专题05 二次函数中的特殊四边形存在性问题的四种模型（高效培优专项训练）数学新教材浙教版九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数与特殊四边形存在性的综合应用，按平行四边形、矩形、菱形、正方形分题型系统训练，强化几何直观与代数推理的结合。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平行四边形存在性问题|6题|考查顶点坐标关系及分类讨论|二次函数性质与平行四边形对边平行且相等的融合，培养模型意识| |矩形存在性问题|6题|结合直角条件与对角线性质|在平行四边形基础上应用矩形判定定理，发展推理能力| |菱形存在性问题|5题|侧重四边相等及轴对称性|融合菱形四边相等与二次函数动点坐标表示，提升抽象能力| |正方形存在性问题|6题|综合边角关系与坐标系变换|正方形性质与二次函数图像的综合应用，强化数学思维的严谨性|

专题05 二次函数中的特殊四边形存在性问题的四种模型 题型一 二次函数中的平行四边形存在性问题 题型二 二次函数中的矩形存在性问题 题型三 二次函数中的菱形存在性问题 题型四 二次函数中的正方形存在性问题 题型一：二次函数中的平行四边形存在性问题 1．（25-26九年级上·江西宜春·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过x轴上的点A，直线与抛物线在第一象限交于点．若以A，O，B，N为顶点的四边形是平行四边形，则点N的坐标是_____． 【答案】或或 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的应用及平行四边形的性质，先根据题意求出点A的坐标并得到的值，再利用待定系数法求出直线的解析式，最后分类讨论，结合图形利用平行四边形的性质列出方程计算求解即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴交点A，O， ∴，即， 设直线的解析式为，将点A，B分别代入得 ，解得， ∴直线的解析式为， 如图，以点A，O，B，N为顶点的四边形是平行四边形，分以下三种情况： ①当以为对角线，四边形为平行四边形，，且， 设， 则，，， ∴点， ②当以为对角线，四边形为平行四边形，，且， 设， 则，，， ∴点， ③当以为对角线，四边形为平行四边形，，且， 设， ∵，， ∴，， ∴点， 综上所述，以点A，O，B，N为顶点的四边形是平行四边形，则点N的坐标是或或． 故答案为：或或． 2．（2026·陕西商洛·二模）已知抛物线与轴交于，两点． (1)求，的值； (2)若抛物线与抛物线关于轴对称，抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，则在抛物线或上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)符合条件的点坐标为或 【分析】（1）将点代入求解即可； （2）先求解抛物线的函数表达式，再分类当为边时，与当为对角线时这两种情况，作图求解坐标即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于，两点， ，解得， 即； （2）解：存在，        由（1）得抛物线， 抛物线与抛物线关于轴对称， 抛物线与抛物线上对应点的横坐标相反，纵坐标相等， ， 抛物线的函数表达式为， 令，解得，， 点在点左侧， ，， 当时，，          以点，，，为顶点的四边形为平行四边形， ①当为边时，有，且， ， 如答案图①，当点在抛物线上时， ， 解得，（舍去）， ，且， 点符合题意；        如答案图②，当点在抛物线上时， 同理， 解得，（舍）， ，且， 点符合题意；        ②当为对角线时，令的中点为， ，，， ， 令， 则，得，，得， 则， 将代入中，得， 将代入中，得， 点不符合题意． 综上所述，符合条件的点坐标为或 3．（2024·山东·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，已知抛物线交x轴于点A、B，交y轴于点C．连接．已知，，． (1)求抛物线的表达式； (2)已知点D为线段上方抛物线上的一个动点，连接．连接，分别交y轴与于点E、F．当四边形的面积最大时，求直线的表达式及此时的面积； (3)点P为抛物线上的一个动点，当四边形的面积最大时，抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得四边形为平行四边形？若存在，请求出平行四边形的面积；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在， 【分析】（1）根据．可求得，设抛物线的表达式的抛物线为：，将代入即可求解； （2），为定值，故求出的最大值即可求解；根据即可求解； （3）根据平行四边形对角线互相平分可求出点的坐标，继而根据即可求解； 【详解】（1）解：∵，． ∴ 设抛物线的表达式的抛物线为：， 将代入可得： 解得： ∴ （2）解：设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 过点作轴的平行线交直线于点，如图所示： 设点，则 ∴ ∴当，即点时，有最大值，且最大值为； ∵，为定值 ∴此时也最大 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 令可得，即 联立，解得： ∴ ∴ （3）解：由，可知：抛物线的对称轴为直线， 由（2）可得， 设 若四边形为平行四边形，则， 解得： ∴ 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 过点作轴的平行线交直线于点，如图所示： 则，即 ∴ 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及了一次函数的解析式求解，平行四边形的存在性问题，二次函数的性质等知识点，综合性较强，掌握函数的相关知识点是解题关键． 4．（23-24九年级下·内蒙古呼和浩特·开学考试）如图，已知抛物线与轴分别交于两点，与轴交于点为抛物线的顶点． (1)抛物线的对称轴上是否存在点，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (2)将抛物线关于轴对称得到新的抛物线，在抛物线上是否存在一点，在抛物线上是否存在一点，使得以为边，且以点四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出两点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点的坐标为或或或； (2)，或，． 【分析】（）求出点坐标及抛物线对称轴，分和两种情况利用平面内两点间距离公式列出方程解答即可求解； （）根据对称性求出新的抛物线的顶点坐标，进而得到新抛物线的解析式，由点坐标得，根据平行四边形的对边相等可得，设)，则点或，分和两种情况解答即可求解； 本题考查了二次函数的图象和性质，求二次函数解析式，二次函数与几何图形，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键 【详解】（1）解：存在． 令， 解得，， ∴，， ∴， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点在抛物线的对称轴上， ∴设， 当时，即， 解得，； 当时，即， 解得，； 综上所述，点的坐标为或或或； （2）解：存在． ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线关于轴对称得到新的抛物线， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的解析式为， ∵，， ∴， ∵以点四点为顶点的四边形是平行四边形， ∴， 设)，则点或， ①当时， 则， 解得， ∴， ∴，； ②.当时， 则， 解得， ∴， ∴，； 综上所述，点的坐标分别为，或，． 5．（25-26九年级上·四川达州·阶段检测）如图，已知二次函数的图象与x轴分别交于点A和点B，与y轴交于点C． (1)求线段的长； (2)若该抛物线的顶点为点D，求的面积． (3)在坐标平面内是否存在一点M，使得以A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出M点坐标，若不存在，请说明理由 【答案】(1)4 (2)3 (3)存在，的坐标为 【分析】（1）在二次函数中，令，得，解出一元二次方程即可得答案； （2）连接，先求出顶点，再根据的面积求解即可； （3）设，根据平行四边形的性质，对角线互相平分，分以下三种情况：若以为对角线，若以为对角线，若以为对角线，分别进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：在二次函数中，令，得 解得， ， ； （2）解：如图，连接， 由得顶点． 令，得，即． 的面积 ； （3）解：存在点使得以为顶点的四边形是平行四边形． 设． 根据平行四边形的性质，对角线互相平分，分以下三种情况： 若以为对角线，则的中点与的中点重合： 则，解得， ． 若以为对角线，则的中点与的中点重合： 则，解得， ． 若以为对角线，则的中点与的中点重合： 则，解得， ． 综上所述，满足条件的点的坐标为． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象与x轴的交点问题，二次函数的图象和性质，三角形的面积，平行四边形的性质及应用等知识，运用分类思想是解题的关键． 6．（2026·宁夏银川·二模）综合与探究 如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)点是直线下方的抛物线上一动点，连接，，，当四边形的面积最大时，求点的坐标． (3)点是抛物线上一动点，在轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3)在轴上存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形；点的坐标为或或或 【分析】（1）根据待定系数法求抛物线解析式； （ 2 ）过点作轴于点，交于点．设，则，，进而根据二次函数的性质求得取得最大值时，的值，进而求得点的坐标； （3）分情况讨论，根据抛物线的性质以及平行四边形的性质先求得的坐标进而求得点的坐标． 【详解】（1）解：二次函数的图象与轴交于两点， 将点，点的坐标分别代入得：， 解得：， ∴该抛物线的表达式为； （2）解：二次函数与轴交于点， 当时，得：， ， 设直线的表达式为， 将点的坐标代入得：， 解得：， ∴直线的表达式为， 如图1，过点作轴于点，交于点． 设，则， ， ， ， ， ， ∴当时，取最大值，最大值为，此时点的坐标为； （3）解：设． ∵， 如图2，①当为平行四边形的对角线时， 由中点坐标公式，得：， 解得：（不合题意，舍去）或， ； ②当为平行四边形的对角线时， 由中点坐标公式，得：， 解得：或， 或； ③当为平行四边形的对角线时， 由中点坐标公式，得：， 解得：（不合题意，舍去）或， ． 综上所述，在轴上存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形；点的坐标为或或或． 题型二：二次函数中的矩形存在性问题 7．（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）如图，已知二次函数图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，在对称轴上存在一点P，使以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形，写出此时点P的坐标______． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的性质，平行四边形的性质． 根据二次函数的性质求出，，设，根据平行四边形的性可知，即，即可求出点P的坐标． 【详解】解：当时，，则， 当时，， 解得：， ∴， 设， ∵以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， 即或． 故答案为：或． 8．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，抛物线与轴交于，，顶点为． (1)抛物线的解析式是___________，顶点D的坐标是___________，对称轴是___________． (2)为抛物线上一点，当时，求M点坐标． (3)点E是y轴上的一个动点，点F是坐标平面内一个动点，是否存在这样的点E，F使得四边形是矩形？若存在，求出E，F的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，顶点D的坐标是，对称轴是直线； (2)； (3)， 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）如图，把绕着点逆时针旋转到位置，过点作轴于点，可证，得到，，即可得，过点作的垂线交于点，交抛物线于点，可知，，利用中点坐标公式可得，再利用待定系数法求出直线的函数解析式，最后联立两函数解析式解方程组即可求解； （）先求出顶点的坐标，设，，画出图形，利用矩形的性质和勾股定理解答即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，把代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴顶点D的坐标是，对称轴是直线； （2）解：如图，把绕着点逆时针旋转到位置，过点作轴于点，则，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 过点作的垂线交于点，交抛物线于点， ∵，， ∴，， 即点为的中点， ∴， 即， 设直线的函数解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 由，解得，， ∴； （3）解：存在． ∵， ∴， 设，， 如图， ∵， ∴， 整理得，， ∴， ∴， ∴对角线交点的坐标为， ∴，， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，旋转的性质，余角性质，全等三角形的判定和性质，二次函数与一次函数的交点问题，等腰三角形的性质，勾股定理，矩形的性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 9．（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，抛物线与轴交于和两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图，将原抛物线向左平移4个单位长度得到抛物线，与原抛物线相交于点，点为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为矩形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或或或 【分析】本题考查了二次函数与特殊的平行四边形综合，勾股定理． （1）待定系数法求抛物线表达式即可； （2）由题意知，平移后函数解析式为，联立得，解得，，即；由为原抛物线对称轴上的一点，设，，由题意知，以点，为顶点的四边形为矩形，分以为边，以为对角线两种情况求解：①当以为边，时，则，为对角线，，，，由勾股定理得，，即，解得，，则，由，的中点坐标相同，可得，计算求解可得点坐标；同理对当以为边，当时，则，为对角线；②当以为对角线，时，，为对角线； 分别计算求解即可． 【详解】（1）解：将和代入，得， 解得， 抛物线的函数表达式为； （2）解：由题意知，， ∴平移后函数解析式为， 联立得， 解得，， ∴； ∵为原抛物线对称轴上的一点， ∴设，， 由题意知，以点，为顶点的四边形为矩形，分以为边，以为对角线两种情况求解： ①当以为边，时，则，为对角线， ∴，，， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴， ∵，为对角线， ∴，的中点坐标相同， ∴， 解得，， ∴； 当以为边，当时，则，为对角线， 同理，即， 解得，， ∴， ∵，的中点坐标相同， ∴， 解得，， ∴； ②当以为对角线，时，，为对角线， ∴，，， 由勾股定理得，，即，整理得，， 解得，或， ∴或 当时， ∵，中点相同， ∴， 解得，， ∴； 当时， ∵，中点相同， ∴， 解得，， ∴； 综上所述，存在点，且或或或． 10．（25-26九年级上·吉林四平·期中）如图所示，二次函数的图象与轴的一个交点为，另一交点为，且与轴交于点． (1)求的值； (2)求点的坐标； (3)该二次函数图象上有一点，使，求点的坐标； (4)若点在直线上，点是平面上一点，是否存在点，使以点、点、点、点为顶点的四边形为矩形？若存在，请你直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为 (4)存在，点的坐标为或 【分析】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，二次函数与坐标轴的交点，面积问题，矩形的性质，正方形的性质与判定； （1）直接将的坐标代入二次函数解析式可求出，从而得到二次函数的解析式； （2）令，解方程得点坐标； （3）由，同底等高的两个三角形面积相等，得出，进而分类讨论，当在轴上方时，由抛物线的对称性可得的坐标，当在轴的下方时，，代入函数解析式求得横坐标，即可求解； （4）分是矩形的边或对角线两种情况，通过画图，利用数形结合法求解即可． 【详解】（1）解：将代入二次函数解析式， 得． 解得，． （2）由（1）可得，二次函数解析式为， 令，得． 解得或． ∴点的坐标为． （3）在中，令，得，则点的坐标为， ∵， ∴ 当当在轴的上方时，点、关于二次函数对称轴对称． ∵由二次函数解析式可得其对称轴为，点的坐标为， ∴点的坐标为． 当在轴的下方时，， 当时，， 解得：， ∴点的坐标为， 综上所述，点的坐标为； （4）设直线的解析式为：，代入， 则， 解得， ∴直线的解析式为：， 如图， 若为矩形的对角线， ∵， ∴， ∵ ∴，，矩形是正方形 ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，平分， ∴，， 若为矩形的边， 同理可得，矩形是正方形， 由，，得，， 综上所述，存在，，使能构成矩形． 11．（25-26九年级上·广西崇左·期末）如图，抛物线的对称轴是直线，与x轴交于点A、B两点，且A点的坐标为，与y轴交于点． (1)求抛物线解析式及顶点D坐标； (2)点E为抛物线上一点，且，则点E的坐标为 　 　； (3)点F为线段上任意一点，过点F作轴于点M，直线交抛物线于点N，求线段的最大值； (4)点P是抛物线对称轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在一点Q，使以点A、C、P、Q为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3) (4)存在，或或或 【分析】（1）利用待定系数法和配方法解答即可； （2）根据题意，得，然后根据二次函数的解析式，确定一元二次方程，解方程即可； （3）先确定直线的解析式为：．设，则， 则， 根据抛物线性质解答即可． （4）设，，，，故，分或或为对角线时，利用中点坐标公式解答即可． 此题属于二次函数的综合问题，考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的最值，中点坐标公式，矩形的判定和性质等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质并能利用分类讨论思想求解点N的坐标是解答此题的关键． 【详解】（1）解：由题意得： ， 解得：， 则抛物线的表达式为：； ， 故抛物线的顶点． （2）解：， ， 解得， 故， 根据题意，得， ∵， ， 即， 则， 或， 或， 解得或无解， 故或， 故答案为：或． （3）解：设直线的解析式为， 将，代入直线解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：， 设，则， 则， 故， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当，最大，且最大值为． （4）解：存在，理由： 设，，，， 故， 当为对角线时， 由中点坐标公式得： 解得：或，， 故或； 当为对角线时， 由中点坐标公式得： ， 解得， 故； 当为对角线时， 由中点坐标公式得： ， 解得， 故； 故存在点Q，使得A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形且坐标为或或或． 12．（23-24九年级上·广东中山·期中）定义：在平面直角坐标系中，当点在图形的内部，或在图形上，且点的横坐标和纵坐标相等时，则称点为图形的“梦之点”． (1)如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形ABCD“梦之点”的是______； (2)如图②，已知点A，B是抛物线上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点．连接，判断的形状并说明理由． (3)在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P、Q，使得以为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)是直角三角形 (3)点的坐标为或 【分析】（1）根据“梦之点”的定义判断这几个点是否在矩形的内部或者边上即可得到答案； （2）根据“梦之点”的定义求出的坐标，再求出顶点的坐标，计算出的长，根据勾股定理逆定理得出是直角三角形，最后由三角形面积公式计算即可得到答案； （3）由（2）可得，，求出直线的解析式为，由菱形的性质可得点、在直线上，联立，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：矩形的顶点坐标分别是，， 矩形的“梦之点”满足，， 点是矩形的“梦之点”，不是矩形的“梦之点”． （2）点是抛物线上的“梦之点”， ， 解得：，， 当时，，当时，， ，， ， 顶点， ，，， ， 是直角三角形． （3）由（2）可得，， 设直线的解析式为：， 将代入得：， 解得：， 直线的解析式为：， 以为对角线，以为顶点的四边形是菱形， ， 点、在直线上， 点在二次函数上， 联立， 解得：，， 点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、坐标与图形、勾股定理以及勾股定理逆定理、菱形的性质、一次函数等知识，熟练掌握以上知识点，理解题意，采用数形结合的思想是解此题的关键． 题型三：二次函数中的菱形存在性问题 13．（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点，且关于直线对称． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，在轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在以，，，为顶点的四边形是菱形，边长为或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，菱形的性质，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）根据对称轴，求出，把点代入函数解析式，求出，即可得到函数解析式； （2）令，得，求出，设直线的解析式为：，根据待定系数法，求出函数解析式，设，则，得到 ，，，分类讨论：①当为边时，，②当为对角线时，，求出，即可得到菱形的边长． 【详解】（1）解：对称轴为直线， ，即． ． 将代入，得， 解得． 抛物线的函数表达式为． （2）解：存在． 令，得， ， 设直线的函数表达式为， 将代入，得， 解得， 直线的函数表达式为， 设，则， ，，， 当以，，，为顶点的四边形是菱形时，分为以下两种情况： ①当为边时，，即， 解得（不合题意，舍去），， 此时菱形的边长为； ②当为对角线时，，即， 解得（不合题意，舍去），， 此时菱形的边长为， 综上所述，存在以，，，为顶点的四边形是菱形，边长为或． 14·．（2026·湖北武汉·一模）如图，抛物线与轴交于和两点，在点左边，与轴交于点． (1)直接写出，，三点坐标； (2)如图，为中点，在抛物线上找一点，使，求出点坐标； (3)如图，将（）中的点和及抛物线均向下平移个单位，为新抛物线对称轴右侧上一点，直线与新抛物线交于唯一公共点，与轴交于，是否存在以为对角线的菱形，使点在轴上，点在延长线上，若存在，求菱形的面积，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，； (2)或； (3)存在，． 【分析】（）由抛物线得，当时，，当时，，解得，，从而得出，，三点坐标； （）分当点在上方时，当点在下方时，两种情况求解即可； （）由点和及抛物线均向下平移个单位，则平移后抛物线解析式为，设，则，则直线解析式为，与抛物线联立得，又直线与新抛物线交于唯一公共点，则， 解得，则解析式为，当时，，所以，设，因为四边形是菱形，所以，则，解得，故，由，，设，根据菱形性质求出，同理可得直线解析式为，解得，所以，，最后通过求解即可． 【详解】（1）解：由抛物线得， 当时，， 当时，， 解得，， ∴，，； （2）解：当点在上方时，在上取点，使，过作，交抛物线于点，交轴于点，如图， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，为中点， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， 设直线解析式为， ∴， 解得， ∴直线解析式为， 设直线解析式为， ∴， 解得， ∴直线解析式为， 联立， 解得（舍去）或， ∴； 当点在下方时，在上取点，使，过作，交抛物线于点，交轴于点，作点关于轴对称点，连接，交抛物线于点，如图， 由得直线解析式为，， 当时，， ∴， ∵点与点关于轴对称， ∴，垂直平分， ∴，， ∴， ∴，即， 设直线解析式为， ∴， 解得， ∴直线解析式为， 联立， 解得（舍去）或， ∴； 综上可得或； （3）解：∵点和及抛物线均向下平移个单位， ∴平移后抛物线解析式为， 设，则，设直线解析式为， 把代入得， ∴直线解析式为， ∴与抛物线联立得， ∴， ∵直线与新抛物线交于唯一公共点， ∴，整理得， 解得， ∴解析式为，当时，， ∴， 设， ∵四边形是菱形， ∴， ∴，整理得， 解得， ∴， 由，， 设， ∴，，解得，， ∴， ∵将（）中的点和及抛物线均向下平移个单位， ∴，， 同理可得直线解析式为， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∴． 15．（25-26九年级上·山东烟台·阶段检测）如图，已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，对称轴上是否存在点E，使周长最小，求出此时点E的坐标和周长最小值； (3)如图2，点F为第二象限抛物线上一动点，连接交于点D，，是否存在点F，使K取最大值，如果存在，求出此时点F的坐标和最值；若不存在，请说明理由； (4)已知点M是抛物线对称轴上一点，点N是平面内一点，点是第二象限抛物线上一点，点是线段上一点，轴，当线段取得最大值时，是否存在点M，N使得四边形是菱形，若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)；周长最小值 (3)时，取得最大值为； (4)存在，点M的坐标为或 【分析】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的性质与判定，轴对称的性质，菱形的性质，勾股定理，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）将点和点代入利用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）先求得点的坐标，根据抛物线的性质以及轴对称的性质，可得点即为抛物线对称轴与的交点，进而勾股定理求得的长，即可求解； （3）过点作轴交的延长线于点，设，则，证明，根据：，得出，根据二次函数的性质即可求解； （4）设，则得出关于的解析式，根据二次函数的性质，求得当时，线段取得最大值，进而得出，根据菱形的性质可得，建立方程，解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：将点和点代入得， 解得： ∴； （2）解：∵， ∴对称轴为直线， 当时，，则， 设直线的解析式为，将点代入得，， 解得： ∴直线的解析式为； ∵关于对称， 如图所示，连接交于点，连接， ∵ ∴当共线时，的周长最小，则点即为所求， ∴当时，，则； ∵，，， ∴，， ∴的周长为； （3）解：如图所示，过点作轴交的延长线于点， 设， ∵轴，的纵坐标等于的纵坐标， ∴的横坐标为，即 ∴， ∵，， ∴ ∵轴 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴当时，即时，取得最大值为； （4）解：依题意，设，则 ∴ 则当时，线段取得最大值 则， 又 ∴ ∵点是抛物线对称轴上一点，设，依题意，四边形是菱形， ∴ ∴ 解得： ∴点M的坐标为或． 16．（22-23九年级下·湖北黄冈·自主招生）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点A，B在x轴上，抛物线经过点B，两点，且与直线交于另一点E． (1)求抛物线的解析式； (2)F为抛物线对称轴上一点，Q为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q，E，B为顶点的四边形是以为边的菱形．若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由； (3)P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接，探究 是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在以点为顶点，以为边的四边形是菱形，点的坐标为或或或 (3)存在，的最小值为，此时点的坐标为 【分析】（1）由题意得，进而可得，，然后把点B、D坐标代入抛物线解析式求解即可； （2）设点，当以点为顶点的四边形是以为边的菱形时，则根据菱形的性质可分①当时，②当时，然后根据两点距离公式进行分类求解即可； （3）如图所示，连接，由题意得，四边形是平行四边形，进而可得，则有，若使的值为最小，则需为最小，即当点三点共线时，的值为最小，然后求最小值，设线段的解析式为，代坐标求解析式，然后求时的值即可． 【详解】（1）解：∵四边形为正方形，点坐标为 ∴，A点坐标为 ∴， ∴点坐标为 把点的坐标代入抛物线得： 解得： ∴抛物线的解析式为． （2）解：存在， 由（1）中抛物线解析式为，则有抛物线的对称轴为直线 ∵点D与点E关于抛物线的对称轴对称 ∴点坐标为 ∴由两点距离公式可得 设点坐标为，当以点为顶点的四边形是以为边的菱形时，则根据菱形的性质可分： ①当时，如图1所示： ∴由两点距离公式可得，即 解得： ∴点F的坐标为或； ②当时，如图2所示： ∴由两点距离公式可得，即 解得： ∴点F的坐标为或； 综上所述：存在以点为顶点，以为边的四边形是菱形，点的坐标为或或或． （3）解：存在， 如图3所示： 由（2）可知点D与点E关于抛物线的对称轴对称，点坐标为 ∴ ∵过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为 ∴， ∴四边形是平行四边形 ∴ ∴ 若使的值为最小，即为最小， ∴当点三点共线时， 的值为最小，此时与抛物线对称轴的交点为M，如图4所示： ∵点坐标为 ∴ ∴的最小值为，即的最小值为， 设线段的解析式为，代入点D的坐标得， 解得 ∴线段的解析式为 当时， ∴点坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，正方形的性质，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，坐标系中两点间的距离公式等知识．解题的关键在于对知识的综合灵活运用． 17．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）已知直线与x轴交于A  ，与y轴交于点B，抛物线与x轴交于A ，C两点，与y轴交于点B (1)求这个抛物线的解析式 (2)若P是直线上方抛物线上一点，存在点P使得，求点P的坐标 (3)在对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小，若存在，请直接写出Q点坐标，若不存在，请说明理由 (4)点M在x轴上，在坐标平面内是否存在点N，使以A  ，B  ，M，N为顶点的四边形是菱形，若存在直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 (3)存在， (4)存在，或或 【分析】（1）先求出点，点的坐标，利用待定系数法求解即可； （2）先求出点C的坐标，再求出，过点P作x轴的垂线，交直线于点H，设，则，求出，由，结合，建立方程求解即可； （3）作点O关于抛物线对称的对称点E，则，则，由为定值，当三点共线时，有最小值，即有最小值，则的周长最小，利用待定系数法求出直线的解析式，令，代入计算即可得到结果； （4）分为对角线和边两种情况，利用菱形的性质，求解即可． 【详解】（1）解：直线与x轴交于A  ，与y轴交于点B， 令，，令，， ， 将代入抛物线，则， 解得：， 抛物线的解析式为：； （2）解：存在， 抛物线与x轴交于A ，C两点， 令，则， 解得：， 根据题意得， ， ， 如图，过点P作x轴的垂线，交直线于点H， 设，则， ， ， ， ，即， 解得：或， 点P的坐标为或； （3）解：存在， 作点O关于抛物线对称的对称点E，连接， 抛物线的对称轴为， ，， 为定值， 当三点共线时，有最小值，即有最小值，则的周长最小， 设直线的解析式，则， 解得：， 直线的解析式， 令，则， ； （4）解：存在， 如图，当以为对角线时， 四边形为菱形， ， 点在x轴上， 点M在点A的左侧， 设， ， ， ， ， ，即， 解得：， ； 如图，当以为边时， 当点M在点A左侧时， 四边形为菱形，， ，， ； 如图，当点在点A右侧时， 同理得：； 综上，点N的坐标为或或 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的图象及性质，轴对称的性质，菱形的性质等，解题关键是熟练掌握并能够灵活运用二次函数的图象及性质．解题关键是找特殊点，充分利用对称轴，顶点坐标等知识． 题型四：二次函数中的正方形存在性问题 18．（25-26九年级上·全国·期末）如图，正方形的边在轴上，，定义：若某个抛物线上存在一点，使得点到正方形四个顶点的距离相等，则称这个抛物线为正方形的“友好抛物线”若抛物线是正方形的“友好抛物线”，则的值为__________． 【答案】或 【分析】本题主要考查正方形的性质，抛物线的性质，确定出到四个点距离相等的点的位置是解题的关键． 到四个点距离都相等的点为的交点，求出点的坐标，将点的坐标代入二次函数解析式，求出的值即可． 【详解】解：连接交于点， 由题意得，抛物线必经过点， 在正方形中，，， ， 则的交点， ∵在抛物线上， ， 整理得，即， 或 解得或． 故答案为：或． 19．（2024·陕西汉中·二模）如图，抛物线与x轴交于、两点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点N在坐标平面内，请问在抛物线上是否存在点M，过点M作x轴的垂线交x轴于点H，使得四边形是正方形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在的坐标为或时，使得四边形是正方形 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象及性质、二次函数综合问题． （1）利用将、代入，利用待定系数法即可求解； （2）由题意，设，四边形是正方形，可知，得则，分两种情况：当时，当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，将、代入， 得：，解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）存在的坐标为或时，使得四边形是正方形，理由如下： 由题意，设， ∵，四边形是正方形，轴，则， ∴， 则， 即：， 当时， 解得：，（舍去）， 则，即； 当时， 解得：，（舍去）， 则，即； 综上，存在的坐标为或时，使得四边形是正方形． 20．（24-25九年级下·山东菏泽·期中）如图，在平面直角坐标系中，将一个正方形放在第一象限斜靠在两坐标轴上，且点，的坐标分别为，，抛物线经过点． (1)求点的坐标； (2)求抛物线的表达式，并求出其顶点坐标； (3)在抛物线上是否存在点与点（点，除外）使四边形为正方形？若存在，请求出，的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，顶点坐标为； (3)， 【分析】（1）如图，作轴于点，证明出，得到，，进而求解即可； （2）利用待定系数法求出抛物线的解析式为，即可得到顶点坐标为； （3）如图，以为边在的左侧作正方形，过作于，轴于，同（1）可证，求出点坐标为，点坐标为．然后分别代入抛物线验证即可． 【详解】（1）如图，作轴于点， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴点坐标为； （2）∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为 ∴顶点坐标为； （3）在抛物线上存在点、，使四边形是正方形． 如图，以为边在的左侧作正方形，过作于，轴于， 同（1）可证， ∴，， ∴点坐标为，点坐标为． 由（2）抛物线， 当时，；当时，． ∴、在抛物线上． 故在抛物线上存在点、，使四边形是正方形． 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数和四边形综合，全等三角形的性质和判定，正方形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 21．（26-27九年级上·江苏·寒假作业）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与轴交于点，且关于直线对称． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，的取值范围是，求的值； (3)若点、在直线上，问：在该二次函数图象上是否存在点，，使得四边形是正方形？若存在，请直接写出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）分和，两种情况，结合二次函数的增减性进行求解即可． （3）先求出直线，设，直线与轴交点为，当在上方时，过点作于点，可得，设直线，与抛物线表达式联立得，，得到，设，那么由韦达定理可得，则，而，则得到，解得或（舍），故；当在下方时，同理求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称， ∴，解得：， ∴； （2）解：∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上点到对称轴上的距离越远，函数值越小， ∵时，， ①当时，则：当时，函数有最大值，即：， 解得：或，均不符合题意，舍去； ②当时，则：当时，函数有最大值，即：， 解得：； 故； （3）解：存在，理由如下： 对于，当时，， ∴， 设直线 ∵点， ∴， 解得， ∴直线， 设，直线与轴交点为， 当在上方时，过点作于点，如图： ∵正方形， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴由得， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴设直线， 与抛物线表达式联立得，， ∴， 设 ∴， ∴ ∵， ∴， 解得或（舍）， ∴； 当在下方时，过点作于点，如图： 同理可得，，， ∵， ∴设直线， 与抛物线表达式联立得，， ∴， 设 ∴， ∴ ∵， ∴， 解得或（舍）， ∴； 综上：的长为或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，正方形的性质，一元二次方程根与系数的关系等知识点，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 22．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，以为直角边，在第二象限作等腰直角三角形，抛物线经过点． (1)求抛物线的解析式． (2)设抛物线的顶点为，连接，求的面积． (3)在抛物线上是否还存在两点，使四边形为正方形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）过点作轴于点，则．证明，则，则，得到点．把点代入，解得，即可求出答案； （2）求出抛物线的顶点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式为．设直线和轴的交点为，得到点的坐标为，则，即可求出答案； （3）延长至点，使，过点作轴于点，证明进一步得到点．过点作为垂足，且使，连接，则四边形为正方形．过点作轴于点，证明，进一步得到点．验证两点都在抛物线上，即可得到结论． 【详解】（1）解：如图，过点作轴于点，则． ∴ ∵， ∴ ． 在和中， ∵， ， ， ， 点． 把点代入， 得， 解得， 抛物线的解析式为． （2）由， 点的坐标为． 设直线的解析式为． 将点代入， 得， 解得， 直线的解析式为． 设直线和轴的交点为， 当时，，解得 ∴点的坐标为， ， ． （3）存在．如图，延长至点，使，过点作轴于点， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 点． 过点作为垂足，且使，连接，则四边形为正方形． 过点作轴于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ， 点． 当时，， 当时，， ∴两点都在抛物线上， 在抛物线上存在两点，使四边形为正方形． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、二次函数的图象和性质、正方形的判定和性质、一次函数的图象和性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 23．（2024·陕西榆林·二模）如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于，两点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点是第二象限抛物线上的动点，轴，交直线于点，点在轴上，点在坐标平面内，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在点，点的坐标为或 【分析】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及性质，正方形的性质，学会用分类讨论的思想思考问题． （1）将、两点坐标代入到中，利用待定系数法求函数解析式． （2）由题意和可得点坐标，与点坐标代入一次函数，中解出解析式，从而得出点坐标，再分两种情况：①当为正方形的一条边时，②当为正方形的对角线时，根据正方形的性质，即可求解． 【详解】（1）将，代入中， 得， 解得： 抛物线的函数表达式为． （2）由题意和可得， ， 可设直线的函数表达式为：， 将代入得：， ， 直线的函数表达式为. 设（），分两种情况： ①当为边时，如图1，四边形是正方形（点、可互换位置）. 则， 故的纵坐标与的纵坐标相等为， 将代入中，可得的横坐标为， 则点E的坐标为， ，即， 解得（，要舍）或， 点的坐标为． ②当为对角线时，如图2，连接，过点作轴于点H， ，， 易得， 则， 则的纵坐标为， 点的坐标为． 点在直线上， ， 解得或2（，要舍）， 点的坐标为． 综上可得：存在点，使以，，，为顶点的四边形是正方形，点的坐标为或． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 二次函数中的特殊四边形存在性问题的四种模型 题型一 二次函数中的平行四边形存在性问题 题型二 二次函数中的矩形存在性问题 题型三 二次函数中的菱形存在性问题 题型四 二次函数中的正方形存在性问题 题型一：二次函数中的平行四边形存在性问题 1．或或 2．(1) (2)符合条件的点坐标为或 【分析】（1）将点代入求解即可； （2）先求解抛物线的函数表达式，再分类当为边时，与当为对角线时这两种情况，作图求解坐标即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于，两点， ，解得， 即； （2）解：存在，        由（1）得抛物线， 抛物线与抛物线关于轴对称， 抛物线与抛物线上对应点的横坐标相反，纵坐标相等， ， 抛物线的函数表达式为， 令，解得，， 点在点左侧， ，， 当时，，          以点，，，为顶点的四边形为平行四边形， ①当为边时，有，且， ， 如答案图①，当点在抛物线上时， ， 解得，（舍去）， ，且， 点符合题意；        如答案图②，当点在抛物线上时， 同理， 解得，（舍）， ，且， 点符合题意；        ②当为对角线时，令的中点为， ，，， ， 令， 则，得，，得， 则， 将代入中，得， 将代入中，得， 点不符合题意． 综上所述，符合条件的点坐标为或 3．(1) (2)， (3)存在， 【分析】（1）根据．可求得，设抛物线的表达式的抛物线为：，将代入即可求解； （2），为定值，故求出的最大值即可求解；根据即可求解； （3）根据平行四边形对角线互相平分可求出点的坐标，继而根据即可求解； 【详解】（1）解：∵，． ∴ 设抛物线的表达式的抛物线为：， 将代入可得： 解得： ∴ （2）解：设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 过点作轴的平行线交直线于点，如图所示： 设点，则 ∴ ∴当，即点时，有最大值，且最大值为； ∵，为定值 ∴此时也最大 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 令可得，即 联立，解得： ∴ ∴ （3）解：由，可知：抛物线的对称轴为直线， 由（2）可得， 设 若四边形为平行四边形，则， 解得： ∴ 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 过点作轴的平行线交直线于点，如图所示： 则，即 ∴ 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及了一次函数的解析式求解，平行四边形的存在性问题，二次函数的性质等知识点，综合性较强，掌握函数的相关知识点是解题关键． 4．(1)点的坐标为或或或； (2)，或，． 【分析】（）求出点坐标及抛物线对称轴，分和两种情况利用平面内两点间距离公式列出方程解答即可求解； （）根据对称性求出新的抛物线的顶点坐标，进而得到新抛物线的解析式，由点坐标得，根据平行四边形的对边相等可得，设)，则点或，分和两种情况解答即可求解； 本题考查了二次函数的图象和性质，求二次函数解析式，二次函数与几何图形，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键 【详解】（1）解：存在． 令， 解得，， ∴，， ∴， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点在抛物线的对称轴上， ∴设， 当时，即， 解得，； 当时，即， 解得，； 综上所述，点的坐标为或或或； （2）解：存在． ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线关于轴对称得到新的抛物线， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的解析式为， ∵，， ∴， ∵以点四点为顶点的四边形是平行四边形， ∴， 设)，则点或， ①当时， 则， 解得， ∴， ∴，； ②.当时， 则， 解得， ∴， ∴，； 综上所述，点的坐标分别为，或，． 5．(1)4 (2)3 (3)存在，的坐标为 【分析】（1）在二次函数中，令，得，解出一元二次方程即可得答案； （2）连接，先求出顶点，再根据的面积求解即可； （3）设，根据平行四边形的性质，对角线互相平分，分以下三种情况：若以为对角线，若以为对角线，若以为对角线，分别进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：在二次函数中，令，得 解得， ， ； （2）解：如图，连接， 由得顶点． 令，得，即． 的面积 ； （3）解：存在点使得以为顶点的四边形是平行四边形． 设． 根据平行四边形的性质，对角线互相平分，分以下三种情况： 若以为对角线，则的中点与的中点重合： 则，解得， ． 若以为对角线，则的中点与的中点重合： 则，解得， ． 若以为对角线，则的中点与的中点重合： 则，解得， ． 综上所述，满足条件的点的坐标为． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象与x轴的交点问题，二次函数的图象和性质，三角形的面积，平行四边形的性质及应用等知识，运用分类思想是解题的关键． 6．(1) (2)点的坐标为 (3)在轴上存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形；点的坐标为或或或 【分析】（1）根据待定系数法求抛物线解析式； （ 2 ）过点作轴于点，交于点．设，则，，进而根据二次函数的性质求得取得最大值时，的值，进而求得点的坐标； （3）分情况讨论，根据抛物线的性质以及平行四边形的性质先求得的坐标进而求得点的坐标． 【详解】（1）解：二次函数的图象与轴交于两点， 将点，点的坐标分别代入得：， 解得：， ∴该抛物线的表达式为； （2）解：二次函数与轴交于点， 当时，得：， ， 设直线的表达式为， 将点的坐标代入得：， 解得：， ∴直线的表达式为， 如图1，过点作轴于点，交于点． 设，则， ， ， ， ， ， ∴当时，取最大值，最大值为，此时点的坐标为； （3）解：设． ∵， 如图2，①当为平行四边形的对角线时， 由中点坐标公式，得：， 解得：（不合题意，舍去）或， ； ②当为平行四边形的对角线时， 由中点坐标公式，得：， 解得：或， 或； ③当为平行四边形的对角线时， 由中点坐标公式，得：， 解得：（不合题意，舍去）或， ． 综上所述，在轴上存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形；点的坐标为或或或． 题型二：二次函数中的矩形存在性问题 7．或 8．(1)，顶点D的坐标是，对称轴是直线； (2)； (3)， 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）如图，把绕着点逆时针旋转到位置，过点作轴于点，可证，得到，，即可得，过点作的垂线交于点，交抛物线于点，可知，，利用中点坐标公式可得，再利用待定系数法求出直线的函数解析式，最后联立两函数解析式解方程组即可求解； （）先求出顶点的坐标，设，，画出图形，利用矩形的性质和勾股定理解答即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，把代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴顶点D的坐标是，对称轴是直线； （2）解：如图，把绕着点逆时针旋转到位置，过点作轴于点，则，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 过点作的垂线交于点，交抛物线于点， ∵，， ∴，， 即点为的中点， ∴， 即， 设直线的函数解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 由，解得，， ∴； （3）解：存在． ∵， ∴， 设，， 如图， ∵， ∴， 整理得，， ∴， ∴， ∴对角线交点的坐标为， ∴，， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，旋转的性质，余角性质，全等三角形的判定和性质，二次函数与一次函数的交点问题，等腰三角形的性质，勾股定理，矩形的性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 9．(1) (2)存在，或或或 【分析】本题考查了二次函数与特殊的平行四边形综合，勾股定理． （1）待定系数法求抛物线表达式即可； （2）由题意知，平移后函数解析式为，联立得，解得，，即；由为原抛物线对称轴上的一点，设，，由题意知，以点，为顶点的四边形为矩形，分以为边，以为对角线两种情况求解：①当以为边，时，则，为对角线，，，，由勾股定理得，，即，解得，，则，由，的中点坐标相同，可得，计算求解可得点坐标；同理对当以为边，当时，则，为对角线；②当以为对角线，时，，为对角线； 分别计算求解即可． 【详解】（1）解：将和代入，得， 解得， 抛物线的函数表达式为； （2）解：由题意知，， ∴平移后函数解析式为， 联立得， 解得，， ∴； ∵为原抛物线对称轴上的一点， ∴设，， 由题意知，以点，为顶点的四边形为矩形，分以为边，以为对角线两种情况求解： ①当以为边，时，则，为对角线， ∴，，， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴， ∵，为对角线， ∴，的中点坐标相同， ∴， 解得，， ∴； 当以为边，当时，则，为对角线， 同理，即， 解得，， ∴， ∵，的中点坐标相同， ∴， 解得，， ∴； ②当以为对角线，时，，为对角线， ∴，，， 由勾股定理得，，即，整理得，， 解得，或， ∴或 当时， ∵，中点相同， ∴， 解得，， ∴； 当时， ∵，中点相同， ∴， 解得，， ∴； 综上所述，存在点，且或或或． 10．(1) (2) (3)点的坐标为 (4)存在，点的坐标为或 【分析】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，二次函数与坐标轴的交点，面积问题，矩形的性质，正方形的性质与判定； （1）直接将的坐标代入二次函数解析式可求出，从而得到二次函数的解析式； （2）令，解方程得点坐标； （3）由，同底等高的两个三角形面积相等，得出，进而分类讨论，当在轴上方时，由抛物线的对称性可得的坐标，当在轴的下方时，，代入函数解析式求得横坐标，即可求解； （4）分是矩形的边或对角线两种情况，通过画图，利用数形结合法求解即可． 【详解】（1）解：将代入二次函数解析式， 得． 解得，． （2）由（1）可得，二次函数解析式为， 令，得． 解得或． ∴点的坐标为． （3）在中，令，得，则点的坐标为， ∵， ∴ 当当在轴的上方时，点、关于二次函数对称轴对称． ∵由二次函数解析式可得其对称轴为，点的坐标为， ∴点的坐标为． 当在轴的下方时，， 当时，， 解得：， ∴点的坐标为， 综上所述，点的坐标为； （4）设直线的解析式为：，代入， 则， 解得， ∴直线的解析式为：， 如图， 若为矩形的对角线， ∵， ∴， ∵ ∴，，矩形是正方形 ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，平分， ∴，， 若为矩形的边， 同理可得，矩形是正方形， 由，，得，， 综上所述，存在，，使能构成矩形． 11．(1)， (2)或 (3) (4)存在，或或或 【分析】（1）利用待定系数法和配方法解答即可； （2）根据题意，得，然后根据二次函数的解析式，确定一元二次方程，解方程即可； （3）先确定直线的解析式为：．设，则， 则， 根据抛物线性质解答即可． （4）设，，，，故，分或或为对角线时，利用中点坐标公式解答即可． 此题属于二次函数的综合问题，考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的最值，中点坐标公式，矩形的判定和性质等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质并能利用分类讨论思想求解点N的坐标是解答此题的关键． 【详解】（1）解：由题意得： ， 解得：， 则抛物线的表达式为：； ， 故抛物线的顶点． （2）解：， ， 解得， 故， 根据题意，得， ∵， ， 即， 则， 或， 或， 解得或无解， 故或， 故答案为：或． （3）解：设直线的解析式为， 将，代入直线解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：， 设，则， 则， 故， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当，最大，且最大值为． （4）解：存在，理由： 设，，，， 故， 当为对角线时， 由中点坐标公式得： 解得：或，， 故或； 当为对角线时， 由中点坐标公式得： ， 解得， 故； 当为对角线时， 由中点坐标公式得： ， 解得， 故； 故存在点Q，使得A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形且坐标为或或或． 12．(1) (2)是直角三角形 (3)点的坐标为或 【分析】（1）根据“梦之点”的定义判断这几个点是否在矩形的内部或者边上即可得到答案； （2）根据“梦之点”的定义求出的坐标，再求出顶点的坐标，计算出的长，根据勾股定理逆定理得出是直角三角形，最后由三角形面积公式计算即可得到答案； （3）由（2）可得，，求出直线的解析式为，由菱形的性质可得点、在直线上，联立，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：矩形的顶点坐标分别是，， 矩形的“梦之点”满足，， 点是矩形的“梦之点”，不是矩形的“梦之点”． （2）点是抛物线上的“梦之点”， ， 解得：，， 当时，，当时，， ，， ， 顶点， ，，， ， 是直角三角形． （3）由（2）可得，， 设直线的解析式为：， 将代入得：， 解得：， 直线的解析式为：， 以为对角线，以为顶点的四边形是菱形， ， 点、在直线上， 点在二次函数上， 联立， 解得：，， 点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、坐标与图形、勾股定理以及勾股定理逆定理、菱形的性质、一次函数等知识，熟练掌握以上知识点，理解题意，采用数形结合的思想是解此题的关键． 题型三：二次函数中的菱形存在性问题 13．(1) (2)存在以，，，为顶点的四边形是菱形，边长为或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，菱形的性质，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）根据对称轴，求出，把点代入函数解析式，求出，即可得到函数解析式； （2）令，得，求出，设直线的解析式为：，根据待定系数法，求出函数解析式，设，则，得到 ，，，分类讨论：①当为边时，，②当为对角线时，，求出，即可得到菱形的边长． 【详解】（1）解：对称轴为直线， ，即． ． 将代入，得， 解得． 抛物线的函数表达式为． （2）解：存在． 令，得， ， 设直线的函数表达式为， 将代入，得， 解得， 直线的函数表达式为， 设，则， ，，， 当以，，，为顶点的四边形是菱形时，分为以下两种情况： ①当为边时，，即， 解得（不合题意，舍去），， 此时菱形的边长为； ②当为对角线时，，即， 解得（不合题意，舍去），， 此时菱形的边长为， 综上所述，存在以，，，为顶点的四边形是菱形，边长为或． 14．(1)，，； (2)或； (3)存在，． 【分析】（）由抛物线得，当时，，当时，，解得，，从而得出，，三点坐标； （）分当点在上方时，当点在下方时，两种情况求解即可； （）由点和及抛物线均向下平移个单位，则平移后抛物线解析式为，设，则，则直线解析式为，与抛物线联立得，又直线与新抛物线交于唯一公共点，则， 解得，则解析式为，当时，，所以，设，因为四边形是菱形，所以，则，解得，故，由，，设，根据菱形性质求出，同理可得直线解析式为，解得，所以，，最后通过求解即可． 【详解】（1）解：由抛物线得， 当时，， 当时，， 解得，， ∴，，； （2）解：当点在上方时，在上取点，使，过作，交抛物线于点，交轴于点，如图， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，为中点， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， 设直线解析式为， ∴， 解得， ∴直线解析式为， 设直线解析式为， ∴， 解得， ∴直线解析式为， 联立， 解得（舍去）或， ∴； 当点在下方时，在上取点，使，过作，交抛物线于点，交轴于点，作点关于轴对称点，连接，交抛物线于点，如图， 由得直线解析式为，， 当时，， ∴， ∵点与点关于轴对称， ∴，垂直平分， ∴，， ∴， ∴，即， 设直线解析式为， ∴， 解得， ∴直线解析式为， 联立， 解得（舍去）或， ∴； 综上可得或； （3）解：∵点和及抛物线均向下平移个单位， ∴平移后抛物线解析式为， 设，则，设直线解析式为， 把代入得， ∴直线解析式为， ∴与抛物线联立得， ∴， ∵直线与新抛物线交于唯一公共点， ∴，整理得， 解得， ∴解析式为，当时，， ∴， 设， ∵四边形是菱形， ∴， ∴，整理得， 解得， ∴， 由，， 设， ∴，，解得，， ∴， ∵将（）中的点和及抛物线均向下平移个单位， ∴，， 同理可得直线解析式为， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∴． 15．(1)抛物线的表达式为 (2)；周长最小值 (3)时，取得最大值为； (4)存在，点M的坐标为或 【分析】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的性质与判定，轴对称的性质，菱形的性质，勾股定理，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）将点和点代入利用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）先求得点的坐标，根据抛物线的性质以及轴对称的性质，可得点即为抛物线对称轴与的交点，进而勾股定理求得的长，即可求解； （3）过点作轴交的延长线于点，设，则，证明，根据：，得出，根据二次函数的性质即可求解； （4）设，则得出关于的解析式，根据二次函数的性质，求得当时，线段取得最大值，进而得出，根据菱形的性质可得，建立方程，解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：将点和点代入得， 解得： ∴； （2）解：∵， ∴对称轴为直线， 当时，，则， 设直线的解析式为，将点代入得，， 解得： ∴直线的解析式为； ∵关于对称， 如图所示，连接交于点，连接， ∵ ∴当共线时，的周长最小，则点即为所求， ∴当时，，则； ∵，，， ∴，， ∴的周长为； （3）解：如图所示，过点作轴交的延长线于点， 设， ∵轴，的纵坐标等于的纵坐标， ∴的横坐标为，即 ∴， ∵，， ∴ ∵轴 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴当时，即时，取得最大值为； （4）解：依题意，设，则 ∴ 则当时，线段取得最大值 则， 又 ∴ ∵点是抛物线对称轴上一点，设，依题意，四边形是菱形， ∴ ∴ 解得： ∴点M的坐标为或． 16．(1) (2)存在以点为顶点，以为边的四边形是菱形，点的坐标为或或或 (3)存在，的最小值为，此时点的坐标为 【分析】（1）由题意得，进而可得，，然后把点B、D坐标代入抛物线解析式求解即可； （2）设点，当以点为顶点的四边形是以为边的菱形时，则根据菱形的性质可分①当时，②当时，然后根据两点距离公式进行分类求解即可； （3）如图所示，连接，由题意得，四边形是平行四边形，进而可得，则有，若使的值为最小，则需为最小，即当点三点共线时，的值为最小，然后求最小值，设线段的解析式为，代坐标求解析式，然后求时的值即可． 【详解】（1）解：∵四边形为正方形，点坐标为 ∴，A点坐标为 ∴， ∴点坐标为 把点的坐标代入抛物线得： 解得： ∴抛物线的解析式为． （2）解：存在， 由（1）中抛物线解析式为，则有抛物线的对称轴为直线 ∵点D与点E关于抛物线的对称轴对称 ∴点坐标为 ∴由两点距离公式可得 设点坐标为，当以点为顶点的四边形是以为边的菱形时，则根据菱形的性质可分： ①当时，如图1所示： ∴由两点距离公式可得，即 解得： ∴点F的坐标为或； ②当时，如图2所示： ∴由两点距离公式可得，即 解得： ∴点F的坐标为或； 综上所述：存在以点为顶点，以为边的四边形是菱形，点的坐标为或或或． （3）解：存在， 如图3所示： 由（2）可知点D与点E关于抛物线的对称轴对称，点坐标为 ∴ ∵过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为 ∴， ∴四边形是平行四边形 ∴ ∴ 若使的值为最小，即为最小， ∴当点三点共线时， 的值为最小，此时与抛物线对称轴的交点为M，如图4所示： ∵点坐标为 ∴ ∴的最小值为，即的最小值为， 设线段的解析式为，代入点D的坐标得， 解得 ∴线段的解析式为 当时， ∴点坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，正方形的性质，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，坐标系中两点间的距离公式等知识．解题的关键在于对知识的综合灵活运用． 17．(1) (2)存在，或 (3)存在， (4)存在，或或 【分析】（1）先求出点，点的坐标，利用待定系数法求解即可； （2）先求出点C的坐标，再求出，过点P作x轴的垂线，交直线于点H，设，则，求出，由，结合，建立方程求解即可； （3）作点O关于抛物线对称的对称点E，则，则，由为定值，当三点共线时，有最小值，即有最小值，则的周长最小，利用待定系数法求出直线的解析式，令，代入计算即可得到结果； （4）分为对角线和边两种情况，利用菱形的性质，求解即可． 【详解】（1）解：直线与x轴交于A  ，与y轴交于点B， 令，，令，， ， 将代入抛物线，则， 解得：， 抛物线的解析式为：； （2）解：存在， 抛物线与x轴交于A ，C两点， 令，则， 解得：， 根据题意得， ， ， 如图，过点P作x轴的垂线，交直线于点H， 设，则， ， ， ， ，即， 解得：或， 点P的坐标为或； （3）解：存在， 作点O关于抛物线对称的对称点E，连接， 抛物线的对称轴为， ，， 为定值， 当三点共线时，有最小值，即有最小值，则的周长最小， 设直线的解析式，则， 解得：， 直线的解析式， 令，则， ； （4）解：存在， 如图，当以为对角线时， 四边形为菱形， ， 点在x轴上， 点M在点A的左侧， 设， ， ， ， ， ，即， 解得：， ； 如图，当以为边时， 当点M在点A左侧时， 四边形为菱形，， ，， ； 如图，当点在点A右侧时， 同理得：； 综上，点N的坐标为或或 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的图象及性质，轴对称的性质，菱形的性质等，解题关键是熟练掌握并能够灵活运用二次函数的图象及性质．解题关键是找特殊点，充分利用对称轴，顶点坐标等知识． 题型四：二次函数中的正方形存在性问题 18．或 19．(1) (2)存在的坐标为或时，使得四边形是正方形 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象及性质、二次函数综合问题． （1）利用将、代入，利用待定系数法即可求解； （2）由题意，设，四边形是正方形，可知，得则，分两种情况：当时，当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，将、代入， 得：，解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）存在的坐标为或时，使得四边形是正方形，理由如下： 由题意，设， ∵，四边形是正方形，轴，则， ∴， 则， 即：， 当时， 解得：，（舍去）， 则，即； 当时， 解得：，（舍去）， 则，即； 综上，存在的坐标为或时，使得四边形是正方形． 20．(1) (2)，顶点坐标为； (3)， 【分析】（1）如图，作轴于点，证明出，得到，，进而求解即可； （2）利用待定系数法求出抛物线的解析式为，即可得到顶点坐标为； （3）如图，以为边在的左侧作正方形，过作于，轴于，同（1）可证，求出点坐标为，点坐标为．然后分别代入抛物线验证即可． 【详解】（1）如图，作轴于点， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴点坐标为； （2）∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为 ∴顶点坐标为； （3）在抛物线上存在点、，使四边形是正方形． 如图，以为边在的左侧作正方形，过作于，轴于， 同（1）可证， ∴，， ∴点坐标为，点坐标为． 由（2）抛物线， 当时，；当时，． ∴、在抛物线上． 故在抛物线上存在点、，使四边形是正方形． 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数和四边形综合，全等三角形的性质和判定，正方形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 21．(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）分和，两种情况，结合二次函数的增减性进行求解即可． （3）先求出直线，设，直线与轴交点为，当在上方时，过点作于点，可得，设直线，与抛物线表达式联立得，，得到，设，那么由韦达定理可得，则，而，则得到，解得或（舍），故；当在下方时，同理求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称， ∴，解得：， ∴； （2）解：∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上点到对称轴上的距离越远，函数值越小， ∵时，， ①当时，则：当时，函数有最大值，即：， 解得：或，均不符合题意，舍去； ②当时，则：当时，函数有最大值，即：， 解得：； 故； （3）解：存在，理由如下： 对于，当时，， ∴， 设直线 ∵点， ∴， 解得， ∴直线， 设，直线与轴交点为， 当在上方时，过点作于点，如图： ∵正方形， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴由得， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴设直线， 与抛物线表达式联立得，， ∴， 设 ∴， ∴ ∵， ∴， 解得或（舍）， ∴； 当在下方时，过点作于点，如图： 同理可得，，， ∵， ∴设直线， 与抛物线表达式联立得，， ∴， 设 ∴， ∴ ∵， ∴， 解得或（舍）， ∴； 综上：的长为或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，正方形的性质，一元二次方程根与系数的关系等知识点，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 22．(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）过点作轴于点，则．证明，则，则，得到点．把点代入，解得，即可求出答案； （2）求出抛物线的顶点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式为．设直线和轴的交点为，得到点的坐标为，则，即可求出答案； （3）延长至点，使，过点作轴于点，证明进一步得到点．过点作为垂足，且使，连接，则四边形为正方形．过点作轴于点，证明，进一步得到点．验证两点都在抛物线上，即可得到结论． 【详解】（1）解：如图，过点作轴于点，则． ∴ ∵， ∴ ． 在和中， ∵， ， ， ， 点． 把点代入， 得， 解得， 抛物线的解析式为． （2）由， 点的坐标为． 设直线的解析式为． 将点代入， 得， 解得， 直线的解析式为． 设直线和轴的交点为， 当时，，解得 ∴点的坐标为， ， ． （3）存在．如图，延长至点，使，过点作轴于点， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 点． 过点作为垂足，且使，连接，则四边形为正方形． 过点作轴于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ， 点． 当时，， 当时，， ∴两点都在抛物线上， 在抛物线上存在两点，使四边形为正方形． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、二次函数的图象和性质、正方形的判定和性质、一次函数的图象和性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 23．(1) (2)存在点，点的坐标为或 【分析】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及性质，正方形的性质，学会用分类讨论的思想思考问题． （1）将、两点坐标代入到中，利用待定系数法求函数解析式． （2）由题意和可得点坐标，与点坐标代入一次函数，中解出解析式，从而得出点坐标，再分两种情况：①当为正方形的一条边时，②当为正方形的对角线时，根据正方形的性质，即可求解． 【详解】（1）将，代入中， 得， 解得： 抛物线的函数表达式为． （2）由题意和可得， ， 可设直线的函数表达式为：， 将代入得：， ， 直线的函数表达式为. 设（），分两种情况： ①当为边时，如图1，四边形是正方形（点、可互换位置）. 则， 故的纵坐标与的纵坐标相等为， 将代入中，可得的横坐标为， 则点E的坐标为， ，即， 解得（，要舍）或， 点的坐标为． ②当为对角线时，如图2，连接，过点作轴于点H， ，， 易得， 则， 则的纵坐标为， 点的坐标为． 点在直线上， ， 解得或2（，要舍）， 点的坐标为． 综上可得：存在点，使以，，，为顶点的四边形是正方形，点的坐标为或． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题05二次函数中的特殊四边形存在性问题的四种模型 题型归纳 题型一二次函数中的平行四边形存在性问题 题型二二次函数中的矩形存在性问题 题型三二次函数中的菱形存在性问题 题型四二次函数中的正方形存在性问题 题型专练 题型一：二次函数中的平行四边形存在性问题 1.(25-26九年级上江西宜春·阶段检测)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x+4x经过x轴上 的点A,直线4B与抛物线在第一象限交于点B(山，5).若以A,O,B,N为顶点的四边形是平行四边形， 则点N的坐标是 2.(2026陕西商洛二模)已知抛物线C:y=ar2+br+4(a≠0)与x轴交于A(-8,0),B(2,0)两点. (1)求a,b的值： (2)若抛物线C与抛物线C,关于y轴对称，抛物线C,与x轴交于A,B两点（点A在点B左侧），与y轴 交于点M,则在抛物线C或C,上是否存在点N,使得以A',A,M,N为顶点的四边形为平行四边形？ 若存在，求出N点坐标：若不存在，请说明理由： 3.(2024山东模拟预测)如图，平面直角坐标系中，己知抛物线y=ar+br+c交x轴于点A、B,交y 轴于点C.连接BC、AC.已知A(-l,0),B(5,0),tan∠BCO=2. 1/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B x=m 图1 图2 (1)求抛物线的表达式： (②)已知点D为线段BC上方抛物线上的一个动点，连接BD、CD.连接AD,分别交y轴与BC于点E、 F.当四边形ABCD的面积最大时，求直线AD的表达式及此时△BEF的面积： (3)点P为抛物线上的一个动点，当四边形ABCD的面积最大时，抛物线的对称轴x=m上是否存在点Q, 使得四边形CDP吧为平行四边形？若存在，请求出平行四边形CDP巴的面积；若不存在，请说明理由. 4.(23-24九年级下·内蒙古呼和浩特开学考试)如图，已知抛物线L:y=-x2+2x+3与x轴分别交于 A,B两点，与y轴交于点C,D为抛物线的顶点. 味 iD (1)抛物线的对称轴上是否存在点E,使得△BOE是以BO为腰的等腰三角形？若存在，求出点E的坐标： 若不存在，请说明理由、 (2)将抛物线L关于y轴对称得到新的抛物线L”,在抛物线L上是否存在一点Q,在抛物线L”上是否存在一 点T,使得以AB为边，且以点A,B,T,四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出T,卫两点 的坐标；若不存在，请说明理由 5.(25-26九年级上四川达州阶段检测)如图，已知二次函数y=-x2+2x+3的图象与x轴分别交于点A 和点B,与y轴交于点C. 2/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (I)求线段AB的长： (2)若该抛物线的顶点为点D,求△BCD的面积 (3)在坐标平面内是否存在一点M,使得以A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出 M点坐标，若不存在，请说明理由 6.(2026宁夏银川二模)综合与探究 如图，二次函数y=a2+bx-2的图象与x轴交于A(-2,0),B(1,0)两点，与y轴交于点C. 备用图 (1)求该抛物线的函数表达式。 (②)点P是直线AC下方的抛物线上一动点，连接AP,PC,BC,当四边形APCB的面积最大时，求点P 的坐标。 (3)点M是抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q,使得以A,C,M,Q为顶点的四边形是平行四边 形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 题型二：二次函数中的矩形存在性问题 7.(25-26九年级上山东德州阶段检测)如图，己知二次函数y=(x+2图象与x轴交于点A,与y轴交 于点B,在对称轴上存在一点P,使以P,A,O,B为顶点的四边形为平行四边形，写出此时点P的坐标 3/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A 8.(25-26九年级上四川成都期中)如图，抛物线与轴交于A(-1,0),B(3,0),C(0,-3)顶点为D. VA (1)抛物线的解析式是 一，顶点D的坐标是 对称轴是 (②)M为抛物线上一点，当∠CAM=45°时，求M点坐标. (3)点E是y轴上的一个动点，点F是坐标平面内一个动点，是否存在这样的点E,F使得四边形BDEF是 矩形？若存在，求出E,F的坐标：若不存在，说明理由， 9.(25-26九年级上陕西西安阶段检测)如图，抛物线L:y=-x2+bx+c与x轴交于A(-5,0)和B两点， 与y轴交于点C(0,5) M A :OB (1)求该抛物线的函数表达式： (2)如图，将原抛物线L向左平移4个单位长度得到抛物线L',L与原抛物线L相交于点M，点N为原抛 物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点H,使以点A,M,N,H为顶点的四边形为矩 形，若存在，请求出点H的坐标；若不存在，请说明理由， 10.(25-26九年级上吉林四平·期中)如图所示，二次函数y=-x+2x+m的图象与x轴的一个交点为 A(3,0),另一交点为B,且与y轴交于点C. 4/11 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求m的值： (2)求点B的坐标： (3)该二次函数图象上有一点D(x,y),使S△MBD=S△ABc,求点D的坐标 (④若点P在直线AC上，点O是平面上一点，是否存在点Q,使以点A、点B、点P、点为顶点的四边 形为矩形？若存在，请你直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由 11.(25-26九年级上：广西崇左期末)如图，抛物线y=ar2+bx+c的对称轴是直线x=1,与x轴交于点 A、B两点，且A点的坐标为-1,0)，与y轴交于点C(0,-3) 1B (1)求抛物线解析式及顶点D坐标： (2)点E为抛物线上一点，且S△4Oe=S△oc,则点E的坐标为： (3)点F为线段BC上任意一点，过点F作FM⊥x轴于点M,直线FM交抛物线于点N,求线段FN的最大 值： (④)点P是抛物线对称轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在一点Q,使以点A、C、P、O为顶点的四边 形为矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 12.(23-24九年级上：广东中山期中)定义：在平面直角坐标系x0少中，当点N在图形M的内部，或在 图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”， 5/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4 3 -4-3-210 12$ B- 2 -3 -4 图① 图② ()如图①，矩形ABCD的顶点坐标分别是A(-1,2),B(-1,-),C(3,-),D(3,2),在点N(11), N2(2,2),N(3,3)中，是矩形ABCD“梦之点”的是一： @咖图@，已知点48是频的线=2+x号1的“梦之点”，点C是物线的顶点。连接 9 AC,AB,BC,判断△ABC的形状并说明理由。 (3)在(2)的条件下，点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P、Q,使得以AB为对角线， 以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由. 题型三：二次函数中的菱形存在性问题 13.(2026陕西咸阳模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ar+br+3(a≠0)经过点A(3,0), 与y轴交于点B,且关于直线x=1对称. (1)求抛物线的函数表达式： (2)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线AB于点D,在'轴上是否存在 点E,使得以B,C,D,E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由 14.《2026湖北武汉一模)如图，抛物线y=4+4与x轴交于A和B两点，A在B点左边，与y轴交 于C点 6/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y D 图1 图2 (I)直接写出A,B,C三点坐标： (②)如图1，D为OC中点，在抛物线上找一点P,使∠PA0=2∠DAO,求出P点坐标； (3)如图2，将(2)中的点A和D及抛物线均向下平移4个单位，H为新抛物线对称轴右侧上一点，直线 HF与新抛物线交于唯一公共点H,与y轴交于F,是否存在以FH为对角线的菱形EFGH,使E点在y 轴上，G点在AD延长线上，若存在，求菱形EFGH的面积S四边形EFGh,若不存在，请说明理由 15.(25-26九年级上山东烟台阶段检测)如图，己知抛物线y=ar+br+3(a≠0)与x轴交于点A(1,0)和 点B(-3,0),与y轴交于点C. 图 图3 (1)求抛物线的表达式： (2)如图1，对称轴上是否存在点E,使△ACE周长最小，求出此时点E的坐标和周长最小值： (3)如图2，点F为第二象限抛物线上一动点，连接AF交BC于点D,k=S△FDc:S△Dc,是否存在点F,使 K取最大值，如果存在，求出此时点F的坐标和最值；若不存在，请说明理由： (④)已知点M是抛物线对称轴上一点，点N是平面内一点，点P是第二象限抛物线上一点，点Q是线段BC 上一点，P吧∥y轴，当线段P№取得最大值时，是否存在点M,N使得四边形QAMN是菱形，若存在，直 接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由 16.(22-23九年级下·湖北黄冈自主招生)如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A, B在x轴上，抛物线y=x2+bx+c经过点B,D(-4,5)两点，且与直线DC交于另一点E. 7/11 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (1)求抛物线的解析式： (2)F为抛物线对称轴上一点，Q为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q,F,E,B为顶点的四边形 是以BE为边的菱形.若存在，请求出点F的坐标：若不存在，请说明理由： (3)P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M,连接ME,BP,探究EM+MP+PB是否存 在最小值.若存在，请求出这个最小值及点M的坐标；若不存在，请说明理由. 17.(24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔阶段检测)己知直线y=-x+2与x轴交于A,与y轴交于点B,抛 物线y=-x2+br+C与x轴交于A,C两点，与y轴交于点B A龙 (1)求这个抛物线的解析式 (②若P是直线AB上方抛物线上一点，存在点P使得m=5.4C,求点P的坐标 3)在对称轴上是否存在点Q,使得△BO的周长最小，若存在，请直接写出Q点坐标，若不存在，请说 明理由 (④)点M在x轴上，在坐标平面内是否存在点N,使以A,B,M,N为顶点的四边形是菱形，若存在直接 写出点N的坐标，若不存在，请说明理由. 题型四：二次函数中的正方形存在性问题 18.(25-26九年级上全国期末)如图，正方形0ABC的边0C在x轴上，B(2,-2),定义：若某个抛物 8/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 线上存在一点P,使得点P到正方形OABC四个顶点的距离相等，则称这个抛物线为正方形OABC的“友 好抛物线”.若抛物线y=x2-2mr-m2+1是正方形OABC的“友好抛物线”，则m的值为 19.(2024陕西汉中·二模)如图，抛物线y=-2x+bx+c与x轴交于A(-1,0)、B(2,0)两点. B (1)求抛物线的函数表达式； (2)点N在坐标平面内，请问在抛物线上是否存在点M,过点M作x轴的垂线交x轴于点H,使得四边形 AHMN是正方形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标：若不存在，请说明理由， 20.(24-25九年级下·山东菏泽·期中)如图，在平面直角坐标系中，将一个正方形ABCD放在第一象限斜 靠在两坐标轴上，且点A,B的坐标分别为A(0,2),B(1,0),抛物线y=axr2-ar-2经过点C. (1)求点C的坐标： (2)求抛物线的表达式，并求出其顶点坐标； (3)在抛物线上是否存在点P与点Q(点C,D除外)使四边形ABPO为正方形？若存在，请求出P,卫的 坐标：若不存在，请说明理由。 21.(26-27九年级上·江苏·寒假作业)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax+br+3经过 点A(3,0),与y轴交于点B,且关于直线x=1对称 9/11 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 VA 备用图 (1)求该抛物线的解析式： (2)当-1≤x≤1时，y的取值范围是0≤y≤21-1，求t的值； (3)若点P、D在直线AB上，问：在该二次函数图象上是否存在点M,N,使得四边形PQMN是正方形？ 若存在，请直接写出PQ的长；若不存在，请说明理由 22.(24-25九年级上安徽阜阳期末)如图，在平面直角坐标系中，点A(0,2),C(-1,0),以4C为直角边， 在第二象限作等腰直角三角形ABC,∠ACB=90°，抛物线y=am2+ar-2经过点B. A C 0 D (1)求抛物线的解析式. (②)设抛物线的顶点为D,连接BD,CD,求△BDC的面积。 (③)在抛物线上是否还存在两点G,H,使四边形ACGH为正方形？若存在，请求出点G,H的坐标；若不存 在，请说明理由， 23.(2024陕西榆林二模)如图，已知抛物线y=ax2+bx+2(a<0)与y轴交于点C,与x轴交于 A(-1,0),B(2,0)两点. 备用图 10/11 00学科网·上好课 www. .com 上好每一堂课 (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点D是第二象限抛物线上的动点， DEx轴， 交直线 BC 于点E，点 G 在x轴上，点F在坐标平面内， 是否存在点 D， 使以D，E，F，G为顶点的四边形是正方形?若存在，求点D的坐标；若不存在，请说 明理由. 11/11