1.2.3 充分条件、必要条件（分层作业练题型）高一数学人教B版必修第一册

**基本信息** 以“基础巩固-能力进阶-思维拔高-高考衔接”为分层逻辑，通过题型专项训练与综合应用递进，培养数学推理能力与符号意识，实现从概念理解到高考适配的知识巩固。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|充分/必要/充要条件的判断、证明及参数范围求解|聚焦单一知识点，题型01-08对应基础考点，如三角形全等条件辨析，夯实概念理解| |B组能力进阶|多条件综合判断、集合与充要条件结合|通过“必要不充分条件的参数范围”等题型，提升逻辑推理与知识迁移能力| |C组思维拔高|跨情境问题（猜数字游戏、迷宫滚动）、多命题关系推理|设计开放探究题，如锐角三角形充要条件构建，发展创新意识与批判性思维|

1.2.3 充分条件、必要条件 目 录 A组 巩固过关 题型01 求充分条件 题型02 求必要条件 题型03 求充要条件 题型04 充分、必要、充要条件的判断 题型05 充要条件的证明 题型06 利用充分条件求参数的范围 题型07 利用必要条件求参数的范围 题型08 利用充要条件求参数的范围 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 ( 题型0 1 )求充分条件 1．（25-26高一上·全国·课后作业）两个三角形全等的充分条件是（    ） A．两个三角形的两角对应相等 B．两个三角形的两边对应成比例且夹角相等 C．两个三角形的三边对应成比例 D．两个三角形的两边对应相等且夹角相等 2．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）下列所给的各组，中，满足的充分条件是的个数是（    ） （1）：四边形的对角线相等，：四边形是正方形； （2）：两个直角三角形全等，：两个直角三角形的斜边相等； （3）：，：； （4）：，：； （5）：同位角相等，：两条直线平行； A．1 B．2 C．3 D．4 3．下列命题中，不是“四边形是正方形”的充分条件的有（    ） A．对角线相等的菱形 B．邻边相等的矩形 C．对角线相等的平行四边形 D．有一个角是直角的菱形 4．（25-26高一上·全国·课后作业）下列结论的充分条件为“，为无理数”的是（    ） A．为无理数 B．为无理数 C．为无理数 D． 5．（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）下列所给的各组中，是的充分条件的是（    ） A． B． C．：：关于的方程有两个实数解 D．中，中， ( 题型0 2 )求必要条件 6．（25-26高一上·安徽合肥·期中）在平面内，下列是“四边形是平行四边形”的必要条件的是（   ） A．四边形是矩形 B．四边形的对角线互相平分 C．四边形四条边相等 D．四边形的对角线垂直 7．（25-26高一上·湖南永州·阶段检测）设，则成立的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·湖北·期中）下列“若p，则q”形式的命题中，q是p的必要条件的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若为无理数，则为无理数 D．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 9．（25-26高一上·江苏常州·期中）下列选项中，使成立的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高三上·安徽合肥·阶段检测）在下列若则的命题中，是的必要条件的命题是（    ） A．若四边形的一组邻边相等，则四边形是平行四边形 B．若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等 C．若，则 D．若是无理数，则也是无理数 ( 题型0 3 )求充要条件 11．（25-26高一上·河北张家口·期中）设，则“”的充要条件为（    ） A．至少有一个为2 B．都为2 C．都不为2 D． 12．（25-26高三上·上海·阶段检测）“三个数不全是负数”的一个充要条件是（   ） A．至少有一个是正数 B．全不是负数 C．至少有一个是非负数 D．只有一个是负数 13．（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期末）设，则“”的充要条件是（   ） A．a，b中至少有一个为1 B．a，b都不为0 C．a，b都为1 D．不都为1 14．（25-26高一上·河南南阳·期中）“方程有实根”的充要条件为（   ） A． B． C． D． 15．（25-26高一上·江西南昌·阶段检测）已知非空集合，则的充要条件是（   ） A．， B．， C．，且， D．， ( 题型0 4 )充分、必要、充要条件的判断 16．（25-26高二下·福建福州·期末）“是等腰直角三角形”是“是等边三角形”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 17．（天津市部分区2025--2026学年高二下学期期末数学试题）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 18．（25-26高三下·重庆沙坪坝·阶段检测）已知集合，则是的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．既不充分又不必要条件 D．充要条件 19．（2026·天津河北·一模）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 20．（25-26高一下·天津河北·开学考试）已知，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 21．（25-26高一上·广东·期末）已知，，，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ( 题型0 5 )充要条件的证明 22．（2026高一·全国·专题练习）证明：“是方程的实数根”的充要条件是“”． 23．（2026高一·全国·专题练习）已知，证明：“”是“”的充要条件. 24．（2026·河南·模拟预测）设函数，且，证明：对于，的充要条件是. 25．证明：“四边形ABCD是平行四边形”是“四边形ABCD的对角线互相平分”的充要条件. 26．设集合A，B，求证：是的充要条件． ( 题型0 6 )利用充分条件求参数的范围 27．（25-26高一上·浙江·阶段检测）已知命题p：，命题q：，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 28．（25-26高一上·四川遂宁·阶段检测）使得为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 29．（25-26高一上·上海·阶段检测）命题“存在，使得”为真命题的一个充分不必要条件是（       ） A． B． C． D． 30．（25-26高三·全国·一轮复习）若不等式的一个充分条件为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 31．（25-26高一上·山东泰安·阶段检测）已知集合，.若“”是“”的充分不必要条件，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． ( 题型0 7 )利用必要条件求参数的范围 32．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）已知，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 33．（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）已知，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 34．（25-26高二下·山东烟台·期末）设集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数a的值为（   ） A．－1 B．0 C．1 D．2 35．（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）已知或，，若是的必要条件，则实数的范围是（　　） A． B． C． D． ( 题型0 8 )利用充要条件求参数的范围 36．（25-26高一上·重庆·阶段检测）设，，且p是q成立的充要条件，则a的值是（   ） A．2 B．1 C．0 D． 37．若“”是“”的充要条件，则ab的值为（   ） A． B． C．1 D．2 38．（25-26高一上·全国·课后作业）集合，集合，若“”是“”的充要条件，则（    ） A．0 B． C．3 D．5 39．（25-26高二上·内蒙古赤峰·阶段检测）方程至少有一个负实根的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 1．（25-26高一上·湖北襄阳·期末）“”的充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·湖南长沙·期末）下列是的必要不充分条件的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·江西景德镇·阶段检测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2026·贵州毕节·二模）均为整数是为整数的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（25-26高一上·湖北孝感·期末）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（25-26高三上·山东菏泽·阶段检测）已知集合，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（25-26高三下·重庆沙坪坝·开学考试）已知非空集合，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．在下列条件中，能成为“使二次方程的两根为正数”的必要不充分条件是（    ） A． B． C．且 D．，， 9．（25-26高一上·河南开封·阶段检测）下列结论中正确的是（   ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．是的充分不必要条件 C．是的必要条件 D．“为无理数”是“为无理数”的必要不充分条件 10.（25-26高一上·四川南充·期中）下列选项叙述正确的是（   ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的必要不充分条件 C．若，则“”的充要条件是“” D．“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 11．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）下列命题为真命题的是（　　） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的充分条件 C．“”是“”的充要条件 D．“”是“”的必要不充分条件 12．（2026高一·全国·专题练习）已知命题，或，若是的充分不必要条件，则的取值范围为_______． 13．（25-26高三·全国·一轮复习）设，命题的充要条件是_________________． 14已知集合，非空集合，是否存在实数m，使是的充要条件. 15．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知命题 ： ， 为假命题． (1)求实数的取值集合； (2)设集合，若“ ”是“ ”的必要条件，求实数的取值集合． 1.（25-26高一上·福建泉州·阶段检测）甲乙丙丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲乙丙共同写出三个集合：，，然后他们三人各用一句话来正确的描述“”中的数字，让丁同学找出该数字，以下是甲，乙，丙三位同学的描述，甲：此数为小于5的正整数；乙：B是A成立的必要不充分条件；丙：C是A成立的充分不必要条件.则“”中的数字可以是（    ） A．3或4 B．2或3 C．1或2 D．1或3 2．（2026·湖北武汉·模拟预测）现有一个迷宫如图所示，小球从，，三个口中的一个口滚动进入后，该口封闭，小球最终将从另一个口滚动出来，则“小球从口滚动进入”是“小球从口滚动出来”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高一下·甘肃兰州·开学考试）设甲、乙、丙、丁是四个命题，甲是乙的充分不必要条件，丙是乙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，那么丁是甲的______条件. 4．（25-26高一上·湖北十堰·阶段检测）设，，分别是的三条边，且我们知道，如果为直角三角形，那么勾股定理反过来，如果，那么为直角三角形勾股定理的逆定理由此可知，为直角三角形的充要条件是请利用边长，，给出为锐角三角形的一个充要条件是__． 5.（25-26高一上·重庆·期中）已知全集，集合，. (1)将下图中的阴影部分表示的集合.    (2)已知，且“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 1．（2026·天津·高考真题）设，则“”是“”的（     ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2022·天津·高考真题） “为整数”是“为整数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2023·北京·高考真题）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2020·山东·高考真题）已知，若集合，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2.3 充分条件、必要条件 目 录 A组 巩固过关 题型01 求充分条件 题型02 求必要条件 题型03 求充要条件 题型04 充分、必要、充要条件的判断 题型05 充要条件的证明 题型06 利用充分条件求参数的范围 题型07 利用必要条件求参数的范围 题型08 利用充要条件求参数的范围 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 ( 题型0 1 )求充分条件 1．（25-26高一上·全国·课后作业）两个三角形全等的充分条件是（    ） A．两个三角形的两角对应相等 B．两个三角形的两边对应成比例且夹角相等 C．两个三角形的三边对应成比例 D．两个三角形的两边对应相等且夹角相等 【答案】D 【解析】根据全等三角形的判定定理可得， 当两个三角形的两边及其夹角对应相等时，两个三角形全等．故选：D. 2．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）下列所给的各组，中，满足的充分条件是的个数是（    ） （1）：四边形的对角线相等，：四边形是正方形； （2）：两个直角三角形全等，：两个直角三角形的斜边相等； （3）：，：； （4）：，：； （5）：同位角相等，：两条直线平行； A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】对于（1），对角线相等的四边形不一定是正方形，例如长方形，所以； 对于（2），由全等三角形对应边相等，可知全等的直角三角形斜边一定相等，所以； 对于（3），时，，不是只有，所以； 对于（4），时，，不是只有，所以； 对于（5），根据平行线判定定理，同位角相等则两直线平行，所以. 因此，只有（2）和（5）满足是的充分条件，共2个. 故选：B. 3．下列命题中，不是“四边形是正方形”的充分条件的有（    ） A．对角线相等的菱形 B．邻边相等的矩形 C．对角线相等的平行四边形 D．有一个角是直角的菱形 【答案】C 【解析】根据正方形的判定及菱形、矩形、平行四边形的性质，知A，B，D中描述的四边形均为正方形，是“四边形是正方形”的充分条件， 对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是正方形，故C不是“四边形是正方形”的充分条件. 故选：C 4．（25-26高一上·全国·课后作业）下列结论的充分条件为“，为无理数”的是（    ） A．为无理数 B．为无理数 C．为无理数 D． 【答案】D 【解析】若，则为有理数，A错误； 若，则为有理数，B错误； 若，则为有理数，C错误； 若为无理数，则，所以，D正确． 故选：D. 5．（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）下列所给的各组中，是的充分条件的是（    ） A． B． C．：：关于的方程有两个实数解 D．中，中， 【答案】D 【解析】对于A，若则或，则， 所以不是的充分条件，故A不符合； 对于B，若，则且或且，则， 所以不是不充分条件，故B不符合； 对于C，若关于的方程有两个实数解， 则，解得且， 则，所以不是不充分条件，故C不符合； 对于D，在中，可得， 则，所以是的充分条件，故D符合. 故选：D. ( 题型0 2 )求必要条件 6．（25-26高一上·安徽合肥·期中）在平面内，下列是“四边形是平行四边形”的必要条件的是（   ） A．四边形是矩形 B．四边形的对角线互相平分 C．四边形四条边相等 D．四边形的对角线垂直 【答案】B 【解析】对于A：四边形是矩形是四边形是平行四边形的充分条件不必要条件，错误； 对于C：四边形四条边相等即为菱形，是四边形是平行四边形的充分条件不必要条件，错误； 对于D:由“四边形是平行四边形”得不到四边形的对角线垂直，故四边形的对角线垂直不是“四边形是平行四边形”的必要条件，错误； 对于B：若四边形是平行四边形，则四边形的对角线互相平分，即“四边形的对角线互相平分”是“四边形是平行四边形”的必要条件. 故选：B． 7．（25-26高一上·湖南永州·阶段检测）设，则成立的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】若集合是集合的必要条件，则， 所以在选项中使得成立的一个必要条件只有，故选：A 8．（25-26高一上·湖北·期中）下列“若p，则q”形式的命题中，q是p的必要条件的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若为无理数，则为无理数 D．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 【答案】A 【解析】对选项A：若则，故是的必要条件，故A正确； 对选项B：若，时，不能得到，故B错误； 对选项C：取，满足为无理数，为有理数，故C错误； 对选项D：四边形的对角线互相垂直，则这个四边形不一定是菱形，故D错误； 故选：A 9．（25-26高一上·江苏常州·期中）下列选项中，使成立的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】不等式解得，根据充分条件、必要条件的定义可知： 对于A，是充要条件，A错误； 对于B，，是成立的一个必要不充分条件，B正确； 对于C，，是成立的一个充分不必要条件，C错误； 对于D，与没有包含关系，是既不充分也不必要条件，D错误. 故选：B. 10．（25-26高三上·安徽合肥·阶段检测）在下列若则的命题中，是的必要条件的命题是（    ） A．若四边形的一组邻边相等，则四边形是平行四边形 B．若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等 C．若，则 D．若是无理数，则也是无理数 【答案】C 【解析】对于A：因为不是的充分条件，则不是的必要条件，故A错误； 对于B：若一个三角形三边分别为5，6，9，另一三角形三边分别为6，6，8， 两个三角形周长相等，却不全等，则不是的必要条件，故B错误； 对于C：由可以推出，所以是的充分条件， 则是的必要条件，故C正确； 对于D：若，则，不是无理数，不是的充分条件，则不是的必要条件，故D错误； 故选：C ( 题型0 3 )求充要条件 11．（25-26高一上·河北张家口·期中）设，则“”的充要条件为（    ） A．至少有一个为2 B．都为2 C．都不为2 D． 【答案】A 【解析】由，则，可得或，即至少有一个为2， 所以“”的充要条件为“至少有一个为2”，故A符合题意，BCD不符合题意. 故选：A. 12．（25-26高三上·上海·阶段检测）“三个数不全是负数”的一个充要条件是（   ） A．至少有一个是正数 B．全不是负数 C．至少有一个是非负数 D．只有一个是负数 【答案】C 【解析】“三个数不全是负数”的一个充要条件是“至少有一个是非负数”， 故选：C. 13．（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期末）设，则“”的充要条件是（   ） A．a，b中至少有一个为1 B．a，b都不为0 C．a，b都为1 D．不都为1 【答案】A 【解析】由题意， 则和中至少有一个为0，即，中至少有一个为1， 所以“”的充要条件是“a，b中至少有一个为1”. 故选：A. 14．（25-26高一上·河南南阳·期中）“方程有实根”的充要条件为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，，方程有实根； 当时，，解得，此时，，且， 综上：方程有实根”的充要条件为， 故选：A 15．（25-26高一上·江西南昌·阶段检测）已知非空集合，则的充要条件是（   ） A．， B．， C．，且， D．， 【答案】D 【解析】由，可得集合中存在元素不在集合中，结合各选项可得，的充要条件是，． 故选：D． ( 题型0 4 )充分、必要、充要条件的判断 16．（25-26高二下·福建福州·期末）“是等腰直角三角形”是“是等边三角形”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】“是等腰直角三角形”推不出“是等边三角形”，反过来也不成立， 所以“是等腰直角三角形”是“是等边三角形”的既不充分也不必要条件. 17．（天津市部分区2025--2026学年高二下学期期末数学试题）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】取，满足，但得不出， 所以“”是“”的不充分条件； 由，得， 所以“”是“”的必要条件； 所以“”是“”的必要不充分条件. 18．（25-26高三下·重庆沙坪坝·阶段检测）已知集合，则是的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．既不充分又不必要条件 D．充要条件 【答案】B 【解析】由，得或， 所以是的必要而不充分条件. 19．（2026·天津河北·一模）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】解方程， 若，即或者，原式为， 整理得，解得或者. 若，即，原方程， 即，等式恒成立，所以 综上 而是的真子集，所以是充分不必要条件. 20．（25-26高一下·天津河北·开学考试）已知，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】由得，由得， 因为集合之间不存在包含关系， 故“”是“”的既不充分也不必要条件. 21．（25-26高一上·广东·期末）已知，，，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由推不出，比如，则充分性不成立； 当时，由于，则，所以，则必要性成立. 则p是q的必要不充分条件. 故选：B ( 题型0 5 )充要条件的证明 22．（2026高一·全国·专题练习）证明：“是方程的实数根”的充要条件是“”． 【解】①充分性，当时，， 代入方程，得， 满足此方程，充分性成立， ②必要性，当时，代入方程，则，必要性成立， 综上，是方程的实数根的充要条件是． 23．（2026高一·全国·专题练习）已知，证明：“”是“”的充要条件. 【解】先证充分性： 由得，则，因此； 再证必要性： 由，得，由，得， 因此，则 所以“是“”的充要条件. 24．（2026·河南·模拟预测）设函数，且，证明：对于，的充要条件是. 【解】因为，所以函数图象的对称轴为直线， 所以. 先证充分性：因为，且，所以； 再证必要性：因为对于，，所以，即，从而. 综上可知，对于，的充要条件是. 25．证明：“四边形ABCD是平行四边形”是“四边形ABCD的对角线互相平分”的充要条件. 【解】①先证明充分性： 已知：四边形ABCD是平行四边形， 求证：四边形ABCD的对角线互相平分； 证明：设AC与BD交于点，如图示： 四边形ABCD是平行四边形， ，且，， ，， 四边形ABCD的对角线互相平分，即充分性得证； ②再证必要性： 已知：四边形ABCD的对角线互相平分， 求证：四边形ABCD是平行四边形； 证明：由已知可得，且，， ，，且，， 四边形ABCD是平行四边形，即必要性得证； 综上所述，"四边形ABCD是平行四边形"是"四边形ABCD的对角线互相平分"的充要条件. 26．设集合A，B，求证：是的充要条件． 【解】证明：充分性 因为，，所以， 所以当成立时，有成立， 故充分性成立． 必要性 因为，所以． 所以当成立时，也有成立， 故必要性成立 所以是的充要条件． ( 题型0 6 )利用充分条件求参数的范围 27．（25-26高一上·浙江·阶段检测）已知命题p：，命题q：，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设集合，，由题意可知， ∴，∴.故选：D 28．（25-26高一上·四川遂宁·阶段检测）使得为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】若为真命题，则时，， 而，故当时，取到最小值2，故， 因此所求的充分不必要条件的范围应是的真子集，故选项中只有满足条件， 故选：B 29．（25-26高一上·上海·阶段检测）命题“存在，使得”为真命题的一个充分不必要条件是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由存在，使得，即， 当，即时，的最小值为，所以， 所以命题“存在，使得”为真命题的一个充分不必要条件为：集合的真子集， 结合选项可得，选项C符合题意. 故选：C. 30．（25-26高三·全国·一轮复习）若不等式的一个充分条件为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由不等式，可得（不合题意）， 要使得是的一个充分条件， 则满足，解得.故选：D. 31．（25-26高一上·山东泰安·阶段检测）已知集合，.若“”是“”的充分不必要条件，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 当时，，解得； 当时，，前两个等号不能同时取得，解得， 综上m的取值范围是，故选：A. ( 题型0 7 )利用必要条件求参数的范围 32．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）已知，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由命题， 设， 因为，可得集合不是空集， 又因为是的必要不充分条件，所以集合是的真子集， 则满足且等号不能同时成立，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 33．（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）已知，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】若是的必要不充分条件，可知是的真子集， 则，且等号不同时成立，解得， 所以实数的取值范围是.故选：D. 34．（25-26高二下·山东烟台·期末）设集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数a的值为（   ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】D 【解析】由题意可得，令，解得，则，不符合题意； 令，则，解得或， 当时，，不符合题意，当时，. 综上可得：. 故选：D. 35．（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）已知或，，若是的必要条件，则实数的范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知： ①当时，，，故，解得， 故； ②当时，，满足； ③当时，，，故，解得， 故；综上所述：．故选：A． ( 题型0 8 )利用充要条件求参数的范围 36．（25-26高一上·重庆·阶段检测）设，，且p是q成立的充要条件，则a的值是（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】A 【解析】，解得， ， 又，， ， 故选：A． 37．若“”是“”的充要条件，则ab的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【解析】由题意得，解得，所以． 38．（25-26高一上·全国·课后作业）集合，集合，若“”是“”的充要条件，则（    ） A．0 B． C．3 D．5 【答案】B 【解析】因为“”是“”的充要条件，所以， 又，，所以. 故选：B. 39．（25-26高二上·内蒙古赤峰·阶段检测）方程至少有一个负实根的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【解析】当时，方程为有一个负实根，反之，时，则，于是得； 当时，， 若，则，方程有两个不等实根，，即与一正一负， 反之，方程有一正一负的两根时，则这两根之积小于0，，于是得， 若，由，即知，方程有两个实根，必有，此时与都是负数， 反之，方程两根都为负，则，解得，于是得， 综上，当时，方程至少有一个负实根，反之，方程至少有一个负实根，必有. 所以方程至少有一个负实根的充要条件是. 故选：C 1．（25-26高一上·湖北襄阳·期末）“”的充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A选项，若，不一定有， 而，则一定有， 所以是的必要不充分条件，A选项错误； 对于B选项，若，则一定有， 反之，若，也一定有， 所以是的充要条件，B选项错误； 对于C选项，若，则不一定有， 但时，一定有， 所以是的必要不充分条件，C选项错误； 对于D选项，若，则一定有， 但当时，不一定有， 所以是的充分不必要条件，D选项正确. 故选：D 2．（25-26高一上·湖南长沙·期末）下列是的必要不充分条件的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，由不等式的性质知，是的充要条件，所以A错误； 对于B，因为，且，所以是的必要不充分条件，所以B正确； 对于C，显然，但当时，，所以是的充分不必要条件，所以C错误； 对于D，若，则，所以，所以，反之，所以是的充分不必要条件，所以D错误． 故选：B 3．（25-26高一下·江西景德镇·阶段检测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】充分性：若， 则， 当且仅当时等号成立， 必要性：若，令，显然 所以是充分不必要条件 4．（2026·贵州毕节·二模）均为整数是为整数的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若为整数，则为整数，故充分性成立； 若，则为整数，但不为整数，故必要性不成立， 故均为整数是为整数的充分不必要条件. 5．（25-26高一上·湖北孝感·期末）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】先讨论充分性： 当时，，故能推出； 当时，，由得，故，即能推出， 所以“”是“”充分条件成立； 再讨论必要性： 取，此时满足，但不满足， 所以必要性不成立. 综上，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 6．（25-26高三上·山东菏泽·阶段检测）已知集合，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若，则，满足，所以充分性成立； 若，当时也满足条件，因此必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 7．（25-26高三下·重庆沙坪坝·开学考试）已知非空集合，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】非空集合， 是的充分不必要条件，则有集合是集合的真子集，所以， 即实数的取值范围为. 8．在下列条件中，能成为“使二次方程的两根为正数”的必要不充分条件是（    ） A． B． C．且 D．，， 【答案】ABC 【解析】若二次方程的两根为正数，则，，，故满足其中一个或两个不能推出二次方程的两根为正数，所以选项A，B，C能成为使二次方程的两根为正数的必要不充分条件. 9．（25-26高一上·河南开封·阶段检测）下列结论中正确的是（   ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．是的充分不必要条件 C．是的必要条件 D．“为无理数”是“为无理数”的必要不充分条件 【答案】ABD 【解析】对于A，由，得或，则“”是“”的必要不充分条件，A正确； 对于B，是的充分不必要条件，B正确； 对于C，由，得且，则是的充分不必要条件，C错误； 对于D，命题“若为无理数，则为无理数”是假命题，如是无理数，是有理数； 由为有理数，得为有理数，因此命题“若为无理数，则为无理数”是真命题， “为无理数”是“为无理数”的必要不充分条件，D正确. 故选：ABD 10.（25-26高一上·四川南充·期中）下列选项叙述正确的是（   ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的必要不充分条件 C．若，则“”的充要条件是“” D．“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 【答案】BD 【解析】对于A，取，满足，而， 因此“”不是“”的充分条件，故A错误； 对于B，，而当时，成立，显然不成立， 则“”是“”的必要不充分条件，故B正确； 对于C，取显然，但， 因此“” 不是“”的充要条件，故C错误； 对于D，“方程有一个正根和一个负根”的等价条件是， 所以“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，故D正确. 故选：BD. 11．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）下列命题为真命题的是（　　） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的充分条件 C．“”是“”的充要条件 D．“”是“”的必要不充分条件 【答案】AC 【解析】对于A，若，则，故充分性成立； 若，取，则，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件，故A正确； 对于B，若，但时，，故充分性不成立； 若，则，故必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件，故B错误； 对于C，若， 等式变形为，所以，故充分性成立； 若，则，故必要性成立， 所以“”是“”的充要条件，故C正确； 对于D，若，例如，，则，“”不成立，故充分性不成立； 若，则当时，，故必要性不成立， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故D错误. 故选：AC 12．（2026高一·全国·专题练习）已知命题，或，若是的充分不必要条件，则的取值范围为_______． 【答案】 【解析】命题对应集合， 命题对应集合或， 若是的充分不必要条件，则集合是集合的真子集， 则有或，解得或，即， 又，故的取值范围为. 13．（25-26高三·全国·一轮复习）设，命题的充要条件是_________________． 【答案】 【解析】由，得， 两边同乘2，得， 拆分并组合得， 即. 因实数的平方非负，故，，， 解得. 14已知集合，非空集合，是否存在实数m，使是的充要条件. 【解】∵若是的充要条件，则， ∴，由于该方程组无解， 即不存在实数m，使是的充要条件. 15．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知命题 ： ， 为假命题． (1)求实数的取值集合； (2)设集合，若“ ”是“ ”的必要条件，求实数的取值集合． 【解】（1）命题 ： ， 为假命题， 当 时，方程为 ，解得，此时命题 为真命题，不符合题意； 当 时， ， 为假命题等价于一元二次方程 无实根， 所以 ，解得 . 故实数的取值集合. （2）由 ，得 ，即. 因为“ ”是“ ”的必要条件，所以 . 当 时， ，解得 ； 当 时，，解得 . 综上所述，实数的取值集合为或. 1.（25-26高一上·福建泉州·阶段检测）甲乙丙丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲乙丙共同写出三个集合：，，然后他们三人各用一句话来正确的描述“”中的数字，让丁同学找出该数字，以下是甲，乙，丙三位同学的描述，甲：此数为小于5的正整数；乙：B是A成立的必要不充分条件；丙：C是A成立的充分不必要条件.则“”中的数字可以是（    ） A．3或4 B．2或3 C．1或2 D．1或3 【答案】C 【解析】因为此数为小于5的正整数， 故， 因为B是A成立的必要不充分条件，C是A成立的充分不必要条件， 所以C是A的真子集，A是B的真子集， 故且，解得，故“”中的数字可以是1或2.故选：C 2．（2026·湖北武汉·模拟预测）现有一个迷宫如图所示，小球从，，三个口中的一个口滚动进入后，该口封闭，小球最终将从另一个口滚动出来，则“小球从口滚动进入”是“小球从口滚动出来”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由迷宫图形可知， 若小球Ω从口滚动进入， 根据通道走向，小球最终只能从口滚动出来， 所以“小球Ω从口滚动进入”能推出“小球Ω从口滚动出来”，充分性成立； 若小球Ω从口滚动出来，小球可能是从口滚动进入， 也可能是从口滚动进入（由图可知从口进入最终也会从口出来）， 所以“小球Ω从口滚动出来”不能推出“小球Ω从口滚动进入”，必要性不成立． 综上所述，“小球Ω从口滚动进入”是“小球Ω从口滚动出来”的充分不必要条件． 3．（25-26高一下·甘肃兰州·开学考试）设甲、乙、丙、丁是四个命题，甲是乙的充分不必要条件，丙是乙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，那么丁是甲的______条件. 【答案】必要不充分 【解析】因为甲是乙的充分不必要条件，所以甲乙，乙推不出甲； 因为丙是乙的充要条件，即乙⇔丙； 因为丁是丙的必要不充分条件，所以丙丁，丁推不出丙. 故甲丁，丁推不出甲，即丁是甲的必要不充分条件. 4．（25-26高一上·湖北十堰·阶段检测）设，，分别是的三条边，且我们知道，如果为直角三角形，那么勾股定理反过来，如果，那么为直角三角形勾股定理的逆定理由此可知，为直角三角形的充要条件是请利用边长，，给出为锐角三角形的一个充要条件是__． 【答案】 【解析】设，，分别是的三条边，且，为锐角三角形的充要条件是． 证明如下：必要性：在中，是锐角，作，为垂足，如图． 显然 ，即． 充分性：在中，，不是直角． 假设为钝角，如图作，交延长线于点． 则 ． 即，与“”矛盾． 故为锐角，即为锐角三角形． 5.（25-26高一上·重庆·期中）已知全集，集合，. (1)将下图中的阴影部分表示的集合.    (2)已知，且“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【解】（1）由，， 结合图象可得阴影部分表示的集合为； （2）由“”是“”的必要不充分条件，则， 因为，所以， 即， 所以， 故实数的取值范围. 1．（2026·天津·高考真题）设，则“”是“”的（     ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由，解得：或，即时，成立，反之不成立， 所以“”是“”的充分而不必要条件. 2．（2022·天津·高考真题） “为整数”是“为整数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】当为整数时，必为整数；当为整数时，不一定为整数， 例如当时，.所以“为整数”是“为整数”的充分不必要条件.故选：A. 3．（2023·北京·高考真题）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】解法一：因为，且， 所以，即，即，所以. 所以“”是“”的充要条件. 解法二：充分性：因为，且，所以， 所以， 所以充分性成立； 必要性：因为，且， 所以，即，即，所以. 所以必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 解法三：充分性：因为，且， 所以， 所以充分性成立； 必要性：因为，且， 所以， 所以，所以，所以， 所以必要性成立. 所以“”是“”的充要条件.故选：C 4．（2020·山东·高考真题）已知，若集合，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】当时，集合，，可得，满足充分性， 若，则或，不满足必要性， 所以“”是“”的充分不必要条件，故选：A. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $