广西壮族自治区南宁市第三中学2024-2025学年高二下学期6月期末考试数学试题

南宁三中2024~2025学年度下学期高二期末考试 数学试题 2025.6 命题人：高二数学备课组 审题人：高二数学备课组 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 复数的虚部是（ ） A. B. 1 C. D. 3 2. 已知集合，则= A. B. C. D. 3. 若，直线，直线，则“”的充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 4. 已知随机变量服从正态分布，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 双曲线的一条渐近线过点，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客，则顾客得到的黄金实际克数（ ） A. 大于10克 B. 等于10克 C. 小于10克 D. 与砝码放置顺序有关 7. 已知定义在上的偶函数，对有，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数存在最小值，则的范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分．） 9. 在的展开式中，下列说法正确的是（ ） A. 第项的系数为 B. 各项系数和为 C. 二项式系数和为 D. 展开式中有常数项 10. 已知数列的前项和为，，，则（ ） A. 数列是等比数列 B. C. D. 数列的前项和为 11. 定义在上的函数满足，，为奇函数，函数满足，若与恰有7个交点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为的对称轴 C D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知向量满足，则__________. 13. 若，则函数的值域为______． 14. 某商店店庆，每个在店内消费到一定额度的旅客都可以参与抽奖活动.组织方准备了20个盲盒，其中有6个盲盒内有奖品.抽奖者甲先拿起了一个盲盒，在犹豫是否打开时，组织方拿走了一个没有奖品的盲盒，最终甲选择了另外一个盲盒打开，记甲中奖的概率为P，则______. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 在中，． （1）求的值； （2）若，且的面积，求的值． 16 已知函数， （1）当时，求函数的极值； （2）若函数有两条过坐标原点的切线，求实数的取值范围. 17. 如图，在梯形中，，，，现将所在平面沿对角线翻折，使点翻折至点，且成直二面角． （1）证明：平面； （2）若异面直线与所成角的余弦值为，求平面与平面所成角的余弦值． 18. 某小区有2000名居民，想通过验血的方法筛选乙肝病毒携带者，假设携带病毒的人占．为减轻工作量，随机地按人一组分组，然后将各组个人的血样混合在一起化验．若混合血样呈阴性，说明这个人全部阴性；若混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次． （1）若，，求该小区化验总次数的期望； （2）若，且每人单独化验一次花费10元，人混合化验一次花费元，求当为何值时，每个居民化验平均费用最少． 注：当时，． 19. 已知椭圆经过点，，为C的左、右顶点，M，N为C上不同于，的两动点，若直线的斜率与直线的斜率的比值恒为常数，按下面方法构造数列：C的短半轴长为时，直线MN与x轴交于点. （1）求椭圆C的离心率； （2）证明：数列是等比数列； （3）设顶点到直线MN的最大距离为d，证明. 南宁三中2024~2025学年度下学期高二期末考试 数学试题 2025.6 命题人：高二数学备课组 审题人：高二数学备课组 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】D 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分．） 【9题答案】 【答案】BC 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 【15题答案】 【答案】（1）； （2） 【16题答案】 【答案】（1）极小值，无极大值 （2） 【17题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） 【18题答案】 【答案】（1）次； （2） 【19题答案】 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $