专题06 二次函数中的角度存在性问题的四种模型（高效培优专项训练）数学新教材浙教版九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数中角度存在性问题，通过四种模型系统整合等角、倍角、特殊角及角和差问题，以题载法构建几何直观与代数运算的转化逻辑。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |等角存在性|6题|已知角与目标角相等|二次函数性质→坐标关系→全等/相似转化| |倍角存在性|6题|目标角为已知角2倍|外角性质/三角函数倍角公式→方程构建| |特殊角存在性|6题|含30°/45°/60°等特殊角|特殊三角函数值→坐标参数计算| |角和差存在性|6题|角度和差等量关系|角的拆分与合成→代数方程表达|

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题06二次函数中的角度存在性问题的四种模型 题型归纳 题型一二次函数中的等角存在性问题 题型二二次函数中的倍角存在性问题 题型三二次函数中的特殊角存在性问题 题型四二次函数中的角和差等量关系存在性问题 题型专练 题型一：二次函数中的等角存在性问题 1.(1)y=x2-3x-4 (器 3)最小值为1，Q(2,6)或(1，-6) 【分析】(1)把A(-l,0),点B(4,0)分别代入解析式y=a2+bx-4,计算即可. (2)取点E(O,1),先证明∠EB0=∠AC0,再计算直线BE的解析式，联立抛物线的解析式构造一元二次 方程，解答即可. (3)确定直线BC的解析式为：y=x-4,设M(m,m-4),则V(m,m-3m-4),P(m,0),则 PM=0-(m-4)=4-m,PA=m-(-)=m+1,设(，n2-3n-4),则点到直线PN的距离为n-m, 利用三角形面积相等，构造二次函数求值计算即可、 【详解】(1)解：把A(-1,0),点B(4,0)分别代入解析式y=ax2+bx-4,得 16a+4b-4=0 得 a-b-4=0· a=1 解得b=3' 故抛物线的解析式为y=x2-3x-4」 (2)解：取点E(O,1),作直线BE交抛物线于点D, 1/76 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 抛物线y=x2-3x-4, .C(0,-4), A(-1,0),点B(4,0), .OB=0C=4,0A=0E=1, OA=OE .∠AOC=∠EOB=90° OC=OB .△AOC≌aEOB(SAS), ,∠EBO=∠ACO ∠DBA=∠ACO, 点D在直线BE上， 设直线BE的解析式为y=cr+b, 4k+b=0 1b=1’ 1 k=- 解得 4 b=1 故直线BE的解析式为=子+1 根据题意，得r2-3r-4=- 4+1. 解得r、 4x=4(舍去)， 1 当x= 4时，y= 4+121 16 (3)解：设直线BC的解析式为y=mx+P, 2/76 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 将B(4,0),C(0,-4)代入直线BC的解析式得： 4m+p=0 p=-4, m=1 解得1p=4’ 直线BC的解析式为：y=x-4, 设M(m,m-4),则N(m,m2-3m-4),P(m,0）, .PM=0-(m-4)=4-m,PA=m-(-1)=m+1,PN=0-(m2-3m-4)=-(m+1)(m-4)=(m+1(4-m）. 设0(n,n2-3n-4), 则点O到直线PN的距离为h=n-m, :△P2N与Hy的面积相时，Smw-4PW-4-m0a+).及ePNA-4-mjcu+A ∴2（4-m0n+-（4-m0m+lh 解得h=1: 故点Q到直线PN的距离为1； .n-m=1, .n=m+1或n=m-1, 当n=m+1时， y=(m+1)2-3(m+1)-4=m2-m-6 则(m+l,m2-m-6), 又N(m,m2-3m-4), .0N=m+1-m)2+(m2-m-6-m2+3m+4) =V1+(2m-2) =1+4(m-1, 令p=1+4(m-1)2, a=4>0. ∴函数p有最小值，且当m=1时，p取得最小值1，此时QN的值最小为1； 3/76 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 此时，m+1=2,m2-m-6=-6,0点坐标Q(2,6) 当n=m-1时， y=(m-1)2-3(m-1)-4=m2-5m 则(m-lm2-5m）, 又N(m,m2-3m-4), .N=(m-1-m)}+(m2-5m-m2+3m+4 =V1+4(m-2)}, 令p=1+4(m-2)2, .a=4>0. ∴函数p有最小值，且当m=2时，p取得最小值1，此时QN的值最小为1： 此时，m-1=1,m2-5m=-6,9点坐标Q1,-6). 综上所述：线段N长度的最小值为1，Q(2,-6)或(1,6) 2.(1)y=-x2+2x+3 (2)P(2,3) 3)(2,3)或(4,3)或(-2，-210 【分析】 1)将A(-1,0),B(3,0)代入y=a2+bx+3,解方程组即可： (2)设P(m,n),则m>0,n=-n2+2m+3>0,确定C(0,3),根据∠BCP=∠ABC得CP∥AB,继而 得到-m2+2m+3=n=3,求解即可： (3)由y=-x+2x+3得原抛物线对称轴是直线x=1,根据将原抛物线水平向右平移，使点A(-1,0)落 4/76 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在点E(1,0)处，可得原抛物线水平向右平移了2个单位，平移后的抛物线是y=-x2+6x-5,设M(,), N(亿，-子+6t-5),分三种情况：①以MN、BC为对角线，则MW的中点即是BC中点：②以MB、NC 为对角线，则MB的中点即是NC中点；③以MC、NB为对角线，则MC的中点即是NB中点；分别画 图求解即可. 【详解】(1) 解：：抛物线y=ax2+br+3(a≠0)与x轴交于A(-l,0),B(3,0)两点， 「a-b+3=0 9a+3b+3=0 a=-1 解得：1b=2· ∴.抛物线的解析式为y=-x2+2x+3: (2) 解：如图，设P(m,n), :点P是抛物线y=-x2+2x+3上位于第一象限的动点， ∴.m>0,n=-m2+2m+3>0. ,抛物线y=-x+2x+3与y轴交于点C, 当x=0时，y=3, C(0,3). .∠BCP=∠ABC, .CP∥AB. .-m2+2m+3=n=3, 解得：m=2或m=0(不符合题意，舍去)， P(2,3); (3) 5/76 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解：原抛物线的解析式为y=-x2+2x+3,B(3,0),C(0,3). 2 ·原抛物线的对称轴是直线×=2x可， =1 :将原抛物线水平向右平移，使点A(-1,0)落在点E(1,0)处， ∴.原抛物线水平向右平移了2个单位， “平移后的抛物线是y=-(x-2)+2(x-2)+3=-x2+6x-5, 设M(1,s),N(6,-+6t-5), ①以MN、BC为对角线，则MN的中点即是BC中点，如图， E(M 1+t_3+0 22 s+(2+61-5)0+3' s=0 解得： t=2, 此时点N的坐标为(2,3)： ②以MB、NC为对角线，则MB的中点即是NC中点，如图， 6/76 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1+3t+0 2 2 s+0-t2+6t-5+3? 2 2 S=6 解得： t=4, 此时点N的坐标为(4,3)： ③以MC、NB为对角线，则MC的中点即是NB中点，如图， E 7 I 11 M [1+0t+3 2 2 8+3-t2+6f-5+0? 2 2 8=-24 解得： t=-2· 此时点N的坐标为(-2，-21)； 综上所述，点N的坐标为(2,3)或(4,3)或(-2，-21)】 3.(1)y=-x2-2x+3 e0片，②(2政4- (3)n=2 【分析】(1)因为已知抛物线经过B(1,0)和C(0,3)两个点，所以将两点坐标代入抛物线表达式 y=-x2+bx+c,求解b和c,即可得到抛物线解析式. 7/76 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)①先求抛物线与x轴交点A的坐标，再将抛物线解析式配方得到顶点P的坐标；因为四边形APCO 是不规则四边形，所以可通过拆分为梯形和三角形，代入长度计算面积.②先计算∠CAB的度数，因为 ∠PBA=∠CAB,设直线PB交y轴于M,所以OM=OB=1,分两种情况：点M在x轴上方和点M在x 轴下方，分别求出PB的直线方程，联立抛物线方程求解，再根据P在y轴左侧筛选坐标 (3)先写出抛物线向右平移个单位后的解析式，确定其对称轴：因为0≤x≤2区间的最值与对称轴和该 区间的位置关系有关，所以分对称轴在区间左侧、区间内、区间右侧三种情况，分别求出对应最大值和最 小值，根据差值为1列方程求解 【详解】(1)把B(1,0)、C(0,3)代入y=-x2+bx+c, 当x=0时，c=3; 代入B(1,0):-1+b+3=0,得b=-2. 因此抛物线的表达式为：y=-x2-2x+3, (2)①抛物线y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4, 顶点P(-1,4). 令y=0得A(-3,0),0为原点(0,0). 过P作PD⊥x轴于D(-1,O), Py外 A DO B S.DP=)×ADx PD=x2x4=4 1 1 S梯形PpoC= x(PD+0Cx0D=2×4+3)x1=3.5, 15 S四边形APC0=4+3.5= 29 ②A(-3,0),C0,3), :.0A=OC, .∠CAB=45°， ∴∠PBA=45°. 设直线PB交y轴于M, 8/76 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 OM=OB=1,分两种情况： 如图，点M在x轴上方： .M(0,1) 设直线PB解析式为y=c+1, 把点B(1,0)代入得，0=k+1,解得k=-1, ∴.直线PB解析式为y=-x+1, 联立抛物线：-x+1=-x2-2x+3,整理得x2+x-2=0, 解得=1（点B,舍去），x2=-2, 代入y=-x+1,得y=3, .P(-2,3) 如图，点M在x轴下方： ,同理可得直线 解析式为 M ∴M(0,-1) PB y=x-1 联立抛物线：x-1=-x2-2x+3,整理得x2+3x-4=0, 解得x=1(点B,舍去)，=4， 代入y=x-1,得y=-5, .P(-4,-5) ∴.P点坐标为（-2,3)或(-4，-5)」 (3)抛物线向右平移n个单位后，解析式为y=-[x-(-1)]了+4， 对称轴为直线x=n-1,开口向下， 9/76 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在分情况讨论区间0≤x≤2： 情况1：对称轴在0≤x≤2的左侧，即n-1<0,解得n<1 此时在0≤x≤2上抛物线y随x的增大而减小， 当x=0时，y取最大值：yx=-[0-(n-1)]+4=-(n-12+4, 当x=2时，y取最小值：ym=-[2-(n-)]+4=-(3-m)+4, 根据题意最大值与最小值的差为1， .-(n-02+4-[-(3-m)2+4]=1 解得n=1.75与n<1的前提矛盾，舍去，此情况无解。 情况2：对称轴在0≤x≤2的左半部分，即0≤n-1≤1，解得1≤n≤2， 此时顶点在0≤x≤2内，开口向下，因此最大值为顶点纵坐标ymx=4； 对称轴x=n-1≤1，x=2离对称轴更远，因此最小值在x=2处取得：ymn=-(3-x)2+4, .4--(3-m}+4=1, 解得n=2或n=4(超出1≤n≤2范围，舍去)， ∴符合条件的解n=2」 情况3：对称轴在0≤x≤2的右半部分，即1<n-1≤2，解得2<n≤3， 顶点仍在0≤x≤2内，最大值ymax=4;对称轴x=n-1>1,x=0离对称轴更远， 因此最小值在x=0处取得：ymin=-(n-1)2+4, 4--(n-1+4=1, 解得n=2或n=0,(均不满足2<n≤3) 情况4：对称轴在0≤x≤2的右侧，即n-1>2,解得n>3, 此时在0≤x≤2上抛物线y随x的增大而增大， 最大值在x=2处，最小值在x=0处， ∴.(n-1-(3-n)2=1 解得n=2.25与n>3的前提矛盾，舍去，此情况无解。 ∴n=2 40=4 10176 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 25√2 ②)点p到直线4D的距离最大为8， 20_8 3)点0的坐标为3,3： 【分析】(1)利用待定系数法计算即可得出结果： (2)先证明△AOD为等腰直角三角形，得出∠OAD=45°，作PM∥y轴交AD于点M,设 Pmm+烈+40<m<10),则M似m+表不PN=-m+m,作PNLAD于N则 4 化为等腰直角三角形，得出PWPM,当PM大时。pN的值最大，即点p到直线D 最大，结合二次函数的性质计算即可得出结果： (3)求出C(⑧，O),直线AB的解析式为y=2x+4,分两种情况：当点Q在BC的下方时，当点Q在BC的 上方时，作QK⊥x轴于K,分别计算即可得出结果。 【详解】(1)解：将A(0,4),B(-2,0)代入抛物线=- ++c可得。 2x×(-2+bx(-2)+c=0 4 c=4 3 解得： c=4 3 抛物线的解析式为y=-x2+x+4 421 y=-x+4 (2)解：联立 3 x+49 2 x=10x=0 解得y=-6或y=4 ·抛物线与直线AD的另一个交点坐标为(0，-6)， 在直线AD:y=-x+4中，令y=0,则-x+4=0, x=4,即D(4,0), .OD=0A=4 ∴△AOD为等腰直角三角形， 11176 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠0AD=45°， 如图，作PM∥y轴交AD于点M, 设P+m+40<m<10)则Mm-m+4 .3 2 作PN⊥AD于N, PM∥y轴， .∠PMN=∠OAD=45°， ∴△PMN为等腰直角三角形， :.PN-PM, ∴当PM最大时，PN的值最大，即点P到直线AD的距离最大， pm=-日r+m=-r-10)4a-空且0， 4 2 25 当m=5时，PM的值最大，为4， V2、2525V2 1 :点。到直线D的距离最大为)×48，此时4m+3 +m4=5+5+4头即 5vV2 ·点p到直线4D的距离最大为 解：在y+号+4，令y0则+号4=0， 解得：=-2，x3=8, .C(8,0). 12176 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设直线AB的解析式为y=kx+6(飞≠0)， 「-2k+b=0 将A0,4):B(-2,0)代入y=kx+b(≠0)可得1b=4 k=2 解得： b=4 .直线AB的解析式为y=2x+4, 如图：当点Q在BC的下方时， B :∠QCD=∠ABO CQ‖AB ∴.设直线CQ的解析式为y=2x+b, 将C(8,0)代入y=2x+b,可得2×8+b,=0, 解得：b2=-16 ·直线C的解析式为y=2x-16, y=2x-16 联立y=-x+4’ x-20 3 解得： 8 y3 出时点o的华标为得》： 如图：当点O在BC的上方时，作QK1x轴于K, 13176 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .A(0,4),B(-2,0), .OA=4,0B=2, :tam∠AB0=OA=2, OB 设2(6，-t+4)(t<4),则CK=8-1,QK=-t+4, .∠QCD=∠ABO .tan∠QCD=tan∠ABO. OK_-1+4=2 ·ck8-i 解得：1=12（不符合题意，舍去）， 综所注，点0的标为(9)， 5.1)a=-1,A(-2,0),B1,0) aG)3到 【分析】(1)将(2，-4)代入y=ar2+ax+2求出a=-1,得到抛物线y=-x2-x+2,然后令y=0求出 A(-2,0).B1,0) (2)根据题意分两种情况讨论：点E在x轴上方和点E在x轴下方，然后分别求出AE所在直线表达式， 然后和抛物线联立求解即可： ()首先得到分网.小可得y所在直线的表运式为-号r+,4所在线的表 4 3 3 2 4 2 达式为y=与nx+ 3 ”,然后分别于抛物线联立求出P m++2小Q+l+2然 9 14176 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 后结合 三马法示0所春直表达式区网怀相到心-传引--号然后求品p0所在 直线过定点) 进而求解即可. 【详解】(1)解：将(2，-4)代入y=ar2+ax+2得，-4=4a+2a+2 解得a=-1 ∴.抛物线y=-x2-x+2 ∴.当y=0时，0=-x2-x+2 解得x=1或x=-2 .A(-2,0）,B(1,0): (2)解：如图，当点E在x轴上方时，设AE与y轴交于点F, ,抛物线y=-x2-x+2 ∴当x=0时，y=2 .C(0,2),即0C=2 A(-2,0).B(1,0) ..OA=2=OC,OB=1 .∠EAB=∠BCO,∠AOF=∠COB ∴.△AOF≌aCOB(ASA) ∴.OF=OB=1 .F(0,1) ·F所在直线表达式为y=2x+1 y=-x2-x+2 与抛物线联立得， 1 y=2x+ 15176 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 阳2或月 将=5代入=+1得，y= 1 1 别 如图，当点E在x轴下方时，设AE与y轴交于点F, 同理可得，AG所在直线表达式为y=一 2 y=-x2-x+2 与抛物线联立得， 3 解得x=-2或x= 2 将x 2代入y= 1得= 综上所选，点e的标为3)威3)。 ·抛物线对称轴为直线x= 2 ,设点M,N的纵坐标分别为m,n, 叫，N A(-2,0) 16176 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 24 ·可得AM所在直线的表达式为y=了mx+ +3,1灯所在直线的表达式为少二3x十3”， 「24 y=-mx+-m ·联立24和 得， 3 3 y=-mx+-m 3 3 y=-x2-x+2by=-x2-x+2 整理得，3x2+(2m+3)x+4m-6=0 x+x=-2m+3 3，即-2+x=-2m+3 3 3m+1 2 将xp= m+1代入y=2+4 m+2m m得，少=-4 4 P 2 m+1, -m2+2m 3 9 2 同理可得， n+1, 3 +2n 2(m+n)-9,-6(m+n)+4mn+27 ∴可得PQ所在直线表达式为y阳= -x+ 3 9 ∵mn=-3 2(m+n)-9-2(m+n)+5 ∴PQ所在直线表达式为p阳= 一X+ 3 3 设t=m+n 3+2*52 2t-9 5-2-3x-21+=3x-2-3x+ 5 ∴.ypg= 33 3333 3 当号子-0时，即=1时，= 4 P0所在直线过定点L-到 :A(-2,0)是定点 .当AR1P№时，点A到直线P的距离取得最大值 =2-0 六点A到直线P0的距离的最大值为网 3 17176 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.(1)y=-x2+2x+3 (2)点E的坐标为（⑧，-45）或(2,3)」 【分析】(1)将点D和点B坐标代入求解即可： (2)分两种情况讨论，当点E在CB上方的抛物线上，当点E在CB下方的抛物线上，画出图形，根据∠ ∠CBD=∠BDE分情况求解即可. 4=a+b+3 【详解】(1)解：由条件可得0=9a+3b+3’ a=-1 解得1b=2· .抛物线y=-x2+2x+3； (2)解：当点E在CB上方的抛物线上，如图， 当x=0时，y=-x2+2x+3=3, 则C(0,3), 设直线BC表达式为y=+C,则由题意得： c=3 3k+c=0' [c=3 解得：k=-1 ∴直线BC表达式为y=-x+3, 由条件可知CB∥DE, 设直线DE的解析式为y=-x+m, 将点D的坐标代入得：m=5, .直线DE的解析式为y=-x+5, y=-x+5 联立y=-x2+2x+3 18176 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x=1 [x=2 解得： y=4(舍去)或y=3 ∴点E的坐标为(2,3)： 当点E在CB下方的抛物线上，如图，设DE交CB于点G, B 由条件可知GD=GB, 设G(m,-n+3),则V(n-}+(-n+3-4}=V(n-3)}+(-n+3}, 4 解得n=了， 则引 设直线DG的解析式为y=kx+b, 4, 5 则56+6-司 k+b=4 [k=-7 解得6=11’ y=-7x+11 ∴直线DG的解析式为y=-7x+11,联立y=-x2+2x+3' x=1 x=8 解得y=4（舍去)或1y=-45' 点E的坐标为(8，-45)： 综上，点E的坐标为8，-45)或(2,3). 题型二：二次函数中的倍角存在性问题 7.y=-x+x+4 8 3 3 19176 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 39165 5291135 (②0点p的坐标为(2.4或1664)：②点p的坐标为8'16或816 【分析】(1)将A、B两点坐标代入抛物线y=ax+br+4,列出关于a和b的方程组求解即可；(2)① 设P号+骨0+40<m<动，由点c0,4利和点BB.0)可得C的表达式，分两种伤欲：当 △PDE∽aCOB时和当△PDE∽aBOC时根据相似三角形的性质求解即可； ②如图，过点B作∠ABC的角平分线分别交y轴、抛物线于点M卫，在x轴的下方作∠ABP-)∠ABC, 设点M的坐标为(O,k),求出点M的坐标，得出直线BM的解析式，联立方程，求出点P的坐标，同理可 得点P 【详解】(1)解：将A、B两点坐标代入抛物线y=ar2+bx+4解析式， 4 a-3 可得a-b+4=0,解得 8 9a+3b+4=0 b= 3 猫物线的解有式为=号+骨 +3x+4 4 (2)①设Pm,3m+m+40<m<3) 3 由点C(0,4)和点B(3,0)可得BC的表达式：y= 3+4, 4 4 .D m.-3m+4 则PD=-4n足 gm2+8m+4 4 4 m+4 m2+4m. 3 3 3 4 PD m2+4m 3 4 DE m 3m+4, DE⊥y轴，PDLx轴， .∠PDE=∠COB=90°， c1)9,PmeC06时.小8e-8% 4 4 则3m+4= 3 .m=2, 20176 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P(2,4: (IⅡ)当△PDE∽aBOC时， PD BO DE OC' 则3m+4= 4 4 ms 39 16, p39165） (16’64 39165 当。PDE与△COB相似时，点p的坐标为(2,4)或1664： ②如图，过点B作∠ABC的角平分线分别交y轴、抛物线于点MP,过M作M0IBC交BC于O,在x 轴的下方作∠PBA=号∠ABC,设点M的坐标为(O,), B .0B=3,0C=4, BC=5, ,BM平分∠ABC, .MO=MO 号McxB0-acx0. 即2(4-)x3=)×5xk. 2 解智另 21176 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴点M的坐标为 13 直线BM的解析式为y=- 3+ 2 13 y= 2++ 2 联立 y=-7 2,8 +x+4 3 ( 8 解得x=3或 29’ y=0 y=16 529 点P的坐标为816 由作图可知，M与点N关于x轴对称， 六点的华标为0-引 同可得点p的坐标为（骨洛》】 529)1135 综上点P的坐标为g16或8,16 8.(1)y=- +；x+2:41,0) 2 (2)(0,2)或(0，-1) 65 602:②5 【分析】(1)将点B(4,0)和点C(0,2)代入抛物线解析式求出抛物线解析式，再令y=0,求出A点坐标： (2)设E(O,n),ABDE是以BD为斜边的直角三角形，可得ED'+EB=BD',利用勾股定理分别表示出 BD2=85,ED2=m2n+:EB2=n2+16’建立方程求解即可， ③)D过点c作cF/AB交A0于点F先求出直线BC解折式，设Pm+号+2）.则 2 m+2 利用CF∥AB'∠PCM=2∠OBC,可证明ACFP≌△CFM(ASA),得出PF=FM 22176 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 从百得出点6的数坐标为+2小如号+？小由点p的坐标为，理产方至求解即可 ②没P+m+,则mn+2过点6作GL⊥y,垂足为：证明 △MON≌aGOL(A4S),得出MN=GL,ON=OL,求出旋转后的点G坐标，得出点G的轨迹是直线 y=2x-4上在0<x<2之间的一段线段，由垂线段最短可知，当AG⊥HK时，AG长度取最小值，利用三 角形面积求出AS长度即可. 少解：点B4,0和点C0,2)代入抛物线解析式y=-)x2+ ×42+4b+c=0 3 b= 解得： 2 c=2 c=2 ∴.抛物线解析式为y= 2+2, 令=0得：+ x+2=0,解得：x=4或x=-1 2 .A(-1,0) (2)解：由(1)得：A(-1,0),B(4,0),C(0,2),如图所示： B ,点D是线段AC的中点， ,点E在y轴上， ∴设E(0,n), )B(40)E.) 0-4+f-学-4a-=-2n景f+n46 23176 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,△BDE是以BD为斜边的直角三角形， 六ED2+EB2=BD2, 即-2+子++16= ,5 4,整理得：心-n-2=0,解得：n=2或1 点E的坐标为(0,2)或(0，-1) (3)解：①如图所示，过点C作CF∥AB,交P于点F, M 点是直线C方提物线上的动点，鹅物线解析式为=子 2x+2, 1 3 设Pmm+ m+2 ’0<m<4 设直线BC解析式为y=+b,将B(4,0),C(0,2)代入得： 4k+b=0 ,解得： 2 b=2 b=2 ·直线BC解析式为y=一2x+2, :PO川y轴，交BC于点M, 1 :.M m.-zm+2 .CF∥AB, .∠OBC=∠FCM, ,∠PCM=2∠OBC, 六∠PM=2ZCM,∠CM-PCM, .∠FCM=∠PCF, PQ‖y轴，CF∥AB, .CF⊥PQ,即∠CFP=∠CFM=90°， 又，CF=CF, 24176 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.△CFP≌△CFM(ASA), .PF=FM, ,点。的纵坐标为 *h++ 又，点F的纵坐标与点C的纵坐标相等， m+2小r++刘-2，得：m=2或m0合大) ∴.满足条件的点P的横坐标即为2； ②依然可设Pm,)m+二m+2 2 20<m<41 1 由0得：直线BC解折式为y=子+2，Mm m+2 2 过点G作GL上y轴，垂足为L, M B ,将OM绕点O按顺时针方向旋转90°得到OG, .OM=0G,∠M0G=90° ∴.∠MON+∠NOG=90°，∠LOG+∠NOG=90°， .∠MON=∠LOG, 在△MON与△GOL中 [∠MON=∠LOG ∠MNO=∠GLO=90° OM=OG :.△MON≌aGOL(AAS). 25/76 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..MN =GL,ON =OL, 1 :Mm,-2m+2, .:MN=-Im m+2,ON=m' 2 :GL=-5m+2,0L=m. 1 六点G的坐标为2m+2,-m, 1 X=一 、m+2 1 m+2 即 ，消去得： 2 y=-m y=-m m y=2x-4 ∴点G的坐标满足解析式y=2x-4, .0<m<4, 0< 2m+2<2,即0<x<2 “点G的轨迹是直线y=2x-4上在0<x<2之间的一段线段， 设直线y=2x-4与x轴交于点K,与y轴交于点H, 在y=2x-4中，令x=0,得：y=-4;令y=0,得：x=2, .H(0,-4),K(2,0) ∴点G的轨迹即是线段HK, 连接AH,过点A作AS⊥HK, ,当AG⊥HK时，AG长度取最小值，最小值为AS的长度， H(0,-4),K(2,0),A(-1,0), .HK=V2+42=25,AK=3,0H=4, :Sm号4Kx0H=Kx5, 六3×4=25×4S,解得：15=65 5 ,6v5 “4G长度的最小值为5， 9.(1)y=- 3x+9x+3 4 4 26176 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 aP)支Pa ge(38】 【分析】（山犯L0,C0,3)分别代入抛物线y=am2+}+e,定解折式即可， 4 3 9 ②确定直线C的解折武为：y+3,设P心心一3 4 4 确定直线OP的解析式为 3 9 m2+2m+3 y=4 4 x,得到点D的横坐标为4m 根据题意，得 ,解答即可. m -m2+4m+4 m2-4m+3=0 (3)作点B(4,0)关于y轴的对称点M,根据题意，得M(-4,0),∠0CB=∠0CM, 故∠MCB=2∠OCB,过点A作AQ‖MC,交BC于点O,∠MCB=2∠OCB, ∠AQ,B=∠MCB=2∠OCB解答即可. 9 a--+c=0 【详解】(1)解：把 A(-1,0)C(0,3) 分别代入抛物线y=ar2+?x+c得 4 4 c=3 3 Q=- 解得 4 c=3 32 9 抛物线的解析式为y= 4++3. 4 4+3. (2)解：根据抛物线的解析式为'+乡 3 9 令y=0,得4 二x2+-x+3=0 4 解得x=-1,x=4, .B(4,0), 设直线BC的解析式为y=x+b, [4k+b=0 .b=3 k=- 3 解得 4 b=3 27176 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3 “直线BC的解析式为：y=-4+3, 3 9 设Pm,-m2+兰m+3 4 4 设直线OP的解析式为y=px, 根据题意，得m+m+3=mp, 3 9 4 3 9 二m2+-m+3 解得p=44 m 3 9 二m2+-m+3 故直线。的解析式为y=44 OP m 3 9 m2+m+3 根据题意，得3x+3=4m+4” 4 m 4m 解得x= -m2+4m+4 4m 故点D的横坐标为-m2+4m+4' S.rco:S.cDo=7:4, 2c0- :7 . CO.D. 4 2 P7 D.4' m 、7 4m Γ4， -m2+4m+4 整理，得m2-4m+3=0, 解得m=1,m=3, 9 故P2或P3,3) (3)解：作点B(4,0)关于y轴的对称点M, 根据题意，得M(-4,0),∠OCB=∠OCM, 28176 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故∠MCB=2∠OCB 过点A作A Il MC,交BC于点巴， .∠MCB=2∠OCB .∠AQB=∠MCB=2∠OCB. A 设直线MC的解析式为y=mx+3,将M(-4,0)代入解析式， 得：-4m+3=0 3 解得m=4 ∴直线MC的解析式为：=+3， 设直线AQ的解析式为AQ, 2-*=0, 3 解得=4： 33 ∴直线Ag,的解析式为：y=4x+2 41 33 y= 44 3 x+3 4 [3 X=一 2 解得15 y= 8 故Q(3): 10.(1)y=-x2-2x+3 aM到 29176 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)OEOF是定值，该定值为1.理由见解析 【分析】(1)将点A(-3,0),C(0,3)代入y=-x2+bx+c得到关于b、c的二元一次方程组，求解后可得 答案： (2)确定B(1,0),得OA=3,OB=1,OC=3,如图，延长CM交x于点E,过点M作MD⊥x轴于点D, 设M(xm,yn)x(O,yn)0),继而得到DM=yn=-xn2-2xn+3,OD=-xn,BD=1-xm,根据等腰三角形 的性质及三角形外角的性质得ED=BD=1-m,证明△EMD∽aECO得ED.CO=EOMD,得 30-)1-2(-2x+3)解得=减，=0（不符合题意，合去），可行答案 (3)如图，过点P作PG⊥x轴于点G,过点0作QH⊥x轴于点H,设P(:,y)xO,y)0), (x,2)(:<0,5<0),得PG=y=a+(3k-1),G0=-x,H0=-=-,-(3k-1),H0=-x, y=kc+(3k-1) GB=1-x”B=1-飞联立=--2x+3得2+k+2)x+(6k-4)=0,继而得到5+5=-(k+2) OE BO OF BO xx=3k-4,证明aBE0ABPG'△BF0 BOH得GFBG,H0BH,继而得到 OE.OF BO-GP.BO.HO BGBH，代入数据化简即可. 【详解】(1)解：：抛物线y=-x2+bxr+c过点A(-3,0),C(0,3), -(-3)}-36+c=0 c=3 b=-2 解得： c=3, ∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3； (2)解：：抛物线y=-x2-2x+3与x轴交于A(-3,0),B两点， 当y=0时，-x2-2x+3=0, 解得：x=-3或x=1, .B(1,0) 又：A(-3,0),C(0,3), .OA=3,OB=1,OC=3, 如图，延长CM交x于点E,过点M作MD⊥x轴于点D,设M(x,y)x(O,y)0), 30176 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M A B D .DM=ym=-xm2-2x+3.D(xm,0). ..OD=-Xm, ..BD=BO+OD=1+(-x)=1-xm, ,∠BEM+∠ABM=∠BMC=2∠ABM, ∴.∠BEM=∠ABM, .ME MB, .MD⊥x轴， :.ED=BD=1-%m, :.EO=ED+DO=1-X+(-X)=1-2xm, .·MDIICO ∴.△EMDr△ECO, ED MD 六EOCO,即ED.C0=E0MD .3(1-xm）=(1-2xm)-xm2-2xm+3), ·.3(1-xm）=-(（1-2xm)(xn2+2xm-3=-(1-2xn)(xm-10(xm+3)=(（1-2xm)1-xn)(xm+3), .xm<0, .1-xm>0」 :(（1-2xn)(xm+3)=3, 解得：x=一2或xn=0(不符合题意，舍去)， =-2x+3=-（-2引- 31/76 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)解：OEOF是定值，该定值为1.理由如下： :直线y=+n经过点(-3，)， .-1=-3k+n, ∴.n=3k-1, ∴.直线y=+n为y=ac+3k-1」 如图，过点P作PG⊥x轴于点G,过点Q作QH1x轴于点H,设P(G,y)(x(O,y)0), Q(x2,2)(x2<0,y2<0), VA ∴∠PGB=90°=∠EOB,∠QHB=90°=∠FOB,G(x,0),H(x,0), .PG=y=+(3k-1),G0=-x,H0=-2=-kx,-(3k-1),H0=-x2, .GB=G0+OB=-x+1=1-,HB=H0+OB=-x2+1=1-x, :直线y=+(3k-)与抛物线y=-x2-2x+3在第二、三象限交于P,9两点， y=x+(3k-1) y=-x2-2x+3: 整理得：x2+(k+2)x+(3k-4)=0 .x+x3=-(k+2),xx2=3-4, .∠EOB=90°=∠PGB,∠EBO=∠PBG:∠FOB=90°=∠QHB,∠FBO=∠QBH, ∴.△BEO∽ABPG,△BFOP△BQH, OE BO OF BO GPBG'HQBH· ..OE=BO.GP OF BO.HQ BG· BH ..OE.OF=BO-GP.BO.HQ BG BH 32176 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BO2.GP.HO BG·BH 1Px[c+(3k-1][-,-(3k-1)] (1-x)1-x2) =-西，+k(3k-1)(s+)+(3k-1 1-(x+x2)+xx2 =-(3k-4)-k(3k-10(k+2)+(3k- 1+(k+2)+3k-4 -[k3k-4)-(3k-1)k+2】]+3k-1 4k-1 k(2-9k)+(9k2-6k+1) 1-4k _1-4k 1-4k =1, ∴.OEOF是定值，该定值为1. u,0--+2 o) 【分析】(I)根据对称轴求出b的值，再由C点坐标求出c的值即可求解： （②)设对称轴与直线BC的交点为M,连接MM推导出AP=PM:求出M( 》设P6+ 列出方程求解即可. 5 【详解】(1)解：：抛物线y=2+hr+c的对称轴为直线x= 2 .:b=-5 2, :与y轴相交于点C(0,2), c=2, 2x+2 (2)解：设对称轴与直线BC的交点为M,连接AM,则AM=BM, 33176 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M x+2=0时，解得x=1或x=4 2 .A(1,0),B(4,0), AM BM, ∴.∠MAB=∠MBA, .∠PMA=2∠CBO, .∠PAB=3∠CBO, ∴.∠PAM=2∠CB0. ∴.∠PMA=∠PAM, .AP=PM, 设直线BC的解析式为y=c+2,把B(4,0)代入得：4k+2=0, 解得、1 2 1 y=2x+2, 3 设P6之+2， -++2=++2- 解得1=4 12.0y= 3 34176 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)证明见解析 【分析】(1)利用待定系数法求出抛物线对应的函数表达式即可 (2)作BC的中垂线交x轴于点E,连接CE,则CE=BE,进而得到∠AEC=2∠ABC,设OE=m,则 CE=BE=3-m,在RA△COE中，由勾股定理得T+ =(3-m,解出m的值，设直线CE的解析式 11 为y=+3 ,利用待定系数法求出直线CE的解析式，过点A作AP∥CE,交y轴于点Q:交抛物线于点 p,则∠PAB=∠CEA=2∠ABC,设直线AP的解析式为=膏+，利用待定系数法求出直线AP的解折 式，与抛物线解析式联立，求出点P的坐标：作点Q关于x轴的对称点，连接4g,同理求出点P的坐 标 (3)易得到平移后新的抛物发解析式为=-山，设过点F0,-2)的直线，的解析式为y=太-2，与 新抛物线解析式联立得到x2+2-2=0,设交点M(:,)、N(:,),根据韦达定理可得x+x=-2k、 1,1,1 52:进而得到MG)2+山、NH三)x+.据此计算MGN写oO的值是否相等即证 3 【详解】（山）解：将4-1,0)，B3,0)两点代入y=a+x+2得： a-b+ 30 2 0 32a+3b+ 2 1 4=- 解得 b=1 因此，抛物线对应的函数表达式为y= x+x+ 3 2 2 (2)解：由(1)知抛物线表达式为y= 2+x 3 21 2 3 当x=0时，y=2 35176 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 作BC的中垂线交x轴于点E,连接CE,则CE=BE, P .∠ECB=∠ABC .∠AEC=∠ABC+∠BCE=2∠ABC, 3 0B=3、 0C= 2 设OE=m,则CE=BE=3-m, 在R△C0e中白勾服定理符：+) =(3-m3, 解阳如品， 9 设直线CE的解析式为y=:+ 30 将80代入=+： 8 解符=手 43 、.直线CE的解析式为y= 3t+ 2 过点A作AP∥CE,交y轴于点O,交抛物线于点P,则∠PAB=LCEA=2LABC, 设直线p的解折式为)=含r+n, 4 将A-1,0)代入y=音+a得：号x(-)+n=0, 36176 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得n=4 44 :直线4P的解析式为y=-3-3: 44 33 y=- 联立 3 y- 17 x= 解得 80或x=-1, y=- 9 y=0 将x=0代入y= 44 x一2得：v三一、 ga引 作点关于x轴的对称点卫，连接AQ, go引 ∠GAB=∠BAF=2∠ABC' 设直线AQ的表达式为y=kx+b, 4 将A-1,0)和03代入y=x+得： -k+b=0 4 b= 3 4 k= 解得 4 =3 44 :.直线40的表达式为y=3x+ 3 「44 3+3 y= 联立 12 ,3’ 2+x+2 37176 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得16或∫x=-1, y29 y=0 1780) n(116 综上所述，点P的坐标为P3一)或P59: 1 3 (3)证明：由(1)知抛物线y= x2+x+ 2 2 2++2, :平移后新的抛物线解折式为y=-)?-1, 2 :顶点(0，-)，即00=1， 设过点F(0,-2)的直线1的解析式为y=k,x-2, y=k,x-2 联立 y=-7 整理得x2+2-2=0, 设交点M(,乃、N(,2), 由韦达定理得x+x2=-2k、xx2=-2」 ∴x2+x32=(:+x3)}-2xx2=(-2k2-2×(-2)=4k2+4, MG1抽灯点GM上轴于点且=-1<0、为=式-1<0， :6--分-1，---1， 2+2)+2 (x2+x2)+2 242+4+2 -=1 1 =1, 00 1 11 'MG NH 0Q· 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合、轴对称的性质、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握 38176 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 二次函数与一次函数的图像性质，数形结合的思想方法的运用是解题的关键， 题型三：二次函数中的特殊角存在性问题 13.(1)y=x2-4,B(2,0) (2)存在，P(3,5)或P(1,-3) 25 3)n=4 【分析】(1)用待定系数法即可求解. (2)先假设存在，设出其横坐标，利用等角对等边得出其纵坐标，再代入解析式即可求解. (3)利用只有一个交点，联立解析式，令△=0即可求解. 【详解】(1)解：抛物线y=ax2+c(a≠0)经过点A(-2,0)、C(0,-4)两点， .4a+c=0,c=-4」 ∴.a=1, .y=x2-4, :抛物线关于y轴对称，A(-2,0) .B(2,0) (2)解：存在，P(3,5)或P(1,-3): 理由：假设存在点P,设其横坐标为t,连接AP,过P点作PD⊥x轴于点D, ∠PAB=45°， .∠DPA=90°-45°=45°， .PD=DA=t+2, 如图，当P点在x轴上方时， :.D(G,t+2), 代入y=x2-4中得1+2=t2-4, 39176 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得t=3或t=-2(与A点重合，舍去)， .t+2=5, P(3,5). 如图，当P点在x轴下方时， YA D B .D(6,-t-2）, 代入y=x2-4中得-t-2=2-4, 解得t=1或t=-2(与A点重合，舍去)， -t-2=-3, .P(1,-3). (3)解：将抛物线y=x'-4沿x轴向左平移n(n>0)个单位长度，平移后的抛物线解析式为 y=(x+n)2-4, 令x+2=(x+n)2-4, x2+(2n-1)x+n2-6=0 :平移后的抛物线与直线y=x+2相切， :.△=(2n-1-4(n2-6)=4n+25=0, 4· 4c0-y当。0成a<时日0 直线，的解折式为，=3a-3:当<a<0时， B(-3,0),直线1的解析式为y=-x-3 (②)a=17+4v15 49 a有政背a<0皮0ea<成a>月 40176 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】令y=0,因式分解得(x-1(x+3)=0,再分情况得到点B及直线1的解析式： 分0<a 1111 7、7a 4、4a<1、a≥1四种情况，结合抛物线的性质求，即可： 1 分。<a<0、a<-】、a之0且a≠3、a=结合函数图象进行判断求解即可 【详解】(1)解：令x=0,y=-3,则C(0,-3), 令y=0,则ar2+(3a-1)x-3=0,即(ax-1)(x+3)=0, 1 解得x=二，x3=-3」 a a ,直线，的解析式为y=3ax-3: 1 当3<a<0时，B(-3,0),直线，的解析式为y=-x-3: (2)解：y=a2+(Ba-1x-3a>0,对称轴为x=-30二1-3+ 2a=22a 5时，多≥2，则1≤x52时，y随：的增大而减小， 当0<a≤7时，-2+2a1 则x=-1时，y取得最大值，最大值为a-(3a-)-3=-2a-2, x=2时，y取得最小值，最小值为4a+2(3a-1)-3=10a-5, -2a-2-(10a-5)=-12a+3=5,解得a=6(舍去)： 当21时，子女1，则1时，)他，的大面大 则x=-1时，y取得最小值，最小值为-2a-2, x=2时，y取得最大值，最大值为10a-5, 2 .10a-5-（-2a-2)=12a-3=5,解得a=3（舍去)： 当a分，立<2，则-1离对称辅足运 .3.1 则x=-1时，y取得最大值，最大值为-2a-2, 22a -2a-2490+60+1-0-2a+中=5.即2一2a+l=0 4a 4a 41176 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得a=11+2W30(舍去)，a=11-2W30(舍去)： 当4a<1,1<-3+11 2+2a<2,则x=2离对称轴更远， 则x=2时，y取得最大值，最大值为10a-5, 2时，v取得最小值，最小值为0.60刀 10a-5+9a+6a+1_49a-14a+=5,即49a2-34a+1=0' 4a Aa 解得a=17+4v5 17-4V15 49 或as 49 （舍去)： 综上a=17+45 49: (3)解：由()知3a<0时，4 30M3别 B M 则△OBC为等腰直角三角形，∠OBC=45° 又∠BMN=45°， 所以MN∥AB或MN⊥AB, 3 即直线MN的解析式为y=一2，与抛物线有两个交点M,N,此时有一个点N符合题意， 3 直线MN的解析式为x=一2，与抛物线只有一个交点M,N,此时有一个点N符合题意， 即-3<a<0时，符合题意； 42176 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 V B M 当∠BMN=45°时，这样的直线有两条，每条与抛物线有两个交点，其中一个符合题意， 则恰有2个点N使得∠BMN=45°， 所以a<-3时，符合题意： 1 a>0且a≠3时，同理恰有2个点N使得∠BMN=45,符合愿意： 时， M C 与BC夹角为45的直线有两条，x 2或y≤3 3 3 x=2时，此时∠BMN=135o,不符合题意， 3 2时，与抛物线有两个交点，其中一个能使∠BMN=45: y=- 故此时，满足题意的点N只有1个，不符合题意： 43176 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综上a< 1 1 1 3或3a<0或0<a<3或a> 3 15.(1)抛物线解析式为y=- +x+3,点B的坐标为6.0) 2 2 (②m=5 3 (3)m的值为1-11或5+15 【分析】(1)用待定系数法，代入已知点A、C的坐标求出抛物线系数，再令y=0求出与x轴交点B的坐 标 (2)构造等腰直角三角形，利用全等三角形得到直线BM上一点的坐标，求出直线BM解析式后联立抛 物线方程，结合M在x轴下方的条件得到m的值. (3)利用抛物线对称性得到MP的长度表达式，求出直线BC解析式后得到MQ的长度表达式，根据 MP=MQ列方程，结合M的位置分类讨论得到m的值 【详解1山解：由少=+bx+e过点e,0和C0可得： c=3 1 0= 2 -b+c' [c=3 解得b= 2 抛物线解析式为一2x+3、 2x+3 令y=0,得21 +5x+3=0.解得x=-1,=6 2 ∴.点B的坐标为(6,0) (2)解：如图1，过点C作CD⊥BC交直线BM于点D,过D作DHLy轴于点H. B O D 图1 44176 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,∠MBC=45°， ∴△BCD为等腰直角三角形，BC=CD .∠DCH+∠BCO=90°，∠DCH+∠CDH=90°， .∠CDH=∠BCO 又，∠DHC=∠COB=90°， .△CDH≌△BCO(AAS) .DH=CO=3,CH=BO=6 ,C坐标为(0,3)，.D点坐标为(-3，-3) 设直线BD的解析式为y=kx+”,代入B6,O)和D(-3,-3)得 1 k=7 0=6k+n解得3 -3=-3k+n n=-2 1 即直线BD解析式为y=3-2. 1 ?联立直线。。与抛物线方程得：3x一2三一2x2+3 x+3 2 5 解得x=6,= 3 5 ..m=- 3 1 ③)解：如图2，抛物线2x+3之+49 8的对称轴为直线x= 5 2· VA 、X 图2 :MP平行x轴，M,P都在抛物线上， 5 M,P关于对称轴x=2对称。 M横坐标为m,∴.P横坐标为5-m 45176 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .MPm-(5-m)H2m-51. 设直线BC解析式为y=axr+d,代入B(6,0),C(0,3)得 0=6k+d d=3 1 解得 k2 d=3 ·直线BC解析式为y=2x+3. ,MQ平行y轴，Q在BC上，M横坐标为m, Q纵坐标为m+3,M织坐标为m+m+3。 0cm+)-(m+m+-3ml 5 2 ,M在x轴下方， m<-或m>6:此时方m-加-g9>0,所以M0 m2-3m 2 2 .MP =MO 1 ∴.l2m-5f5m2-3m. 2 分两种情况讨论： @当加<-时2a50方程化为5-2加-专-加，解得0=1而：“m-小m1-而 ②当m>6时，2m-5>0:方程化为2m-5-m2-3m, 解得m=5±5，“m>6,心m=5+5 综上，m的值为1-V11或5+V15. 16.(1)抛物线解析式为y=-x2+2x+3,顶点D(1,4): 804阿3,2在 【分析】(1)把A(-1,0)和点B(2,3)代入y=ax2+bx+3求解即可： (②@洗求c得4.F则pF-413由P伦情坐标为以可知P侧m+2m+9 根据平行四边形的判定定理可知当PE=DF时，以点P,D,B, 46176 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,3,5 F为顶点的四边形是平行四边形，即一m+) 2 +23,求解即可： ②过A作AK⊥AC交CP延长线于K,过K作KT⊥x轴于T,过C作CR⊥x轴于R,可知△AKC是等腰直 117 角三角形，证明△AKT≌aCAR(AAS),得到KT=AR,AT=CR,进而得到K-4'2,求出直线CK解析 1,31 y=- 式为y=-x+3,求解 x+2即可. 3 12 =-x2+2x+3 【详解】(1)解：把A(-1,0)和点B(2,3)代入y=a2+bx+3得： [a-b+3=0 4a+2b+3=3' a=-1 解得b=2’ ∴抛物线解析式为y=-x2+2x+3, .y=-x2+2x+3=-(x-1)+4, 顶点D(1,4): (2)解：①如图： A D B E 5 x= 1.1 由y=2x+2 2 得x=-1或 7 y=-x2+2x+3y=0y=4 c8 由(1)知D(1,4),对称轴为直线x=1, 11 在y=2x+2中，令x=1得y=1, 47176 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .F(L,), .DF=4-1=3, ,P的横坐标为， .P(o-m)) 1 .PE=-m2+2m+3- 2 PE∥DF, ∴当PE=DF时，以点P,D,E,F为顶点的四边形是平行四边形， 即m2+3m+ 22 =3 解得m= 7w3 2或m=1(与D重合，舍去)或m=3+97 4: 或w成和3可 ,m= 4: p-195 ②在直线4C上方的抛物线上存在点P,满足∠PCA=45,P气6'36) 过A作AK⊥AC交CP延长线于K,过K作KT⊥x轴于T,过C作CR⊥x轴于R,如图： B T MO RX:∠PCA=45°，AK⊥AC, ∴△AKC是等腰直角三角形， ∴AK=AC,∠KAC=90°， ∴.∠KAT=90°-∠CAR=∠ACR, :∠KTA=90°=∠ARC, ∴.△AKT≌△CAR(AAS), ∴.KT=AR,AT=CR, :A(-1,0) c 48176 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设直线CK解析式为y=+b, (1_5k+b 4 4 k= 3 解得： 31 b=- D12 1,31 “直线CK解析式为y=3x+2, í5 x= 1 1 31 2 xX=- 解y=-。x+ 6 312 得17或1 5 y=-2+2x+3y=4y=36 n195 :P636 17.y= a 1 a=- (3)存在， 2 k=2-V5 【分析】(1)待定系数法求出函数解析式即可： (2)以B为直角顶点，CB为直角边，构造等腰直角三角形CBE,作EFIx轴，求出E点坐标，进而求 出直线CE的解析式，联立直线和抛物线的解析式，求出D点坐标即可： (3)求出马的对称轴，进而推出m=-4a,得到y=ax2-4ar,待定系数法求出直线的解析式为 =红+月令+2x+多如+名整里，得方2+-刻=0，求出CP的中点的横坐标为2- 5 5 令m2-4r=众+，整理，得a2-(4a+kx--0,根据抛物线L与直线1有且只有一个公共点，且这 5 49176 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 个公共点合打是线收Cp的中点，得到方程m-(如+)-=0有两个相等的实数根为2一k,根据判别式 和根与系数的关系，列出方程组进行求解即可. 【详解1解：把4-L0C0引代入=分r+h加+e,符 5 1 -b+c=0 b=2 ,解得5· C= 2 5 2: 1 5 (2)解：令y=-5x2+2x =0 2 2 解得x=-1,x2=5, B(5,0), .OB=5, 6心 以B为直角顶点，CB为直角边，构造等腰直角三角形CBE,作EF⊥x轴， VA 3 则∠EFB=∠CBE=90°=∠BOC,BC=BE,∠BCE=45°=∠DCB, .∠CBO=LBEF=90°-LEBF,点D在直线CE上， .△COB≌aBFE(AAS), EF=OB=5.BF=0C=3 ·OF=OB+BF= 2 50176 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设直线CE的解析式为y=:+ 21 把侣代入55+解得 3 1 5 y=3x+2 [15 10 y=3x+2 x= x=0 3 联立 ,5,解得 42 5或 5 y=- 2 y=2 y=18 9g (3)解：存在， y=742x+ 2 X=- =2 ,对称轴为直线 1 2×2) “y=ar2+mx的对称轴与y= 2的对称轴相同， =2 .2a .m=-4a, ..y=ax2-4ax: n入y-n得 =版+3， 令+2x+=+，整理，得+2-x=0 5 2 ∴.xc+xp=4-2k xc+xp=2-k, ∴C,P中点的横坐标为2 51176 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 令m2-4ar=+,整理，得r2-(4a+k)k-】=0, ,抛物线？与直线I有且只有一个公共点，且这个公共点恰好是线段CP的中点， 方程a2-(4a+)x-2 =0有两个相等的实数根为2-k' △=[-(4a+k]+4ax=0 2(2-k)=4a+k a 1 a=- 5a= a=- 解得8或 2 或2 或a=0。 k=0k=2+5k=2-V51k=0 .a<0,k<0. .1 k=2-V5 18.(1)y=-x2-3x+4; (2)t=-3 -2r2-8t+8(-4<t<0) (3)①S关于t的函数解析式为S= 2t+8(0<t<1) 当8<5<10时，存在3个符合条件的点p 3 当10≤S<16时，存在2个符合条件的点P: 当S=16时，存在1个符合条件的点P. 【分析】(1)将点A(4,0)和点C(0,4)的坐标代入二次函数的一般式，得到关于b、c的二元一次方程组， 解方程组求出b和℃的值，再将系数代回原解析式，即可得到该二次函数的解析式： (2)先由A、C两点坐标得出OA=0C=4,判定△A0C为等腰直角三角形，得到∠0CA=45°，结合已 知∠PCA=45°，推出∠PCO=90°即PC1y轴，因此点P的纵坐标为4，将y=4代入二次函数解析式求解， 舍去与点C重合的解，即可得到t的值： (3)①先令二次函数的y=0，,解方程求出抛物线与x轴的另一个交点B的坐标，再分两种情况讨论：当 4<t<0即点P在AC上方时，过点P作x轴的垂线，用割补法将四边形面积拆分为△PAD与梯形PDOC 的面积之和，代入坐标计算化简得到对应的函数解析式；当0<t<1即点P在AC下方时，将四边形面积拆 分为固定的△AOC与动△OPC的面积之和，代入坐标计算化简得到对应的函数解析式，最后综合写出S关 于的分段函数解析式；②先将4<t<0时的二次函数解析式配方，求出其最大值和取值范围，再根据 0<t<1时一次函数的增减性求出其取值范围，画出分段函数的大致图像，根据不同$值对应的图像交点个 52176 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 数，总结出符合条件的点P的个数情况 【详解】(1)解：二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴交于点A(4,0),与y轴交于点C(0,4), 「-16-4b+c=0 . c=4 「b=-3 1c=4 .该二次函数的解析式为y=-x2-3x+4: (2)解：A(4,0),C(0,4), .0A=0C=4, .∠0AC=∠OCA=45°， .∠PCA=45°， ∴.∠PC0=90°， .PC⊥OC, .OA⊥OC, .PCIIOA, 如图， A B衣 .点P的纵坐标为4， -x2-3x+4=4, 解得x=0或x=-3, P(-3,4), ∴.t=-3: (3)解：①令y=0,则-x2-3x+4=0, .x=-4或x=1, 53176 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A DO B .B(1,0), .0B=1, 当点P在AC的上方时，即-4<1<0，P(,--3t+4), 过点P作PD⊥OA于点D,如图， B 则PD=-t2-3t+4,OD=-t, .AD=OA-OD=4+1, .S=SPAD+S梯形PDoC =1AD-PD+1(PD+0C)OD 4+i--3+4+f-3+44x(-) =-2t2-8t+8; 当点P在AC的下方时，即0<1<1，P(,--31+4), 过点P作PE⊥OC于点E,如图， 则PE=t, S-S.oe+S.e-O4OC+OCPE 1 1 ×4×4+二×4×t 21 2 =2t+8: 「-22-8t+8(-4<t<0) 综上，、关于，的函数解析式为S= 2t+8(0<t<1): 54176 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②当-4<1<0时，S=-2-81+8=-2t+2)}+16, .-2<0 ∴.当t=-2时，S有最大值为l6, .8<S≤16， 当0<t<1时，S=2t+8, .8<S<10, -2t2-8t+8(-4<t<0) 画出函数S= 2t+8(0<t<1) 的大致图象如图： 16 10 由图象可知：当8<S<10时，存在3个符合条件的点P; 当10≤S<16时，存在2个符合条件的点P; 当S=16时，存在1个符合条件的点P. 【点睛】本题中(2)问利用△A0C本身的45°角，将∠PCA=45°转化为PC1y轴，实现角度问题向坐标 问题的转化：(3)问按点P在AC上下方正确分段，用割补法求面积，再通过分析分段函数的取值范围， 结合图像数形结合判断点P的个数， 题型四：二次函数中的角和差等量关系存在性问题 19.(1)y=-x2+2x+3 5v5 BE+PD的最小值为 3)N 1+5-2, 4， 8 17-57.57-21 4，8 【分析】(1)利用待定系数法即可解答： (2)利用铅锤高，水平宽，得到当△BCP的面积取得最大值时PQ取最大值，即可求得点P;利用轴对称 的性质求得BE+PD的最小值： 55176 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)根据平移的性质求得新抛物线的解析式，求得点M的坐标，即可求得an∠N1B 2,再利用求一次 函数与抛物线的交点，即可求得点N的坐标. 【详解】(1)解：抛物线的对称轴是直线x=1, b 2x可，解得。-2 把B(3,0)代入y=-x2+2x+c, 可得0=-32+2×3+c,解得c=3, ∴.y=-x2+2x+3 (2)解：令0=-x2+2x+3, 解得=山，x2=3, A(-1,0) 令x=0,可得y=3, ∴.C(0,3) 设直线BC的解析式为y=c+b, 把B(3,0),C(0,3)代入y=+b, [0=3k+b 可得3=b· [k=-1 解得b=3’ 所以直线BC的解析式为y=-x+3, 如图，过点P作PQly轴，交BC于点， B re-(-x)ro 2 当PO最大时，△BCP的面积取得最大值， 设点P6,-2+21+3),则，-1+3)， 56176 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P042*3-(3)=f4=+ 当1=2时，ABCP的面积取得最大值， 315 此时P八24 如图，将DP向下平移2个单位到EH:使点D与点E重合，作H关于对称轴直线x=1的对称点G,连接 EG,GB .DP+BE=EG+BE≥BG 据平移可得》 根据对可©》 :.BG= 4 55 即BE+PD的最小值为： (3)解：OC=OB=3, ∴.∠CB0=45°， 将抛物线沿射线CB的方向平移3√2个单位长度得到抛物线y,即将抛物线向下平移3个单位，向右平移3 个单位， y--3旷+20-3-3-2+8-15，M33-即M[3引 如图，过点M作MW1y轴，交于点J,设AN与y轴交于点， 57176 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M 4©3D N 39 w=2 9 ∴.CJ=3- 44 tan∠CMW= 2 '∠NAB+∠OCM=90°， ∴∠NAB=∠CMJ, 1 即tan∠NAB= 2, 0-40 1 2 当AN在x轴上方时， e 设直线AW的解析式为y=kx+b, 把4e10Q时R入， 0=-k+b 可得 2 1 k= 2 解得 1 -2 1 1 所以直线4N的解析式为y=2+2: 1 1 列方程2+2-+8x-15, 58176 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 整理得-2x2+15x-31=0, △=152-4×(-2)×(-31)=-23<0，无解： 当4N在轴下方时， a 设直线AW的解析式为y=k2x+b, 1 1 同理可得直线AN的解析式为y=一2x一2， 11 列方程2x-2 =-x2+8x-15, 整理得-2x2+17x-29=0, 解得；=17+V57 ,七=17-V57 4: ∴.N 17+V57-√57-21 4 8 ,N17-557-21） 4 8 20.(1)y=-x2-2x+3 (315 QP24: Pg+H0的最小值为2 76 3)点N的横坐标为4或23 【分析】(1)利用待定系数法求解： (2)过点P作PF⊥x轴于点F,交直线AC于点E,先求出直线AC的解析式，设点P的坐标，则可表示 点E的坐标，进而表示出线段PE,利用SPac=SPEA+S,Pc,最后求出其取最大值时点P的坐标；因 QH=1,则PQ+HQ=PQ+1,当PQ最小时，PQ+H0最小，此时PO上y轴，根据点P的坐标求得 PQ+HQ的最小值： (3)根据A、C两点的坐标得∠CAB=∠ACO=45°，由条件∠NMC+∠CAB=∠MCO得∠NMC=∠MCA, 求出平移后的抛物线解析式及此抛物线与x轴的交点坐标，此时有两种情况：MNI‖AC或直线MN与AC 的交点恰好是以MC为底边的等腰三角形的顶点，由此即可求解. 【详解】(1)解：：抛物线过A(-3,0八B(1,0)两点， ∴设抛物线解析式为y=a(c+3)(x-I), :抛物线过点C(0,3), .-3a=3, 59176 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即a=-1, “抛物线解析式为y=-(x+3(x-),即y=-x2-2x+3: (2)解：如图，过点P作PF⊥x轴于点F,交直线AC于点E, B F 图1 设直线AC的解析式为y=ar+b 「-3k+b=0 「k=1 把4、C两点的坐标分别代入得b=3，解得b=3 ∴.直线AC的解析式为y=x+3, 设点P的坐标为(m,-m-2m+3),则可表示点E的坐标为(m,m+3), .PE=-m2-2m+3-(m+3)=-m2-3m, .A(-3,0) OA=3, S.PAC =S.PEA+S.PEC EAFE-OF =LPE.OA = 当PE取得最大值时，△APC取得最大值， 329 .PE=-m2-3m=- m+2)+4: “当m=一2时，PE取得最大值，从而△4PC取得最大值， ) 60176 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -3+1 ,点Q在y轴上，抛物线的对称轴为直线x= 2=-1,QH11 QH=1. .PO+HO=PO+1, 当PO最小时，PO+H0最小，此时P№⊥y轴， ·PQ的最小值为2， 六P四+0的最小值为+1=多 3 -2 (3)解：根据A、C两点的坐标知，OA=OC=3, .∠CAB=∠AC0=45°，CA=3V2 .∠NMC+∠CAB=∠MCO,∠MCO=∠MCA+∠ACO, .∠NMC=∠MCA, ·抛物线沿射线CA方向平移3V2个单位长度得到新抛物线y,且y=-x2-2x+3=-(x+1)+4, ,那原抛物线向左平移3个单位，向下平移3个单位， .y=-(x+1+3)+4-3=-(x+4)2+1, 令=-(x+4+1=0,解得x=-3,x,=-5, :M(5,0),片与x轴的另一个交点为点A, 当点N在MC上方的抛物线上时，则MN‖AC, 设此时MN的解析式为y=x+b,把点M坐标代入得b=5, 即MN的解析式为y=x+5, 令=-(x+4)/+1=x+5,整理得x2+9x+20=0, 解得=4，为3=-5（舍去）， ∴.点N的横坐标为4： 当直线MW与AC的交点恰好是以MC为底边的等腰三角形的项点时，此时∠NMC=∠MCA, 设直线MW与AC的交点为D点，如图，设D(m,m+3), ..DC DM. 61176 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .(m-0)2+(m+3-3)2=(m+5)}+(m+3), 17 解得m= 8 (177 即D88 设直线MN的解析式为y=k2x+b2, 7 则有一 司 7 k223 8,解得 5, -5k2+b2=0 b23 、〉 35 即直线MN的解析式为y=2方x+ 23 令=x+4+1Z+,整理得23+191r4380=0, 76 解得=23名=-5（舍去）， 76 “点N的横坐标为23， N 1D B 图2 76 综上，点N的横坐标为4或 23 21.(1)y=-x2+2x+3 (②)证明：·该二次函数图象经过A(-1,0), .a-b+c=0 ,该二次函数图象的对称轴为直线x=1, b :.-2a l,即6=-2a ∴.a-(-2a）+c=0,即3a+c=0. 62176 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.5a+c=(3a+c)+2a=2a 又a<0 ∴.5a+c=(3a+c)+2a=2a<0 (3)①P(1,4)或P(2,3):②P的坐标为(2,3) 【分析】(1)利用待定系数法求解即可： (2)根据抛物线的对称性，结合已知，化简证明即可； (3)①设P(m,-m+2m+3),D(m,-m+3),根据三角形的相似，分类求解即可： ②过点C作CE∥PB交OB于点E,利用解方程组的方法求解即可； 【详解】(1)解：当a=-1时，y=-x2+br+c. :该二次函数图象与x轴交于A(-1,0)、B两点，且对称轴为直线x=1, :1+=1,解得：=3，即B(3,0) 2 将A(-1,0)和B(3,0)代入y=-x2+bx+c得： [0=-1-b+c 0=-9+3b+c’ b=2 解得：1c=3 ∴.当a=-1时，该二次函数的表达式为y=-x2+2x+3. (2)略 (3)①解：：该二次函数图象经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3), ∴.二次函数表达式为y=-x2+2x+3 设直线BC的解析式为y=kac+p, 将B(3,O),C(0,3)代入直线BC的解析式得： [3k+p=0 (p=3 「k=-1 解得p=3’ 直线BC表达式为y=-x+3. 又PDIy轴， 63176 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设P(m,-m2+2m+3),D(m,-m+3), CD=Vm-0}+(-m+3-3}=V2m,PD=yp-yo=-m2+3m. PD CD 鸟C0C时看Co+3m2n 即3√2 3· 解得：m=0(不符合题意，舍去)或m=1. P(1,4). CD PD √2m-m2+3m 当CPDB0C时，有BCC,即2 =3 解得：m=0(不符合题意，舍去)或m=2. P(2,3) ②过点C作CE∥PB交OB于点E. C .CE∥PB ∴.∠ECB=∠PBC ·∠PBC+∠ACO=45°，∠ECB+∠ACO=45°， C(0,3).B(3,0). ..OB=OC, ∴.∠BCO=∠CB0=45° ∴.∠ECB+∠ECO=45 .∠ACO=∠ECO」 又'：∠A0C=∠EOC=90°，OC=0C, .△AOC≌△EOC(ASA). ..OA=OE=1 .E(1,0) 设直线CE的解析式为y=mx+n,由点C(O,3),E(1,0)可得： 64176 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 k+b=0 [k=-3 b=3,解得：1b=3, 直线CE表达式为y=-3x+3, .CE∥PB,且B(3,O) ∴同理可得：直线PB表达式为y=-3x+9 :点P在y=-x2+2x+3和y=-3x+9上， y=-x2+2x+3 y=-3x+9· 「x=2x=3 解得y=3或y=0（不符合题意，舍去)· ∴存在点P,使得∠PBC+∠AC0=45°.P的坐标为(2,3) 535 22.(0顶点D坐标为（亿，-9）点g的坐标为5,0，点c的坐标为(0，-5)：@2-4 (211 239或(2，-3) 【分析】(1)①把m=2代入y=x2-2x-2m-1求出抛物线的表达式，然后配方出顶点坐标，再分别令 x=0,y=0求出与坐标轴的交点； ②过点P作P⊥CB,PE⊥x轴，交CB于点E,得到△PQE是等腰直角三角形，那么将PD的最大值转 化为PE的最大值求解即可； (2)同①可得，C(0,-2m-),B(2m+l,0),A(-l,0),直线CB的解析式为y=x-2m-1,可求点 Dm-(m+1）,作点D关于y轴的对称点D(m,-(m+1),有cD=CD.则cB+CD=CB+CD,即 点D,C,B在一条直线上时，CB+CD取得最小值，将点D(m-(m+）代入y=x-2m-1求出m=1, 求出抛物线解析式，取点I(1,0),连接CA,C1,然后证明 ∠CBM=∠ACB-2∠ACO=∠ACB-∠ACI=∠ICB 当点M在直线CB下方时，可知CI∥MB；当点M在直线CB上方时，设MB与y轴相交于点N,可得 △BON≌△COI(ASA),则ON=OI=1,再求出直线BM的不等式与抛物线的表达式联立求解即可. 【详解】(1)解：①当m=2时，抛物线解析式为y=x2-4x-5. 由y=x2-4x-5=(x-2-9,知抛物线的顶点D坐标为(2，-9) 65176 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当y=0时，x2-4x-5=0, 解得x=-1,x2=5 ∴点B的坐标为(5,0)】 当x=0时，y=-5 ∴.点C的坐标为(0，-5) ②过点P作P⊥CB,PE⊥x轴，交CB于点E. B C(0,-5)B(5,0) ∴OC=OB=5 ∠C0B=90°， ∴∠OCB=∠OBC=45°. PE⊥x轴， .PE∥OC ∴.∠PEQ=∠OCB=45° 在Rt△POE中，有∠QPE=45°. EOPE-04PEQ 2 ∴当PE取最大值时，直线I与直线CB之间的距离PQ取得最大值. 设直线BC:y=Gx+b [5k+b=0 由C(0,-5)B(5,0)得1b=-5, 「k=1 解得b=-5 ∴.直线BC的解析式为y=x-5」 .E(t,t-5)」 66176 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,点P在抛物线上， P6,2-4-5) p1-56--yf+9=-空 .-1<0,0<t<5 当=时， 心影将发大宁此时点p的坐标无得一》】 (2)解：同①可得，C(0,-2m-l),B(2m+l,0),A(-1,0),直线CB的解析式为y=x-2m-1. 由y=x2-2mx-2m-1=(x-m2-(m+1可知，点D(m-(m+1）. 作点D关于y轴的对称点D(m-(m+）,有CD=CD. ∴.CB+CD=CB+CD',即点D',C,B在一条直线上时，CB+CD取得最小值， 将点D(m-(m+）代入y=x-2m-1得，-(m+1=-m-2m-1. 解得m=0(舍去)，m2=1。 ∴抛物线解析式为y-x2-2x-3. 点C(0,-3),B(3,0)」 ..OB=OC 取点I1,0),连接CA,CI, D 由OA=O1=1,可知OC垂直平分A. ..AC=IC .∠ICO=∠ACO.即∠ACI=2LACO .∠CBM=∠ACB-2L∠ACO=∠ACB-∠ACI=∠ICB」 当点M在直线CB下方时，可知CI∥MB 67176 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由点C(0,-3),I(1,0),同理可求直线C1的解析式为y=3x-3. ∴.设直线MB的解析式为y=3x+b, 把点B(3,0)代入可解得b=-9. ∴.直线MB的解析式为y=3x-9。 当x2-2x-3=3x-9时， 解得水=3（与点B重合，不合题意舍去），x=2. ∴点M的坐标为(2，-3). 当点M在直线CB上方时，设MB与'轴相交于点V. B D D 由∠OCB=∠OBC=45°，∠CBM=∠ICB,可知∠OCI=∠OBM. 又∠I0C=∠B0N=90°，0B=0C, .△BON≌△COI(ASA). ∴OW=O1=1. N(0,-1) “同理可求直线MB的解析式为背-1， 当-2x-3=-1时 解得x=3（与点B重合，不合题意舍去)，= 31 211Y 点M的坐标为9)月 211 综上，满足条件的点M的坐标为行，9)或(2，-3) 68176 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.0=-+2 (2)V13+2+V37: ③)5+V55或5-V55或1+√7或1-√7：过程见解析 【分析】(1)利用待定系数法求解即可； ②过p作pH∥，轴交4c于H求出直线C的解折式为r+2.设P风-m+2. 则 PH=m-2加，当m:3时取最大值，此时P(34:将CD沿DE方向平移2个单位至CE:此时 C(-2,2),作C(-2,2)关于x的对称点C"(-2,-2),连接PC”,当且仅当P、E、C"三点共线时取得最小 值，即可求解： (3)根据平移得出新抛物线y的解析式，分两种情况讨论：①当PK与x轴的交点在负半轴时，设交点为 M；②当PK与x轴的交点在正半轴时，设交点为N,利用相似三角形求出M、N的坐标，再求出抛物 线与直线的交点的横坐标，即可得解， 【详解】(1)解：抛物线经过(-6,0)与（-2,4)， a=- 3 [0=36a-6b+2,解得 5 b= 4=4a-2b+2 3 1 抛物线表达式为：y=-。x2-号x+2: 3 3 (2)解：如图，过P作PH∥y轴交AC于H, D DO B 5 令x=0,则y=- x2_ x+2=2, 3 3 .C(0,2) SAue=Sm+Scm-PH.0A-3PH 2 69176 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 PH越大，SAc越大， 设直线AC的解析式为y=ac+b(k≠0)， 「2=b ,解得 3 :.0=-6k+b b=2 1 :直线4C的解析式为y=x+2, 3 设P-m+2小则mm+26<m<0. <0,开口朝下， 3 当m -力=3时取最大值，此时P(-3,4): 2a 将CD沿DE方向平移2个单位至CE,此时C(-2,2),作C'(-2,2)关于x的对称点C"(-2,-2),连接PC", ∴.CD=C'E=EC, .PE+CD=PE+EC"≥PC", :.C四边形EDC=PC+ED+PE+CD≥PC+ED+PC" 当且仅当P、E、C”三点共线时取得最小值， :PC"=[(-3)-(-2)]+[4-(（-2)]=37,PC=V3-0+(4-2}=3, ∴四边形PCDE周长的最小值为V3+2+V37; 将抛物线y=ar2+br+2沿射线AC方向平移V0个单位长度得到抛物线y', 抛物线y=ax+br+2向右平移3个单位长度，向上平移1个单位长度得到抛物线y, 物能，的防式为=〔小侣1=-倍 解得：x=-6,2=1, 70176 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .B(1,0)」 ①当PK与x轴的交点在负半轴时，设交点为M,此时∠BPM=∠KPB,过点P作PO⊥x轴于点2， y 由(2)可知，P(-3,4). ..PO=BO=4 .∠BPQ=∠PBA=45° ∠PMQ=LBPM+45°， :∠AC0=∠KPB+45°， ∴.∠PMQ=∠ACO 又：∠PgM=∠A0C=90°， ∴.△PQMr△AOC. MO PO BC OA .MQ_4 26 0 w(0: 设直线PM的解析式为y=cxr+d(c≠O), -3c+d=4 d=0解： c=-3 d=-5 ·直线PM的解析式为，y=-3x-5, 联立 = y=-3x-5 解得：x=5+V55或x=5-V55: 71176 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②当PK与x轴的交点在正半轴时，设交点为N,此时∠BPN=∠KPB,过点P作P2Lx轴于点Q, VA A B 同理可证，△WPQ∽△AC0 NO PO OAOC’ .NO 4 62' ∴.NQ=12. .N(9,0). :直线Pw的解析式为y= 3+3, 岛 联立 1 y=-3x+3 解得：x=1+V7或x=1-V7: 综上所述，点K的横坐标为5+V55或5-V55或1+V7或1-V万. 24.(1)y=x2-4x+3 (2)32+V10 (3)解：E(4,3),B(3,0), ∴EB=V10 .将抛物线沿射线EB方向平移V10个单位，即向左平移1个单位，向下平移3个单位， .新抛物线y=(x-2+1)2-1-3=(x-1)2-4, 将x=0代入得y'=-3, .G(0,-3)」 ∴.OG=OP=OC=3, ①当点M在PG上方时，如图，设抛物线y交x轴的负半轴于点N, 72176 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 将y=0代入y=(x-1)2-4得(x-1)2=4, 解得x=-1或x=3, ∴，抛物线y与x轴负半轴交于点N(-l,0), .ON=OA=1, 在△OAC和△ONG中， OA=ON ∠AOC=∠NOG. OC=OG .△OAC≌aONG(SAS). .∠OCA=∠OGN. .OG=OP=3,∠P0G=90°， ∴.aOPG是等腰直角三角形， ∴.∠OGP=∠0PG=45°， .∠PGN=∠OGN+∠OGP=∠OCA+45°， .点(-l,0)满足条件，即M(-1,0), ②当点M在PG下方时， 作点N关于PG的对称点N',连接GN', 73176 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A 由对称性得PN=PN'=4,∠N'PG=∠OPG=45°， 由对称性知PG垂直平分N',由对称可知，△PGN≌△PGN .∠PGW'=∠PGN=∠OCA+45°， 故射线GW'上（除G外）任意一点M均满足 .∠N'PO=LOPG+∠NPG=90°， N'(3,-4), 设直线GN'的表达式为y=k2x+b2, b2=-3 将G0,-3'N6,4代入得3k+b,=4 1 k2=- 解得： 3 b2=-3 :直线GN的表达式为y=-了-3， y=-x-3 联立 3 y=(x-1)2-4 5 X= 3 解得〔x=0或 32 y=-3y=- 9 532 M,39 532 综上，符合条件的点M的坐标为(-1,0)或3，-9） 74176 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7532 点M的坐标为(-1,0)或3,9 【分析】(1)已知抛物线顶点D(2,-少，利用顶点式直接写出解析式，再验证过点4,0) (2)先由抛物线解析式求出对称点E的坐标和直线DE的表达式，设P的横坐标为参数，表示PH的长度 并求最大值，确定P的位置；再利用轴对称将军饮马模型求PF+FE的最小值. (3)根据平移向量求出新抛物线表达式，确定G点坐标；通过构造全等三角形和等腰直角三角形，将角 度条件∠PGM-45°=∠OCA转化为∠PGM=∠OCA+45°；先利用对称性找出一个满足条件的点N,再作 对称点求出直线与抛物线的另一交点。 【详解】(1)解：：抛物线顶点为D(2,-), ,设抛物线解析式为y=a(x-2)2-1, 又，抛物线过点A(L,0), .0=a1-2}-1, 解得：a=1, .y=(x-2)2-1=x2-4x+3 (2)解：由y=x2-4x+3得C(0,3),对称轴为直线x=2, ,点C与点E关于对称轴对称， .E(4,3) 设直线DE的表达式为y=c+b [2k+b=-1 将D2,-)'E4,3)代入得4k+b=3’ k=2 解得：1b=-5 直线DE的表达式为y=2x-5」 设P(x,x2-4x+3),过P作y轴的垂线交DE于H, 则H的纵坐标为x2-4x+3, 代入y=2r-5得，=-4+8 2 m8- ∴.当x=3时，PH最大，此时P3,O), 75176 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·EP=V(4-3)2+(3-0)2=10, 作点P(3,0)关于直线x=2的对称点P'(1,0), F在对称轴x=2上， .PF=P'F, .△PFE的周长=PF+FE+EP=P'F+FE+10≥P'E+10, :P'E=V(4-12+(3-0}=32, ∴，△PFE周长的最小值为3V2+10」 (3)略 76176 专题06 二次函数中的角度存在性问题的四种模型 题型一 二次函数中的等角存在性问题 题型二 二次函数中的倍角存在性问题 题型三 二次函数中的特殊角存在性问题 题型四 二次函数中的角和差等量关系存在性问题 题型一：二次函数中的等角存在性问题 1．（23-24九年级下·湖南湘潭·自主招生）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线 与x轴交于两点，与y轴交于点 C，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点 D为抛物线上一点且在x轴上方，满足，求D点坐标； (3)点 M为线段上一动点（不与B，C重合），过点M作轴于点 P，交抛物线于点N．如图2，在抛物线上找一点Q，连接，使得与的面积相等，求线段长度的最小值，并写出此时Q点坐标． 【答案】(1) (2) (3)最小值为1，或 【分析】（1）把，点分别代入解析式，计算即可． （2）取点，先证明，再计算直线的解析式，联立抛物线的解析式构造一元二次方程，解答即可． （3）确定直线的解析式为：，设，则，，则，，设，则点Q到直线的距离为，利用三角形面积相等，构造二次函数求值计算即可． 【详解】（1）解：把，点分别代入解析式，得 得， 解得， 故抛物线的解析式为． （2）解：取点，作直线交抛物线于点Ｄ， ∵抛物线， ∴， ∵，点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴点在直线上， 设直线的解析式为， ∴， 解得， 故直线的解析式为． 根据题意，得， 解得（舍去）， 当时，， 故． （3）解：设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：， 设，则，， ∴，，， 设， 则点Q到直线的距离为， ∵与的面积相等，， ∴ 解得； 故点Q到直线的距离为1； ∴， ∴或， 当时， 则， 又， ∴ ， 令， ∵， ∴函数p有最小值，且当时，p取得最小值1，此时的值最小为1； 此时，，Q点坐标． 当时， 则， 又， ∴ ， 令， ∵， ∴函数p有最小值，且当时，p取得最小值1，此时的值最小为1； 此时，，Q点坐标． 综上所述：线段长度的最小值为1，或 2．（2026·宁夏固原·三模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点是抛物线上位于第一象限的动点，当时，求此时点的坐标； (3)如图2，将原抛物线水平向右平移，使点落在点处，点是原抛物线对称轴上任意一点，在平移后的新抛物线上确定一点，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，求出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】 （1）将，代入，解方程组即可； （2）设，则，，确定，根据得，继而得到，求解即可； （3）由得原抛物线对称轴是直线，根据将原抛物线水平向右平移，使点落在点处，可得原抛物线水平向右平移了个单位，平移后的抛物线是，设，，分三种情况：①以、为对角线，则的中点即是中点；②以、为对角线，则的中点即是中点；③以、为对角线，则的中点即是中点；分别画图求解即可． 【详解】（1） 解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2） 解：如图，设， ∵点是抛物线上位于第一象限的动点， ∴，， ∵抛物线与轴交于点， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴； （3） 解：∵原抛物线的解析式为，，， ∴原抛物线的对称轴是直线， ∵将原抛物线水平向右平移，使点落在点处， ∴原抛物线水平向右平移了个单位， ∴平移后的抛物线是， 设，， ①以、为对角线，则的中点即是中点，如图， ∴， 解得：， 此时点的坐标为； ②以、为对角线，则的中点即是中点，如图， ∴， 解得：， 此时点的坐标为； ③以、为对角线，则的中点即是中点，如图， ∴， 解得：， 此时点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或． 3．（2026·海南三亚·模拟预测）如图，抛物线经过点和点，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点P是抛物线上的动点，且位于轴的左侧． ①当点为抛物线顶点时，求四边形的面积； ②连接、，当时，求点的坐标． (3)将抛物线的图象向右平移个单位长度后，当，且该函数的最大值与最小值的差为1时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)① ；② 或 (3) 【分析】（1）因为已知抛物线经过和两个点，所以将两点坐标代入抛物线表达式，求解b和c，即可得到抛物线解析式． （2）① 先求抛物线与x轴交点A的坐标，再将抛物线解析式配方得到顶点P的坐标；因为四边形是不规则四边形，所以可通过拆分为梯形和三角形，代入长度计算面积．② 先计算的度数，因为，设直线交轴于，所以，分两种情况：点在轴上方和点在轴下方，分别求出的直线方程，联立抛物线方程求解，再根据在y轴左侧筛选坐标． （3）先写出抛物线向右平移n个单位后的解析式，确定其对称轴；因为区间的最值与对称轴和该区间的位置关系有关，所以分对称轴在区间左侧、区间内、区间右侧三种情况，分别求出对应最大值和最小值，根据差值为1列方程求解． 【详解】（1）把 、代入 ， 当 时，； 代入 ：，得 ． 因此抛物线的表达式为：； （2）①抛物线， 顶点 ， 令 得 ，为原点 ． 过 作 轴于， ， ， ； ②， ， ， ． 设直线交轴于， ，分两种情况： 如图，点在轴上方： ， 设直线解析式为 ， 把点代入得，，解得， 直线解析式为 ， 联立抛物线： ，整理得 ， 解得 （点，舍去），， 代入，得 ， ． 如图，点在轴下方： ，同理可得直线解析式为 ， 联立抛物线： ，整理得 ， 解得 （点，舍去），， 代入，得 ， ． 点坐标为 或 ． （3）抛物线向右平移个单位后，解析式为 ， 对称轴为直线 ，开口向下， 在分情况讨论区间 ： 情况1：对称轴在的左侧，即，解得； 此时在上抛物线y随x的增大而减小， 当时，y取最大值：， 当时，y取最小值：， 根据题意最大值与最小值的差为， 解得与的前提矛盾，舍去，此情况无解． 情况2：对称轴在的左半部分，即，解得， 此时顶点在内，开口向下，因此最大值为顶点纵坐标； 对称轴，离对称轴更远，因此最小值在处取得：， ， 解得或（超出范围，舍去）， 符合条件的解． 情况3：对称轴在的右半部分，即，解得， 顶点仍在内，最大值； 对称轴，离对称轴更远， 因此最小值在处取得：， ， 解得或，（均不满足） 情况4：对称轴在的右侧，即，解得， 此时在上抛物线y随x的增大而增大， 最大值在处，最小值在处， 解得 与的前提矛盾，舍去，此情况无解． ． 4．（2026·黑龙江绥化·三模）如图①，抛物线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，交轴于点，已知点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图②，若点是直线上方抛物线上的一个动点，当点到直线的距离最大时，求点的坐标和最大距离； (3)直线上是否存在点，使得，若存在，请直接写出点坐标．若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点到直线的距离最大为， (3)点的坐标为， 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）先证明为等腰直角三角形，得出，作轴交于点，设，则，表示出，作于，则为等腰直角三角形，得出，当最大时，的值最大，即点到直线的距离最大，结合二次函数的性质计算即可得出结果； （3）求出，直线的解析式为，分两种情况：当点在的下方时，当点在的上方时，作轴于，分别计算即可得出结果． 【详解】（1）解：将，代入抛物线可得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：联立， 解得或， ∴抛物线与直线的另一个交点坐标为， 在直线中，令，则， ∴，即， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 如图，作轴交于点， 设，则， ∴， 作于， ∵轴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴当最大时，的值最大，即点到直线的距离最大， ∵，且， ∴当时，的值最大，为， ∴点到直线的距离最大为，此时，即； ∴点到直线的距离最大为，； （3）解：在中，令，则， 解得：，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 如图：当点在的下方时， ∵， ∴， ∴设直线的解析式为， 将代入可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：， 此时点的坐标为； 如图：当点在的上方时，作轴于， ∵，， ∴，， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， 综上所述，点的坐标为． 5．（25-26九年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于，两点，与轴交于点． (1)直接写出的值和，两点的坐标； (2)如图（1），点是抛物线上一点，且满足，求点的坐标； (3)如图（2），点，是抛物线对称轴上两点，直线，分别交抛物线于点，，设点，的纵坐标分别为，，，求点到直线的距离的最大值． 【答案】(1)，， (2)或 (3) 【分析】（1）将代入求出，得到抛物线，然后令求出，； （2）根据题意分两种情况讨论：点E在x轴上方和点E在x轴下方，然后分别求出所在直线表达式，然后和抛物线联立求解即可； （3）首先得到，，可得所在直线的表达式为，所在直线的表达式为，然后分别于抛物线联立求出，，然后结合表示出所在直线表达式，设，得到，然后求出所在直线过定点，进而求解即可． 【详解】（1）解：将代入得， 解得 ∴抛物线 ∴当时， 解得或 ∴，； （2）解：如图，当点E在x轴上方时，设与y轴交于点F， ∵抛物线 ∴当时， ∴，即 ∵， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴所在直线表达式为 与抛物线联立得， 解得或 ∴将代入得， ∴； 如图，当点E在x轴下方时，设与y轴交于点F， 同理可得，所在直线表达式为 与抛物线联立得， 解得或 ∴将代入得， ∴； 综上所述，点的坐标为或； （3）解：∵ ∴抛物线对称轴为直线 ∵设点，的纵坐标分别为，， ∴， ∵ ∴可得所在直线的表达式为，所在直线的表达式为， ∴联立和得， 整理得， ∴，即 ∴ 将代入得， ∴ 同理可得， ∴可得所在直线表达式为 ∵ ∴所在直线表达式为 设 ∴ ∴当时，即时， ∴所在直线过定点 ∵是定点 ∴当时，点到直线的距离取得最大值 ∵ ∴点到直线的距离的最大值为． 6．（2026九年级下·福建泉州·专题练习）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为且图象经过点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图2，连接，，若抛物线上存在点，满足，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或． 【分析】（1）将点和点坐标代入求解即可； （2）分两种情况讨论，当点E在上方的抛物线上，当点E在下方的抛物线上，画出图形，根据∠分情况求解即可． 【详解】（1）解：由条件可得， 解得， 抛物线； （2）解：当点E在上方的抛物线上，如图， 当时，， 则， 设直线表达式为，则由题意得： ， 解得： ∴直线表达式为， 由条件可知， 设直线的解析式为， 将点的坐标代入得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：（舍去）或， ∴点的坐标为； 当点E在下方的抛物线上，如图，设交于点G， 由条件可知， 设，则， 解得， 则， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为，联立， 解得（舍去）或， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或． 题型二：二次函数中的倍角存在性问题 7．（2024·山东淄博·二模）如图，抛物线交x轴于、两点，交y轴于点C，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上一点，设P点的横坐标为m． ①当点P在第一象限时，过点P作轴，交BC于点D，过点D作轴，垂足为E，连接，当和相似时，求点P的坐标； ②请直接写出使的点P的坐标． 【答案】(1) (2)①点的坐标为或；②点的坐标为或． 【分析】（1）将、两点坐标代入抛物线，列出关于a和b的方程组求解即可；（2）①设，由点和点可得的表达式，分两种情况：当时和当时根据相似三角形的性质求解即可； ②如图，过点B作的角平分线分别交y轴、抛物线于点M、P，在x轴的下方作，设点M的坐标为，求出点M的坐标，得出直线的解析式，联立方程，求出点P的坐标，同理可得点． 【详解】（1）解：将、两点坐标代入抛物线解析式， 可得，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）①设， 由点和点可得的表达式：， 则， ， 轴，轴， ， （Ⅰ）当时，， 则， ， ； （Ⅱ）当时， ， 则， ， ， ∴当与相似时，点的坐标为或； ②如图，过点B作的角平分线分别交y轴、抛物线于点M、P，过作交于，在x轴的下方作，设点M的坐标为， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 即， 解得， ∴点M的坐标为， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或， ∴点P的坐标为， 由作图可知，M与点N关于x轴对称， ∴点N的坐标为， 同理可得点的坐标为， 综上点P的坐标为或． 8．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）综合与探究 如图，抛物线经过点和点，与x轴的另一个交点为A，连接、． (1)求抛物线的解析式及点A的坐标； (2)如图1，点D是线段的中点，连接，若点E在y轴上，使得是以为斜边的直角三角形，则点E的坐标为________________． (3)点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作轴，分别交、x轴于点M、N． ①如图2，当时，请求出满足条件的点P的横坐标． ②如图3，连接，将绕点O按顺时针方向旋转得到，连接，线段长度的最小值为________________． 【答案】(1)； (2)或 (3)①；② 【分析】（1）将点和点代入抛物线解析式求出抛物线解析式，再令，求出点坐标； （2）设，是以为斜边的直角三角形，可得，利用勾股定理分别表示出，，，建立方程求解即可； （3）①过点作，交于点，先求出直线解析式，设，则，利用，，可证明，得出，从而得出点的纵坐标为，由点的纵坐标为，建立方程求解即可；②设，则，过点作轴，垂足为，证明，得出，求出旋转后的点坐标，得出点的轨迹是直线上在之间的一段线段，由垂线段最短可知，当时，长度取最小值，利用三角形面积求出长度即可． 【详解】（1）解：点和点代入抛物线解析式得： ，解得：， ∴抛物线解析式为， 令，得：，解得：或， ∴． （2）解：由（1）得：，，，如图所示： ∵点D是线段的中点， ∴，即， ∵点E在y轴上， ∴设， ∵，，， ∴，，， ∵是以为斜边的直角三角形， ∴，即，整理得：，解得：或， ∴点E的坐标为或． （3）解：①如图所示，过点作，交于点， ∵点P是直线上方抛物线上的一动点，抛物线解析式为， ∴设，， 设直线解析式为，将，代入得： ，解得：， ∴直线解析式为， ∵轴，交于点M， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵轴，， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∵点的纵坐标为， 又∵点的纵坐标与点的纵坐标相等， ∴，解得：或（舍去）， ∴满足条件的点P的横坐标即为； ②依然可设，， 由①得：直线解析式为，， 过点作轴，垂足为， ∵将绕点O按顺时针方向旋转得到， ∴， ∴，， ∴， 在与中 ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， 令，，即，消去得：， ∴点的坐标满足解析式， ∵， ∴，即， ∴点的轨迹是直线上在之间的一段线段， 设直线与轴交于点，与轴交于点， 在中，令，得：；令，得：， ∴，， ∴点的轨迹即是线段， 连接，过点作， ∴当时，长度取最小值，最小值为的长度， ∵，，， ∴，，， ∵， ∴，解得：， ∴长度的最小值为． 9．（2026·山东烟台·一模）如图，抛物线与轴相交于点和点，与轴相交于点，作直线． (1)求抛物线的表达式； (2)若在直线上方的抛物线上有一动点，连接交直线于点，若，求点的坐标； (3)若在直线上存在一点，使，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）把，分别代入抛物线，确定解析式即可； （2）确定直线的解析式为：，设，确定直线的解析式为，得到点D的横坐标为，根据题意，得，解答即可． (3) 作点关于y轴的对称点M，根据题意，得，， 故，过点A作，交于点，， 解答即可． 【详解】（1）解：把，分别代入抛物线，得 解得， 抛物线的解析式为. （2）解：根据抛物线的解析式为， 令，得， 解得， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为：， 设， 设直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， 故直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， 故点D的横坐标为， ∵， ∴， ∴， ∴， 整理，得， 解得， 故或． （3）解：作点关于y轴的对称点M， 根据题意，得，， 故， 过点A作，交于点， ∴， ∴， 设直线的解析式为，将代入解析式， 得：， 解得， ∴直线的解析式为：， 设直线的解析式为， ∴ ， 解得， ∴直线的解析式为：， ∴， 解得， 故； 10．（2026·四川南充·二模）已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点为抛物线上第二象限内一点，若，求点的坐标； (3)如图，经过点的直线分别与抛物线在第二、三象限交于，两点，连接、，分别交轴于、两点．探究是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是定值，该定值为．理由见解析 【分析】（1）将点，代入得到关于、的二元一次方程组，求解后可得答案； （2）确定，得，，，如图，延长交于点，过点作轴于点，设，继而得到，，，根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质得，证明得，得，解得或（不符合题意，舍去），可得答案； （3）如图，过点作轴于点，过点作轴于点，设，，得，，，，，，联立得，继而得到，，证明，得，，继而得到，代入数据化简即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵抛物线与轴交于，两点， 当时，， 解得：或， ∴， 又∵，， ∴，，， 如图，延长交于点，过点作轴于点，设， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴； （3）解：是定值，该定值为．理由如下： ∵直线经过点， ∴， ∴， ∴直线为． 如图，过点作轴于点，过点作轴于点，设，， ∴，，，， ∴，，，， ∴，， ∵直线与抛物线在第二、三象限交于，两点， ∴， 整理得：， ∴，， ∵，；，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴ ， ∴是定值，该定值为． 11．（2026·江苏苏州·一模）如图，抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴相交于点，对称轴为直线． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点P在直线BC上，且，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据对称轴求出b的值，再由C点坐标求出c的值即可求解； （2）设对称轴与直线的交点为M，连接，推导出，求出，设，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵与y轴相交于点， ∴， ∴； （2）解：设对称轴与直线的交点为M，连接，则， 当时，解得或， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把代入得：， 解得， ∴， ∴， 设， ∴， 解得， ∴． 12．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，一条抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点，顶点是点． (1)求抛物线对应的函数表达式 (2)点是抛物线上的点，当时，请直接写出满足条件的点坐标； (3)将抛物线向左平移1个单位，向下平移3个单位得到一条新抛物线，它的顶点为．直线过点，且与抛物线交于点、．轴于点、轴于点，求证：． 【答案】(1) (2)或 (3)证明见解析 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线对应的函数表达式即可 （2）作的中垂线交轴于点E，连接，则，进而得到，设，则，在中，由勾股定理得，解出的值，设直线的解析式为，利用待定系数法求出直线的解析式，过点A作，交轴于点，交抛物线于点，则，设直线的解析式为，利用待定系数法求出直线的解析式，与抛物线解析式联立，求出点P的坐标；作点关于轴的对称点，连接，同理求出点P的坐标； （3）易得到平移后新的抛物线解析式为，设过点的直线的解析式为，与新抛物线解析式联立得到，设交点、，根据韦达定理可得、，进而得到、，据此计算与的值是否相等即可． 【详解】（1）解：将，两点代入得： ， 解得， 因此，抛物线对应的函数表达式为； （2）解：由（1）知抛物线表达式为， 当时，， 则， 作的中垂线交轴于点E，连接，则， ， ， 、， 、， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得， ， 设直线的解析式为， 将代入得：， 解得， 直线的解析式为， 过点A作，交轴于点，交抛物线于点，则， 设直线的解析式为， 将代入得：， 解得， 直线的解析式为， 联立， 解得或， ； 将代入得：， ， 作点关于轴的对称点，连接， 、， 设直线的表达式为， 将和代入得： ， 解得， 直线的表达式为， 联立， 解得或， ， 综上所述，点P的坐标为或； （3）证明：由（1）知抛物线， 平移后新的抛物线解析式为， 顶点，即， 设过点的直线的解析式为， 联立， 整理得， 设交点、， 由韦达定理得、， ， 轴于点、轴于点，且、， 、， ， ． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合、轴对称的性质、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握二次函数与一次函数的图像性质，数形结合的思想方法的运用是解题的关键． 题型三：二次函数中的特殊角存在性问题 13．（2026·宁夏银川·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（ ）经过点、两点，与轴交于A、B两点． (1)求该抛物线的表达式并写出B点坐标； (2)在抛物线上是否存在点，使得，若存在，求出P点坐标：若不存在，说明理由； (3)将抛物线沿x轴向左平移n（）个单位长度，若平移后的抛物线与直线 相切（只有一个交点），求n的值． 【答案】(1)， (2)存在，或 (3) 【分析】（1）用待定系数法即可求解． （2）先假设存在，设出其横坐标，利用等角对等边得出其纵坐标，再代入解析式即可求解． （3）利用只有一个交点，联立解析式，令即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线（ ）经过点、两点， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线关于y轴对称， ∴． （2）解：存在，或； 理由：假设存在点，设其横坐标为t，连接，过P点作x轴于点D， ∵， ∴， ∴， 如图，当P点在x轴上方时， ∴， 代入中得， 解得或（与A点重合，舍去）， ∴， ∴． 如图，当P点在x轴下方时， ∴， 代入中得， 解得或（与A点重合，舍去）， ∴， ∴． （3）解：将抛物线沿x轴向左平移n（）个单位长度，平移后的抛物线解析式为， 令， ∴， ∵平移后的抛物线与直线 相切， ∴， ∴． 14．（2026·广西南宁·三模）在平面直角坐标系中，抛物线与 轴交于 、两点（点在点左侧），与 轴交于点．直线经过、两点． (1)求点、的坐标，并求直线的函数解析式（用含的代数式表示）； (2)当时，若自变量 满足时，函数 的最大值与最小值之差为5，求的值； (3)设线段的中点为，点在抛物线上，且 ，若满足条件的点 恰好有2个，直接写出的取值范围． 【答案】(1)，当或时，，直线的解析式为 ；当时， ，直线的解析式为 (2) (3)或或或 【分析】令，因式分解得，再分情况得到点及直线的解析式； 分、、、四种情况，结合抛物线的性质求即可； 分、、且、，结合函数图象进行判断求解即可. 【详解】（1）解：令，，则， 令，则，即， 解得， 所以当或时，，直线的解析式为 ； 当时， ，直线的解析式为； （2）解：，对称轴为， 当时，，则时，随 的增大而减小， 则时，取得最大值，最大值为， 时，取得最小值，最小值为， ，解得（舍去）； 当时，，则时，随 的增大而增大， 则时，取得最小值，最小值为， 时，取得最大值，最大值为， ，解得（舍去）； 当，，则离对称轴更远， 则时，取得最大值，最大值为， 时，取得最小值，最小值为， ，即， 解得（舍去），（舍去）； 当，，则离对称轴更远， 则时，取得最大值，最大值为， 时，取得最小值，最小值为， ，即， 解得或（舍去）； 综上； （3）解：由（1）知时，，， 则为等腰直角三角形，， 又， 所以或， 即直线的解析式为，与抛物线有两个交点，此时有一个点符合题意， 直线的解析式为，与抛物线只有一个交点，此时有一个点符合题意， 即时，符合题意； 时，，则，如图点再开口的内部， 当时，这样的直线有两条，每条与抛物线有两个交点，其中一个符合题意， 则恰有2个点使得， 所以时，符合题意； 且时，同理恰有2个点使得，符合题意； 时，，， 与夹角为的直线有两条，或， 时，此时，不符合题意， 时，与抛物线有两个交点，其中一个能使， 故此时，满足题意的点只有1个，不符合题意； 综上或或或． 15．（2026九年级下·天津红桥·学业考试）已知抛物线（b，c为常数）与x轴相交于，B两点，与y轴相交于点．M为x轴下方抛物线上横坐标为m的点，连接． (1)求该抛物线的解析式和点B的坐标； (2)当时，求m的值； (3)过点作轴的平行线与抛物线相交于点，过点作轴的平行线与直线相交于点，若，求m的值． 【答案】(1)抛物线解析式为，点B的坐标为 (2) (3)的值为或 【分析】（1）用待定系数法，代入已知点A、C的坐标求出抛物线系数，再令求出与x轴交点B的坐标． （2） 构造等腰直角三角形，利用全等三角形得到直线上一点的坐标，求出直线解析式后联立抛物线方程，结合在轴下方的条件得到的值． （3）利用抛物线对称性得到的长度表达式，求出直线BC解析式后得到的长度表达式，根据列方程，结合的位置分类讨论得到的值． 【详解】（1）解∶由过点和可得： ． 解得． ∴抛物线解析式为． 令，得． 解得． ∴点B的坐标为． （2）解：如图1，过点C作交直线于点D，过D作轴于点H． ∵， ∴为等腰直角三角形，． ∵，， ∴． 又∵， ∴． ∴，． ∵坐标为， ∴D点坐标为． 设直线的解析式为，代入和得 解得 即直线解析式为． 联立直线与抛物线方程得： ． 解得， ． ∴． （3）解：如图2，抛物线的对称轴为直线． ∵平行x轴，M，P都在抛物线上， ∴M，P关于对称轴对称． ∵M横坐标为，∴P横坐标为． ∴． 设直线解析式为，代入，得 解得 ∴直线BC解析式为． ∵平行轴，在上，横坐标为， ∴纵坐标为，纵坐标为． ∴． ∵在轴下方， ∴或，此时， 所以． ∵， ∴． 分两种情况讨论： ①当时，，方程化为，  解得，∵，∴． ②当时，，方程化为， 解得，∵，∴． 综上，的值为或． 16．（2023·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图所示．抛物线经过点和点． (1)求抛物线解析式和顶点D的坐标； (2)若直线与抛物线交于点A，C，点P在抛物线上，过点P作x轴的垂线，交直线于E，抛物线的对称轴与直线交于F． ①设点P的横坐标为m，当以点P，D，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，求m的值； ②在直线上方的抛物线上是否存在点P，满足，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线解析式为，顶点； (2)①或或；②存在，． 【分析】（1）把和点代入求解即可； （2）①先求出，，则，由P的横坐标为m可知，，即，根据平行四边形的判定定理可知当时，以点P，D，E，F为顶点的四边形是平行四边形，即，求解即可； ②过A作交延长线于K，过K作轴于T，过C作轴于R，可知是等腰直角三角形，证明，得到，进而得到，求出直线解析式为，求解即可． 【详解】（1）解：把和点代入得： ， 解得， ∴抛物线解析式为， ∵， ∴顶点； （2）解：①如图： 由得或， ∴， 由（1）知，对称轴为直线， 在中，令得， ∴， ∴， ∵P的横坐标为m， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，以点P，D，E，F为顶点的四边形是平行四边形， 即， 解得或（与D重合，舍去）或或； ∴或或； ②在直线上方的抛物线上存在点P，满足，． 过A作交延长线于K，过K作轴于T，过C作轴于R，如图： 是等腰直角三角形， ∵，， ∴，， ∴， 设直线解析式为， 由，得， 解得：， ∴直线解析式为， 解得或， ∴． 17．（2026·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与x轴的左右两个交点分别为点和点B，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在第一象限内抛物线上取点D，使，求点D的坐标； (3)若抛物线：的对称轴与抛物线的对称轴相同，过点C的直线l：交抛物线于点P，问是否存在某种情况，使抛物线与直线l有且只有一个公共点，且这个公共点恰好是线段的中点？若存在这种情况，请求出a和k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）以为直角顶点，为直角边，构造等腰直角三角形，作轴，求出点坐标，进而求出直线的解析式，联立直线和抛物线的解析式，求出点坐标即可； （3）求出的对称轴，进而推出，得到，待定系数法求出直线的解析式为，令，整理，得，求出的中点的横坐标为，令，整理，得，根据抛物线与直线l有且只有一个公共点，且这个公共点恰好是线段的中点，得到方程有两个相等的实数根为，根据判别式和根与系数的关系，列出方程组进行求解即可． 【详解】（1）解：把，代入，得 ，解得， ∴； （2）解：令， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， 以为直角顶点，为直角边，构造等腰直角三角形，作轴， 则，，， ∴，点在直线上， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把代入，得，解得， ∴， 联立，解得或， ∴； （3）解：存在， ∵， ∴对称轴为直线， ∵的对称轴与的对称轴相同， ∴， ∴， ∴； 把代入，得， ∴， 令，整理，得， ∴ ∴中点的横坐标为， 令，整理，得， ∵抛物线与直线l有且只有一个公共点，且这个公共点恰好是线段的中点， ∴方程有两个相等的实数根为， ∴， 解得或或或， ∵， ∴． 18．（2026·湖北荆门·一模）如图，已知二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点，连接．点为轴上方抛物线上一动点（点不与点重合），设点的横坐标为． (1)求该二次函数的解析式； (2)连接，当时，求的值； (3)设以，，，为顶点的四边形的面积为， ①求关于的函数解析式； ②根据的不同取值，试探索点的个数情况． 【答案】(1)； (2) (3)①S关于t的函数解析式为②当时，存在个符合条件的点； 当时，存在个符合条件的点； 当时，存在个符合条件的点． 【分析】（1）将点和点的坐标代入二次函数的一般式，得到关于、的二元一次方程组，解方程组求出和的值，再将系数代回原解析式，即可得到该二次函数的解析式； （2）先由、两点坐标得出，判定为等腰直角三角形，得到，结合已知，推出即轴，因此点的纵坐标为，将代入二次函数解析式求解，舍去与点重合的解，即可得到的值； （3）①先令二次函数的，解方程求出抛物线与轴的另一个交点的坐标，再分两种情况讨论：当即点在上方时，过点作轴的垂线，用割补法将四边形面积拆分为与梯形的面积之和，代入坐标计算化简得到对应的函数解析式；当即点在下方时，将四边形面积拆分为固定的与动的面积之和，代入坐标计算化简得到对应的函数解析式，最后综合写出关于的分段函数解析式；②先将时的二次函数解析式配方，求出其最大值和取值范围，再根据时一次函数的增减性求出其取值范围，画出分段函数的大致图像，根据不同值对应的图像交点个数，总结出符合条件的点的个数情况． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴交于点，与轴交于点， ∴， ∴， ∴该二次函数的解析式为； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图， ∴点的纵坐标为， ∴， 解得或， ∴， ∴； （3）解：①令，则， ∴或， ∴， ∴， 当点在的上方时，即，， 过点作于点，如图， 则，， ∴， ∴ ； 当点在的下方时，即，， 过点作于点，如图， 则， ∴ ； 综上，关于的函数解析式为； ②当时，， ∵， ∴当时，有最大值为， ∴， 当时，， ∴， 画出函数的大致图象如图： 由图象可知：当时，存在个符合条件的点； 当时，存在个符合条件的点； 当时，存在个符合条件的点． 【点睛】本题中（2）问利用本身的角，将转化为轴，实现角度问题向坐标问题的转化；（3）问按点在上下方正确分段，用割补法求面积，再通过分析分段函数的取值范围，结合图像数形结合判断点的个数． 题型四：二次函数中的角和差等量关系存在性问题 19．（25-26八年级下·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线上方抛物线上一动点，连接，点为抛物线对称轴上的动点，点E在点D的下方，且，连接．当的面积取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)在（2）中的面积取得最大值的条件下，将抛物线沿射线的方向平移个单位长度得到抛物线，点M为点P的对应点，点N为抛物线上一动点，若，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)；的最小值为 (3)， 【分析】（1）利用待定系数法即可解答； （2）利用铅锤高，水平宽，得到当的面积取得最大值时取最大值，即可求得点；利用轴对称的性质求得的最小值； （3）根据平移的性质求得新抛物线的解析式，求得点的坐标，即可求得，再利用求一次函数与抛物线的交点，即可求得点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴是直线， ，解得， 把代入， 可得，解得， ∴ （2）解：令， 解得， ， 令，可得， ， 设直线的解析式为， 把，代入， 可得， 解得， 所以直线的解析式为， 如图，过点作轴，交于点， ， 当最大时，的面积取得最大值， 设点，则， ， 当时，的面积取得最大值， 此时， 如图，将向下平移个单位到，使点与点重合，作关于对称轴直线的对称点，连接， ， 根据平移可得， 根据对称可得， ， 即的最小值为； （3）解：， ， 将抛物线沿射线的方向平移个单位长度得到抛物线，即将抛物线向下平移3个单位，向右平移3个单位， ，，即， 如图，过点作轴，交于点，设与轴交于点， 则， ，， ， ， ， 即， ， 当在轴上方时，， 设直线的解析式为， 把，代入， 可得， 解得， 所以直线的解析式为， 列方程， 整理得， ，无解； 当在轴下方时，， 设直线的解析式为， 同理可得直线的解析式为， 列方程， 整理得， 解得，； ，． 20．（25-26八年级下·重庆·期末）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是线段上方抛物线上的一动点，连接．抛物线的对称轴为直线，点为轴上的动点，于点．当面积取得最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为抛物线与轴的左侧交点，点为抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标． 【答案】(1) (2)；的最小值为 (3)点的横坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）过点P作轴于点F，交直线于点E，先求出直线的解析式，设点P的坐标，则可表示点E的坐标，进而表示出线段，利用，最后求出其取最大值时点P的坐标；因，则，当最小时，最小，此时轴，根据点P的坐标求得的最小值； （3）根据A、C两点的坐标得，由条件得，求出平移后的抛物线解析式及此抛物线与x轴的交点坐标，此时有两种情况：或直线与的交点恰好是以为底边的等腰三角形的顶点，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线过两点， ∴设抛物线解析式为， ∵抛物线过点， ∴， 即， ∴抛物线解析式为，即； （2）解：如图，过点P作轴于点F，交直线于点E， 设直线的解析式为， 把A、C两点的坐标分别代入得，解得， ∴直线的解析式为， 设点P的坐标为，则可表示点E的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∵ ， 当取得最大值时，取得最大值， ∵， ∴当时，取得最大值，从而取得最大值， ∴， ∵点Q在y轴上，抛物线的对称轴为直线，， ∴， ∴， 当最小时，最小，此时轴， ∵， ∴的最小值为， ∴的最小值为； （3）解：根据A、C两点的坐标知，， ∴，， ∵，， ∴， ∵抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，且， ∴那原抛物线向左平移3个单位，向下平移3个单位， ∴， 令，解得， ∴，与x轴的另一个交点为点A， 当点N在上方的抛物线上时，则， 设此时的解析式为，把点M坐标代入得， 即的解析式为， 令，整理得， 解得（舍去）， ∴点的横坐标为； 当直线与的交点恰好是以为底边的等腰三角形的顶点时，此时， 设直线与的交点为D点，如图，设， ∵， ∴， 解得， 即， 设直线的解析式为， 则有，解得， 即直线的解析式为， 令，整理得， 解得（舍去）， ∴点的横坐标为， 综上，点的横坐标为或． 21．（2026·福建三明·模拟预测）已知二次函数（）的图象与轴交于、两点，与轴交于点，其对称轴为直线． (1)当时，求该二次函数的表达式； (2)求证：； (3)若点的坐标为，且点为直线上方的抛物线上的一点，过点作轴，交直线于点． ①若以，，为顶点的三角形与相似，请求出所有满足条件的点的坐标； ②是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明：∵该二次函数图象经过， ． ∵该二次函数图象的对称轴为直线， ，即．   ，即．   又， ． (3)①或；②的坐标为 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据抛物线的对称性，结合已知，化简证明即可； （3）①设，，根据三角形的相似，分类求解即可； ②过点作交于点．利用解方程组的方法求解即可； 【详解】（1）解：当时，．   ∵该二次函数图象与轴交于、两点，且对称轴为直线， ，解得：，即．   将和代入得： ， 解得：． ∴当时，该二次函数的表达式为． （2）略 （3）①解：∵该二次函数图象经过，，， ∴二次函数表达式为， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， 直线表达式为． 又轴， 设，， ，． 当时，有，即．   解得：（不符合题意，舍去）或． ．   当时，有，即．   解得：（不符合题意，舍去）或． ．   ②过点作交于点． ， ．   ，， ，， ， ， ． 又，， （）． ． ．   设直线的解析式为，由点，可得： ，解得：， ∴直线表达式为． ，且 ∴同理可得：直线表达式为． ∵点在和上， ．   解得或（不符合题意，舍去）． ∴存在点，使得．的坐标为． 22．（2026·天津西青·二模）已知抛物线（是常数且）与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，其顶点为，是坐标原点． (1)若， ①求该抛物线的顶点和点，的坐标； ②抛物线上一点在直线下方，其横坐标为，过点作直线，当直线与直线之间的距离取得最大值时，求点的坐标． (2)当取得最小值时，该抛物线上存在一点，满足，求点的坐标． 【答案】(1)①顶点坐标为，点的坐标为，点的坐标为；② (2)或 【分析】（1）①把代入求出抛物线的表达式，然后配方出顶点坐标，再分别令求出与坐标轴的交点； ②过点作，轴，交于点，得到是等腰直角三角形，那么将的最大值转化为的最大值求解即可； （2）同①可得，，，，直线的解析式为，可求点，作点关于轴的对称点，有．则，即点，，在一条直线上时，取得最小值，将点代入求出，求出抛物线解析式，取点，连接，然后证明． 当点在直线下方时，可知；当点在直线上方时，设与轴相交于点，可得，则，再求出直线的不等式与抛物线的表达式联立求解即可． 【详解】（1）解：①当时，抛物线解析式为． 由，知抛物线的顶点坐标为． 当时，． 解得，． ∴点的坐标为． 当时，． ∴点的坐标为． ②过点作，轴，交于点． ，， ． ， ． 轴， ． ． 在中，有． ． ∴当取最大值时，直线与直线之间的距离取得最大值． 设直线 由，得， 解得 ∴直线的解析式为． ． ∵点在抛物线上， ． ． ∵， ∴当时，取得最大值．此时点的坐标是． （2）解：同①可得，，，，直线的解析式为． 由可知，点． 作点关于轴的对称点，有． ，即点，，在一条直线上时，取得最小值， ∴将点代入得，． 解得（舍去），． ∴抛物线解析式为． ∴点，． ． 取点，连接， 由，可知垂直平分． ． ．即． ． 当点在直线下方时，可知． 由点，，同理可求直线的解析式为． ∴设直线的解析式为． 把点代入可解得． ∴直线的解析式为． 当时， 解得（与点重合，不合题意舍去），． ∴点的坐标为． 当点在直线上方时，设与轴相交于点． 由，，可知． 又，， ∴． ∴． ． ∴同理可求直线的解析式为． 当时， 解得（与点重合，不合题意舍去），． ∴点的坐标为． 综上，满足条件的点的坐标为或． 23．（2026·重庆·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且经过点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，连接、，点、为轴上的动点（点在点的左侧），且，连接、．当的面积取得最大值时，求四边形周长的最小值； (3)在（2）中的面积取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点为抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出求解点的横坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1)； (2)； (3)或或或；过程见解析 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过作轴交于，求出直线的解析式为，设，则，当时取最大值，此时，将沿方向平移2个单位至，此时，作关于的对称点，连接，当且仅当、、三点共线时取得最小值，即可求解； （3）根据平移得出新抛物线的解析式，分两种情况讨论：①当与轴的交点在负半轴时，设交点为；②当与轴的交点在正半轴时，设交点为，利用相似三角形求出、的坐标，再求出抛物线与直线的交点的横坐标，即可得解． 【详解】（1）解：抛物线经过与， ，解得， 抛物线表达式为：； （2）解：如图，过作轴交于， 令，则， ， ， 越大，越大， 设直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为， 设，则， ， ，开口朝下， 当时取最大值，此时， 将沿方向平移2个单位至，此时，作关于的对称点，连接， ， ， ， 当且仅当、、三点共线时取得最小值， ，， 四边形周长的最小值为； （3）解：， 将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线， 抛物线向右平移3个单位长度，向上平移1个单位长度得到抛物线， 新抛物线的解析式为， 令，则， 解得：，， ， ①当与轴的交点在负半轴时，设交点为，此时，过点作轴于点， 由（2）可知，， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为， ，解得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：或； ②当与轴的交点在正半轴时，设交点为，此时，过点作轴于点， 同理可证，， ， ， ， ， 直线的解析式为， 联立， 解得：或； 综上所述，点的横坐标为或或或． 24．（2026·重庆巴南·模拟预测）抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点．点C与点E关于抛物线的对称轴对称． (1)求该抛物线的解析式； (2)点F是对称轴上一动点，点P为直线下方抛物线上一动点，过点P作y轴的垂线，交于点H．当线段的长度最大时，求周长的最小值； (3)在第（2）问的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，新抛物线与y轴交于点G，点M为抛物线上一动点．若，请直接写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M的坐标其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2) (3)解：∵ ，， ∴， ∴ 将抛物线沿射线方向平移个单位，即向左平移个单位，向下平移个单位， ∴ 新抛物线， 将代入得， ∴ ， ∴ ， ①当点在上方时，如图，设抛物线交轴的负半轴于点， 将代入得， 解得或， ∴ 抛物线与轴负半轴交于点， ∴ ， 在和中， ， ∴ ， ∴， ∵ ，， ∴ 是等腰直角三角形， ∴ ， ∴ ， ∴ 点满足条件，即， ②当点在下方时， 作点关于的对称点，连接， 由对称性得，， 由对称性知垂直平分，由对称可知， ∴， 故射线上(除G外)任意一点M均满足 ∴ ， ∴ ， 设直线的表达式为， 将，代入得， 解得：， ∴ 直线的表达式为， 联立， 解得或， ∴ ， 综上，符合条件的点的坐标为或． 点的坐标为或 【分析】（1）已知抛物线顶点，利用顶点式直接写出解析式，再验证过点． （2）先由抛物线解析式求出对称点的坐标和直线的表达式，设的横坐标为参数，表示的长度并求最大值，确定的位置；再利用轴对称将军饮马模型求的最小值． （3）根据平移向量求出新抛物线表达式，确定点坐标；通过构造全等三角形和等腰直角三角形，将角度条件转化为；先利用对称性找出一个满足条件的点，再作对称点求出直线与抛物线的另一交点． 【详解】（1）解：∵ 抛物线顶点为， ∴ 设抛物线解析式为， 又∵ 抛物线过点， ∴ ， 解得：， ∴ ． （2）解：由得，对称轴为直线， ∵ 点与点关于对称轴对称， ∴ ， 设直线的表达式为， 将，代入得， 解得：， ∴ 直线的表达式为， 设，过作轴的垂线交于， 则的纵坐标为， 代入得， ∴ ， ∴ 当时，最大，此时， ∴ ， 作点关于直线的对称点， ∵ 在对称轴上， ∴ ， ∴ 的周长， ∵ ， ∴ 周长的最小值为． （3）略 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题06二次函数中的角度存在性问题的四种模型 题型归纳 题型一二次函数中的等角存在性问题 题型二二次函数中的倍角存在性问题 题型三二次函数中的特殊角存在性问题 题型四二次函数中的角和差等量关系存在性问题 题型专练 题型一：二次函数中的等角存在性问题 1.(23-24九年级下湖南湘潭自主招生)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=+bx-4 与x轴交于A(-1,0),B(4,0)两点，与y轴交于点C,连接BC. B 图1 图2 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)点D为抛物线上一点且在x轴上方，满足∠DBA=∠ACO,求D点坐标 (3)点M为线段BC上一动点（不与B,C重合），过点M作MP⊥x轴于点P,交抛物线于点N.如图2， 在抛物线上找一点Q,连接AM,QN,QP,使得△PON与△APM的面积相等，求线段QN长度的最小值，并 写出此时Q点坐标. 2.(2026宁夏固原三模)如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=x+bx+3(a≠0)与x轴交于 A(-1,0),B(3,0)两点，与y轴交于点C. 1/11 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 OE B 图1 图2 (1)求该抛物线的解析式： (2)若点P是抛物线上位于第一象限的动点，当∠BCP=∠ABC时，求此时点P的坐标： (③)如图2，将原抛物线水平向右平移，使点A落在点E(1,0)处，点M是原抛物线对称轴上任意一点，在平 移后的新抛物线上确定一点N,使得以点B、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，求出所有符合 条件的点N的坐标， 3.(2026海南三亚模拟预测)如图，抛物线y=-x2+br+c经过点A和点B(1,0),与y轴交于点C(0,3) P B B 备用图 (1)求该抛物线的函数表达式： (2)点P是抛物线上的动点，且位于'轴的左侧 ①当点P为抛物线顶点时，求四边形APCO的面积： ②连接PB、AC,当∠PBA=∠CAB时，求P点的坐标. (3)将抛物线的图象向右平移n个单位长度后，当0≤x≤2，且该函数的最大值与最小值的差为1时，请直 接写出n的值. 4.(2026黑龙江绥化三模)如图①，抛物线y=一4 2+br+c与y轴交于点A与x轴交于点B,C,直 线AD:y=-x+4与x轴交于点D,交y轴于点A(0,4),已知点B(-2,0). 2/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 YA 图① 图② (1)求抛物线的函数解析式： (2)如图②，若点P是直线AD上方抛物线上的一个动点，当点P到直线AD的距离最大时，求点P的坐标 和最大距离： (③)直线AD上是否存在点2，使得∠QCD=∠AB0,若存在，请直接写出点P坐标.若不存在，请说明理 由. 5.(25-26九年级下湖北武汉阶段检测)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax+ax+2经过点 (2,4),与x轴交于A,B两点，与y轴交于C点. 0 (1) (2) (I)直接写出a的值和A,B两点的坐标： (2)如图(1)，点E是抛物线上一点，且满足∠EAB=∠BCO,求点E的坐标： (3)如图(2)，点M,N是抛物线对称轴上两点，直线AM,AW分别交抛物线于点P,O,设点M, N的纵坐标分别为m,n,mn=-3,求点A到直线PQ的距离的最大值 6.(2026九年级下福建泉州专题练习)如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x+bx+3的顶 点为D(L,4)且图象经过点B(3,0),与y轴交于点C. 3/11 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 (1)求抛物线的表达式： (2)如图2，连接CB,DB,若抛物线上存在点E,满足∠CBD=∠BDE,求点E的坐标 题型二：二次函数中的倍角存在性问题 7.(2024山东淄博二模)如图，抛物线y=ax2+bx+4交x轴于A(-1,0)、B(3,0)两点，交y轴于点C, 连接BC 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)点P是抛物线上一点，设P点的横坐标为m. ①当点P在第一象限时，过点P作PD⊥x轴，交BC于点D,过点D作DE1y轴，垂足为E,连接PE, 当△PDE和△BOC相似时，求点P的坐标； ②请直接写出使∠PBA= ∠ABC的点P的坐标. 8.(2026黑龙江齐齐哈尔·二模)综合与探究 如图，能物骏y=++c经过点B0)和点C0,2小.与的月个交点为4.连这AC~BC 4/11 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 图3 (1)求抛物线的解析式及点A的坐标； (2)如图1，点D是线段AC的中点，连接BD,若点E在y轴上，使得△BDE是以BD为斜边的直角三角形， 则点E的坐标为 (3)点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PO‖y轴，分别交BC、x轴于点MN. ①如图2，当∠PCM=2∠OBC时，请求出满足条件的点P的横坐标. ②如图3，连接OM,将OM绕点O按顺时针方向旋转90°得到OG,连接AG,线段AG长度的最小值为 9 9. (2026山东烟台一模)如图，抛物线y=ar+4x+c与x轴相交于点A(-1,0)和点g'与y轴相交于点 4 C(0,3),作直线BC. B A B 备用图 (1)求抛物线的表达式： (②)若在直线BC上方的抛物线上有一动点P,连接OP交直线BC于点D,若Sco:Sco=T:4,求点P的 坐标： (3)若在直线BC上存在一点O,使∠AQB=2∠OCB,求点O的坐标， 10.(2026四川南充二模)已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-3,0),B两点，与y轴交于点 C(0,3). 5/11 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 (1)求抛物线的解析式： (②)如图1，点M为抛物线上第二象限内一点，若∠BMC=2∠ABM,求点M的坐标： (3)如图2，经过点(-3，-)的直线y=x+n分别与抛物线在第二、三象限交于P,2两点，连接BP、BQ, 分别交y轴于E、F两点.探究OEOF是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由 苏苏州一模)如图，抛物线yr+br+©与x轴相交于A、B两点（点A 5 与y轴相交于点C(0,2),对称轴为直线x= 2 (1)求该抛物线的函数表达式： (2)若点P在直线BC上，且∠PAB=3∠CBO,求点P的坐标， 12.(25-26九年级上江苏无锡阶段检测)如图，一条抛物线y=ar+br+2与x轴相交于4(-1,0)， 3 B(3,0)两点，与y轴相交于点C,顶点是点D· D R (1)求抛物线对应的函数表达式 ②点p是抛物线上的点，当∠ABC=∠PAB时，请直接写出满足条件的点p坐标： 2 6/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3 (3)将抛物线y=ar+br+2向左平移1个单位，向下平移3个单位得到一条新抛物线，它的顶点为0，直 线1过点F(O,-2),且与抛物线交于点M、N.MG⊥x轴于点G、NHLx轴于点H,求证： 111 MG'NHOg· 题型三：二次函数中的特殊角存在性问题 13. (2026宁夏银川三模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ar2+c（a≠0)经过点A(-2,0)、 C(0,-4)两点，与x轴交于A、B两点. 备用图 (1)求该抛物线的表达式并写出B点坐标： (2)在抛物线上是否存在点P,使得∠PAB=45°，若存在，求出P点坐标：若不存在，说明理由： (3)将抛物线沿x轴向左平移n(n>0)个单位长度，若平移后的抛物线与直线y=x+2相切（只有一个交 点)，求n的值. 14.(2026广西南宁三模)在平面直角坐标系中，抛物线C:y=ax+(3a-)x-3(a≠0)与x轴交于A、 B两点（点A在点B左侧），与少轴交于点C.直线经过B、C两点， (I)求点B、C的坐标，并求直线的函数解析式（用含a的代数式表示）： (2)当a>0时，若自变量x满足-1≤x≤2时，函数y的最大值与最小值之差为5，求a的值： (3)设线段BC的中点为M,点V在抛物线上，且∠BMN=45°，若满足条件的点N恰好有2个，直接写 出a的取值范围 15.(2026九年级下·天津红桥·学业考试)已知抛物线y= )x2+bx+c(b,c为常数)与x轴相交刀 A(-l,O),B两点，与y轴相交于点C(O,3).M为x轴下方抛物线上横坐标为m的点，连接MB. (1)求该抛物线的解析式和点B的坐标： (2)当∠MBC=45°时，求m的值； (3)过点M作x轴的平行线与抛物线相交于点P,过点M作y轴的平行线与直线BC相交于点Q,若 7/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 MP=MQ,求m的值. 16.(2023新疆乌鲁木齐模拟预测)如图所示.抛物线y=a2+bx+3经过点A(-1,0)和点B(2,3), F (1)求抛物线解析式和顶点D的坐标： 11 (②)若直线y=2+2与抛物线交于点A,C,点P在抛物线上，过点P作x轴的垂线，交直线4C于B,抛 物线的对称轴与直线AC交于F. ①设点P的横坐标为，当以点P,D,E,F为顶点的四边形是平行四边形时，求的值： ②在直线AC上方的抛物线上是否存在点P,满足∠PCA=45°，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说 明理由. 17.(2026四川成都二模)如图，在平面直角坐标系x0中，抛物线L：y=一2 X+bx+c与x轴的左右 两个交点分别为点4(-L0和点反与交于点90引 (1)求抛物线的解析式： (2)在第一象限内抛物线上取点D,使∠DCB=45°，求点D的坐标： (3)若抛物线L,:y=ax2+mx(a<0)的对称轴与抛物线L的对称轴相同，过点C的直线：y=:+n (k<0)交抛物线L于点P,问是否存在某种情况，使抛物线L与直线I有且只有一个公共点，且这个公共 点恰好是线段CP的中点？若存在这种情况，请求出α和k的值；若不存在，请说明理由. 18.(2026湖北荆门一模)如图，己知二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴交于点A(4,0)和点B,与 y轴交于点C(0,4),连接AC.点P为x轴上方抛物线上一动点（点P不与点C重合），设点P的横坐标 8/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 为t. B (1)求该二次函数的解析式 (2)连接PC,当∠PCA=45°时，求t的值： (3)设以A,O,C,P为顶点的四边形的面积为$， ①求S关于t的函数解析式： ②根据$的不同取值，试探索点P的个数情况， 题型四：二次函数中的角和差等量关系存在性问题 19.(25-26八年级下·重庆期末)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+br+c与x轴交于 A,B(3,O)两点，与y轴交于点C,抛物线的对称轴是直线x=1. VA B B 备用图 (1)求抛物线的表达式： (②)点P是直线BC上方抛物线上一动点，连接BP,CP,点D,E为抛物线对称轴上的动点，点E在点D的下 方，且DE=多，连接Pn5,当，BCP的面积取得绿大植时.求点P的丝标及BE+PD的最小位： (3)在(2)中△BCP的面积取得最大值的条件下，将抛物线沿射线CB的方向平移3√2个单位长度得到抛物 线y',点M为点P的对应点，点N为抛物线y上一动点，若∠NAB+∠OCM=90°，请直接写出所有符合 条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程， 20.(25-26八年级下·重庆期末)如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A(-3,0八B(1,0)两点， 与y轴交于C(0,3),连接AC. 9/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B B 图1 图2 (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点P是线段AC上方抛物线上的一动点，连接AP、CP.抛物线的对称轴为直线I,点O为y轴 上的动点，QH⊥I于点H.当△APC面积取得最大值时，求点P的坐标及PO+H0的最小值； (3)如图2，将抛物线沿射线CA方向平移3V2个单位长度得到新抛物线，点M为抛物线与x轴的左侧 交点，点N为抛物线上的一动点，若∠NMC+∠CAB=∠MCO,请直接写出所有符合条件的点N的横 坐标. 21.(2026福建三明模拟预测)已知二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象与x轴交于A(-1,0)、B两 点，与y轴交于点C,其对称轴为直线x=1. (1)当a=-1时，求该二次函数的表达式： (2)求证：5a+c<0: (③)若点C的坐标为(O,3),且点P为直线BC上方的抛物线上的一点，过点P作PD‖y轴，交直线BC于点 D ①若以C,P,D为顶点的三角形与△BOC相似，请求出所有满足条件的点P的坐标； ②是否存在点P,使得∠PBC+∠AC0=45°？若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由. 22.(2026天津西青二模)己知抛物线y=x2-2mx-2m-1(m是常数且m>0)与x轴交于点A,B (点A在点B的左侧)，与y轴交于点C,其顶点为D,O是坐标原点. (1)若m=2, ①求该抛物线的顶点D和点C,B的坐标： ②抛物线上一点P在直线CB下方，其横坐标为t,过点P作直线I∥CB,当直线I与直线CB之间的距离取 得最大值时，求点P的坐标. (②)当CB+CD取得最小值时，该抛物线上存在一点M,满足∠CBM=∠ACB-2∠ACO,求点M的坐标. 23.(2026重庆·模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+br+2与x轴交于A(-6,0),B 10/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 两点，与y轴交于点C,且经过点(-2,4) VA (1)求抛物线的表达式： (2)点P是直线AC上方抛物线上的一动点，连接AP、CP,点D、E为x轴上的动点（点E在点D的左 侧)，且DE=2,连接PE、CD.当△APC的面积取得最大值时，求四边形PCDE周长的最小值： (3)在(2)中△APC的面积取得最大值的条件下，将抛物线y=ax2+br+2沿射线AC方向平移V0个单位 长度得到抛物线y,点K为抛物线y上的一动点.若∠ACO=∠KPB+45°，请直接写出所有符合条件的点 K的横坐标，并写出求解点K的横坐标的其中一种情况的过程 24.(2026重庆巴南模拟预测)抛物线y=x2+bx+C与x轴交于AL,0),B两点，与y轴交于点C,抛物 线的顶点为点D(2,-).点C与点E关于抛物线的对称轴对称。 OA B 备用图 (1)求该抛物线的解析式： (2)点F是对称轴上一动点，点P为直线DE下方抛物线上一动点，过点P作y轴的垂线，交DE于点H. 当线段PH的长度最大时，求△PFE周长的最小值： (3)在第(2)问的条件下，将抛物线沿射线EB方向平移V10个单位长度得到新抛物线y',新抛物线y与y 轴交于点G,点M为抛物线y上一动点.若∠PGM-45°=∠OCA,请直接写出所有符合条件的点M的坐 标，并写出求解点M的坐标其中一种情况的过程， 11/11