2.2.4均值不等式及其应用讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第一册

2.2.4均值不等式及其应用 题型一 直接利用均值不等式求最值 1. 型 （教材）例1-1 已知，求的最小值，并说明x为何值时y取得最小值. 解 因为，所以根据均值不等式有， 其中等号成立当且仅当，即，解得或（舍）. 因此时，y取得最小值2. （教材）例1-2 已知，求的最大值，以及y取得最大值时x的值． 【答案】当时，y取得最大值 【详解】∵，∴，由均值不等式得， ∴，当且仅当，即时，取等号， 即当时，y取得最大值． （教材）例1-3 求的最小值，以及取得最小值时的值. 【答案】当时，取最小值4 【详解】解：.当且仅当，即时，取等号. 所以当时，取最小值. （教材）练1-1 已知，求的最小值，并说明x为何值时y取得最小值． 【答案】当时，y取得最小值 【详解】∵，∴．当且仅当，即时，等号成立． 即当时，y取得最小值． 练1-2 已知，求证：的最大值是. 【详解】，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最大值是. （教材）练1-3 已知，求的最大值. 当时,有最大值 2. 型 （教材）例2-1 已知，求的最大值，以及y取得最大值时x的值. 解 当时，，因此. 由均值不等式可得， 从而，即. 当且仅当，即时，等号成立.从而时，y取得最大值4. （教材）例2-2 已知,求的最大值. 【答案】 【详解】解:, 当且仅当,即时,等号成立,此时取最大值. 例2-3 已知，求的最大值； 【答案】 【详解】∵，∴，∴， ∴当且仅当，即时，． 例2-4 已知x>0，y>0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为(　　) A．16 B．25 C．9 D．36 答案：B 解析：因为x>0，y>0，且x＋y＝8，所以(1＋x)(1＋y)＝1＋x＋y＋xy＝9＋xy≤9＋＝9＋42＝25，当且仅当x＝y＝4时等号成立，所以(1＋x)(1＋y)的最大值为25. （教材）练2-1 已知，求的最大值，以及y取得最大值时x的值． 【答案】当时，y取得最大值 【详解】∵，∴，∴． 当且仅当，即时，取等号．即当时，y取得最大值． 练2-2 已知0<x<，求y＝3x(1－3x)的最大值． [解]　∵0<x<，∴1－3x>0， ∴y＝3x(1－3x)≤＝. 当且仅当3x＝1－3x，即x＝时取等号， ∴当x＝时，y取得最大值. 练2-3 若0<x<，则x(1－2x)的最大值是________． [解析]　因为0<x<，所以1－2x>0，所以x(1－2x)＝×2x×(1－2x)≤＝×＝，当且仅当2x＝1－2x，即x＝时，等号成立．所以x(1－2x)的最大值为. [答案]　 3. 型 （教材）例3-1已知，求的最小值，以及取得最小值时的值. 【答案】当时，取得最小值 【详解】解：. 当且仅当，即时，取等号，所以当时，取得最小值. （教材）例3-2已知,求的最大值,以及取得最大值时的值. 【答案】时,有最大值. 【详解】解:. ,当且仅当,即时,取等号. 当时,有最大值. 例3-3 若，则的最小值为 . 【答案】4 【详解】当时，， 则， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为4. 练3-1 若，则的最小值是 . 【答案】/ 【详解】因为 ，所以 ， 当且仅当 ，即 时取等号， 故答案为： 练3-2 若x>1，则的最小值为________． [解析]　因为x>1，所以＝＝x＋1＋＝x－1＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当＝x－1，即x＝2时，等号成立，所以当x＝2时，取得最小值4. [答案]　4 练3-3 已知x＞－1，求y＝的最小值． 解：∵x>－1，∴x＋1＞0， ∴y＝＝＝x＋1＋＋1≥2＋1， 当且仅当x＋1＝，即x＝－1时，y取得最小值2＋1. 4. 型 （人教B）例4-1 求的最大值,以及取得最大值时的值. 【答案】时, 【详解】解:当时,；当时,. ,当且仅当,即时,等号成立. 当时,. 题型二 借助配凑法利用均值不等式求最值 （人教B）例5-1 已知,求的最小值. 【答案】6 【详解】解:., 当且仅当,即时,等号成立.故当时,的最小值为6. 例5-2 已知，求的最大值； 【答案】1 【详解】∵，∴，∴， 当且仅当，即时，上式等号成立，故当时，． 练5-1 已知x>2，则x＋的最小值为________． [解析]　因为x>2，所以x－2>0，所以x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝6，当且仅当x－2＝，即x＝4时，等号成立．所以x＋的最小值为6. [答案]　6 题型三 借助常数代换法利用均值不等式求最值 例6-1 例6-2 解： 例6-3 若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C．6 D． 【答案】A 【详解】，，由得， 故， 当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为. 例6-4 已知0＜x＜1，则的最小值是（   ） A．16 B．25 C．27 D．34 【答案】B 【详解】由，得 因此， 当且仅当，即时取等号，所以当时，取得最小值25． 例6-5 已知正实数，满足，则的最小值为 . 【答案】3 【详解】，当且仅当即时取等号，所以的最小值为3. 练6-1 已知已知都是正数，且，求的最小值。 答案：4 例6-6 已知x>0，y>0，且＋＝1，求x＋y的最小值． 解：∵x>0，y>0，＋＝1， ∴x＋y＝(x＋y)＝＋＋10≥2＋10＝16，当且仅当＝，且＋＝1，即x＝4，y＝12时取等号． 故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16. 练6-2 若，则的最小值为（   ） A．24 B．26 C．32 D．92 【答案】C 【详解】因为， 所以， 由基本不等式可得，即， 当且仅当时取等，此时解得，，则的最小值为32，故C正确. 练6-3 已知，且，，则的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【详解】由，可得， 又因为，，所以， 当且仅当时取等号， 故选：A. 题型四 和积同时出现时利用均值不等式求最值 例7-1 即 练7-1 练7-2 已知正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，求xy的最小值． 解：解法一：∵x>0，y>0，∴2x＋y＝xy－6≥2， 令＝t(t>0)，则原式变形为t2－4t－12≥0，解得t≥6，则≥6，xy≥18. 当且仅当2x＝y＝6时，等号成立．∴xy的最小值为18. 解法二：∵2x＋y＋6＝xy，∴y＝，x＞1， xy＝＝＝＝2 ≥2×＝18， 当且仅当x－1＝，即x＝3时，等号成立， ∴xy的最小值为18. 练7-3 已知a>0，b>0，且2a＋b＝ab. (1)求ab的最小值； (2)求a＋2b的最小值． 解：因为2a＋b＝ab，所以＋＝1. (1)因为a>0，b>0，所以1＝＋≥2，当且仅当＝＝，即a＝2，b＝4时取等号． 所以ab≥8，即ab的最小值为8. (2)a＋2b＝(a＋2b)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即a＝b＝3时取等号．所以a＋2b的最小值为9. 题型五 利用均值不等式证明不等式 （教材）例8-1 已知，求证：，并推导出等号成立的条件. 证明 因为，所以.根据均值不等式，得，即. 当且仅当，即时，等号成立.因为，所以等号成立的条件是. （教材）例8-2 已知a，b都是正数，求证：. 【详解】∵，∵由均值不等式得，. 由不等式的性质，得， 当且仅当且时，等号成立.即证. （教材）例8-3 已知，求证： （1）； （2）. 证明（1）因为，两边同时加上，得. （2）因为，两边同时加上，得， 即. （教材）例8-4 已知，求证：； 证明： ， ，，三个不等式相加整理得 （教材）例8-5 已知，求证：； 证明： , , 相加的= 所以 （教材）例8-6 已知，,求证： 证明： , ,所以 （教材）练8-1 已知ab>0，求证：，并推导出等号成立的条件. 【答案】b=3a 【详解】因为ab>0，所以，所以，当且仅当时，即时，取等号. 练8-2已知、、都是正数，求证：. 【详解】，，，由基本不等式可得，，， 由不等式的性质可得， 当且仅当时等号成立. 题型六 均值不等式在实际问题中的应用 （教材）例9-1 （1）已知矩形的面积为100，则这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？ （2）已知矩形的周长为36，则这个矩形的长、宽各为多少时，它的积最大？最大面积是多少？ 解 （1）设矩形的长与宽分别为x与y，依题意得. 因为，所以，所以. 当且仅当时，等号成立，由可知此时. 因此，当矩形的长和宽都是10时，它的周长最短，最短周长为40. （2）设矩形的长与宽分别为x与y，依题意得，即. 因为，所以，因此，即. 当且仅当时，等号成立，由可知此时 （3） . 因此，当矩形的长和宽都是9时，它的面积最大，最大面积为81. （教材）例9-2 用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜地（墙的长大于），矩形的长、宽各为多少时，菜地的面积最大？并求出这个最大值． 【答案】长为，宽为时，菜地的面积最大值为 【详解】设矩形菜地的长为，宽为，由题意可知． 由均值不等式，得，即，当且仅当时，等号成立． 故当矩形的长为，宽为时，菜地的面积最大，最大值为 练9-1 （1）用篱笆围一个面积为100的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？ （2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 分析：（1）矩形菜园的面积是矩形的两邻边之积，于是问题转化为：矩形的邻边之积为定值，边长多大时周长最短. （2）矩形菜园的周长是矩形两邻边之和的2倍，于是问题转化为：矩形的邻边之和为定值，边长多大时面积最大. 解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为m，m，篱笆的长度为. （1）由已知得. 由， 可得， 所以， 当且仅当时，上式等号成立. 因此，当这个矩形菜园是边长为10m的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为40m. （2）由已知得，矩形菜园的面积为. 由， 可得， 当且仅当时，上式等号成立. 练9-2 因此，当这个矩形菜园是边长为9m的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是81. 围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图．已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)．试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用． [解]　设矩形的另一边长为a m， 则y＝45x＋180(x－2)＋180×2a＝225x＋360a－360. 由ax＝360，得a＝， ∴y＝225x＋－360. ∵x>0，∴225x＋≥2＝10800. ∴y＝225x＋－360≥10440. 当且仅当225x＝，即x＝24时，等号成立． ∴当x＝24 m时，修建此矩形场地围墙的总费用最小，最小总费用是10440元． 题型七 均值不等式的综合应用 例10-1 不等式9x＋≥a＋1(常数a>0)，对一切正实数x成立，求a的取值范围． 【解析】常数a>0，若9x＋≥a＋1对一切正实数x成立，则a＋1≤， 又9x＋≥6a，当且仅当9x＝，即x＝时，等号成立． 故必有6a≥a＋1，解得a≥. 所以a的取值范围为. 例10-2（多选）已知是正实数，若，则（       ） A．的最大值是 B．的最小值是 C．的最小值是 D．的最小值是 【答案】AB 【解析】正实数，满足，由基本不等式得，， 当且仅当且，即，时取等号，解得，，正确； ， 当且仅当时取等号此时取得最小值2，正确； ∵，∴， 当时，的最小值为，错误； 当且仅当时取等号，此时，不符合题意，故等号取不到，即的最小值大于，故D错误.故选：AB 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2.4均值不等式及其应用 题型一 直接利用均值不等式求最值 1. 型 （教材）例1-1 已知，求的最小值，并说明x为何值时y取得最小值. （教材）例1-2 已知，求的最大值，以及y取得最大值时x的值． （教材）例1-3 求的最小值，以及取得最小值时的值. （教材）练1-1 已知，求的最小值，并说明x为何值时y取得最小值． 练1-2 已知，求证：的最大值是. （教材）练1-3 已知，求的最大值. 2. 型 （教材）例2-1 已知，求的最大值，以及y取得最大值时x的值. （教材）例2-2 已知,求的最大值. 例2-3 已知，求的最大值； 例2-4 已知x>0，y>0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为(　　) A．16 B．25 C．9 D．36 （教材）练2-1 已知，求的最大值，以及y取得最大值时x的值． 练2-2 已知0<x<，求y＝3x(1－3x)的最大值． 练2-3 若0<x<，则x(1－2x)的最大值是________． 3. 型 （教材）例3-1已知，求的最小值，以及取得最小值时的值. （教材）例3-2已知,求的最大值,以及取得最大值时的值. 例3-3 若，则的最小值为 . 练3-1 若，则的最小值是 . 练3-2 若x>1，则的最小值为________． 练3-3 已知x＞－1，求y＝的最小值． 4. 型 （人教B）例4-1 求的最大值,以及取得最大值时的值. 题型二 借助配凑法利用均值不等式求最值 （人教B）例5-1 已知,求的最小值. 例5-2 已知，求的最大值； 练5-1 已知x>2，则x＋的最小值为________． 题型三 借助常数代换法利用均值不等式求最值 例6-1 例6-2 例6-3 若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C．6 D． 例6-4 已知0＜x＜1，则的最小值是（   ） A．16 B．25 C．27 D．34 例6-5 已知正实数，满足，则的最小值为 . 练6-1 已知已知都是正数，且，求的最小值。 例6-6 已知x>0，y>0，且＋＝1，求x＋y的最小值． 练6-2 若，则的最小值为（   ） A．24 B．26 C．32 D．92 练6-3 已知，且，，则的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 题型四 和积同时出现时利用均值不等式求最值 例7-1 练7-1 练7-2 已知正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，求xy的最小值． 练7-3 已知a>0，b>0，且2a＋b＝ab. (1)求ab的最小值； (2)求a＋2b的最小值． 题型五 利用均值不等式证明不等式 （教材）例8-1 已知，求证：，并推导出等号成立的条件. （教材）例8-2 已知a，b都是正数，求证：. （教材）例8-3 已知，求证： （1）； （2）. （教材）例8-4 已知，求证：； （教材）例8-5 已知，求证：； （教材）例8-6 已知，,求证： （教材）练8-1 已知ab>0，求证：，并推导出等号成立的条件. 练8-2已知、、都是正数，求证：. 题型六 均值不等式在实际问题中的应用 （教材）例9-1 （1）已知矩形的面积为100，则这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？ （2）已知矩形的周长为36，则这个矩形的长、宽各为多少时，它的积最大？最大面积是多少？ （教材）例9-2 用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜地（墙的长大于），矩形的长、宽各为多少时，菜地的面积最大？并求出这个最大值． 练9-1 （1）用篱笆围一个面积为100的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？ （2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 练9-2 因此，当这个矩形菜园是边长为9m的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是81. 围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图．已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)．试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用． 题型七 均值不等式的综合应用 例10-1 不等式9x＋≥a＋1(常数a>0)，对一切正实数x成立，求a的取值范围． 例10-2（多选）已知是正实数，若，则（       ） A．的最大值是 B．的最小值是 C．的最小值是 D．的最小值是 学科网（北京）股份有限公司 $