练案8 1.2.3 充分条件、必要条件-【成才之路•练案】2025-2026学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导(人教B版)

B组素养提升 C组创新拓展 一、选择题 对于非零实数x,y有x>y,试探求上<1的充要条 1.设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙 是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么() 件，并加以证明。 A.丙是甲的充分不必要条件 B.丙是甲的必要不充分条件 C.丙是甲的充要条件 D.丙是甲的既不充分也不必要条件 2.命题“Hx∈[1,2]，2x2-a≥0”为真命题的一个充分 不必要条件是 () A.a≤1 B.a≤2 i, C.≤3 D.a≤4 3.(多选题)已知实系数一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)，下列结论正确的是 A.△=b2-4ac≥0是这个方程有实根的充要条件 B.△=b2-4ac=0是这个方程有实根的充分条件 C.△=b2-4ac>0是这个方程有实根的必要条件 D.△=b2-4ac<0是这个方程没有实根的充要条件 二、填空题 4.已知p:x<8,9:x<a,且g是p的充分不必要条件，则 a的取值范围为 5.若A={xa<x<a+2},B=xlx<-1或x>3},且 x∈A是x∈B的充分不必要条件，则实数a的取值范 围是 三、解答题 6.已知全集U=R,非空集合A={x x-2 -(3a+1)<0 =。2 (1)当a=2时，求(CB)nA: (2)命题p:x∈A;命题q:x∈B,若q是p的必要条件， 求实数a的取值范围. 116因为方程ax2+bx+c=0有一个根为1，所以x=1满足方程ACB=→An(CB)=☑，同时An(CB)=☑=→ACB,故选C. ax'+bx+c=0. 2.B由已知：由“是仙”可以推出“到过蓬莱”，而“到过蓬莱”不 所以有a×1+b×1+c=0,即a+b+c=0.所以方程（※）有 一定推出“是仙”，所以“是仙”是“到蓬莱”的充分不必要条 一个根为1→a+b+c=0,从而a+b+c=0台方程（※）有一 件，故选B. 个根为1， 3.Ba2=,即(a+b)(a-b)=0,解得a=-b或a=b, 因此a+b+c=0是方程（※）有一个根为1的充要条件. a2+b2=2ab,即(a-b)2=0,解得a=b, 例3：[3，+0) 由题意得p:0<<3:9:x<m3在数轴上表 故“a2=b2”不能推出“a2+b2=2ab”,充分性不成立， “a2+=2ab"能推出“a2=b2”,必要性成立， 示出(0,3)和(-∞，"3 ,如图所示，由题意知p→q,9台！ 故“a2=2”是“a2+b2=2ab”的必要不充分条件.故选B. p,则m+3≥3，解得m≥3，即m的取值范围是[3，+∞). 4.Dab(a-b<0ab-ab<0⊙ab<ab台8<a69 <。微选D 3m+3 5.B由|x+1I≤2得-3≤x≤1，即p:-3≤x≤1，若p是g的充 分不必要条件，则a≥1，故选B. 或号 1 对点训练3：- 由x2+x-6=0,可得x=2或x=-3. 6.充分必要由x=-1→x2-x-2=0,所以“x=-1”是“x2 对于ax+1=0,当a=0时，方程无解；当a≠0时，x=-1 -x-2=0”的充分条件，“x2-x-2=0”是“x=-1”的必要 条件 由题意知p为g,9→P,则可得a≠0，此时应有-↓=2或7.3①②④中命题均为真命题，⑧为假命题故填3， a 8.充要充分不必要(1)因为x1>0且x2>0,则可以推出x1 -=-3,解得a=-或a= 、1 +x2>0且x12>0, 例4：C由(2x+1)(x-3)≥0得x≤-号或x≥3，选项中只有 反之，x1+x2>0且x1x2>0,可以推出x1>0且x2>0 则“x1>0且2>0”是“x1+x2>0且x2>0”的充要条件； -1,35列{≤7或≥3 (2)因为：1>2且2>2，则可以推出x1+x2>4且xx2>4, 反之，1+2>4且x12>4,可以取x1=8,x2=1,满足条件，但 即只有“x∈{-1,3,5}”是“不等式(2x+1)(x-3)≥0成 不能推出x1>2且x2>2, 立”的充分不必要条件 则“1>2且x2>2”是x1+x2>4且x1x2>4的充分不必要 课堂检测固双基 条件 1.B9:x2>2,解得x>2或x<-2: 9.(1)由a2=4得a=±2，所以由p:a2=4不能推出q:a=-2, 若p:x>2成立，则q:x2>2成立， 由q:a=-2能推出p:a2=4,所以p是g的必要不充分条件， 反之，若q:x2>2成立，则p:x>2未必成立， (2)由AUB=B得A二B,所以p台9，即p是g的充要条件. 即p是q成立的充分不必要条件，故选B. (3)若两个三角形全等，则两个三角形面积必相等，即由p能 2.A对于“x>0”→“x≠0”，反之不一定成立.即x>0是x≠0 推出q;由两个三角形面积相等，不能推出两个三角形全等，即 的充分不必要条件，故选A 由q不能推出P,所以p是q的充分不必要条件. 3.AAB+AC=BC→△ABC是直角三角形，△ABC是直角三10.(I)由x∈P是x∈S的必要条件，知SCP, 角形≠AB2+AC2=BC2,故选A. rl-m≤1+m, 4.充分必要因为ACB,由子集的定义知x∈A→x∈B,故 则1-m≥-2， “x∈A”是“x∈B”的充分条件：“x∈B”是“x∈A”的必要条件. L1+m≤10， 5.（-0,6]由“x>a”是“x>6”的必要条件，知a≤6，故实数 解得0≤m≤3. a的取值范围为(-0,6]. .当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取 值范围是0≤m≤3. 练案[8] (2)若xeP是xeS的充要条件，则P=S, A组基础巩固 1-m=-2,「m=3, 1.C如下图所示， {1+m=10,m=9 ∴.不存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件 U 即所求m的取值范围是m∈). (3):xECRP是x∈CRS的必要不充分条件， ∴.x∈P→x∈S且x∈S台x∈P. .P￥S, -171 -m≤2或-m<2, l1+m>10,11+m≥10. ②当3a+1-2,即a=写时，4=⑦，不符合题意 解得m≥9， ③当3a+1<2,即a<兮时，A=x13a+1<x<2, 即实数m的取值范围是m≥9. B组素养提升 「a≤3a+1, 由ACB得 1a2+2≥2 1.A因为甲是乙的必要条件，所以乙→甲.又因为丙是乙的充 分条件，但不是乙的必要条件，所以丙→乙，但乙≠丙，如图. 解得≤a< 综上，有丙一甲，但甲≠丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲 综上所述，实数a的取值范围是 的必要条件.故选A 分 [(33,1] :C组创新拓展 充要条件是xy>0,证明如下： 丙 必要性：由<知号>0，又>y,则x-y>0,所以 2.A由22-a≥0，得a≤2x2, >0. 函数y=2x2在[1,2]上的最小值为2. 充分性：因为x>y,所以y-x<0. 若对Hxe[1,2],2x2-a≥0成立，则a≤2. 所以由a≤1，得a≤2成立，反之不成立， 因为xy>0,所以1>0， 则a≤1是“Hxe[1,2],2x2-a≥0”为真命题的一个充分不 必要条件； 所以'<0，即上<L xy < a≤2是“Vxe[1,2],2x2-a≥0”为真命题的一个充分必要 条件： 综上所述，对于非零实数x,,当x>y时，士<的充要条件 a≤3与a≤4是“Hxe[1,2],2x2-a≥0”为真命题的不充分 是xy>0. 条件，故选A 章末整合 3.ABD△≥0=方程ax2+bx+c=0有实根，A对： △=0→方程ax2+bx+c=0有实根，B对； 素养突破提技能 4>0→方程a2+bx+c=0有实根，但ax2+br+c=0有实根例1：(1)由题知，A=2,3,4,B=x∈R1(x-1)(x-2)=0 推不出△>0，C错； =1,2. △<0台方程ax2+bx+c=0无实根，D对，故选ABD. (2)由题知，A∩B=2},AUB=1,2,3,4}, 4.(-0,8)因为p:x<8,q:x<a,且q是p的充分而不必要条 所以C(AUB)=0,5,6}. 件，所以a<8. 例2：a<-2或7≤a<1 因为a<1,所以2a<a+1, 5.{ala≥3或a≤-3}因为x∈A是x∈B的充分不必要条件， 所以A至B, 所以B≠O. 又A={xla<x<a+2},B={xlx<-1或x>3. 画数轴如图所示， 因此a+2≤-1或a≥3， 所以实数a的取值范围是{ala≥3或a≤-3. 2aa+1-1012aa+1 6(1)当a=2时， 由BCA知，a+1<-1,或2a≥1. 1 4={2<}={2<<号} 即a<-2,或a≥2 CB={s或≥} 由已知a<1,所以a<-2,或号≤a<1, (GBn={✉≤<} 9 即所求a的取值范围是a<-2或≤a<1. (2)a2+2>a, 例3：(1)由MnP=xl5<x≤8}，得-3≤a≤5， .B=xla<x<a2+2}. 因此MnP={xl5<x≤8}的充要条件是-3≤a≤5， 即a的取值范围为a-3≤a≤5}. ①当3a+1>2,即a>写时，A=x2<x<3a+1. (2)求实数a的一个值，使它成为M∩P=xl5<x≤8}的 9是p的必要条件，.A二B. 一个充分但不必要条件，就是在集合al-3≤a≤5}中取 「a≤2， l3a+1≤a2+ 2解得<a≤3,5 一个值，如取a=0,此时必有M∩P={xl5<x≤8}；反之， 2 MnP=xl5<x≤8}未必有a=0,故a=0是所求的一个 -172