2.2 对数和对数函数 题源2 对数函数-【备战高考】备战2027高考数学母题题源同步练

§2.2对数和对数函数 考纲·题型解读 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用。 2.理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性，掌提函数图象通过的特殊点，能够运用对数函数性质解决某些简单的实 际问题，能解决与对数有关的复合函数的综合问题， 3.了解指数函数y=a与对数函数y=logx互为反函数(a>0,a≠1)， 4.在高考中既考查对数函数的定义与图象以及它们的主要性质，又在数学思想方法上考查分类讨论的思想及运算能力： 有关对数函数的试题每年必考，它既可以以选择题或填空题的形式出现，又可以以解答题的形式出现，且符合能力要求较高。 五年高考母题题源揭秘 1 题源1对数 1 [真题2](2022·过宁)设2=5=m,且 a +方=2，则 m等于 () 解题模型 A.10 B.10 C.20 D.100 (1)对数的基本性质： [解析]由指数、对数的关系和对数法则可得a=logm,b gnogleg.+logo.10 1 1 ①对数的真数大于零，底数大于零且不等于1： =logs m,.. ②1的对数为0，即log.1=0(a>0且a≠1)； ③底数的对数为1，即log.a=1(a>0且a≠1)； =2,所以m=√0.选A. ④对数恒等式：alaN=N(a>0且a≠1，N>0). [真题3](2021·江苏)若3=0.618，a∈[k,k+1],k∈ (2)对数的运算性质： Z,则k= 如果a>0且a≠1，M>0,N>0,那么①log.MN= [解析]解不等式k≤l1og0,618≤k十1， log.M+log.N; 1 M 1og:3<1og:0.618<1og1=0, ②log.N =log,M-log.N; 即-1<log0.618<0,.k=-1. ③log.M=nlog.M. (3)换底公式： 题源2对数函数 ①换底公式：log。b= ogb(其中a>0且a≠1，c>0且 log a 解题模型 c≠1，b>0): 对数函数的图象特征及函数性质： ②常用结论：log。 =-1，logb…1loga=1.logb=1oga 1 a 图象特征 函数性质 1og.b·1ogc·log.a=1,log.=m1og.b. a>1 0<a<1 a>1 0<a<1 【说明】1.指数式a=N与对数式logN=b的关 函数图象都在y轴右侧 系以及这两种形式的互化是对数运算法则的关键. 函数的定义城为(0，十∞) 2.在运算性质log。M=nlog。M时，要特别注意条 图象不关于原点和y轴对称 件，在无M>0的条件下应为log.M=nlog.M. 向y轴正负方向无限延伸 函数的值域为R 3.注意对数恒等式、对数换底公式及等式loganb”= 函数图象都过定，点(1,0) 1°=1 log.b.log.-loga 在解意中的灵活运用。 自左向右自左向右 【注意】(1)零和负数没有对数；1的对数等于0，底数 看，图象逐 看，图象逐 增函数 减函数 的对数等于1，即log。1=0,log.a=1, 渐上升 渐下降 (2)对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有 第一象限内 第一象限内 的对数符号有意义的前提下才成立的，不能出现og:12= 0<x<1, 的图象纵坐 的图象纵坐 >1,log.> 1og:[(-3)·（-4]=log(-3)+log:(-4)等错误. log.>0 标都大于0 标都大于0 [真题1](2022·四川)21og:10+1og0.25等于 第四象限内 第四象限内 0<x1, x>1, A.0 B.1 C.2 D.4 的图象纵坐 的图象纵坐 log。x<0 []2log:10+log:0.25=log:100+log:0.25=log;25= 标都小于0 标都小于0 log。x<0 2.故选C. ·31 [解析]由对数函数的图象性质可知选C. 指数函数y=a(a>0,a≠1)与对数函数y=logx [真题5](2022·浙江)已知函数f(x)=log(x+1),若 互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称，其图象性质 f(a)=l,则a等于 () 对比见下表： A.0 B.1 指数函数 对数函数 C.2 D.3 函数式 y=ar(a>0,a≠1) y=log.(a>0,a≠1) [解析]由f(a)=1知log(a+1)=1,a+1=2. 定义域 R (0,+∞) a=1,选B 值战 (0,+∞) R [真题6](2022·全国I)设a=log32,b=ln2,c=5,则 a>1 0<a<1 a>1 0<a<1 ↑y A.a<b<c B.b<c<a 图象 C.c<a<b D.c<b<a 0可x [解析]由函数y=logx与y=lnx的位置关系知log,2< 2中a<6,又u=bg2=>765<4=号 ①过(0,1). ①过(0,1) ①过(1,0) ①过(1,0) ca,故选C. ②在(-0， ②在(-0， ②在(0， ②在(0， 十∞)内单 十∞)内单 十c∞)内单 十∞)内单 [真题7](2021·江西)已知函数f(x)是(-c∞，+∞)上 图象调递增.③ 调递减.③ 调递增. 调递减. 的偶函数，若对于x≥0，都有f(x十2)=f(x)且当x∈[0,2) 特点 当x>0时， 当x<0时，③当x>1 ③当x>1 时，f(x)=log(x+1),则f(-2008)+f(2021)的值为() y>1:当x y>1;当x时，y>0: 时，y<0: A.-2 B.-1 <0时，0< >0时，0< 当0<x< 当0<x C.1 D.2 y<l y<l 1时y<0 1时，y>0 [解析]由于x≥0，f(x十2)=f(x),所以在[0，十∞)内， 【注意】(1)对数函数y=log.x(a>0且a≠1)与指 有最小正周期为2.又由于函数为偶函数，有∫（一x)=f(x),且 数函数y=a(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关 当x∈[0,2)，f(x)=1og(x+1),所以有f(-2008)+f(2021) 于直线y=x对称， =f(2020)+f(2021)=f(0)+f(1)=0+1=1,故选C. (2)底数变化与图象变化的规律：由于对数函数y= 题源3对数函数的综合题 log。x的图象与直线y=1交于点(a, 1),所以对数函数y=logx的图象 [真题8](2020·天津)设a>1,若对于任意的x∈[a, 在x轴上方，从左到右对应的底数由 2a],都有y∈[a,a]满足方程log。x十logy=3,这时a的取值 小到大依次递增；由于函数y=logx 的集合为 () 的图象与直线y=一1交于点 A.{a1<a≤2} B.{aa≥2} (合-小图北面数y=gx的图 C.{a|2≤a≤3} D.{2,3} 象在x轴下方，从左到右对应的底数由大到小依次递减 [解析]本题考查对数运算、函数值域等知识，涉及数形结 合、转化的思想。 [真题4](2022·四川)函数y=logx的图象大致是( a>1, a 由log.+logy=3得log.(xy)=3,y= y=a在[a,2a]上是减函数，y 的x∈[a,2a]都有y∈[a,a2]满足方程log.x+logy=3,.a 2,解得a≥2或a≤0.：a>1,a≥2.即选B. 此题属难题，要求考生有一定的分析问题和解决问题的 能力。 真题92021·安微)已知函数f(x)=x名十1上 alnz ,a>0. (I)讨论f(x)的单调性； (Ⅱ)设a=3,求f(x)在区间[l,e2]上的值域，其中e= 2.71828…是自然对数的底数. ·32·