2.2.1 不等式及其性质（讲义）高一数学人教B版必修第一册

本讲义聚焦“不等式及其性质”核心知识点，系统梳理比较实数大小的作差法原理，详解不等式的五个基本性质及推论，构建从概念理解到性质应用的学习支架，衔接等式与不等式的性质差异。 资料特色在于结合糖水浓度、住宅采光等实际问题抽象不等关系，培养数学抽象与建模能力。通过作差法比较大小、性质判断命题等题型示例及变式训练，强化逻辑推理。课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过基础通关和素养提升查漏补缺。

第二章 等式与不等式 2.2.1 不等式及其性质 课标要点 能用不等式（组）表示实际问题中的不等关系（数学抽象）. 理解不等式的概念，掌握不等式的性质（数学抽象、逻辑推理）. 学习重难点 重点： 1.掌握不等式概念、五种基本性质，区分等式与不等式性质差异； 2.会用性质变形不等式，注意乘除负数时不等号反向； 3.能列简单不等式表示数量关系，利用性质比较实数大小。 难点： 1.运用不等式性质 3 变形易忽略不等号变向； 2.区分等式与不等式变形逻辑；灵活结合性质作差比较大小； 3.复杂代数式乘除负数时，准确判断不等号方向。 知识点一　比较实数a，b的大小 1.a－b＜0⇔　a＜b　. 2.a－b＝0⇔　a＝b　. 3.a－b＞0⇔　a＞b　. 【想一想】 1.在比较两实数a，b大小的依据中，a，b两数是任意实数吗？ 提示：是. 2.p⇔q的含义是什么？ 提示：p⇔q的含义是：p可以推出q，q也可以推出p，即p与q可以互推（等价）. 随学随练 1.（25-26高一上·湖北武汉·期末）已知，，记，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 【答案】A 【解析】 因为，，所以，. 所以，得，即. 2．（25-26高二下·天津滨海新区·阶段检测）若，，则，的大小关系是（ ） A． B． C． D．随的值变化而变化 【答案】B 【解析】已知，， 则， 即对任意恒成立，因此恒成立，故B正确. 知识点二　不等式的性质 性质1：如果a＞b，那么a＋c　＞　b＋c. 性质2：如果a＞b，c＞0，那么ac　＞　bc. 性质3：如果a＞b，c＜0，那么ac　＜　bc. 性质4：如果a＞b，b＞c，那么a　＞　c.（传递性） 性质5：a＞b⇔　b＜a　. 推论1：如果a＋b＞c，那么a　＞　c－b.（不等式的移项法则） 推论2：如果a＞b，c＞d，那么a＋c　＞　b＋d.（同向可加性） 推论3：如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac　＞　bd. 推论4：如果a＞b＞0，那么an　＞　bn（n∈N，n＞1）. 推论5：如果a＞b＞0，那么　＞　. 【想一想】 1.若a＞b，c＞d，那么a＋c＞b＋d成立吗？a－c＞b－d呢？ 提示：a＋c＞b＋d成立，a－c＞b－d不一定成立，但a－d＞b－c成立. 2.若a＞b，c＞d，那么ac＞bd成立吗？ 提示：不一定，但当a＞b＞0，c＞d＞0时，一定成立. 随学随练 1．（25-26高二下·河北沧州·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A：当时，，故A错误； 对于B：因为，所以，因为，所以，故B错误； 对于C：因为，所以，故C错误； 对于D：因为，所以，因为，所以，则，故D正确． 2．（2026高二下·福建·学业考试）已知，则不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】选项A：由，得，故A正确； 选项B：由，得，故B错误； 选项C：若，满足，但，故C错误； 选项D：若，满足，但，故D错误. 3．（25-26高三下·辽宁·阶段检测）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】实数满足， ，，A项错误； ，但是正负不确定，B项错误； ，但是正负不确定，C项错误； ，所以，D项正确. 拓展 实际问题中的不等关系 糖水跟煲汤一样，具有滋补养生功效.可以作为糖水的材料有很多，不同的材料具有不同的功效，有的具有清凉性，有的具有燥热性.根据不同的主料来配搭不同辅料，可以达到相辅相成的效果.专家称，喝糖水可缓解烦躁失眠.在烦躁而不容易入眠时，喝糖水可使体内产生大量血清素，亦可助眠. 【问题探究】 下列关于糖水浓度的问题，能提炼出怎样的不等关系呢？ （1）如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了； 【提示】设糖水b克，含糖a克，糖水浓度为，加入m克糖，即证明不等式＞（其中a，b，m为正实数，且b＞a）成立. 不妨用作差比较法，证明如下： －＝＝. ∵a，b，m为正实数，且a＜b， ∴b＋m＞0，b－a＞0， ∴＞0，即＞. （2）把原来的糖水（淡）与加糖后的糖水（浓）混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡； 【提示】设原糖水b克，含糖a克，糖水浓度为；另一份糖水d克，含糖c克，糖水浓度为，且＜，求证：＜＜（其中b＞a＞0，d＞c＞0）. 证明：∵＜，且b＞a＞0，d＞c＞0， ∴ad＜bc，即bc－ad＞0， －＝＝＜0，即＜， －＝＝＞0， 即＜.∴＜＜. （3）如果向一杯糖水里加水，糖水变淡了. 【提示】设原糖水b克，含糖a克，糖水浓度为，加入m克水，求证：＞（其中b＞a＞0，m＞0）. 证明：∵－＝＝＞0，∴＞. 结论　（1）如果一个分式（b＞a＞0）的分子分母同时增大相同的值，则该分式的值变大； （2）两个分式中分子与分母分别相加所得的分式的大小介于这两个分式之间； （3）一个分式分子不变，分母变大，分式的值变小. 【迁移应用】 　建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比应不小于10%，并且这个比例越大，采光条件越好，问同时增加相同的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了还是变坏了？ 【解】设窗户面积为a m2，地板面积为b m2，增加的面积为n m2，显然，a，b，n均为正实数，且a＜b，由题设及“糖水浓度不等式”可得≤＜. 故住宅的采光条件变好了. 题型一作差法比较大小 解题贴士：作差法比较大小的步骤 【例1】（1）已知t＝2a＋2b，s＝a2＋2b＋1，则（　C　） A.t＞s　　　　　　 B.t≥s C.t≤s　 D.t＜s （2）设a＝＋2，b＝2＋，则a，b的大小关系为　a＜b　. 【解析】（1）t－s＝（2a＋2b）－（a2＋2b＋1）＝－（a－1）2≤0，故t≤s.故选C. （2）∵a＝＋2，b＝2＋，∴a2＝11＋4，b2＝11＋4，∴a2－b2＝4（－）＜0， 即a2＜b2，又a＞0，b＞0，由推论5知a＜b，∴a，b的大小关系为a＜b. 【变式1】已知a，b均为正实数，若M＝a3＋b3，N＝a2b＋ab2，则（　　） A.M＜N　 B.M≤N C.M＞N　 D.M≥N 【答案】D　 【解析】由a，b均为正实数，M＝a3＋b3，N＝a2b＋ab2，得M－N＝a3＋b3－a2b－ab2＝a2（a－b）－b2（a－b）＝（a－b）·（a2－b2）＝（a－b）2（a＋b）≥0，当且仅当a＝b时取等号，所以M≥N.故选D. 【变式2】（25-26高一上·甘肃陇南·阶段检测）设，，，，则、的大小关系为______． 【答案】 【解析】因为，，所以 ，当且仅当时，等号成立，故. 【变式3】（25-26高一上·山东济南·期中）已知，，比较m与n的大小关系. 【答案】 【解析】由，则. 题型二作差法比较大小 【例2】（25-26高一上·云南玉溪·阶段检测）（1）比较大小：与； （2）设，比较与的大小. 【解】（1） ， 因为，所以， 即. （2）由，得，，， 因此，所以. 【变式1】（25-26高二下·江西赣州·期中）已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（    ） A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．x，y的关系随c而定 【答案】C 【解析】由题设，易知x，y＞0，又，∴x＜y.故选：C. 【变式2】（25-26高一下·河北沧州·期末）已知，则与的大小关系为____________. 【答案】 【解析】∵，又，∴>1，，∴， 即 >1.又，∴ . 【变式3】已知，，试比较与的大小； 【解】由题意，由立方和公式， 可得分子， 将其代入原式得， 进一步对其分子利用基本不等式可得，且等号成立当且仅当， 将其代入原式得， 综上所述（当且仅当时取等号）. 题型三利用不等式性质判断命题的真假 解题贴士：运用不等式的性质判断命题真假的技巧 （1）运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能随意捏造性质； （2）解有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算. 【例3】（25-26高二下·福建福州·期末）已知，则下列不等式正确的是（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以，则，则，故B正确，A错误； 因为，所以，故C错误； 因为，所以，故D错误. 【变式1】（25-26高一下·广西柳州·期末）已知，，，，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，当时，，A错误； 对于B，当时，由于，则， 当时，由于，则，B正确； 对于C，当时，，C错误； 对于D，当时，，D错误. 【变式2】（2026高二下·浙江·学业考试）已知，则下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，B，由，可得，故A错误，B正确； 对于C，由，易得，故C错误； 对于D，因，则得，故D错误. 【变式3】（25-26高二下·山东烟台·阶段检测）已知a、b、 ， ，下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，当时，满足，，则，故A错误； 对于B，由，得，则，故B正确； 对于C,D，当时，，，故C,D错误. 题型四利用不等式性质求代数式的范围 解题贴士：利用不等式的性质求代数式范围的策略 （1）建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用不等式的性质进行运算，求得待求的范围； （2）同向（异向）不等式的两边可以相加（相减），这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围. 【例1】（25-26高一上·广西河池·期中）已知，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得，而，则. 6．（25-26高一上·内蒙古锡林郭勒·期末）已知，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，， 所以，，， ，故A选项错误，C选项正确； 所以，，故BD选项错误；故选：C 7．（25-26高一上·安徽·阶段检测）已知，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意可得，所以. 故选：A. 8．（25-26高三上·河北邯郸·期中）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，，， 又，．故选：D． 题型五利用不等式性质证明不等式 解题贴士：利用不等式的性质证明简单不等式的实质及注意点 （1）实质：根据性质把不等式变形； （2）注意点：①记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用； ②应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则. 证明不等式常选用综合法，对于不方便用综合法证明的不等式可以灵活选择分析法与反证法. 【例1】（25-26高一上·全国·课前预习）已知，求证：． 【证明】因为，所以，，， 所以， 所以，即， 所以． 【变式1】若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证＞. 【证明】∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0. 又a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0. 则（a－c）2＞（b－d）2＞0，即＜. 又∵e＜0，∴＞. 【变式2】已知，求证： ． 【证明】由题意可知：， 即，两侧同除，则，证毕. 【变式3】（25-26高一上·全国·期末）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设糖全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，不必证明.并利用此结论证明：若为三角形的三边长，则. 【解】根据糖在糖水中所占的比例变大，则糖水变甜，得到不等式，. 证明：因为为三角形的三边长，则有，，， 由糖水不等式可得，，， 将以上不等式左、右两边分别相加，得， 即. 基础通关 1．（25-26高二下·重庆渝中·期末）已知，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于ABD，不妨设，满足， A选项，，故，A错误； B选项，，故，B错误； D选项，，故，D错误； 对于C，，则，，C正确. 2．（25-26高二下·广西柳州·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【解析】对于A，由，所以，故A错误； 对于B，由，所以，，所以，故B错误； 对于C，若，由，所以，故C错误； 对于D，若，则，故D正确. 3．（25-26高二下·广东广州·期末）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因为，根据不等式的性质有，所以充分性成立， 当时，满足，但不成立，必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 4．（25-2624-25高一上·广东·期中）若，则（    ） A． B． C． D．的大小关系无法确定 【答案】B 【解析】，故B正确．故选：B． 5．（25-26高一上·云南昭通·期中）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得，又，得， 所以的取值范围是故选：C. 6．（25-26高二下·安徽芜湖·期末）记小明走路去学校的速度为，跑步去学校的速度为，方式一为一半的路程走路，一半的路程跑步，方式二为一半的时间走路，一半的时间跑步，则（    ） A．方式二比方式一先到学校 B．方式一比方式二先到学校 C．两种方式到学校的时间一样 D．无法确定哪种方式先到学校 【答案】A 【解析】设方式一用时间为，方式二用时间为，小明到学校的距离为， 则，得到， 则，得到， 故方式二比方式一先到学校． 7．（25-26高一上·福建泉州·期中）如果，那么下列式子中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以，又因为所以， 故A错误； 因为，所以， 故B错误； 因为，由糖水不等式得，故C正确； 因为，所以，因此，又因为，所以，故D错误.故选C 8．（25-26高一上·四川成都·期中）已知实数a，b满足，，下面说法正确的有（     ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于A， ，即 ，故A正确； 对于B，由 ，得 ， 所以，即 ，故B正确； 对于C，当 时，得 ， 所以 ，即 ， 所以 ；当 时， ； 当 时，得 ，所以 . 综上可得， ，故C错误； 对于D，当 时，得 ，所以 ， 即 ，所以 ；当 时， ； 当 时，得 ，所以 . 综上可得， ，故D正确. 9．（25-26高一上·云南文山·阶段检测）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．设，，若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】AC 【解析】对于选项，，因为，所以， 当或时，，则，即， 当时，，，则，选项正确 对于B选项，当为正数，为负数时不成立，选项错误； 对于选项，若，，则，所以，选项正确； 对于D选项，若，，当时，，选项错误. 10．（2026·云南保山·二模）已知实数a，b，c，d，则下列命题是真命题的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若且，则 【答案】BCD 【解析】对于A，，若，则，故A为假命题； 对于B，，，又，，故B为真命题； 对于C，，则，，故C为真命题； 对于D，且，则，，故D为真命题． 11．（25-26高一上·山东潍坊·期末）已知，下列说法中正确的有（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【解析】选项A：当时，，此时不成立，故A错误. 选项B：对，根据不等式性质可得，故B正确. 选项C：已知，则，又， 根据不等式性质可得：，即，则，故C正确. 选项D： 由，得，， 所以，即，因此，故D正确. 故选：. 12．（2026高三·全国·专题练习）某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润.已知这种商品的售价每提高1元，销售量就相应减少10件.若把提价后商品的售价设为x元，用x表示每天的利润不低于300元的不等关系为______. 【答案】 【解析】提价后商品的售价为元，则提高了元，销售量减少了件， 则利润为元（）， 则，化简得. 销售量为非负，结合提价要求得， 故. 13．（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测）已知，，，则与的大小关系为_________. 【答案】 【解析】由，，则， 则，又，则. 14．（25-26高一上·河南焦作·阶段检测）设a，b，c，d均为正实数，且，证明： (1)若，则； (2)的充要条件是. 【解】（1）因为，， 由题设，，得. 因此. （2）（ⅰ）若，则.即. 因为，所以，由（1）得. （ⅱ）若，则， 即. 因为，所以， 于是. 因此. 综上，的充要条件是. 15.（25-26高一上·湖南永州·阶段检测）（1）比较下列各组中两个代数式的大小： （i）； （ii）与． （2）已知，，求的取值范围． 【解】（1）（i）由， 所以； （ii）由， 所以． （2）由不等式， 令，可得，且， 所以， 因为，可得， 所以，即. 素养提升 16．（25-26高二下·湖北武汉·期末）已知为正实数，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】判断充分性（由能否推出）， 因为，，所以， ， 因为，所以， 因为，所以， 所以，即， 因此，由可以推出，充分性成立. 判断必要性（由能否推出）， 因为，所以， 因为， 所以 ，即，即， 则，即由“”可以推出“”，必要性成立. 故“”是“”的充要条件. 17．（25-26高一下·广东·阶段检测）火车站有某公司待运的甲种货物306吨，乙种货物230吨．现计划用、两种型号的货箱共50节运送这批货物．已知7吨甲种货物和3吨乙种货物可装满一节型货箱，5吨甲种货物和7吨乙种货物可装满一节型货箱，据此安排、两种货箱的节数，下列方案满足要求的是（   ） A．货箱27节，货箱23节 B．货箱26节，货箱24节 C．货箱31节，货箱19节 D．货箱30节，货箱20节 【答案】D 【解析】设安排种型号的货箱节，种型号的货箱节， 则，，， 则， 解得，，解得， 所以，则或或，共3种方案， 满足题意的只有D选项． 18．（25-26高一上·北京·阶段检测）已知，，，则A，B，C的大小关系（按照从小到大的顺序用不等式表示）是________. 【答案】 【解析】因为， ， 所以A，B，C的大小关系（按照从小到大的顺序用不等式表示）为． 19．（24-25高一上·上海·阶段检测）已知实数x、y满足:则 的取值范围是_______________ 【答案】 【解析】设，，则，， 则，即，当时取等号， 又因为，则，又因，所以可得， 则， 所以则 的取值范围为. 20.（25-26高一上·云南·期中）原有酒精溶液（单位：g），其中含有酒精（单位：g），其酒精浓度为.为增加酒精浓度，在原溶液中加入酒精（单位：g），新溶液的浓度变为.根据这一事实，可提炼出如下关于不等式的命题：若，，则.试加以证明. 【解】因为，，所以，所以； 又， 因为，，所以，， 所以，即，综上. 迁移创新 21．（25-26高一上·内蒙古包头·阶段检测）已知，． (1)求y的取值范围； (2)求的取值范围； (3)求的取值范围． 【解】（1）设，则， 所以，解得， 所以． 因为，所以．① 因为，所以．② ①＋②得，，所以． （2）∵，，∴，∴， 所以． （3）设，则， 所以，解得 所以． 因为，所以．③ 因为，所以． ④ ③＋④得，，所以． 22．（2026高一·上海·专题练习）对于四个正数，如果，那么称是的“下位序列”. (1)对于，试问是否为的“下位序列”，请说明理由； (2)设均为正数，且是的“下位序列”，试判断：之间的大小关系，并说明理由； 【解】（1）由于，即，不满足“下位序列”的概念，所以不是“下位序列”. （2）均为正数，由是的“下位序列”，得，即， 则，即， ，即， 所以. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 等式与不等式 2.2.1 不等式及其性质 课标要点 能用不等式（组）表示实际问题中的不等关系（数学抽象）. 理解不等式的概念，掌握不等式的性质（数学抽象、逻辑推理）. 学习重难点 重点： 1.掌握不等式概念、五种基本性质，区分等式与不等式性质差异； 2.会用性质变形不等式，注意乘除负数时不等号反向； 3.能列简单不等式表示数量关系，利用性质比较实数大小。 难点： 1.运用不等式性质 3 变形易忽略不等号变向； 2.区分等式与不等式变形逻辑；灵活结合性质作差比较大小； 3.复杂代数式乘除负数时，准确判断不等号方向。 知识点一　比较实数a，b的大小 1.a－b＜0⇔　a＜b　. 2.a－b＝0⇔　a＝b　. 3.a－b＞0⇔　a＞b　. 【想一想】 1.在比较两实数a，b大小的依据中，a，b两数是任意实数吗？ 2.p⇔q的含义是什么？ 随学随练 1.（25-26高一上·湖北武汉·期末）已知，，记，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 2．（25-26高二下·天津滨海新区·阶段检测）若，，则，的大小关系是（ ） A． B． C． D．随的值变化而变化 知识点二　不等式的性质 性质1：如果a＞b，那么a＋c　＞　b＋c. 性质2：如果a＞b，c＞0，那么ac　＞　bc. 性质3：如果a＞b，c＜0，那么ac　＜　bc. 性质4：如果a＞b，b＞c，那么a　＞　c.（传递性） 性质5：a＞b⇔　b＜a　. 推论1：如果a＋b＞c，那么a　＞　c－b.（不等式的移项法则） 推论2：如果a＞b，c＞d，那么a＋c　＞　b＋d.（同向可加性） 推论3：如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac　＞　bd. 推论4：如果a＞b＞0，那么an　＞　bn（n∈N，n＞1）. 推论5：如果a＞b＞0，那么　＞　. 【想一想】 1.若a＞b，c＞d，那么a＋c＞b＋d成立吗？a－c＞b－d呢？ 2.若a＞b，c＞d，那么ac＞bd成立吗？ 随学随练 1．（25-26高二下·河北沧州·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026高二下·福建·学业考试）已知，则不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三下·辽宁·阶段检测）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 拓展 实际问题中的不等关系 糖水跟煲汤一样，具有滋补养生功效.可以作为糖水的材料有很多，不同的材料具有不同的功效，有的具有清凉性，有的具有燥热性.根据不同的主料来配搭不同辅料，可以达到相辅相成的效果.专家称，喝糖水可缓解烦躁失眠.在烦躁而不容易入眠时，喝糖水可使体内产生大量血清素，亦可助眠. 【问题探究】 下列关于糖水浓度的问题，能提炼出怎样的不等关系呢？ （1）如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了； （2）把原来的糖水（淡）与加糖后的糖水（浓）混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡； （3）如果向一杯糖水里加水，糖水变淡了. 结论　（1）如果一个分式（b＞a＞0）的分子分母同时增大相同的值，则该分式的值变大； （2）两个分式中分子与分母分别相加所得的分式的大小介于这两个分式之间； （3）一个分式分子不变，分母变大，分式的值变小. 【迁移应用】 　建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比应不小于10%，并且这个比例越大，采光条件越好，问同时增加相同的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了还是变坏了？ 题型一作差法比较大小 解题贴士：作差法比较大小的步骤 【例1】（1）已知t＝2a＋2b，s＝a2＋2b＋1，则（　C　） A.t＞s　　　　　　 B.t≥s C.t≤s　 D.t＜s （2）设a＝＋2，b＝2＋，则a，b的大小关系为　a＜b　. 【变式1】已知a，b均为正实数，若M＝a3＋b3，N＝a2b＋ab2，则（　　） A.M＜N　 B.M≤N C.M＞N　 D.M≥N 【变式2】（25-26高一上·甘肃陇南·阶段检测）设，，，，则、的大小关系为______． 【变式3】（25-26高一上·山东济南·期中）已知，，比较m与n的大小关系. 题型二作差法比较大小 【例2】（25-26高一上·云南玉溪·阶段检测）（1）比较大小：与； （2）设，比较与的大小. 【变式1】（25-26高二下·江西赣州·期中）已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（    ） A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．x，y的关系随c而定 【变式2】（25-26高一下·河北沧州·期末）已知，则与的大小关系为____________. 【变式3】已知，，试比较与的大小； 题型三利用不等式性质判断命题的真假 解题贴士：运用不等式的性质判断命题真假的技巧 （1）运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能随意捏造性质； （2）解有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算. 【例3】（25-26高二下·福建福州·期末）已知，则下列不等式正确的是（        ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一下·广西柳州·期末）已知，，，，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026高二下·浙江·学业考试）已知，则下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二下·山东烟台·阶段检测）已知a、b、 ， ，下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 题型四利用不等式性质求代数式的范围 解题贴士：利用不等式的性质求代数式范围的策略 （1）建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用不等式的性质进行运算，求得待求的范围； （2）同向（异向）不等式的两边可以相加（相减），这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围. 【例1】（25-26高一上·广西河池·期中）已知，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·内蒙古锡林郭勒·期末）已知，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·安徽·阶段检测）已知，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·河北邯郸·期中）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型五利用不等式性质证明不等式 解题贴士：利用不等式的性质证明简单不等式的实质及注意点 （1）实质：根据性质把不等式变形； （2）注意点：①记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用； ②应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则. 证明不等式常选用综合法，对于不方便用综合法证明的不等式可以灵活选择分析法与反证法. 【例1】（25-26高一上·全国·课前预习）已知，求证：． 【变式1】若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证＞. 【变式2】已知，求证： ． 【变式3】（25-26高一上·全国·期末）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设糖全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，不必证明.并利用此结论证明：若为三角形的三边长，则. 基础通关 1．（25-26高二下·重庆渝中·期末）已知，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·广西柳州·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（25-26高二下·广东广州·期末）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（25-2624-25高一上·广东·期中）若，则（    ） A． B． C． D．的大小关系无法确定 5．（25-26高一上·云南昭通·期中）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·安徽芜湖·期末）记小明走路去学校的速度为，跑步去学校的速度为，方式一为一半的路程走路，一半的路程跑步，方式二为一半的时间走路，一半的时间跑步，则（    ） A．方式二比方式一先到学校 B．方式一比方式二先到学校 C．两种方式到学校的时间一样 D．无法确定哪种方式先到学校 7．（25-26高一上·福建泉州·期中）如果，那么下列式子中正确的是（ ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·四川成都·期中）已知实数a，b满足，，下面说法正确的有（     ） A． B． C． D． 9．（25-26高一上·云南文山·阶段检测）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．设，，若，则 C．若，，则 D．若，，则 10．（2026·云南保山·二模）已知实数a，b，c，d，则下列命题是真命题的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若且，则 11．（25-26高一上·山东潍坊·期末）已知，下列说法中正确的有（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 12．（2026高三·全国·专题练习）某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润.已知这种商品的售价每提高1元，销售量就相应减少10件.若把提价后商品的售价设为x元，用x表示每天的利润不低于300元的不等关系为______. 13．（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测）已知，，，则与的大小关系为_________. 14．（25-26高一上·河南焦作·阶段检测）设a，b，c，d均为正实数，且，证明： (1)若，则； (2)的充要条件是. 15.（25-26高一上·湖南永州·阶段检测）（1）比较下列各组中两个代数式的大小： （i）； （ii）与． （2）已知，，求的取值范围． 素养提升 16．（25-26高二下·湖北武汉·期末）已知为正实数，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 17．（25-26高一下·广东·阶段检测）火车站有某公司待运的甲种货物306吨，乙种货物230吨．现计划用、两种型号的货箱共50节运送这批货物．已知7吨甲种货物和3吨乙种货物可装满一节型货箱，5吨甲种货物和7吨乙种货物可装满一节型货箱，据此安排、两种货箱的节数，下列方案满足要求的是（   ） A．货箱27节，货箱23节 B．货箱26节，货箱24节 C．货箱31节，货箱19节 D．货箱30节，货箱20节 18．（25-26高一上·北京·阶段检测）已知，，，则A，B，C的大小关系（按照从小到大的顺序用不等式表示）是________. 19．（24-25高一上·上海·阶段检测）已知实数x、y满足:则 的取值范围是_______________ 20.（25-26高一上·云南·期中）原有酒精溶液（单位：g），其中含有酒精（单位：g），其酒精浓度为.为增加酒精浓度，在原溶液中加入酒精（单位：g），新溶液的浓度变为.根据这一事实，可提炼出如下关于不等式的命题：若，，则.试加以证明. 迁移创新 21．（25-26高一上·内蒙古包头·阶段检测）已知，． (1)求y的取值范围； (2)求的取值范围； (3)求的取值范围． 22．（2026高一·上海·专题练习）对于四个正数，如果，那么称是的“下位序列”. (1)对于，试问是否为的“下位序列”，请说明理由； (2)设均为正数，且是的“下位序列”，试判断：之间的大小关系，并说明理由； 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $