精品解析：福建省厦门市同安区2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题

同安区2024-2025学年第二学期 义务教育学校八年级期末质量检测 数学 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息。核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与本人准考证号、姓名是否一致。 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0．5毫米黑色签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 3．全卷三大题，25小题，试卷共6页． 4．可以直接使用2B铅笔作图． 一、选择题（本题有8小题，每小题4分，共32分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 下列是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数不含能开方的因数；②被开方数不含分母． 【详解】解：选项A：，被开方数2是质数，无平方因数，且不含分母，符合最简二次根式条件． 选项B：，被开方数含分母，可化简为，故不是最简形式． 选项C：，即，被开方数含分母，可化简为，故不是最简形式． 选项D：，被开方数，含平方因数4，可化简为，故不是最简形式． 故选：A． 2. 已知是的函数，当时，．该函数的解析式可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式．把分别代入四个解析式中计算对应的函数值，如果函数值为，则说明该解析式为与的关系式． 【详解】解：A．当时，，所以A选项不符合题意； B．当时，，所以B选项不符合题意； C．当时，，所以C选项符合题意； D．当时，，所以D选项不符合题意． 故选：C． 3. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算．根据二次根式的运算规则逐一验证各选项的正确性． 【详解】A． ：与不是同类二次根式，无法直接相加，且，显然不成立，错误，不符合题意． B． ：根据二次根式乘法法则，，不等于，错误，不符合题意． C． ：根据二次根式除法法则，，不等于，错误，不符合题意． D． ：合并同类二次根式，系数相减得，正确，符合题意． 故选：D． 4. 某运动品牌专营店店主对上一周新进的某女款运动鞋销售情况统计如下： 尺码 平均每天销售数量/双 该店主决定在下周进货时，增加一些码运动鞋的数量，影响该店主决策的统计量是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．平均数、中位数、众数是描述数据集中趋势的统计量，方差描述数据的离散程度．店主增加37码进货量，是因为该尺码销量最高，对应众数的定义． 【详解】解：店主需根据最畅销的尺码调整进货量，而众数恰好代表销量最高的数据，因此影响决策的统计量是众数 故选：B． 5. 若平行四边形的对角线与相交于点，，，则的周长为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题重点考查平行四边形的性质，根据，，进而求得是解题的关键．由平行四边形的性质得，，因为，，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是平行四边形，对角线与相交于点， ，， ，， ， ， 的周长为， 故选：B． 6. 1995年，希腊为纪念毕达哥拉斯学派发行了如图1所示的邮票，图案中间的直角三角形由三个正方形顶点相连构成．图2是小华模仿这个图形结构所画的图，则图2中三个正方形的面积可能取值为（ ） A. 2，3，4 B. 5，6，11 C. 6，8，10 D. 7，12，14 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．据勾股定理可得：，然后利用正方形的面积公式可得：以为边长的正方形面积+以为边长的正方形面积=以为边长的正方形的面积，即可解答． 【详解】解：如图： 由题意得：， ∴， ∴以为边长的正方形面积+以为边长的正方形面积=以为边长的正方形的面积， ∵，，，， ∴选取的三块正方形纸片的面积可以是5，6，11， 故选：B． 7. 如图，菱形纸片的边长为，点在边上，将纸片沿折叠，点落在处，使得，垂足为．若，则的长为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理；作于点，则，求出，得到，在中，求出和的关系，再根据，即可求出的长，从而求得的长，进而求得． 【详解】解：如图，作于点，则，由折叠得， ∵， ∴ ∴，， ∵菱形纸片的边长为， ∴， ∵， ∴， ∴，则是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴ 解得： ∴， 故选：A． 8. 小华8：00从家出发沿直线匀速前往图书馆．几分钟后，爸爸发现小华未携带图书馆出入卡，随即离家沿相同路径匀速追赶小华，追上小华后在原地休息交谈片刻，并以原速度沿原路返家．小华获得出入卡后以原速度的倍继续前行，在8：20到达图书馆．如图反映了小华和爸爸之间的距离与小华离家的时间之间的对应关系，则下列结论正确的是( ) A. 爸爸往返用时 B. 爸爸追上小华后，交谈了 C. 爸爸的速度为 D. 图书馆离小华家 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根据函数图象获取信息，一元一次方程的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键．A．根据爸爸返回到家所用时间计算即可；B．根据图象计算即可；C．求出爸爸的速度与小华提速前的速度之比，设小华提速前的速度为将爸爸的速度和小华提速后的速度分别用含的代数式表示出来，根据～二人相距列关于的一元一次方程并求解，从而求出爸爸的速度即可；D．利用路程速度时间，根据小华提速前后路程之和为图书馆离小华家的距离列式计算即可． 【详解】解：爸爸用时返回到家， 则爸爸往返用时， ∴A不正确，不符合题意； 爸爸追上小华后，交谈了， ∴B不正确，不符合题意； 小华用时从家到相遇地点， 爸爸的速度与小华提速前的速度之比为， 设小华提速前的速度为，则爸爸的速度为，小华提速后的速度为， 根据图象，得， 解得， ， 爸爸的速度为， ∴C正确，符合题意； 图书馆离小华家， ∴D不正确，不符合题意． 故选：C． 二、填空题（本大题有8小题，每小题4分，共32分） 9. 式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是_______ ． 【答案】x≥3 【解析】 【分析】直接利用二次根式有意义的条件得到关于x的不等式，解不等式即可得答案. 【详解】由题意可得：x—3≥0， 解得：x≥3， 故答案为：x≥3 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键. 10. 一组数据分别为，，，，，则这组数据的中位数是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查中位数，熟练掌握中位数的确定方法是解题关键．中位数的确定方法是将该组数据从小到大进行排列，若共有奇数个数据，则正中间的即为中位数，若有偶数个数据，则正中间两个数据的平均值即为中位数，由此判断即可． 【详解】解：，，，，从小到大重新排列为：，，，， 其中正中间的数据为， ∴该组数据的中位数为， 故答案为：． 11. 如图，点，，，为平面直角坐标系中的四个点，一次函数的图象一定不经过点_____．(填“”或“”或“”或“”) 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键．根据一次函数解析式可得一次函数图象不经过第一象限，即可求解． 【详解】解：一次函数的，， 一次函数图象不经过第一象限， 一次函数图象不过点． 故答案为：． 12. 如图，平面直角坐标系中，点的坐标分别为，．若四边形是平行四边形，则点的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形性质、平行四边形的性质等知识，掌握中点坐标公式是解题的关键；连接、交于点，设，，由平行四边形的性质可知点是▱的对称中心，进而根据中点坐标公式，即可求解． 【详解】解：如图，连接、交于点， 设，， 四边形是平行四边形， 点是的对称中心， ，， ，， ， ，， ， 故答案为：． 13. 如图，在中，，．若，分别是，的中点，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键点．利用三角形中位线定理求得，利用勾股定理求得的长度，继而根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半即可求得答案． 【详解】解：、分别是、的中点， 是的中位线， ， ， 在中， ，是边上的中点， ． 故答案为：． 14. 如图，拇指与小指伸展时，两指尖的最大距离称为指距．某项研究表明：一般情况下人的身高(单位：)是指距(单位：)的一次函数．测得指距与身高的几组对应值如下表所示： 指距 身高 小华的身高是，一般情况下，他的指距为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键．利用待定系数法求出与的函数关系式，当时，求出对应的值即可． 【详解】解：设与的函数关系式为、为常数，且， 将，和，分别代入， 得， 解得， 与的函数关系式为， 经检验，其他数据也符合该关系式， 当时，得， 解得， 他的指距为 故答案为：． 15. 已知，是两个连续的正奇数，，令，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．也考查了二次根式的性质和奇数的定义．根据奇数的定义得到，则，所以，，根据二次根式的性质化简，然后去绝对值后合并即可． 【详解】解：，是两个连续的正奇数，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 16. 在平面直角坐标系中，一次函数和图象的交点坐标为，其中，均为常数，且．点，分别在函数和的图象上，且，在下列结论中： ①；②；③；④原点到直线的距离为． 