精品解析：安徽省合肥市第七中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题

2024-2025学年第二学期期末考试 高二年级数学试卷 命题人： 胡龙成 审题人： 王瑞 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确答案涂在答题卡上相应的位置上.） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知实数，，若，则下列不等式一定成立的是（    ） A. B. C. D. 3. 已知集合，且，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 已知展开式的各二项式系数和为，且的系数为，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 6. 已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数及其导函数在定义域均为且是偶函数，其函数图象为不间断曲线且，则不等式的解集为（ ） A B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目的要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法中错误的有（ ） A. 相关系数越小，表明两个变量相关性越弱 B. 决定系数越接近1，表明模型的拟合效果越好 C 若随机变量服从两点分布，其中，则， D. 随机变量，若，则 10. 已知正数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 11. 已知函数均为定义在上非常值函数，且为的导函数.对且，则（    ） A. B. 为偶函数 C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共计15分.） 12. 已知命题，则命题的否定为______________________. 13. 数学竞赛中，某校有共6位同学获奖，在竞赛结束后站成一排合影留念时，假设两人必须相邻且站在正中间，两人不能相邻，则不同的站法共有_________种. 14. 若，且，则的最小值是________． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15. 某学校举行了一次数学有奖竞赛，对考试成绩优秀（成绩不小于分）的学生进行了奖励．学校为了掌握考试情况，随机抽取了部分考试成绩，并以此为样本制作了如图所示的样本频率分布直方图．已知第一小组的频数为． （1）求的值和样本容量； （2）用每个区间的组中值作为相应学生的成绩，估计所有参赛学生的平均成绩； （3）假设在抽取的样本中，男生比女生多人，且女生的获奖率为，问：能否有的把握认为获奖与性别有关？ 附：． 16. 某校运动会4*100接力赛分为预赛、半决赛和决赛，只有预赛、半决赛都获胜才能进入决赛．已知1班在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；2班在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；3班在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和． （1）1班，2班，3班中哪个班级进入决赛的可能性最大？ （2）设三个班中进入决赛的班级数为，求的分布列． 17. 已知函数 （1）若在上单调递增，求的取值范围； （2）若函数在处取得极小值． （i）求： （ii）证明：当时，． 18. 放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一.某机场自2012年起采取相关策略优化各个服务环节，运行效率不断提升.以下是根据近10年年份数与该机场飞往A地航班放行准点率（）（单位：百分比）的统计数据所作的散点图及经过初步处理后得到的一些统计量的值. 2017.5 80.4 1.5 40703145.0 1621254.2 27.7 1226.8 其中，. （1）根据散点图判断，与哪一个适宜作为该机场飞往A地航班放行准点率y关于年份数x的经验回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并根据表中数据建立经验回归方程，由此预测2023年该机场飞往A地的航班放行准点率； （2）已知2023年该机场飞往A地､B地和其他地区的航班比例分别为0.2､0.2和0.6.若以（1）中的预测值作为2023年该机场飞往A地航班放行准点率的估计值，且2023年该机场飞往B地及其他地区（不包含A､B两地）航班放行准点率的估计值分别为和，试解决以下问题： （i）现从2023年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率； （ii）若2023年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往A地的概率.（保留3位小数） 附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为， 参考数据：，，. 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若有两个不同零点，. （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第二学期期末考试 高二年级数学试卷 命题人： 胡龙成 审题人： 王瑞 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确答案涂在答题卡上相应的位置上.） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简集合，由交集的概念即可得解. 【详解】因为，且注意到， 从而. 故选：A 2. 已知实数，，若，则下列不等式一定成立的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的定义域、单调性判断即可. 【详解】对于A，因为在上单调递减，，所以，故A错误； 对于B， 因为的定义域为，所以只有当时，故B错误； 对于C，，因为不能确定的符号，故不能确定与的大小关系，故C错误； 对于D，因为在上单调递增，，所以，故D正确. 故选：D. 3. 已知集合，且，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简集合A，根据子集关系列式运算得解. 【详解】由，解得，所以集合， 又，所以. 故选：C. 4. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数以及对数的单调性即可求解. 【详解】因为，所以，因为，所以. 因为，所以，所以. 故选：D 5. 已知的展开式的各二项式系数和为，且的系数为，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由二项式系数和为，求出，再写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【详解】因为展开式的各二项式系数和为，所以，解得， 所以展开式的通项为（且）， 令，解得， 所以展开式中的系数为，解得. 故选：C 6. 已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】B根据上函数符号判断；C由判断；D根据上函数单调性判断，结合排除法即可得答案. 【详解】对于，当时，，排除B； 由，排除C； 对于，当上单调递减，排除D. 故选：A 7. 已知函数，若，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求解函数的单调性，接着根据已知条件结合函数定义域和单调性即可求解. 【详解】因为当时，是单调递增函数，此时， 当时，是单调递增函数，此时， 所以是定义在上的单调递增函数， 所以若即， 则，， 故选：D. 8. 已知函数及其导函数在定义域均为且是偶函数，其函数图象为不间断曲线且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对求导，结合题意分析的符号，可得的单调性，结合单调性和偶函数性质解不等式即可. 【详解】因为，则， 又因为，即， 且， 当时，则，可得； 当时，则，可得； 可知在内单调递增，在内单调递减，且函数图象为不间断曲线， 若，即， 可得，则，解得， 所以不等式的解集为. 故选：C. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目的要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法中错误的有（ ） A. 相关系数越小，表明两个变量相关性越弱 B. 决定系数越接近1，表明模型的拟合效果越好 C. 若随机变量服从两点分布，其中，则， D. 随机变量，若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据相关系数的概念即可判断A；根据决定系数的概念判断B；根据两点分布的均值与方差公式及均值与方差的性质即可判断C；根据正态分布的对称性即可判断D． 【详解】对于A：值越小，表明两个变量相关性越弱，故A错误； 对于B，决定系数越接近1，表明模型的拟合效果越好，故B正确； 对于C，若，则，，， 所以，，故C错误； 对于D，随机变量，若，则，故D正确； 故选：AC． 10. 已知正数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用已知条件、基本不等式逐项判断可得答案. 详解】对于A：∵，，. ∴，. 当且仅当，即，，取“”，∴A正确； 对于B：，由（1）知，∴. ∴.∴B正确； 对于C：. ∴，∴C错误； 对于D：， 当且仅当，即，取“”，∴D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数均为定义在上的非常值函数，且为的导函数.对且，则（    ） A. B. 为偶函数 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用赋值法，结合复合函数求导及周期函数的意义，逐项计算判断. 【详解】，且， 对于A，令，得，解得或， 若，令，得，则，不符合题意，因此，A错误； 对于B，令，得，即， 则为偶函数，B正确； 对于C，令，得，即， 求导得，则，即， 又，求导得，即， 因此， ，因此，C正确； 对于D，令，得，则， 以上两式相加并结合选项C知，， 即，D错误. 故选：BC 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共计15分.） 12. 已知命题，则命题的否定为______________________. 【答案】 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可. 【详解】命题为全称量词命题，其否定为：. 故答案为：. 13. 数学竞赛中，某校有共6位同学获奖，在竞赛结束后站成一排合影留念时，假设两人必须相邻且站在正中间，两人不能相邻，则不同的站法共有_________种. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用相邻问题，再结合不相邻列式求解. 【详解】依题意，排，相邻且站在正中间，有种站法； 再排，不相邻，而两侧各有2个位置，即不在同侧， 在两侧各取1个位置再排列，共有种站法， 最后排有种站法， 所以不同的站法共有（种）. 故答案为：32 14. 若，且，则的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可借助、表示出，从而消去，再计算化简后结合基本不等式计算即可得. 【详解】由，则， 即 ， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15. 某学校举行了一次数学有奖竞赛，对考试成绩优秀（成绩不小于分）的学生进行了奖励．学校为了掌握考试情况，随机抽取了部分考试成绩，并以此为样本制作了如图所示的样本频率分布直方图．已知第一小组的频数为． （1）求的值和样本容量； （2）用每个区间的组中值作为相应学生的成绩，估计所有参赛学生的平均成绩； （3）假设在抽取的样本中，男生比女生多人，且女生的获奖率为，问：能否有的把握认为获奖与性别有关？ 附：． 【答案】（1），样本容量为 （2）分 （3）没有，理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图中所有矩形面积之和为可求得的值，利用样本容量、频数与频率之间的关系可求出样本容量； （2）将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，再将所得结果全部相加，可得出所有参赛学生的平均成绩； （3）列出列联表，计算出的观测值，结合临界值表可得出结论. 小问1详解】 在频率分布直方图中，所有矩形的面积之和为， 则，解得， 因为第一小组的频数为，则样本容量为. 【小问2详解】 由频率分布直方图可知，所有参赛学生的平均成绩为 分. 【小问3详解】 提出零假设获奖与性别无关， 由题意可知，抽取的样本中，男生人数为人，女生人数为，且女生的获奖人数为人， 成绩优秀的学生人数为人，则男生获奖人数为人， 可得出如下列联表： 获奖 不获奖 合计 男生 女生 合计 所以，， 所以，没有的把握认为获奖与性别有关. 16. 某校运动会4*100接力赛分为预赛、半决赛和决赛，只有预赛、半决赛都获胜才能进入决赛．已知1班在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；2班在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；3班在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和． （1）1班，2班，3班中哪个班级进入决赛的可能性最大？ （2）设三个班中进入决赛的班级数为，求的分布列． 【答案】（1）3班进入决赛的可能性最大 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据概率乘法公式分别求出1班，2班，3班进入决赛的概率，比较大小确定结论； （2）先确定的可能取值，再求取各值的概率，由此可得其分布列. 【小问1详解】 1班进入决赛的概率为， 2班进入决赛的概率为， 3班进入决赛的概率为， 因为， 所以3班进入决赛的概率最大，所以3班进入决赛的可能性最大. 【小问2详解】 由（1）可知：1班、2班、3班进入决赛的概率分别为，，， 的可能取值为0，1，2，3， ， ， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 P 17. 已知函数 （1）若在上单调递增，求取值范围； （2）若函数在处取得极小值． （i）求： （ii）证明：当时，． 【答案】（1） （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得在上恒成立，则在上恒成立，即可得解； （2）（i）由计算可得，再检验即可；（ii）令，，再令，，利用导数说明函数的单调性，即可证明. 【小问1详解】 因为，所以， 依题意可得在上恒成立， 所以在上恒成立，因为在上单调递减，且当时， 所以，即的取值范围为； 【小问2详解】 （i）由，依题意可得，解得， 此时，则，当时，当时， 所以在处取得极小值，符合题意； （ii）由（i）可知， 令，， 令，， 则，令，， 则，所以上单调递增，所以， 即在上恒成立（仅在处取等号），所以在上单调递增， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 所以在上恒成立， 即当时，. 18. 放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一.某机场自2012年起采取相关策略优化各个服务环节，运行效率不断提升.以下是根据近10年年份数与该机场飞往A地航班放行准点率（）（单位：百分比）的统计数据所作的散点图及经过初步处理后得到的一些统计量的值. 2017.5 80.4 1.5 40703145.0 1621254.2 27.7 1226.8 其中，. （1）根据散点图判断，与哪一个适宜作为该机场飞往A地航班放行准点率y关于年份数x的经验回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并根据表中数据建立经验回归方程，由此预测2023年该机场飞往A地的航班放行准点率； （2）已知2023年该机场飞往A地､B地和其他地区的航班比例分别为0.2､0.2和0.6.若以（1）中的预测值作为2023年该机场飞往A地航班放行准点率的估计值，且2023年该机场飞往B地及其他地区（不包含A､B两地）航班放行准点率的估计值分别为和，试解决以下问题： （i）现从2023年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率； （ii）若2023年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往A地的概率.（保留3位小数） 附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为， 参考数据：，，. 【答案】（1）适宜，， （2）（i）0.778；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据散点图可判断适宜作为该机场飞往地航班放行准点率关于年份数的经验回归方程类型，再根据所给数据求出关于的线性回归方程，即求出，，从而得到关于的回归方程，再代入计算可得； （2）（i）根据全概率公式计算可得；（ii）根据条件概率公式计算可得. 【小问1详解】 由散点图判断适宜作为该机场飞往地航班放行准点率关于年份数的经验回归方程类型. 令，先建立关于的线性回归方程， 由于， ， 该机场飞往地航班放行准点率关于的线性回归方程为， 因此关于年份数的回归方程为， 所以当时，该机场飞往地航班放行准点率y的预报值为 ， 所以2023年该机场飞往地航班放行准点率的预报值为. 【小问2详解】 设“该航班飞往地”，“该航班飞往地”，“该航班飞往其他地区”，“该航班准点放行”， 则，，， ，，. （i）由全概率公式得， ， 所以该航班准点放行的概率为. （ii）该航班飞往地的概率为 ， 即若年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往地的概率约为. 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若有两个不同的零点，. （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）证明：. 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率，根据点斜式得解； （2）（ⅰ）转化为有两个相异正根，，利用导数研究的大致情况得解； （ⅱ）设，利用导数判断函数单调性，据此可得当时，，再由及函数单调性得出得证. 【小问1详解】 当时，，所以， 所以，又， 所以曲线在处的切线方程为，即 【小问2详解】 （ⅰ） 易知的定义域为， 由题意得，方程有两个相异正根，， 即方程有两个相异正根，， 设，则， 因为，所以， 令，得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 由，及的性质知， 当且时，，， 所以当时，，又，， 所以要使有两个相异正根，，必有， 故实数的取值范围为. （ⅱ）证明：由题意可知，，不妨设，则， 设，则 ， 令， 则当时，， 所以在上单调递减，则当时，， 所以当时，， 所以在上单调递减，故当时，， 所以当时，， 所以，即， 又，， 由（ⅰ）可知，在上单调递减，所以，故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$