) 11.[-4,4] m2-2m-3≤0， 12.解：由m2-2m-3 是偶数，得m=一1， (m∈Z 1,3. 当m=一1和3时，解析式为f(x)=x°(x≠0)： 当m=1时，解析式为f(x)=x‘ 13.解：1)m+m≠0， {m2-2m-1=1, 解得m=1士√3. (2)m+m≠0， 解得m=0(舍)或2，. {m2-2m-1=-1. m=2. (3)m+m>0. {m2-2m-1>0, 解得m∈(-∞，-1)U(1十√2，+∞). 14.解：(1)，f(2)<f(3),∴.-k2十k+2>0, 解得一1<k<2, k∈Z,.k=0或1. (2)f(x)=x2,g(x)=1-p·x2+(2p-1)x, ①当p=0时，g(x)=1-p·x2+(2p-1)x= 一x+1为单调函数，符合题意； ②当p≠0时，二次函数g(x)=1一力·x十 (2办-1)x的对称轴为=2一1，要使二次函数8 2b （一)为区间[-1,2习上的学调国数，只弱2D≥2或 1<-1，解得：-<p<0或0<p< 1 2p 综上所得，p的范围为：一2≤p≤4 (3)由题意知：h(x)=x2+|x-a|+1,由于h (0)=|a+1≠0，故h(x)不可能为奇函数： ①当a=0时，h(x)=x2+|x|+1,对任意的x, 满足h(一x)=h(x),h(x)为偶函数： ②当a≠0时，h(a)=a2十1，h(-a)=a2+|a 十1，h(a）-h(-a)=-2|a≠0，故h(x)不是偶 函数： 综上可得，a=0时，h(x)为偶函数：a≠0时， (x)为非奇非偶函数. 5.解：()f4)=2 、2 7 -4”=-2m=1. (2)fx)=2-在(0，十0)上单调递减，证明 x 如下： 任取0<x1<x2,则 f)-f:)-(匠-z）厂（层-） =6-(+ 0<x1<xg,∴.x2一x1>0, -+1>0, ∴.f(x1)-f(x2)>0,.f(x1)>f(x2), 2 f(x)=二-x在(0，十∞)上单调递减. 16.解：(1)因为f(x)=x2(x>0),所以g(x)= √x(x>0). 从而f'(x)=2x.g'(x)= 所以切线l1,12的斜率分别为k1=f'(x。)= 1 2xo,k2=g(yo)= 2√y0 又y=xi(x>0),所以k:=2z。 因为11∥12，所以k1=k:.从而(2xo)=1. 1 因为x0>0,所以x0=2 所以M、N两点的坐标分别为 合)保) (2)设过O、M、N三点的圆的方程为：x2+y+ Dx十Ey十F=0.因为圆过原点，所以F=0.因为M、 N关于直线y=x对称，所以圆心在直线y=x上. 所以D=E又因为M(合，)在园上，所以D =E=一 5 12 所以过O、M、N三点的圆的方程为：x2+y 5 5 122-12y=0. §2.4函数的图象 五年高考母题原型训练 1.A【解析】本题考查对函数图象的判断，其 方法一般是结合函数的性质：定义城、值域、单调性与 奇偶性或一些特殊，点来作出正确判断；据已知函数解 析式可得∫（一x)=一f(x),即函数为奇函数，其图 象关于原点对称，从而排除D,又fr)=+= e2红-1 2>1且 ,易知当x>0时，f(x)=1+二 函数为减函数，故排除B、C,只有A项符合上述条 件，故选A. 2.D【解析】本小题主要考查数形结合思想 及函数奇偶性的判断， 设F(红)=fx)-f二2），由fx)为奇函数易 证F(x)为偶函数，所以只需先求出x∈(0，十©∞)时 的解集，当x∈(0，十∞)时，原不等式等价于f(x)一 f(-x)<0,即2f(x)<0,由函数f(x)在(0，+∞) 为增函数，且f(1)=0得f(x)<0的解集为x∈(0， 1),再由对称性得x∈（一∞，0）时的解集为x∈( 1,0).综上得原不等式的解集为x∈（一1,0）U(0,1). 故选D. 3.D【解析】反代入，当t=1时，由图象易得 满足x=一 )对称，故选D,亦可由图象直接排除 4.B【解析】画出f(x)与g(x)的图象如下： 由图可知f(x)与g(x)的交点有3个，故本题选B. Lg(x)=logx fx)=x2-4x+3 O fx)=4x-47 5,C【解析】本题考查了函数图象的知识、数 形结合的数学思想以及估算法.由2x十2x=5得2 .3 =5-2x,可知1<x1<之；由2x+log:(x-1)=5得 5 og:(x-1)=5-2x,可知2<，<2，所以3<x1+ x2<4,由选项可知选择C. 6.C【解析】本题考查的是函数与导数的基§2.3 考纲·题型解读 1,了解幂函数的概念， 1 2.结合函数y=工)=xy=y=立)=x7的图象 3.这部分内容在高考中以基础知识为主，考查暴函数的 性质、二次函数、方程、不等式等内容结合起来命制综合题 五年高考母题题源揭秘 题源幂函数的概念、图象和性质 解题模型 (1)函数y=x“(a∈R)叫做暴函数. (2)幂函数的图象都通过点(1,1). (3)在暴函数y=x、y=x2、y=x3、y=x立、y=x 中，为奇函数的是y=x,y=x3,y=x1;为偶函数的是y =x;定义城为R的是y=x,y=x2,y=x3,定义城为[0， 十∞)的是y=x立；在第一象限内是增函数的是y=x,y= z2,y=xi,y=zi. (4)在学习时，注意数形结合的数学思想方法的应用. (5)幂函数因幂指数不同而性质各异，图象更是多样， 熟悉其图象的分布，着重掌握图象在第一象限的部分，抓 住特殊点(1,1)，并注意把y=x和y=x1进行比较，掌握 它们的变化规律.关于幂函数f(x)=x“中的a限定在集 合{123,2-1}中取值 (6)在(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x 轴（简记为指大，图低），在(1，十©○)上，幂函数中指数越大， 函数图象越远离x轴 (7)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不 会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看 函数的奇偶性，暴函数的图象最多只能同时出现在两个象 限内，如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原，点. (8)幂函数的定义域的求法可分五种情况，即：①a为 零；②a为正整数；③a为负整数；④a为正分数；⑤a为负 分数. (9)作幂函数的图象要联系函数的定义域、值域、单调 性、奇偶性等，只要作出幂函数在第一象限内的图象，然后 根据它的奇偶性就可作出幂函数在定义城内完整的图象 (I0)暴函数y=x(a∈R)的图象主要分以下几类： ①当a=0时，图象是过(1,1)点平行于x轴但扣去 (0,1),点的一条“断”直线： ②当α为正偶数时，幂函数为偶函数，图象过第一、二 象限及原点： 幂函数 了解它们的变化情况 象和性质，一般以小题形式出现，属于容易题，有时也与函数基本 ③当Q为正奇数时，暴函数为奇函数，图象过第一、三 象限及原点； ④当a为负偶数时，幂函数为偶函数，图象过第一、二 象限，但不过原点； ⑤当《为负奇数时，幂函数为奇函数，图象过第一、三 象限，但不过原点 [直题1(2019…山东)设a∈{11,2,3}则使函数y =x°的定义域为R且为奇函数的所有a值为 A.1,3 B.-1,1 C.-1,3 D.-1,1,3 [解析]本题考查函数的概念、性质，本题由函数的定义域 为R,则a≠-1，由此排除B,C,D,选A. [真题2](2022·全国Ⅱ)若曲线y=x在点(a,a立) 处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a等于 () A.64 B.32 C.16 D.8 [解折]当=a时y=一方a在此处的切线方轻 为y-a古=-30-a 3 由此求出在x轴与y轴截距分别为3a和2a 5a=18,屏得a=61,故选A [真题3](2019·山东)设函数f1(x)=x,f2(x)= x1,f3(x)=x2,则f1(f2(f3(2019))= [解析]本题考查函数的概念，实际上是“迭代函数”.首先 当x>0时1x)=子f:)》= f1(f:f,(2019)=2007 1 [真题4](2020·重庆)若x>0,则(2x+3)(2.x 3是)-4z(x-x支)= [解析]本题解题思路是根据相关的乘法公式以及指数的 运算规则.依题意得(2x了十3立)(2x了-3立)一4x-立(x一x立)= 36· (2.x)2-(32)2-4x立+4=4x-27-4.x立+4=-23. ()()>(）)(付)号>子站合 [真题5】(202·上海)若。是方程（合）广=x片的解，则 x。属于区间 图象得（得）=（分）<f()(得) A(侣 合) g- /x)=xj c(传) D.(p3） [解析]令gx)-(侵)f(x)=z, g(0)=1>0)=0.()=（份）< 由园象关系可得写<，<子逸心 )() 五年高考母题原型训练 (★代表高考出现的频次) 题源幂函数的概念、图象和性质（★★） 3.(2020·山东)给出命题：若函数y=f(x)是幂函数，则函 数y=(x)的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否 1.(2019·广东)若函数f(x)=x3(x∈R),则函数y= 命题三个命题中，真命题的个数是 () f(一x)在其定义域上是 ( A.3 B.2 C.1 D.0 A.单调递减的偶函数 4.(2018·广东)下列函数中，在其定义域内既是奇函数又 B.单调递减的奇函数 是减函数的是 () C,单调递增的偶函数 A.y=sinx,x∈R D.单调递增的奇函数 2.(2019·安徽)下列函数中，反函数是其自身的函数为 C.y=x,x∈R D.y=-x3,x∈R 5.(2021·上海)函数f(x)=x3+1的反函数f-1(x) A.f(x)=x2,x∈[0，十∞) 6.(2022·江苏)函数y=x2(x>0)的图象在点(a,a)处 B.f(x)=x3,x∈(-o,十∞) C.f(x)=e,x∈(-o,+co) 的切线与x轴的交点的横坐标为ag+1,其中k∈N,若a1=l6, 则a1十a3十a:的值是 1 D.fx)=tz∈(0，+oo） 2022一2023高芳题源拓展测试 未来高考还会这样考， (测试时间：90分钟总分：100分) 一、选择题（本题包括7小题，每小题3分，共21分。每小题只 f(x)=x”为奇函数，且在(0，十∞)上单调递减的n的个数是 有一个选项符合题意) () 1.(1)下列所给出的函数中是幂函数的是 A.1 B.2 C.3 D.4 A.y=-t3 B.y=x-3 4.(口1)已知幂函数y=xm2-m-(m∈Z)的图象与x轴无 C.y=2x* D.y=x3-1 交点，则m的取值范围是 () A.-2<m<3 B.-2≤m≤3 2.(1)已知点 33 1在幂函数f(x)的图象上，则 C.-3<m<2 D.-3≤m≤2 f(x)是 ( 5.(1)y=x言在[-1,1]上是 A.奇函数 A.增函数且是奇函数 B.增函数且是偶函数 B.偶函数 C.减函数且是奇函数 D.减函数且是偶函数 C.非奇非偶函数 6.(@1)已知幂函数y=xy=x2,y=x3,y=x4在第 D.既是奇函数又是偶函数 一象限内的图象如图所示分别是C1,C2,C3,C,则n1,n2,n, 111 3(01)设n∈{-2-1-23212,3}，则使得 n:的大小关系是 A.n1>n:>1,na<n:<0 ·37· B.n2>n1>2,n4<n3<0 C.n1>1>ne>0>n:>n3 D.n1>1>n2>0>n>n 7.(@1)给定一组函数解析式：①y=x;②y=x言；③y= x是；④y=x音：⑤y=x是；⑥y=x青；⑦y=x吉.如图所示一 组函数图象，图象对应的解析式号码顺序正确的是 ⑤ ⑥ A.⑥③④②⑦①⑤ B.⑥④②③⑦①⑤ C.⑥④③②⑦①⑤ D.⑤④③②⑦⑤① 二、填空题（本题包括4小题，每小题5分，共20分） 8口1)函数y=1在区间22]上的最大值是 9.(01)已知m∈(-2，-1,0,12,31，若()> (专)广则n= (x>0), 10.(了1)定义符号函数sgn(x)= (x=0), 则不等式 (x<0) x+2>(2x一1)m)的解集为 11.(位1)已知幂函数f(x)的部分对应值如下表： 2 1 12 f(x) 厄 则不等式f(x|)≤2的解集是 三、解答题（本题包括5小题，12~15题每小题12分，16题11 分，共59分) 12.(1)已知幂函数f(x)=xm2-m-3(m∈Z)的图象与x 轴、y轴都无交点，且关于y轴对称，试确定f(x)的解析式. 3 13.(g1)已知f(x)=(m2+m)xm2-m-1,当m取什么 值时， (1)f(x)是正比例函数： (2)f(x)是反比例函数； (3)在第一象限内它的图象是上升曲线. 14.(☐1)已知函数f(x)=x2++2(k∈Z),且f(2)<f(3). (1)求k的值： (2)试求实数力，使函数g(x)=1一力·f(x)十(2p一1)z 在区间[-1,2]上为单调函数； (8)试判高函数()=)+号-+1x∈R)的 奇偶性。 15.(1)尼知函数f(x)=名-x,且/0=-子 (1)求m的值； (2)判断f(x)在(0，十∞)上的单调性，并给于证明. 16.(1)已知函数g(x)是f(x)=x(x>0)的反函数，点 M(xo,yo)、N(yoxo)分别是f(x)、g(x)图象上的点，l1,l:分 别是函数f(x)、g(x)的图象在M、N两点处的切线，且l1∥l (1)求M、N两点的坐标； (2)求经过原点O及M、N的圆的方程.