正确的是_____． 【答案】①④##④① 【解析】 【分析】本题考查了两直线交点问题，一次函数的性质，一次函数与坐标轴交点问题，联立两直线解析式得出，根据得出，即可判断①；根据，为常数，的符号不确定，即可判断②；根据一次函数的性质得出，，即可判断③；设与轴的交点分别为，勾股定理求得，根据等面积法求得原点到直线的距离，即可求解． 【详解】解：∵一次函数和图象的交点坐标为， 联立 解得： ∴ ∵ ∴ ∴，故①正确； ∵，，为常数，的符号不确定， ∴不一定成立，故②错误； ③点，分别在函数和的图象上， ∴， ∴，故③错误； ④设与轴的交点分别为， 当时，，当时， ∴， ∴ ∴ 设原点到直线的距离为， ∴，故④正确 故答案为：①④． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，零指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式加减的混合运算计算即可； （2）根据二次根式混合运算，零指数幂计算即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，在矩形中，点，在上，且．求证：． 【答案】 证明：∵为矩形， ∴． ∵， ∴． ∴． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定；由矩形的性质可得，然后利用判定可得，然后根据线段的和差即可解答． 【详解】略 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，分母有理化，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解．先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解． 【详解】解： ； 当时，原式． 20. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象过点和点． （1）求这个函数的解析式； （2）若这个函数的图象与轴交于点，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，求一次函数与坐标轴的交点问题． （1）利用待定系数法求一次函数解析式； （2）先确定点坐标，然后根据三角形的面积公式计算． 【小问1详解】 解：设一次函数的解析式为， 代入点和点得， 解得： ∴ 【小问2详解】 当时，， 解得， ∴，则， ∵，则， ∴的面积 21. 如图，在平行四边形中， （1）在线段上求作一点，使得；（要求：尺规作图，保留作图痕迹） （2）连接，，若，，，求的长度． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查作线段，等边对等角，平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）在上截取线段，使得，连接即可； （2）利用勾股定理的逆定理证明，再利用勾股定理求出． 【小问1详解】 解：图形如图所示： ， ∴； 【小问2详解】 四边形是平行四边形， ，， ， ， ，， ，， ， ， ， ∴． 22. 为探究在酸碱度不同的土壤下栽培的无核荔枝的果实大小，我市银城果园选取甲、乙、丙三块酸碱度不同的试验田进行无核荔枝栽培的试验．果农从这三块试验田产出的荔枝中各随机选取颗无核荔枝，测量其直径（），完成各项数据统计． 乙试验田无核荔枝的直径频数分布直方图如下： 乙试验田无核荔枝的直径频数分布直方图 甲、乙、丙三块试验田无核荔枝的直径的平均数、方差如下： 平均数 方差 甲 乙 丙 004 （1）请求出的值； （2）经研究发现，本品种无核荔枝的直径在的范围内时，可作为“A级果”进行售卖，若从三块试验田中分别采摘相同数量的无核荔枝，哪块试验田的“A级果”更多？请根据以上数据说明理由． 【答案】（1） （2）甲试验田的“A级果”更多，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查频数分布直方图、加权平均数、方差，解题的关键是掌握加权平均数的定义和方差的意义． （1）根据频数分布直方图以及加权平均数的定义列式计算即可； （2）根据平均数和方差的意义求解即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 甲试验田的“A级果”更多， 由表知，甲、乙试验田无核荔枝的直径的平均数均落在的范围内，而甲试验田无核荔枝的直径的方差小，更加稳定， 所以估计甲试验田的“A级果”更多． 23. 纸张的剪裁中蕴含着有趣的数学． 如图，将一张正方形纸片裁剪成4个形状、大小完全相同的图形，可以再拼接成形状不同的矩形． （1）请在图2中画出一个与图1不同的裁剪方式，将正方形纸片裁剪成4个形状、大小完全相同的图形，并画出拼接后的矩形．（裁剪和拼图过程均无缝且不重叠） （2）如图3，在正方形纸片的边，，，上分别取点，，，，且．连接，，，相交于点． i．求证：垂直平分； ii．将正方形纸片沿，裁剪后，发现所得到的4个图形形状、大小完全相同．如图4，将这4个图形围成大正方形，中空的部分是一个小正方形（阴影）．若五个部分面积完全相等，猜想与的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析 （2）i．见解析；ii．，证明见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，矩形的性质，解一元二次方程，图形的拼剪，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）连接正方形的对角线，再把四个等腰直角三角形拼成矩形即可； （2）i、证明四边形是正方形即可； ii、设，（）．根据图形面积建立方程，解一元二次方程求解． 【小问1详解】 解：拼剪方法如图所示： 【小问2详解】 i、证明：如图中，连接，，，． 四边形是正方形， ，， ， ， ， ，， 四边形是菱形， ， ， ， 四边形是正方形， 垂直平分； ii、解：结论：． 理由：设，（）． 由题意，， ∴， ∴， ∴或， ∵， ∴， ∴． 24. 如图，在等腰直角三角形中，，，点在上，，是上的动点，逆时针作正方形． （1）如图1，当时，求的度数； （2）如图2，当点在上时，求的长度； （3）如图3，连接，证明：． 【答案】（1） （2） （3）见解析 【解析】 【分析】此题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）连接，证明，得出，，由三角形内角和定理可得出答案； （2）过点作于点，则是等腰直角三角形．证明，得出，，求出，由勾股定理可得出答案； （3）过点作于点，过点作于点，延长，交于点，则四边形是矩形，由（2）知，得出，，设则，求出，则可得出答案． 【小问1详解】 解：连接， 四边形是正方形， ，， ，， ， ，， ， ， ； 【小问2详解】 解：过点作于点，则是等腰直角三角形． ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 证明：过点作于点，过点作于点，延长，交于点，则四边形是矩形， ，， 由（2）知， ，， 设则， ， ， ， ， ， ， ， ． 25. 在平面直角坐标系中，点，且点在第一象限内，过点作轴于点． （1）如图1，过点作轴于点，若四边形为正方形，求的值； （2）已知点，，点在轴上．当点在直线上方时，延长交直线于点，连接，，，． i．如图2，若，，判断四边形的形状，并说明理由； ii．如图3，点在轴上，平面内找一点（不与重合），连接，使，，连接，．求证：． 【答案】（1） （2）i．四边形是菱形；ii．见解析 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质可得，根据点到坐标轴的距离，可得，解方程，即可求解； （2）i．根据，，得出，根据，得出，求得，进而求得的纵坐标，根据轴，得出的纵坐标，待定系数法求得直线的解析式求得的横坐标，得出，结合，即可得出结论； ii．根据，得出，进而证明四边形是平行四边形，得出，，证明得出，结合得出垂直平分，即，根据即可得出，即可得证． 【小问1详解】 解：∵四边形为正方形， ∴ ∵轴，轴，点，且点在第一象限内， ∴ ∴ 解得：； 【小问2详解】 i．∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵轴，点， ∴ ∴ ∴ 解得： ∴ 设直线的解析式为， 将，代入可得， 把代入得，解得， 所以直线的解析式为； ∵轴，延长交直线于点， ∴的纵坐标为， 将代入，得 解得： ∴ ∴ 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； ii．如图，连接 ∵， ∴， 又 ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴垂直平分，即， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形，一次函数与结合图形综合，求一次函数解析式，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，菱形的判定，垂直平分线的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 同安区2024-2025学年第二学期 义务教育学校八年级期末质量检测 数学 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息。核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与本人准考证号、姓名是否一致。 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0．5毫米黑色签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 3．全卷三大题，25小题，试卷共6页． 4．可以直接使用2B铅笔作图． 一、选择题（本题有8小题，每小题4分，共32分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 下列是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知是的函数，当时，．该函数的解析式可以是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 某运动品牌专营店店主对上一周新进的某女款运动鞋销售情况统计如下： 尺码 平均每天销售数量/双 该店主决定在下周进货时，增加一些码运动鞋的数量，影响该店主决策的统计量是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 5. 若平行四边形的对角线与相交于点，，，则的周长为( ) A. B. C. D. 6. 1995年，希腊为纪念毕达哥拉斯学派发行了如图1所示的邮票，图案中间的直角三角形由三个正方形顶点相连构成．图2是小华模仿这个图形结构所画的图，则图2中三个正方形的面积可能取值为（ ） A. 2，3，4 B. 5，6，11 C. 6，8，10 D. 7，12，14 7. 如图，菱形纸片的边长为，点在边上，将纸片沿折叠，点落在处，使得，垂足为．若，则的长为（ ） A. B. C. 1 D. 8. 小华8：00从家出发沿直线匀速前往图书馆．几分钟后，爸爸发现小华未携带图书馆出入卡，随即离家沿相同路径匀速追赶小华，追上小华后在原地休息交谈片刻，并以原速度沿原路返家．小华获得出入卡后以原速度的倍继续前行，在8：20到达图书馆．如图反映了小华和爸爸之间的距离与小华离家的时间之间的对应关系，则下列结论正确的是( ) A. 爸爸往返用时 B. 爸爸追上小华后，交谈了 C. 爸爸的速度为 D. 图书馆离小华家 二、填空题（本大题有8小题，每小题4分，共32分） 9. 式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是_______ ． 10. 一组数据分别为，，，，，则这组数据的中位数是_____． 11. 如图，点，，，为平面直角坐标系中的四个点，一次函数的图象一定不经过点_____．(填“”或“”或“”或“”) 12. 如图，平面直角坐标系中，点的坐标分别为，．若四边形是平行四边形，则点的坐标为_____． 13. 如图，在中，，．若，分别是，的中点，，则_____． 14. 如图，拇指与小指伸展时，两指尖的最大距离称为指距．某项研究表明：一般情况下人的身高(单位：)是指距(单位：)的一次函数．测得指距与身高的几组对应值如下表所示： 指距 身高 小华的身高是，一般情况下，他的指距为_____． 15. 已知，是两个连续的正奇数，，令，则的值为_____． 16. 在平面直角坐标系中，一次函数和图象的交点坐标为，其中，均为常数，且．点，分别在函数和的图象上，且，在下列结论中： ①；②；③；④原点到直线的距离为． 正确的是_____． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，在矩形中，点，在上，且．求证：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象过点和点． （1）求这个函数的解析式； （2）若这个函数的图象与轴交于点，求的面积． 21. 如图，在平行四边形中， （1）在线段上求作一点，使得；（要求：尺规作图，保留作图痕迹） （2）连接，，若，，，求的长度． 22. 为探究在酸碱度不同的土壤下栽培的无核荔枝的果实大小，我市银城果园选取甲、乙、丙三块酸碱度不同的试验田进行无核荔枝栽培的试验．果农从这三块试验田产出的荔枝中各随机选取颗无核荔枝，测量其直径（），完成各项数据统计． 乙试验田无核荔枝的直径频数分布直方图如下： 乙试验田无核荔枝的直径频数分布直方图 甲、乙、丙三块试验田无核荔枝的直径的平均数、方差如下： 平均数 方差 甲 乙 丙 004 （1）请求出的值； （2）经研究发现，本品种无核荔枝的直径在的范围内时，可作为“A级果”进行售卖，若从三块试验田中分别采摘相同数量的无核荔枝，哪块试验田的“A级果”更多？请根据以上数据说明理由． 23. 纸张的剪裁中蕴含着有趣的数学． 如图，将一张正方形纸片裁剪成4个形状、大小完全相同的图形，可以再拼接成形状不同的矩形． （1）请在图2中画出一个与图1不同的裁剪方式，将正方形纸片裁剪成4个形状、大小完全相同的图形，并画出拼接后的矩形．（裁剪和拼图过程均无缝且不重叠） （2）如图3，在正方形纸片的边，，，上分别取点，，，，且．连接，，，相交于点． i．求证：垂直平分； ii．将正方形纸片沿，裁剪后，发现所得到的4个图形形状、大小完全相同．如图4，将这4个图形围成大正方形，中空的部分是一个小正方形（阴影）．若五个部分面积完全相等，猜想与的数量关系，并证明． 24. 如图，在等腰直角三角形中，，，点在上，，是上的动点，逆时针作正方形． （1）如图1，当时，求的度数； （2）如图2，当点在上时，求的长度； （3）如图3，连接，证明：． 25. 在平面直角坐标系中，点，且点在第一象限内，过点作轴于点． （1）如图1，过点作轴于点，若四边形为正方形，求的值； （2）已知点，，点在轴上．当点在直线上方时，延长交直线于点，连接，，，． i．如图2，若，，判断四边形的形状，并说明理由； ii．如图3，点在轴上，平面内找一点（不与重合），连接，使，，连接，．求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $