专题01 二次函数的图象和性质的六种模型（高效培优专项训练）数学新教材浙教版九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数图象与性质，通过六种题型系统覆盖基础理解、性质应用、多函数综合等，以题载法培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |图象和性质|5题|基础判断与性质应用|从顶点、对称轴等概念到增减性、最值| |性质求解|6题|含参数与范围问题|性质应用到参数计算，发展运算能力| |函数综合判断|6题|多函数图象辨析|一次、反比例与二次函数图象关联，培养数学眼光| |系数符号问题|6题|图象信息推导|从图象特征到系数关系，强化推理意识| |画图象|6题|作图与变换|从列表描点到平移翻折，提升空间观念| |综合问题|7题|动态与最值综合|性质与几何结合，发展模型观念与应用意识|

专题01 二次函数的图象和性质的六种模型 题型一 二次函数的图象和性质 题型二 利用二次函数的性质求解 题型三 一次函数、反比例函数、二次函数图象综合判断问题 题型四 二次函数与各项系数符号问题 题型五 画二次函数的图象 题型六 二次函数的图象和性质综合问题 题型一：二次函数的图象和性质 1．（2026·广东广州·二模）对于抛物线，下列说法正确的是（     ）． A．图象与轴无交点 B．当时，随的增大而增大 C．当时，有最小值 D．图象的顶点坐标为 【答案】C 【分析】根据二次函数的顶点式的性质，逐项分析，即可求解． 【详解】解：对于抛物线，顶点坐标为，对称轴为直线； ∵， ∴抛物线的开口向上， 对A选项：令，则，即抛物线与轴交点为，故A选项说法错误，不符合题意； 对B选项：当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，故B选项说法错误，不符合题意； 对C选项：当时，有最小值；故C选项说法正确，符合题意； 对D选项：抛物线的顶点坐标为，故D选项说法错误，不符合题意． 2．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知二次函数 （ ）的自变量 与函数 的几组对应值如下表： 则下列关于该二次函数的说法正确的是（     ） A．图象开口向上 B．当 时， 的取值范围为 C．一元二次方程 有两个相等的实数根 D．图象的对称轴是直线 【答案】C 【分析】利用待定系数法求出二次函数解析式，再结合二次函数的性质逐一判断各选项即可求解． 【详解】解：把，和 代入得， ， 解得， ∴二次函数解析式为， ∵， ∴图象开口向下，故选项错误； ∵图象开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴的距离越近，函数值越大， ∵ ， ∴抛物线的对称轴为直线，故选项错误； ∴当时，可知时函数取最大值， 又由表格知，时， ∴当 时，的取值范围为，故选项错误； ∵二次函数顶点坐标为， ∴直线与二次函数图象只有一个交点，即一元二次方程有两个相等的实数根，故选项正确． 3．（25-26九年级上·山东菏泽·期末）已知点，，都在二次函数图像上，则，，的大小关系为_______． 【答案】/ 【分析】先根据二次函数顶点式确定开口方向与对称轴，再利用点到对称轴的距离，结合二次函数增减性比较函数值大小． 【详解】∵二次函数中，二次项系数， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴离对称轴的距离越小的点的函数值越大， ∵，，，且， ∴． 4．（25-26八年级下·河南开封·期末）若点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系用“”连接为________． 【答案】 【分析】先确定二次函数的开口方向与对称轴，根据开口向上的二次函数的性质，点到对称轴的距离越大，对应函数值越大，即可比较大小． 【详解】解：， ， 二次函数开口向上，对称轴为直线， ∵点到对称轴的距离：， 点到对称轴的距离：，点到对称轴的距离：， ，点到对称轴的距离越大，函数值越大， ． 5．（24-25九年级下·全国·随堂练习）已知函数． (1)指出它的图像的开口方向、对称轴和顶点坐标以及函数的最大值或最小值． (2)当x取何值时，y随x的增大而减小？ 【答案】(1)抛物线开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为，当时，y有最大值2，无最小值 (2)当时，y随x的增大而减小 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式可得抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；根据，在对称轴右侧，y随x的增大而减少可得答案． 【详解】（1）解：在函数中，， 所以抛物线开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为， 当时，y有最大值2，无最小值． （2）当时，y随x的增大而减小． 6．（2026·安徽合肥·三模）已知抛物线过，，，四点． (1)若． （ⅰ）求该抛物线的对称轴； （ⅱ）比较，的大小． (2)若，，判断是否成立，并说明理由． 【答案】(1) （ⅰ）；（ⅱ） (2) 成立，理由见解析 【分析】（1）（ⅰ）因为抛物线的函数值相等的两个点关于对称轴对称，所以取B、C两点横坐标的平均值即可得到对称轴；（ⅱ）因为抛物线开口向下，所以点到对称轴的距离越远，对应的函数值越小，计算A、C两点到对称轴的距离，比较距离大小后即可判断函数值大小； （2）首先如果，那么代入可得到和的关系，进而求出抛物线的对称轴；再根据和，可确定的符号；之后计算的表达式，结合的条件和对称轴的位置，判断的符号，即可验证结论是否成立． 【详解】（1）（ⅰ）∵，且抛物线上纵坐标相等的两点关于对称轴对称，点、， ∴对称轴为：； （ⅱ）到对称轴的距离：，到对称轴的距离：， ∵，开口向下， ∴点离对称轴越远纵坐标越小， ∵， ∴； （2）解：成立，理由如下： ∵，将代入抛物线得：， 整理得， ∴对称轴为：， ∵，开口向下， ∴当时，随增大而减小， 又∵ ， ∴， ∵， ∴异号， 结合得：， ∴． 题型二：利用二次函数的性质求解 7．（26-27九年级·上海·暑假作业）已知抛物线过点、和，那么的值是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】点和纵坐标相同，可得抛物线的对称轴，用顶点式设抛物线方程，代入点和求出参数，再展开为一般式计算． 【详解】解：抛物线过点、，两点纵坐标相等， 对称轴为：， 设抛物线的顶点式为：． 将点，代入，得方程组： ， 化简：， 两式相减，得：，， 将代入，得： ，， 将顶点式展开：， ，，， ． 8．（2026·广东清远·二模）若二次函数的图象与轴没有交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】二次函数图象与x轴没有交点，说明对应一元二次方程无实数根，利用一元二次方程根的判别式性质，判别式小于0，解不等式即可得到a的取值范围． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴没有交点， ∴一元二次方程没有实数根， 即， ∴， 解得． 9．（2026·四川南充·中考真题）抛物线与x轴交于A，B两点，且，则m的值为_______． 【答案】或 【分析】设，，可得是一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系表示与，结合的条件，建立关于的一元二次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：设，， 令，得 ， 由根与系数的关系得，， ， ∵， ∴， 两边平方得， 整理得， 因式分解得， 解得或． 10．（25-26八年级下·福建福州·期末）已知点，，均在抛物线上，其中，若，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据可得，即抛物线的顶点坐标是，然后分三种情况结合抛物线的性质讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即抛物线的顶点坐标是， ∵， ∴抛物线的开口向下，， 若P、Q在对称轴的左侧， ∵y随着x的增大而增大， ∴，此时，满足题意； 当点M在P、Q之间，即，则离对称轴越近，函数值越大， ∵， ∴，解得； 若P、Q在对称轴的右侧， ∵y随着x的增大而减小，且， ∴此时不满足题意； 特别地，当M与Q重合时，也满足； 综上，m的取值范围是． 11．（2026·四川攀枝花·中考真题）已知二次函数，其中为常数． (1)若，求此函数图象的顶点坐标； (2)当时，y随x的增大而减小；当时，随的增大而增大，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入二次函数中，得到，即可得到函数图象的顶点坐标为； （2）先求得抛物线的对称轴为直线，根据当时，y随x的增大而减小；当时，随的增大而增大，得到，即可求得的取值范围． 【详解】（1）解：∵， ∴二次函数， ∴函数图象的顶点坐标为； （2）解：∵二次函数为， ∴对称轴为直线， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴，解得； ∵当时，随的增大而增大， ∴，解得， ∴的取值范围是． 12．（2026·安徽马鞍山·三模）已知抛物线经过点． (1)求该抛物线的对称轴． (2)当时，若点在抛物线上，求的最小值． (3)若存在实数，当，且时，的取值范围是，求，的值． 【答案】(1)直线 (2) (3)或 【分析】（1）先将已知点代入抛物线解析式，得到，再利用抛物线对称轴公式直接计算得到对称轴 （2）代入得到抛物线解析式，配方得顶点坐标，根据开口方向得到的最小值，即的最小值 （3）将抛物线化为顶点式，对称轴在给定区间内，分和两种情况，根据开口方向判断区间内最值位置，列方程求解得到和 【详解】（1）解：将点代入得： 整理得， 抛物线对称轴为 ∴该抛物线的对称轴为直线 （2）解：当时，， 抛物线解析式为： 抛物线开口向上， 点在抛物线上， 的最小值为； （3）将抛物线化为顶点式得，对称轴 ，且， 对称轴在内， 分两种情况讨论：情况1：，抛物线开口向上，顶点为最小值点， ， 解得， 左端点到对称轴的距离为，右端点到对称轴的距离为，， 最大值在处， 代入得 把代入得， 解得 ， ； 情况2：，抛物线开口向下，顶点为最大值点 ，解得， ∵抛物线的右端点到对称轴距离更远， 最小值在处.代入得， 把代入得， 解得 ， ， 综上，或 题型三：一次函数、反比例函数、二次函数图象综合判断问题 13．（2026·贵州六盘水·二模）一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数图象和一次函数图象经过的象限，即可得出、、，由此即可得出：二次函数的图象开口向上，对称轴，与轴的交点在轴正半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论． 【详解】解：观察一次函数和反比例函数的图象可知：、、， 二次函数的图象开口向上，对称轴，与轴的交点在轴正半轴， 因此四个选项中只有C选项符合题意． 14．（2026·安徽芜湖·三模）在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定一次函数与二次函数图象无交点，且二次函数过原点，即可判断B，D选项，进而根据图形中给出的一次函数图象确定、的符号，进而运用二次函数的性质判断图形中给出的二次函数的图象是否符合题意，根据选项逐一讨论即可解决问题． 【详解】解：联立， 消去得， ∴，即一次函数与二次函数图象无交点，故B不正确； 令， 解得：，， ∴二次函数与x轴的交点坐标为或，故D不正确，不符合题意； A．抛物线开口向上，对称轴在轴的右侧，则，一次函数图象经过一、三、四象限，则，即，矛盾，故该选项不正确，不符合题意； C．抛物线开口向上，对称轴在轴的右侧，则，一次函数图象经过二、三、四象限，则，即，故该选项正确，符合题意． 15．（2026·安徽·三模）二次函数是常数且的图象如图所示，则直线与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中的位置大致为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据抛物线的对称轴为直线得到，求出，，然后判断一次函数图象；由二次函数当时，，得到，然后判断反比例函数图象． 【详解】解：∵抛物线对称轴为直线，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ， ∴直线的图象经过第一、三、四象限； 由二次函数图象可知，当时，，即， ， ∴反比例函数的图象分别位于第一、三象限． 综上，只有C选项符合题意． 16．（2026·安徽滁州·二模）已知与是关于x的二次函数，函数图象如图所示，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设， ， 由图象知，， ， y的图像开口向上，与y轴负半轴相交，选项D，不符合题意； 由图象知： 时，，，，选项C，不符合题意； 时，与相交，即， ∴时，，即与x轴交点是，选项B，不符合题意； 所以选A． 17．（2025·宁夏银川·三模）一次函数，二次函数，反比例函数在同一直角坐标系中图象如图所示则的取值范围是______ ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象，一次函数图象，二次函数的图象与系数的关系，正确地识别图形是解题的关键；根据反比例函数的图象在一三象限，一次函数图象与轴的交点，二次函数的图象的对称轴位置，列不等式组，解不等式组即可得到结论． 【详解】解：根据题意得， 解得， 的取值范围是 故答案为： 18．（24-25九年级上·广东东莞·期末）抛物线与双曲线的图象如图所示，当时，x的取值范围是______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了反比例函数与二次函数综合，根据函数图象找到二次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可得当时，x的取值范围是或， 故答案为：或． 题型四：二次函数图象与各项系数符号问题 19．（26-27九年级·上海·暑假作业）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中不正确的是（     ） A． B．为任意实数） C． D．关于的方程有四个根 【答案】B 【分析】根据函数图象和二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题． 【详解】解：该函数的对称轴为， ， 当时，，故A正确，不符合题意； 由题意，当时，该函数取得最大值，故为任意实数）， 即为任意实数），故B错误，符合题意； 对称轴是直线， 当时的函数值与当时的函数值相等， 当时，， 当时，，故C正确，不符合题意； 的函数图象即为的轴下侧图象翻转到轴上方， 的根个数即为图象和直线的交点个数，根据图象可得为4个，故D正确，不符合题意． 20．（2026·宁夏银川·三模）二次函数的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：① ；②；③ ；④ ，其中，正确的有（     ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】①根据图象的开口方向即可判断，②根据图象与轴交点坐标即可判断；③根据图象与轴的交点的个数即可判断；④根据对称点，判断对称轴，再根据对称轴公式求出的关系即可判断． 【详解】关于①，由图可知二次函数开口向下，即，故①符合题意； 关于②，由图可知二次函数与轴交于正半轴，即，故②符合题意； 关于③，由图可知二次函数与轴有两个交点，即，故③符合题意； 关于④，由图可知二次函数与轴有两个交点分别为，，则对称轴为直线，因为，所以，即，故④符合题意； 综上，共有4个符合题意． 21．（2026·黑龙江佳木斯·三模）如图，抛物线经过点，与x轴的另一个交点在点和点之间，与y轴相交于正半轴：①；②；③；④中，正确结论的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据题意，得，计算得到，结合顶点位置，抛物线与x轴的交点问题，抛物线的性质，解答即可； 【详解】解：抛物线经过点， ， ， 故正确； 设抛物线与x轴的另一个交点为，根据题意，与x轴的另一个交点在点和点之间， ， ， ， ， 抛物线开口向下， ， ， ，，， ，， 故②正确；③错误； ，抛物线开口向下， 时，其函数值大于0， ， 抛物线的顶点在x轴的上方， ， ， 故④错误； 故正确的结论有2个． 22．（2026·湖南长沙·二模）已知抛物线的对称轴是直线，抛物线与x轴的一个交点在点和点之间，其部分图像如上图所示，下列结论：①y的最大值为3；②；③当时，y随x的增大而减小；④．其中正确的序号为__________． 【答案】①②③④ 【分析】根据图象得到抛物线开口向下，顶点纵坐标为3，对称轴是直线，抛物线与x轴的另一个交点在点和点之间，然后逐项判断即可． 【详解】解：由图象可得，抛物线开口向下，顶点纵坐标为3 ∴y的最大值为3，故①正确； ∵对称轴是直线，抛物线与x轴的一个交点在点和点之间， ∴抛物线与x轴的另一个交点在点和点之间， ∴当时，，故②正确； ∵抛物线开口向下，对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而减小，故③正确； ∵对称轴是直线， ∴ ∴，故④正确． 综上所述，正确的序号为①②③④． 23．（2026·湖北武汉·一模）二次函数的图象如图所示，顶点为，下列结论：①；②；③关于的方程（为常数）有实数根；④若一元二次方程两根为，，则，．其中正确的是______． 【答案】②③④ 【分析】根据二次函数的图象可得，，，即可判定①；根据二次函数的对称性及其中的一个交点位置可知抛物线与轴的另一个交点横坐标在和之间，得到当时，，据此即可判定②；根据二次函数的顶点坐标公式得，进而代入一元二次方程根的判别式可得，即可判定③；由二次函数的顶点式可知二次函数的图象向左平移两个单位长度，得到抛物线，即得一元二次方程两根即为抛物线与轴交点的横坐标，进而结合平移前抛物线与轴的交点位置即可判定④，综上即可求解． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴，， ∴， 又∵抛物线与轴的交点在轴的正半轴上， ∴， ∴，故①错误； ∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点横坐标在和之间， ∴抛物线与轴的另一个交点横坐标在和之间， ∴当时，，即， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵抛物线的顶点坐标为， ∴， ∴， ∵方程， ∴， ， ， ∵， ∴， ∴关于的方程（为常数）有实数根，故③正确； ∵二次函数的顶点坐标为， ∴二次函数的顶点式为， 把二次函数的图象向左平移两个单位长度，得到抛物线， ∴一元二次方程两根即为抛物线与轴交点的横坐标， ∵平移前抛物线与轴的交点分别在和之间及和之间， ∴抛物线向左平移个单位长度后，抛物线与轴的交点分别在和之间及和之间， ∵一元二次方程两根为，， ∴，，故④正确； 综上，结论正确的是②③④． 24．（2026·湖北武汉·三模）抛物线（a，b，c是常数，其中）经过和两点，下列五个结论： ①；②；③若抛物线与x轴交于和两点，，则，；④对任意实数x，不等式恒成立；⑤若抛物线上任意不同两点，都满足：当时，；当时，．则直线与抛物线的交点为与．其中正确的是________（填写序号）． 【答案】①②③⑤ 【分析】根据抛物线上纵坐标相等的两点求对称轴，结合对称轴公式判断①；计算的函数值结合的符号判断②；利用零点存在性判断交点范围得到③；计算二次函数最小值，判断不等式是否恒成立得到④；结合二次函数增减性与对称轴的关系，验证交点坐标判断⑤，逐一分析各结论即可． 【详解】解：抛物线经过和， 抛物线对称轴为直线， 整理得，故①正确； ， ， 当时，， ， ，故②正确； 当时，；当时，， 抛物线与x轴的一个交点在和之间， 抛物线对称轴为直线 抛物线与x轴的另一个交点在和之间， 抛物线与x轴交于和两点，， ，，故③正确； 将代入抛物线得， ，即， ， ， ， 解得：， 抛物线开口向上，最小值在对称轴处，为， 代入，得，最小值为， 若恒成立，则需， 整理得，与矛盾，故④错误； 由题意可知，当时，， ， ，即， 当时，随增大而减小，时随增大而增大， 开口向上， 对称轴为直线， 抛物线对称轴为， ，即， ，解得：， ，， ， 令，解得：，， 直线与抛物线的交点为与，故⑤正确； 综上，正确结论的序号是①②③⑤． 题型五：画二次函数的图象 25．（25-26九年级下·全国·课后作业）在如图所示的平面直角坐标系中，画出函数和的图象． 【答案】函数图象如图： 【分析】按照列表、描点、连线的步骤作图即可． 【详解】解：对于 列表为： …… 0 1 2 …… …… 2 0 2 8 …… 对于 列表为： …… 2 3 4 …… …… 2 0 2 8 …… 再描点、连线作出图象． 26．（2026·河南·模拟预测）抛物线经过和两点． (1)求二次函数的表达式． (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． (3)将二次函数的图象向左平移n个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为3，请直接写出n的值． 【答案】(1) (2) ；抛物线图象如图所示： (3)或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）将一般式化为顶点式，即可求出顶点坐标，进而画出图象即可； （3）根据函数平移规律“左加右减”得到平移后的函数解析式，进而得到函数的对称轴为直线，函数图象开口向下，然后结合函数最大值与最小值情况分情况讨论计算，进而可以得解． 【详解】（1）解：（1）把和两点代入可得， ，解得， ； （2）解：， 二次函数图象的顶点坐标为； 图见答案； （3）解：将二次函数的图象向左平移n个单位长度， ， 函数的对称轴为直线， 当时，， 当时， ， 当时，即， 函数的最大值为，最小值为， ， 解得（舍）； 当 时，即， 函数的最大值为，最小值为， ， 解得（舍）； 当时，即， 函数的最大值为4，最小值为， 解得或（舍）； 当 时，即， 函数的最大值为4，最小值为， ， 解得（舍）或； 综上所述：n的值为或． 27．（2022·河南·模拟预测）已知二次函数的图象与轴相交于点，与的部分对应值如表（为整数）： (1)直接写出的值和点的坐标． (2)在给出的坐标系中画出该函数图象的草图． (3)过点A作直线轴，将抛物线在轴左侧的部分沿直线翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象．请你结合新图象回答：当直线与新图象有两个公共点，求的取值范围． 【答案】(1)，； (2) (3)或 【分析】（1）根据抛物线的对称性求得，根据表中的数据特征得出点坐标； （2）画出函数图象的草图即可； （3）观察图象，即可求得的值． 【详解】（1）解：当和时对应的值相等， 故二次函数的对称轴为， ∴； 由表格知，图象过， ∵图象与y轴相交于点， ∴； （2）略 （3）解：新图象如图： 由图象可知，直线与新图象有两个公共点，直线与新图象有两个公共点， 综上，或． 28．（2026·河南信阳·三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，． (1)求该抛物线的顶点坐标． (2)若， ①求该抛物线的解析式，并在给出的平面直角坐标系中画出这条抛物线． ②当时，的最大值与最小值的差为，请直接写出的值． 【答案】(1) (2) ①该抛物线的解析式为： ②或 【分析】（1）根据配方法化为顶点式，进而求得顶点坐标； （2）①根据抛物线的对称轴为直线，，求得点代入解析式，待定系数法求解析式，即可求解； ②分情况讨论：，，，，根据二次函数的性质，分别求得最值，结合题意列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解： ∴该抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线， （2）解：①∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴交于点，，且， ∴， 将代入得 解得： ∴该抛物线的解析式为： 图略 ②当时，最小值为，最大值为 依题意， 解得：； 当时，即时，最大值为，最小值为 依题意， 解得：， 当时，即时，最小值为， 当时，最大值为 依题意， 解得：（舍去）或（舍去） 当时，最大值为 依题意， 解得：（舍去）或（舍去） 综上所述，或 29．（2026·陕西·中考真题）已知二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表： … … … … (1)在给定的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； (2)下列关于该二次函数的说法中，正确的是_________（填序号）； ①；②；③当时，有最小值为；④当时，的值随值的增大而增大 (3)若将该二次函数的图象沿轴向下平移6个单位长度，交轴于，两点，求的长． 【答案】(1)如图，二次函数图象即为所求： (2)①②③ (3) 【分析】（1）先描点，再连线即可作图象； （2）根据函数图象分析即可； （3）先求出原抛物线的表达式，然后求出平移后的抛物线表达式，再令，求出其与轴的两个交点坐标，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由函数图象可得，抛物线开口向上，故，①正确； 抛物线与轴有两个交点，故，②正确； 由图象可得，当时，有最小值为，③正确； 由图象可得，当时，的值随值的增大而增大，④错误， ∴正确的有①②③； （3）解：根据函数图象可得，顶点坐标为，故设表达式为 将点代入得，， 解得 ∴抛物线表达式为 ∴沿轴向下平移6个单位长度后的抛物线表达式为，即为， 令，则 解得 ∴抛物线与轴的交点为， ∴． 30．（2026·河南南阳·二模）在二次函数中，图象经过点和．    (1)求二次函数的表达式； (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象； (3)将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最小值为，直接写出的值． 【答案】(1) (2)，    (3)的值为6或2 【分析】（1）利用待定系数法进行解答即可； （2）利用配方法化成顶点式即可得到二次函数图象的顶点坐标，根据描点法画出图象即可； （3）求出平移后的抛物线解析式，根据的范围进行解答即可． 【详解】（1）解：把点和代入，得： ， 解得， 二次函数的表达式为； （2）解：， 二次函数图象的顶点坐标为， 当时，， ∴抛物线与轴的交点为， 当时，，解得， ∴抛物线与轴的交点为和， 画函数图象略； （3）由题意，二次函数的图象向右平移个单位长度， 新函数为． 此时函数图象开口向上，对称轴是直线，函数的最小值为， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 当时，图象对应的函数最小值为， 或， 当，即时，此时当时，图象对应的函数最小值为， 即 ， 解得：或4（舍去）； 当，即时，此时当时，图象对应的函数最小值为， b ， 解得：或4（舍去）； 综上所述，的值为6或2． 题型六：二次函数的图象和性质综合问题 31．（2026·江苏盐城·三模）已知二次函数（m为常数）． (1)若该函数图象上有两个点、，试比较与的大小； (2)当时，函数有最小值为，请直接写出m的值． 【答案】(1)． (2) 【分析】（1）先求二次函数对称轴，利用二次函数开口向上时，点到对称轴距离越远函数值越大的性质比较和； （2）对于范围内的最值问题，先确定对称轴为，因为二次函数开口向上，所以分三种情况讨论：如果对称轴在范围左侧，那么最小值在处取得；如果对称轴在区间内，那么最小值在顶点处取得；如果对称轴在区间右侧，那么最小值在处取得，分别列方程求解后验证是否符合对应范围条件． 【详解】（1）解：已知二次函数，二次项系数，抛物线开口向上． 根据对称轴公式得对称轴为： ， 点到对称轴的距离：， 点到对称轴的距离：， 开口向上的二次函数，点离对称轴越远，函数值越大， 因为， 因此． （2）解：根据对称轴位置分三种情况讨论： 当时： 在上y随x的增大而增大，最小值在处取得： ，此情况无解． 当时： 函数最小值在顶点取得： ，整理得， 解得，只有满足条件； 当时： 在上y随x的增大而减小，最小值在处取得： ， 解得，不满足，舍去． 综上，． 32．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，点A，B在抛物线上．已知点A，B的横坐标分别为，4，直线与y轴交于点． (1)求直线的函数解析式； (2)在x轴上找一点P，使的值最小，请求出此时点P的坐标及的最小值． 【答案】(1) (2)，的最小值为 【分析】本题考查了二次函数的应用、一次函数的应用、轴对称的性质等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）先根据二次函数的解析式求出，，再利用待定系数法求解即可得； （2）先求出，再作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，则点即为所求，利用待定系数法求出直线的解析式，则可得点的坐标，然后利用两点之间的距离公式即可得最小值． 【详解】（1）解：将代入得：， ∴， 将代入得：， ∴， 设直线的函数解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的函数解析式为． （2）解：将代入得：， ∴， 如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点， 由轴对称的性质得：， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，即的值最小，最小值为， ∴与轴的交点即为所求， 设直线的函数解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的函数解析式为， 将代入得：，解得， ∴此时点的坐标为， 综上，此时点的坐标为，的最小值为． 33．（2026·浙江丽水·模拟预测）已知直线交抛物线（常数）于点，，． (1)求抛物线的对称轴． (2)当抛物线最高点到直线的距离为9时， ①求的值； ②若点，是范围内抛物线上的两点，且，．当取得最大值时，记点向右平移3个单位后的点为，求线段的中点的坐标． 【答案】(1)； (2)①；②． 【分析】（1）代入抛物线对称轴公式求解即可； （2）①利用抛物线最高点到直线的距离为这个条件结合抛物线顶点坐标与直线的表达式列出且可求出的值，联立抛物线和直线结合即可得到的值；②取得最大值，在内先让尽可能大，取顶点纵坐标时最大，再让尽可能小，从而可得到点，的坐标，由平移性质得到的坐标，再利用中点坐标公式求得线段的中点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为； （2）解：①直线过点，， 直线的表达式为， ， 该抛物线的顶点为， 抛物线最高点到直线的距离为， ，， ，即，解得或（舍去）， 抛物线为，直线为， 联立抛物线和直线得， 化简得，即， 解得，， ， ； ②取得最大值， 最大为当时，， ， 最小为当时，， ，， 点向右平移个单位后的点为， ，即， 线段的中点的坐标为，即． 34．（2026·河南商丘·模拟预测）已知抛物线关于直线对称． (1)求a的值． (2)若点在此抛物线上，当时，求的最大值与最小值的差． (3)若点，都在此抛物线上，且，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1)1 (2)16 (3) 【分析】（1）根据对称轴的公式直接列式作答即可； （2）先得出抛物线的解析式，根据抛物线开口确定的值随x的大小而变化的情况，问题即可求解； （3）抛物线的开口向上，且距离抛物线对称轴越近的点，其函数值越小，根据可知点距离对称轴的距离更远，据此列出带绝对值的不等式，再分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：根据题意有：，解得：； （2）∵， ∴抛物线解析式为：； ∵，抛物线的对称轴为直线， ∴当时，随x的增大而减小；当时，随x的增大而增大； 当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，的最大值为，,最小值为， ∴的最大值与最小值的差：； （3）点，都在此抛物线上，且， ∵，抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线的开口向上，且距离抛物线对称轴越近的点，其函数值越小， ∵， ∴， 即：， 当时，去绝对值为：， ∴恒成立，即此时满足要求； 当时，去绝对值为：， 解得：， ∴当时，满足要求； 当时，去绝对值为：， 即此时不等式无解，故此种情况舍去； 综上：的取值范围为：． 35．（2026·北京·三模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和． (1)求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）； (2)将抛物线向上平移个单位，再向右平移个单位得到抛物线，无论为何值，抛物线恒过，过作轴的垂线交抛物线于，两点（在的左侧），交抛物线于，两点（在的左侧），则的值存在最小值吗？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在最小值 【分析】（1）根据抛物线的对称性可知，抛物线顶点的横坐标为，根据抛物线的对称轴公式求出，所以抛物线的解析式为，把抛物线顶点横坐标代入解析式求出顶点纵坐标，即可得到抛物线顶点坐标； （2）根据平移的性质可知点在抛物线上，把点的坐标代入解析式可得：，根据抛物线的对称性可知，根据二次函数的性质可知当时取得最小值，的最小值． 【详解】（1）解：抛物线经过点， ， 经过点且， 对称轴为， ， 抛物线的解析式为， 抛物线的顶点的横坐标为，顶点的纵坐标为， 抛物线的顶点坐标为； （2）解：将抛物线向上平移个单位，再向右平移个单位得到， 过点，而上的点由上的点平移得到， 点在上， 代入得：， 整理得：， ， ， 直线与交于，，与交于，， ，关于的对称轴对称， ， ，关于的对称轴对称， ， ，分别在，左侧，且在右侧， ， ， 当时取得最小值，此时取得最小值． 36．（2026·福建漳州·模拟预测）抛物线经过点． (1)求c的值； (2)已知B是x轴上方的抛物线上一点，轴，垂足为H，且 ①求证：为定值； ②若抛物线上有且仅有两个点C，D（异于点B），使得的面积相等，求该抛物线的函数表达式． 【答案】(1) (2)①证明：设， 点在轴上方， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴ ，为定值． ②抛物线的函数表达式为或 【分析】（1）把点代入抛物线，即可求解； （2）①设，则，根据，得到，因此，从而可推出，得到，即可证明，为定值； ②根据同底三角形面积相等得点B，C，D到x轴的距离都相等，都等于，结合交点个数要求，利用一元二次方程判别式求出b的值，即可得到抛物线解析式． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， ∴． （2）①略； ②∵的面积相等，且它们有公共边，在x轴上， ∴点B，C，D到x轴的距离都相等，都等于， ∴点B，C，D是直线或直线与抛物线的交点， 由方程组得， ∵， ∴该方程总有2个不同实根，对应抛物线上2个点，其中一个为B，因此异于B有1个点满足条件． 由方程组得， ∵要求异于B共有2个点满足条件， ∴该方程有两个相等的实数根， ∴， 解得． ∴该抛物线的函数表达式为或． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次函数的图象和性质的六种模型 题型一 二次函数的图象和性质 题型二 利用二次函数的性质求解 题型三 一次函数、反比例函数、二次函数图象综合判断问题 题型四 二次函数与各项系数符号问题 题型五 画二次函数的图象 题型六 二次函数的图象和性质综合问题 题型一：二次函数的图象和性质 1．C 2．C 3．/ 4． 5．(1)抛物线开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为，当时，y有最大值2，无最小值 (2)当时，y随x的增大而减小 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式可得抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；根据，在对称轴右侧，y随x的增大而减少可得答案． 【详解】（1）解：在函数中，， 所以抛物线开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为， 当时，y有最大值2，无最小值． （2）当时，y随x的增大而减小． 6．(1) （ⅰ）；（ⅱ） (2) 成立，理由见解析 【分析】（1）（ⅰ）因为抛物线的函数值相等的两个点关于对称轴对称，所以取B、C两点横坐标的平均值即可得到对称轴；（ⅱ）因为抛物线开口向下，所以点到对称轴的距离越远，对应的函数值越小，计算A、C两点到对称轴的距离，比较距离大小后即可判断函数值大小； （2）首先如果，那么代入可得到和的关系，进而求出抛物线的对称轴；再根据和，可确定的符号；之后计算的表达式，结合的条件和对称轴的位置，判断的符号，即可验证结论是否成立． 【详解】（1）（ⅰ）∵，且抛物线上纵坐标相等的两点关于对称轴对称，点、， ∴对称轴为：； （ⅱ）到对称轴的距离：，到对称轴的距离：， ∵，开口向下， ∴点离对称轴越远纵坐标越小， ∵， ∴； （2）解：成立，理由如下： ∵，将代入抛物线得：， 整理得， ∴对称轴为：， ∵，开口向下， ∴当时，随增大而减小， 又∵ ， ∴， ∵， ∴异号， 结合得：， ∴． 题型二：利用二次函数的性质求解 7．A 8．A 9．或 10． 11．(1) (2) 【分析】（1）将代入二次函数中，得到，即可得到函数图象的顶点坐标为； （2）先求得抛物线的对称轴为直线，根据当时，y随x的增大而减小；当时，随的增大而增大，得到，即可求得的取值范围． 【详解】（1）解：∵， ∴二次函数， ∴函数图象的顶点坐标为； （2）解：∵二次函数为， ∴对称轴为直线， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴，解得； ∵当时，随的增大而增大， ∴，解得， ∴的取值范围是． 12．(1)直线 (2) (3)或 【分析】（1）先将已知点代入抛物线解析式，得到，再利用抛物线对称轴公式直接计算得到对称轴 （2）代入得到抛物线解析式，配方得顶点坐标，根据开口方向得到的最小值，即的最小值 （3）将抛物线化为顶点式，对称轴在给定区间内，分和两种情况，根据开口方向判断区间内最值位置，列方程求解得到和 【详解】（1）解：将点代入得： 整理得， 抛物线对称轴为 ∴该抛物线的对称轴为直线 （2）解：当时，， 抛物线解析式为： 抛物线开口向上， 点在抛物线上， 的最小值为； （3）将抛物线化为顶点式得，对称轴 ，且， 对称轴在内， 分两种情况讨论：情况1：，抛物线开口向上，顶点为最小值点， ， 解得， 左端点到对称轴的距离为，右端点到对称轴的距离为，， 最大值在处， 代入得 把代入得， 解得 ， ； 情况2：，抛物线开口向下，顶点为最大值点 ，解得， ∵抛物线的右端点到对称轴距离更远， 最小值在处.代入得， 把代入得， 解得 ， ， 综上，或 题型三：一次函数、反比例函数、二次函数图象综合判断问题 13．C 14．C 15．C 16．A 17． 18．或 题型四：二次函数与各项系数符号问题 19．B 20．D 21．B 22．①②③④ 23．②③④ 24．①②③⑤ 题型五：画二次函数的图象 25．函数图象如图： 【分析】按照列表、描点、连线的步骤作图即可． 【详解】解：对于 列表为： …… 0 1 2 …… …… 2 0 2 8 …… 对于 列表为： …… 2 3 4 …… …… 2 0 2 8 …… 再描点、连线作出图象． 26．(1) (2) ；抛物线图象如图所示： (3)或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）将一般式化为顶点式，即可求出顶点坐标，进而画出图象即可； （3）根据函数平移规律“左加右减”得到平移后的函数解析式，进而得到函数的对称轴为直线，函数图象开口向下，然后结合函数最大值与最小值情况分情况讨论计算，进而可以得解． 【详解】（1）解：（1）把和两点代入可得， ，解得， ； （2）解：， 二次函数图象的顶点坐标为； 图见答案； （3）解：将二次函数的图象向左平移n个单位长度， ， 函数的对称轴为直线， 当时，， 当时， ， 当时，即， 函数的最大值为，最小值为， ， 解得（舍）； 当 时，即， 函数的最大值为，最小值为， ， 解得（舍）； 当时，即， 函数的最大值为4，最小值为， 解得或（舍）； 当 时，即， 函数的最大值为4，最小值为， ， 解得（舍）或； 综上所述：n的值为或． 27．(1)，； (2) (3)或 【分析】（1）根据抛物线的对称性求得，根据表中的数据特征得出点坐标； （2）画出函数图象的草图即可； （3）观察图象，即可求得的值． 【详解】（1）解：当和时对应的值相等， 故二次函数的对称轴为， ∴； 由表格知，图象过， ∵图象与y轴相交于点， ∴； （2）略 （3）解：新图象如图： 由图象可知，直线与新图象有两个公共点，直线与新图象有两个公共点， 综上，或． 28．(1) (2) ①该抛物线的解析式为： ②或 【分析】（1）根据配方法化为顶点式，进而求得顶点坐标； （2）①根据抛物线的对称轴为直线，，求得点代入解析式，待定系数法求解析式，即可求解； ②分情况讨论：，，，，根据二次函数的性质，分别求得最值，结合题意列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解： ∴该抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线， （2）解：①∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴交于点，，且， ∴， 将代入得 解得： ∴该抛物线的解析式为： 图略 ②当时，最小值为，最大值为 依题意， 解得：； 当时，即时，最大值为，最小值为 依题意， 解得：， 当时，即时，最小值为， 当时，最大值为 依题意， 解得：（舍去）或（舍去） 当时，最大值为 依题意， 解得：（舍去）或（舍去） 综上所述，或 29．(1)如图，二次函数图象即为所求： (2)①②③ (3) 【分析】（1）先描点，再连线即可作图象； （2）根据函数图象分析即可； （3）先求出原抛物线的表达式，然后求出平移后的抛物线表达式，再令，求出其与轴的两个交点坐标，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由函数图象可得，抛物线开口向上，故，①正确； 抛物线与轴有两个交点，故，②正确； 由图象可得，当时，有最小值为，③正确； 由图象可得，当时，的值随值的增大而增大，④错误， ∴正确的有①②③； （3）解：根据函数图象可得，顶点坐标为，故设表达式为 将点代入得，， 解得 ∴抛物线表达式为 ∴沿轴向下平移6个单位长度后的抛物线表达式为，即为， 令，则 解得 ∴抛物线与轴的交点为， ∴． 30．(1) (2)，    (3)的值为6或2 【分析】（1）利用待定系数法进行解答即可； （2）利用配方法化成顶点式即可得到二次函数图象的顶点坐标，根据描点法画出图象即可； （3）求出平移后的抛物线解析式，根据的范围进行解答即可． 【详解】（1）解：把点和代入，得： ， 解得， 二次函数的表达式为； （2）解：， 二次函数图象的顶点坐标为， 当时，， ∴抛物线与轴的交点为， 当时，，解得， ∴抛物线与轴的交点为和， 画函数图象略； （3）由题意，二次函数的图象向右平移个单位长度， 新函数为． 此时函数图象开口向上，对称轴是直线，函数的最小值为， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 当时，图象对应的函数最小值为， 或， 当，即时，此时当时，图象对应的函数最小值为， 即 ， 解得：或4（舍去）； 当，即时，此时当时，图象对应的函数最小值为， b ， 解得：或4（舍去）； 综上所述，的值为6或2． 31．(1)． (2) 【分析】（1）先求二次函数对称轴，利用二次函数开口向上时，点到对称轴距离越远函数值越大的性质比较和； （2）对于范围内的最值问题，先确定对称轴为，因为二次函数开口向上，所以分三种情况讨论：如果对称轴在范围左侧，那么最小值在处取得；如果对称轴在区间内，那么最小值在顶点处取得；如果对称轴在区间右侧，那么最小值在处取得，分别列方程求解后验证是否符合对应范围条件． 【详解】（1）解：已知二次函数，二次项系数，抛物线开口向上． 根据对称轴公式得对称轴为： ， 点到对称轴的距离：， 点到对称轴的距离：， 开口向上的二次函数，点离对称轴越远，函数值越大， 因为， 因此． （2）解：根据对称轴位置分三种情况讨论： 当时： 在上y随x的增大而增大，最小值在处取得： ，此情况无解． 当时： 函数最小值在顶点取得： ，整理得， 解得，只有满足条件； 当时： 在上y随x的增大而减小，最小值在处取得： ， 解得，不满足，舍去． 综上，． 题型六：二次函数的图象和性质综合问题 32．(1) (2)，的最小值为 【分析】本题考查了二次函数的应用、一次函数的应用、轴对称的性质等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）先根据二次函数的解析式求出，，再利用待定系数法求解即可得； （2）先求出，再作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，则点即为所求，利用待定系数法求出直线的解析式，则可得点的坐标，然后利用两点之间的距离公式即可得最小值． 【详解】（1）解：将代入得：， ∴， 将代入得：， ∴， 设直线的函数解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的函数解析式为． （2）解：将代入得：， ∴， 如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点， 由轴对称的性质得：， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，即的值最小，最小值为， ∴与轴的交点即为所求， 设直线的函数解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的函数解析式为， 将代入得：，解得， ∴此时点的坐标为， 综上，此时点的坐标为，的最小值为． 33．(1)； (2)①；②． 【分析】（1）代入抛物线对称轴公式求解即可； （2）①利用抛物线最高点到直线的距离为这个条件结合抛物线顶点坐标与直线的表达式列出且可求出的值，联立抛物线和直线结合即可得到的值；②取得最大值，在内先让尽可能大，取顶点纵坐标时最大，再让尽可能小，从而可得到点，的坐标，由平移性质得到的坐标，再利用中点坐标公式求得线段的中点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为； （2）解：①直线过点，， 直线的表达式为， ， 该抛物线的顶点为， 抛物线最高点到直线的距离为， ，， ，即，解得或（舍去）， 抛物线为，直线为， 联立抛物线和直线得， 化简得，即， 解得，， ， ； ②取得最大值， 最大为当时，， ， 最小为当时，， ，， 点向右平移个单位后的点为， ，即， 线段的中点的坐标为，即． 34．(1)1 (2)16 (3) 【分析】（1）根据对称轴的公式直接列式作答即可； （2）先得出抛物线的解析式，根据抛物线开口确定的值随x的大小而变化的情况，问题即可求解； （3）抛物线的开口向上，且距离抛物线对称轴越近的点，其函数值越小，根据可知点距离对称轴的距离更远，据此列出带绝对值的不等式，再分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：根据题意有：，解得：； （2）∵， ∴抛物线解析式为：； ∵，抛物线的对称轴为直线， ∴当时，随x的增大而减小；当时，随x的增大而增大； 当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，的最大值为，,最小值为， ∴的最大值与最小值的差：； （3）点，都在此抛物线上，且， ∵，抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线的开口向上，且距离抛物线对称轴越近的点，其函数值越小， ∵， ∴， 即：， 当时，去绝对值为：， ∴恒成立，即此时满足要求； 当时，去绝对值为：， 解得：， ∴当时，满足要求； 当时，去绝对值为：， 即此时不等式无解，故此种情况舍去； 综上：的取值范围为：． 35．(1) (2)存在最小值 【分析】（1）根据抛物线的对称性可知，抛物线顶点的横坐标为，根据抛物线的对称轴公式求出，所以抛物线的解析式为，把抛物线顶点横坐标代入解析式求出顶点纵坐标，即可得到抛物线顶点坐标； （2）根据平移的性质可知点在抛物线上，把点的坐标代入解析式可得：，根据抛物线的对称性可知，根据二次函数的性质可知当时取得最小值，的最小值． 【详解】（1）解：抛物线经过点， ， 经过点且， 对称轴为， ， 抛物线的解析式为， 抛物线的顶点的横坐标为，顶点的纵坐标为， 抛物线的顶点坐标为； （2）解：将抛物线向上平移个单位，再向右平移个单位得到， 过点，而上的点由上的点平移得到， 点在上， 代入得：， 整理得：， ， ， 直线与交于，，与交于，， ，关于的对称轴对称， ， ，关于的对称轴对称， ， ，分别在，左侧，且在右侧， ， ， 当时取得最小值，此时取得最小值． 36．(1) (2)①证明：设， 点在轴上方， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴ ，为定值． ②抛物线的函数表达式为或 【分析】（1）把点代入抛物线，即可求解； （2）①设，则，根据，得到，因此，从而可推出，得到，即可证明，为定值； ②根据同底三角形面积相等得点B，C，D到x轴的距离都相等，都等于，结合交点个数要求，利用一元二次方程判别式求出b的值，即可得到抛物线解析式． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， ∴． （2）①略； ②∵的面积相等，且它们有公共边，在x轴上， ∴点B，C，D到x轴的距离都相等，都等于， ∴点B，C，D是直线或直线与抛物线的交点， 由方程组得， ∵， ∴该方程总有2个不同实根，对应抛物线上2个点，其中一个为B，因此异于B有1个点满足条件． 由方程组得， ∵要求异于B共有2个点满足条件， ∴该方程有两个相等的实数根， ∴， 解得． ∴该抛物线的函数表达式为或． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01 二次函数的图象和性质的六种模型 题型归纳 题型一二次函数的图象和性质 题型二利用二次函数的性质求解 题型三一次函数、反比例函数、二次函数图象综合判断问题 题型四二次函数与各项系数符号问题 题型五画二次函数的图象 题型六二次函数的图象和性质综合问题 题型专练 题型一：二次函数的图象和性质 1,(2026广东广州二模)对于抛物线y=7(x-2)}-1,下列说法正确的是（). A.图象与y轴无交点 B.当x>0时，y随x的增大而增大 C.当x=2时，y有最小值-1 D.图象的顶点坐标为(-2，-) 2.(2026陕西宝鸡模拟预测)己知二次函数y=ar+br+c(a≠0)的自变量x与函数y的几组对 应值如下表： -4 0 1 5 y 0 8 5 -27 则下列关于该二次函数的说法正确的是() A.图象开口向上 B.当4<x<1时，y的取值范围为0<y≤8 C.一元二次方程ar2+br+c=9有两个相等的实数根 D,图象的对将轴是直线=月 1/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(25-26九年级上山东菏泽期末)已知点P(-2,y),B(-1y),B(5)都在二次函数 y=-(x-少+3图像上，则y'为：⅓的大小关系为 4.(25-26八年级下河南开封期末)若点A(-3,),B(1,),C(2,)在二次函数y=x2-2x的图象上， 则，2，的大小关系用“>”连接为 5.(2425九年级下全国随堂练习)已知函数y=x-+2。 (1)指出它的图像的开口方向、对称轴和顶点坐标以及函数的最大值或最小值， (②)当x取何值时，y随x的增大而减小？ 6.(2026安徽合肥三模)已知抛物线y=ax2+br+c(a<0)过A(-4,y),B(2,2),C(3,),D(5,y4) 四点. (1)若y2=. (1)求该抛物线的对称轴： (ⅱ)比较，的大小. (2)若片=C,少<0，判断4<0是否成立，并说明理由。 题型二：利用二次函数的性质求解 7.(26-27九年级上海暑假作业)已知抛物线y=x2+bx+C(a≠0)过点4(2，)、B(3,1)和C(4,2),那么 a+b+c的值是() A.2 B.3 C.4 D.5 8.(2026广东清远二模)若二次函数y=ar2-4r+2(a≠0)的图象与x轴没有交点，则a的取值范围为 () A.a>2 B.a<2 C.a>-2 D.a<-2 9.(2026四川南充中考真题)抛物线y=x2+x+m-2与x轴交于A,B两点，且AB=5,则m的值 为 10.(25-26八年级下福建福州期末)已知点P(1,),Q(5,),M(m,)均在抛物线y=ax2+bx+c上， 其中2am+b=0,若≥2>，则m的取值范围是 11,(2026四川攀枝花中考真题)已知二次函数y=3x2-4ax+4,其中a为常数. 2/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3 ()若a=2,求此函数图象的顶点坐标： (2)当1≤x≤4时，y随x的增大而减小；当8≤x≤12时，Y随x的增大而增大，求a的取值范围. 12.(2026:安徽马鞍山三模)已知抛物线y=a2+bx+5经过点(4,5) (1)求该抛物线的对称轴。 (2)当a=1时，若点(m-2,h)在抛物线上，求h的最小值， (3)若存在实数n,当n>0,且2-n≤x≤2+2n时，y的取值范围是-1≤y≤23，求a,n的值. 题型三：一次函数、反比例函数、二次函数图象综合判断问题 13.(2026贵州六盘水：二模)一次函数y=x+b与反比例函数y=,在同一平面直角坐标系中的图象如 图所示，则二次函数y=a心2+bx+c的图象大致是() 14.(2026·安徽芜湖三模)在同一平面直角坐标系中，二次函数y=a+br与一次函数y=bx-a的图象 可能是() 3/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 15.(2026安徽三模)二次函数y=ar2+br+c(a,b,c是常数且a<0)的图象如图所示，则直线 y=bcx+2a+b-1与反比例函数y=b-a-c 的图象在同一平面直角坐标系中的位置大致为() D 16.(2026安徽滁州二模)已知与2是关于x的二次函数，函数图象如图所示，则函数y=y-的图 象可能是() 4/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 17.（2025宁叉银川三模)一次离数y=x+4-2m:=次函数y=+a-1x-3,反比例函数y= x在 同一直角坐标系中图象如图所示则的取值范围是 18.(24-25九年级上广东东莞期末)抛物线y=a2+bx+c与双曲线片=，的图象如图所示，当y>y 时，x的取值范围是 题型四：二次函数图象与各项系数符号问题 19.(26-27九年级上海暑假作业)二次函数y=ax2+bx+(a≠0)的部分图象如图所示，对称轴为直线 x=-1,则下列结论中不正确的是() 5/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3 2 A.3a+c<0 B.a-b≤am2+bm(m为任意实数) C.9a-3b+c<0 D.关于x的方程ar+bx+c卡1有四个根 20.(2026宁夏银川三模)二次函数y=2+br+C的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结 论：①a<0;②c>0:③b2-4ac>0；④3a+b=0,其中，正确的有(). YA A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 21.(2026黑龙江佳木斯三模)如图，抛物线y=a2+bx+c经过点(-l,0),与x轴的另一个交点在点 (2,0)和点(3,0)之间，与y轴相交于正半轴：①b=a+c;②a+b>0;③2a+b>0:④ 4ac-b2 4a +a+b+c<0中，正确结论的个数是() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 22.(2026湖南长沙二模)己知抛物线y=am2+bx+C的对称轴是直线x=-2,抛物线与x轴的一个交点 6/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在点(-4,0)和点（-3,0)之间，其部分图像如上图所示，下列结论：①y的最大值为3：②a-b+c>0:③ 当x>-2时，y随x的增大而减小；④4a-b=0.其中正确的序号为 23.(2026湖北武汉一模)二次函数y=r2+br+C(a≠0)的图象如图所示，顶点为(1,3)，下列结论：① abc>0:②3a+c<0:③关于x的方程r'+(b-K)x+c+k-2=0(k为常数)有实数根：④若一元二次 方程a(x+1)'+3=0两根为m,n(m<m),则0<n<1,-3<m<-2.其中正确的是 =1 23龙 24. (2026湖北武汉三模)抛物线y=a2+bx+c(a,b,c是常数，其中c<0)经过(-l,1)和(3，)两点， 下列五个结论： ①2a+b=0;②4a+2b+c<0;③若抛物线与x轴交于(m,0)和(n,0)两点，m<n,则-1<m<0, 2<n<3;④对任意实数x,不等式am2+bx+c≥-a恒成立：⑤若抛物线上任意不同两点A(:,乃)，B(x2,乃) 都满足：当<<-时，(：-x)(y-为)<0；当后<时，(：-)y-y)>0.则直线y=与抛 物线的交点为(0，-0.5)与(2,0.5).其中正确的是 一（填写序号）· 题型五：画二次函数的图象 (2525九年级下余四课后作)在如图所示的平面直角华标系中，面半两激y方和y=-2y 25. 的图象。 7/12 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8以 6 4 3 2 1 5432912345 -2 -4 -2 -1 2 4 y 8 1 2 0 2 2 2 0 1 2 6 y 2 2 0 2 2 P 26. (2026河南模拟预测)抛物线y=am2+bx+3经过A(-1,0)和B(3,0)两点. 432 -54-3-2-1012345 -2 4 -5 (1)求二次函数的表达式 (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象. (3)将二次函数的图象向左平移个单位长度后，当-3≤x≤0时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为 3,请直接写出n的值， 27.(2022河南模拟预测)已知二次函数y=axr2+bx+c(a>0)的图象与y轴相交于点A,y与x的部分 对应值如表(m为整数)： 0 乡 8/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -3 -4 -3 Y 5 4 3 2 5 4-3-2-10 1 2345x 2 3 4 5 (1)直接写出m的值和点A的坐标， (2)在给出的坐标系中画出该函数图象的草图. (3)过点A作直线∥x轴，将抛物线在y轴左侧的部分沿直线翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一 个新图象.请你结合新图象回答：当直线y=n与新图象有两个公共点，求n的取值范围， 28.(2026河南信阳三模)在平面直角坐标系中，已知抛物线y=mx-2mx+m-4与x轴交于点A,B. 5 4 3 2↓ -5-4-3-2-10 2345t 3 5 (1)求该抛物线的顶点坐标. (2)若AB=4, ①求该抛物线的解析式，并在给出的平面直角坐标系中画出这条抛物线， ②当n-2≤x≤n时，y的最大值与最小值的差为8，请直接写出n的值. 29 (2026陕西中考真题)己知二次函数y=ax2+br+C的自变量x与函数y的几组对应值如下表： -2 -1 0 1 4 5 0 -3 -4 5 (1)在给定的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； 9/12 ◎学科网·上好课 www. .com 上好每一堂课 y 1 x (2)下列关于该二次函数的说法中，正确的是(填序号)； $$\textcircled 1 a > 0 ； \textcircled 2 b ^ { 2 } - 4 a c > 0 ； \textcircled 3$$ 当 x=1 1时， y 有最小值为-4；④当 x>0 时， y 的值随x值的增大而增大 (3)若将该二次函数的图象沿 y 轴向下平移6个单位长度，交轴于4，B两点，求AB的长. 30.(2026河南南阳二模)在二次函数 $$y = a x ^ { 2 } + b x - 3$$ 中，图象经过点(-3，0)和(1，0). yA 3 2 -4 -4 -3 2- -1 1 2 3 4 4： x -2 -3 -4 -5 (1)求二次函数的表达式； (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象； (3)将二次函数的图象向右平移n个单位长度后，当 2≤x≤4 时，若图象对应的函数最小值为 -3， ，直接写出 n的值. 题型六：二次函数的图象和性质综合问题 31.(2026江苏盐城三模)已知二次函数 $$y = \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } - m x + 2 m - 3 \left( m$$ m为常数 (1)若该函数图象上有两个点 $$A \left( m + 2 ， y _ { 1 } \right) 、 B \left( m - 1 ， y _ { 2 } \right) ，$$ ，试比较与 $$y _ { 2 }$$ 的大小； ( \left.2) 当 2≤x≤4 时，函数有最小值为-2，请直接写出 的值. 10/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 32。(2025九年级上全国专题练习)如图，点4，B在抛物线y=4上.已知点4，B的横坐标分别为 -2,4,直线AB与y轴交于点C. VA B -20 (I)求直线AB的函数解析式： (2)在x轴上找一点P,使PA+PC的值最小，请求出此时点P的坐标及PA+PC的最小值. 33.(2026浙江丽水模拟预测)已知直线1交抛物线y=ar2-4ar-3(常数a≠0)于点(s,8a),(化，8a）, s<t. (1)求抛物线的对称轴. (2)当抛物线最高点到直线1的距离为9时， ①求t的值； ②若点P(x,片)，Q(:,2)是b≤x≤1范围内抛物线上的两点，且b<2,:<x.当以-取得最大值时， 记点P向右平移3个单位后的点为P',求线段P'的中点的坐标. 34.(2026河南商丘·模拟预测)已知抛物线y=am2-4x+3(a≠0)关于直线r=2对称， (1)求a的值. (2)若点D(xoyp)在此抛物线上，当-2≤xo≤3时，求yo的最大值与最小值的差. (3)若点P(m,),Q(m+1,)都在此抛物线上，且片>2，请直接写出m的取值范围. 35.(2026北京·三模)在平面直角坐标系xOy中，抛物线G:y=-x2+bx+c经过点(0，P)和(p,P)(p≠0) (1)求抛物线G的顶点坐标（用含P的式子表示）： (②)将抛物线G向上平移3个单位，再向右平移(>0)个单位得到抛物线G,无论p为何值，抛物线G恒 过号0，过0，m)作)y轴的垂线交抛物线G于HB两点〈4在g的左侧)，交抛物线G于c:D两点 (C在D的左侧)，则AC+BD的值存在最小值吗？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由 36.(2026福建漳州模拟预测)抛物线y=x2+br+c经过点A(-b,0). (1)求c的值： (2)已知B是x轴上方的抛物线上一点，BH⊥x轴，垂足为H,且∠OBH=∠BAO. 11/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①求证：OHAH为定值； ②若抛物线上有且仅有两个点C,D(异于点B),使得△AOB△AOC,a△AOD的面积相等，求该抛物线的函 数表达式。 12112