2.2 对数和对数函数-【备战高考】备战2027高考数学母题题源同步练

§2.2对数和对数函数 考纲·题型解读 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用。 2.理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性，掌提函数图象通过的特殊点，能够运用对数函数性质解决某些简单的实 际问题，能解决与对数有关的复合函数的综合问题， 3.了解指数函数y=a与对数函数y=logx互为反函数(a>0,a≠1)， 4.在高考中既考查对数函数的定义与图象以及它们的主要性质，又在数学思想方法上考查分类讨论的思想及运算能力： 有关对数函数的试题每年必考，它既可以以选择题或填空题的形式出现，又可以以解答题的形式出现，且符合能力要求较高。 五年高考母题题源揭秘 1 题源1对数 1 [真题2](2022·过宁)设2=5=m,且 a +方=2，则 m等于 () 解题模型 A.10 B.10 C.20 D.100 (1)对数的基本性质： [解析]由指数、对数的关系和对数法则可得a=logm,b gnogleg.+logo.10 1 1 ①对数的真数大于零，底数大于零且不等于1： =logs m,.. ②1的对数为0，即log.1=0(a>0且a≠1)； ③底数的对数为1，即log.a=1(a>0且a≠1)； =2,所以m=√0.选A. ④对数恒等式：alaN=N(a>0且a≠1，N>0). [真题3](2021·江苏)若3=0.618，a∈[k,k+1],k∈ (2)对数的运算性质： Z,则k= 如果a>0且a≠1，M>0,N>0,那么①log.MN= [解析]解不等式k≤l1og0,618≤k十1， log.M+log.N; 1 M 1og:3<1og:0.618<1og1=0, ②log.N =log,M-log.N; 即-1<log0.618<0,.k=-1. ③log.M=nlog.M. (3)换底公式： 题源2对数函数 ①换底公式：log。b= ogb(其中a>0且a≠1，c>0且 log a 解题模型 c≠1，b>0): 对数函数的图象特征及函数性质： ②常用结论：log。 =-1，logb…1loga=1.logb=1oga 1 a 图象特征 函数性质 1og.b·1ogc·log.a=1,log.=m1og.b. a>1 0<a<1 a>1 0<a<1 【说明】1.指数式a=N与对数式logN=b的关 函数图象都在y轴右侧 系以及这两种形式的互化是对数运算法则的关键. 函数的定义城为(0，十∞) 2.在运算性质log。M=nlog。M时，要特别注意条 图象不关于原点和y轴对称 件，在无M>0的条件下应为log.M=nlog.M. 向y轴正负方向无限延伸 函数的值域为R 3.注意对数恒等式、对数换底公式及等式loganb”= 函数图象都过定，点(1,0) 1°=1 log.b.log.-loga 在解意中的灵活运用。 自左向右自左向右 【注意】(1)零和负数没有对数；1的对数等于0，底数 看，图象逐 看，图象逐 增函数 减函数 的对数等于1，即log。1=0,log.a=1, 渐上升 渐下降 (2)对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有 第一象限内 第一象限内 的对数符号有意义的前提下才成立的，不能出现og:12= 0<x<1, 的图象纵坐 的图象纵坐 >1,log.> 1og:[(-3)·（-4]=log(-3)+log:(-4)等错误. log.>0 标都大于0 标都大于0 [真题1](2022·四川)21og:10+1og0.25等于 第四象限内 第四象限内 0<x1, x>1, A.0 B.1 C.2 D.4 的图象纵坐 的图象纵坐 log。x<0 []2log:10+log:0.25=log:100+log:0.25=log;25= 标都小于0 标都小于0 log。x<0 2.故选C. ·31 [解析]由对数函数的图象性质可知选C. 指数函数y=a(a>0,a≠1)与对数函数y=logx [真题5](2022·浙江)已知函数f(x)=log(x+1),若 互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称，其图象性质 f(a)=l,则a等于 () 对比见下表： A.0 B.1 指数函数 对数函数 C.2 D.3 函数式 y=ar(a>0,a≠1) y=log.(a>0,a≠1) [解析]由f(a)=1知log(a+1)=1,a+1=2. 定义域 R (0,+∞) a=1,选B 值战 (0,+∞) R [真题6](2022·全国I)设a=log32,b=ln2,c=5,则 a>1 0<a<1 a>1 0<a<1 ↑y A.a<b<c B.b<c<a 图象 C.c<a<b D.c<b<a 0可x [解析]由函数y=logx与y=lnx的位置关系知log,2< 2中a<6,又u=bg2=>765<4=号 ①过(0,1). ①过(0,1) ①过(1,0) ①过(1,0) ca,故选C. ②在(-0， ②在(-0， ②在(0， ②在(0， 十∞)内单 十∞)内单 十c∞)内单 十∞)内单 [真题7](2021·江西)已知函数f(x)是(-c∞，+∞)上 图象调递增.③ 调递减.③ 调递增. 调递减. 的偶函数，若对于x≥0，都有f(x十2)=f(x)且当x∈[0,2) 特点 当x>0时， 当x<0时，③当x>1 ③当x>1 时，f(x)=log(x+1),则f(-2008)+f(2021)的值为() y>1:当x y>1;当x时，y>0: 时，y<0: A.-2 B.-1 <0时，0< >0时，0< 当0<x< 当0<x C.1 D.2 y<l y<l 1时y<0 1时，y>0 [解析]由于x≥0，f(x十2)=f(x),所以在[0，十∞)内， 【注意】(1)对数函数y=log.x(a>0且a≠1)与指 有最小正周期为2.又由于函数为偶函数，有∫（一x)=f(x),且 数函数y=a(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关 当x∈[0,2)，f(x)=1og(x+1),所以有f(-2008)+f(2021) 于直线y=x对称， =f(2020)+f(2021)=f(0)+f(1)=0+1=1,故选C. (2)底数变化与图象变化的规律：由于对数函数y= 题源3对数函数的综合题 log。x的图象与直线y=1交于点(a, 1),所以对数函数y=logx的图象 [真题8](2020·天津)设a>1,若对于任意的x∈[a, 在x轴上方，从左到右对应的底数由 2a],都有y∈[a,a]满足方程log。x十logy=3,这时a的取值 小到大依次递增；由于函数y=logx 的集合为 () 的图象与直线y=一1交于点 A.{a1<a≤2} B.{aa≥2} (合-小图北面数y=gx的图 C.{a|2≤a≤3} D.{2,3} 象在x轴下方，从左到右对应的底数由大到小依次递减 [解析]本题考查对数运算、函数值域等知识，涉及数形结 合、转化的思想。 [真题4](2022·四川)函数y=logx的图象大致是( a>1, a 由log.+logy=3得log.(xy)=3,y= y=a在[a,2a]上是减函数，y 的x∈[a,2a]都有y∈[a,a2]满足方程log.x+logy=3,.a 2,解得a≥2或a≤0.：a>1,a≥2.即选B. 此题属难题，要求考生有一定的分析问题和解决问题的 能力。 真题92021·安微)已知函数f(x)=x名十1上 alnz ,a>0. (I)讨论f(x)的单调性； (Ⅱ)设a=3,求f(x)在区间[l,e2]上的值域，其中e= 2.71828…是自然对数的底数. ·32· [解析](I)f(x)的定义域是(0，十∞)，导函数f'(x)= 1+24-x2-ax+2 此时x)在0.a-y8)上单调递增： 2 设g(x)=x2-ax十2，二次方程g(x)=0的判别式△=a 在（一8，十）上单调递减： 2 2 -8.①当△<0即0<a<2√2时，对一切x>0都有'(x)>0, 在(a十8，十0)上单调递增. 此时f(x)是(0，十∞)上的单调递增函数. 2 ②当△=0即a=2反时，仅对x=√2有f'(x)=0,对其余 (Ⅱ)当Q=3时，方程g(x)=0有两个不同的实根x1= 1,x2=2 的x>0都有f(x)>0. 此时f(x)是(0，十©∞)上的单调递增函数. 由(I)知，在(1e2)内，当x=2时f(x)取得极值， f(1)=0,f(2)=2-3ln2,f(e2)=e2-2e-5. ③当△>0即a>22时，方程g(x)=0有两个不同的实根 因为f(2)<f(1)<f(e),所以f(x)在区间[1，e]上的值 x1=a-Va2-8 a+va2-8 ,0x1<x2 战为[2-3ln2,e2-2e2-5]. 2 2 (0,x1) T1 (x1,x2) Z2 (x2,十∞) f'(x) 0 0 f(x) 单调递增入 极大 单调递减4 极小 单调递增入 五年高考母题原型训练 (★代表高考出现的频次) D.(-1,0] 题源1对数（★★★★） C.[0,1] 6.(2021·江西)函数y= nx十1)一的定义域为 1.2020·四川)函数)=l血(2x+1)(x>-7)的反函数是 W一x2-3.x+4 ( A.(-4,-1) B.(-4,1) 1 A.y=2e-1(x∈R) C.(-1,1) D.(-1,1] B.y=ea-1(x∈R) 7.(2020·湖南)下列不等式成立的是 A.logs 2<log:3<log25 C.y=2e-1)(x∈R) B.log:2<log:5<log:3 D.y=e-1(x∈R) C.log:3<log 2<log:5 2.(2020·辽宁)已知0<a<1,x=log。√2+log。√5，y= D.log23<log25<logs 2 7bg5g=log.@-1og5,则 ( 8.(2018·浙江)已知0<a<1,logm<log.n<0,则(） A.1<n<m B.1<m<n A.z>y> B.>y>t C.m<n<l D.n<m<l C.y>x>x D.>>y 9.(2020·北京)若a=logx,b=log,6,c=log0.8,则 3.(2021·全国I)已知函数f(x)的反函数为g(x)=1十 ( 2lgx(x>0),则f(1)+g(1)等于 () A.ab>c B.b>a>c A.0 B.1 C.c>a>b D.b>c>a C.2 D.4 10.(2022·上海)对任意不等于1的正数a,函数f(x)= 4.(2021·重庆)记f(x)=log(x+1)的反函数为y= f1(x),则方程f-1(x)=8的解x= log(x十3)的反函数的图象都过点P,则点P的坐标是 题源2对数函数（★★★★★） 11.(2020·安徽)函数f(x)= √x-2-1 log2 (z-1) 的定义域 5.(2021·陕西)若不等式x2一x≤0的解集为M,函数 为 f(x)=ln(1-|xl)的定义域为N,则M∩N为 12.(2018·江苏)函数y=√og.(4z2一3x)的定义域为 A.[0,1) B.(0,1) ·33· 题源3对数函数的综合题（★★★★） 14.(2019·上海)设函数f(x)=ln(2x+3)+x. 13.(2020·上海)已知函数f(x)=log:(2+1) (1)讨论f(x)的单调性； (1)求证：函数f(x)在(-∞，十o∞)内单调递增； (2)记∫1(x)为函数f(x)的反函数.若关于x的方程 (2求x在区同[子·]的最大值和录小值 f1(x)=m十f(x)在[1,2]上有解，求m的取值范围. 2022一2023高考题源拓展测试 D未来高考还会这样考， (测试时间：90分钟总分：100分) 一、选择题（本题包括7小题，每小题3分，共21分。每小题只 5.o3》记知丽数f(=,《r≤1》、则y=f1-x 有一个选项符合题意) (logiz,(>1), 1.(g2)已知集合U=R,集合M={y|y=2x,x∈R},集 的大致图象是 合N={xly=lg(3-x)},则M∩N等于 A.{tt<3} B.{tlt≥1} C.{t|1≤t<3} D.0 2.(1)设函数f(x)=log。x(a>0且a≠1)，若 f(x1·x2·x3·…·x2oo)=50,则f(x)十f(x)+f(x)+ …十f(x9)的值为 () A.2500 B.50 C.100 D.log.50 3.(2)函数y=log号(x2-5x+6)的单调增区间为( A(号+) B.(3,+∞) 5 C(-∞，2） D.(-∞，2) 6.心3)已知函数fz)=lgx-(分）广有两个零点x 4G2吧知16g号<1则a的歌值范面是 x,则有 A（o.)ua,+oy A.2<0 B.x1x2=1 C.x1x2>1 D.0<x1x2<1 B(学+） 7.(①2)函数y=a+1的图象与函数y=1og.(x十1)（其中 a>0且a≠1)的图象关于 (） c(侵 A.直线y=x对称 B.直线y=x-1对称 D.0,)U(学+) C.直线y=x十1对称 ·34· D.直线y=-x十1对称 14.(了2.3)已知函数y=log(a'x)·log5(ax)(2≤x≤4) 二、填空题（本题包括4小题，每小题5分，共20分） 的最大值为0，最小值为-8，求a的值。 8.(①3)若定义在区间（一1,0）内的函数f(x)=log.(x十1) 满足f(x)<0,则a的取值范围是 9.(g3)已知m+1og2m+6)=11及n+2"-1=14,则m+n= 10.心3若a=号6==则a6c的大小关系 多 山，（心3）关于函数f(x)=g(x≠0，z∈R),有下列 命题：①函数y=f(x)的图象关于y轴对称；②当x>0时，f (.x)是增函数，当x<0时，f(x)是减函数；③函数f(x)的最小 值是lg2;④当-1<x<0或x>1时，f(x)是增函数.其中正确 命题的序号是（把你认为正确的序号都填上） 三、解答题（本题包括5小题，12~15题每小题12分，16题11 分，共59分) x十b 12.(了1)计算：(1)(1g2)3+(1g5)3+3lg2·lg5: 15.c3)已知函数f(x)=log.-6a>0.b>0,a≠1). (2已知2g2=1gx+v,求√号的值 (1)求f(x)的定义域： (2)讨论f(x)的奇偶性： (3)讨论f(.x)的单调性： (4)求f(x)的反函数f-(x). 13.(了1.2)已知定义域为R的函数f(x)为奇函数，且满足 f(x+2)=-f(x),当x∈[0,1]时，f(x)=2-1,求f(log号24) 16.(☐3)函数f(x)=log(2x2+x)(a>0,a≠1)，若在区间 (0,2)内恒有fx)>0,解关于x的不等式flog:(9+2+1+1) >f(21og:(6+4+1+1). ·35·11.(-00,1] 12.(-∞，-1)U(2,+∞) 13.解：(1)方法1：log。2=m,am=2. .log3=n,∴.a”=3. 故a2m+"=(am)2·a”=4X3=12. 方法2：，log。2=m,log。3=n, 'a2mw=a 2lowu2+lowe 3=a loRu 12 =12. (2)方法1：10°=2，∴.lg2=a. 10=3,.lg3=b. 故1002a-b=(10)片=10皆=16 91 方法2：由10°=2,10=3， 知10如=2=16,102b=32=9. 1002a-6= 10a16 106=9· 14号 <1 (2)z12 15.(1)函数f(x)的定义域为（一，+∞），值 域为（一1,1）. (2)当0<a<1时，f(x)在R上是减函数； 当a>1时，f(x)在R上是增函数. 16.最小值为1，最大值为2. 17.解：(1)因为a=0时，f()=专恒为常数， 与已知矛盾，所以a≠0.由此表明f(x)是单调函数. 若f(x)为减函数，当x=1时f)=合≤f(x),与 f(x)在区间[0,1]上的最小值2矛盾，则可知f(x) 为始国数，即f0)=号即合岸得a=-2 4 4 所以f(x)= 4+2-云=1+4 4” 1 2)由f(m)11+>12.27 ∈N.知f1)+f2)+…fm)>(-22)十 -2x2)+…+1-2）=”-是 =n十 2可子即得证 S2.2对数和对数函数 五年高考母题原型训练 1.C【解析】本题解题思路是由反函数的定 义选行求解.由y=n(2x+1)e>-合)得2x+1= e,z=0-1 ,因光函数y=2x+D(>-）的 反函数是y=2(e*-1)(z∈R),选C 2.C【解析】由已知条件可得x=log。√2× =log6=log5-log. T=1ogF,“ 7>√6>5,0a<1, ∴.log√7<log.√6<log.√5， 即得y>x>之，故应选C. 3.C【解析】g(x)=1十2lgx=1,当x=1 时，g(1)=1+2lg1=1,f(1)=1,f(1)+g(1)=1+1 =2.本题属于筒单题，考查原、反函数之间的关系. 4.2【解析】本题主要考查考生对于反函数的 理解以及互为反函数的两个函数间的关系.令f一1(x) =8得x=f(8)=log9=2,即方程f1(x)=8的解x =2. 5.A【解析】本小题主要考查了函数的定义 域、二次不等式、绝对值不等式的解法以及交集的意 义.求解不等式是求解的关键.M={x|x2一x≤0}= {x|0x≤1}，N={x|1-|x|>0}={x|-1<x< 1},则M∩N={xl0≤x<1},选A. 6.C【解析】依题意：{厂T3x+4>0→ 1x+1>0 x+3x-4<0 4x<1 (x>-1 (x>-1 →-1<x<1,故选C, 本题考查关于不等式是解法的基础知识与基本技能， 属于基础题， 7.A【解析】本题是比较大小问题，不难得到 log:2<1,1<1og23<log25,本题主要考查比较大小的 方法，如：函数法，符号法、中间值法等 8.A【解析】考查对数函数的性质.由已知得 log.m<log.n<log.1,.0<a<1,∴.1<n<m,故 选A. 9.A【解析】本题考查对数函数的性质，可知 a>1,0<b<1,c<0,故a>b>c. 10.(0,-2)【解析】由f(x)=log。(x+3) 此图象恒过（一2,0），.P(0,一2). x-21-1≥0 11.[3,+o∞)【解析】由log:(x-1)≠0可 (x-1>0 得≥3或x≤1 解之得x∈[3，+∞). (x>1且x≠2 12.[-子，o)U(,1门【解标】 4.x2-3x>0 log0.(4x2-3.x)≥0 解得[-0U(是1. 13.(1)证明：任取x1<x2,则f(x1)一f(x2)= 21+1 1og:(2+1)-log:(2+1D=log:2+i :x1<x2,0<21+1<22+1, ∴0<21+1 <1eo… ∴.f(x1)<f(x2),即函数f(x)在（一∞，十∞） 内单调递增。 (2)解：f-1(x)=log(2r-1)(x>0), ..m=f(x)-f(z)=log2 (2*-1)-log2 (2*+ 1) -l0log. 222 当1≤≤2时，5≤2+≤3 m的取值范区是og:行be:号 14.解：fx)的定义城为(-冬十) (1)f'(x)= 2 2z+3+2x =4x2+6x+2 2x+3 =2(2x+1)(x+1) 2.x+3 当-÷<x<1时，f(x)>0:当1<x3 -2时f()<0； 当>-号时，了)>0从丽1x)分别在区 间(-3 2,一1)，（一，+）单调递增，在区间（一1， 一2)单调递减. （2)由a知了)准区间[-是·的最小值为 f-2)=n2+ 1 又K-》-=+品-1 71 31 =ln7+2 49 2(1-ln )<0. 所以f()在区间[-是，子]的最大值为f(宁 7 2012一2013高考题源拓展测试 1.C2.C3.D4.A5.C6.D 7.C【解析】，函数y=a与y=logx的图 象关于直线y=x对称，而函数y=a+1与y=log (x十1)的图象分别为函数y=a与y=logx的图象 向左平移1个单位可得，原对称轴y=x相应的向 左平移1个单位可得y=a+1的图象与函数y=log (x十1)的图象关于直线y=x十1对称. 1 8.(3,+o) 9.11 10.b>a>c 11.①③④ 12.解：(1)(1g2)3+(lg5)3+3lg2·lg5 =(lg2+lg5)[(lg2)-lg2·lg5+(lg5)2]+3lg2 ·lg5 =lg10[(lg2+lg5)-3lg2·lg5]+3lg2·lg5 1. (2迪已知得1g2）=1gxy “(2）=y即x-6y+y=0, 六()-6·号+1=0号=3士2E. x一y>0 :{x>0 …2>1, b>0 从而号=3+2巨，即√ 工=1+. 13.欲求f(1og24)的值，应选确定log÷24的值 域范围，再根据奇函数和∫(x十2)=一∫(x)确定 f(x)在相应区间上的解析式. 解：设xo=log24,则xo∈(-5，-4)， .-(xo+4)∈(0,1)，.f(-x0-4)=20- -1. f(x)=-f(x+2), 3 .f(-x0-4)=-f(-x。-2)=f(-x。). 又f(x)为R上的奇函数， .f(xo)=-f(-xo), ∴.f(x0)=-f(-x0-4)=-20-4+1. :x。=1og524,.-(xo+4)=-logg2 3 log2 2' /0osg20=- 15.(1)(-∞，-b)U(b,+∞) 2四f(-=lo+台le( 也=一f(x),故f()是奇函数. =-loga -b 3)令u(x)=6,则函数u(z)=1+ 2b在 x-b (一∞，一b)和(b,十∞)上分别为减函数，所以当0< a<1时，f(x)在(-∞，一b)和(b,+∞)上分别为增 函数； 当a>1时，f(x)在(-∞，一b)和(b,十∞)上分 别为减函数 (4)解关于x的方程y=log-五，得x=) a'-1 f1(x)=6(a+1) a*-1 (x∈R且x≠0). 16.(zlz<log2 §2.3幂函数 五年高考母题原型训练 1.B【解析】由已知条件可得y=f(一x)= 一x3,该函数为单调递减的奇函数，故应选B 2.D【解析】本题主要考查互为反函数的求 解，属于基础知识、基本能力运算的考查.由∫(x)= 是xe0,十eo到)=zE0,+o。 3.C【解析】原命题是真命题，故它的逆否命 题是真命题；它的逆命题为假命题，故它的否命题也 为假命题，因此在它的逆命题、否命题、逆命题中的真 命题只有一个. 4.D【解析】本题考查了函数的奇偶性及单 调性的研究，考查了灵活选择方法解选择题的策略. y=sinx,x∈R不是减函数，y=x,x∈R是增函数， 仅y=一x3,x∈R是减函数，故应选D. 5,/x一I【解析】由已知条件可得反函数 。1 f(x)-1=x3,f-1(x)=x-I. 6.21【解析】y=2x=2a6,所以图象在(a, a)处的切线方程为y一a:=2ak(x-ak),令y=0 20小(am}为首项为16公比为 1 且ak>0得ak+1= 。的等比数列，由等比教列通项公式知a=16 (份)=(2分)a+a,+a:=16+4+1=21 2012一2013高考题源拓展测试 1.B2.A3.A4.B5.A6.D7.C 8.49.-1或210. 3) 11.[-4,4] m2-2m-3≤0， 12.解：由m2-2m-3 是偶数，得m=一1， (m∈Z 1,3. 当m=一1和3时，解析式为f(x)=x°(x≠0)： 当m=1时，解析式为f(x)=x‘ 13.解：1)m+m≠0， {m2-2m-1=1, 解得m=1士√3. (2)m+m≠0， 解得m=0(舍)或2，. {m2-2m-1=-1. m=2. (3)m+m>0. {m2-2m-1>0, 解得m∈(-∞，-1)U(1十√2，+∞). 14.解：(1)，f(2)<f(3),∴.-k2十k+2>0, 解得一1<k<2, k∈Z,.k=0或1. (2)f(x)=x2,g(x)=1-p·x2+(2p-1)x, ①当p=0时，g(x)=1-p·x2+(2p-1)x= 一x+1为单调函数，符合题意； ②当p≠0时，二次函数g(x)=1一力·x十 (2办-1)x的对称轴为=2一1，要使二次函数8 2b （一)为区间[-1,2习上的学调国数，只弱2D≥2或 1<-1，解得：-<p<0或0<p< 1 2p 综上所得，p的范围为：一2≤p≤4 (3)由题意知：h(x)=x2+|x-a|+1,由于h (0)=|a+1≠0，故h(x)不可能为奇函数：