第13讲 正多边形与圆8大题型（暑假预习讲义）新九年级数学新教材苏科版

第13讲 正多边形与圆 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 求正多边形的中心角 题型2 已知正多边形的中心角求边数 题型3 尺规作图—正多边形 题型4 利用正多边形和圆的关系求半径 题型5 利用正多边形和圆的关系求面积 题型6 正多边形与圆的规律问题 题型7 正多边形与圆的综合 题型8 正多边形与圆的新定义问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 中心角 尺规作正多边形 正多边形与圆综合 1. 认识正多边形与圆的关系，掌握正多边形相关基本概念。 2. 理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角的定义。 3. 掌握正多边形中心角、内角的计算公式并熟练运算。 4. 学会利用半径、边心距构造直角三角形求解边长。 5. 体会数形结合思想，提升正多边形几何解题能力。 学习重点：掌握正多边形与圆的相关概念，熟练计算中心角、边长及边心距。 学习难点：借助直角三角形模型，灵活解决正多边形的综合计算问题。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 正多边形的相关概念 正多边形的相关概念 　　各边相等，各角也相等的多边形是正多边形． 要点：判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形). 1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形 　　正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆． 2.正多边形的有关要素 　　(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． 　　(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径． 　　(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． 　　(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 3.正多边形的有关计算 　　(1)正ｎ边形每一个内角的度数是； 　　(2)正ｎ边形每个中心角的度数是； 　　(3)正ｎ边形每个外角的度数是. 要点：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形. 即时即练 1．下列说法正确的是（   ） A．三点确定一个圆 B．相等的圆周角所对的弧相等 C．各边都相等的多边形是正多边形 D．三角形的内心到三角形三边的距离相等 2．每一片雪花各顶点连接其外形就是正六边形．若绕这个正六边形的中心O旋转至和原图形重合，至少需要旋转（   ） A． B． C． D． 3．下列命题：①三点确定一个圆；②正多边形是中心对称图形；③正六边形的半径与边长相等；④三角形的外心到三角形各边的距离相等，其中真命题的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 知识点02 正多边形的性质 正多边形的性质 　　1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形. 　　2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形. 　　3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心. 　　　　　　　　 4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方． 5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 要点：（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形. 即时即练 4．如图，圆内接正六边形的一边，点在弧上，且是圆内接正八边形的一边．此时是圆内接正边形的一边，则的值是（    ）    A．12 B．16 C．20 D．24 5．如图，正六边形与正方形有重合的中心O，若是正n边形的一个中心角，则n的值为___________． 6．如图，正方形内接于，连接，点F是的中点，过点D作的切线与的延长线相交于点G． (1)试判断与的位置关系，并说明理由． (2)求的度数． 知识点03 正多边形的画法 正多边形的画法 1.用量角器等分圆 　　由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形. 2.用尺规等分圆 　　对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图. 　　　①正四、八边形. 　　 　　在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形. 再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交于 E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形. 　　②正六、三、十二边形的作法. 　　 　　通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点. 　　显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点. 　　同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12等分……. 要点：画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点. 即时即练 7．按照要求进行尺规作图（保留作图痕迹，不写作图过程） (1)在图①中作正方形，且顶点都在圆上． (2)在图②中将圆的面积6等分． 8．已知正五边形，请仅用无刻度直尺作图． （1）在图1中作点P，使得是等腰三角形： （2）在图2中作点，使点称为正五边形的中心． 9．如图，已知等边△ABC，请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹） （1）作△ABC的外接圆圆心O； （2）设D是AB边上一点，在图中作出一个等边△DFH，使点F，点H分别在边BC和AC上； （3）在（2）的基础上作出一个正六边形DEFGHI． 题型1 求正多边形的中心角 1．若正五边形绕着它的中心旋转一定的角度后与原来位置重合，则这个角度可以是（     ） A． B． C． D． 2．青铜太阳轮为三星堆二号祭祀坑出土的商代青铜器，距今约3000年，如图所示，它的正面图形可近似地看作是将圆五等分得到的，则图中的度数为（   ） A． B． C． D． 3．古希腊时期，正九边形被认为是完美和神圣的象征，代表着和谐与平衡．第四套人民币中1角硬币采用了圆内接正九边形的独特设计，这个正九边形的中心角为______．      4．如图，在正八边形中，连接与交于点，则的度数是______． 5．如图，，分别为的内接正三角形、正四边形的一边，是圆内接正边形的一边，则的值为___________． 【易错警示】 计算正多边形中心角时，易记错公式误用内角公式替代。常看错边数导致计算出错，混淆中心角、内角、外角概念。未掌握周角均分原理，解题不理解公式由来，数值计算失误频发。 题型2 已知正多边形的中心角求边数 6．已知是的内接正十边形的一条边，是的内接正十五边形的一条边，那么以为边的正多边形的边数为___． 7．如图，是的内接正多边形的一条边，连接、，，则这个正多边形的边数为___________． 8．如图，为一个正多边形的相邻四个顶点，是正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为______． 9．如果正n边形的中心角等于，求这个正多边形的边数． 10．如图，正六边形内接于为上一点，连接． (1)求的度数； (2)当点为的中点时，是的内接正边形的一边，求的值． 题型3 尺规作图—正多边形 11．如图，已知AC为的直径．请用尺规作图法，作出的内接正方形ABCD．（保留作图痕迹．不写作法） 12．已知正六边形ABCDEF，请仅用无刻度直尺，按要求画图： (1)在图1中，画出CD的中点G； (2)在图2中，点G为CD中点以G为顶点画出一个菱形． 13．已经学习了将已知半径R的圆五等分，进而画正五边形、正六边形的作法，但这都是在已知半径为R的圆内作出的．实际应用中往往要画出给定边长的正五边形、正六边形．如图，在中，，，下面给出以为边利用圆规和无刻度直尺画出的正五边形的方法： ①以C为圆心，的长为半径画圆，与的延长线交于点D； ②再分别以A，B为圆心，的长为半径画弧，两弧在下方交点记为点E； ③再分别以A，B为圆心，的长为半径画弧，各交②中所作两弧的一条于点F，G； ④连接，，，，得正五边形． 请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图中作出正五边形（保留作图痕迹，不写作法）． 14．如图，在正五边形中，请仅用无刻度直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中作一条与边平行的线段． (2)在图2中作出线段，使得． 15．在等边中，按如下步骤作图： ①延长； ②以为圆心，以为半径作圆，交于点； ③以为圆心，以为半径作圆，交于点； ④以为圆心，以为半径作圆，交于点； ⑤连接． (1)求证：． (2)尺规作图完成正六边形．（不写作法，保留作图痕迹） 【易错警示】 正多边形尺规作图时，易出现等分圆弧不均匀、作图痕迹不保留的问题。容易误将任意等分圆当作正多边形，作图步骤不规范，混淆边长、半径关系，导致画出的图形不对称、不符合标准，造成作图失分。 题型4 利用正多边形和圆的关系求半径 16．如图，边长为4的正六边形内接于，则它的内切圆半径为（    ） A．1 B．2 C． D． 17．如图，正六边形内接于，若四边形的面积为，则的半径为（   ） A．2 B． C． D．4 18．如图，正方形的边长为，以边上的动点为圆心，为半径作圆，将沿翻折至，若过一边上的中点，则的半径为 ____________________． 19．如图，面积为8的正方形内接于，则的半径为__________． 20．如图，正方形内接于，M为上的一点，连接． (1)若，求证：M为的中点． (2)若正方形的面积为4，请直接写出的半径． 题型5 利用正多边形和圆的关系求面积 21．如图，边长相等的正六边形和正方形部分重叠摆放在一起，已知正方形面积是4，那么非阴影部分面积是（　　） A．8 B． C．4 D． 22．如图所示正六边形的面积为6，点是边的中点，连接相交于，若四边形的面积记作，四边形的面积记作，则的值是（    ）    A． B．1 C． D．2 23．刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用圆的内接正多边形的面积无限逼近圆的面积并以此求取圆周率的方法．如图，的半径为2，若用的内接正六边形的面积来估计的面积，则的面积与其内接正六边形的面积的差值为_________． 24．南北朝数学家祖冲之用“割圆术”首次将“圆周率”精算到小数第七位，割圆术是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积，以此可求得圆周率的近似值．如图，若的半径为1，则圆的面积与其内接正十二边形面积的差为_____． 25．如图，的半径为4，正六边形内接于，求的面积． 题型6 正多边形与圆的规律问题 26．如图1，图2，图3⋯，M、N分别是的内接正三角形，正方形，正五边形，…的边上的点，且，连接，图1中，图2中，图3中…，根据这样的规律，图n中的度数是______． 27．如图，正六边形的边长为2，正六边形的外接圆与正六边形的各边相切，正六边形的外接圆与正六边形的各边相切……按这样的规律进行下去，的边长为___________． 28．如图，，作边长为1的正六边形，边、分别在射线OM、ON上，边所在的直线分别交OM、ON于点、，以为边作正六边形，边所在的直线分别交OM、ON于点、，再以为边作正六边形，…，依此规律，经第n次作图后，点到ON的距离是______． 29．李老师带领班级同学进行拓广探索，通过此次探索让同学们更深刻的了解的意义． (1)[定义]我们将正n边形的周长L与正多边形对应的内切圆的周长C的比值，称作这个正n边形的“正圆度”．如图，正三角形的边长为1，求得其内切圆的半径为，因此___________； (2)[探索]分别求出正方形和正六边形的“正圆度”； (3)[总结]随着n的增大，具有怎样的规律，试通过计算，结合圆周率的诞生，简要概括． 30．[阅读与思考]如图①，在正三角形 中，点 ， 是，上的点，且 ，则， 　　； 如图②，在正方形 中，点，是，上的点，且，则， 　　； 如图③，在正五边形 中，点，是，上的点，且，则， 　　； [理解与运用]在正六边形 中，点，是，上的点，且，则， 　　； 在正十边形 中，点，是，上的点，且，则， 　　； [归纳与总结]根据以上规律，在正 边形 中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点，是 ，上的点，且， 与 相交于；也会有类似的结论，你的结论是　　． 题型7 正多边形与圆的综合 31．阅读与思考 尺规作图 一把直尺，一副圆规，就能开启奇妙的几何之旅．五种基本尺规作图，是构建万千图形的“钥匙”．不仅能完成严谨的几何证明与图形绘制，还能设计出对称精美的几何图案． 正方形内嵌正八边形，就是其中极具代表性的经典图案．如果一个正方形里面嵌套了一个正八边形，且正八边形至少有四个顶点分别在正方形的四条边上，那么我们称这个正八边形内嵌于这个正方形．你能用尺规作出图1或图2中正方形的内嵌正八边形吗？ 初步分析：从整体特征与元素特征两个角度回顾正八边形的性质． （1）整体特征：具有轴对称性和旋转对称性． （2）元素特征：各边相等，各角相等且都等于． 深入分析：以图2正方形内嵌正八边形为例，如图3，连接，，，，发现的结论如下： （1），，，分别是正方形各边的中点； （2）是顶角为，底角为的等腰三角形； （3）中，； （4）___________________________． 动手作图：利用作垂直平分线和角平分线的方法作图 （1）如图4，作边，的垂直平分线，分别交，，，于点，，，； （2）分别作和的角平分线，交于点；利用旋转对称性作出点，，； （3）顺次连接这八个点． ∴八边形为正方形的内嵌正八边形． 任务： (1)请根据“深入分析”中的条件，写出一条你发现的结论______________． (2)类比研究图2正方形内嵌正八边形的方法，如图5，连接，，交于点．线段是否与线段相等，请说明理由． (3)请根据你发现的几何结论，换一种尺规作图方式，在正方形中作出其内嵌正八边形（不写作图步骤，保留作图痕迹）． 32．如图1，在中，，锐角所对的直角边与相邻的直角边的比值称为的坡度，记为“”，即，同样地，．对于锐角的每一个确定的值，都有唯一确定的值与它对应． 请回答以下问题： (1)______的函数（填“是”或“不是”） (2)在中，，，则______； (3)在中，，，则______； (4)在中，，，则______； (5)如图2，在中，，是的中点，过点作的垂线交于点，，，则______； (6)如图3，两个边长相等的正六边形的公共边为，点，，在同一直线上，点，分别为两个正六边形的中心，则______； 33．正多边形可以由等分圆周得到，请探究下列问题： (1)已知正方形的外接圆半径为，则正方形的面积为_________． (2)如图，正六边形与正十二边形内接于同一个圆中，已知圆的半径为3，记圆的面积为，正六边形的面积为，正十二边形的面积为．令，，求的值． (3)由（2）可知，将圆等分后围成的正多边形边数越大，与圆的面积就越接近．设正n边形（且为整数）的外接圆半径为r，面积为S．试用含n，r的式子表示S． 34．有一个边长为6的等边． 【概念理解】 如果这个等边的各顶点和各边均在某个平面图形或图形的内部，则称这个平面图形能覆盖这个等边． 例如：用1个圆覆盖这个等边，这样的圆可以作出无数个，其中最小的圆的半径为________． 【活动探究一】 小明想用2个等圆，（可以有部分重叠）组成一个新的平面图形来覆盖这个等边，思考后，小明先以为直径作了．请你继续探究： （1）请用圆规在图1中作出1个符合题意的； （2）如图2，设该三角形未被覆盖的区域内（包含边界）的任意一点与点的距离为，则的取值范围是_________； （3）满足题意的点的集合是怎样的图形？请利用尺规，在图2中将它表示出来． 【活动探究二】小聪以这个等边三角形的一边为直径作了，如图3，他想到可以用3个等圆，，（可以有部分重叠）组成一个新的平面图形来覆盖这个等边，并且这三个等圆的半径最小．请你在图3中作出其中的两个圆的圆心． 要求：①仅用无刻度的直尺作图；②作这两个圆心的方法是不同类型的作法． 35．如图1，正五边形内接于，阅读以下作图过程，并回答下列问题： 作法：如图2． 1．作直径． 2．以点为圆心，为半径作圆弧，与交于点，． 3．连接，，． (1)是正三角形吗？请说明理由． (2)从点开始，以的长为边长，在上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正边形，求的值． 题型8 正多边形与圆的新定义问题 36．如图，正三角形、正方形、正六边形等正n边形与圆的形状有差异，我们将正n边形与圆的接近程度称为“接近度”． (1)角的“接近度”定义：设正n边形的每个内角的度数为，将正n边形的“接近度”定义为．于是越小，该正n边形就越接近于圆， ①若，则该正n边形的“接近度”等于 ． ②若，则该正n边形的“接近度”等于______． ③当“接近度”等于______．时，正n边形就成了圆． (2)边的“接近度”定义：设一个正n边形的外接圆的半径为R，正n边形的中心到各边的距离为d，将正n边形的“接近度”定义为．分别计算时边的“接近度”，并猜测当边的“接近度”等于多少时，正n边形就成了圆？ 37．阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“等边半正多边形”的研究报告 博学小组 研究对象：等边半正多边形 研究思路：类比三角形、四边形，按“概念﹣性质﹣判定”的路径，由一般到特殊进行研究． 研究方法：观察（测量、实验）﹣猜想﹣推理证明 研究内容： 【一般概念】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其各边都相等，且相间的角相等、相邻的角不相等，我们称这个凸多边形为等边半正多边形．如图1，我们学习过的菱形（正方形除外）就是等边半正四边形，类似地，还有等边半正六边形、等边半正八边形… 【特例研究】根据等边半正多边形的定义，对等边半正六边形研究如下： 概念理解：如图2，如果六边形是等边半正六边形，那么，，，且． 性质探索：根据定义，探索等边半正六边形的性质，得到如下结论： 内角：等边半正六边形相邻两个内角的和为▲°． 对角线：… 任务： (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容： ． (2)如图3，六边形是等边半正六边形．连接对角线，猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图4，已知是正三角形，是它的外接圆．请在图4中作一个等边半正六边形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 38．定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． （1）如图1，若四边形是圆美四边形，则美角______度． （2）在（1）的条件下，若的半径为10． ①求的长． ②如图2，在四边形中，若平分，求证：． （3）在（1）的条件下，如图3，若是的直径，用等式直接写出线段，，之间的数量关系． 39．定义：我们将能完全覆盖某平面图形的圆称为该平面图形的覆盖面．其中，能完全覆盖平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆． 例如：如图1，线段的最小覆盖圆就是以线段为直径的圆； 【初步思考】 （1）边长为的正方形的最小覆盖圆的半径是______； （2）如图2，边长为的两个正方形并列在一起，则其最小覆盖圆的半径是______； 【深入研究】 （1）请分别作出图3中两个三角形的最小覆盖圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． （2）如图4，在正方形网格中建立的平面直角坐标系中，的顶点位于坐标原点，顶点、的坐标分别为、．则的最小覆盖圆的圆心坐标为______，半径长为______；如图5，钝角中，，，则的最小覆盖圆的半径为______． 【生活应用】 某地有四个村庄，，，（其位置如图6所示），现拟建一个5G网络信号中转站，为了使这四个村庄的居民都能接收到信号，且使中转站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），经过工程人员测量得到及图中相关各角度等数据，四边形区域最小覆盖圆的半径为______． 40． 定义：在凸四边形中，我们把两组对边乘积的和等于对角线的乘积的四边形称为“完美四边形” （1）在正方形、矩形、菱形中，一定是“完美四边形”的是______． （2）如图1，在△ABC中，AB=2，BC=，AC=3，D为平面内一点，以A、B、C、D四点为顶点构成的四边形为“完美四边形”，若DA，DC的长是关于x的一元二次方程x2-(m+3)x+(5m2-2m+13)=0(其中m为常数)的两个根，求线段BD的长度． （3）如图2，在“完美四边形”EFGH中，∠F=90°，EF=6，FG=8，求“完美四边形”EFGH面积的最大值． 1．如果一个正多边形的中心角是45°，那么这个正多边形的边数是（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 2．如图，正五边形内接于，点是优弧上一点，连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，点是以点为中心的正多边形的顶点，若，则该正多边形的边数为（    ） A．7 B．8 C．10 D．11 4．张同学在学习圆内接正多边形时，作了一个如图所示的圆内接正八边形．若的半径为，则这个圆内接正八边形的面积为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在正八边形中，连接，，，，与交于点O，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正方形周长近似估计的周长，可得的估计值为，若用圆内接正六边形作近似估计，可得的估计值为（ ）． A． B． C．3 D． 7．如图，正五边形内接于，点是弧上的动点，则的度数为（   ） A． B． C． D．随着点F的变化而变化 8．我国古代重要建筑的室内上方，通常会在正中部位做出向上凸起的穹窿状装饰，称为藻井．北京故宫博物院内的太和殿上方即有藻井图，全称为龙凤角蝉云龙随瓣枋套方八角浑金蟠龙藻井．它展示出精美的装饰空间和造型艺术．从分层构造上来看，太和殿藻井由三层组成：最外层为方井，中层为八角井，内层为圆井．图2是由图1抽象出的平面图形．若内层圆井的面积为，则最外层方井的边长是（   ） A． B．1 C． D．2 9．如图，的半径等于6，其内接正六边形中，交于点交于点，则四边形的面积是（   ） A．36 B． C． D．24 10．如图，正六边形内作正方形，连接，交于点O，则的值为（  ） A． B． C． D． 11．高港传统建筑中的“斗拱”构件蕴含有丰富的几何知识．某正方形斗拱构件的边长为2，其内切圆的面积为______．（结果保留π） 12．如图，A，B，C，D为一个正多边形的顶点，点O为该正多边形外接圆的圆心，连接、，，则这个正多边形是边数为____________． 13．第四套人民币中1角硬币采用了圆内接九边形的独特设计．九边形设计呼应了中国传统文化中“九”为尊数的概念，这个正九边形的中心角等于_____°． 14．太极八卦图蕴含着丰富的传统文化与数学奥秘，其外围的卦象排布可近似看作一个正八边形（如图）．则这个正八边形的中心角度数为________． 15．某手工艺人制作圆形正五边形拼接装饰盘，需用正五边形木片排成圆环状，这些木片完全相同．现已摆放3个正五边形木片，呈现如图所示的位置关系．手工艺人计划将这些木片围绕圆形装饰盘排成一个完整的圆环状．要完成这一圆环排列，总共需要______个正五边形木片． 16．如图，正六边形内接于，点P是弧上任意一点，连接，，则的度数为______． 17．拙政园的天泉亭因亭内正中一口元代古井——天泉井而得名，天泉亭形制为重檐八角攒尖亭，从亭子正上方俯瞰，呈正八边形（如图），图中是由绕着点按逆时针方向旋转一定角度得到，则旋转角的度数为________． 18．如图，，分别是的内接正五边形和内接正三角形的一边，连接．若，则的度数为___________． 19．我国古代数学家刘徽发现，圆内接正多边形边数不断增加时，多边形的周长就逼近圆周长，从而创立“割圆术”，为计算圆周率建立起完善的算法．如图，六边形是圆内接正六边形，把每段弧二等分，作出一个圆内接正十二边形，连接，，交于点，若，则半径的长为______． 20．如图，圆心恰好为正六边形的中心，已知的半径为，现将在正六边形内部沿某一方向平移，当它与正六边形的某条边相切时停止平移，设此时平移的距离为，则的取值范围是__________． 21．一个多边形的所有内角与它的外角和的和是． (1)求该多边形的边数； (2)若该多边形为正多边形，求中心角的度数． 22．如图，正方形的外接圆为，点P在劣弧上（不与点C重合）．    (1)求的度数； (2)若的半径为8，求正方形的边长． 23．正六边形的边长为8，求这个正六边形的周长和面积． 24．如图，正方形内接于，E是的中点，连接．    (1)求∠E的度数． (2)求证：． (3)若，则点E到的距离为 ． 25．根据要求利用“圆规和无刻度直尺”完成作图． (1)作的一个内接等边三角形； (2)作的一个外切直角三角形． 26．如图，的半径为． (1)求作它的内接正方形； (2)求正方形的边长． 27．如图，是的直径，，是的弦，，延长到D，连接，． (1)求证：是的切线； (2)以为边的圆内接正多边形的周长等于 ． 28．如图，的半径为，六边形是圆内接正六边形，四边形是正方形． (1)求的度数； (2)求正六边形与正方形的面积比． 29．阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“等边半正多边形”的研究报告 博学小组 研究对象：等边半正多边形 研究思路：类比三角形、四边形，按“概念﹣性质﹣判定”的路径，由一般到特殊进行研究． 研究方法：观察（测量、实验）﹣猜想﹣推理证明 研究内容： 【一般概念】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其各边都相等，且相间的角相等、相邻的角不相等，我们称这个凸多边形为等边半正多边形．如图1，我们学习过的菱形（正方形除外）就是等边半正四边形，类似地，还有等边半正六边形、等边半正八边形… 【特例研究】根据等边半正多边形的定义，对等边半正六边形研究如下： 概念理解：如图2，如果六边形是等边半正六边形，那么，，，且． 性质探索：根据定义，探索等边半正六边形的性质，得到如下结论： 内角：等边半正六边形相邻两个内角的和为▲°． 对角线：… 任务： (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容： ． (2)如图3，六边形是等边半正六边形．连接对角线，猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图4，已知是正三角形，是它的外接圆．请在图4中作一个等边半正六边形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 30．解决以下问题 (1)如图1，等腰内接于，，，连接并延长交于点D，交于点H．请你仅使用无刻度的直尺在图1中作出一个正六边形，保留作图痕迹（作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）； (2)如图2，是的外接圆，，P是⊙O上一点，请你只用无刻度的直尺，在⊙O上画一点D，使得平分； (3)如图3，在5×5的网格中，的三个顶点都在格点上，圆是的外接圆，只用无刻度的直尺在图3中上画出点F（点F不与点C重合），使得． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 正多边形与圆 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 求正多边形的中心角 题型2 已知正多边形的中心角求边数 题型3 尺规作图—正多边形 题型4 利用正多边形和圆的关系求半径 题型5 利用正多边形和圆的关系求面积 题型6 正多边形与圆的规律问题 题型7 正多边形与圆的综合 题型8 正多边形与圆的新定义问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 中心角 尺规作正多边形 正多边形与圆综合 1. 认识正多边形与圆的关系，掌握正多边形相关基本概念。 2. 理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角的定义。 3. 掌握正多边形中心角、内角的计算公式并熟练运算。 4. 学会利用半径、边心距构造直角三角形求解边长。 5. 体会数形结合思想，提升正多边形几何解题能力。 学习重点：掌握正多边形与圆的相关概念，熟练计算中心角、边长及边心距。 学习难点：借助直角三角形模型，灵活解决正多边形的综合计算问题。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 正多边形的相关概念 正多边形的相关概念 　　各边相等，各角也相等的多边形是正多边形． 要点：判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形). 1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形 　　正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆． 2.正多边形的有关要素 　　(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． 　　(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径． 　　(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． 　　(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 3.正多边形的有关计算 　　(1)正ｎ边形每一个内角的度数是； 　　(2)正ｎ边形每个中心角的度数是； 　　(3)正ｎ边形每个外角的度数是. 要点：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形. 即时即练 1．下列说法正确的是（   ） A．三点确定一个圆 B．相等的圆周角所对的弧相等 C．各边都相等的多边形是正多边形 D．三角形的内心到三角形三边的距离相等 【答案】D 【分析】本题考查三角形的内心和外心、垂径定理、确定圆的条件，根据不在同一条直线上的三个点确定一个圆，如果三个点在同一条直线上，则没有同时过这三个点的圆，可以判断A；根据垂径定理可以判断B；根据正多边形的定义，可以判断C；根据三角形的内心到三角形三边的矩离相等，三角形的外心到三角形各个顶点的距离相等，可以判断D． 【详解】解：不在同一条直线上的三个点确定一个圆，如果三个点在同一条直线上，则没有同时过这三个点的圆，故选项A错误，不符合题意； 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故选项B错误，不符合题意； 各边都相等各角都相等的多边形是正多边形，故选项C错误，不符合题意； 三角形的内心到三角形三边的矩离相等，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 2．每一片雪花各顶点连接其外形就是正六边形．若绕这个正六边形的中心O旋转至和原图形重合，至少需要旋转（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正多边形与圆，求出正六边形的中心角度数，即可得出结果． 【详解】解：正六边形的中心角的度数为， ∴绕这个正六边形的中心旋转至和原图形重合，至少需要旋转． 故选D． 3．下列命题：①三点确定一个圆；②正多边形是中心对称图形；③正六边形的半径与边长相等；④三角形的外心到三角形各边的距离相等，其中真命题的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了命题与定理：要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判定一个命题是假命题，只需要举出一个反例即可．也考查了正多边形，正六边形，确定圆的条件，三角形的外心等． 根据确定圆的条件判定①，根据正多边形的性质判定②，根据正方六边形的性质判定③，根据三角形的外心性质判断④． 【详解】解：A．不共线的三个点确定一个圆，故些项为假命题，不符合题意； B．正三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此项是假命题，不符合题意； C．正六边形的半径与边长相等，故此项是真命题，符合题意； D．三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故此项为假命题，不符合题意． 真命题有1个， 故选：D． 知识点02 正多边形的性质 正多边形的性质 　　1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形. 　　2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形. 　　3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心. 　　　　　　　　 4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方． 5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 要点：（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形. 即时即练 4．如图，圆内接正六边形的一边，点在弧上，且是圆内接正八边形的一边．此时是圆内接正边形的一边，则的值是（    ）    A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】D 【分析】本题考查正多边形和圆的计算．根据中心角的度数边数，列式计算分别求出的度数，则，则边数中心角，据此求解即可． 【详解】解：连接，，    ∵是内接正六边形的一边， ∴ ∵是内接正八边形的一边， ∴ ∴ ∴ ． 故选：D． 5．如图，正六边形与正方形有重合的中心O，若是正n边形的一个中心角，则n的值为___________． 【答案】12 【分析】本题主要考查了求正多边形的中心角，已知正多边形的中心角求边数等知识点，熟练掌握正n边形的每个中心角都等于是解题的关键．连接，由正六边形与正方形可得，，进而可得，再由“正n边形的每个中心角都等于”即可得出答案． 【详解】解：连接， 正六边形与正方形有重合的中心O， ， ， 是正n边形的一个中心角， ． 故答案为：12． 6．如图，正方形内接于，连接，点F是的中点，过点D作的切线与的延长线相交于点G． (1)试判断与的位置关系，并说明理由． (2)求的度数． 【答案】(1),理由见解析 (2) 【分析】（1）连接，可得，根据切线的定义可得，即可得出结论． （2）根据正方形的性质可得，，，则．根据点F是的中点，可得．最后根据平行线的性质可得． 【详解】（1）解：． 理由：如图，连接， ∵正方形内接于， ∴． ∵与相切于点D， ∴，即． ∴， ∴． （2）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴． ∵点F是的中点， ∴， ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆的内接正多边形，平行线的判定和性质，圆周角定理，解题的关键是掌握圆内接正多边形的中心角，同弧所对的圆周角相等，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，以及平行线的判定和性质． 知识点03 正多边形的画法 正多边形的画法 1.用量角器等分圆 　　由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形. 2.用尺规等分圆 　　对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图. 　　　①正四、八边形. 　　 　　在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形. 再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交于 E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形. 　　②正六、三、十二边形的作法. 　　 　　通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点. 　　显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点. 　　同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12等分……. 要点：画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点. 即时即练 7．按照要求进行尺规作图（保留作图痕迹，不写作图过程） (1)在图①中作正方形，且顶点都在圆上． (2)在图②中将圆的面积6等分． 【答案】(1) 如图，正方形即为所求； (2) 如图所示： 【分析】（1）在圆上任意找一点A，作弦，，分别作，的垂直平分线，则两条垂直平分线的交点即为圆心O，作直径，过点O作的垂直平分线，与交于B、D两点，顺次连接A、B、C、D，则四边形即为所求作的正方形． （2）根据解析（1）的方法，先找出圆心O，然后在上任意找一点A，以点A为圆心为半径画弧，交于点B，然后以点B为圆心为半径画弧，交于点C，依次找出点D、E、F，连接、、、、、，即可将圆的面积6等分． 【详解】（1）略 （2）略 8．已知正五边形，请仅用无刻度直尺作图． （1）在图1中作点P，使得是等腰三角形： （2）在图2中作点，使点称为正五边形的中心． 【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析． 【分析】（1）直接利用正多边形的性质得出点P的位置； （2）利用正五边形的性质，得出对角线交点，进而得出其中心P点位置． 【详解】解：（1）如图所示：点P为所求； （2）如图所示：点O为所求； 【点睛】此题主要考查了复杂作图以及等腰三角形的性质和正多边形的性质，正确应用正五边形的性质是解题关键． 9．如图，已知等边△ABC，请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹） （1）作△ABC的外接圆圆心O； （2）设D是AB边上一点，在图中作出一个等边△DFH，使点F，点H分别在边BC和AC上； （3）在（2）的基础上作出一个正六边形DEFGHI． 【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析 【分析】（1）根据垂直平分线的作法作出AB，AC的垂直平分线交于点O即为所求； （2）取BF＝CH＝AD构成等边三角形； （3）作新等边三角形边的垂直平分，确定外心，再作圆确定另外三点，六边形DEFGHI即为所求正六边形． 【详解】（1）如图所示：点O即为所求． （2）如图所示，等边△DFH即为所求； （3）如图所示：六边形DEFGHI即为所求正六边形． 【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质． 题型1 求正多边形的中心角 1．若正五边形绕着它的中心旋转一定的角度后与原来位置重合，则这个角度可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正多边形的旋转对称性，正n边形绕中心旋转后与自身重合，最小旋转角度为． 【详解】解：∴正五边形的最小旋转角为， ∴当旋转角度是的整数倍，即可与原位置重合， 选项中只有符合要求． 2．青铜太阳轮为三星堆二号祭祀坑出土的商代青铜器，距今约3000年，如图所示，它的正面图形可近似地看作是将圆五等分得到的，则图中的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正多边形与圆，解题的关键是记住中心角．求出正五边形的中心角即可． 【详解】解：正五边形的中心角． 故选：C． 3．古希腊时期，正九边形被认为是完美和神圣的象征，代表着和谐与平衡．第四套人民币中1角硬币采用了圆内接正九边形的独特设计，这个正九边形的中心角为______．      【答案】 【分析】本题考查了正多边形和圆的关系，根据正多边形和圆的关系可得：正九边形的中心角为，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据正多边形和圆的关系可得：正九边形的中心角为， 故答案为：． 4．如图，在正八边形中，连接与交于点，则的度数是______． 【答案】 【分析】本题考查多边形的内角与外角，掌握正八边形的性质以及圆周角定理是正确解答的关键． 根据正八边形的性质以及圆周角定理进行计算即可． 【详解】解：由正八边形的对称性可知，点是正八边形的中心， 所以， 故答案为：． 5．如图，，分别为的内接正三角形、正四边形的一边，是圆内接正边形的一边，则的值为___________． 【答案】12 【分析】本题考查了正多边形与圆，根据已知条件推出是解题的关键．连接、、，根据题意可得，，利用角的和差得到，即可求出的值． 【详解】解：如图，连接、、， ∵为的内接正三角形的一边， ∴， ∵为的内接正四边形的一边， ∴， ∴， ∵是圆内接正边形的一边， ∴， 故答案为：12． 【易错警示】 计算正多边形中心角时，易记错公式误用内角公式替代。常看错边数导致计算出错，混淆中心角、内角、外角概念。未掌握周角均分原理，解题不理解公式由来，数值计算失误频发。 题型2 已知正多边形的中心角求边数 6．已知是的内接正十边形的一条边，是的内接正十五边形的一条边，那么以为边的正多边形的边数为___． 【答案】6或30 【分析】本题考查圆与正多边形，掌握好正多边形中心角的计算公式是解题关键． 根据正多边形的中心角公式，分别求出和所对的圆心角，再讨论劣弧和点C的相对位置，得到所对的圆心角，从而求出以为边的正多边形的边数． 【详解】解：∵是的内接正十边形的一条边，是⊙O的内接正十五边形的一条边， ∴，， ①当点在劣弧上时，如图， ， 则以为边的正多边形的边数为； ②当点在劣弧外时，如图， ， 则以为边的正多边形的边数为； 综上所述，以为边的正多边形的边数为或30． 故答案为：6或30． 7．如图，是的内接正多边形的一条边，连接、，，则这个正多边形的边数为___________． 【答案】 【分析】本题考查圆内接正多边形的中心角性质，掌握“正多边形的边数=单个中心角的度数”是解题关键． 圆内接正多边形的每个中心角相等，且所有中心角之和为，据此进行计算． 【详解】解：圆内接正多边形的中心角之和为，且每个中心角相等． 已知该正多边形的一个中心角，设正多边形的边数为，则： ． 故答案为：． 8．如图，为一个正多边形的相邻四个顶点，是正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了正多边形与圆，圆周角定理，设正多边形的外接圆为，连接，，所以，则这个正多边形为，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，设正多边形的外接圆为，连接，， ∵， ∴， ∴这个正多边形为， 故答案为：． 9．如果正n边形的中心角等于，求这个正多边形的边数． 【答案】 【分析】根据正多边形的中心角求解即可． 【详解】解：设正多边形的边数为， 根据题意，得， 解得， 这个正多边形的边数是15． 10．如图，正六边形内接于为上一点，连接． (1)求的度数； (2)当点为的中点时，是的内接正边形的一边，求的值． 【答案】(1) (2)12 【分析】本题主要考查了正多边形和圆以及圆周角定理、正六边形的性质，解题的关键是熟练掌握同弧所对的圆周角等于圆心角的一半． （1）连接，先根据正六边形的性质求出圆心角的度数，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，进行求解即可； （2）连接，，，求出圆心角的度数，再根据度数关系求边数即可． 【详解】（1）解：如图1，连接， 正六边形内接于， ． ； （2）解：如图2，连接，，， 正六边形内接于， ． 点为的中点， ， ． 题型3 尺规作图—正多边形 11．如图，已知AC为的直径．请用尺规作图法，作出的内接正方形ABCD．（保留作图痕迹．不写作法） 【答案】见解析 【分析】作AC的垂直平分线交⊙O于B、D，则四边形ABCD就是所求作的内接正方形． 【详解】解：如图，正方形ABCD为所作． ∵BD垂直平分AC，AC为的直径， ∴BD为的直径， ∴BD⊥AC，OB＝OD，OA＝OC，BD＝AC， ∴四边形ABCD是的内接正方形． 【点睛】本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆的基本性质，正方形的判定． 12．已知正六边形ABCDEF，请仅用无刻度直尺，按要求画图： (1)在图1中，画出CD的中点G； (2)在图2中，点G为CD中点以G为顶点画出一个菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）如图1，分别连接AD、CF交于点H，分别延长线段BC、线段ED于点I，连接HI与线段CD交于点G，点G即为所求； （2）如图2，延长线段IH与线段AF交于点J，连接BG、GE、EJ、JB，四边形BGEJ即为所求． 【详解】（1）如图1，分别连接AD、CF交于点H，分别延长线段BC、线段ED于点I，连接HI与线段CD交于点G，点G即为所求； （2）如图2，延长线段IH与线段AF交于点J，连接BG、GE、EJ、JB，四边形BGEJ即为所求． 【点睛】本题考查了无刻度直尺作图的问题，掌握正六边形的性质、中线的性质、菱形的性质是解题的关键． 13．已经学习了将已知半径R的圆五等分，进而画正五边形、正六边形的作法，但这都是在已知半径为R的圆内作出的．实际应用中往往要画出给定边长的正五边形、正六边形．如图，在中，，，下面给出以为边利用圆规和无刻度直尺画出的正五边形的方法： ①以C为圆心，的长为半径画圆，与的延长线交于点D； ②再分别以A，B为圆心，的长为半径画弧，两弧在下方交点记为点E； ③再分别以A，B为圆心，的长为半径画弧，各交②中所作两弧的一条于点F，G； ④连接，，，，得正五边形． 请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图中作出正五边形（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】如图，正五边形即为所求， 【分析】根据题中步骤作图作图即可． 【详解】略 14．如图，在正五边形中，请仅用无刻度直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中作一条与边平行的线段． (2)在图2中作出线段，使得． 【答案】(1) 解：如图所示， 即为所求； (2) 解：如图所示，即为所求， 【分析】（1）连接即为所求； （2）延长交于点，连接交于点，则即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 15．在等边中，按如下步骤作图： ①延长； ②以为圆心，以为半径作圆，交于点； ③以为圆心，以为半径作圆，交于点； ④以为圆心，以为半径作圆，交于点； ⑤连接． (1)求证：． (2)尺规作图完成正六边形．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)图见解析 【分析】（1）连接，易得，进而得到为等边三角形，得到，再根据平角的定义即可得出结论； （2）以为圆心，的长为半径画圆交于点，以为圆心，的长为半径画圆，两圆交于点，连接，即可． 【详解】（1）解：连接，由作图可知：， ∴为等边三角形， ∴， ∴； （2）解：由题意，作图如下： 【易错警示】 正多边形尺规作图时，易出现等分圆弧不均匀、作图痕迹不保留的问题。容易误将任意等分圆当作正多边形，作图步骤不规范，混淆边长、半径关系，导致画出的图形不对称、不符合标准，造成作图失分。 题型4 利用正多边形和圆的关系求半径 16．如图，边长为4的正六边形内接于，则它的内切圆半径为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正多边形和圆，掌握正六边形的性质以及勾股定理是正确解答此题的关键．根据正六边形的性质知是正三角形，在中，利用勾股定理进行计算即可． 【详解】解：如图，连接，，过点作，垂足为点， 六边形是正六边形，点是它的中心， ， ， 是正三角形， ， ， 在中，，， ． 故答案为：D． 17．如图，正六边形内接于，若四边形的面积为，则的半径为（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】D 【分析】本题考查了圆内接正多边形、菱形的判定与性质、一元二次方程的应用等知识，熟练掌握圆内接正多边形的性质是解题关键．连接于点，设的半径为，则，先证出四边形是菱形，再根据菱形的性质可得，然后利用三角形的面积公式建立方程，解方程即可得． 【详解】解：如图，连接于点， 设的半径为，则， ∵正六边形内接于， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 同理可得：， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵四边形的面积为， ∴，即， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴的半径为， 故选：D． 18．如图，正方形的边长为，以边上的动点为圆心，为半径作圆，将沿翻折至，若过一边上的中点，则的半径为 ____________________． 【答案】或或 【分析】分三种情况讨论，设的半径为，分别根据勾股定理，即可求解． 【详解】设的半径为，当经过的中点，即经过的中点， ∴， 当经过的中点，则， ∴，， 在中， ∴ 解得：（负值舍去） 当经过的中点，即经过的中点，设的中点为， ∴ ∴ 解得： 综上所述，半径为、、 故答案为：或或． 【点睛】本题考查翻折的性质，勾股定理，正方形的性质，掌握翻折的性质，勾股定理，正方形的性质以及分类讨论是正确解答的关键． 19．如图，面积为8的正方形内接于，则的半径为__________． 【答案】2 【分析】因为已知正方形面积，所以可先通过正方形面积公式求出正方形的边长．因为正方形内接于圆，所以正方形的对角线是圆的直径，结合勾股定理可求出正方形的对角线长度．因为圆的半径是直径的一半，所以用求得的对角线长度除以2即可得到圆的半径． 【详解】解：连接，设正方形边长为， ∵正方形面积为， ∴． ∵正方形内接于， ∴正方形的对角线为的直径． 设半径为r， ． 根据勾股定理，： ∴， 代入， 得， 化简得． ∵半径为正数， ∴． 20．如图，正方形内接于，M为上的一点，连接． (1)若，求证：M为的中点． (2)若正方形的面积为4，请直接写出的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查正方形的性质、正多边形与圆等知识，推导出是解题的关键． （1）由正方形得，可得，由得，由得，从而可得结论； （2）由正方形的面积为4得正方形的边长为2，连接得是等腰直角三角形，可求出． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴M为的中点 （2）解：∵正方形的面积为4， ∴正方形的边长为2， 连接， ∴是等腰直角三角形， ∴，即圆的半径为． 题型5 利用正多边形和圆的关系求面积 21．如图，边长相等的正六边形和正方形部分重叠摆放在一起，已知正方形面积是4，那么非阴影部分面积是（　　） A．8 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形、正方形的性质是正确解答的关键．根据正方形的面积求出正方形的边长，即正六边形的边长，由正六边形的性质以及面积的计算方法求出正六边形的面积即可． 【详解】解：∵阴影正方形面积是4， ∴正方形的边长为2， 即正六边形的边长为2， ∴正六边形的面积为， ∴非阴影部分面积是， 故选：B． 22．如图所示正六边形的面积为6，点是边的中点，连接相交于，若四边形的面积记作，四边形的面积记作，则的值是（    ）    A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】，根据正六边形的性质分别求出 即可． 【详解】解：连接，如图所示：    由正六边形的对称性可知： ∴是全等的等边三角形 ∴四边形是菱形 同理， ∵ ∴ ∵点是边的中点 ∴ ∵ ∴ 故选：B 【点睛】本题考查了正六边形的性质．将所求面积与正六边形的面积建立联系是解题关键． 23．刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用圆的内接正多边形的面积无限逼近圆的面积并以此求取圆周率的方法．如图，的半径为2，若用的内接正六边形的面积来估计的面积，则的面积与其内接正六边形的面积的差值为_________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查正多边形与圆、等边三角形的性质、勾股定理等，正确应用正六边形的性质是解题关键．连接、，根据正多边形和圆的关系可判断出为等边三角形，过点O作于点M，则，再利用勾股定理即可求出长，进而可求出的面积，最后利用圆的面积公式计算圆的面积，利用内接正六边形的面积为，即可计算出结果． 【详解】解：如图，连接、， 由题意可得：， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 过点O作于点M，则， 在中，， ∴， ∴⊙O的面积为：， 内接正六边形的面积， ∴的面积与其内接正六边形的面积的差值为： 故答案为：． 24．南北朝数学家祖冲之用“割圆术”首次将“圆周率”精算到小数第七位，割圆术是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积，以此可求得圆周率的近似值．如图，若的半径为1，则圆的面积与其内接正十二边形面积的差为_____． 【答案】/ 【分析】利用圆面积公式，根据已知半径求出圆的面积，把圆内接正十二边形分割成12个等腰三角形，通过正十二边形中心角求出为等边三角形，得到相关边长和高，求出单个等腰三角形面积，乘以12得到正十二边形面积，用圆的面积减去正十二边形的面积，得出面积差． 【详解】解：如图，将圆内接正十二边形分割成12个等腰三角形，点A，B，C为顺次三个分点，连接，交于点D， ∵圆的半径， ∴， ∵正十二边形的中心角为， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴正十二边形的面积为12个这样的等腰三角形面积之和，即：， ∴． 25．如图，的半径为4，正六边形内接于，求的面积． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形与圆、等边三角形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据题意可得，推出是等边三角形，再利用等边三角形的性质和勾股定理求出的长，再利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：正六边形内接于， ， ， 是等边三角形， ， 如图，过O作的垂线， 则，， ， ． 题型6 正多边形与圆的规律问题 26．如图1，图2，图3⋯，M、N分别是的内接正三角形，正方形，正五边形，…的边上的点，且，连接，图1中，图2中，图3中…，根据这样的规律，图n中的度数是______． 【答案】 【分析】作多边形的半径，根据多边形的性质可证，得，再根据“等边对等角”得，于是可得，从而可证则，因此． 本题考查了正多边形的性质、全等三角形的判定和性质、等边对等角、正多边形中心角等知识点，解题的关键综合运用这些性质解题． 【详解】不失一般性，设时的情形，可以推广到一般情况．连接，如下图 由正多边形的性质知： ∴ ∴ 由得： ∴ 即： 又∵ ∴ ∴ ∴ 即： ∵ ∴ 故答案为：． 27．如图，正六边形的边长为2，正六边形的外接圆与正六边形的各边相切，正六边形的外接圆与正六边形的各边相切……按这样的规律进行下去，的边长为___________． 【答案】 【分析】连接，，，根据正六边形的性质可得，则为等边三角形，再根据切线的性质得，于是可得，利用正六边形的边长等于它的半径可得正六边形的边长，同理可得正六边形的边长，依此规律求解即可． 【详解】解：连接，，，如图所示， 六边形为正六边形， ， 为等边三角形， 正六边形的外接圆与正六边形的各边相切， ， ， 正六边形的边长， 同理可得正六边形的边长， 正六边形的边长． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查正多边形与圆的关系，解题的关键在于利用正六形边的一边与圆的两条半径可构成特殊的三角形——等边三角形，再利用60度角的余弦值即可求出下一个正六边形的边长． 28．如图，，作边长为1的正六边形，边、分别在射线OM、ON上，边所在的直线分别交OM、ON于点、，以为边作正六边形，边所在的直线分别交OM、ON于点、，再以为边作正六边形，…，依此规律，经第n次作图后，点到ON的距离是______． 【答案】 【分析】寻找规律求出OBn的长，根据Bn到ON的距离为OBn•sin60°计算即可． 【详解】解：观察图象可知OB1=2=2×30， OB2=2×31， OB3=2×32=18， OB4=2×33=54， OBn=2×3n-1， ∴Bn到ON的距离为2×3n-1•sin60°=， 故答案为：． 【点睛】本题考查正多边形与圆、等边三角形的性质、正六边形的性质等知识，解题的关键是掌握从特殊到一般的探究方法，属于中考常考题型． 29．李老师带领班级同学进行拓广探索，通过此次探索让同学们更深刻的了解的意义． (1)[定义]我们将正n边形的周长L与正多边形对应的内切圆的周长C的比值，称作这个正n边形的“正圆度”．如图，正三角形的边长为1，求得其内切圆的半径为，因此___________； (2)[探索]分别求出正方形和正六边形的“正圆度”； (3)[总结]随着n的增大，具有怎样的规律，试通过计算，结合圆周率的诞生，简要概括． 【答案】(1) (2)， (3)随着n的增大，越来越接近于1，见解析 【分析】（1）根据“正圆度”的定义进行求解即可； （2）设正方形边长和正六边形的边长都为1，求出此情形下对应的内切圆半径，再根据“正圆度”的定义进行求解即可； （3）根据（1）（2）所求可知随着n的增大，越来越接近于1，再由张衡和祖冲之对圆周率的研究即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：； （2）解：假设正方形边长1， ∴此时正方形的内切圆半径为， ∴； 设正六边形的边长为1，内切圆圆心为O，则， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴； （3）解：，随着n的增大，越来越接近于1．由张衡、祖冲之的研究，精进的取值的方法可知：正多边形，边长数越多，越接近于圆，因此当边长增多时，其周长L也与对应的内切圆周长更接近，其比值更接近于1． 【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，正确理解题意是解题的关键． 30．[阅读与思考]如图①，在正三角形 中，点 ， 是，上的点，且 ，则， 　　； 如图②，在正方形 中，点，是，上的点，且，则， 　　； 如图③，在正五边形 中，点，是，上的点，且，则， 　　； [理解与运用]在正六边形 中，点，是，上的点，且，则， 　　； 在正十边形 中，点，是，上的点，且，则， 　　； [归纳与总结]根据以上规律，在正 边形 中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点，是 ，上的点，且， 与 相交于；也会有类似的结论，你的结论是　　． 【答案】 ； ； ； ；；以上所求的角恰好等于正n边形的内角 【分析】根据等边三角形的性质得出，，进而利用全等三角形的判定与性质得出，； 根据正方形的性质以及全等三角形的判定与性质得出：； 根据正五边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出： ； 根据以上所求结论即可得正六边形中，； 根据以上所求结论即可得正十边形中，； 根据以上所求得出在正n边形中，类似的结论． 【详解】解：阅读与思考: ∵在正三角形中，点M，N是，上的点，且， ∵在 和 中 故答案为： ； ∵在正方形中，点M，N是 ， 上的点，且 在 和中 答案为：； ∵在正五边形 中，点M，N是 ，上的点，且 ，则 ∵在和中， 故答案为：； 理解与运用： ∵正三角形的内角度数为：；正方形的内角度数为：；正五边形的内角度数为：； ∴同理可得： 在正六边形中，点M，N是 ，上的点，且 ，则， ； 故答案为： ； 同理可得： 在正十边形中，点M，N是 ，上的点，且，则 ，； 故答案为：； 归纳与总结： 根据以上所求的角恰好等于正n边形的内角， 所以所求的角恰好等于正n边形的内角 故答案为：以上所求的角恰好等于正n边形的内角 【点睛】此题主要考查了正多边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练利用三角形的外角性质是解题关键． 题型7 正多边形与圆的综合 31．阅读与思考 尺规作图 一把直尺，一副圆规，就能开启奇妙的几何之旅．五种基本尺规作图，是构建万千图形的“钥匙”．不仅能完成严谨的几何证明与图形绘制，还能设计出对称精美的几何图案． 正方形内嵌正八边形，就是其中极具代表性的经典图案．如果一个正方形里面嵌套了一个正八边形，且正八边形至少有四个顶点分别在正方形的四条边上，那么我们称这个正八边形内嵌于这个正方形．你能用尺规作出图1或图2中正方形的内嵌正八边形吗？ 初步分析：从整体特征与元素特征两个角度回顾正八边形的性质． （1）整体特征：具有轴对称性和旋转对称性． （2）元素特征：各边相等，各角相等且都等于． 深入分析：以图2正方形内嵌正八边形为例，如图3，连接，，，，发现的结论如下： （1），，，分别是正方形各边的中点； （2）是顶角为，底角为的等腰三角形； （3）中，； （4）___________________________． 动手作图：利用作垂直平分线和角平分线的方法作图 （1）如图4，作边，的垂直平分线，分别交，，，于点，，，； （2）分别作和的角平分线，交于点；利用旋转对称性作出点，，； （3）顺次连接这八个点． ∴八边形为正方形的内嵌正八边形． 任务： (1)请根据“深入分析”中的条件，写出一条你发现的结论______________． (2)类比研究图2正方形内嵌正八边形的方法，如图5，连接，，交于点．线段是否与线段相等，请说明理由． (3)请根据你发现的几何结论，换一种尺规作图方式，在正方形中作出其内嵌正八边形（不写作图步骤，保留作图痕迹）． 【答案】(1)（答案不唯一，合理即可） (2)． 理由如下： ∵正八边形的内角和是， ∴， ∴，， ∴． ∵四边形是正方形， ∴． ∵八边形是正八边形， ∴． 在与中， ∴， ∴． 设． 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴，． 在中，， ∴， ∴． ∴． (3)如图，八边形即为所作．（答案不唯一，合理即可） 【分析】（1）根据点，由旋转对称性作图得到，得出，即可求解． （2）根据多边形内角和定理求得，进而可得，根据四边形是正方形，得出，根据正八边形得出，证明得出，设，解直角三角形得出，则在中，根据，得出，即可证明． （3）根据正方形的性质和正八边形的定义进行作图即可． 【详解】（1）解：（答案不唯一，合理即可） ∵，且点，由旋转对称性作图得到， ∴对角线经过正方形内嵌正八边形的顶点和， ∴． （2）略 （3）略 32．如图1，在中，，锐角所对的直角边与相邻的直角边的比值称为的坡度，记为“”，即，同样地，．对于锐角的每一个确定的值，都有唯一确定的值与它对应． 请回答以下问题： (1)______的函数（填“是”或“不是”） (2)在中，，，则______； (3)在中，，，则______； (4)在中，，，则______； (5)如图2，在中，，是的中点，过点作的垂线交于点，，，则______； (6)如图3，两个边长相等的正六边形的公共边为，点，，在同一直线上，点，分别为两个正六边形的中心，则______； 【答案】(1)是 (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）根据函数的定义，进行判断即可； （2）根据题意得到是等腰直角三角形，，结合坡度的计算方法即可求解； （3）根据题意得到，结合坡度的计算方法即可求解； （4）根据题意得到是等腰三角形，过点作于点，在上取点，连接，使得，设，根据含30度角的直角三角形的性质，得到，则，根据坡度的计算方法即可求解； （5）根据题意，得到，由垂直平分线得到，根据，由此即可求解； （6）根据题意，正六边形的每个内角为，每条边对应的圆心角的度数为，如图所示，连接，过点作于点，设正六边形的边长为，由此得到，结合坡度的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：∵对于锐角的每一个确定的值，都有唯一确定的值与它对应， ∴是的函数； （2）解：如图所示，，， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， 故答案为：； （3）解：如图所示，，， ∴，， ∴； （4）解：如图所示，，， ∴，是等腰三角形， 过点作于点，在上取点，连接，使得， ∴， ∴， 设，则， 由（2）的计算得到， ∴， ∴； （5）解：在中，， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， 在中，， ∴； （6）解：正六边形的每个内角为，每条边对应的圆心角的度数为， 如图所示，连接，过点作于点，设正六边形的边长为， ， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 33．正多边形可以由等分圆周得到，请探究下列问题： (1)已知正方形的外接圆半径为，则正方形的面积为_________． (2)如图，正六边形与正十二边形内接于同一个圆中，已知圆的半径为3，记圆的面积为，正六边形的面积为，正十二边形的面积为．令，，求的值． (3)由（2）可知，将圆等分后围成的正多边形边数越大，与圆的面积就越接近．设正n边形（且为整数）的外接圆半径为r，面积为S．试用含n，r的式子表示S． 【答案】(1)4 (2) (3) 【分析】（1）根据正方形的对角线长度等于外接圆的直径得正方形对角线长为，设正方形边长为a，可得，求出，可求面积； （2）分别计算圆的面积为，正六边形的面积为，正十二边形的面积为．计算出、的值，即可求出； （3）先求出一个等腰三角形的面积，再求正边形的面积即可． 【详解】（1）解：正方形的外接圆半径为，正方形的对角线长度等于外接圆的直径，即， 设正方形边长为a，根据正方形对角线与边长的关系得：， 解得， 因此正方形面积为：； （2）解：∵圆的半径为， ∴圆的面积； 正六边形可分成6个边长为3的等边三角形，如图， ， 过点作于点， ∴， ∴， ∴的面积， ∴； 正十二边形可分成12个顶角为的等腰三角形，如图， 连接，，则是等边三角形， ∴ ∴， ∴ ∴的面积， ∴， ∴，， ∴ （3）解：正边形可分成个顶角为的等腰三角形，如图， ∴， 过点作于点， ∴， ∴， ∴， ∴的面积， 所以，正边形的面积：． 34．有一个边长为6的等边． 【概念理解】 如果这个等边的各顶点和各边均在某个平面图形或图形的内部，则称这个平面图形能覆盖这个等边． 例如：用1个圆覆盖这个等边，这样的圆可以作出无数个，其中最小的圆的半径为________． 【活动探究一】 小明想用2个等圆，（可以有部分重叠）组成一个新的平面图形来覆盖这个等边，思考后，小明先以为直径作了．请你继续探究： （1）请用圆规在图1中作出1个符合题意的； （2）如图2，设该三角形未被覆盖的区域内（包含边界）的任意一点与点的距离为，则的取值范围是_________； （3）满足题意的点的集合是怎样的图形？请利用尺规，在图2中将它表示出来． 【活动探究二】小聪以这个等边三角形的一边为直径作了，如图3，他想到可以用3个等圆，，（可以有部分重叠）组成一个新的平面图形来覆盖这个等边，并且这三个等圆的半径最小．请你在图3中作出其中的两个圆的圆心． 要求：①仅用无刻度的直尺作图；②作这两个圆心的方法是不同类型的作法． 【答案】【概念理解】 【活动探究一】（1）见解析；（2）；（3）见解析 【活动探究二】见解析 【分析】【概念理解】求等边三角形的外接圆的半径即可； 【活动探究一】（1）以与的交点为圆心，到点的距离为半径画圆即可； （2）根据题意，可得未被覆盖的区域内（包含边界）的任意一点在内或上，再根据点和圆的位置关系即可求解； （3）根据的半径为3和该三角形未被覆盖的区域，即可求解； 【活动探究二】根据题意，可得半径最小的三个等圆，是以、、为直径的圆，则、的中点即为圆心、，作图即可． 【详解】解：【概念理解】如图，作的外接圆，即为半径最小的圆， 连接并延长交于点，连接， 等边的外接圆，， ，，垂直平分，平分， ，， 在中，，， 则，即， 解得； 故答案为：； 【活动探究一】（1）如图1，即为所求； （2）等圆，覆盖等边，的直径为， 和的半径为3， 又要把未被覆盖的区域全部覆盖， 未被覆盖的区域内（包含边界）的任意一点在内或上， 则这些点与点的距离为； 故答案为：； （3）如图2，分别以点，与、的交点为圆心，3为半径作圆，三个圆重合的部分即为满足题意的点的集合； 【活动探究二】如图3，点、即为所求， 设与等边的边和的交点为点、，连接、相交于点， 此时以、、为直径作圆，即为覆盖等边的3个等圆，和，且半径最小， 作射线交于点，连接，交于一点，即为圆心； 连接，交于点，作射线交于一点，即为圆心； 【点睛】本题考查等边三角形的性质，三角形的外接圆，点和圆的位置关系，基本作图，正确掌握基本作图的方法是解题的关键． 35．如图1，正五边形内接于，阅读以下作图过程，并回答下列问题： 作法：如图2． 1．作直径． 2．以点为圆心，为半径作圆弧，与交于点，． 3．连接，，． (1)是正三角形吗？请说明理由． (2)从点开始，以的长为边长，在上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正边形，求的值． 【答案】(1)是，见解析 (2)15 【分析】本题考查了圆周角定理，正多边形的性质，等边三角形的判定与性质，读懂题意，明确题目中的作图方式，熟练运用圆周角定理是解本题的关键． （1）连接，NF，可得，得到，，即可得证； （2）连接OD，得到，再根据求出，计算即可得解； 【详解】（1）是正三角形． 理由如下：如图，连接，NF， 由题意可得， 是等边三角形， 同理可得 是正三角形． （2）如图，连接， ， ， ， ， 的值是15． 题型8 正多边形与圆的新定义问题 36．如图，正三角形、正方形、正六边形等正n边形与圆的形状有差异，我们将正n边形与圆的接近程度称为“接近度”． (1)角的“接近度”定义：设正n边形的每个内角的度数为，将正n边形的“接近度”定义为．于是越小，该正n边形就越接近于圆， ①若，则该正n边形的“接近度”等于 ． ②若，则该正n边形的“接近度”等于______． ③当“接近度”等于______．时，正n边形就成了圆． (2)边的“接近度”定义：设一个正n边形的外接圆的半径为R，正n边形的中心到各边的距离为d，将正n边形的“接近度”定义为．分别计算时边的“接近度”，并猜测当边的“接近度”等于多少时，正n边形就成了圆？ 【答案】(1)①120；②18；③0 (2)时，；时，，当边的“接近度”等于0时，正n边形就成了圆 【分析】（1）①根据正n边形的“接近度”的定义，即可求解；②根据正n边形的“接近度”的定义，即可求解；③根据正n边形的“接近度”的定义，即可求解； （2）结合正多边形的外接圆的半径与正多边形的中心到各边的距离构造的直角三角形，求解即可． 【详解】（1）解：①当时， ， ∴“接近度”等于； 故答案为：120 ②当时， ， ∴“接近度”等于； 故答案为：18 ③∵越小，该正n边形就越接近于圆， ∴当时，该正n边形就成了圆， 此时， ∴； 故答案为：0 （2）解：如图，当时，为正的外接圆，， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当时，为正六边形的外接圆，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当边的“接近度”等于0时，正n边形就成了圆． 【点睛】此题考查了正多边形与其外接圆的关系．解此题的关键是注意数形结合思想的应用． 37．阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“等边半正多边形”的研究报告 博学小组 研究对象：等边半正多边形 研究思路：类比三角形、四边形，按“概念﹣性质﹣判定”的路径，由一般到特殊进行研究． 研究方法：观察（测量、实验）﹣猜想﹣推理证明 研究内容： 【一般概念】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其各边都相等，且相间的角相等、相邻的角不相等，我们称这个凸多边形为等边半正多边形．如图1，我们学习过的菱形（正方形除外）就是等边半正四边形，类似地，还有等边半正六边形、等边半正八边形… 【特例研究】根据等边半正多边形的定义，对等边半正六边形研究如下： 概念理解：如图2，如果六边形是等边半正六边形，那么，，，且． 性质探索：根据定义，探索等边半正六边形的性质，得到如下结论： 内角：等边半正六边形相邻两个内角的和为▲°． 对角线：… 任务： (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容： ． (2)如图3，六边形是等边半正六边形．连接对角线，猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图4，已知是正三角形，是它的外接圆．请在图4中作一个等边半正六边形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】(1)240 (2) 解：． 理由如下：连接，． 六边形是等边半正六边形． ，． ． ． 在与中， ， ． ； (3)如图，六边形即为所求（答案不唯一）． 作法一： 作法二： ． 【分析】本题主要考查圆综合题，以等边半正六边形为背景，理解题意以及掌握圆和多边形的相关性质是解题关键． （1）六边形内角和为，由等边半正六边形的定义即可得出相邻两内角和为； （2）连接，，通过已知条件可证，得到，，进一步证明证出； （3）作、、的垂直平分线，在圆内线上取一点或者圆外取一点都行，切记不能取圆上，否则就是正六边形了． 【详解】（1）解：∵六边形内角和为，且，， ∴等边半正六边形相邻两个内角的和为， 故答案为：240； （2）略 （3）略 38．定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． （1）如图1，若四边形是圆美四边形，则美角______度． （2）在（1）的条件下，若的半径为10． ①求的长． ②如图2，在四边形中，若平分，求证：． （3）在（1）的条件下，如图3，若是的直径，用等式直接写出线段，，之间的数量关系． 【答案】（1）60；（2）①BD的长为；②证明见解析；（3）线段之间的数量关系为． 【分析】（1）根据圆内接四边形的性质、圆美四边形的定义即可得； （2）①如图1（见解析），连接OB、OD，过点O作，先根据垂径定理可得，再根据圆周角定理可求出，然后利用直角三角形的性质求解即可； ②如图2（见解析），延长CD至点F，使得，连接AF，先根据角平分线的定义、圆周角定理得出，再根据圆内接四边形的性质可得，再根据三角形全等的判定定理与性质可得，然后根据等边三角形的判定与性质即可得证； （3）如图3（见解析），延长BC、AD，交于点G，先根据圆周角定理得出，再由（1）可知，从而可得，然后根据直角三角形的性质即可得． 【详解】（1）四边形是圆美四边形，是美角 ，解得 故答案为：； （2）①如图1，连接OB、OD，过点O作 由（1）知， 则在中， 故BD的长为； ②如图2，延长CD至点F，使得，连接AF 由（1）知， 平分 由圆内接四边形的性质得： 又 在和中， 是等边三角形 即； （3）如图3，延长BC、AD，交于点G 是的直径 由（1）知， 在中， 在中， 故所求的线段之间的数量关系为． 【点睛】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、三角形全等判定定理与性质、垂径定理、等边三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（2）②，通过作辅助线，构造全等三角形和等边三角形是解题关键． 39．定义：我们将能完全覆盖某平面图形的圆称为该平面图形的覆盖面．其中，能完全覆盖平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆． 例如：如图1，线段的最小覆盖圆就是以线段为直径的圆； 【初步思考】 （1）边长为的正方形的最小覆盖圆的半径是______； （2）如图2，边长为的两个正方形并列在一起，则其最小覆盖圆的半径是______； 【深入研究】 （1）请分别作出图3中两个三角形的最小覆盖圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． （2）如图4，在正方形网格中建立的平面直角坐标系中，的顶点位于坐标原点，顶点、的坐标分别为、．则的最小覆盖圆的圆心坐标为______，半径长为______；如图5，钝角中，，，则的最小覆盖圆的半径为______． 【生活应用】 某地有四个村庄，，，（其位置如图6所示），现拟建一个5G网络信号中转站，为了使这四个村庄的居民都能接收到信号，且使中转站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），经过工程人员测量得到及图中相关各角度等数据，四边形区域最小覆盖圆的半径为______． 【答案】【初步思考】（）；（）；【深入探究】（）见解析；（），，；【生活应用】． 【初步思考】（）边长为的正方形的最小覆盖圆，就是以以正方形的对角线为直径的圆，从而求出答案； （）两个正方形组合而成的矩形的最小覆盖圆就是以矩形的对角线为直径的圆； 【深入探究】（）按题意画出图形即可； （）网格中找出和垂直平分线交点，再根据勾股定理求得半径，的中点是覆盖圆圆心，是半径； 【生活应用】的外接圆就是四边形的最小覆盖圆，由直角三角形的性质可得出答案． 【详解】【初步思考】（）∵正方形的边长为， ∴由勾股定理，得正方形的对角线长为：， ∴最小覆盖圆的半径是， 故答案为：； （）∵矩形的长为，宽为，由勾股定理，得矩形的对角线长为， ∴最小覆盖圆的半径是， 故答案为：； 【深入探究】（）如图所示：分别作垂直平分线即可； （）如图， 和垂直平分线的交点在， 由网格可知：， 如图， 将两点覆盖，到最小距离是点的位置，即，此时可以覆盖点， ∴的最小覆盖圆的半径是； 故答案为：，，； 【生活应用】解：∵的最小覆盖圆可以将四边形覆盖， ∴四边形的最小覆盖圆是的外接圆， 作直径，连，如图， ∵， ∴， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， 即， ∴，即， ∴ ∴四边形的最小覆盖圆半径为． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆，圆周角定理，勾股定理，垂直平分线，正方形和矩形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 40． 定义：在凸四边形中，我们把两组对边乘积的和等于对角线的乘积的四边形称为“完美四边形” （1）在正方形、矩形、菱形中，一定是“完美四边形”的是______． （2）如图1，在△ABC中，AB=2，BC=，AC=3，D为平面内一点，以A、B、C、D四点为顶点构成的四边形为“完美四边形”，若DA，DC的长是关于x的一元二次方程x2-(m+3)x+(5m2-2m+13)=0(其中m为常数)的两个根，求线段BD的长度． （3）如图2，在“完美四边形”EFGH中，∠F=90°，EF=6，FG=8，求“完美四边形”EFGH面积的最大值． 【答案】（1）正方形、矩形；（2）3；（3）49． 【分析】（1）根据“完美四边形”的定义即可判断． （2）利用一元二次方程的根的判别式求出m的值，推出AD=DC=2，判断出点D的位置即可解决问题． （3）由完美四边形的定义以及托勒密定理的逆定理可知：四边形EFGH是圆的内接四边形，圆心是EC的中点O．当点H是的中点时，△EGH的面积最大，此时四边形EFGH的面积最大． 【详解】解：（1）根据完美四边形的定义，可知“正方形”、“矩形”是完美四边形． 故答案为：“正方形”、“矩形”． （2）∵关于x的一元二次方程x2-(m+3)x+(5m2-2m+13)=0，有实数根， ∴△=(m+3)2-4×(5m2-2m+13)=-4(m-1)2≥0， ∴m=1，△=0， ∴方程为：x2-4x+4=0， ∴x1=x2=2， ∴AD=DC=2， 当点D在AC的下方，如图1中， ∵四边形ABCD是完美四边形， ∴BD•AC=CD•AB+BC•AD， ∴3BD=4+5， ∴BD=3． 当点D在AC上方时，点D在线段BC上，不符合题意． ∴满足条件的BD的长为3； （3）如图2中， 由完美四边形的定义以及托勒密定理的逆定理可知：四边形EFGH是圆的内接四边形，圆心是EC的中点O． ∵∠EFG=90°，EF=6，FG=8， ∴EG==10， 当点H是的中点时，△EGH的面积最大，此时四边形EFGH的面积最大， ∴HG=HE=5， ∴四边形的面积的最大值=×6×8+×5×5=49． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了完美四边形的定义，一元二次方程的根的判别式，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题． 1．如果一个正多边形的中心角是45°，那么这个正多边形的边数是（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查正多边形的中心角性质，核心知识点为：正多边形的所有中心角之和为，且每个中心角的度数相等，因此正多边形的边数可通过“边数单个中心角度数”计算得出． 【详解】解：∵正多边形的中心角总和为，且每个中心角度数相等， ∴该正多边形的边数为； 故选：C． 2．如图，正五边形内接于，点是优弧上一点，连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正五边形的中心角的计算，圆周角定理的应用，连接，求得，结合圆周角定理，计算求得即可． 【详解】解：如图，连接， 正五边形内接于， ， ， 故选：B． 3．如图，点是以点为中心的正多边形的顶点，若，则该正多边形的边数为（    ） A．7 B．8 C．10 D．11 【答案】C 【分析】本题主要考查正多边形与圆，圆周角定理，掌握以上知识，合理作出辅助线是关键． 如图所示，连接，根据圆周角定理得到，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∴， ∴， ∴该正多边形的边数为10， 故选：C． 4．张同学在学习圆内接正多边形时，作了一个如图所示的圆内接正八边形．若的半径为，则这个圆内接正八边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，勾股定理，如图，过A作于C，得到圆的内接正八边形的圆心角为，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：如图，过A作于C， ∵圆心角为，， ∴， ∴， ∴这个圆内接正八边形的面积为， 故选：C． 5．如图，在正八边形中，连接，，，，与交于点O，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多边形的内角与外角，掌握正八边形的性质以及圆周角定理是正确解答的关键． 根据正八边形的性质以及圆周角定理进行计算即可． 【详解】解：如图，由正八边形的对称性可知，点是正八边形的中心， 所以， 故选：B． 6．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正方形周长近似估计的周长，可得的估计值为，若用圆内接正六边形作近似估计，可得的估计值为（ ）． A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的性质和圆的对称性．圆内接正六边形可分成六个等边三角形，每个三角形的边长为1，根据正六边形的周长等于圆的周长进行求解即可． 【详解】解：的半径为1，圆内接正六边形可分成六个等边三角形，每个三角形的边长为1， 则正六边形的周长为， 由于圆的周长为，当半径为1时，， 解得． 故选：C． 7．如图，正五边形内接于，点是弧上的动点，则的度数为（   ） A． B． C． D．随着点F的变化而变化 【答案】C 【分析】本题考查了多边形内角和，圆内接四边形，掌握圆内接四边形对角互补是解题关键．先求出正五边形的内角度数，再利用圆内接四边形的性质求解即可． 【详解】解：正五边形内接于， ， 点是弧上的动点， 四边形内接于， ， ， 故选：C． 8．我国古代重要建筑的室内上方，通常会在正中部位做出向上凸起的穹窿状装饰，称为藻井．北京故宫博物院内的太和殿上方即有藻井图，全称为龙凤角蝉云龙随瓣枋套方八角浑金蟠龙藻井．它展示出精美的装饰空间和造型艺术．从分层构造上来看，太和殿藻井由三层组成：最外层为方井，中层为八角井，内层为圆井．图2是由图1抽象出的平面图形．若内层圆井的面积为，则最外层方井的边长是（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】由题意得，根据圆的面积公式可得圆的半径，从而得到圆的直径，利用等腰直角三角形的性质及勾股定理得的长，从而可得答案． 本题考查了正多边形与圆，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，圆的面积的计算，知道正多边形之间的关系是解题的关键． 【详解】解：由题意得，四边形是正方形， ，， ， 设圆的半径为r，内层圆井的面积为， ， ， 由图可知内层圆是正方形的内接圆，根据正多边形与圆的关系可知：内层圆的直径即为正方形的边长， ∴， 由题意可知：点E为的中点，是等腰直角三角形， ， ； 故选：B． 9．如图，的半径等于6，其内接正六边形中，交于点交于点，则四边形的面积是（   ） A．36 B． C． D．24 【答案】C 【分析】本题考查了内接于圆的正六边形的性质、等边三角形的判定和性质、圆周角定理和含的直角三角形的性质，熟练运用以上知识点是解决本题的关键． 如图，连接，根据内接正六边形的性质可得，是等边三角形，则，进而根据含的直角三角形的性质可得，最后结合菱形的判定和性质进行求解即可． 【详解】解：如图，连接， 六边形是正六边形， ，，， 是等边三角形， ∴， ∵是的直径， ， ， ， ， 同法可得， 四边形是菱形， 四边形的面积． 故选：C． 10．如图，正六边形内作正方形，连接，交于点O，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正多边形的性质，正方形的性质，勾股定理，等边三角形的判定及性质，掌握正多边形的性质是解题的关键． 连接，交于点，设正六边形和正方形的边长都为a，根据正六边形的性质可求．在中通过解直角三角形可得，从而，即可求解． 【详解】解：连接，交于点，设正六边形和正方形的边长都为a， ∵六边形是正六边形，，是其对角线， ∴，平分，平分 ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵点J是正六边形的对角线的交点， ∴． ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵在中，，即， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 11．高港传统建筑中的“斗拱”构件蕴含有丰富的几何知识．某正方形斗拱构件的边长为2，其内切圆的面积为______．（结果保留π） 【答案】 【分析】根据正方形内切圆的性质，可得内切圆的直径等于正方形的边长，先求出内切圆的半径，再利用圆的面积公式计算即可得到结果 【详解】解：∵ 正方形的边长为2，正方形的内切圆直径等于正方形的边长， ∴ 该内切圆的直径为2，半径 ， ∴ 12．如图，A，B，C，D为一个正多边形的顶点，点O为该正多边形外接圆的圆心，连接、，，则这个正多边形是边数为____________． 【答案】9/九 【分析】连接，圆周角定理求出，再根据正多边形的中心角的计算公式，进行求解即可. 【详解】解：连接，则， ∵， ∴， ∵A，B，C，D为一个正多边形的顶点，点O为该正多边形外接圆的圆心， ∴这个正多边形是边数为. 13．第四套人民币中1角硬币采用了圆内接九边形的独特设计．九边形设计呼应了中国传统文化中“九”为尊数的概念，这个正九边形的中心角等于_____°． 【答案】 【分析】根据正多边形中心角度数公式计算即可． 【详解】解：正九边形中心角度数为． 14．太极八卦图蕴含着丰富的传统文化与数学奥秘，其外围的卦象排布可近似看作一个正八边形（如图）．则这个正八边形的中心角度数为________． 【答案】/45度 【分析】本题主要考查了正多边形中心角的计算，熟练掌握正多边形中心角的计算公式（其中为正多边形的边数）是解题的关键．正多边形的中心角是指以正多边形的中心为顶点，将周角平均分成与边数相同份数的角．因此，求正八边形的中心角度数，只需用周角除以边数8即可． 【详解】解：中心角度数， 故答案为：． 15．某手工艺人制作圆形正五边形拼接装饰盘，需用正五边形木片排成圆环状，这些木片完全相同．现已摆放3个正五边形木片，呈现如图所示的位置关系．手工艺人计划将这些木片围绕圆形装饰盘排成一个完整的圆环状．要完成这一圆环排列，总共需要______个正五边形木片． 【答案】10 【分析】本题考查了正多边形与圆的关系，正多边形的中心角的计算，等边对等角，确定是关键，根据题意得到正多边形每个内角，对应外角的度数，由此得到圆心角的度数，由此即可求解． 【详解】解：正五边形的每个内角为， ∴对应的外角的度数为， 如图所示，， ∴， ∴， ∴， ∴总共需要10个正五边形木片． 故答案为：10 ． 16．如图，正六边形内接于，点P是弧上任意一点，连接，，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查正多边形与圆，圆周角定理，掌握正六边形的性质以及圆周角定理是正确解答的关键．根据正六边形的性质求出其中心角，再根据圆周角定理得出答案． 【详解】解：连接，， ∵正六边形内接于， ∴， ∴， 故答案为：． 17．拙政园的天泉亭因亭内正中一口元代古井——天泉井而得名，天泉亭形制为重檐八角攒尖亭，从亭子正上方俯瞰，呈正八边形（如图），图中是由绕着点按逆时针方向旋转一定角度得到，则旋转角的度数为________． 【答案】 【分析】根据正八边形的性质求出中心角的度数，结合旋转的性质确定旋转角为，即可求解． 【详解】解：∵ 俯视图呈正八边形， ∴ 正八边形的中心角为 ， 即 ， ∵ 是由 绕着点按逆时针方向旋转得到的， ∴ 线段 旋转后的对应线段为 ，线段旋转后的对应线段为， ∴ 旋转角为， ∴ 旋转角 ． 18．如图，，分别是的内接正五边形和内接正三角形的一边，连接．若，则的度数为___________． 【答案】49 【分析】本题考查了正多边形与圆、圆周角定理，熟练掌握正多边形的中心角公式是解题的关键． 连接、、、，根据正多边形的中心角公式可得，，再根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：如图，连接、、、， ∵，分别是的内接正五边形和内接正三角形的一边， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：49． 19．我国古代数学家刘徽发现，圆内接正多边形边数不断增加时，多边形的周长就逼近圆周长，从而创立“割圆术”，为计算圆周率建立起完善的算法．如图，六边形是圆内接正六边形，把每段弧二等分，作出一个圆内接正十二边形，连接，，交于点，若，则半径的长为______． 【答案】 【分析】本题考查正多边形和圆的相关计算，分别求出和的度数是解决本题的关键． 设正六边形外接圆的圆心为，连接、，过点作于，如图所示，易得是等边三角形，则，进而求出和的度数，在等腰中，根据，求出，在中，结合含的直角三角形性质与勾股定理求得的长度，即为半径的长度． 【详解】解：设正六边形外接圆的圆心为，连接、，过点作于，如图所示： 则结合题意等分圆周可知，，，， ， 是等边三角形， ，， ， 在中，，，则， ， 是等腰直角三角形， 在等腰中，，，则由勾股定理可得，解得， 在中，，，则， 又，则勾股定理可得，即，解得， ∴， 则， 故答案为：． 20．如图，圆心恰好为正六边形的中心，已知的半径为，现将在正六边形内部沿某一方向平移，当它与正六边形的某条边相切时停止平移，设此时平移的距离为，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】首先得到是等边三角形，求出，当平移到时，和相切于点M，此时平移距离最短，当平移到时，和，分别相切于点G，H时，此时平移距离最长，分别利用勾股定理求解即可． 【详解】如图所示，连接，， ∵圆心恰好为正六边形的中心， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 当平移到时，和相切于点M，此时平移距离最短， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴此时平移的距离； 当平移到时，和，分别相切于点G，H时，此时平移距离最长， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴此时平移的距离； 综上所述，的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】此题考查了切线的性质，正多边形和圆综合，勾股定理，等边三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 21．一个多边形的所有内角与它的外角和的和是． (1)求该多边形的边数； (2)若该多边形为正多边形，求中心角的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多边形内角和与外角和，中心角的含义． （1）设该多边形的边数为，根据多边形的内角和与外角和可得方程，解之即可. （2）利用（1）的结论，可得该多边形是正七边形，然后利用中心角的含义：正边形的每个中心角都等于,进行计算即可解答． 【详解】（1）解：设该多边形的边数为， 由题意可得：， 解得：， ∴该多边形的边数为7. （2）解：由（1）可得该多边形是正七边形， 中心角的度数． 22．如图，正方形的外接圆为，点P在劣弧上（不与点C重合）．    (1)求的度数； (2)若的半径为8，求正方形的边长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查圆与正多边形，圆周角定理： （1）连接，根据中心角的计算公式求出的度数，圆周角定理，求出的度数即可； （2）勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：连接，    由题意得：， ∴； （2）由（1）知：， 又∵， ∴， 即正方形的边长为：． 23．正六边形的边长为8，求这个正六边形的周长和面积． 【答案】周长，面积 【分析】本题主要考查了正六边形的性质，根据正多边形的性质，得出为等边三角形，即可解答．解题的关键是掌握正多边形每条边相等，以及中心角的求法． 【详解】解：正六边形的周长； 连接，过点O作于点G， ∵该六边形为正六边形， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， 正六边形的面积． 24．如图，正方形内接于，E是的中点，连接．    (1)求∠E的度数． (2)求证：． (3)若，则点E到的距离为 ． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了正多边形和圆，线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理等知识． （1）利用正方形和圆的关系，求得中心角的度数，再利用圆周角定理即可求解； （2）要证明，只要证明即可； （3）连接并延长交于点F，证明是线段的垂直平分线，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，，    ∴ ∵正方形内接于， ∴， ∴； （2）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴． ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接并延长交于点F，    ∵，，∴是线段的垂直平分线， ∵，， ∴，， ∴， ∴，即点E到的距离为， 故答案为：． 25．根据要求利用“圆规和无刻度直尺”完成作图． (1)作的一个内接等边三角形； (2)作的一个外切直角三角形． 【答案】(1) 如图，即为所求： (2) 如图，即为所求： 【分析】（1）先任意作一条直径，再分别以直径的端点为圆心，的半径为半径画与相交的弧，间隔一个弧连接可得等边； （2）过M作直线，交于D，过D作的垂线，过M作的垂线，交于E，过E作的垂线交于C，作射线交于F，过F作的垂线交于A，交于B，则即为所求． 【详解】（1）解：由作图痕迹得， ∴，则为等边三角形； （2）解：由作图痕迹，，又是的半径， ∴与相切， ∵， ∴， ∵，是的半径， ∴与相切，， 同理与相切， ∴为的一个外切直角三角形． 26．如图，的半径为． (1)求作它的内接正方形； (2)求正方形的边长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了复杂作图、正多边形和圆、勾股定理，正方形的性质，正确掌握正方形的性质是解题关键． （1）作出直径，再作的线段垂直平分线，与相交于、，顺次连接、、、即可； （2）利用正方形的性质可得，，再结合勾股定理得出正方形的边长． 【详解】（1）解：如图所示，正方形即为所求作图形． 是的垂直平分线， ， ， 四边形是菱形， 是的直径， ， 四边形是正方形； （2）解：的半径为，四边形是正方形， ，， ． 即正方形的边长为． 27．如图，是的直径，，是的弦，，延长到D，连接，． (1)求证：是的切线； (2)以为边的圆内接正多边形的周长等于 ． 【答案】(1)见解析 (2)18 【分析】本题考查切线的判定，圆内接正六边形的性质，掌握切线的判定方法是正确解答的前提． （1）根据等腰三角形性质以及三角形内角和定理计算出即可； （2）得出以为边的圆内接正多边形是圆内接正六边形，再求出的长即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 又∵是半径， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴以为边的圆内接正多边形是圆内接正六边形， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴以为边的圆内接正六边形的周长为． 故答案为：18． 28．如图，的半径为，六边形是圆内接正六边形，四边形是正方形． (1)求的度数； (2)求正六边形与正方形的面积比． 【答案】(1) (2) 【分析】本题侧重考查有关圆内接多边形的题目，需要掌握圆内接多边形的性质以及等腰三角形的性质． （1）在等腰中易得顶角的度数，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出底角的度数； （2）根据正六边形中心角的度数及同圆半径相等得到为等边三角形，设正六边形的边长为，从而得到的长；利用面积公式求出正六边形的面积以及正方形的面积，进而得到正六边形与正方形的面积比． 【详解】（1）解：连接， ∵的半径为，六边形是圆内接正六边形，四边形是正方形． ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴是等腰三角形， ∵，， ∴， ∴． （2）解：过作于，设正六边形的边长为． ∵为正六边形的中心角， ∴． ∵， ∴是边长为的等边三角形， ∴，， ∴正方形的面积为， ∴， 正六边形的面积为， ∴正六边形与正方形的面积比为． 29．阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“等边半正多边形”的研究报告 博学小组 研究对象：等边半正多边形 研究思路：类比三角形、四边形，按“概念﹣性质﹣判定”的路径，由一般到特殊进行研究． 研究方法：观察（测量、实验）﹣猜想﹣推理证明 研究内容： 【一般概念】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其各边都相等，且相间的角相等、相邻的角不相等，我们称这个凸多边形为等边半正多边形．如图1，我们学习过的菱形（正方形除外）就是等边半正四边形，类似地，还有等边半正六边形、等边半正八边形… 【特例研究】根据等边半正多边形的定义，对等边半正六边形研究如下： 概念理解：如图2，如果六边形是等边半正六边形，那么，，，且． 性质探索：根据定义，探索等边半正六边形的性质，得到如下结论： 内角：等边半正六边形相邻两个内角的和为▲°． 对角线：… 任务： (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容： ． (2)如图3，六边形是等边半正六边形．连接对角线，猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图4，已知是正三角形，是它的外接圆．请在图4中作一个等边半正六边形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】(1)240 (2) 解：． 理由如下：连接，． 六边形是等边半正六边形． ，． ． ． 在与中， ， ． ； (3)如图，六边形即为所求（答案不唯一）． 作法一： 作法二： ． 【分析】本题主要考查圆综合题，以等边半正六边形为背景，理解题意以及掌握圆和多边形的相关性质是解题关键． （1）六边形内角和为，由等边半正六边形的定义即可得出相邻两内角和为； （2）连接，，通过已知条件可证，得到，，进一步证明证出； （3）作、、的垂直平分线，在圆内线上取一点或者圆外取一点都行，切记不能取圆上，否则就是正六边形了． 【详解】（1）解：∵六边形内角和为，且，， ∴等边半正六边形相邻两个内角的和为， 故答案为：240； （2）略 （3）略 30．解决以下问题 (1)如图1，等腰内接于，，，连接并延长交于点D，交于点H．请你仅使用无刻度的直尺在图1中作出一个正六边形，保留作图痕迹（作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）； (2)如图2，是的外接圆，，P是⊙O上一点，请你只用无刻度的直尺，在⊙O上画一点D，使得平分； (3)如图3，在5×5的网格中，的三个顶点都在格点上，圆是的外接圆，只用无刻度的直尺在图3中上画出点F（点F不与点C重合），使得． 【答案】(1)正六边形为 (2)点即为所求 (3)点即为所求， 【分析】(1) 由已知条件可证为等边三角形，利用等边三角形外心的性质，结合对顶角相等，将圆周三等分后再将每段弧二等分，得到六段相等的弧，对应弦长构成正六边形； (2) 利用等腰三角形外接圆的性质，所在直线为的垂直平分线，延长交圆于点，则为的中点，再利用等弧所对圆周角相等，可得平分； (3) 利用网格构造全等三角形，通过对应角相等得到圆周角相等，进而得到所对弧相等，确定点的位置． 【详解】（1）解：，， 为等边三角形， ， 的延长线交于点， 为的直径， ， ， 分别连接、并延长，交于点、， 、、三点共线， ， ， 、、三点共线， ， ， 圆上相邻两点间的圆心角均为， 弦， 顺次连接点、、、、、，所得六边形即为正六边形． （2）解：连接并延长，交于点，点即为所求。 ， 点在的垂直平分线上， 为外接圆的圆心， 点在的垂直平分线上， 直线为的垂直平分线， 直线平分， 点为的中点， ， ， 平分． （3）解：在点上方个单位处取格点，在点右侧个单位处取格点，连接交于点（不与重合），点即为所求。 ，，， ，，， ，，， ， ， 点在直线上， ， ， ． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $