1.1.2 集合的基本关系（分层作业练题型）高一数学人教B版必修第一册

**基本信息** 该同步练通过A/B/C组及高考链接的分层设计，实现从集合基本关系概念到综合应用的梯度巩固，培养数学抽象与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|子集/真子集确定、个数计算、集合相等及空集辨析|基础题型对应核心概念，如选择题直接考查子集判定，夯实数学抽象基础| |B组能力进阶|集合包含关系判断、参数范围求解|综合应用题型，如根据包含关系求参数取值，发展逻辑推理能力| |C组思维拔高|新定义问题（和谐集）、函数融合|创新情境题，如新定义“等差集”探究，培养创新意识与数学表达| |拓展链接高考|高考真题再现|对接高考考点，如集合相等求参数，强化应用意识|

1.1.2 集合的基本关系 目 录 A组 巩固过关 题型01 子集的确定 题型02 真子集的确定 题型03 子集、真子集的个数问题 题型04 判断两个集合是否相等 题型05 利用集合相等求参数 题型06 空集的概念与辨析 题型07 判断两个集合间的包含关系 题型08 根据集合包含关系求参数 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 ( 题型0 1 ) 子集的确定 1.（25-26高一上·北京·期中）已知集合，则下列可以作为A的子集的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·四川乐山·期中）集合的一个子集是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·甘肃天水·阶段检测）集合的一个子集为（    ） A． B． C． D． 4．集合的子集为（   ） A． B． C． D． ( 题型0 2 )真子集的确定 5．（2026·广西崇左·一模）集合的一个真子集可以为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·新疆和田·阶段检测）已知集合，下列不是集合A的真子集的是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·四川·期末）集合的一个真子集可以为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·湖南株洲·阶段检测）集合的子集为（    ） A．，， B．，，， C．，，， D．，，，，，，， ( 题型0 3 )子集、真子集的个数问题 9．（湖南省湘东教学联盟2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试题）已知集合，则的子集个数为（    ） A．4 B．7 C．8 D．9 10．（2026·四川绵阳·模拟预测）若，则A的子集个数为（    ） A．3 B．6 C．7 D．8 11．（2026·西藏林芝·二模）若，则的真子集个数为（     ） A．8 B．7 C．6 D．3 12．（2026·四川成都·模拟预测）若，则A的真子集个数为（   ） A．3 B．8 C．7 D．6 13．（25-26高三下·湖南邵阳·阶段检测）若，则的真子集个数为（   ） A．3 B．8 C．7 D．6 ( 题型0 4 )判断两个集合是否相等 14．（25-26高一上·江苏徐州·期末）下面关于集合的表示正确的是（   ） A． B．. C． D．. 15．（25-26高一上·湖北·阶段检测）下列表述中正确的是（    ） A． B． C． D． 16．（25-26高一上·福建福州·期中）下列四组中，表示相等集合的是（   ） A． B． C． D． 17．（25-26高一上·河北衡水·阶段检测）下列与集合表示同一集合的是（   ） A． B． C． D． ( 题型0 5 )利用集合相等求参数 18．（2026·甘肃·模拟预测）已知集合，，若，则实数（   ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 19．（2026·江苏徐州·模拟预测）已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 20．（25-26高一上·江苏宿迁·期末）已知集合，，若，则实数的值为（   ） A．1或 B．3或 C．3 D． 21．（25-26高一上·天津和平·阶段检测）若，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D． ( 题型0 6 )空集的概念与辨析 22．（25-26高三上·河南安阳·期中）下列四个集合中，(   )是空集 A． B． C． D． 23．（25-26高一上·河北石家庄·月考）已知下面关系式：①；②；③；④，其中正确的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 24．（25-26高一上·贵州黔东南·期中）（多选）下列关系式正确的为（    ） A． B． C． D． 25．给出下列说法： （1）是空集； （2）集合是有限集； （3）空集不存在子集； （4）； 其中正确的说法个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ( 题型0 7 )判断两个集合间的包含关系 26．已知集合，则（    ） A． B． C． D．A、B没有包含关系 27．（25-26高二下·河北保定·期末）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 28．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 29．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 30．（25-26高二上·广东广州·期末）设集合，则（   ） A． B． C． D． ( 题型0 8 )根据集合包含关系求参数 31．（T8联盟2026届高考考前训练（一）数学试卷）已知集合，，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 32．（2026·安徽安庆·三模）设集合，若，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 33．（2026·河南开封·三模）已知集合，，若，则实数（   ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 34．（2026·河南·二模）已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 35．（2026·广东广州·模拟预测）已知集合，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 36．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设集合，，若，则由实数组成的集合为（     ） A． B． C． D． 1．（2026·四川雅安·二模）下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·湖南长沙·三模）集合的子集个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．（25-26高三下·吉林长春·阶段检测），，已知，则（　　） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·浙江宁波·期末）已知集合，则的所有子集中的元素之和为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）已知集合，集合，则与关系为（     ） A． B． C． D． 6．（2026·陕西咸阳·三模）已知集合 ，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·广东江门·二模）已知集合，，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·全国·课后作业）已知空集，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．（2026·江西·模拟预测）已知集合，若，则（    ） A．10或18 B．或 C．18 D． 10．（2026高一·全国·专题练习）集合 之间的关系是（　　） A．⫋ B．⫋ C．⫋⫋ D．⫋ 11．（25-26高一上·云南昭通·期中）已知集合，则（    ） A．若，则 B．若，则有两个子集 C．若中只有一个元素，则 D．不可能为 12．（25-26高二·全国·暑假作业）设，，若是的真子集，则实数的取值范围是_________． 13．（25-26高一上·重庆渝中·期中）已知集合，，则符合条件的集合的个数为______. 14．（2026高一·全国·专题练习）设，集合，则________． 15．（25-26高一上·河北保定·期中）已知集合． (1)若中恰有一个元素，求实数的取值构成的集合； (2)若，求实数的取值范围． 16．已知R的子集U为一个数集，集合. (1)设，求：集合A的非空真子集个数； (2)设证明：若则. 17．（2026高一·全国·专题练习）设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 18．（新定义问题）（25-26高二下·北京朝阳·期中）当集合是的子集且的元素个数有限，称的所有元素之和为的“厚度”.集合 的全部非空子集的厚度之和为（    ） A．3200 B．1600 C．1550 D．800 19．（新定义问题）（2026高一·全国·专题练习）若对任意，都有，则称非空集合为“和谐集”，已知集合，则集合的子集中“和谐集”的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 20．（与函数融合问题）（2026·山西忻州·模拟预测）已知二次函数.若集合与集合相等，其中集合中相同元素只记一次，则（   ） A．-1 B．-2 C．-3 D．-4 21．（新定义问题）（25-26高一上·广东·阶段检测）设是由若干正整数组成的集合，且存在3个不同的元素，使得，则称为“等差集”. (1)若集合，，且是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的； (2)若集合是“等差集”，求的值. 22．（探索问题）（25-26高一上·云南·阶段检测）已知集合，． (1)若且，求b的值． (2)若且，求a的值． (3)是否存在实数a，使得对于任意实数b（且），都有？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 1．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）设集合，，若，则（    ）． A．2 B．1 C． D． 2．（2026·上海·高考真题）已知集合，，若，则____________. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1.2 集合的基本关系 目 录 A组 巩固过关 题型01 子集的确定 题型02 真子集的确定 题型03 子集、真子集的个数问题 题型04 判断两个集合是否相等 题型05 利用集合相等求参数 题型06 空集的概念与辨析 题型07 判断两个集合间的包含关系 题型08 根据集合包含关系求参数 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 ( 题型0 1 ) 子集的确定 1.（25-26高一上·北京·期中）已知集合，则下列可以作为A的子集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵1,，根据子集的定义可知，是A的子集．故选：D． 2．（25-26高一上·四川乐山·期中）集合的一个子集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以的子集有，；故选：D. 3．（25-26高二上·甘肃天水·阶段检测）集合的一个子集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，所以，故A正确； 因为，所以，不是的子集，故BC错误； 因为，所以不是的子集，故D错误.故选：A. 4．集合的子集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由集合，根据集合子集的定义，可得，故选：D. ( 题型0 2 )真子集的确定 5．（2026·广西崇左·一模）集合的一个真子集可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据真子集的概念可知为的一个真子集． 6．（25-26高一上·新疆和田·阶段检测）已知集合，下列不是集合A的真子集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意，集合的真子集为 所以不是集合A的真子集的是.故选：C 7．（25-26高三上·四川·期末）集合的一个真子集可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，故A错误；，故B错误； 因为是集合的子集，但不是真子集，故D错误； 是集合的真子集，故C正确.故选：C. 8．（25-26高一上·湖南株洲·阶段检测）集合的子集为（    ） A．，， B．，，， C．，，， D．，，，，，，， 【答案】D 【解析】根据子集的含义和，写出其以下子集： ( 题型0 3 )子集、真子集的个数问题 9．（湖南省湘东教学联盟2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试题）已知集合，则的子集个数为（    ） A．4 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【解析】解不等式，因式分解得，解得， 又,所以,元素个数为3，所以的子集个数为. 10．（2026·四川绵阳·模拟预测）若，则A的子集个数为（    ） A．3 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【解析】因为集合共含有个元素，因此A的子集个数为 11．（2026·西藏林芝·二模）若，则的真子集个数为（     ） A．8 B．7 C．6 D．3 【答案】B 【解析】因为，所以，所以的真子集个数为个 12．（2026·四川成都·模拟预测）若，则A的真子集个数为（   ） A．3 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【解析】因为集合，所以的真子集有共7个. 13．（25-26高三下·湖南邵阳·阶段检测）若，则的真子集个数为（   ） A．3 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【解析】因为，所以，所以的真子集个数为. ( 题型0 4 )判断两个集合是否相等 14．（25-26高一上·江苏徐州·期末）下面关于集合的表示正确的是（   ） A． B．. C． D．. 【答案】C 【解析】对于A，根据集合元素的无序性，可知，故错误； 对于B，特征元素不相同，故不是相等集合，故错误； 对于C，都是数集，且范围相同，故相等，故正确； 对于D，不是空集，0是一个元素，故错误；故选C. 15．（25-26高一上·湖北·阶段检测）下列表述中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，是含一个元素0的集合，不含任何元素，故A错误； 对于B，集合元素具有无序性，故正确； 对于C，是包含空集的集合（有一个元素），是空集（无元素），故错误； 对于D，表示有序数对的集合，表示有序数对的集合， 有序数对与不相等，故这两集合不相等，故错误；故选：B 16．（25-26高一上·福建福州·期中）下列四组中，表示相等集合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，两集合表示点的坐标不同，不是同一个集合，故A错误； 对于B，两集合元素相同，是相等集合，故B正确； 对于C，集合中有元素，集合为空集，不是相等集合，故C错误； 对于D，集合表示抛物线上的点，集合为数集，故D错误.故选：B 17．（25-26高一上·河北衡水·阶段检测）下列与集合表示同一集合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，集合中只有一个元素，所以A错误， 对于B，集合的元素是点，所以B错误， 对于C，由，解得或， 所以，故C正确， 对于D，集合中有二个元素，，所以D错误，故选：C. ( 题型0 5 )利用集合相等求参数 18．（2026·甘肃·模拟预测）已知集合，，若，则实数（   ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 【答案】A 【解析】∵集合，，若，∴，得. 19．（2026·江苏徐州·模拟预测）已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】已知 ，，所以一元二次方程 的两个根就是 和. 设一元二次方程的两根为​，则： ，， 所以，即，因此 20．（25-26高一上·江苏宿迁·期末）已知集合，，若，则实数的值为（   ） A．1或 B．3或 C．3 D． 【答案】C 【解析】由可得：，解得或， 当时，，不满足集合中元素的互异性，故舍去，即满足题意，故选：C 21．（25-26高一上·天津和平·阶段检测）若，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以或， 则或或， 当时，集合，不满足集合元素的互异性，舍去； 所以，所以，故选：C ( 题型0 6 )空集的概念与辨析 22．（25-26高三上·河南安阳·期中）下列四个集合中，(   )是空集 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】选项A：集合中有一个元素0，不为空集； 选项B：集合中不存在元素，所以该集合为空集； 选项C：集合中有一个元素1，所以不为空集； 选项D：集合中存在无数个元素，所以不为空集.故选：B. 23．（25-26高一上·河北石家庄·月考）已知下面关系式：①；②；③；④，其中正确的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【解析】①，包含关系是两个集合间的一种关系，而不是一个集合，故①错误； ②是不含任何元素的集合，，故②正确； ③是任何集合的子集，，故③正确； ④，两集合有包含关系， 且集合为数集，它只有和两个元素，集合不是它的元素，故④错误. 故其中正确的个数为.故选：C. 24．（25-26高一上·贵州黔东南·期中）（多选）下列关系式正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】因为，故A错误； 是指元素为0的集合，所以，故B正确； 是指元素为的集合，所以，故C正确； 是任何集合的子集，所以，故D正确．故选：BCD． 25．给出下列说法： （1）是空集； （2）集合是有限集； （3）空集不存在子集； （4）； 其中正确的说法个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【解析】（1）不是空集，故（1）错误； （2）因为，若x为分子为1，分母为正整数的分数，则， 所以为无限集，故（2）错误； （3）因为空集的子集是空集，故（3）错误； （4）因为表示由奇数组成的集合， 也表示由奇数组成的集合， 所以，故（4）正确．故选：A ( 题型0 7 )判断两个集合间的包含关系 26．已知集合，则（    ） A． B． C． D．A、B没有包含关系 【答案】B 【解析】由 ，则． 27．（25-26高二下·河北保定·期末）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以． 28．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以． 29．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以. 30．（25-26高二上·广东广州·期末）设集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得, 显然仅表示奇数，而表示整数， 因此集合是集合的子集，即，故选：B ( 题型0 8 )根据集合包含关系求参数 31．（T8联盟2026届高考考前训练（一）数学试卷）已知集合，，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】由可知，解得.此时，符合要求.所以. 32．（2026·安徽安庆·三模）设集合，若，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为集合，，所以. 33．（2026·河南开封·三模）已知集合，，若，则实数（   ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 【答案】A 【解析】由，得或，解得或． 当时，，，，符合题意， 当时，A不满足元素互异性，不符合题意，所以. 34．（2026·河南·二模）已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，，符合； 当时，，，又，，综上，． 35．（2026·广东广州·模拟预测）已知集合，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，可得，解得.故选：D. 36．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设集合，，若，则由实数组成的集合为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，方程无解，即，满足； 当时，由方程，解得，即， 因为，可得或，解得或，所以由实数组成的集合为. 1．（2026·四川雅安·二模）下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，的唯一元素是零，而，所以，故A错误； 对于B，是无理数，是有理数集，故B错误； 对于C， 左边为数字集合，右边为点集，不是同类型，故C错误； 对于D，由集合的无序性可得D正确. 2．（2026·湖南长沙·三模）集合的子集个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【解析】由题意得，元素个数为，子集个数为. 3．（25-26高三下·吉林长春·阶段检测），，已知，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，，因，则. 4．（25-26高二下·浙江宁波·期末）已知集合，则的所有子集中的元素之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题知，的所有非空子集为， 所以以上集合所有元素之和为. 5．（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）已知集合，集合，则与关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，，所以， 因为，所以集合不是集合的子集，A错误 因为可视为集合的一个元素，但集合中不含该元素，所以集合不是集合的子集，C错误； 因为集合的元素中含有元素，所以，B错误，D正确. 6．（2026·陕西咸阳·三模）已知集合 ，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】化简集合分式不等式等价于，解得，即， 化简集合由得，即； 根据包含关系求的范围表示中所有元素都属于， 要让区间完全落在内，只需满足：解得，即的取值范围为. 7．（2026·广东江门·二模）已知集合，，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】集合，， 当时，，满足，因此， 当时，由，得，解得， 所以的取值范围是. 8．（25-26高一上·全国·课后作业）已知空集，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，二次方程无解，故，解得. 故选：D 9．（2026·江西·模拟预测）已知集合，若，则（    ） A．10或18 B．或 C．18 D． 【答案】B 【解析】若，则方程只有一个解， 则，得， 所以或，此时， 若，则方程有两相异实数解且是方程的其中一个解， 则，得， 所以方程可化为，则，； 综上，或. 10．（2026高一·全国·专题练习）集合 之间的关系是（　　） A．⫋ B．⫋ C．⫋⫋ D．⫋ 【答案】A 【解析】集合， ， 所以， ， ，所以⫋.故选：A 11．（25-26高一上·云南昭通·期中）已知集合，则（    ） A．若，则 B．若，则有两个子集 C．若中只有一个元素，则 D．不可能为 【答案】AB 【解析】对于A，由，得，解得，A正确； 对于B，由，得，解得，集合有两个子集，B正确； 对于C，若集合只有一个元素， 当时，，合乎题意， 当时，则有，解得， 故当中只有一个元素时，或，C错误； 对于D，当时，则关于的方程无实数解， 所以，解得， 故当时，，D错误. 故选：AB. 12．（25-26高二·全国·暑假作业）设，，若是的真子集，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【解析】因为是的真子集且，所以或 ， 解得，即的取值范围是． 13．（25-26高一上·重庆渝中·期中）已知集合，，则符合条件的集合的个数为______. 【答案】7 【解析】依题意，， 则符合条件的集合的个数为个. 14．（2026高一·全国·专题练习）设，集合，则________． 【答案】8 【解析】由，得，故， 因为，又， 因此，解得或， 当时，集合与集合不相等，不符合题意； 当时，集合与集合相等，符合题意，所以. 15．（25-26高一上·河北保定·期中）已知集合． (1)若中恰有一个元素，求实数的取值构成的集合； (2)若，求实数的取值范围． 【解】（1）对于， 当，即时，方程为，则，集合中只有一个元素，满足题意； 当时，方程为关于的一元二次方程， 由题意知，该方程有两个相等的实根， 所以， 解得或. 所以实数的取值构成的集合为. （2）由题意可知，，若，则分以下几种情况讨论： ①当时，，即. ②当集合中只有一个元素时，由（1）知， 当时，，，； 当时，，，，； 当时，，，，. ③当集合中有两个元素时， 因为，所以，即， 即关于的方程的两根分别为1，2， 所以，无解. 综上所述，实数的取值范围是. 16．已知R的子集U为一个数集，集合. (1)设，求：集合A的非空真子集个数； (2)设证明：若则. 【解】（1）当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，； 所以，它有8个元素，则有个非空真子集. （2）因为，所以设，， 所以， 而，，则，得证. 17．（2026高一·全国·专题练习）设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 【解】（1）集合，， 由题意， ①若，则，则； ②若或，则 解得：，将代入方程得：得：， 即符合要求； ③若，则，即 即的两根分别为、0， 则有且，则. 综上所述，实数的取值范围是或. （2），， 则，即 ， 即0和是方程的两根， ，， 解得：或（舍去）， 故. 18．（新定义问题）（25-26高二下·北京朝阳·期中）当集合是的子集且的元素个数有限，称的所有元素之和为的“厚度”.集合 的全部非空子集的厚度之和为（    ） A．3200 B．1600 C．1550 D．800 【答案】B 【分析】对于集合中每个元素，计算它在所有非空子集中出现的次数，再乘以该元素的值，最后求和即可. 【详解】根据题意,任意一个元素在非空子集中的出现次数为:. 集合的元素之和为. 所以集合的全部非空子集的厚度之和为:. 19．（新定义问题）（2026高一·全国·专题练习）若对任意，都有，则称非空集合为“和谐集”，已知集合，则集合的子集中“和谐集”的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】由且可得： 若，则，所以“和谐集”不含元素； 若，不存在，所以“和谐集”不含元素； 若，则，要求也属于该集合，产生矛盾， 所以“和谐集”不含元素； 若，则， 若，则， 若，则； 所以集合的子集中“和谐集”只有，故选B． 20．（与函数融合问题）（2026·山西忻州·模拟预测）已知二次函数.若集合与集合相等，其中集合中相同元素只记一次，则（   ） A．-1 B．-2 C．-3 D．-4 【答案】C 【分析】应用已知得出列式，再分类讨论计算求解参数. 【解析】设. 则，，，. 对两边集合中的所有元素同时减去，题设等价于. 要使两集合相等，右侧集合中必须含有0. 若，即，则左右两边分别为，，不相等. 若，即，则左右两边分别为，，不相等. 若，即，则左右两边分别为，，相等. 因此. 21．（新定义问题）（25-26高一上·广东·阶段检测）设是由若干正整数组成的集合，且存在3个不同的元素，使得，则称为“等差集”. (1)若集合，，且是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的； (2)若集合是“等差集”，求的值. 【解】（1）因为集合，，存在3个不同的元素，使得， 所以集合中必然同时含有元素或， 则或或 （2）因为集合是“等差集”， 所以或或， 计算可得或或或或， 又因为集合的元素为正整数，所以为正整数，所以， 经检验，当时，集合，满足题意，故. 22．（探索问题）（25-26高一上·云南·阶段检测）已知集合，． (1)若且，求b的值． (2)若且，求a的值． (3)是否存在实数a，使得对于任意实数b（且），都有？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 【解】（1）若，则．因为，所以． （2）当时，， 因为，所以，所以， 所以，所以或或， 解得或1． （3）若对于任意实数b，都有，则． 所以，所以，解得， 所以存在，使得对于任意实数b（且），都有 1．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）设集合，，若，则（    ）． A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【解析】因为，则有： 若，解得，此时，，不符合题意； 若，解得，此时，，符合题意；综上所述：.故选：B. 2．（2026·上海·高考真题）已知集合，，若，则____________. 【答案】 【解析】，，， 集合中所有的元素都在集合中，集合中的元素在集合中，. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $