第12讲 点与圆、直线与圆的位置关系21大题型（暑假预习讲义）新九年级数学新教材苏科版

第12讲 点与圆、直线与圆的位置关系 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 判断点与圆的位置关系 题型2 利用点与圆的位置关系求半径 题型3 点与圆上一点的最值问题 题型4 判断直线和圆的位置关系 题型5 已知直线和圆的位置关系求半径的取值 题型6 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 题型7 求圆平移到直线相切时圆心经过的距离 题型8 求直线平移到与圆相切时运动的距离 题型9 有关切线的概念辨析 题型10 证明某直线是圆的切线 题型11 切线的性质定理 题型12 切线的性质和判定的综合应用 题型13 应用切线长定理求解 题型14 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 题型15 三角形内心有关应用 题型16 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 题型17 三角形内切圆与外接圆综合 题型18 过圆外一点作圆的切线（尺规作图） 题型19 圆与三角形综合（压轴） 题型20 圆与四边形综合（压轴） 题型21 圆与函数综合（压轴） 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 点与圆的位置关系 直线与圆的位置关系 切线长定理 三角形内心 1. 掌握点与圆的三种位置关系及对应的数量判定方法。 2. 理解直线与圆的三种位置关系，熟记相关定义特征。 3. 学会利用距离与半径的大小关系判定位置关系。 4. 能运用位置关系公式进行简单几何计算与判断证明。 5. 提升数形结合能力，熟练解决相关几何实际题型。 学习重点：掌握点、直线与圆的位置关系，会用数量关系准确判定位置关系。 学习难点：灵活运用数形结合思想，解决位置关系综合计算与推理问题。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 点和圆的位置关系 点和圆的位置关系 点和圆的 位置关系 点到圆心的距离与半径的关系 图示 文字语言 符号语言 点在圆内 圆内各点到圆心的距离都小于半径， 到圆心的距离小于半径的点都在圆内 点在圆内 点在圆上 圆内各点到圆心的距离都等于半径， 到圆心的距离等于半径的点都在圆上 点在圆上 点在圆外 圆内各点到圆心的距离都大于半径， 到圆心的距离大于半径的点都在圆外 点在圆外 注意：（1）利用与的数量关系可以判断点和圆的位置关系；同时，知道了点和圆的位置善长，也可以确定与的数量关系。 （2）符号“”读作“等价于”，它表示从符号“”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端。 即时即练 1．若的半径为，点到圆心的距离为，那么点与的位置关系是（   ） A．点在圆外 B．点在圆上 C．点在圆内 D．不能确定 2．线段，在以为直径的外有一点，则的长的取值范围为______． 3．已知矩形的边，． (1)以点A为圆心、为半径作，求点B，C，D与的位置关系； (2)若以点A为圆心作，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，求的半径r的取值范围． 知识点02 直线和圆的位置关系 直线与圆的位置关系 直线与圆有三种位置关系，如下所示： 相交 相切 相离 定义 直线和圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交 直线和圆只有一个公共点时，叫做直线与圆相切 直线和圆没有公共点时，叫做直线与圆相离 图示 公共点个数 2 1 0 圆心到直径的距离d与圆半径r之间的大小关系 公共点名称 交点 切点 无 直线名称 交线/割线 切线 无 结论 直线与相交 直线与相切 直线与相离 判定直线与圆的位置关系通常有以下两种方法： （1）根据直线与圆的公共点的个数判断； （2）根据圆心到直线的距离与半径的大小关系判断. 即时即练 4．平面内，若的半径为3，圆心到直线的距离为，则直线与的位置关系为（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 5．已知在直角坐标系中，以点为圆心，以3为半径作，则直线与的位置关系是__________（相切、相交或相离）． 6．如图坐标系中，，以A为圆心，r为半径画圆， (1)当与坐标轴有一个公共点时，r的取值范围是 ； (2)当与坐标轴有两个公共点时，r的取值范围是 ； (3)当与坐标轴有三个公共点时，r的取值范围是 ； (4)当与坐标轴有四个公共点时，r的取值范围是 ； 知识点03 切线的判定定理与性质定理 切线的判定定理与切线的性质定理 1.切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 如图所示，OA是的一条半径，直线l经过点A且OA⊥l，则l是的切线. 判定一条直线是否是圆的切线共有以下三种方法： （1）定义法：当直线与圆有且只有一个公共点时，直线与圆相切； （2）数量关系法：当圆心到直线的距离等于半径时， 直线与圆相切； （3）判定定理法：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 2.切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径. 如图所示：直线l是的切线，切点为点A，则OA⊥l. 即时即练 7．如图：等腰，以腰为直径作交底边于P，，垂足为E．求证：是的切线． 8．如图，为的直径，取的中点C，过点C作交于点D，D在的上方，连接、，点E在线段的延长线上，且． (1)求的度数； (2)试判断与的位置关系，并说明理由． 9．如图，是⊙O的直径，点D是延长线上的一点，与相切于点C．连接，． (1)求证：； (2)若，的半径为2，求线段的长． 知识点04 三角形的内切圆 三角形的内切圆 1.定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形. 2.性质：三角形的内心就是三角形三条内角平分性的交点，内心到三角形各边的距离相等，任意三角形的内心都在三角形的内部. 3.三角形的内切圆的作法：作三角形任意两个内角平分线，它们的交点就是内切圆的圆心，过圆心向任意一条边作垂线，垂线段的长度就是内切圆的半径. 补充：三角形外心与内心对比： 图形 名称 性质 位置 角度关系 外心（三角形外接圆的圆心，三角形三边中垂线的交点） 到三角形三个顶点的距离相等 外心不一定在三角形的内部 ∠BOC＝2∠A 内心（三角形内切圆的圆心，三角形三条内角平分线的交点） 到三角形三边距离相等 内心一定在三角形的内部 ∠BOC＝90°＋∠A 即时即练 10．如图，中，，点是的内心．则的度数（   ） A． B． C． D． 11．如图，点和分别是的内心和外心，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 12．如图，圆O是△ABC的内切圆，若∠ABC＝60°，∠ACB＝50°，则∠BOC＝________°； 知识点05 切线长及切线长定理 切线长及切线长定理 1.切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长； 2.切线长定理：过圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 拓展：如图所示：过外一点P引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，连接OA、OB、AB，延长PO并延长交圆于点E，则：①垂直：OA⊥PA，OB⊥PB，OD⊥AB；②全等：△OAP≌△OBP，△OCA≌△OCB，△ACP≌△BCP；③弧相等：. 即时即练 13．如图，P是外一点，，分别和切于A、B，C是弧上任意一点，过C作的切线分别交，于D、E，若的周长为，则长为_______． 14．如图，，，是的切线，切点分别为C，E，D点，若，，则的长为________． 15．如图，是的切线，为切点，．    (1)求的度数； (2)当时，求的半径． 题型1 判断点与圆的位置关系 1．已知的半径为6，点到圆心的距离为7，则点与圆的位置关系为（    ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．不确定 2．已知的半径是3，点在上，则点到圆心的距离满足（    ） A． B． C． D． 3．已知的直径是10，点P到圆心O的距离d为方程的一个根，则点P在的 _____．（填“内部”、“外部”、“上”） 4．设的半径为2，点P到圆心O的距离，且m使得关于x的方程没有实数根，则点P与的位置关系为________． 题型2 利用点与圆的位置关系求半径 5．平面上的一点和的最近点距离为，最远距离为，则这个圆的半径是（   ） A． B．或 C．或 D．或 6．已知矩形中，，以点B为圆心r为半径作圆，且与边有唯一公共点，则r的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 7．如图，在矩形中，，．以点为圆心作，且使点、、中至少有一个点在内，同时至少有一个点在外，则的半径应满足的条件是________． 8．如图，在中，，，，点为的中点．现以点为圆心，为半径作圆．若与三角形的三边（包括顶点）有3个公共点，则的值为________． 【易错警示】 利用点与圆的位置关系求半径时，容易混淆点在圆内、圆上、圆外的距离范围。解题时常忽略分类讨论，混淆圆心到点的距离与半径的大小关系，错用对应公式，造成半径求解结果漏解或错解。 题型3 点与圆上一点的最值问题 9．如图，在正方形中，，分别是边和上的动点，且，与交于点，连接，则的最小值是（    ）． A． B． C． D． 10．如图，矩形中，，，点分别是边上的两动点，且，点为的中点，点为边上一动点，连接，则的最小值为（    ） A． B．9 C． D． 11．如图，点A，B的坐标分别为，，C为上一点，，M为线段的中点，连接，则的最小值为______． 12．如图，在长方形中，，E点是的中点，点F是边上的一个动点，将沿所在的直线翻折，得，则长的最小值是 ___________________． 题型4 判断直线和圆的位置关系 13．如图，中，以边的中点为圆心，2为半径作，下列判断错误的是（   ） A．点在外 B．点在内 C．与相交 D．与相切 14．中，，，，以C为圆心，r为半径作圆，此圆与直线只有一个公共点，则（   ） A．6 B． C． D． 15．已知的半径为，圆心到直线的距离为，若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则直线与的位置关系为______． 16．如图，已知中，，，经过点B和点C，与交于点D，且的圆心O在边上． (1)尺规作图：请根据题意，作出并补全图形（保留作图痕迹，不用写作法）． (2)判断直线与的位置关系：_____________． (3)若，则的面积_____________． 题型5 已知直线和圆的位置关系求半径的取值 17．如图，在中，，，．以点C为圆心，r为半径作圆．若与斜边所在直线有且只有一个公共点，则r的值为（     ） A． B．3 C．4 D．5 18．已知在中，，，，以点为圆心，为半径作圆，若圆与斜边有两个公共点，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 19．如图，中，以点为圆心作，与，有交点（不经过点，两点），，．若，则的半径的取值范围是________． 20．“等弦”的探究． (1)如图①，在中，，是弦，且．由此，你能发现什么？小明发现点到，的距离相等．小红发现延长，交于点，则．从小明、小红两位同学所发现的结论中，选择一个完成证明． (2)如图②，已知，与各边都相交且所形成的弦的长度均相等．若，，，的半径为，则的取值范围是_____． 题型6 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 21．如图，已知 的半径为6，点 到矩形某条边的距离为8，则这条边可以是 （   ） A． B． C． D． 22．如图，在梯形中，，，，，如果以为直径的圆与梯形各边共有3个公共点（C，D两点除外），那么长的取值范围是（   ） A． B． C． D． 23．已知的半径是，点在上．是所在平面内一点，且，过点作直线，使． （1）点到直线距离的最大值为______； （2）若，是直线与的公共点，则当线段的长度最大时，的长为______． 24．如图，在中，，，，、分别是、上的一点，且，若以为直径的圆与斜边相交于、，则的最大值为______． 题型7 求圆平移到直线相切时圆心经过的距离 25．如图，，圆心在边上的的半径为，．若在上向点移动，当与相切时，圆心移动的距离为________． 26．如图，在直线上有相距5cm的两点和（点在点的右侧），以为圆心作半径为1cm的圆，过点作直线．将以的速度向右移动（点始终在直线上），则与直线在______秒时相切． 27．如图，直线、相交于点，，的半径为，且，如果以的速度沿由向的方向移动，则___________秒时与直线相切． 28．如图，半径的⊙M在轴上平移，且圆心M在x轴上，当⊙M与直线相切时，圆心M的坐标为（  ） A．(0，0) B．(2，0) C．（-6，0） D．(2，0) 或（-6，0） 题型8 求直线平移到与圆相切时运动的距离 29．已知：的半径为，圆心到直线的距离为，将直线沿垂直于的方向平移，使与相切，则平移的距离是（   ） A． B．或 C．或 D．或 30．如图，在平面直角坐标系中，与x轴分别交于A、B两点，点的坐标为，．将沿着与y轴平行的方向平移，使得与x轴相切，则平移的距离为（　　） A．1 B．1或2 C．3 D．1或3 31．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（-3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，求平移的距离． 32．已知：直线经过点. （1）求的值； （2）将该直线向上平移个单位，若平移后得到的直线与半径为6的相离（点为坐标原点），试求的取值范围. 题型9 有关切线的概念辨析 33．下列说法中，正确的是（ ） A．垂直于半径的直线一定是这个圆的切线 B．在同圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等 C．三角形有且只有一个内切圆 D．三角形的内心到三角形的个顶点的距离相等 34．如图，与相切的直线是（   ） A． B． C． D．和 35．下列命题：①等弧所对的弦相等；②垂直于弦的直线平分弦；③相等的圆心角所对的弧相等；④直径所对的圆周角是直角；⑤垂直于半径的直线是圆的切线．其中正确的命题有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 36．当点P在⊙O上时, 经过点P能作________条直线与⊙O相切. 若过点P能作⊙O的两条切线,则点P必在⊙O_________(填”上”或”外”或”内”) 题型10 证明某直线是圆的切线 37．如图，在中，，，C是的中点，以为半径作． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 38．如图，中，，，点A在以为直径的上． (1)求度数； (2)求证：是的切线． 39．如图，在中，，点D是边的中点，点O是边上的点，以O为圆心，为半径的交于点F，E，G，且点E是弧的中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 40．如图，是的直径，，是上两点，，过作交的延长线于． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径长． 【易错警示】 证明切线时易混淆两种判定方法，有公共点忘连半径证垂直，无公共点不作垂直证半径。常缺失关键推理步骤，仅凭图形直观判定，忽视严谨证明过程，导致切线证明逻辑不完整、答题失分。 题型11 切线的性质定理 41．如图，点A，B在上，，点C在的延长线上，过C作的切线，切点为D，连接交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 42．如图，在中，，点在边上，以点为圆心，为半径作圆，与交于点，恰与相切于点，连接，，． (1)求证：平分； (2)求的长． 43．如图，在中，，是外接圆，点是圆外一点，是的切线．连接，与交于点． (1)求证：； (2)若，，，求的半径． 44．如图，在中，是直径，是弦，D为的中点，连接并延长交于点E，为的切线交的延长线于点F．记与的交点为H． (1)求证：． (2)若H为的中点，的半径为4，求的长． 题型12 切线的性质和判定的综合应用 45．如图，四边形是平行四边形，以O为圆心，为半径的圆交于D，延长交于E，连接，，若是的切线． (1)求证：是的切线； (2)若，则的面积＝______． 46．如图，是的直径，点是上一点，过点的直线交的延长线于点．作，垂足为点，已知平分． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 47．如图，圆内接四边形的边过圆心O，过点C的直线与边所在直线垂直于点M． (1)若是的切线，且．求的度数． (2)试猜想与满足什么关系时，直线与相切？并说明理由． 48．如图，为的直径，是的切线，切点为点B，点D为上一点，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径长． 题型13 应用切线长定理求解 49．如图，圆 O是的内切圆，，交于点D，交于点E，且是O的切线．若的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 50．如图，，是的切线，切点为，，点，在圆上，若，则（    ） A．55° B．65° C．70° D．78° 51．如图，为的弦，，为的切线，且，点为劣弧上一动点（点与点，不重合），则的度数为______． 52．如图，，是的切线，切点为A，D，点B，C在上，若，则_______________． 题型14 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 53．在中，，，且，则这个三角形的内切圆半径为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 54．如图，的内切圆与边分别相切于点．已知，则的长为（   ）． A．1 B．2 C．3 D．4 55．如图，E，F，G，H四点分别在正方形的四条边上，．若，则的内切圆半径为___________ ． 56．已知，按要求完成作答 (1)用直尺和圆规作如图的内切圆⊙O． (2)若，则______； (3)若面积为6，周长为10，则的内切圆半径为________． 题型15 三角形内心有关应用 57．如图，的内切圆与分别相切于点D，E，F． (1)点O是的_______心； (2)如图1，若，，．设，求的值； (3)如图2，若，的长分别是a，b，c，则半径是_______（用含a，b，c的式子表示）． 58．如图，是的外接圆，为的直径，点为的内心，连接并延长交于点，连接并延长至点，使得，连接． (1)求证：； (2)判断直线与的位置关系，并说明理由． 59．如图，在中，． (1)实践与操作：在图1中用尺规作图法作出的内心I；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)证明与应用：如图2，与的三边分别相切于，连接ID、IE， ①判断四边形的形状并证明； ②若，求的半径． 60．已知，如图，为的直径，内接于，，点是的内心，延长交于点，连接． (1)求证：； (2)已知的半径是，，求的长． 题型16 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 61．如图，的周长为，，是它的内切圆，直线是位于右侧的任意一条切线，若沿着直线剪下，则剪下的的周长为（   ） A． B． C． D．随直线的变化而变化 62．如图是一张四边形纸片，已知，要在该纸片中剪出一个圆形纸片，则圆形纸片的半径的最大值是（   ） A． B． C． D． 63．如图，是的内切圆． （1）若，则的度数为______． （2）若，则的半径为______． 64．如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，． 如图，的内切圆与分别相切于点D，E，F， (1)求的长． (2)已知，求的长． 题型17 三角形内切圆与外接圆综合 65．在中，，是的内切圆，连接、，则C的度数为（    ） A． B． C． D． 66．如图，周长为的三角形纸片，小刚想用剪刀剪出它的内切圆，他先沿着与相切的剪下了一个三角形纸片，已知，则三角形纸片的周长是（　　） A． B． C． D． 67．如图，为的外接圆，其中，点I为的内心，连接并延长交于点D，连接，则____． 68．如图，在中，． (1)在图1中作的外接圆；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，点I是内切圆的圆心，当，时，连接，求的长．（可在备用图中画出图形） 题型18 过圆外一点作圆的切线（尺规作图） 69．已知：圆及圆外一点，求作：过点作圆的切线． 作法：①连接，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点和，连接，交于点； ②以为圆心，长为半径作圆，交圆于点，两点； ③作直线，． 所以直线，为的切线． (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明推理的依据 证明：连接，， ∵为的直径，且点、在上， ∴，（_______________）， ∵，为的半径， ∴直线，为的切线（_______________）． 70．如图，由边长为的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，且是格点．仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． (1)在图中先作直径，再过点作的切线； (2)在图中，点是与网格线的交点，先在上方作 ；再在下方作弦． 71．如图，半径是3，点P是外一点，且． (1)请用直尺和圆规作出过点P的的两条切线，切点分别为点A、B．（保留作图痕迹，不写画法和证明）． (2)若点C是上任意一点（点C不与点A、B重合），过点C的切线交于点D、E．则的周长是 ． 72．已知：如图，及外一点P， (1)求作：过点P的的切线（要求使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：连接，是的直径， _______°（ ）（填依据） ． 又为的半径， 直线是的切线（ ）（填依据） 同理可证，直线也是的切线． 题型19 圆与三角形综合（压轴） 73．如图，在中，，平分交于点，以点为圆心，为半径的圆交于点． (1)求证：为圆的切线； (2)若，，求圆的半径． 74．如图，中，，以为直径的与，分别交于点和点，过点作，垂足为，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求半径． 75．为圆O直径，切圆O于点C，过点C作交圆O于点M，交于点F，连接． (1)如图1，求证：为圆O切线； (2)如图2，过点A作交于点D，求证； (3)在（2）的条件下，连接，当时，，求的长． 76．如图，的半径为1，A，P，B，C是上的四个点，． (1)请判断的形状？说明理由； (2)当点P位于的什么位置时，四边形的面积最大？求出最大面积． 题型20 圆与四边形综合（压轴） 77．[感知]如图①，为等边的外接圆．为的直径，线段与交于点E，探究线段的数量关系． 小明同学的做法是：过点C作的垂线交延长线于点F，连接．易证．进而得出，．则线段的数量关系是： ______． [探究]如图②，等腰三角形中．，为的外接圆，D为弧上一点，于E，探究上述结论是否成立，如果成立，请证明；如果不成立说明理由． [应用]如图③，是的外接圆，是直径，．点D在上，且点D与点C位于线段两侧，过点C作线段的垂线，交线段于点E，若点E为的三等分点，则的值为______． 78．【感知】如图①点均在上，，则的大小为______度． 【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，是等边三角形的外接圆，点在上（点不与点重合），连接．求证：．小明发现，延长至点，使，连接，通过证明．可推得是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程： 证明：延长至点，使，连接． 四边形是的内接四边形，， ， 是等边三角形，， ．请你补全余下的证明过程． 【应用】如图③，是的外接圆，，点在上，且点与点在的两侧，连接，若，求的值． 79．如图，内接，点A为的中点，D为边上一点，，是的切线，，连接．    (1)求证：； (2)当点A到弦的距离为1时，求的值． 80．如图，四边形是的内接四边形，点F是延长线上的一点，且平分，于点E．    (1)求证：． (2)若，，求的长． 题型21 圆与函数综合（压轴） 81．在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，1为半径作圆，点P（m， m＋2），过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为（    ） A．3 B．2 C． D． 82．如图，点P为函数的图象上一点，且到两坐标轴距离相等，P半径为2，，，点Q是P上的动点，点C是QB的中点，则AC的最大值是__________． 83．如图，直线与双曲线交于点A，B，C为x轴正半轴上一点，且，P为半径为1的上一点，E为的中点．若的最小值为2，则此时k的值为______． 84．已知反比例函数经过点． (1)求反比例函数的解析式； (2)以平面直角坐标系原点为圆心，长为半径画圆，与该反比例函数图象有交点，求除点A外的其余交点的坐标； (3)若该反比例函数与在第一象限的另一个交点为点，求的面积． 1．如果的半径为，圆心到直线的距离为，且，那么和直线的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 2．如图，是的外接圆，为的直径，与相切于点B．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，，是的切线，，为切点，是的直径，．则的度数为（  ） A． B． C． D． 4．如图，是的切线，切点为，的延长线交于点，连接若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，是的直径，点在上，是的切线，为切点，连接并延长交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，是的内切圆，切点分别为．若，则的周长为（   ） A．8 B．10 C．20 D．36 7．如图，是的切线，为切点，点是优弧上一点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，与轴相切于点，与轴的一个交点为．若的半径为5，点的坐标是，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，，以点C为圆心，以为半径作圆，则与边的公共点个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定 10．如图，在中，，为中线，若，，设与的内切圆半径分别为，，那么的值为（    ） A．1 B． C． D． 11．如图，四边形与分别相切于点，，，，其中，四边形的周长为，，则长度为______． 12．如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接．若，则的度数为___________． 13．如图，与相切于点，与相切于点，为上一点，过点与相切的直线分别交于点．若的周长为12，则的长为___________． 14．如图，在平面直角坐标系中，与轴相切于点，为的直径，点在反比例函数的图象上，为轴上一点，若的面积为1，则______． 15．如图，是的弦，点在过点的切线上，，交于点；若，则的度数为______． 16．如图，正方形的边长为4，经过，两点，且与相切，则的半径为______． 17．如图，四边形是的内接四边形，，，直线与相切于点A．若，则的度数为___________． 18．如图，在平面直角坐标系中，点，点，I是的内心，则 （1）_______； （2）点I关于x轴对称的点的坐标是____________． 19．如图，是一个梯形，，梯形的两腰与上底均与半圆O相切，已知，则______． 20．如图，内接于，于点，若为的内心，则______． 21．如图，以点为圆心，为直径作圆，在上取一点，连接，，延长至点，连接，使得，求证：是的切线． 22．如图，已知AB是的直径，点C，D在上，，． (1)求证：； (2)求的度数． 23．如图，在中，，平分，交边于点，点为边上一点，经过点、并且交于另一点． (1)作出并标出点（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下， ①证明：直线是的切线； ②若与交于点，且，，求的长． 24．在中，直径垂直于弦，垂足为E，连接，，，    (1)如图①，若，求和的大小； (2)如图②，过点C作的切线交AB的延长线于点F．若，，求此圆半径的长． 25．如图，在中，，以为直径的交于，点在线段上，且．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 26．如图，在中，，，，点E为边上一点，过点E作交的角平分线于点P．以点P为圆心，长为半径画圆． (1)求证：与相切； (2)若，求的半径． 27．如图，是的外接圆，是的切线，且，连接交于点E． (1)求证：； (2)连接，若为直径，，，求的半径． 28．如图，为正方形对角线上一点，以为圆心，长为半径的与相切于点． (1)求证∶与相切； (2)若正方形的边长为1，求的半径． 29．综合与探究 问题情境：如图，已知为的直径，点为上异于，的一点，过点作的切线，过点作于点，连接． (1)探究发现：证明：无论点在何处，将沿折叠，点一定落在直径上； (2)探究引申：如图，小明同学继续探究发现，若是等腰三角形且对称轴经过点时，与存在什么数量关系？请给予证明； (3)探究规律：如图，小亮同学继续探究发现，当为等边三角形时，与存在什么数量关系？请给予证明． 30．在平面直角坐标系中，的半径为，对于点、点和，给出下面定义：将点绕点顺时针旋转得到点，若点在上或内部，则称点为关于点的旋垂点． (1)如图1，若点． ①在点、中，为关于点的旋垂点是_____； ②点是轴上的动点，且点为关于点的旋垂点，求点横坐标的取值范围； (2)如图2，若点，直线上存在关于点的旋垂点，直接写出的取值范围． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 点与圆、直线与圆的位置关系 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 判断点与圆的位置关系 题型2 利用点与圆的位置关系求半径 题型3 点与圆上一点的最值问题 题型4 判断直线和圆的位置关系 题型5 已知直线和圆的位置关系求半径的取值 题型6 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 题型7 求圆平移到直线相切时圆心经过的距离 题型8 求直线平移到与圆相切时运动的距离 题型9 有关切线的概念辨析 题型10 证明某直线是圆的切线 题型11 切线的性质定理 题型12 切线的性质和判定的综合应用 题型13 应用切线长定理求解 题型14 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 题型15 三角形内心有关应用 题型16 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 题型17 三角形内切圆与外接圆综合 题型18 过圆外一点作圆的切线（尺规作图） 题型19 圆与三角形综合（压轴） 题型20 圆与四边形综合（压轴） 题型21 圆与函数综合（压轴） 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 点与圆的位置关系 直线与圆的位置关系 切线长定理 三角形内心 1. 掌握点与圆的三种位置关系及对应的数量判定方法。 2. 理解直线与圆的三种位置关系，熟记相关定义特征。 3. 学会利用距离与半径的大小关系判定位置关系。 4. 能运用位置关系公式进行简单几何计算与判断证明。 5. 提升数形结合能力，熟练解决相关几何实际题型。 学习重点：掌握点、直线与圆的位置关系，会用数量关系准确判定位置关系。 学习难点：灵活运用数形结合思想，解决位置关系综合计算与推理问题。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 点和圆的位置关系 点和圆的位置关系 点和圆的 位置关系 点到圆心的距离与半径的关系 图示 文字语言 符号语言 点在圆内 圆内各点到圆心的距离都小于半径， 到圆心的距离小于半径的点都在圆内 点在圆内 点在圆上 圆内各点到圆心的距离都等于半径， 到圆心的距离等于半径的点都在圆上 点在圆上 点在圆外 圆内各点到圆心的距离都大于半径， 到圆心的距离大于半径的点都在圆外 点在圆外 注意：（1）利用与的数量关系可以判断点和圆的位置关系；同时，知道了点和圆的位置善长，也可以确定与的数量关系。 （2）符号“”读作“等价于”，它表示从符号“”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端。 即时即练 1．若的半径为，点到圆心的距离为，那么点与的位置关系是（   ） A．点在圆外 B．点在圆上 C．点在圆内 D．不能确定 【答案】A 【分析】判断点与圆的位置关系，只需比较点到圆心的距离与圆半径的大小关系，当时点在圆外，当时点在圆上，当时点在圆内； 【详解】的半径为，点到圆心的距离为， ， 点与的位置关系是点在圆外． 2．线段，在以为直径的外有一点，则的长的取值范围为______． 【答案】 【分析】此题重点考查点与圆的位置关系，正解理解点与圆的三种位置关系是解题的关键． 通过直径得到该圆的半径为，根据点在以为直径的外，即可得到的长的取值范围． 【详解】解：∵线段，在以为直径的外有一点， ∴，即， 故答案为：． 3．已知矩形的边，． (1)以点A为圆心、为半径作，求点B，C，D与的位置关系； (2)若以点A为圆心作，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，求的半径r的取值范围． 【答案】(1)点B在内，点C在外，点D在上 (2) 【分析】此题考查的知识点是点与圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质，解题关键是要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系． （1）根据勾股定理求出的长，进而得出点B，C，D与的位置关系； （2）利用（1）中所求，即可得出半径r的取值范围． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵在矩形中，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴点在内， ∵， ∴点在上， ∵， ∴点在外； （2）∵以点A为圆心作，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外， ∴的半径r的取值范围是． 知识点02 直线和圆的位置关系 直线与圆的位置关系 直线与圆有三种位置关系，如下所示： 相交 相切 相离 定义 直线和圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交 直线和圆只有一个公共点时，叫做直线与圆相切 直线和圆没有公共点时，叫做直线与圆相离 图示 公共点个数 2 1 0 圆心到直径的距离d与圆半径r之间的大小关系 公共点名称 交点 切点 无 直线名称 交线/割线 切线 无 结论 直线与相交 直线与相切 直线与相离 判定直线与圆的位置关系通常有以下两种方法： （1）根据直线与圆的公共点的个数判断； （2）根据圆心到直线的距离与半径的大小关系判断. 即时即练 4．平面内，若的半径为3，圆心到直线的距离为，则直线与的位置关系为（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，通过比较圆心到直线的距离和圆的半径的大小来判断． 【详解】的半径，圆心到直线的距离， ，即， 直线与相交． 故选． 5．已知在直角坐标系中，以点为圆心，以3为半径作，则直线与的位置关系是__________（相切、相交或相离）． 【答案】相交 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系；根据直线与y轴的交点在内部，即可确定直线与圆的位置关系是相交． 【详解】解：当时，， 即直线与y轴的交点为，而此点在内部， ∴直线与的位置关系是相交； 故答案是：相交． 6．如图坐标系中，，以A为圆心，r为半径画圆， (1)当与坐标轴有一个公共点时，r的取值范围是 ； (2)当与坐标轴有两个公共点时，r的取值范围是 ； (3)当与坐标轴有三个公共点时，r的取值范围是 ； (4)当与坐标轴有四个公共点时，r的取值范围是 ； 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】本题主要考查了圆与直线的位置关系，坐标与图形和勾股定理，根据题意求出恰好与y轴相切时，当恰好与x轴相切时，当恰好经过原点时的半径长，结合题意画图图形，进行求解即可． （1）求出当恰好与y轴相切时的半径长即可得到答案； （2）求出当恰好与x轴相切时的半径长，结合图形即可得到答案； （3）求出当恰好经过原点时的半径长，结合图形可知，当恰好与x轴相切时，恰好经过原点时，此时与坐标轴有3个交点； （4）当半径大于与x轴相切时的半径长时，与x轴和y轴都有两个不同的交点，出去经过原点时的半径长，此时与坐标轴有4个交点，据此可得答案． 【详解】（1）解：如图所示，当恰好与y轴相切时，设切点为C，连接， ∴轴， ∵， ∴， 当时，必定与y轴有两个交点，当时，与x轴和y轴都无交点， ∴当与坐标轴有一个公共点时，r的取值范围是， 故答案为：； （2）解：如图所示，当恰好与x轴相切时，设切点为D，连接， ∴轴， ∵， ∴， ∴当时，与y轴有两个交点，与x轴无交点， 当时，与x轴和y轴都有两个不同的交点，即此时与坐标轴最少有3个交点， ∴当与坐标轴有两个公共点时，r的取值范围是， 故答案为：；    （3）解：由（2）可知，当时，与y轴有两个交点，与x轴有一个交点，且不是原点， ∴当时，与坐标轴有3个交点； 如图所示，当恰好经过原点时，此时与y轴有两个交点，与x轴有两个交点，但是其中有一个交点是原点，即此时与坐标轴有三个交点， ∴此时； 综上所述，当或时，与坐标轴有三个交点， 故答案为：或；    （4）解：如图所示，当或时，与y轴有两个交点，与x轴有两个交点，且不经过原点，即此时与坐标轴有4个交点， 故答案为：或．    知识点03 切线的判定定理与性质定理 切线的判定定理与切线的性质定理 1.切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 如图所示，OA是的一条半径，直线l经过点A且OA⊥l，则l是的切线. 判定一条直线是否是圆的切线共有以下三种方法： （1）定义法：当直线与圆有且只有一个公共点时，直线与圆相切； （2）数量关系法：当圆心到直线的距离等于半径时， 直线与圆相切； （3）判定定理法：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 2.切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径. 如图所示：直线l是的切线，切点为点A，则OA⊥l. 即时即练 7．如图：等腰，以腰为直径作交底边于P，，垂足为E．求证：是的切线． 【答案】见详解 【分析】连接，推出，根据等腰三角形性质求出，根据三角形中位线定理求出，推出，根据切线的判定推出即可． 【详解】证明：连接， ∵是的直径， ， ， ， ， 为的中位线， ， ， ， 是半径， ∴是的切线． 【点睛】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的性质、三角形的中位线定理、切线的判定、圆周角定理等知识点的运用，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键，注意证切线的方法：知道过圆上一点，连接圆心和该点证垂直． 8．如图，为的直径，取的中点C，过点C作交于点D，D在的上方，连接、，点E在线段的延长线上，且． (1)求的度数； (2)试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)与的位置关系是相切， 理由如下： 由（1）知，， ， ， 是的切线． 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）如图，连接，根据等腰三角形的性质得到．推出是等边三角形．得到，再结合即可求解； （2）根据三角形的内角和定理得到．由垂直的定义得到．推出是的切线． 【详解】（1）解：如图，连接， ， 点为的中点，， ， ， 是等边三角形， ， ， ； （2）略 9．如图，是⊙O的直径，点D是延长线上的一点，与相切于点C．连接，． (1)求证：； (2)若，的半径为2，求线段的长． 【答案】(1)证明过程见详解 (2) 【分析】本题主要考查的是切线的性质以及圆的基本性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． （1）连接，根据切线的性质得到，根据是的直径，得到，根据，证明； （2）根据，的半径为2，求出，进而求出． 【详解】（1）证明：连接， 是的切线， ，即， 是的直径， ， ， ， ； （2）解：在中，，， ， ， 知识点04 三角形的内切圆 三角形的内切圆 1.定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形. 2.性质：三角形的内心就是三角形三条内角平分性的交点，内心到三角形各边的距离相等，任意三角形的内心都在三角形的内部. 3.三角形的内切圆的作法：作三角形任意两个内角平分线，它们的交点就是内切圆的圆心，过圆心向任意一条边作垂线，垂线段的长度就是内切圆的半径. 补充：三角形外心与内心对比： 图形 名称 性质 位置 角度关系 外心（三角形外接圆的圆心，三角形三边中垂线的交点） 到三角形三个顶点的距离相等 外心不一定在三角形的内部 ∠BOC＝2∠A 内心（三角形内切圆的圆心，三角形三条内角平分线的交点） 到三角形三边距离相等 内心一定在三角形的内部 ∠BOC＝90°＋∠A 即时即练 10．如图，中，，点是的内心．则的度数（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的内角和、三角形的内心等知识，熟练掌握三角形的内心的定义是解题关键．先根据三角形的内角和定理可得，再根据三角形的内心可得平分，平分，从而可得，然后根据三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】解：∵中，， ∴， ∵点是的内心， ∴平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 11．如图，点和分别是的内心和外心，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理以及三角形的内心的性质．根据圆周角定义，以及内心的定义，可以利用表示出和，即可得到两个角的关系可进一步得出结论． 【详解】解：∵点I是的内心， ∴，， ∴ ， ∵， ∴， ∵点O是的外心， ∴， 故选：D． 12．如图，圆O是△ABC的内切圆，若∠ABC＝60°，∠ACB＝50°，则∠BOC＝________°； 【答案】 【分析】根据三角形的内心的概念得到然后根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵圆O是△ABC的内切圆，∠ABC＝60°，∠ACB＝50°， ∴ ∴∠BOC． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是三角形的内切圆与内心，三角形内角和定理，掌握三角形的内心是三角形三个内角角平分线的交点是解题的关键． 知识点05 切线长及切线长定理 切线长及切线长定理 1.切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长； 2.切线长定理：过圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 拓展：如图所示：过外一点P引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，连接OA、OB、AB，延长PO并延长交圆于点E，则：①垂直：OA⊥PA，OB⊥PB，OD⊥AB；②全等：△OAP≌△OBP，△OCA≌△OCB，△ACP≌△BCP；③弧相等：. 即时即练 13．如图，P是外一点，，分别和切于A、B，C是弧上任意一点，过C作的切线分别交，于D、E，若的周长为，则长为_______． 【答案】/10厘米 【分析】本题考查切线长定理，熟练掌握切线长定理和正确计算是解题的关键． 先根据切线长定理，得到，，，再根据线段之间的关系即可求解． 【详解】解：，分别和切于A、B， ， 过 C作的切线分别交，于D、E， ， 的周长为， ， ， ， 则， ，即． 故答案为． 14．如图，，，是的切线，切点分别为C，E，D点，若，，则的长为________． 【答案】9 【分析】本题考查了切线长定理，解题关键是熟记切线长定理． 根据切线长定理得到，，然后求出，进而得到． 【详解】解：∵，，是的切线， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：9． 15．如图，是的切线，为切点，．    (1)求的度数； (2)当时，求的半径． 【答案】(1)； (2)的半径为． 【分析】本题考查了切线长定理，三角形内角和定理，等边三角形的判定与性质． （1）根据等腰三角形等边对等角可得，根据圆切线的性质可得，从而得到，求得是等边三角形，据此求解即可； （2）根据切线长定理得到，根据含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴； （2）解：连接，    ∵是的切线， ∴平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的半径为． 题型1 判断点与圆的位置关系 1．已知的半径为6，点到圆心的距离为7，则点与圆的位置关系为（    ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．不确定 【答案】C 【分析】通过比较点到圆心的距离与圆半径的大小关系，判断点与圆的位置关系． 【详解】解：∵点A到圆心O的距离为7，的半径为6，且， ∴点A在外． 2．已知的半径是3，点在上，则点到圆心的距离满足（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点在圆上时，点到圆心的距离与半径相等，即可求解． 【详解】解：∵点在上，的半径为3， ∴． 3．已知的直径是10，点P到圆心O的距离d为方程的一个根，则点P在的 _____．（填“内部”、“外部”、“上”） 【答案】上 【分析】先解一元二次方程得到的值，再求出圆的半径，比较后判断即可． 【详解】解：， 解得或， ∵点到圆心的距离为方程的一个根， ∴， ∵的直径是， ∴的半径 ， ∴， ∴点在上． 4．设的半径为2，点P到圆心O的距离，且m使得关于x的方程没有实数根，则点P与的位置关系为________． 【答案】点P在圆外 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及点与圆的位置关系．先根据一元二次方程无实数根的条件，列不等式求出的取值范围；再确定点P与的位置关系． 【详解】解：∵关于x的方程没有实数根， ∴ ， 解得， ∵的半径为2， ∴点P到圆心O的距离， ∴点P与的位置关系为点P在圆外， 故答案为：点P在圆外． 题型2 利用点与圆的位置关系求半径 5．平面上的一点和的最近点距离为，最远距离为，则这个圆的半径是（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了点与圆的位置关系． 分点在圆外和点在圆内两种情况讨论，利用最近和最远距离与半径的关系求解 【详解】解：设点与圆心距离为d，半径为r， 当点在圆外时， ∵最近距离为，最远距离为， ∴两式相加，， 即， 代入， 得； 当点在圆内时， ∵最近距离为，最远距离为， ∴两式相加，， 解得：； ∴圆的半径为或． 故选：C． 6．已知矩形中，，以点B为圆心r为半径作圆，且与边有唯一公共点，则r的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了点与圆的位置关系以及矩形的性质，勾股定理，由于根据点与圆的位置关系得到注意若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外； 当时，点在圆上，当时，点在圆内． 【详解】解：如图：连接,    ∵矩形中， ∵以点B为圆心作圆，与边有唯一公共点， ∴的半径r的取值范围是：， 故选：D． 7．如图，在矩形中，，．以点为圆心作，且使点、、中至少有一个点在内，同时至少有一个点在外，则的半径应满足的条件是________． 【答案】 【分析】根据勾股定理求出的长，进而得出点，，与的位置关系，即可得出半径的取值范围． 【详解】如图，连接， ，， ， 以点为圆心作，使点、、中至少有一个点在内，同时至少有一个点在外， 的半径的取值范围是：． 【点睛】当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内． 8．如图，在中，，，，点为的中点．现以点为圆心，为半径作圆．若与三角形的三边（包括顶点）有3个公共点，则的值为________． 【答案】或 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，三角形的中位线定理，勾股定理，斜边中线的性质．作，，垂足分别为，，连接，求得，，结合图形即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 作，，垂足分别为，，连接， ∵点为的中点，， ∴， ∴，， ∴，， ∴当时，与三角形的三边有3个公共点； 当时，恰好经过三角形的三个顶点； 故答案为：或． 【易错警示】 利用点与圆的位置关系求半径时，容易混淆点在圆内、圆上、圆外的距离范围。解题时常忽略分类讨论，混淆圆心到点的距离与半径的大小关系，错用对应公式，造成半径求解结果漏解或错解。 题型3 点与圆上一点的最值问题 9．如图，在正方形中，，分别是边和上的动点，且，与交于点，连接，则的最小值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用可证，根据全等三角形对应角相等，可证，确定点在以为直径的圆弧上运动，然后利用勾股定理即可求出线段最小值． 【详解】解：如图所示，取线段的中点，以点为圆心，长为半径画圆，连接交于点， 在正方形中， ， ， 又，， ， , ， ， ∴点在以为直径的圆弧上运动， 如下图所示，当点与点重合，点与点重合时，最小， 四边形是正方形，， ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理、解决本题的关键是根据判断点在以为直径的圆弧上运动． 10．如图，矩形中，，，点分别是边上的两动点，且，点为的中点，点为边上一动点，连接，则的最小值为（    ） A． B．9 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最短路径问题，考查了点与圆的位置关系，轴对称图形的性质，勾股定理，关键在于将所求折线转化为两点之间的距离． 根据题意得到点在以为圆心，以为半径的上运动（在矩形内部），作点关于的对称点，连接交于点，交于点，此时有最小值，最小值为，根据勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：在矩形中，，，， 如图，连接， 点分别是边上的两动点，且，点为的中点， ， 点在以为圆心，以为半径的上运动（在矩形内部）， 如图，作点关于的对称点，连接交于点，交于点， ， ， ∴此时有最小值，最小值为， ，， ， 的最小值为9， 故选：B． 11．如图，点A，B的坐标分别为，，C为上一点，，M为线段的中点，连接，则的最小值为______． 【答案】 【分析】先证点C在半径为4的上，可知，C在与圆B的交点时，最小，根据三角形的中位线定理可得结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点C为坐标平面内一点，， ∴C在上，且半径为4， 如图，在x轴上取，连接， ∵M为线段的中点，， ∴是的中位线， ∴， 当最小时，即最小，而D，B，C三点共线时， 当C在线段上时，最小， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为． 12．如图，在长方形中，，E点是的中点，点F是边上的一个动点，将沿所在的直线翻折，得，则长的最小值是 ___________________． 【答案】 【分析】本题考查线段的最值问题，涉及隐圆，轴对称的性质，勾股定理等，找出点G的运动轨迹是解题的关键． 由轴对称的性质可得长度不变，因此点G在以点E为圆心，长为半径的圆上，进而可得当点G在线段上时，的长取最小值． 【详解】解：以点E为圆心，长度为半径作圆，连接，当点G在线段上时，的长取最小值，如图所示： 长方形中，，E点是的中点， ，，， ， ， 即长的最小值是， 故答案为：． 题型4 判断直线和圆的位置关系 13．如图，中，以边的中点为圆心，2为半径作，下列判断错误的是（   ） A．点在外 B．点在内 C．与相交 D．与相切 【答案】B 【分析】如图，连接，过点O作于点E，过点O作于点F，由勾股定理得，再根据直角三角形斜边上中线的性质得，即可判定A、B；根据等腰三角形三线合一的性质得，，则、是的中位线，，，即可判定C、D． 【详解】解：如图，连接，过点O作于点E，过点O作于点F， ∵中， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴点在外，点在外， 故选项A正确；选项B错误； ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴、是的中位线， ∴，， ∴与相切，与相交， 故选项C、D正确． 故选：B． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系，直角三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质，中位线的性质，勾股定理等知识．熟练掌握圆心距与圆到直线距离的大小关系对应的位置关系是关键． 14．中，，，，以C为圆心，r为半径作圆，此圆与直线只有一个公共点，则（   ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，切线的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键，根据圆与直线相切时只有一个公共点，因此半径r等于点C到直线的距离即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，，， ∴由勾股定理，. 设点C到直线的距离为d， ∵，且， ∴， ∴. ∵圆与直线相切， ∴. 故选：C. 15．已知的半径为，圆心到直线的距离为，若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则直线与的位置关系为______． 【答案】相交 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，直线与圆的位置关系，由一元二次方程有两个不相等的实数根，得判别式大于零，求出半径，再比较圆心到直线的距离与半径的大小关系，得出直线与圆相交，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，即， ∵， ∴， ∵圆心到直线的距离为，且， ∴距离小于半径，直线与相交， 故答案为：相交． 16．如图，已知中，，，经过点B和点C，与交于点D，且的圆心O在边上． (1)尺规作图：请根据题意，作出并补全图形（保留作图痕迹，不用写作法）． (2)判断直线与的位置关系：_____________． (3)若，则的面积_____________． 【答案】(1)见解析 (2)相切 (3) 【分析】本题主要考查了作图-复杂作图，等腰三角形的性质，切线的判定，含30度的直角三角形，直线与圆的位置关系，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）作线段的垂直平分线交于点，以为圆心，为半径作交于点即可； （2）证明即可判断； （3）证明，是等边三角形可得结论． 【详解】（1）解：由题意作图如下： （2）解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是半径， ∴直线与相切． 故答案为：相切． （3）解：如图，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的面积． 故答案为：． 题型5 已知直线和圆的位置关系求半径的取值 17．如图，在中，，，．以点C为圆心，r为半径作圆．若与斜边所在直线有且只有一个公共点，则r的值为（     ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】首先由勾股定理求，再用面积法求出到的距离，然后根据切线的判定定理回答即可． 【详解】解：在中，，，． ， 过点作于点， ， ， 与斜边所在直线有且只有一个公共点， 与相切， ． 18．已知在中，，，，以点为圆心，为半径作圆，若圆与斜边有两个公共点，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理及三角形面积公式的应用，解题的关键是求出点到的距离，并结合线段长度确定半径范围．先通过勾股定理求的长，再用面积法求点到的距离，结合直线与圆的位置关系及的长度，确定的取值范围． 【详解】解： 又 （d为C到的距离）， 即 ， ， 当 时，圆与相切，有一个公共点， 当 时，圆与相交， 为保证两个交点在线段上，需 故选：B． 19．如图，中，以点为圆心作，与，有交点（不经过点，两点），，．若，则的半径的取值范围是________． 【答案】 【分析】分别求出与相切时，过点时两种情况半径的值，再结合图像分析即可． 【详解】，，， ， 如图，当与相切时，半径， 当过点时，半径， 由图像可得，当与，有交点（不经过点，两点）时， 的半径的取值范围是． 20．“等弦”的探究． (1)如图①，在中，，是弦，且．由此，你能发现什么？小明发现点到，的距离相等．小红发现延长，交于点，则．从小明、小红两位同学所发现的结论中，选择一个完成证明． (2)如图②，已知，与各边都相交且所形成的弦的长度均相等．若，，，的半径为，则的取值范围是_____． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）小明：根据勾股定理或者全等即可证明；小红：利用等弧所对的圆周角相等，再利用等角对等边即可得证； （2）①利用（1）中小明的结论可知，圆心可到三边距离相等，所以作角平分线的交点即可； ②因为得满足与三边相交，所以找临界值相切时值，再看最短的，就作为另一个临界值． 【详解】（1）解：①选择小明． 理由：如图①，过点O分别作，，垂足分别为E、F，连接、， ∵，且过圆心O， ∴， ∵，且经过点O， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即O到、的距离相等； ②选择小红． 证明：如图①，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图②中，即为所求． ∵， ∴， ∴， 当是的内切圆时， 则有， 解得， 当过点时可得， 又因为得满足与三边相交， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质，勾股定理的逆定理，圆心角，弧，弦的关系，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 题型6 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 21．如图，已知 的半径为6，点 到矩形某条边的距离为8，则这条边可以是 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是熟练掌握直线与圆的位置关系：设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，若直线与圆相交；若．直线与圆相切；若直线与圆相离．过点作于E，作于F，作于G，作于H，由图可知：、与圆相交，与圆相离，与圆相切，则，，，，即可求解． 【详解】解：过点作于E，作于F，作于G，作于H， 由图可知：、与圆相交，与圆相离，与圆相切， 又∵的半径为6， ∴，，，， ∵点 到矩形某条边的距离为8，且， ∴点 到矩形某条边的距离为8，这条边可以是， 故选：C． 22．如图，在梯形中，，，，，如果以为直径的圆与梯形各边共有3个公共点（C，D两点除外），那么长的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】考查了直线和圆的位置关系与数量之间的联系．此题首先能够根据公共点的个数得到直线和圆的位置关系；再进一步计算出相切时圆心到直线的距离，从而根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系，得到答案． 【详解】解：根据题意，得圆必须和直线相交，设直线和圆相切于点E， 连接，则，， 又∵， ∴此时． 根据梯形的中位线定理，得 ， ∴， ∴， ∴直线要和圆相交，则． 故选D． 23．已知的半径是，点在上．是所在平面内一点，且，过点作直线，使． （1）点到直线距离的最大值为______； （2）若，是直线与的公共点，则当线段的长度最大时，的长为______． 【答案】 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，勾股定理， （1）如图1，当点在圆外且，，三点共线时，点到直线距离的最大，可得结论； （2）如图2，根据已知条件得到线段是的直径，根据勾股定理即可得到结论； 正确作出图形是解题的关键． 【详解】解：（1）如图1， ∵，的半径是，， ∴当点在圆外且，，三点共线时，点到直线距离的最大， 最大值为：， 故答案为：； （2）如图2， ∵，是直线与的公共点，线段的长度最大， ∴线段是的直径， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴的长为， 故答案为：． 24．如图，在中，，，，、分别是、上的一点，且，若以为直径的圆与斜边相交于、，则的最大值为______． 【答案】 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，勾股定理，轨迹等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．如图，连接，作于，于．由题意，，推出欲求的最大值，只要求出的最小值即可． 【详解】解：如图，连接，作于，于． ， ， ， ，， ， 欲求的最大值，只要求出的最小值即可， ， 点的运动轨迹是以为圆心为半径的圆， 在中，，， ， ， ， 当，，共线，且与重合时，的值最小， 的最小值为， 的最大值， 故答案为． 题型7 求圆平移到直线相切时圆心经过的距离 25．如图，，圆心在边上的的半径为，．若在上向点移动，当与相切时，圆心移动的距离为________． 【答案】 【分析】此题重点考查平移的性质、切线的性质定理、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 当移动到与相切时，设圆心为，切点为，由，，，得，最后求解即可． 【详解】解：当移动到与相切时，设圆心为，切点为，则， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴圆心移动的距离为． 故答案为：． 26．如图，在直线上有相距5cm的两点和（点在点的右侧），以为圆心作半径为1cm的圆，过点作直线．将以的速度向右移动（点始终在直线上），则与直线在______秒时相切． 【答案】2或3 【分析】本题考查了切线的判定与性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，当圆心到直线的距离等于圆的半径，则直线与圆相切．熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键．根据切线的判定方法，当点到的距离为时，与相切，然后计算出圆向右移动的距离，然后计算出对应的时间． 【详解】解：当点到的距离为时，与相切， 开始时点到的距离为5， 当圆向右移动或时，点到的距离为，此时与相切， 或， 即与直线在2秒或3秒时相切． 故答案为：2或3． 27．如图，直线、相交于点，，的半径为，且，如果以的速度沿由向的方向移动，则___________秒时与直线相切． 【答案】2或6 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系：直线与圆有三种位置关系（相切、相交、相离）．也考查了切线的性质和直角三角形的性质．分类讨论：当点在 点左侧，与相切时，过作于，根据切线的性质得到，再利用得到，则的圆心在直线上向右移动了后与相切，即可得到移动所用的时间；当点在 点右侧，与相切，同前面一样易得到此时移动所用的时间． 【详解】解：当点在 点左侧，与相切时，过作于，如图， ， ， ， 的圆心在直线上向右移动了后与相切， 移动所用的时间（秒）； 当点在 点右侧，与相切，如图， 同理，得的圆心在直线上向右移动了后与相切， 移动所用的时间（秒）． 故答案为：2或6． 28．如图，半径的⊙M在轴上平移，且圆心M在x轴上，当⊙M与直线相切时，圆心M的坐标为（  ） A．(0，0) B．(2，0) C．（-6，0） D．(2，0) 或（-6，0） 【答案】D 【分析】根据题意，进行分情况讨论，分别为圆位于直线右侧并与直线相切和位于直线左侧并于直线相切两种情况，进而根据相切的性质及等腰直角三角形的相关性质进行求解即可得解． 【详解】①当圆位于直线右侧并与直线相切时，连接MA，如下图所示： ∵ ∴，，是等腰直角三角形， ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴⊙M与直线AB相切于点A ∵ ∴ ∴圆心M的坐标为； ②当圆位于直线左侧并与直线相切时，过点M作于点C，如下图所示： ∵⊙M与直线AB相切， ∴ 根据直线AB的解析式：可知 ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴圆心M的坐标为， 综上所述：圆心M的坐标为或， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，等腰直角三角形的性质及动圆问题，熟练掌握相关几何求解方法并进行分类讨论是解决本题的关键． 题型8 求直线平移到与圆相切时运动的距离 29．已知：的半径为，圆心到直线的距离为，将直线沿垂直于的方向平移，使与相切，则平移的距离是（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系以及平移的性质，是基础知识要熟练掌握． 根据直线和圆相切的数量关系，可得点O到l的距离为，可向上或向下平移，使l与相切，即可得出答案． 【详解】解：如图，当直线l经过点B时，， 当直线l平移至直线，且切点为点A时，此时； 当l移动到，且切点为点C时，则； 综上所述，与相切时，平移的距离是或． 故选D． 30．如图，在平面直角坐标系中，与x轴分别交于A、B两点，点的坐标为，．将沿着与y轴平行的方向平移，使得与x轴相切，则平移的距离为（　　） A．1 B．1或2 C．3 D．1或3 【答案】D 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，通过垂径定理把求线段的长的问题转化为解直角三角形的问题是关键．作于点，由垂径定理即可求得的长，根据勾股定理即可求得的长，再分点向上平移与向下平移两种情况进行讨论即可． 【详解】解：连接，作于点，由垂径定理得： ， 在直角中，由勾股定理得：， 即， ， 的半径是2． 将向上平移，当与轴相切时，平移的距离； 将向下平移，当与轴相切时，平移的距离． 故选：D 31．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（-3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，求平移的距离． 【答案】1或5． 【分析】平移分在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况写出答案即可． 【详解】当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1； 当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5． 故答案为：1或5． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径． 32．已知：直线经过点. （1）求的值； （2）将该直线向上平移个单位，若平移后得到的直线与半径为6的相离（点为坐标原点），试求的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用待定系数法解答； （2）得出平移后得到的直线，求出A、B点的坐标，转化为直角三角形中的问题，再由直线与圆的位置关系的判定解答． 【详解】（1）因为直线经过点， 所以， 即， 故答案为 （2）由（1）及题意知，平移后得到的直线所对应的函数关系式为，设直线与轴、轴分别交于点、（如图所示）， 当时，；当时，. 所以，，即，. 在中，. 过点作于， 因为， 所以， 因为，解得. 依题意得：， 解得， 即的取值范围为. 【点睛】此题主要考查待定系数法、勾股定理、直线与圆的位置关系等知识． 题型9 有关切线的概念辨析 33．下列说法中，正确的是（ ） A．垂直于半径的直线一定是这个圆的切线 B．在同圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等 C．三角形有且只有一个内切圆 D．三角形的内心到三角形的个顶点的距离相等 【答案】C 【分析】此题考查了圆的切线的定义，三角形的内心的概念，要求学生对这些概念熟练掌握．根据切线的定义判断选项A；根据同弦或等弦所对的圆周角判断选项B；根据三角形的内切圆的圆心是三个内角平分线的交点判断选项C；根据三角形的内心的性质判断选项D． 【详解】解：A、经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线； B、在同圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等或互补，则不一定相等； C、三角形的内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，而交点只有一个； D、三角形的内心是三个内角平分线的交点，到三边的距离相等．由此可见只有选项C是正确的． 故选：C． 34．如图，与相切的直线是（   ） A． B． C． D．和 【答案】A 【分析】本题主要考查切线的定义，根据与圆有唯一公共点的直线是圆的切线进行判断即可． 【详解】解：∵与有唯一公共点的直线是， ∴与相切的直线是， 故选：A． 35．下列命题：①等弧所对的弦相等；②垂直于弦的直线平分弦；③相等的圆心角所对的弧相等；④直径所对的圆周角是直角；⑤垂直于半径的直线是圆的切线．其中正确的命题有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角、垂径定理、切线等知识，熟练掌握圆的相关知识和定理是解题关键．根据“在等圆或同圆中，相等的圆周角所对的弧相等，相等的弧所对的圆心角相等”、垂径定理、直径所对的圆周角是直角、切线的定义，逐一分析判断即可． 【详解】解：等弧所对的弦相等，说法①正确； 垂直于弦的直径平分弦，故说法②错误； 同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故说法③错误； 直径所对的圆周角是直角，说法④正确； 垂直于半径且垂足在圆上的直线是圆的切线，故说法⑤错误． 综上所述，正确的命题有①④，共计2个． 故选：C． 36．当点P在⊙O上时, 经过点P能作________条直线与⊙O相切. 若过点P能作⊙O的两条切线,则点P必在⊙O_________(填”上”或”外”或”内”) 【答案】 一 外 【分析】根据切线的定义求解即可. 【详解】如图， 当点P在⊙O上时, 经过点P能作一条直线与⊙O相切. 若过点P能作⊙O的两条切线,则点P必在⊙O外. 故答案为一；外. 【点睛】本题考查了切线的定义，经过半径的外端，且与半径垂直的直线是圆的切线，熟练掌握切线的定义是解答本题的关键. 题型10 证明某直线是圆的切线 37．如图，在中，，，C是的中点，以为半径作． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由等腰三角形的性质可得，再根据切线的判定定理证明即可； （2）由直角三角形斜边中线的性质可得，等腰三角形的性质可得，然后再用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：证明：∵，点是的中点， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； （2）解：∵，，点是的中点， ∴，， ∴． 38．如图，中，，，点A在以为直径的上． (1)求度数； (2)求证：是的切线． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查圆周角定理和切线的判定定理，正确掌握相关知识是解题的关键． （1）根据“直径所对的圆周角是直角”得，计算即可求解； （2）连接，根据角之间的关系，易求，根据切线的判定定理即可求证． 【详解】（1）解：为的直径， ，即是直角三角形， ， ； （2）证明：如图，连接， ，， ， ， ， ，即， 又是半径， 是的切线． 39．如图，在中，，点D是边的中点，点O是边上的点，以O为圆心，为半径的交于点F，E，G，且点E是弧的中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 【答案】(1)证明：连接交于点M， ∵， ∴， 又∵点D是的中点， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵点E是弧的中点， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴是的切线； (2)3 【分析】（1）连接交于点M，由等腰三角形的性质得出，由圆周角定理及垂径定理得出，得出四边形是矩形，即可得证； （2）设，则，由勾股定理可求出答案． 【详解】（1）略 （2）解：设，则， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴的半径为3． 40．如图，是的直径，，是上两点，，过作交的延长线于． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径长． 【答案】(1)证明：如图，连接，则， ， ， ， ， ， ， ， ， 为半径， 是的切线； (2)5 【分析】（1）如图，连接，则，易证，从而得到，进而求得，再根据切线定义即可证明结论； （2）如图，连接，过点作于，易证四边形是矩形，则，利用垂径定理可得，在中，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：略． （2）解：如图，连接，过点作于， ，， ∴四边形是矩形， ∴， ， 在中，， 的半径长为5． 【易错警示】 证明切线时易混淆两种判定方法，有公共点忘连半径证垂直，无公共点不作垂直证半径。常缺失关键推理步骤，仅凭图形直观判定，忽视严谨证明过程，导致切线证明逻辑不完整、答题失分。 题型11 切线的性质定理 41．如图，点A，B在上，，点C在的延长线上，过C作的切线，切点为D，连接交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：连接，如图所示． ， ． 是的切线，是的半径， ， ， ． 在中，，即， ． 又， ． ， ． (2) 【分析】(1)连接，利用半径相等得到，结合切线性质得到，再通过直角三角形两锐角互余和对顶角相等，证得，从而得到． (2)设半径为，用表示、、，在中利用勾股定理列方程求出半径，再在中利用勾股定理求． 【详解】（1）略 （2）解：设的半径为，则． ． ， ． ， ． 由(1)的结论得， ． 在中，， 由勾股定理得， 解得，（不合题意，舍去）． ． 在中，，，， 由勾股定理得 答：的长为． 42．如图，在中，，点在边上，以点为圆心，为半径作圆，与交于点，恰与相切于点，连接，，． (1)求证：平分； (2)求的长． 【答案】(1)证明：连接， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ，     平分． (2) 【分析】（1）由切线的性质结合已知可证明，再由平行线的性质结合等边对等角等量代换证明，即可得证； （2）设，进而表示出，在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：设，则， 在中，， 即，解得． 即的长为． 43．如图，在中，，是外接圆，点是圆外一点，是的切线．连接，与交于点． (1)求证：； (2)若，，，求的半径． 【答案】(1)证明：连接，如图所示， 是的切线， ， ， ． ， ， ， ， ， ． (2) 【分析】（1）利用等腰三角形的性质和直角三角形的性质通过等量代换推出，根据切线的性质推出，最后根据等量代换即可证明． （2）根据中位线定理求出的长度，设半径参数，在和中用参数构造，利用线段一样式子相等，即可列出关于的方程，解出即可． 【详解】（1）略 （2）解：，且经过， ， ， ． ， ， 设半径，则在中，， 在中，． 由（1）问可知，， 在中，． ， ， 或（舍去）． 半径为． 【点睛】本题考查了切线性质，垂径定理，勾股定理，中位线定理，是一道圆的综合题，解题的关键在于通过勾股定理构造同样线段的式子，将其转化关于半径的方程． 44．如图，在中，是直径，是弦，D为的中点，连接并延长交于点E，为的切线交的延长线于点F．记与的交点为H． (1)求证：． (2)若H为的中点，的半径为4，求的长． 【答案】(1)证明：如图，连接， 是 的中点，是的弦， ，， ，且， ， 是的切线， ， 为直径， ， ， ， ． (2) 【分析】（1）利用垂径定理由为中点得及，从而；同时，故，再由为切线得，直径所对圆周角得，因此，进而得； （2）由（1）知且，结合为中点可证，得，再利用为中点、为中点得，设，则，代入解得． 【详解】（1）略 （2）如图，连接 由（1）得，，且H为的中点， 在和中， ， ， ， 是中点，D为的中点， ， ， 的半径为4，即， 设，则, ，解得， 的长为． 题型12 切线的性质和判定的综合应用 45．如图，四边形是平行四边形，以O为圆心，为半径的圆交于D，延长交于E，连接，，若是的切线． (1)求证：是的切线； (2)若，则的面积＝______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）首先连接．根据平行四边形的性质，可知，从而得到内错角相等，即，．又因为和都是圆的半径，所以，根据等边对等角，得到．通过等量代换，可得．然后利用“边角边”证明和全等．根据全等三角形对应角相等的性质，得到．因为是的切线，所以，即．因此，，即．最后根据切线的判定定理，得出是的切线． （2）首先过点作于点．在中，已知斜边，直角边，根据勾股定理求出另一直角边的长度，即圆的半径．因为也是半径，所以．然后利用三角形面积公式，通过面积相等法（）求出高的长度．接着在中，利用勾股定理求出的长度．根据垂径定理，，得 ．然后计算出的长度，．最后利用三角形面积公式计算的面积． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： 四边形是平行四边形， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， 是的切线， ，即， ，即， 是的半径， 是的切线． （2）解：过点作于点，连接，如图所示： 在中，，， 根据勾股定理，得， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 解得， 在中，根据勾股定理，得， ， ， ， ． 46．如图，是的直径，点是上一点，过点的直线交的延长线于点．作，垂足为点，已知平分． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1) 证明：如图，连接， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； (2)． 【分析】（1）连接，根据题意求得，，从而求出，，结合切线的判定即可求解； （2）设的半径，则，由勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：，是的直径， ， 设的半径，则， ，， 由勾股定理得， 解得：，（舍）， 的半径为． 47．如图，圆内接四边形的边过圆心O，过点C的直线与边所在直线垂直于点M． (1)若是的切线，且．求的度数． (2)试猜想与满足什么关系时，直线与相切？并说明理由． 【答案】(1) (2)时，与相切．理由见解析 【分析】本题考查了切线的判定与性质，圆内接四边形的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握圆内接四边形的性质和圆周角定理是解决问题的关键． （1）连接，由切线的性质得到，再根据圆周角定理结合直角三角形的性质求出，根据，得到，利用圆内接四边形的性质，求出，即可解答； （2）当时，与相切，由，得到，根据等腰三角形的性质推出，易证，推出，证明即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵是的切线， ． ， 为的直径， ． ， ． ∵四边形为圆内接四边形， ． 又， ， ． （2）解：当时，与相切． 理由：， ， 又， ， ， ． ， ． 又为的半径， 与相切． 48．如图，为的直径，是的切线，切点为点B，点D为上一点，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理、切线的判定与性质． （1）连接，由切线的性质得，则，因为，，所以，则，即可证明是的切线； （2）由，得，而，，则，求得，所以的半径长为． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵为的直径，与相切于点B， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵是的半径，且， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴的半径长为． 题型13 应用切线长定理求解 49．如图，圆 O是的内切圆，，交于点D，交于点E，且是O的切线．若的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设与O相切于点M，N，F，与圆O相切于点G．利用切线长定理得出，结合三角形周长及等量代换求解即可 【详解】解：设与O相切于点M，N，F，与圆O相切于点G． ∴． ∴． ∵的周长是， ∴． ∴． ∴的周长为 50．如图，，是的切线，切点为，，点，在圆上，若，则（    ） A．55° B．65° C．70° D．78° 【答案】C 【分析】连接，则，而，求得，由切线长定理得，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴． ∵， ． ，是⊙O的切线， ， ， ． 故选：C． 51．如图，为的弦，，为的切线，且，点为劣弧上一动点（点与点，不重合），则的度数为______． 【答案】/度 【分析】连接、，在优弧上取一点，连接、，根据切线的性质及切线长定理得出，，进而得出是等边三角形，根据四边形内角和为求出，根据圆周角定理及圆内接四边形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，连接、，在优弧上取一点，连接、， ∵，为的切线， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵和是所对的圆周角和圆心角， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴． 52．如图，，是的切线，切点为A，D，点B，C在上，若，则_______________． 【答案】/68度 【分析】连接，由圆的内接四边形的性质可得，进而可得，再根据切线长定理可得，即得，最后根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：连接， 四边形是的内接四边形， ， ， ， ， 即， ，是的切线，切点为，， ， ， ． 【点睛】本题核心是圆内接四边形的对角互补、切线长定理，通过作辅助线转化角度，利用等腰三角形与内角和求解，关键是几何性质的综合应用． 题型14 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 53．在中，，，且，则这个三角形的内切圆半径为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】设的三边分别与相切于点、、，连接，，，，，，然后利用等面积法进行计算即可解答． 【详解】解：∵，，且， ∴， 设的三边分别与相切于点D、E、F，连接，，，，，， ∴，，， 设的半径为， ∴， ∵的面积的面积的面积的面积， ∴， ， ∴． 54．如图，的内切圆与边分别相切于点．已知，则的长为（   ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理、三角形的内切圆、正方形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 如图：连接，则，由勾股定理逆定理可得，易证四边形是正方形，即；再根据三角形内切圆的性质可得，然后根据等面积法求解即可． 【详解】解：如图：连接，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵的内切圆与边分别相切于点． ∴， ∵， ∴， ∴，解得：， ∴． 故选A． 55．如图，E，F，G，H四点分别在正方形的四条边上，．若，则的内切圆半径为___________ ． 【答案】2 【分析】设的内切圆圆心为点I，与分别相切于点P、Q、R，由正方形的性质得，设，由勾股定理得，，解得或，连接，设，令，由，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：设的内切圆圆心为点I，与分别相切于点P、Q、R， ∵四边形是正方形，， ∴， 设，则， ∴， ∴， 解得或， 当时，则， 当时，则， ∴及时，的形状和大小相同， 连接， 则， 设，令， ∵， ∴， 解得， ∴的内切圆半径为2， 【点睛】勾股定理求出三边的长，面积法求出内切圆的半径． 56．已知，按要求完成作答 (1)用直尺和圆规作如图的内切圆⊙O． (2)若，则______； (3)若面积为6，周长为10，则的内切圆半径为________． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）先分别作和的角平分线，以为圆心，大于长度为半径画弧，交于两点，再分别以这两点为圆心，大于两点间距离一半的长度为半径画弧，两弧交点与点的连接即为的角平分线，同理得到的角平分线，两条角平分线相交于点，再过点作于点，以点为圆心，的长为半径画圆，即为所求； （2）点是内心，得到，求出，得到，再根据，即可求出答案； （3）根据内切圆半径，周长，三角形面积的关系进行计算即可． 【详解】（1）解：作图如下， （2）解：点是内心， 平分，平分， ． （3）解：根据内切圆的性质得到， 且， ， ， ， ， ． 题型15 三角形内心有关应用 57．如图，的内切圆与分别相切于点D，E，F． (1)点O是的_______心； (2)如图1，若，，．设，求的值； (3)如图2，若，的长分别是a，b，c，则半径是_______（用含a，b，c的式子表示）． 【答案】(1)内 (2)5 (3) 【分析】本题主要考查了三角形内心、切线长定理、正方形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据内心的定义，即可获得答案； （2）根据切线长定理可得，设，则有，进而可得，解得的值，然后计算的值； （3）连接，设半径为，证明四边形为正方形，易得，进而可得，，结合，即可获得答案． 【详解】（1）解：∵是的内切圆， ∴点O是的内心． 故答案为：内； （2）解：∵的内切圆与分别相切于点D，E，F， ∴， ∵，，，设， ∴， ∴， ∴，解得， ∴； （3）解：如下图，连接， ∵的内切圆与分别相切于点D，E，F， ∴，， 设半径为， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， 又∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 58．如图，是的外接圆，为的直径，点为的内心，连接并延长交于点，连接并延长至点，使得，连接． (1)求证：； (2)判断直线与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)直线与相切，理由见解析 【分析】（1）欲证明，只要证明； （2）欲证明直线为的切线，只要证明即可； 【详解】（1）证明：是的内心， ，， ，，， ， ． （2）直线与相切，理由如下： 连接． 平分， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 是的切线． 【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心、圆周角定理、切线的判定、等腰三角形的判定、直角三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型． 59．如图，在中，． (1)实践与操作：在图1中用尺规作图法作出的内心I；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)证明与应用：如图2，与的三边分别相切于，连接ID、IE， ①判断四边形的形状并证明； ②若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)①正方形，证明见解析；② 【分析】（1）三角形内心是三条角平分线的交点，用尺规作、的角平分线，交点即为内心I． （2）①由切线性质得，，结合，先证四边形是矩形；再由（半径相等），证得矩形为正方形．②先在中求出，；设半径为，得，；根据切线长定理，列方程求解得． 【详解】（1）解：如图，点I为所求， （2）解：①四边形是正方形，理由如下： ∵是的内切圆，即、、都是的切线， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； ②已知，，， 则． 在中，，由勾股定理得： 设的半径为， 因为四边形是正方形， 所以，则，． 由切线长定理，，． 因为， 所以： ； 所以，的半径为． 【点睛】本题考查了三角形内切圆与内心，切线长的性质，勾股定理、角平分线的定义、解决本题的关键是掌握三角形内切圆与内心的含义与性质． 60．已知，如图，为的直径，内接于，，点是的内心，延长交于点，连接． (1)求证：； (2)已知的半径是，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵为的直径， ， 点是的内心， ，， ， ，， ， ． (2) 【分析】（1）由圆周角定理得出，由内心得出，，，由三角形的外角性质得出，即可得出结论； （2）连接，过点作于，由圆周角定理得出，证出是等腰直角三角形，得出，由，，推出，得到，根据勾股定理可求的长，即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接，过点作于， 为的直径，的半径是，， ，是等腰直角三角形， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心、圆周角定理、三角形的外角性质、等腰三角形的判定、等腰直角三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． 题型16 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 61．如图，的周长为，，是它的内切圆，直线是位于右侧的任意一条切线，若沿着直线剪下，则剪下的的周长为（   ） A． B． C． D．随直线的变化而变化 【答案】C 【分析】设与、、、直线分别相切于点、、、，由的周长为，，求得，由切线长定理可得，，求得，由，，得，于是得到问题的答案． 【详解】解：设与、、、直线分别相切于点、、、， ∵的周长为，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴剪下的的周长为． 62．如图是一张四边形纸片，已知，要在该纸片中剪出一个圆形纸片，则圆形纸片的半径的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了四边形内切圆的性质与面积法求半径，解题的关键是通过圆心到各边的距离（即半径）分割四边形，利用面积和建立方程． 设内切圆圆心为，半径为，利用，即；代入，，，解得． 【详解】解：设内切圆圆心为，半径为，连接及四个切点（如图）； 根据切线的性质定理可知，每条半径r都与四边形的各边垂直。 ∵， ， ∴， 即， ∴． 故选：B． 63．如图，是的内切圆． （1）若，则的度数为______． （2）若，则的半径为______． 【答案】 【分析】此题重点考查三角形的内切圆与内心、三角形内角和定理、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）由得，因为是的内心，所以，，则即可求得． （2）作于点，利用解得，再利用勾股定理解得，，故，设的内切圆的半径为，与、、分别相切于点、、，连接、、、，则利用即可求出的半径． 【详解】解：（1）， ， ， 是的内心， 平分，平分， ， ， ， 答案为：． （2）作于点，则， ， ， 即， 解得， ， ， 在中， ． 设的内切圆的半径为，与、、分别相切于点、、，连接、、、， ，，，且， ， ， ， 解得：． 故答案为：． 64．如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，． 如图，的内切圆与分别相切于点D，E，F， (1)求的长． (2)已知，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是三角形内切圆的有关问题以及切线长定理的应用，根据切线长定理列出方程是解题的关键． （1）由切线长定理可知：，，，设，则，，根据，列方程求解即可； （2）先计算三角形的半周长s，再利用，代入三角形面积与半周长即可求出内切圆半径，即可求解出的长． 【详解】（1）解：∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F， ，，， 设，则，， 根据题意得： 解得： ，，， 则的长为； （2），，， ∴半周长， 又， ， ， 则的长为． 题型17 三角形内切圆与外接圆综合 65．在中，，是的内切圆，连接、，则C的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的内切圆与内心，三角形内角和定理，先由三角形内角和定理求出的度数，再由是的内切圆得到，最后根据三角形内角和定理即可求出． 【详解】解：∵， ， ∵是的内切圆， ， ， ， 故选： C． 66．如图，周长为的三角形纸片，小刚想用剪刀剪出它的内切圆，他先沿着与相切的剪下了一个三角形纸片，已知，则三角形纸片的周长是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的内切圆与内心、切线的性质，设三角形与相切于、、，与相切于，根据切线长定理和三角形的周长公式即可得到结论．，解题的关键是熟练掌握切线的性质． 【详解】解：设三角形与相切于、、，与相切于，如图所示： 由切线长定理可知：，，，，， ，， ，， ， 故选：D． 67．如图，为的外接圆，其中，点I为的内心，连接并延长交于点D，连接，则____． 【答案】65 【分析】本题考查三角形内切圆与外接圆的综合，涉及三角形的内心的性质、圆周角定理、三角形内角和定理、三角形外角的性质，熟练掌握相关性质和定理是解题的关键．由I是的内心，得到，，根据三角形内角和定理得到，又根据圆周角定理，可知，最后由三角形外角的性质即可求出． 【详解】解：∵I是的内心， ∴分别平分， ∴，； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴． 故答案为：65． 68．如图，在中，． (1)在图1中作的外接圆；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，点I是内切圆的圆心，当，时，连接，求的长．（可在备用图中画出图形） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查尺规作图—作垂线，作圆，三角形的外接圆和内切圆的综合应用： （1）根据圆周角定理，得到外接圆的圆心为斜边的中点，利用尺规作垂线和尺规作圆的方法，作图即可； （2）设与各边的切点为D，E，F，连接，设的半径为r，易得四边形为正方形，切线长定理求出，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，设与各边的切点为D，E，F，连接， 则，，． 设的半径为r，则， ∵， ∴为的直径， ∵，，， ∴，， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 在中，． 题型18 过圆外一点作圆的切线（尺规作图） 69．已知：圆及圆外一点，求作：过点作圆的切线． 作法：①连接，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点和，连接，交于点； ②以为圆心，长为半径作圆，交圆于点，两点； ③作直线，． 所以直线，为的切线． (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明推理的依据 证明：连接，， ∵为的直径，且点、在上， ∴，（_______________）， ∵，为的半径， ∴直线，为的切线（_______________）． 【答案】(1)图见解析 (2)直径所对的圆周角是直角； 经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 【分析】本题考查尺规作图画圆的切线，切线的判定定理，熟练掌握相关知识是关键． （1）根据题干的步骤进行尺规作图即可； （2）根据圆周角定理和切线的判定定理进行填空即可． 【详解】（1）解：补全图形如图所示： （2）证明：连接，， ∵为的直径，且点、在上， ∴，（①直径所对的圆周角为直角）， ∵、为的半径， ∴直线，为的切线（②经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线） 故答案为：直径所对的圆周角是直角； 经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 70．如图，由边长为的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，且是格点．仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． (1)在图中先作直径，再过点作的切线； (2)在图中，点是与网格线的交点，先在上方作 ；再在下方作弦． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了作图—应用设计作图，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，利用垂径定理结合网格特点作图是解题的关键． （1）连接，连接，因为角所对的弦是直径，再连接，与直线交于点，连接，推出，即，即为的切线； （2）连接，连接，因为角所对的弦是直径，确定圆心，①作点的对称点，即，连接与直线交于点，连接交于点，连接，因为为中点，所以，，即； ②作点的对称点，与直线交于点，连接和，和相交于点，作射线，是的垂直平分线，连接，和相交于点，作射线与交于点，所以，因为，那么，所以，即． 【详解】（1）解：如图为所求， （2）解：如图为所求， 71．如图，半径是3，点P是外一点，且． (1)请用直尺和圆规作出过点P的的两条切线，切点分别为点A、B．（保留作图痕迹，不写画法和证明）． (2)若点C是上任意一点（点C不与点A、B重合），过点C的切线交于点D、E．则的周长是 ． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题考查尺规作图—作垂线，切线长定理，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）连接，作线段的中垂线，再以为直径画圆，与交于点，根据圆周角定理可知，即可得到为的切线； （2）根据切线的性质，勾股定理，切线长定理，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，作图如下： （2）解：如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∴， 根据切线长定理得：， 则的周长． 故答案为：8． 72．已知：如图，及外一点P， (1)求作：过点P的的切线（要求使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：连接，是的直径， _______°（ ）（填依据） ． 又为的半径， 直线是的切线（ ）（填依据） 同理可证，直线也是的切线． 【答案】(1)见解析 (2)，直径所对的圆周角是直角，经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线． 【分析】本题考查了圆的切线的判定，圆周角定理，尺规作图---线段的垂直平分线，关键是通过作图构造直径所对的圆周角． （1）先作出的中点M，然后以点M为圆心作圆M，则圆M与圆O的交点即为点A，B，则即为所求； （2）根据直径所对的圆周角是直角解决问题即可． 【详解】（1）解：如图所示； （2）证明：是的直径， （直径所对的圆周角是直角）， ． 又是的半径， 是的切线（经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线）， 同理，是的切线． 故答案为：，直径所对的圆周角是直角，经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线． 题型19 圆与三角形综合（压轴） 73．如图，在中，，平分交于点，以点为圆心，为半径的圆交于点． (1)求证：为圆的切线； (2)若，，求圆的半径． 【答案】(1)证明：如图，过点作于点， ， ， 平分交于点，， ， 点在上， 又， 与相切； (2) 【分析】（1）过点作于点，首先根据角平分线的性质证明，继而根据切线的判定定理证明与相切． （2）通过证明，得到，根据勾股定理得到，继而得到，在中根据勾股定理解得． 【详解】（1）略； （2）解：，， 在和中， ， ， ， 在中，， ， 圆的半径为， ， ， ， 在中，，即，解得：， 圆的半径． 74．如图，中，，以为直径的与，分别交于点和点，过点作，垂足为，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，利用等腰三角形的性质，证明即可解答； （2）连接，利用等腰三角形的性质，得到，，利用圆内接四边形的性质，得到，证明，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ． ， ． ， ， ， ， ， ． 是的半径， 是的切线． （2）解：如图，连接， 是的直径， ， ． ， ，． 四边形是的内接四边形 ， ， ． ， ， ， ， ， 半径为． 75．为圆O直径，切圆O于点C，过点C作交圆O于点M，交于点F，连接． (1)如图1，求证：为圆O切线； (2)如图2，过点A作交于点D，求证； (3)在（2）的条件下，连接，当时，，求的长． 【答案】(1) 证明：连接， ， （垂径定理）， ， ， ， ， 切圆O于点C， ， ， 为半径， 为圆O切线； (2) 证明：如图，连接，     为圆O直径， ， ∵， , ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ． (3) 【详解】（1）略； （2）略； （3）解：如图，连接， ∵O，F分别是和的中点， （三角形中位线定理） 设，则， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ． 76．如图，的半径为1，A，P，B，C是上的四个点，． (1)请判断的形状？说明理由； (2)当点P位于的什么位置时，四边形的面积最大？求出最大面积． 【答案】(1)是等边三角形，理由见解析 (2)当点P为的中点时，四边形的面积最大，最大面积为 【分析】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定及圆内接四边形面积的最值问题，解题的关键是利用圆周角定理判定三角形形状，通过拆分四边形面积并结合圆的直径性质求面积最大值． （1）由同弧所对的圆周角相等，结合，得，判定为等边三角形； （2）将四边形面积拆分为与的面积和，转化为，当P为中点时，取最大值（等于直径），结合等边三角形边长计算最大面积． 【详解】（1）解：是等边三角形．理由如下： 在中，∵与是所对的圆周角，与是所对的圆周角， ∴， 又∵， ∴， ∴为等边三角形； （2）解：当点P为的中点时，四边形的面积最大．理由如下： 如图，过点P作，垂足为E．过点C作，垂足为F． ∵••， ∴•， 当点P为的中点时，为的直径， ∴此时四边形的面积最大． 又∵的半径为1， ∴其内接正三角形的边长， ∴． 题型20 圆与四边形综合（压轴） 77．[感知]如图①，为等边的外接圆．为的直径，线段与交于点E，探究线段的数量关系． 小明同学的做法是：过点C作的垂线交延长线于点F，连接．易证．进而得出，．则线段的数量关系是： ______． [探究]如图②，等腰三角形中．，为的外接圆，D为弧上一点，于E，探究上述结论是否成立，如果成立，请证明；如果不成立说明理由． [应用]如图③，是的外接圆，是直径，．点D在上，且点D与点C位于线段两侧，过点C作线段的垂线，交线段于点E，若点E为的三等分点，则的值为______． 【答案】[感知] ；[探究] 上述结论成立，证明见解析；[应用] 【分析】本题主要考查了圆的综合题，涉及了圆内接四边形的性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质： [感知] 过点C作的垂线交延长线于点F，连接，证明，，即可求解； [探究] 过点C作的垂线交延长线于点G，连接，证明，，即可求解； [应用] 过点C作的垂线交延长线于点H，可证明四边形是矩形，再由四边形是的内接四边形，可证明，可证得，从而得到，，可证明四边形是正方形，从而得到，即可求解． 【详解】解：[感知]过点C作的垂线交延长线于点F，连接， ∵为等边的外接圆， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为： [探究] 上述结论成立，证明如下： 如图，过点C作的垂线交延长线于点G，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； [应用]如图，过点C作的垂线交延长线于点H， ∵是直径，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵点E为的三等分点，点D与点C位于线段两侧， ∴， 设，则， ∴， ∴； 故答案为： 78．【感知】如图①点均在上，，则的大小为______度． 【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，是等边三角形的外接圆，点在上（点不与点重合），连接．求证：．小明发现，延长至点，使，连接，通过证明．可推得是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程： 证明：延长至点，使，连接． 四边形是的内接四边形，， ， 是等边三角形，， ．请你补全余下的证明过程． 【应用】如图③，是的外接圆，，点在上，且点与点在的两侧，连接，若，求的值． 【答案】45；见解答；． 【分析】此题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键． （1）根据圆周角定理即可得出答案； （2）先构造出，得出，进而得出是等边三角形，即可得出结论； （3）先构造出，进而判断出，进而得出是等腰直角三角形，即可得出结论； 【详解】（1）解：， （在同圆中，同弧所对的圆周角相等）， 故答案为：45； （2）证明：延长至点，使，连接． 四边形是的内接四边形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 为等边三角形， ； （3）解：如图③， 延长至点，使，连接． 四边形是的内接四边形， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 79．如图，内接，点A为的中点，D为边上一点，，是的切线，，连接．    (1)求证：； (2)当点A到弦的距离为1时，求的值． 【答案】(1) 证明：如图，连接交于点M，    ∵点A为的中点， ∴， ∵与相切， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）根据点A为的中点，与相切，证明，得到，由，得到，证明四边形为平行四边形，即可证明结论； （2）由，得到，在中， ，求出，进而求出，根据四边形为平行四边形，即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：如图，    ∵， ∴， ∴， ∵点A到弦的距离为1，即， 在中， ， ∴， ∴|， ， 由（1）可知四边形为平行四边形， ∴． 【点睛】本题考查了圆与四边形综合，切线的性质，垂径定理，平行四边形的判定与性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，熟练掌握圆的性质和勾股定理是解题的关键． 80．如图，四边形是的内接四边形，点F是延长线上的一点，且平分，于点E．    (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平分，得，根据圆内接四边形的性质，得，进而得，根据同弧所对的圆周角相等，得，再根据等角对等边，即可证明； （2）过点A作于点G，得，根据平分，得，再根据，是公共边，得，得到，；又根据，得，得；最后根据，，即可求出的值． 【详解】（1）证明：∵平分， ， ∵四边形是的内接四边形， ， ， ， ， ， ． （2）解：过点A作于点G，   ， ∵平分， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ， 又，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查圆的综合应用，解题的关键是掌握圆内接四边形的性质，圆周角的性质，全等三角形的判定与性质等． 题型21 圆与函数综合（压轴） 81．在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，1为半径作圆，点P（m， m＋2），过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知点P在直线上，再结合题意，画出图形．设该直线与y轴交于点B，与x轴交于点C，并作于点H．根据坐标轴上点的坐标特点，由一次函数解析式，求得B、C两点的坐标，即得出OB、OC、BC的长．再根据面积法即可求出OH的长．根据切线的性质可知，即由勾股定理可推出．由OA为圆O半径，是定值，故可知当OP最小时，PA最小，此时OP最小值即为OH的长，由此即可求出PA的最小值． 【详解】解：根据题意可知点P在直线上，设该直线与y轴交于点B，与x轴交于点C，并作于点H，如图．    令，则， 解得：； 令，则． 故B点坐标为(0，)，C点坐标为(-2，0)． ∴，，． ∵， ∴，即． ∵为圆O的切线， ∴， ∴在中，． ∵OA为圆O半径，是定值， ∴当OP最小时，PA最小． ∵OP最小时即为OH的长， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，切线的性质，勾股定理．根据题意作出图形，并理解当OP最小时，PA最小，且OP最小值为OH的长是解答本题的关键． 82．如图，点P为函数的图象上一点，且到两坐标轴距离相等，P半径为2，，，点Q是P上的动点，点C是QB的中点，则AC的最大值是__________． 【答案】2+1 【分析】易求点P(4，4)，连接OP交P于点Q'，连接BQ'，因为OA=AB，CB=CQ，所以 AC=OQ，所以当OQ最大时，AC最大，Q运动到Q'时，OQ最大，由此即可解决问题. 【详解】点P为函数的图象上一点，且到两坐标轴距离相等， ∴可设P(x，x)( x>0)，则x=解得x=±4(负值舍去）， 点P(4, 4)如图，连接OP交P于点Q'，连接BQ'，取BQ'的中点C'，连接AC'，此时A C'最大， ∵，，点C是QB的中点， ∴OA=AB，CB=CQ，AC=OQ， 当Q动到Q'时，OQ最大，此时AC的最大值AC'=OQ'= (OP+P Q') =2+1， 故答案为：2+1. 【点睛】本题考查点与圆的位置关系、坐标与图形的性质、三角形中位线定理、最小值问题等知识，解题的关键是理解圆外一点到圆的最小距离以及最大距离，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型. 83．如图，直线与双曲线交于点A，B，C为x轴正半轴上一点，且，P为半径为1的上一点，E为的中点．若的最小值为2，则此时k的值为______． 【答案】8 【分析】连接AP，可得OE是的中位线，当的最小值为2时，AP的最小值为4，此时，点P为AC与的交点，进而即可求解． 【详解】解：连接AP， ∵直线与双曲线交于点A，B， ∴点O是AB的中点， ∵E为的中点， ∴OE是的中位线， ∴AP=2OE， ∴当的最小值为2时，AP的最小值为4，此时，点P为AC与的交点，即：AC=4+1=5， ∵，即：C(5，0)， ∴设A(x，2x)，则，解得：x1=2，x2=0（舍去）， ∴A(2，4)， ∴k=2×4=8． 故答案是：8． 【点睛】本题主要考查三角形的中位线，熟练掌握圆外一个点到圆上距离的最小的点为圆外一点与圆心的连线与圆的交点，是解题的关键． 84．已知反比例函数经过点． (1)求反比例函数的解析式； (2)以平面直角坐标系原点为圆心，长为半径画圆，与该反比例函数图象有交点，求除点A外的其余交点的坐标； (3)若该反比例函数与在第一象限的另一个交点为点，求的面积． 【答案】(1) (2)，，； (3) 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质、圆的性质、三角形的面积公式． （1）将点的坐标代入反比例函数解析式即可求解； （2）根据点的坐标求出的长，进而求出的方程，联立的方程和反比例函数的解析式即可求解； （3）根据点，的坐标，求出直线的解析式，进而求出直线与轴的交点坐标，再根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：将点代入反比例函数中，得， ， 反比例函数的解析式为； （2）解：∵点为圆心，，， ， 的方程为， 联立， 将代入得 ，即， 设，则， 解得或． 当时，，， 时 时． 当时，，， 时， 时． 除点外的其余交点的坐标为，，； （3）由（2）可知，点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点，代入中，得 ， 解得， 直线的解析式为， 令，则， 直线与轴的交点坐标为， ． 1．如果的半径为，圆心到直线的距离为，且，那么和直线的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 【答案】C 【分析】比较圆的半径与圆心到直线的距离的大小，即可得到位置关系，规则为：时直线与圆相交，时相切，时相离． 【详解】解：∵的半径，圆心到直线的距离， ∴， 根据判定规则可得和直线的位置关系是相交． 2．如图，是的外接圆，为的直径，与相切于点B．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据切线的性质可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：连接， ∵与相切于点B， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 3．如图，，是的切线，，为切点，是的直径，．则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查切线的性质，切线长定理，三角形内角和定理，根据切线及，得到，根据切线长定理得到，结合三角形内角和定理求解即可得到答案； 【详解】解：∵是的切线，， ∴， ∵，是的切线，，为切点， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 4．如图，是的切线，切点为，的延长线交于点，连接若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，结合切线的性质和可求的度数，然后根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵是⊙的切线， ∴， 又， ∴， ∴， 故选：B． 5．如图，是的直径，点在上，是的切线，为切点，连接并延长交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，熟练掌握以上性质定理是解题的关键．根据切线的性质，可以先得出为直角；再由同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，求出，从而得到的度数． 【详解】解：∵是的切线，是的直径， ， ， ， ， 故选：C． 6．如图，是的内切圆，切点分别为．若，则的周长为（   ） A．8 B．10 C．20 D．36 【答案】D 【分析】本题主要考查了切线长定理，根据切线长定理可得，再根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解：∵是的内切圆，切点分别为， ∴， ∵， ∴， ∴的周长， 故选：D． 7．如图，是的切线，为切点，点是优弧上一点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据切线的性质，四边形的内角和以及圆周角定理，即可得出结果. 【详解】解：如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∵点是优弧上一点， ∴. 8．如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，与轴相切于点，与轴的一个交点为．若的半径为5，点的坐标是，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆的切线性质、勾股定理应用，解题的关键是通过作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求出相关线段的长度． 过点作轴于点，连接、；由与轴相切于点，得轴，从而确定点的坐标；在中，利用勾股定理求出的长度，再结合的长度求出的长度，进而得到点的坐标． 【详解】解：过点作轴于点，连接、． 与轴相切于点，且半径为， ，，， 点的坐标为， ，． 在中，，， 由勾股定理得：， ， 点的坐标为． 故选：． 9．如图，在中，，，以点C为圆心，以为半径作圆，则与边的公共点个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定 【答案】B 【分析】本题考查点和圆的位置关系，直线和圆的位置关系．熟练掌握点、直线和圆的位置关系，勾股定理，面积法求三角形的高，是解本题的关键． 过点C作于点D，设的半径为r，求出，，比较， ， ，即得答案． 【详解】解：过点C作于点D，设的半径为r， ∵在中，，， ∴， 由三角形面积公式得：， 解得：， ∵， ∴， ∴点D在内， ∵， ∴点A在内， ∴与线段无交点； ∵， ∴点B在外， ∴与线段有一个交点． 综上，与边有一个交点． 故选：B． 10．如图，在中，，为中线，若，，设与的内切圆半径分别为，，那么的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的内切圆与内心，直角三角形的斜边中线的性质，根据直角三角形的边角关系和性质求出，，，，再利用三角形内切圆半径，三角形周长与面积之间的关系分别表示，，由可求出答案． 【详解】解：如图，连接，，，，，，过点O，点I分别作的垂线，垂足分别为M，N， 在中，，，， ∴， ∵为中线， ∴， ∵，即， ∴ ∴． 故选：B． 11．如图，四边形与分别相切于点，，，，其中，四边形的周长为，，则长度为______． 【答案】 【分析】根据切线长定理，，，，根据即可得出，进而得出，即可得答案． 【详解】解：∵四边形与分别相切于点，，，， ∴，，，， ∵， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴． 12．如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接．若，则的度数为___________． 【答案】/10度 【分析】本题考查了三角形的内心和外心的概念、圆周角定理、三角形内角和定理； 连接，由点I是的内心可得平分，根据角平分线的定义可得，根据圆周角定理可得，根据等腰三角形的定义及三角形内角和定理进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ∵点I是的内心， ∴平分， ∵， ∴， ∵点O是外接圆的圆心， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13．如图，与相切于点，与相切于点，为上一点，过点与相切的直线分别交于点．若的周长为12，则的长为___________． 【答案】6 【分析】本题主要考查切线长定理．解题的关键在于利用切线长定理得出线段间的等量关系，进而将△的周长转化为与相关的表达式来求解．本题可根据切线长定理，将△的周长转化为与、有关的线段长度，再结合与的关系求解的长． 【详解】解：由题意可得：．． 同理，，是的切线，切点分别为，， ． ． ． 又， ． △的周长为12，即， ，可得， 解得． 故答案为：6 14．如图，在平面直角坐标系中，与轴相切于点，为的直径，点在反比例函数的图象上，为轴上一点，若的面积为1，则______． 【答案】4 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，根据图形面积求比例系数（解析式），切线的性质定理，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先利用切线的性质说明轴，从而可得出轴，根据的面积为1，得出，进而求得． 【详解】解：∵与轴相切于点， ∴轴， ∴轴， ∵的面积为1， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴设，则，， ∴ ∴，解得：， 故答案为：4． 15．如图，是的弦，点在过点的切线上，，交于点；若，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题主要考查切线的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质及等腰三角形的性质是解题的关键；连接，则有，然后可得，则有，进而问题可求解． 【详解】解：连接， 为切线， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 16．如图，正方形的边长为4，经过，两点，且与相切，则的半径为______． 【答案】 【分析】利用切线垂直半径、正方形性质证矩形得，垂径定理求，勾股定理列方程求半径． 【详解】解：设与相切于点，连接并延长交于点，连接． 与相切于点， ． 四边形是正方形， ，，， ，四边形为矩形， ， ， 为的中点， ． 设的半径为，则，， ． 在中，由勾股定理得， 即， 整理得， 解得， 的半径为2.5． 17．如图，四边形是的内接四边形，，，直线与相切于点A．若，则的度数为___________． 【答案】/64度 【分析】利用直径所对圆周角为的性质得出是圆的直径，再由圆内接四边形的性质得到对角之和为，从而求得的度数，根据得出两弧相等，利用同弧所对圆周角相等的定理得到的度数，最后利用切线的性质即可求得结果． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴是的直径， ∵与相切于点A， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 18．如图，在平面直角坐标系中，点，点，I是的内心，则 （1）_______； （2）点I关于x轴对称的点的坐标是____________． 【答案】 10 【分析】（1）利用勾股定理解答即可； （2）根据是的内心，利用，，，得出，求解即可． 【详解】解：（1）点，点， ，， ∴在中， ； （2）连接，，，过作，，，垂足分别为，，， 是的内心， ，，， 设，则，， ， 解得：， 的坐标为， 点关于轴对称的点的坐标是． 19．如图，是一个梯形，，梯形的两腰与上底均与半圆O相切，已知，则______． 【答案】7 【分析】此题考查了切线的性质定理和梯形的面积等知识，熟练掌握切线的性质定理是关键． 连接，根据切线的性质得到，利用梯形面积等于三个三角形面积之和列式即可求出答案． 【详解】解：连接， 则， ∵梯形的两腰与上底均与半圆O相切， ∴， ∵， ∴是梯形的高， ∴ ∴ 解得 故答案为：7 20．如图，内接于，于点，若为的内心，则______． 【答案】 【分析】连接，由得，进而由内心的定义得，即得到，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得，得到，即得到，是等腰直角三角形，得，设，则，由得，得到，最后代入计算即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵于点， ∴， ∴， ∵为的内心， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 21．如图，以点为圆心，为直径作圆，在上取一点，连接，，延长至点，连接，使得，求证：是的切线． 【答案】见解析 【分析】本题考查了圆的切线的判定，等腰三角形的性质，圆周角定理，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 连接，由圆的半径相等得，由等边对等角，直径对的圆周角是和两角互余，证得即可解答． 【详解】证明：如图，连接． ，． 又， ．     是的直径， ． ， ． 又是的半径， 是的切线． 22．如图，已知AB是的直径，点C，D在上，，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1) 证明：， ． ，， 在和中： ； (2) 【分析】（1）利用弧相等得出圆心角相等，再结合圆的半径相等，通过证明三角形全等． （2）先利用等腰三角形性质求出的度数，再结合弧的关系求出的度数，最后根据圆周角定理求出的度数． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查圆的性质与三角形全等的判定，掌握弧相等则对应圆心角相等，圆周角定理及等腰三角形的性质是解题的关键． 23．如图，在中，，平分，交边于点，点为边上一点，经过点、并且交于另一点． (1)作出并标出点（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下， ①证明：直线是的切线； ②若与交于点，且，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)①见解析；②10． 【分析】作的中垂线，交于点，以点为圆心、为半径作圆即可得，交于点； 连接，证，由得于点，据此即可得证； 作于点，可得四边形是矩形，据此知，由知，再根据垂径定理可得答案． 【详解】（1）解：如图所示，与点即为所求． （2）解：①如图，连接， ， ， 平分， ， ， ， ， ，即， 是上一点， 直线是的切线； 过点作于点， 则，， 四边形是矩形， ， ， ， 则， ． 【点睛】本题主要考查作图复杂作图，解题的关键是掌握圆的确定与中垂线的性质及切线的判定、垂径定理，勾股定理，矩形的判定与性质等知识点． 24．在中，直径垂直于弦，垂足为E，连接，，，    (1)如图①，若，求和的大小； (2)如图②，过点C作的切线交AB的延长线于点F．若，，求此圆半径的长． 【答案】(1)； (2)半径为4 【分析】本题考查了切线的性质∶圆的切线垂直于经过切点的半径，也考查了垂径定理、圆周角定理、等边三角形的判定与性质和含角的直角三角形的性质． （1）先利用垂径定理得到，再根据圆周角定理得到所以，然后利用为直径得到，则； （2）连接，如图②，利用垂径定理得到，即垂直平分，所以，于是可判断是等边三角形得到，根据圆周角定理得到，，接着证明是等边三角形得到，，然后根据切线的性质得到，所以，则，于是利用含30度角的直角三角形三边的关系求出即可． 【详解】（1）解：直径于E， ， ， ， 是直径， ， ． （2）如图：连接，   直径于E， ，即垂直平分， ． 又， 是等边三角形． ， ， ， ． 又， 是等边三角形， ，． 切于点C， ． ， ， ． ， 即半径为4． 25．如图，在中，，以为直径的交于，点在线段上，且．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2)1 【分析】本题考查了切线的判定和性质，直角三角形的性质，等边对等角，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）连接．根据等腰三角形的性质和切线的判定定理即可得到结论； （2）根据切线的性质得到，求得．根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接．    ， ， ， ， ， ． ， ， 是的切线； （2）解：，为直径， 是的切线． 是的切线， ， ， ． ， 在中，， ， ． 的半径为1． 26．如图，在中，，，，点E为边上一点，过点E作交的角平分线于点P．以点P为圆心，长为半径画圆． (1)求证：与相切； (2)若，求的半径． 【答案】(1)证明：过点P作交于点F， ∵平分，， ∴ ∵为的半径 ∴为的半径， ∴与相切； (2) 【分析】（1）过点P作交于点F，由角平分线的性质得，结合为的半径可证结论成立； （2）连接，利用勾股定理求出，然后根据求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：如图，连接， 在中，， ∴． ∵， ∴． ∵ ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴． 27．如图，是的外接圆，是的切线，且，连接交于点E． (1)求证：； (2)连接，若为直径，，，求的半径． 【答案】(1) 证明：连接并延长交于点F，连接，如图： 是的切线， ， ， 点在的垂直平分线上， ， 点在的垂直平分线上， 是的垂直平分线， ， ， ； (2) 【分析】本题考查了平行线的判定，等腰三角形的性质，切线的性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）连接并延长交于点F，连接，切线的性质得到，，再得到是的垂直平分线，再得出，即可得出结论； （2）连接，得到是的中位线，求出，设，在和中，由勾股定理得，即，，即，从而得到，求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接，如图： 由（1）可得， ∵， ∴是的中位线， ， 设，在和中，由勾股定理得： ，即， ，即， ， 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴的半径为． 28．如图，为正方形对角线上一点，以为圆心，长为半径的与相切于点． (1)求证∶与相切； (2)若正方形的边长为1，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）过作于，连接，由正方形的性质结合已知条件可得出，由三角形内角和可得出，进一步即可证明与相切； （2）由（1）易知为等腰直角三角形，为半径，设，由勾股定理可得出，进而可得出，再由勾股定理可得出，由正方形的性质可得出，求出，进而列出等式计算即可． 【详解】（1）证明∶过作于，连接， 与相切于点， ， 四边形为正方形， ， ， 又为正方形对角线， ， ∴， ， 与相切； （2）解∶由（1）易知为等腰直角三角形，为半径， 设， ∴ ， 在中，， ∴， ， ． ， ， 的半径为. 【点睛】本题主要考查了圆的性质，正方形的性质，证明某直线是圆的切线，等腰直角三角形的判定以及性质，勾股定理，平行线的性质等知识，掌握这些性质是解题的关键． 29．综合与探究 问题情境：如图，已知为的直径，点为上异于，的一点，过点作的切线，过点作于点，连接． (1)探究发现：证明：无论点在何处，将沿折叠，点一定落在直径上； (2)探究引申：如图，小明同学继续探究发现，若是等腰三角形且对称轴经过点时，与存在什么数量关系？请给予证明； (3)探究规律：如图，小亮同学继续探究发现，当为等边三角形时，与存在什么数量关系？请给予证明． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)，理由见解析 (3)，证明见解析 【分析】本题主要涉及圆的切线性质、等腰三角形和等边三角形的性质、矩形的判定与性质以及含特殊角的直角三角形等知识，准确分析计算是解题的关键． （1）通过证明角相等，利用折叠性质确定点的位置； （2）根据等腰三角形对称的性质得到角的度数，进而证明四边形是矩形，得到线段关系； （3）依据求出相关角度，再利用含角的直角三角形的边的关系来推导线段关系． 【详解】（1）证明：为的切线， ， ， ， ， ， ， ， 无论点在何处，将沿折叠，点一定落在直径上； （2）解：． 理由如下：是等腰三角形且对称轴经过点， ， ， 为的切线， ， ， ， ， ， 四边形为矩形， ， ； （3）解：．理由如下： 为正三角形， ，， ， ， ，， ， ， 而， ． 30．在平面直角坐标系中，的半径为，对于点、点和，给出下面定义：将点绕点顺时针旋转得到点，若点在上或内部，则称点为关于点的旋垂点． (1)如图1，若点． ①在点、中，为关于点的旋垂点是_____； ②点是轴上的动点，且点为关于点的旋垂点，求点横坐标的取值范围； (2)如图2，若点，直线上存在关于点的旋垂点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)① ， ② (2)，且 【分析】（1）①设与轴的正半轴交点为点，过点作于点，连接，，利用等腰直角三角形的性质，旋转的性质，三角形全等的判定和性质，结合新定义解答即可； ②过点作于点，轴于点，设点的旋转对应点为，连接，，根据点为关于点的旋垂点，点在内部或上，设，根据定义，建立不等式解答即可； （2）先确定直线恒过定点；再构造以为中心、将顺时针旋转得到的辅助圆，利用切线的性质求出直线与相切时的值，进而确定的取值范围． 【详解】（1）解：①设与轴的正半轴交点为点，过点作于点，连接，，如图， ∵的半径为， ∴点， ∴， ∵点， ∴， ∴ ， ∵点， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， ， ∴ ， ∵点在的内部， ∴点为关于点的旋垂点； 在和中， ， ∴ ， ∴，， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵点在上， ∴点为关于点的旋垂点； 故答案为：， ； ②过点作于点，轴于点，设点的旋转对应点为，连接，，如图， ∵点为关于点的旋垂点，点在内部或上， 设， 则要想使取最大值，； ∵点， ∴， ∴， ∵ ， ， ∴ ， 在 和中， ， ∴ ， ∴ ， ∴点一定在轴上，且在上， ∴ ， ∴ ， ∵的半径为， ∴ ， 解得； （2）解：∵ ， ∴当时， ， ∴过定点， 如图，取点，连接，以为圆心，为半径作，过点作，切线、，切点分别为、，连接、、，过点作于点，当直线过点时，取最小值，当直线过点时，取最大值， ∵，，， ∴，， ∴， ∴绕点顺时针旋转度得，即在上， ∵，， ∴轴，， ∵切于， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴点的纵坐标为，， 横坐标：， ∴， 同理可得， 当直线过点时，得 ， 解得； 当直线过点时，得 ， 解得， ∴的取值范围为，且． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $