2.2.1 不等式及其性质 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

该高中数学课件聚焦不等式及其性质，通过高速公路速率指示牌实例导入，从生活不等关系抽象出不等式概念，结合数轴直观比较实数大小，构建作差法基础，进而系统讲解不等式性质、推论及证明方法，形成完整知识脉络。 其亮点在于以数学抽象和逻辑推理为核心，通过数轴解释性质直观性，结合作差法、综合法、反证法等多种证明方法，如例1用配方法作差比较代数式大小，例2综合法证明不等关系，帮助学生培养数学思维，也为教师提供结构化教学支架和多样化实例。

人教B版(2019)必修第一册 2.2.1 不等式及其性质 第二章 等式与不等式 1 学习目标 理解不等式的相关概念，掌握两个数或代数式的大小比较方法，体现数学抽象能力（重点） 理解不等式的性质，注意其成立的条件，体现逻辑推理能力（重点） 应用不等式的性质解决问题，体现数学计算能力（难点） 2 新课导入 你见过图中的高速公路指示牌吗？下图的指示牌是指对应的车道只能供小客车行驶，而且小客车的速率 v1（单位：km/h，下同）应该满足 100≤v1≤120； 右边的指示牌是指对应的车道可供客车和货车行驶，而且车的速率 v2 应该满足 60≤v2≤100 3 新课学习 不等式的概念 在现实世界里，量与量之间的不等关系是普遍的，不等式是刻画不等关系的工具. 我们用数学符号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，称为不等式. 事实上，任意给定两个实数 a，b，那么a≥b⇔a＞b 或 a=b； a≤b⇔a＜b 或 a＝b． 4 新课学习 思考一下：怎么理解两个实数之间的大小呢？ 我们已经知道，实数与数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数. 一般地，如果点P对应的数为x，则称x为点P的坐标，并记作P(x). 另外，数轴上的点往数轴的正方向运动时，它所对应的实数会变大，这就是说，两个数在数轴上对应的点的相对位置决定了这两个数的大小. 如下图所示的数轴中，A(a)，B(b)， 不难看出 b>1>0>a， x 1 O A a b B 5 新课学习 思考一下：怎么理解两个实数之间的大小呢？ 此外，我们也知道，一个数加上一个正数，相当于数轴上对应的点向正方向移动了一段距离；一个数减去一个正数（即加上一个负数），相当于数轴上对应的点向负方向移动了一段距离. 由此可以看出，要比较两个实数a，b的大小，只要考察a-b与0的相对大小就可以了，即 a-b<0⟺ a<b; a-b=0⟺ a=b; a-b>0⟺ a>b. 6 新课学习 不等式的性质 性质1 (可加性) ：如果 a＞b，那么 a＋c＞b＋c． 性质 2 (可乘性) ： 如果 a＞b，c＞0，那么 ac＞bc． 性质 3 (可乘性) ：如果 a＞b，c＜0，那么 ac＜bc． 7 新课学习 对于性质1的理解和不等式性质的证明： 事实上，如下图所示，a>b 是指点A在点B的右侧，a+c和b+c表示点A和点B在数轴上做了相同的平移，平移后得到的点A'和B'的相对位置，与A和B的相对位置是一样的，因此a+c>b+c. x B b a+c A' B' b+c a A 对于性质1的证明： 因为(a+c)-(b+c)=a+c-b-c=a-b， 又因为a>b，所以a-b>0，从而(a+c)-(b+c)>0， 因此a+c＞b+c. 8 新课学习 对于性质1的理解和不等式性质的证明： 对于性质2的证明： 因为ac-bc=(a-b)c，又因为a>b，所以a-b>0，而c>0，因此 (a-b)c>0 因此ac-bc>0，即ac>bc. 对于性质3的证明： 因为ac-bc=(a-b)c，又因为a>b，所以a-b>0，而c<0，因此 (a-b)c<0 因此ac-bc<0，即ac<bc. 9 新课学习 尝试与发现：你会用充分条件、必要条件来描述不等式的性质吗？试用“充分不必要”“必要不充分”“充要”填空： (1) a＞b 是 a＋c＞b＋c 的_______条件； (2) 如果 c＞0，则 a＞b 是 ac＞bc 的_______条件； (3) 如果 c＜0，则 a＞b 是 ac＜bc 的_______条件． 充要 充要 充要 10 新课学习 不等式的性质 性质4:如果 a＞b，b＞c，那么 a＞c． 证明：因为a-c=(a-b)+(b-c)， 又因为a>b，所以a-b>0；且b>c，所以b-c>0，因此 (a-b)+(b-c)>0， 从而a-c>0，即a>c． 性质4通常称为不等关系的传递性. 11 新课学习 对于性质4的直观理解： 如图所示，点A在点B的右侧，点B在点C的右侧，因此点A必定在点C 的右侧 x C B A c b a 12 新课学习 不等式的性质 性质5: a＞b⇔b＜a． 因为a-b=-(b-a)，所以a-b>0⇔b-a<0，即a>b⇔b<a． 证明： 另外，值得注意的是，上述不等式性质对任意满足条件的实数都成立，因此我们可以用任意满足条件的式子去代替其中的字母. 13 新课学习 例1：比较x2-x和x-2 的大小. 因为 (x2-x)-(x-2)=x2-2x+2-(x-1)2+1， 又因为(x-1)2≥0，所以(x-1)2+1≥1>0，从而 (x2-x)-(x-2)>0， 因此x2-x>x-2. 应用了配方 上述的证明中用了配方法，这种方法经常用于式子变形，大家应熟练掌握. 14 新课学习 两种证明不等式的方法—作差法和综合法 作差法：证明不等式性质和解答例1的方法，其实质都是通过比较两式之差的符号来判断两式的大小，这种方法通常称为作差法. 综合法：从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法，在数学中通常称为综合法. 15 新课学习 不等式的推论 推论1：如果a+b>c，那么a>c-b． 证明： a+b>c⇒a+b+(-b)>c+(-b)⇒a>c-b． 推论1表明，不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边. 推论1通常称为不等式的移项法则. 16 新课学习 不等式的推论 推论2：如果a＞b，c＞d，那么a＋c＞b＋d． 证明：根据性质1有 a＞b⇒a+c＞b+c， c＞d ⇒b+c＞b+d， 再根据性质4可知 a＋c＞b＋d． 17 新课学习 不等式的推论 我们把a＞b 和c＞d (或a＜b 和c＜d ) 这类不等号方向相同的不等式，称为同向不等式. 推论2说明，两个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向. 很明显，推论2可以推广为更一般的结论： 有限个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向. 18 新课学习 不等式的推论 推论3：如果 a＞b＞0，c＞d＞0，那么 ac＞bd． 证明：根据性质2有 a>b，c>0⇒ac>bc， c>d，b>0⇒bc>bd， 再根据性质 4 可知 ac>bd． 这个推论也可以推广为更一般的结论： 几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得到的不等式与原不等式同向. 19 新课学习 不等式的推论 推论4：如果 a＞b＞0，那么 an＞bn(n∈N，n＞1)． 证明：多次使用推论3的结论就可以了. 20 新课学习 不等式的推论 证明： 根据推论4和二次根式的性质，得 a<b或a=b. 这与a>b矛盾，因此假设不成立，从而 21 新课学习 证明不等式的方法—反证法 可以看出，推论5中证明方法的实质是：首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立. 这种得到数学结论的方法通常称为反证法，反证法是一种间接证明的方法. 22 新课学习 例2： (1) 已知a>b，c<d，求证：a-c>b-d； 因为 a>b，c<d，所以 a>b，-c >-d， 根据推论2，得 a-c>b-d (2) 已知a>b，ab>0，求证： . 因为ab>0，所以 . 又因为a>b，所以 23 新课学习 例2： (3) 已知a>b>0，0<c<d，求证： 因为0<c<d，根据 (2) 的结论，得 又因为a>b>0，所以根据推论3可知 即 24 新课学习 思考一下：根据例2，尝试总结一下综合法证明不等式的实质？ 可以看出，例2中所使用的方法是综合法. 综合法中，最重要的推理形式为p⇒q，其中p是已知或者已经得出的结论，所以综合法的实质就是不断寻找必然成立的结论. 25 新课学习 尝试与发现：你能证明+2吗? 用综合法证明这个结论方便吗? 你觉得可以怎样证明这个结论? 法一：反证法 假设不等式 不成立，则 ， 两边平方得　　　　　　　，所以 ≥5， 所以 21≥25，该不等式显然不成立，所以原不等式成立． 法二： 要证＜2，只需证明()2 <(2)2，展开得10+220，即5，这只需证明 ()2 <52 即21<25. 因为21<25 成立，所以＜2成立. 26 新课学习 证明不等式的方法—分析法 上述这种证明方法通常称为分析法. 分析法中，最重要的推理形式是“要证p，只需证明q”，这可以表示为pq ，其中p是需要证明的结论，所以分析法的实质就是不断寻找结论成立的充分条件. 又因为 21<25 成立，所以结论成立. 27 新课学习 例3：已知m>0，求证： 因为m>0，所以3+m>0，从而 又因为已知m>0，所以结论成立． 28 课堂练习 C 29 课堂练习 30 课堂练习 A 31 课堂练习 32 课堂练习 D 33 课堂练习 34 课堂练习 B 35 课堂练习 36 课堂练习 B 37 课堂练习 38 课堂总结 1.不等式的性质 2.不等式的推论 3.证明不等式的方法 39 谢 谢 观 看 40 $