2.2.4 均值不等式及其应用（讲义）高一数学人教B版必修第一册

本讲义聚焦“均值不等式及其应用”核心知识点，系统梳理算术与几何平均值概念、重要不等式推导，明确“一正二定三相等”条件，构建从概念理解到比较大小、证明、求最值及实际应用的学习支架，衔接等式与不等式基础，为复杂不等式学习奠基。 该资料以七类题型（如条件最值、实际应用）为主线，结合随学随练与分层练习，通过容器造价、运输费用等实例培养数学建模能力，逻辑推理贯穿证明与求最值过程。课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，提升运用数学运算解决实际问题的能力。

第二章 等式与不等式 2.2.4均值不等式及其应用 课标要点 1.掌握均值不等式及推导过程（数学抽象、逻辑推理）. 2.能熟练运用均值不等式比较两实数的大小（逻辑推理、数学运算）. 3.能初步运用均值不等式进行证明和求最值（逻辑推理、数学运算） 4.会用均值不等式求解实际应用问题（数学建模、数学运算）. 学习重难点 重点： 掌握基本均值不等式(a＋b≥2)，一正二定三相等条件； 会求最值，能配凑定值，解决简单求值域、实际最值问题。 难点： 1.灵活配凑和、积定值； 2.忽略 “一正二定三相等” 条件直接用均值； 3.等号取不到时不会换方法求最值。 知识点一　均值不等式 1.算术平均值与几何平均值 给定两个正数a，b，数　　称为a，b的算术平均值；数 称为a，b的几何平均值. 2.均值不等式 如果a，b都是正数，那么　≥　，当且仅当a＝b时，等号成立. 提醒：均值不等式的常见变形：①a＋b≥2；②ab≤≤. 3.重要不等式 对任意实数a，b，有a2＋b2≥2ab，当且仅当 　a＝b　时，等号成立. 【想一想】 1.均值不等式中的a，b只能是具体的某个数吗？ 【提示】a，b既可以是具体的某个数，也可以是代数式. 2.均值不等式成立的条件“a，b＞0”能省略吗？请举例说明. 【提示】不能，如≥是不成立的. 随学随练 1．（25-26高一上·江苏淮安·阶段检测）如果，那么当取得最小值时m的值为（ 　 ） A．－4 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【解析】由于，故，当且仅当，即时取等号，故选：B 2．（25-26高一上·湖南岳阳·期中）下列结论正确的是（　　） A．当且时， B．当时， C．当，的最小值为2 D．当时，的最小值为2 【答案】B 【解析】选项A，因为，所以不满足“取等号时的条件”，故A不正确； 选项B，由，当且仅当等号成立，故B正确； 选项C，因为，不满足“各项必须为正”，所以当时，的最小值不可能为2，故C不正确； 选项D，当时，，所以的最小值不可能为2，故D不正确. 故选：B 3．（25-26高一上·河北石家庄·期中）下列不等式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A：当时，，故A错误； 对于B：取，，故B错误； 对于C：当时，无意义，故C错误； 对于D：，取等条件为，即，故D正确，故选D 知识点二　均值不等式与最值 已知x＞0，y＞0，则 （1）若x＋y＝s（和为定值），则当x＝y时，积xy取得最大值； （2）若xy＝p（积为定值），则当x＝y时，和x＋y取得最小值2. 即：当两个正数的积为常数时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为常数时，它们的积有最大值. 提醒：在应用均值不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件：一正、二定、三相等，这三个条件缺一不可.①一正：符合均值不等式≥成立的前提条件，a＞0，b＞0；②二定：化不等式的一边为定值；③三相等：必须存在取“＝”的条件，即“＝”成立. 随学随练 1.（25-26高一上·陕西渭南·期末）已知，，且，则的最大值为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【解析】因为，，由基本不等式得，当且仅当时等号成立. 所以，所以.所以当时，取最大值，故选：B. 2．（2026·重庆·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，且， 由基本不等式得，当且仅当时等号成立， 即，得，因为，所以. 由代入，解得，因此当，的最小值为. 3．（2026·山西临汾·二模）已知，，且，则的最小值为（   ） A． B．5 C．4 D．3 【答案】B 【解析】已知，，且，， 当且仅当，结合得时等号成立，的最小值为5． 拓展 均值不等式的拓广应用 二元均值不等式：设a，b为正数，则≥，当且仅当a＝b时等式成立. 证明：因为（a＋b）2－4ab＝（a－b）2≥0，所以（a＋b）2≥4ab，从而得≥，当且仅当a＝b时等式成立. 三元均值不等式：设a，b，c为正数，则≥，当且仅当a＝b＝c时等式成立. 证明：设d为正数，由二元均值不等式，得＝≥≥，当且仅当a＝b＝c＝d时，等式成立.令d＝，即a＋b＋c＝3d，代入上述不等式，得d≥，由此推出d3≥abc，因此≥，当且仅当a＝b＝c时等式成立. 【问题探究】 当满足什么条件时，可以利用三元均值不等式求的最小值？ 提示：当a，b，c均为正数，且a，b，c能取到相等的值时，可以利用三元均值不等式求的最小值. 【迁移应用】 　已知a，b，c均为正实数，求证：（a＋b＋c）·≥9. 【证明】∵a，b，c均为正实数，∴a＋b＋c≥3＞0，＋＋≥3＞0， ∴（a＋b＋c）·≥3·3＝9，当且仅当a＝b＝c时等号成立. 题型一 对均值不等式的理解 解题贴士：1.均值不等式≥（a＞0，b＞0）反映了两个正数的和与积之间的关系. 2.对均值不等式的掌握要抓住以下两个方面： （1）定理成立的条件是a，b都是正数； （2）“当且仅当”的含义：当a＝b时，≥的等号成立，即a＝b⇒＝；仅当a＝b时，≥的等号成立，即＝⇒a＝b. 【例1】给出下面三个推导过程： ①∵a，b为正实数，∴＋≥2＝2； ②∵a∈R，a≠0，∴＋a≥2＝4； ③∵x，y∈R，xy＜0，∴＋＝－［＋］≤－2＝－2. 其中正确的推导为（　　 ） A.①②　　　　　　　 B.①③ C.②③　 D.①②③ 【答案】B　 【解析】①∵a，b为正实数，∴，为正实数，符合均值不等式的条件，故①的推导正确； ②∵a∈R，a≠0，不符合均值不等式的条件，∴＋a≥2＝4是错误的； ③由xy＜0，得，均为负数，但在推导过程中将整体＋提出负号后， ，均变为正数，符合均值不等式的条件，故③正确. 【变式1】下列各式中，对任何实数x都成立的一个式子是（　　 ） A.x＋1≥2　 B.x2＋1＞2x C.≤1　 D.x＋≥2 【答案】C　 【解析】对于A，当x＜0时，根式无意义，故A不恒成立； 对于B，当x＝1时，x2＋1＝2x，故B不恒成立； 对于C，x2＋1≥1，所以≤1成立，故C成立； 对于D，当时x＜0时，x＋≤－2，故D不恒成立. 即对任何实数x都成立的一个式子是≤1.故选C. 【变式2】下列不等式恒成立的是（　　） A.a2＋b2≥－2ab　 B.a2＋b2≤2ab C.a＋b≥－2　 D.a＋b≤2 【答案】A 【解析】对于A，a2＋b2≥2｜a｜｜b｜＝2｜ab｜≥－2ab，A正确；对于B，a2＋b2≥2｜a｜｜b｜＝2｜ab｜≥2ab，B错误；对于C，取a＝－2，b＝0，a＋b＝－2＜0＝－2，C错误；对于D，取a＝1，b＝2，a＋b＝3＞2＝2，D错误.故选A. 【变式3】如图，AB是半圆O的直径，点C是直径AB上一动点，过点C作AB的垂线，交于点D，连接AD，BD，OD.设AC＝a，BC＝b，比较线段OD与CD的长度，得出结论正确的是（　　） A.＝（a＞0，b＞0） B.≥（a＞0，b＞0） C.＜（a＞0，b＞0） D.＞ab（a＞0，b＞0） 【答案】B　 【解析】因为OD是圆O的半径，所以OD＝＝.因为AB是圆O的直径，所以∠ADB＝90°， 则△ACD∽△DCB，即＝，即CD2＝AC·CB＝ab，所以CD＝，当点C与点O重合时，CD＝OD， 否则CD＜OD，即CD≤OD，所以≥（a＞0，b＞0）.故选B. 题型二 利用均值不等式比较大小 解题贴士：运用均值不等式比较大小时应注意成立的条件，即a＋b≥2成立的条件是a＞0，b＞0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b. 【例2】（25-26高三上·山东泰安·期末）已知实数且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，取，显然满足且， 但，所以A错误， 对于B，取，显然满足且，但，所以B错误， 对于C，因为，则，，所以，故C正确， 对于D，，显然满足且，但，所以D错误， 故选：C. 【变式1】（25-26高一上·江西吉安·期中）已知，则下列不等式成立的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由于，则.故选：C. 【变式2】（25-26高一上·安徽·阶段检测）（多选）设为非零实数，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】对于A：该式可变形为，因实数的平方非负，故该不等式一定成立，故A正确； 对于B：取，则显然成立，故该不等式不一定成立，故B错误； 对于C：该式可变形为，因实数的平方非负，故该不等式一定成立，故C正确； 对于D：可取，得，故该不等式不一定成立，故D错误. 故选：AC. 【变式3】（25-26高三上·辽宁·期中）（多选）下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】ACD 【解析】对于A，，所以，故A正确； 对于B，当，时，不成立，故B错误； 对于C，因为，， 所以， 当且仅当，即时等号成立，故C正确； 对于D，， 当且仅当，时等号成立，D项正确．故选：ACD． 题型三 利用均值不等式证明不等式 解题贴士：利用均值不等式证明不等式的策略与注意事项 （1）策略：从已知不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”； （2）注意事项：①多次使用均值不等式时，要注意等号能否同时成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用均值不等式的证明可重新组合，构成均值不等式模型再使用. 【例3】已知x＞0，y＞0，z＞0，求证≥8. 【证明】∵x＞0，y＞0，z＞0， ∴＋≥＞0，＋≥＞0，＋≥＞0，当且仅当x＝y＝z时，以上三个不等式的等号同时成立. ∴≥＝8，当且仅当x＝y＝z时等号成立. 【变式1】已知，，证明：； 【证明】因为，，所以，当且仅当时，等号成立. 从而，当且仅当时，等号成立. 【变式2】（25-26高一上·上海·阶段检测）已知，且，求证： (1)；(2)． 【解】（1）对，有，所以，平方得， 所以，当且仅当时，等号成立，得证． （2）证明，即证，也即证， 只需证，即证，即证，由（1）可知成立， 所以成立． 【变式3】已知a，b，c＞0，求证：＋＋≥a＋b＋c. 【证明】因为a，b，c＞0，则＞0，＞0，＞0， 于是得＋b≥2＝2a，当且仅当＝b，即a＝b时等号成立， ＋c≥2＝2b，当且仅当＝c，即b＝c时等号成立， ＋a≥2＝2c，当且仅当＝a，即c＝a时等号成立， 将上述三个不等式相加得：＋b＋＋c＋＋a≥2a＋2b＋2c， 当且仅当a＝b＝c时等号成立，因此有＋＋≥a＋b＋c， 所以当a，b，c＞0时，＋＋≥a＋b＋c. 题型四 利用均值不等式求最值 解题贴士：利用均值不等式求最值的方法 　　利用均值不等式，通过恒等变形及配凑，使“和”或“积”为定值.常见的变形方法有拆、并、配. （1）拆——裂项拆项：对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用均值不等式凑定值创造条件； （2）并——分组并项：目的是分组后各组可以单独应用均值不等式，或分组后先对一组应用均值不等式，再在组与组之间应用均值不等式得出最值； （3）配——配式配系数：有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用均值不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的两因式之和为定值. 【例4】（25-26高一上·安徽马鞍山·期中）若，则取最大值时x的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，当且仅当等号成立.故选：A. 【变式1】已知x＞7，则x＋的最小值为（　　） A.7　 B.9 C.11　 D.10 【答案】B 【解析】因为x＞7，所以x＋＝x－7＋＋7≥2＋7＝9. 当且仅当x＝8时等号成立，所以x＋的最小值为9.故选B. 【变式2】若0＜x＜，则x（1－2x）的最大值是　　. 【答案】A 【解析】因为0＜x＜，所以1－2x＞0， 所以x（1－2x）＝×2x×（1－2x）≤＝×＝， 当且仅当2x＝1－2x，即当x＝时等号成立，所以x（1－2x）的最大值为. 【变式3】（2026·北京海淀·二模）函数的最小值为（   ） A．2 B．4 C．3 D．6 【答案】C 【解析】，，， 当且仅当时，即时等号成立，因此函数最小值为. 题型五 利用均值不等式求条件最值 解题贴士：常数代换法求最值的方法步骤 （1）根据已知条件或其变形确定定值（常数）； （2）把确定的定值（常数）变形为1； （3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式； （4）利用均值不等式求最值. 【例5】（2026·湖南株洲·三模）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵， ， 当且仅当，即，时等号成立. 的取值范围是. 【变式1】（25-26高二下·江苏南京·期末）若正数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C．15 D． 【答案】A 【解析】由题意知，，，由，得. ， 当且仅当，即时，等号成立. 【变式2】（25-26高二下·重庆·期末）已知，，且，则的最小值为（   ） A．6 B．4 C． D．2 【答案】A 【解析】因为，故， 又因为，，因此有， 因此，当且仅当时等号成立， 设，所以，解得或， 由和，解得， 因此当时，的最小值为6. 【变式3】（25-26高一上·四川成都·期末）若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， ， ， ， ，， 当且仅当即时等号成立，的最小值为． 题型六 利用均值不等式解应用题 解题贴士：利用均值不等式求实际问题中最值的4步骤 （1）阅读理解材料：理解材料中的文字语言、图形语言及符号语言，将实际问题抽象成数学模型； （2）建立数学模型：把实际问题用符号语言、图形语言抽象成数学模型，并且建立所得数学模型和已知均值不等式数学模型的对应关系，构造出符合题意的数学模型； （3）解数学模型：按照数学知识（均值不等式求最值的方法）解均值不等式求最值； （4）写出问题结论：根据所求结果，结合题目要求，写出问题的结论. 【例6】（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）要制作一个容积为，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（    ） A．80元 B．160元 C．200元 D．240元 【答案】B 【解析】设长方体底面的长为，宽为，其中. 由容器容积为、高为，可得底面积. 总造价由底面造价和侧面造价两部分组成：底面造价为元；侧面为4个矩形，总面积为， 故侧面造价为元，因此总造价为： 代入得. 根据基本不等式，对任意正实数，有，当且仅当时等号成立. 因此，代入总造价公式得： ， 当且仅当时等号成立，即该容器的最低总造价为160元. 【变式1】（25-26高一下·湖南邵阳·期中）某物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：元）与仓库到车站的距离x（单位：km）成反比，每月货物运输费（单位：元）与x（单位：km）成正比.已知在距离车站2km处土地占地费是货物运输费的4倍.若要这家公司的两项费用之和最小，则仓库应建在距离车站（    ） A．2km B．3km C．4km D．5km 【答案】C 【解析】由题意设，仓库到车站的距离x＞0， 当x＝2，，由于，即， 所以两项费用之和为， 当且仅当，即x＝4时等号成立， 即要使这家公司的两项费用之和最小，则应该把仓库建在距离车站4km. 【变式2】（25-26高一上·上海杨浦·期末）某公司购买了一批机器投入生产，若每台机器生产的产品可获得的总利润s(单位：万元)与机器运转时间单位：年)的关系为，要使年平均利润最大，则每台机器运转的时间t为（    ） A．5 B．6 C．11 D．12 【答案】B 【解析】设年平均利润为，则. 因为，所以，当且仅当，即时，等号成立. 所以，所以. 即时，取最大值. 因为，， 当时，；当时，. 因为，所以当每台机器运转的时间t为年时，年平均利润最大. 故选：B. 【变式3】（25-26高一上·内蒙古锡林郭勒·期末）牧场要用长的栅栏围出两间相邻的矩形草栏(中间共用一道隔栏)，如图所示，若每间草栏的长记为，宽记为，则当两间草栏总面积最大时，宽应取（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】法一：由题可得：，所以， 所以 对称轴为，此时面积取得最大值，则. 法二：基本不等式， 当且仅当时等号成立，此时面积取得最大值，则.故选：A 题型七 均值不等式恒成立问题 【例7】（25-26高一下·贵州毕节·期中）若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，则， 当且仅当，即，时，等号成立， 故，即，解得， 即实数的取值范围是. 【变式1】（25-26高一上·陕西西安·期末）已知实数，，且恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】变形为，则， 由均值不等式，，故， 当即，时代入原方程，解得时等号成立 因为恒成立，所以，解得.故选：A. 【变式2】（25-26高一上·安徽·阶段检测）已知正实数满足，若恒成立，则实数的最大值为（   ） A．8 B．16 C．24 D．36 【答案】C 【解析】由正实数满足，可得， 所以， 当且仅当时等号成立，所以， 所以的最小值为， 因为恒成立，可得，解得.故选：C. 【变式3】（25-26高一上·浙江杭州·期中）若正数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是_________． 【答案】 【解析】由得，且 ， 故， 当且仅当即时等号成立. 故问题转化为，即， 解得，故实数m的取值范围为. 基础通关 1．（25-26高一·全国·寒假作业）不等式成立时，实数a，b一定是（    ） A．正数 B．非负数 C．实数 D．不存在 【答案】C 【解析】原不等式可变形为，对任意实数都成立. 所以为任意实数.故选：C. 2．（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）若，，且，则，，2ab，中最小的一个是（   ） A．2ab B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，且，，， ，由条件可知，，则， 所以，即，所以四个数中最小的是.故选：A 3．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知、都是正数，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因、都是正数，，则由，可得. 当且仅当，即，时取等号.所以的最大值为. 4．（25-26高一下·湖南长沙·期末）已知，则 的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【解析】当时，，所以，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为3． 5．（25-26高一上·新疆·期末）若正数a，b满足，则的最小值为（    ） A．72 B．57 C．50 D．64 【答案】D 【解析】， 当且仅当，即，时，等号成立，则的最小值为． 6．（25-26高一上·福建福州·阶段检测）已知实数，且，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【解析】由，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 要使恒成立，则， 解得，即实数的取值范围为.故选：A. 7．（25-26高三下·安徽合肥·阶段检测）已知正数x，y满足，则的最小值为（    ）． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解析】由可得，即， 故，当且仅当，时等号成立． 8．（25-26高二下·湖南株洲·阶段检测）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【解析】选项A：， 因为，所以， 又因为，所以， 即.因此，A为真命题； 选项B：取，，满足， 计算得，，，显然不成立.因此，B为假命题； 选项C：由基本不等式，得：（）， 两边取倒数得，再乘以得， 由于，等号不成立，故.因此，C为真命题； 选项D：由，得且， ，即. 因此，D为真命题. 9．（25-26高一下·广东揭阳·阶段检测）下列能够取得最小值为4的函数有（   ） A．函数 B．函数 C．函数 D．函数 【答案】BCD 【解析】对A：， 当且仅当，即时等号成立，故A错误； 对B：，当且仅当，即时等号成立，故B正确； 对C：， 当且仅当，即时等号成立，故C正确； 对D：， 当且仅当，即时等号成立，故D正确. 10．（25-26高二下·河北承德·期末）已知，，且，则下列结论正确的有（   ） A．的最大值是 B．的最小值是10 C．的取值范围是 D． 【答案】ACD 【解析】因为，，且，所以由基本不等式，得， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值是，故A正确； 因为，，所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值是8，故B错误； 因为，，所以， 所以，即的取值范围是，故C正确； ，令，则．函数在上单调递减， 所以在上的最小值为． 所以，当且仅当时，等号成立，故D正确． 11．（25-26高二下·陕西商洛·阶段检测）函数的最小值为______． 【答案】9 【解析】因为，所以，当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值为． 12．（25-26高一下·山西长治·期末）若，则的最大值是______． 【答案】 【解析】令， 因为，所以，所以， 当且仅当，即，因为，所以时，等号成立. 13．（25-26高二下·天津津南·阶段检测）正实数，满足，且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】因为正实数，满足，则， 所以， 当且仅当时取等号， 存在这样的，使不等式有解，则， 则，所以实数的取值范围是 14.已知正数，，满足：，求证：． 【解】． 根据柯西不等式，有 ， ，当且仅当时，等号成立． 15．（25-26高一上·江苏盐城·期末）某人购买了一辆新能源汽车从事滴滴客运业务，根据市场分析，该汽车的运营利润（万元）与运营年数的关系为 (1)该新能源汽车运营到哪年时，运营利润超过万元？ (2)该新能源汽车运营到哪年时，年平均利润最大？ 【解】（1）令，整理可得，解得， 因为，故，故该新能源汽车运营到第年时，运营利润超过万元. （2）该新能源汽车的年平均利润为， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故该新能源汽车运营到第年时，年平均利润最大. 素养提升 16．（25-26高一上·河北石家庄·阶段检测）单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通状况、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数N满足关系，其中为安全距离，为车速.当安全距离取50时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（   ） A．90 B．96 C．110 D．122 【答案】B 【解析】将代入，得： . 当且仅当即时取等号，故选：B 17．（25-26高一下·贵州毕节·期中）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时，等号成立.根据权方和不等式，函数（）的最小值为（   ） A．1 B． C． D．25 【答案】C 【解析】因为，所以. ， 当且仅当，即（在范围内）时，等号成立. 18.（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）已知正数，满足，则（    ） A． B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】BC 【解析】对于A，由，得， 又，，所以，所以，即，A错误. 对于B，由基本不等式得，，所以，当且仅当时等号成立， 所以，即的最小值为，B正确. 对于C，，当且仅当时等号成立，C正确. 对于D，因为，，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立，D错误. 19.（25-26高一上·浙江杭州·期中）若正实数，满足，不等式恒成立，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】由，得，即， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为，则，解得， 则的取值范围是. 20.（25-26高一下·江苏盐城·阶段检测）已知，为正实数，且， (1)求的最大值. (2)求的最小值； (3)求的最小值. 【解】（1）因为，为正实数， 所以由，当且仅当时取等号， 因为，为正实数， 所以由 因此当时，有最大值； （2）， 因为，为正实数， 所以， 即，当且仅当时取等号， 所以当时，有最小值； （3）设，即， 所以， 当且仅当时取等号，即当时取等号， 所以当时，有最小值. 迁移创新 21.（25-26高一上·全国·阶段检测）已知正数，满足． (1)求的最小值； (2)对于正数，，，有，当且仅当时，等号成立，现有一个直角三角形，其两直角边分别为，，斜边为． （ⅰ）求直角三角形面积的最大值； （ⅱ）求的最小值． 【解】（1）由题，于是， 当且仅当，时，等号成立， 故的最小值为7． （2）（ⅰ）注意到，即，当且仅当时，等号成立， 而直角三角形面积，得直角三角形面积最大值为1． （ⅱ） ，当且仅当时，等号成立， 故的最小值为． 22.（2026高一上·安徽·竞赛）某企业原有200名科技人员，年人均工资a万元（）．现加大对某芯片研发力度，该企业把原有200名科技人员调整成技术人员和研发人员，其中技术人员x名（且）．调整后，研发人员的年人均工资比调整前增加了，技术人员的年人均工资为万元. (1)若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前200名科技人员年总工资的1.5倍，求调整后的技术人员最少有多少人？ (2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件： ①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资； ②技术人员的年人均工资始终不低于调整前200名科技人员的年人均工资． 请问是否存在这样的实数m？若存在，求出m的范围；若不存在，说明理由． 【解】（1）依题意可得调整后研发人员的年人均工资为万元， 则，（），化简得， 解得， 因为且，所以， 所以调整后的技术人员的人数最少为50人； （2）假设存在实数m，使得技术人员在已知范围内调整后，满足以上两个条件， 由条件①得，整理得； 因为， 当且仅当，即时等号成立，所以， 由条件②得，解得； 又因为，所以． 所以． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 等式与不等式 2.2.4均值不等式及其应用 课标要点 1.掌握均值不等式及推导过程（数学抽象、逻辑推理）. 2.能熟练运用均值不等式比较两实数的大小（逻辑推理、数学运算）. 3.能初步运用均值不等式进行证明和求最值（逻辑推理、数学运算） 4.会用均值不等式求解实际应用问题（数学建模、数学运算）. 学习重难点 重点： 掌握基本均值不等式(a＋b≥2)，一正二定三相等条件； 会求最值，能配凑定值，解决简单求值域、实际最值问题。 难点： 1.灵活配凑和、积定值； 2.忽略 “一正二定三相等” 条件直接用均值； 3.等号取不到时不会换方法求最值。 知识点一　均值不等式 1.算术平均值与几何平均值 给定两个正数a，b，数　　称为a，b的算术平均值；数 称为a，b的几何平均值. 2.均值不等式 如果a，b都是正数，那么　≥　，当且仅当a＝b时，等号成立. 提醒：均值不等式的常见变形：①a＋b≥2；②ab≤≤. 3.重要不等式 对任意实数a，b，有a2＋b2≥2ab，当且仅当 　a＝b　时，等号成立. 【想一想】 1.均值不等式中的a，b只能是具体的某个数吗？ 2.均值不等式成立的条件“a，b＞0”能省略吗？请举例说明. 随学随练 1．（25-26高一上·江苏淮安·阶段检测）如果，那么当取得最小值时m的值为（ 　 ） A．－4 B．4 C．8 D．16 2．（25-26高一上·湖南岳阳·期中）下列结论正确的是（　　） A．当且时， B．当时， C．当，的最小值为2 D．当时，的最小值为2 3．（25-26高一上·河北石家庄·期中）下列不等式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 知识点二　均值不等式与最值 已知x＞0，y＞0，则 （1）若x＋y＝s（和为定值），则当x＝y时，积xy取得最大值； （2）若xy＝p（积为定值），则当x＝y时，和x＋y取得最小值2. 即：当两个正数的积为常数时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为常数时，它们的积有最大值. 提醒：在应用均值不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件：一正、二定、三相等，这三个条件缺一不可.①一正：符合均值不等式≥成立的前提条件，a＞0，b＞0；②二定：化不等式的一边为定值；③三相等：必须存在取“＝”的条件，即“＝”成立. 随学随练 1.（25-26高一上·陕西渭南·期末）已知，，且，则的最大值为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 2．（2026·重庆·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·山西临汾·二模）已知，，且，则的最小值为（   ） A． B．5 C．4 D．3 拓展 均值不等式的拓广应用 二元均值不等式：设a，b为正数，则≥，当且仅当a＝b时等式成立. 证明：因为（a＋b）2－4ab＝（a－b）2≥0，所以（a＋b）2≥4ab，从而得≥，当且仅当a＝b时等式成立. 三元均值不等式：设a，b，c为正数，则≥，当且仅当a＝b＝c时等式成立. 证明：设d为正数，由二元均值不等式，得＝≥≥，当且仅当a＝b＝c＝d时，等式成立.令d＝，即a＋b＋c＝3d，代入上述不等式，得d≥，由此推出d3≥abc，因此≥，当且仅当a＝b＝c时等式成立. 【问题探究】 当满足什么条件时，可以利用三元均值不等式求的最小值？ 提示：当a，b，c均为正数，且a，b，c能取到相等的值时，可以利用三元均值不等式求的最小值. 【迁移应用】 　已知a，b，c均为正实数，求证：（a＋b＋c）·≥9. 题型一 对均值不等式的理解 解题贴士：1.均值不等式≥（a＞0，b＞0）反映了两个正数的和与积之间的关系. 2.对均值不等式的掌握要抓住以下两个方面： （1）定理成立的条件是a，b都是正数； （2）“当且仅当”的含义：当a＝b时，≥的等号成立，即a＝b⇒＝；仅当a＝b时，≥的等号成立，即＝⇒a＝b. 【例1】给出下面三个推导过程： ①∵a，b为正实数，∴＋≥2＝2； ②∵a∈R，a≠0，∴＋a≥2＝4； ③∵x，y∈R，xy＜0，∴＋＝－［＋］≤－2＝－2. 其中正确的推导为（　　 ） A.①②　　　　　　　 B.①③ C.②③　 D.①②③ 【变式1】下列各式中，对任何实数x都成立的一个式子是（　　 ） A.x＋1≥2　 B.x2＋1＞2x C.≤1　 D.x＋≥2 【变式2】下列不等式恒成立的是（　　） A.a2＋b2≥－2ab　 B.a2＋b2≤2ab C.a＋b≥－2　 D.a＋b≤2 【变式3】如图，AB是半圆O的直径，点C是直径AB上一动点，过点C作AB的垂线，交于点D，连接AD，BD，OD.设AC＝a，BC＝b，比较线段OD与CD的长度，得出结论正确的是（　　） A.＝（a＞0，b＞0） B.≥（a＞0，b＞0） C.＜（a＞0，b＞0） D.＞ab（a＞0，b＞0） 题型二 利用均值不等式比较大小 解题贴士：运用均值不等式比较大小时应注意成立的条件，即a＋b≥2成立的条件是a＞0，b＞0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b. 【例2】（25-26高三上·山东泰安·期末）已知实数且，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一上·江西吉安·期中）已知，则下列不等式成立的是 （    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一上·安徽·阶段检测）（多选）设为非零实数，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高三上·辽宁·期中）（多选）下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 题型三 利用均值不等式证明不等式 解题贴士：利用均值不等式证明不等式的策略与注意事项 （1）策略：从已知不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”； （2）注意事项：①多次使用均值不等式时，要注意等号能否同时成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用均值不等式的证明可重新组合，构成均值不等式模型再使用. 【例3】已知x＞0，y＞0，z＞0，求证≥8. 【变式1】已知，，证明：； 【变式2】（25-26高一上·上海·阶段检测）已知，且，求证： (1)；(2)． 【变式3】已知a，b，c＞0，求证：＋＋≥a＋b＋c. 题型四 利用均值不等式求最值 解题贴士：利用均值不等式求最值的方法 　　利用均值不等式，通过恒等变形及配凑，使“和”或“积”为定值.常见的变形方法有拆、并、配. （1）拆——裂项拆项：对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用均值不等式凑定值创造条件； （2）并——分组并项：目的是分组后各组可以单独应用均值不等式，或分组后先对一组应用均值不等式，再在组与组之间应用均值不等式得出最值； （3）配——配式配系数：有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用均值不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的两因式之和为定值. 【例4】（25-26高一上·安徽马鞍山·期中）若，则取最大值时x的值是（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知x＞7，则x＋的最小值为（　　） A.7　 B.9 C.11　 D.10 【变式2】若0＜x＜，则x（1－2x）的最大值是　　. 【变式3】（2026·北京海淀·二模）函数的最小值为（   ） A．2 B．4 C．3 D．6 题型五 利用均值不等式求条件最值 解题贴士：常数代换法求最值的方法步骤 （1）根据已知条件或其变形确定定值（常数）； （2）把确定的定值（常数）变形为1； （3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式； （4）利用均值不等式求最值. 【例5】（2026·湖南株洲·三模）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二下·江苏南京·期末）若正数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C．15 D． 【变式2】（25-26高二下·重庆·期末）已知，，且，则的最小值为（   ） A．6 B．4 C． D．2 【变式3】（25-26高一上·四川成都·期末）若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型六 利用均值不等式解应用题 解题贴士：利用均值不等式求实际问题中最值的4步骤 （1）阅读理解材料：理解材料中的文字语言、图形语言及符号语言，将实际问题抽象成数学模型； （2）建立数学模型：把实际问题用符号语言、图形语言抽象成数学模型，并且建立所得数学模型和已知均值不等式数学模型的对应关系，构造出符合题意的数学模型； （3）解数学模型：按照数学知识（均值不等式求最值的方法）解均值不等式求最值； （4）写出问题结论：根据所求结果，结合题目要求，写出问题的结论. 【例6】（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）要制作一个容积为，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（    ） A．80元 B．160元 C．200元 D．240元 【变式1】（25-26高一下·湖南邵阳·期中）某物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：元）与仓库到车站的距离x（单位：km）成反比，每月货物运输费（单位：元）与x（单位：km）成正比.已知在距离车站2km处土地占地费是货物运输费的4倍.若要这家公司的两项费用之和最小，则仓库应建在距离车站（    ） A．2km B．3km C．4km D．5km 【变式2】（25-26高一上·上海杨浦·期末）某公司购买了一批机器投入生产，若每台机器生产的产品可获得的总利润s(单位：万元)与机器运转时间单位：年)的关系为，要使年平均利润最大，则每台机器运转的时间t为（    ） A．5 B．6 C．11 D．12 【变式3】（25-26高一上·内蒙古锡林郭勒·期末）牧场要用长的栅栏围出两间相邻的矩形草栏(中间共用一道隔栏)，如图所示，若每间草栏的长记为，宽记为，则当两间草栏总面积最大时，宽应取（   ）    A． B． C． D． 题型七 均值不等式恒成立问题 【例7】（25-26高一下·贵州毕节·期中）若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一上·陕西西安·期末）已知实数，，且恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一上·安徽·阶段检测）已知正实数满足，若恒成立，则实数的最大值为（   ） A．8 B．16 C．24 D．36 【变式3】（25-26高一上·浙江杭州·期中）若正数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是_________． 基础通关 1．（25-26高一·全国·寒假作业）不等式成立时，实数a，b一定是（    ） A．正数 B．非负数 C．实数 D．不存在 2．（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）若，，且，则，，2ab，中最小的一个是（   ） A．2ab B． C． D． 3．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知、都是正数，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·湖南长沙·期末）已知，则 的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（25-26高一上·新疆·期末）若正数a，b满足，则的最小值为（    ） A．72 B．57 C．50 D．64 6．（25-26高一上·福建福州·阶段检测）已知实数，且，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 7．（25-26高三下·安徽合肥·阶段检测）已知正数x，y满足，则的最小值为（    ）． A．4 B．3 C．2 D．1 8．（25-26高二下·湖南株洲·阶段检测）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 9．（25-26高一下·广东揭阳·阶段检测）下列能够取得最小值为4的函数有（   ） A．函数 B．函数 C．函数 D．函数 10．（25-26高二下·河北承德·期末）已知，，且，则下列结论正确的有（   ） A．的最大值是 B．的最小值是10 C．的取值范围是 D． 11．（25-26高二下·陕西商洛·阶段检测）函数的最小值为______． 12．（25-26高一下·山西长治·期末）若，则的最大值是______． 13．（25-26高二下·天津津南·阶段检测）正实数，满足，且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是______. 14.已知正数，，满足：，求证：． 15．（25-26高一上·江苏盐城·期末）某人购买了一辆新能源汽车从事滴滴客运业务，根据市场分析，该汽车的运营利润（万元）与运营年数的关系为 (1)该新能源汽车运营到哪年时，运营利润超过万元？ (2)该新能源汽车运营到哪年时，年平均利润最大？ 素养提升 16．（25-26高一上·河北石家庄·阶段检测）单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通状况、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数N满足关系，其中为安全距离，为车速.当安全距离取50时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（   ） A．90 B．96 C．110 D．122 17．（25-26高一下·贵州毕节·期中）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时，等号成立.根据权方和不等式，函数（）的最小值为（   ） A．1 B． C． D．25 18.（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）已知正数，满足，则（    ） A． B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 19.（25-26高一上·浙江杭州·期中）若正实数，满足，不等式恒成立，则的取值范围是__________． 20.（25-26高一下·江苏盐城·阶段检测）已知，为正实数，且， (1)求的最大值. (2)求的最小值； (3)求的最小值. 迁移创新 21.（25-26高一上·全国·阶段检测）已知正数，满足． (1)求的最小值； (2)对于正数，，，有，当且仅当时，等号成立，现有一个直角三角形，其两直角边分别为，，斜边为． （ⅰ）求直角三角形面积的最大值； （ⅱ）求的最小值． 22.（2026高一上·安徽·竞赛）某企业原有200名科技人员，年人均工资a万元（）．现加大对某芯片研发力度，该企业把原有200名科技人员调整成技术人员和研发人员，其中技术人员x名（且）．调整后，研发人员的年人均工资比调整前增加了，技术人员的年人均工资为万元. (1)若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前200名科技人员年总工资的1.5倍，求调整后的技术人员最少有多少人？ (2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件： ①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资； ②技术人员的年人均工资始终不低于调整前200名科技人员的年人均工资． 请问是否存在这样的实数m？若存在，求出m的范围；若不存在，说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $