精品解析：广西壮族自治区南宁市第三中学2025-2026学年高二下学期7月期末数学试题

南宁三中2025～2026学年度下学期高二期考数学试题 2026.7 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知随机事件与满足，，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知随机变量服从二项分布，则“”是“方差”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，（m为常数），则（ ） A. 4 B. 7 C. D. 8 5. 若函数有奇数个零点，则的最小值是（ ） A. 6 B. 8 C. 16 D. 18 6. 某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻出演且前3个节目中至少有一个是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有（ ）种. A. 216 B. 360 C. 432 D. 672 7. 若直线同时是曲线和曲线的切线，则斜率的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 8. 已知函数，若有四个零点，，，，且满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 一组数据1，2，3，4，5，6，7，8的第30百分位数为3 B. 若随机变量，则 C. 若事件，满足，则与是对立事件 D. 若事件，满足，则事件，相互独立 10. 已知的展开式中第3项的二项式系数为21，则下列说法正确的是（ ） A. B. 展开式中存在常数项 C. 展开式的所有项的系数和为128 D. 能被7整除 11. 已知函数，的定义域为，且，，若的图象关于直线对称，则（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线在点（1，2）处的切线方程为______________． 13. 已知函数，若有且只有一个整数解，则实数的取值范围为________． 14. 一个袋子中装有形状大小完全相同的6个球，其中有2个红球，4个白球，从中随机逐一取球，每次抽取后不放回，记为抽完某一种颜色所有的球所需的次数，则的数学期望_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，其中第15题13分，第16题15分，第17题15分，第18题17分，第19题17分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角的对边分别为，． （1）求角的大小； （2）若，，点在边上，且平分，求的长． 16. 为了解居民体育锻炼情况，某地区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查.统计其中200名居民体育锻炼的次数与年龄，得到如下的频数分布表. 年龄次数 每周0∼2次 33 22 22 23 每周3∼4次 12 17 25 22 每周5次及以上 3 3 12 6 （1）若把年龄在的锻炼者称为青年，年龄在的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超过2次的称为体育锻炼频率低， 不低于3次的称为体育锻炼频率高，根据小概率值的独立性检验判断体育锻炼频率的高低与年龄是否有关联； （2）从每周体育锻炼5次及以上的锻炼者中，按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，抽取8人， 再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在与的人数分别为，求ξ的分布列与期望； 参考公式： 附： α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，，，，，平面底面，直线与底面所成的角为． （1）证明：平面平面； （2）求二面角的余弦值． 18. 已知椭圆的左、右顶点分别为，上、下顶点分别为，记四边形的内切圆为为上任意一点，过作的两条切线分别交于两点． （1）求的标准方程； （2）求证：； （3）求最小值． 19. 已知函数． （1）求的极值； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）当时，讨论在区间上零点的个数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南宁三中2025～2026学年度下学期高二期考数学试题 2026.7 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意可得， 解，得，则， 故， 故. 2. 已知随机事件与满足，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】首先求出事件与同时发生的概率： 根据公式，即，解得.所以. 3. 已知随机变量服从二项分布，则“”是“方差”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】若随机变量服从二项分布，且，则， 若随机变量服从二项分布，且，则，解得或， 所以“”是“方差”的充分不必要条件. 4. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，（m为常数），则（ ） A. 4 B. 7 C. D. 8 【答案】C 【解析】 【详解】由已知得，则， 所以当时，， 所以，故． 5. 若函数有奇数个零点，则的最小值是（ ） A. 6 B. 8 C. 16 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】借助偶函数定义可得为偶函数，则由函数有奇数个零点可得，代入计算可得，再借助基本不等式计算即可得. 【详解】， 又定义域为，则函数为偶函数， 由函数有奇数个零点，则，即， 所以，当且仅当，即，时等号成立， 即的最小值是. 6. 某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻出演且前3个节目中至少有一个是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有（ ）种. A. 216 B. 360 C. 432 D. 672 【答案】C 【解析】 【分析】借助插空法解决不相邻要求，用排除法解决前3个节目至少有一个机器人节目要求 【详解】步骤1：先排 4 个歌舞节目：，排好后会产生 5 个空位（包括两端）； 步骤2：将 2 个机器人节目插入空位：； 步骤3：排除“前3个节目全是歌舞”的情况：先从4个歌舞节目中选3个排在前3个位置，有种方法， 剩下的1个歌舞节目和2个机器人节目排在后3个位置，且机器人节目不相邻，只能是“机器人-歌舞-机器人”的排列， 有种方法.故不满足条件的情况有. 故总数为： 故选：C 7. 若直线同时是曲线和曲线的切线，则斜率的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设两切点，由导数得两切线斜率相等及切点横坐标关系；利用同一直线截距相等建立方程，将斜率表示为参数的函数，求导确定单调性后得最小值. 【详解】设直线与切于，与切于. 求导得，，因此公切线斜率， 整理得①. 的切线方程为； 的切线方程为. 同一直线截距相等，消去同类项得②， 将①代入②，得关于的函数. 对求导得，令，得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 因此时取最小值，即. 8. 已知函数，若有四个零点，，，，且满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先画图确定函数有四个零点时m的取值范围，再利用韦达定理及对数性质求出和，最后通过换元法求取值范围. 【详解】作出函数的图象，如图： 因为有四个零点，所以， 因为，， 所以，即，所以， 则， 因为是方程的根，即的根， 所以， 又，所以， 令，则， 令，则， 所以， 因为在上单调递减， 所以，即的取值范围是. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 一组数据1，2，3，4，5，6，7，8的第30百分位数为3 B. 若随机变量，则 C. 若事件，满足，则与是对立事件 D. 若事件，满足，则事件，相互独立 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于选项A，可知，所以8个数据的第30百分位数为第3个数字，即3，所以A正确； 对于选项B，由二项分布可知，所以B正确； 对于选项C，由无法得出，所以无法判定与是否是对立事件，所以C错误； 对于选项D，可知， 可得，化简得，即事件，相互独立，所以D正确； 10. 已知的展开式中第3项的二项式系数为21，则下列说法正确的是（ ） A. B. 展开式中存在常数项 C. 展开式的所有项的系数和为128 D. 能被7整除 【答案】AD 【解析】 【详解】由题意得，，得，负值舍去，故A正确； 通项为， 因为，所以展开式中不存在常数项，故B错误； 令，则展开式的所有项的系数和为，故C错误； ， 故能被7整除，故D正确. 11. 已知函数，的定义域为，且，，若的图象关于直线对称，则（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过条件推导函数的性质，逐个分析选项即可. 【详解】由关于对称，得， 已知​，将第二个式子换元，代入化简得， 因为，则，将用替换，可得， 将用替换，得， 即，故周期为. 又因为，则，即是偶函数. 由和，得， 且，故是偶函数. 选项A，，，由， 得，A正确； 选项B，对任意，，故，B正确； 选项C，推导得，是偶函数不是奇函数，C错误； 选项D，求和分组方式为为一组，为下一组，以此类推，直至，每组和为，共组，总和为，即，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线在点（1，2）处的切线方程为______________． 【答案】 【解析】 【详解】设，则，所以， 所以曲线在点处的切线方程为，即． 点睛:求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以为切点的切线方程是．若曲线在点处的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为． 13. 已知函数，若有且只有一个整数解，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】将不等式整数解问题转化为函数单调性与值域分析问题，再根据函数图象即可得出实数的取值范围. 【详解】令， 当时，，因此，求导可得, 则在上单调递减，值域为，但区间内不存在正整数，不会有整数解； 当时，，此时，则， 当时，，即在上单调递增； 当时，，即在上单调递减； 此时在处取得极大值，也是最大值，为，则函数在上的图象如下图所示： 若有且只有一个整数解，即不等式只有一个整数解， 又易知，即，可得， 结合图象可知不等式的整数解一定为3，又因为 因此可得. 14. 一个袋子中装有形状大小完全相同的6个球，其中有2个红球，4个白球，从中随机逐一取球，每次抽取后不放回，记为抽完某一种颜色所有的球所需的次数，则的数学期望_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据可能取值为：，求出对应的概率，利用期望的公式求解即可. 【详解】由题可得：可能取值为：， ：表示前两次都抽到红色，, ：表示前两次都抽到一红一白，第三次抽完红球，, ：表示前三次都抽到一红两白，第四次抽完红球，或者前四次抽的全是白色, ：表示前四次都抽到一红三白，第五次抽完红球，或者前四次抽到一红三白，第五次抽完白球， 则, 所以 四、解答题：本题共5小题，共77分，其中第15题13分，第16题15分，第17题15分，第18题17分，第19题17分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角的对边分别为，． （1）求角的大小； （2）若，，点在边上，且平分，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由三角恒等变换及正弦定理求解即可； （2）利用求解即可. 【小问1详解】 将展开， 得, 即, 因为，则， 又因为， 所以； 【小问2详解】 设， 因为，平分， 所以， 又因为， 解得， 故. 16. 为了解居民体育锻炼情况，某地区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查.统计其中200名居民体育锻炼的次数与年龄，得到如下的频数分布表. 年龄次数 每周0∼2次 33 22 22 23 每周3∼4次 12 17 25 22 每周5次及以上 3 3 12 6 （1）若把年龄在的锻炼者称为青年，年龄在的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超过2次的称为体育锻炼频率低， 不低于3次的称为体育锻炼频率高，根据小概率值的独立性检验判断体育锻炼频率的高低与年龄是否有关联； （2）从每周体育锻炼5次及以上的锻炼者中，按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，抽取8人， 再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在与的人数分别为，求ξ的分布列与期望； 参考公式： 附： α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）认为体育锻炼频率的高低与年龄有关； （2）分布列为： 0 1 2 P 【解析】 【小问1详解】 零假设：体育锻炼频率的高低与年龄无关. 由题得列联表如下： 青年 中年 合计 体育锻炼频率低 55 45 100 体育锻炼频率高 35 65 100 合计 90 110 200 ， 根据小概率值的独立性检验推断不成立， 即认为体育锻炼频率的高低与年龄有关，此推断犯错误的概率不大于0.01． 【小问2详解】 由表知，利用分层抽样的方法抽取的8人中，年龄在，内的人数分别为1，2， 依题意，的所有可能取值为0，1，2， 所以， ， ， 所以的分布列： 0 1 2 P 所以的数学期望为. 17. 如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，，，，，平面底面，直线与底面所成的角为． （1）证明：平面平面； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明如下： 因为，，，所以，则． 又因为平面底面，平面平面，所以平面．　 而平面，所以. 于是即为与底面所成的角，即． 因为，所以，， 由，，得，解得， 从而，于是， 因为，且平面，所以平面．　 而平面，所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）通过证明平面来证得平面平面. （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得二面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知、、两两垂直，分别以、、所在直线为轴、轴、 轴建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为，则， 故可设：． 设平面的一个法向量为，则， 故可设：． 令二面角为，由图可知为钝角， 则． 所以二面角的余弦值为． 18. 已知椭圆的左、右顶点分别为，上、下顶点分别为，记四边形的内切圆为为上任意一点，过作的两条切线分别交于两点． （1）求的标准方程； （2）求证：； （3）求最小值． 【答案】（1）； （2） （方法一） ①在顶点时，由(1)知成立； ②不在顶点时，设，因为与曲线相切， 则，即． 联立， 即， 即是该方程的两根，则， 即． （方法二） ①的斜率不存在时，则在直线上， 当在直线上时，点坐标为，， 此时，； 根据对称性可知，的斜率不存在时，恒成立； ②的斜率存在时，设，，． 联立，即 则，， 则 又因为直线与曲线C相切，即，解得：； 代入上式得，即． （3）. 【解析】 【小问1详解】 由题意知：中，，， 故，，，； 根据对称性可知，四边形为平行四边形，其内切圆圆心在原点， 直线：，整理得：； 半径为； 故圆的标准方程为： 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由(2)知，同理，则三点共线，即． ①在顶点时，则； ②不在顶点时，设，联立， 可得：，解得：，， 则，同理：． 则 ，当且仅当，即时，等号成立． 综上：的最小值为． 19. 已知函数． （1）求的极值； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）当时，讨论在区间上零点的个数． 【答案】（1）的极大值为，无极小值 （2） （3）3个零点 【解析】 【分析】（1）求导分析函数单调性，依据单调性确定极值点，算出对应极值； （2）分离参数构造新函数，求导判定单调区间，求出函数最小值，进而确定参数取值范围； （3）拆分区间分段讨论函数符号，借助导数研究单调性，统计区间内零点总数． 【小问1详解】 由，则，， 当时，；当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为，无极小值； 【小问2详解】 ，此时， 法一：分离参数法， 从而， 令，则， 所以；， 所以在单调递减，在单调递增， 因此，故的取值范围为； 法二：必要性探路， ， 令，， 下证：，时，恒成立， 由一次函数在上递减， 则， 在和上恒成立，且时， 所以恒成立，故的取值范围为； 【小问3详解】 在区间上有3个零点， 理由如下： 由于，所以是函数的一个零点， ， ①当时，此时恒成立，又恒成立， 从而恒成立，所以在区间上没有零点； ②当时，此时，， 设，， 由于恒成立，所以，即在上单调递减， 从而存在使得， 即在区间上递增，区间上递减，从而， 又， 所以在有唯一零点，即在上有唯一零点， ③当时，此时，， 所以 从而， 由于，，，所以， ， 又，从而在上恒成立， 所以在区间上单调递减， 因为，， 因此在区间上有唯一零点， 综上所述，函数在区间上有3个零点 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $