精品解析：四川成都市成华区2025-2026学年下学期八年级期末数学试题

2025-2026学年度下期期末学业水平监测 八年级数学 注意事项： 1．全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟． 2．在作答前，考生务必将自己的姓名、准考证号涂写在试卷和答题卡规定的地方．考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回． 3．选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 5．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题 共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1. 若分式有意义，则实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 有两个容量足够大的玻璃杯，分别装有a克水、b克水，，都加入c克水后，下列式子能反映此时两个玻璃杯中水质量的大小关系的是（ ） A. B. C. D. 3. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，风力发电机的叶片在风的吹动下转动，使风能转化为电能，图中的三个叶片组成的图形绕着它的中心顺时针旋转后，能够与它本身重合，则旋转角的大小可以为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，对角线和交于点，点是的中点，连接，则下列结论中，一定成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马送到，所需时间比规定时间少2天，已知快马速度是慢马速度的倍，求规定时间．设规定时间为天，则由题意可列分式方程为（ ） A. B. C. D. 7. 一次函数的函数值随的增大而减小，当时的值可以是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 8. 如图，在中，，，，按下列步骤作图：①分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于，两点；②作直线交于点；③连接．则的周长为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 第Ⅱ卷（非选择题 共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 分解因式：_______． 10. 正五边形的一个外角的大小为__________度． 11. 在平面直角坐标系中，若点在第四象限，则的取值范围是________． 12. 如图，在中，，，，以点为圆心，的长为半径作弧，交于点，则的长为________． 13. 如图，在中，，，，作的平分线交于点，点，分别是和上的动点，则的最小值是________． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 解不等式组、解方程： （1） （2）； 15. 先化简，再求值：，其中是使不等式成立的正整数． 16. 5月24日，神舟二十三号载人飞船发射取得圆满成功．为了让同学们了解我国航天事业取得的成就并普及航天知识，学校购进了甲、乙两种航天科普图书，甲种图书每本厚0.8厘米，乙种图书每本厚1.2厘米，现将两种图书按图示方式摆放在长为84厘米的书架上． （1）若两种图书共90本恰好摆满该书架，问书架上甲、乙两种图书各有多少本？ （2）若书架上已摆放了10本甲种图书，求最多还可以摆放多少本乙种图书？ 17. 在中，，．点是的中点，点是边上一点，连接． （1）如图1，将线段绕点顺时针旋转，若点的对应点恰好落在边上，求的长； （2）将线段绕点逆时针旋转，若点的对应点恰好落在边上，请在图2中补全图形，并求的长． 18. 如图，在平面直角坐标系中，将y轴所在直线绕点逆时针旋转后交x轴于点B． （1）求直线的表达式； （2）再将绕点A逆时针旋转，得到对应，其中点C对应点B，点D对应点O． ①当时，试探究直线是否经过点B？请说明理由； ②设直线交x轴于点P，若，请直接写出点O和点D之间的距离． B卷（50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 若分式的值为0，则x的值是______． 20. 已知实数a，b满足，则______． 21. 若，其中，为常数，则的值为________． 22. 如图，在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和．当时，对于的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值，则的取值范围是________． 23. 如图，在平行四边形中，，，．过它的中心作的垂线，分别交，于点，，请在边上取点，连接并延长，交边于点．若，将平行四边形分成面积相等的四部分，则的长是_______． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 某段工程，需铺设一段全长为3000米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通的影响，实际施工时每天铺设管道长度比原计划增加，结果提前15天完成铺设任务． （1）求原计划每天铺设管道长度为多少米？ （2）负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，该工程所有工人的工资总金额不超过18万元，问该公司原计划最多应安排多少名工人施工？ 25. 如图，在中，，，．将绕点顺时针旋转，使点的对应点落在边上，点的对应点落在点处，过点作的平行线，交的延长线于点，过点作的平行线，交直线于点，连接． （1）求证：； （2）若，求的长； （3）若，求四边形的面积． 26. 在中，，，点为直线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到对应线段，过点作的平行线，交直线于点． （1）如图1，当点与点重合时，求证：； （2）如图2，当点在线段上（不与端点重合）时，试探究线段与有何数量关系？写出你的结论，并说明理由； （3）若，当点在直线上移动时，以点，，，为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，请直接写出的长；若不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度下期期末学业水平监测 八年级数学 注意事项： 1．全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟． 2．在作答前，考生务必将自己的姓名、准考证号涂写在试卷和答题卡规定的地方．考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回． 3．选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 5．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题 共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1. 若分式有意义，则实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键． 根据分式的分母不为0即可求解． 【详解】解：要使分式有意义， 则， 解得， 故选：A． 2. 有两个容量足够大的玻璃杯，分别装有a克水、b克水，，都加入c克水后，下列式子能反映此时两个玻璃杯中水质量的大小关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质．根据不等式的性质，在两边同时加上相同的正数，不等式方向不变，即可求解． 【详解】解：∵初始时，两杯水的质量分别为克和克， ∴加入克水后，两杯水的质量变为克和克， ∵， ∴， 故选：A 3. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用同分母分式减法法则计算，约分后即可得到结果． 【详解】解：． 4. 如图，风力发电机的叶片在风的吹动下转动，使风能转化为电能，图中的三个叶片组成的图形绕着它的中心顺时针旋转后，能够与它本身重合，则旋转角的大小可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图形被分成3个全等部分，计算最小旋转角即可求解． 【详解】解：∵该图形由三个完全相同的叶片组成，且均匀分布，  ∴该图形是一个旋转对称图形，其最小旋转角为，  ∴旋转角 应为的整数倍，即 …， 观察选项，只有C选项符合题意． 5. 如图，在中，对角线和交于点，点是的中点，连接，则下列结论中，一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形对角线互相平分可得为的中点，结合已知为的中点，利用三角形中位线定理即可得出结论. 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴点是的中点， ∵点为的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选项A、B、C错误，选项D正确． 6. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马送到，所需时间比规定时间少2天，已知快马速度是慢马速度的倍，求规定时间．设规定时间为天，则由题意可列分式方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设规定时间为天，先分别表示出慢马和快马走完全程的用时，再根据“快马速度是慢马速度的倍”，结合速度=路程÷时间的关系，即可列出正确的分式方程． 【详解】解：设规定时间为天，根据题意可得：． 7. 一次函数的函数值随的增大而减小，当时的值可以是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质，不等式的性质，熟悉一次函数的性质是解题的关键．根据一次函数的增减性可得k的取值范围，再把代入函数，从而判断函数值y的取值范围，即可得出结果． 【详解】解：∵一次函数的函数值随的增大而减小， ∴， ∴当时，， 选项中只有3符合要求， 故选：A． 8. 如图，在中，，，，按下列步骤作图：①分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于，两点；②作直线交于点；③连接．则的周长为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据作图步骤判断出是线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质解答即可． 【详解】解：由作图步骤可知，直线是线段的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴的周长． 第Ⅱ卷（非选择题 共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 分解因式：_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 原式提取7，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 10. 正五边形的一个外角的大小为__________度． 【答案】72 【解析】 【分析】根据多边形的外角和是360°，依此即可求解． 【详解】解：正五边形的一个外角的度数为：， 故答案为：72． 【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，正确理解多边形的外角和为360°是解题的关键． 11. 在平面直角坐标系中，若点在第四象限，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据第四象限内点的坐标符号特征列出不等式，求解即可． 【详解】解：∵第四象限内点的横坐标为正，纵坐标为负，点在第四象限， ∴， 解得：． 12. 如图，在中，，，，以点为圆心，的长为半径作弧，交于点，则的长为________． 【答案】 2 【解析】 【分析】根据平行四边形的对边相等求出的长，由作图可知，结合，可证是等边三角形，进而得到的长，最后根据线段的和差关系计算的长.  【详解】解：四边形是平行四边形， ， 由作图可知：， ， 是等边三角形， ， .  13. 如图，在中，，，，作的平分线交于点，点，分别是和上的动点，则的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得点关于的对称点落在边上，则的最小值转为点到直线的垂线段的长度，作于点，交于点，由直角三角形的性质并结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵平分， ∴点关于的对称点落在边上， ∴的最小值转为点到直线的垂线段的长度， 如图，作于点，交于点， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值是． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 解不等式组、解方程： （1） （2）； 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【小问1详解】 解：， 解不等式①得， 解不等式②得， 因此原不等式组的解集为； 【小问2详解】 解：， 方程两边同乘得， 展开得， 整理化简得， 解得， 检验：当时，，分式分母为零， 因此是增根，原分式方程无解． 15. 先化简，再求值：，其中是使不等式成立的正整数． 【答案】； 【解析】 【分析】先根据分式混合运算法则进行化简，然后求出不等式的解集，得出正整数a的值，再代入数据计算即可． 【详解】解： ， 解不等式得：， ∵a为正整数， ∴，，， ∵要使分式有意义， ∴， ∵当时，， ∴， ∴把代入得：原式． 【点睛】本题主要考查了分式化简求作，分式有意义的条件，解不等式，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算． 16. 5月24日，神舟二十三号载人飞船发射取得圆满成功．为了让同学们了解我国航天事业取得的成就并普及航天知识，学校购进了甲、乙两种航天科普图书，甲种图书每本厚0.8厘米，乙种图书每本厚1.2厘米，现将两种图书按图示方式摆放在长为84厘米的书架上． （1）若两种图书共90本恰好摆满该书架，问书架上甲、乙两种图书各有多少本？ （2）若书架上已摆放了10本甲种图书，求最多还可以摆放多少本乙种图书？ 【答案】（1）甲种图书本，乙种图书本； （2）最多还可以摆放本乙种图书． 【解析】 【分析】（1）设甲种图书有本，根据“总厚度恰好等于书架长”列方程求解即可； （2）设还可以摆放本乙种图书，根据总厚度不超过书架长列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设甲种图书有本，则乙种图书有本， ∵总厚度恰好等于书架长， ∴， 解得：， 则乙种图书数量为本； 答：甲种图书本，乙种图书本； 【小问2详解】 解：设还可以摆放本乙种图书， ∵总厚度不超过书架长， ∴， 解得：， ∵是正整数， ∴的最大值为63． 答：最多还可以摆放本乙种图书． 17. 在中，，．点是的中点，点是边上一点，连接． （1）如图1，将线段绕点顺时针旋转，若点的对应点恰好落在边上，求的长； （2）将线段绕点逆时针旋转，若点的对应点恰好落在边上，请在图2中补全图形，并求的长． 【答案】（1）2 （2）补图如图： 【解析】 【分析】（1）根据证明即可得出结论； （2）由勾股定理得，再证明是等腰直角三角形，可求出，从而可求出． 【小问1详解】 解：∵点是的中点， ∴， 由旋转得：，， ∵，． ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：在中，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴． 18. 如图，在平面直角坐标系中，将y轴所在直线绕点逆时针旋转后交x轴于点B． （1）求直线的表达式； （2）再将绕点A逆时针旋转，得到对应，其中点C对应点B，点D对应点O． ①当时，试探究直线是否经过点B？请说明理由； ②设直线交x轴于点P，若，请直接写出点O和点D之间的距离． 【答案】（1） （2）①直线经过点B， 理由：如图，将绕点A逆时针旋转，得到对应， 在中，，，， ∴， 由旋转得：，， ∵， ∴， ∴， ∴轴， ∴， 过点D作x轴的垂线，交于点E，交x轴于点F，则， ∴， 在中，，， ∴，， ∴， ∴， 设直线的表达式为， 将，代入得：， 解得：， ∴直线的表达式为， 令中，则， ∴， ∴直线经过点， 由（1）知，， ∴直线经过点B； ②点O和点D之间的距离为或 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，利用解含30度直角三角形得出点B的坐标，利用待定系数法即可求得直线的表达式； （2）①根据题意作出对应的图象，再利用解含30度直角三角形，旋转的性质及勾股定理求出点C和点D的坐标，利用待定系数法求出直线的表达式，再将点B代入表达式进行验证即可； ②由题意得到，分情况进行讨论：点P在点B的右侧，点P在点B的左侧，利用全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一定理，三角形面积公式及勾股定理即可求得最终结果． 【小问1详解】 解：由题意知，在中，，，， ∴在中，， ∴，即， ∴， ∴， 设直线的表达式为， 将点，代入得：， 解得：， ∴直线的表达式为． 【小问2详解】 ①略； ②解：∵， ∴， 此时分情况讨论： （i）如图，当点P在点B的右侧时， ∴， 在中，， 由旋转可知，，， ∵， 在中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设与的交点为E， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴， 即点O和点D之间的距离为； （ii）如图，当点P在点B的左侧时， ∴， 在中，， 同理可证得：， ∴， ∴， 设与的交点为F， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴， 即点O和点D之间的距离为， 综上所述，点O和点D之间的距离为或． B卷（50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 若分式的值为0，则x的值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件：分式的分母不为零，分子为零．根据分式的值为零的条件得：且，即可求解． 【详解】解：根据分式的值为零的条件得：且， 解得：． 故答案为：2． 20. 已知实数a，b满足，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式因式分解，根据平方差公式因式分解，将已知等式代入，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：． 21. 若，其中，为常数，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先对等式右侧通分整理，根据分式相等时分母相同则分子对应系数相等，列出关于,的方程组，求解得到,后，计算即可. 【详解】解：对等式右边通分整理，得， 由题意得， ∴，解得， ∴. 22. 如图，在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和．当时，对于的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】待定系数法计算得出函数为，函数为，画出函数图象，分情况讨论即可得出结果． 【详解】解：∵函数的图象经过点和， ∴， 解得， ∴函数为，函数为， ∵当时，对于的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值， ∴当时，，解得， 当时，直线的斜率更小，时，会不满足， 当时，恒成立； 当时，，解得， 当时，，即，在恒成立， 如图，当时，恒成立， 当时，当时，，不满足小于； 综上所述，的取值范围是． 23. 如图，在平行四边形中，，，．过它的中心作的垂线，分别交，于点，，请在边上取点，连接并延长，交边于点．若，将平行四边形分成面积相等的四部分，则的长是_______． 【答案】 【解析】 【分析】由于是中心对称图形，且经过对称中心，则将分成面积相等的两部分，进一步结合对称性，只要将四边形的面积两等分，就能保证，将的面积四等分，再进一步结合平行四边形及三角形的面积公式求解即可． 【详解】如图1，过点作于． 四边形是平行四边形， ，，． 是中心对称图形，且经过对称中心， 为对称点，为对称点， ，． 在中，，， ， ， ． ，， ， 又， 四边形为矩形， ，， ． ， ， ． 如图2，连接，过点作，设为上的点，满足将四边形的面积平分，延长交于． 由平行四边形的对称性可知，将的面积两等分；若将四边形的面积平分，则将满足将的面积四等分． 由题意可知， ， ， ． ， ． 将的面积四等分， ，即， 代入 ，，，得 ， 解得． 在中， ． 在中，， ． 在中，． ． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 某段工程，需铺设一段全长为3000米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通的影响，实际施工时每天铺设管道长度比原计划增加，结果提前15天完成铺设任务． （1）求原计划每天铺设管道长度为多少米？ （2）负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，该工程所有工人的工资总金额不超过18万元，问该公司原计划最多应安排多少名工人施工？ 【答案】（1）原计划每天铺设管道长度为米； （2）该公司原计划最多应安排名工人施工． 【解析】 【分析】（1）设原计划每天铺设管道长度为未知数，根据实际比原计划提前15天完成的数量关系列分式方程，求解检验后得到结果； （2）先计算出原计划的施工总天数，再设工人数量为未知数，根据总工资不超过预算列出一元一次不等式，取解集中的最大整数解得到结果． 【小问1详解】 解：设原计划每天铺设管道米，则实际每天铺设管道米， 根据题意得：， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意； 【小问2详解】 解：原计划完成工程的天数为（天），18万元元， 设该公司原计划安排名工人施工， 根据题意得：， 解得， 则的最大整数解为． 答：该公司原计划最多应安排8名工人施工． 25. 如图，在中，，，．将绕点顺时针旋转，使点的对应点落在边上，点的对应点落在点处，过点作的平行线，交的延长线于点，过点作的平行线，交直线于点，连接． （1）求证：； （2）若，求的长； （3）若，求四边形的面积． 【答案】（1）证明：由旋转得：，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴ （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由旋转得：，，，分别证明，，根据可证明； （2）证明，，由勾股定理得，证明四边形是平行四边形，得，由勾股定理求出，得，在中由勾股定理可求的长； （3）由四边形是平行四边形得，设，则，，过点作于点，得，，在、、中，由勾股定理得，解得，可求的长，根据平行四边形面积公式可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴和是等腰三角形，且顶角相等， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 在中，，， ∴， ∵， ∴， 设，则， 由旋转得：， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴， 在中，； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 设，则，， 过点作于点， ∵， ∴，， 在中，, 在中，， 在中，， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， ∴． 26. 在中，，，点为直线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到对应线段，过点作的平行线，交直线于点． （1）如图1，当点与点重合时，求证：； （2）如图2，当点在线段上（不与端点重合）时，试探究线段与有何数量关系？写出你的结论，并说明理由； （3）若，当点在直线上移动时，以点，，，为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，请直接写出的长；若不能，请说明理由． 【答案】（1）证明：连接，如图1， ∵，， ∴， ∵旋转， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 延长至点，使，连接，，如图2， ∵，即， ∴， ∴，， ∵旋转， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）或 【解析】 【分析】（1）连接，证明，得到，平行线的性质，等角对等边得到，即可得出结论； （2）延长至点，使，连接，，构造顶角为120度的等腰三角形，证明，进而得到，，平行线的性质，等角对等边得到，进而得到，根据含30度角的直角三角形的性质，推出即可； （3）分四边形为平行四边形和四边形为平行四边形两种情况进行讨论求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：能； 当四边形为平行四边形时，则，即，如图， 则， ∵旋转， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当四边形为平行四边形时，设交于点，则，，， 如图，在取点，使，连接， 同（2）法可知，， ∴， ∴， 设，则，， ∴， 在中，，即① 在中，，即， 在中，，即， ∵旋转， ∴， ∴，即②， 联立，解得，， ∴. 综上：或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $