2027届高考数学一轮复习---椭圆焦点三角练习

**基本信息** 聚焦椭圆焦点三角形，以定义为基础，通过周长、面积、角度、几何性质等问题链，系统构建从基础计算到综合应用的知识逻辑，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础计算|2（1-2）|直接应用椭圆定义求周长|椭圆定义→焦点三角形周长公式（2a+2c）| |面积与角度|2（3-4）|结合余弦定理、面积公式求参数|边角关系→面积公式（b²tanθ/2）与距离乘积| |综合应用|3（5-7）|多选项判断、直线与椭圆相交的焦点三角形|动态问题→离心率、面积最值、三角形形状判断| |几何性质|4（8-11）|内切圆、内心、解答题（面积与离心率范围）|几何直观→内切圆半径、内心分线段比例、存在性问题推理|

椭圆焦点三角形练习解析版 1．过椭圆的右焦点F2作直线AB交椭圆于A，B两点，F1是椭圆的左焦点，则△AF1B的周长是 　20　 ． 【解答】解：∵△AF1B的周长＝|AB|+|AF1|+|BF1|＝|AF2|+|AF1|+|BF1|+|BF2|＝4a＝20． 故答案为：20． 2．设P是椭圆+＝1上一点，F1、F2是椭圆的焦点，则三角形PF1F2的周长等于（　　） A．26 B．36 C．50 D．52 【解答】解：P是椭圆+＝1上一点，F1、F2是椭圆的焦点， 则|PF1|+|PF2|＝2×13＝26， 又， 则三角形PF1F2的周长等于|PF1|+|PF2|+|F1F2|＝26+10＝36． 故选：B． 3．已知F1，F2是椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且∠F1PF2＝，若△PF1F2的面积为，则b＝（　　） A．9 B．3 C．4 D．8 【解答】解：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m+n＝2a， （2c）2＝m2+n2﹣2mn＝（m+n）2﹣mn， ∴4b2＝mn． 又mnsin＝9，∴＝9，解得b＝3． 故选：B． 4．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆C上的一点，若，则|PF1|•|PF2|＝　3　 ． 【解答】解：设|PF1|＝x，|PF2|＝y，由椭圆定义知：x+y＝4，由于|F1F2|＝，在△PF1F2中，由余弦定理：， 即，故． 故答案为：3． 5．已知椭圆的左，右焦点分别为F1，F2，过点F1垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，，若点P是椭圆C上的动点，则下列说法错误的是（　　） A．cos∠F1PF2的最小值为 B．△PF1F2的面积的最大值为 C．的取值范围为[3，6] D．C上有且只有4个点P，使得△PF1F2是直角三角形 【解答】解：由题意得△ABF2是等边三角形，且AB过点F1， 则△ABF2的周长为：|AB|+|AF2|+|BF2|＝|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|＝2a+2a＝4a＝4×3， 所以a＝3，令x＝﹣c，则， 则，所以b2＝6，c2＝a2﹣b2＝3， 所以椭圆， 对于A，当点P位于上下顶点时，∠F1PF2最大， 此时cos∠F1PF2的值最小， 即＝，故A错误； 对于B，设， 则， 所以△PF1F2的面积的最大值为，故B正确； 对于C，设， 则，所以， 又， 则， 因为，所以， 所以，故C正确； 对于D，由A选项可知，∠F1PF2最大时为锐角， 所以以点P为直角顶点的△PF1F2不存在， 以点F1，F2为直角顶点的△PF1F2分别有2个， 所以C上有且只有4个点P，使得△PF1F2是直角三角形，故D正确． 故选：A． 6．已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过点F2的直线与椭圆C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为（　　） A．+y2＝1 B．+＝1 C．+＝1 D．+＝1 【解答】解：∵|AF2|＝2|BF2|，∴|AB|＝3|BF2|， 又|AB|＝|BF1|，∴|BF1|＝3|BF2|， 又|BF1|+|BF2|＝2a，∴|BF2|＝， ∴|AF2|＝a，|BF1|＝a， ∵|AF1|+|AF2|＝2a，∴|AF1|＝a， ∴|AF1|＝|AF2|，∴A在y轴上． 在Rt△AF2O中，cos∠AF2O＝， 在△BF1F2中，由余弦定理可得cos∠BF2F1＝， 根据cos∠AF2O+cos∠BF2F1＝0，可得+＝0，解得a2＝3，∴a＝． b2＝a2﹣c2＝3﹣1＝2． 所以椭圆C的方程为：+＝1． 故选：B． （多选）7．已知F1，F2是椭圆C：的两个焦点，过点F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝3|BF2|，5|AB|＝4|BF1|，则（　　） A．a＝2b B．椭圆C的离心率为 C．△AF1F2为等边三角形 D．△ABF1为直角三角形 【解答】解：由已知可设|F2B|＝n，则|AF2|＝3n，|BF1|＝|AB|＝5n， 由椭圆的定义有2a＝|BF1|+|BF2|＝6n， ∴|AF1|＝2a﹣|AF2|＝3n＝|AF2|， 故A是短轴顶点， 在△AF1B中，由余弦定理推论得AB2+＝，可得AF1⊥AB， 所以∠F1AF2＝90°，△ABF1为直角三角形，△AF1F2为直角三角形，C错，D对； 且2c＝＝a，可得b＝＝c， 故a＝b，e＝＝，A错，B对． 故选：BD． 8．已知椭圆C：＝1的左、右焦点分别为F1，F2，如图AB是过F1且垂直于长轴的弦，则△ABF2的内切圆方程是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由椭圆C：＝1的方程可得a＝，b＝，左焦点F1（﹣2，0），右焦点F2（2，0）， 由题意可得A（﹣c，），B（﹣c，﹣），即A（﹣2，），B（﹣2，﹣）， 所以＝|F1F2|•|AB|＝•4•＝， 设△ABF2的内切圆的半径为r，则••r＝，L为△ABF2的周长2a+2a＝4a＝4， 即•4•r＝，所以r＝， 可得△ABF2的内切圆的圆心在x轴上，设圆心T（t，0），t∈（﹣2，2），T到直线AB的距离为内切圆的半径， 由图知，可得t+2＝，可得t＝﹣， 即圆心T（﹣，0）， 所以△ABF2的内切圆的范围为（x+）2+y2＝， 故选：C． 9．已知椭圆，其左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点P为该椭圆上一点，且满足，若△F1PF2的内切圆的面积为π，则该椭圆的方程为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由离心率e＝，即＝，可得a＝2c①， 设△F1PF2的内切圆的半径为r， 因为△F1PF2的内切圆的面积为π，所以πr2＝π，解得r＝1（负舍）， 在△F1PF2中，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，可得m+n＝2a， 由余弦定理可得（2c）2＝m2+n2﹣2mncos∠F1PF2 ＝（m+n）2﹣2mn﹣2mncos＝4a2﹣3mn， 所以mn＝（a2﹣c2）＝b2， 所以S＝mnsin＝•b2•＝b2， 而S＝（2a+2c）•r＝（a+c）r， 所以b2＝（a+c）•r②， 又a2＝b2+c2③， 联立①②③得c＝，a＝2，b＝3， 所以该椭圆的方程为+＝1． 故选：A． 10．已知M是椭圆上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，点I是△MF1F2的内心，延长MI交线段F1F2于点N，若椭圆的离心率为e，则的值为 　1　 ． 【解答】解：连接F1I，F2I， 因为I是△MF1F2的内心， 所以F1I，F2I分别是∠MF1F2和∠MF2F1的角平分线， 由角平分线定理得，， 所以， 由椭圆的定义知，|MF1|+|MF2|＝2a， 而|F1N|+|F2N|＝|F1F2|＝2c， 所以＝， 所以＝1． 故答案为：1． 11．若F1，F2是椭圆+＝1（a＞b＞0）的左，右焦点，A、C、D、B分别是此椭圆的左、右、上、下顶点，P是椭圆上一点． （1）若∠F1PF2＝60°，求△PF1F2的面积； （2）若存在点P，使∠F1PF2＝90°，求椭圆的离心率的取值范围． 【解答】解：（1）∵F1，F2是椭圆+＝1（a＞b＞0）的左，右焦点，P是椭圆上一点，∠F1PF2＝60°， ∴， 解得|PF1|•|PF2|＝b2， ∴△PF1F2的面积S＝＝． （2）∵P点满足∠F1PF2＝90°，∴点P在以F1F2为直径的圆上 又∵P是椭圆上一点，∴以F1F2为直径的圆与椭圆有公共点， ∵F1，F2是椭圆+＝1（a＞b＞0）的左，右焦点， ∴以F1F2为直径的圆的半径r满足：r＝c≥b， 两边平方，得c2≥b2，即c2≥a2﹣c2，∴2c2≥a2， 两边都除以a2，得2e2≥1， ∴e≥，结合0＜e＜1， ∴≤e＜1，即椭圆离心率的取值范围是[，1）． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/12/15 21:34:52；用户：李承桃；邮箱：18883709895；学号：29415419 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 椭圆焦点三角形练习 1．过椭圆的右焦点F2作直线AB交椭圆于A，B两点，F1是椭圆的左焦点，则△AF1B的周长是 　 　 ． 2．设P是椭圆+＝1上一点，F1、F2是椭圆的焦点，则三角形PF1F2的周长等于（　　） A．26 B．36 C．50 D．52 3．已知F1，F2是椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且∠F1PF2＝，若△PF1F2的面积为，则b＝（　　） A．9 B．3 C．4 D．8 4．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆C上的一点，若，则|PF1|•|PF2|＝　 　 ． 5．已知椭圆的左，右焦点分别为F1，F2，过点F1垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，，若点P是椭圆C上的动点，则下列说法错误的是（　　） A．cos∠F1PF2的最小值为 B．△PF1F2的面积的最大值为 C．的取值范围为[3，6] D．C上有且只有4个点P，使得△PF1F2是直角三角形 6．已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过点F2的直线与椭圆C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为（　　） A．+y2＝1 B．+＝1 C．+＝1 D．+＝1 （多选）7．已知F1，F2是椭圆C：的两个焦点，过点F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝3|BF2|，5|AB|＝4|BF1|，则（　　） A．a＝2b B．椭圆C的离心率为 C．△AF1F2为等边三角形 D．△ABF1为直角三角形 8．已知椭圆C：＝1的左、右焦点分别为F1，F2，如图AB是过F1且垂直于长轴的弦，则△ABF2的内切圆方程是（　　） A． B． C． D． 9．已知椭圆，其左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点P为该椭圆上一点，且满足，若△F1PF2的内切圆的面积为π，则该椭圆的方程为（　　） A． B． C． D． 10．已知M是椭圆上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，点I是△MF1F2的内心，延长MI交线段F1F2于点N，若椭圆的离心率为e，则的值为 　 　 ． 11．若F1，F2是椭圆+＝1（a＞b＞0）的左，右焦点，A、C、D、B分别是此椭圆的左、右、上、下顶点，P是椭圆上一点． （1）若∠F1PF2＝60°，求△PF1F2的面积； （2）若存在点P，使∠F1PF2＝90°，求椭圆的离心率的取值范围． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $