2027届高考数学一轮复习----5.4 三角函数的图象与性质

**基本信息** 分层递进设计，覆盖三角函数图象与性质全知识点，从基础画图到参数综合应用，培养数学抽象与逻辑推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单一知识点直接应用|五点法画图（题1-7）、定义域求解（题24-28），夯实概念理解| |提升层|性质综合应用|单调性判断（题8-16）、最值求解（题29-35），强化运算能力| |综合层|含参数与跨知识点综合|参数范围（题17-23、36-39）、周期性奇偶性（题40-55），发展逻辑推理与创新意识|

5.4 三角函数的图象与性质 知识点一 五点法画正余弦（型）函数的图象 1．用“五点法”画函数的图象时，首先应描出五点的横坐标是（    ） A．0，，，， B．0，，，， C．0，，，， D．0，，，， 2．画出函数，的图象． 3．用“五点法”作出下列函数的简图. (1)，； (2)，. (3)在一个周期（）内的图像． (4)，; (5)，． (6)， 4．作出函数，的大致图像． 5．当时，作出下列函数的图象，把这些图象与的图象进行比较，你能发现图象变换的什么规律？ （1）； （2）； （3）. 6．作函数的图象. 7．作出函数的图象 知识点二 求含sinx、cosx的函数的单调性 8．函数在上是（    ） A．增函数 B．减函数 C．先增后减 D．先减后增 9．的减区间为（   ） A． B． C． D． 10．以下函数中，既是奇函数又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 11．已知函数，则（    ） A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 12．下列区间是函数的一个单调递增区间的是（   ） A． B． C． D． 13．已知函数的最小正周期是， 则下列区间中，函数f(x)单调递增的区间是（    ） A． B． C． D． 14．函数在下列区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 15．已知函数，则在上的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 16．函数的单调减区间是（    ） A． B． C． D． 知识点三 根据单调性求参数范围 17．已知函数（）在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 19．若函数在区间上单调递增，且，则的取值是（    ） A． B． C． D． 20．若函数在上单调递减，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 21．已知函数（）在区间上单调递增，则ω的取值范围是（   ） A． B． C． D． 22．函数，其，若对于，都有恒成立，则的取值不可能是（   ） A． B．1 C． D．2 23．已知直线是函数（其中）的图象的一条对称轴，且函数在区间上单调，则的值为（   ） A． B． C．2 D． 知识点四 求正弦、余弦型函数的定义域 24．求下列函数的定义域： (1)； (2)． 25．求下列函数的定义域 (1)； (2)； (3)； (4)． 26．求函数的定义域． 27．求下列函数的定义域． (1)； (2) 28．求下列函数的定义域： (1)； (2)； (3)． 知识点五 求正弦、余弦型函数的最值 29．设和分别表示函数的最大值和最小值，则（   ） A． B．1 C． D．2 30．已知函数，若对于，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 31．函数的值域为（   ） A． B． C． D． 32．已知函数，则函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 33．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 34．函数的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 35．函数的最小值为（   ） A． B． C． D． 知识点六 根据最值求参数 36．已知函数在区间上既有最大值1又有最小值，则关于实数的取值，以下不可能的是（    ） A． B． C． D． 37．已知函数，若对于，都有恒成立，则的取值不可能是（    ） A． B．1 C． D． 38．若函数在上无最小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 39．已知函数在处取最大值，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 知识点七 周期性 奇偶性 对称性 40．下列函数中，最小正周期为且为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 41．函数是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 42．已知函数的部分图象如图，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 43．已知函数，若，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 44．定义在上，且最小正周期为的偶函数是（   ） A． B． C． D． 45．函数在上的图像大致为（     ） A．     B．   C．   D．   46．“”是“函数是奇函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 47．若函数为奇函数，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 48．已知函数是偶函数，则的值为（    ） A．0 B． C． D． 49．若函数是偶函数，则（    ） A．0 B． C． D． 50．若函数 的最小正周期为，则 （ ） A．2 B． C．1 D．0 51．已知函数的最小正周期为4，且，则（    ） A． B． C．0 D． 52．已知函数，则（    ） A．的最小正周期是，最小值是0 B．的最小正周期是，最小值是1 C．的最小正周期是，最小值是0 D．的最小正周期是，最小值是1 53．函数的图象关于直线对称，且的最小正周期为4，则的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 54．已知函数的最小正周期为，则的一个对称中心的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 55．已知函数的图象关于点中心对称，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 B C D D A B B D B D 题号 17 18 19 20 21 22 23 29 30 31 答案 C C C B B C A B B B 题号 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 答案 B C B B D C B B B A 题号 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 答案 A B C A A A B D A D 题号 52 53 54 55 答案 D C B D 1．B 【分析】结合的五点坐标可以确定画函数图象时的五点横坐标. 【详解】所描出的五点的横坐标与函数的五点的横坐标相同，即0，，，，， 故选：B . 2．作图见解析 【分析】用五点法作图，先列表，然后描点连线画图即可. 【详解】①列表： x 0 0 1 0 0 ②描点画图，如图． 3．(1)图象见解析 (2)图象见解析 (3)图象见解析 (4)图象见解析 (5)图象见解析 (6)图象见解析 【分析】根据五点画图法的原则：描点、连线、绘图，找到函数中对应的五个点，操作画图即可. 【详解】（1）列表： 描点、连线、绘图，如图所示. （2）列表： 1 －1 描点连线如图. （3） 列表: 0 0 1 0 -1 0 图像如图所示： （4） 解:由题知，， 列表如下: 2 1 2 3 2 根据表格画出图象如下: （5）解:由题知，， 列表如下: 1 0 -1 0 1 根据表格画出图象如下: （6） 根据五点法作图列表得： 画图像得： 4．图见解析 【分析】将其表示为分段函数的形式，再画出图象即可. 【详解】函数， 其图如下所示：    5．答案见解析 【分析】（1）作出图象，根据图象观察即可解出； （2）作出图象，根据图象观察即可解出； （3）作出图象，根据图象观察即可解出． 【详解】（1）该图象与的图象关于轴对称，故将的图象作关于轴对称的图象即可得到的图象. （2）将的图象在轴上方部分保持不变，下半部分作关于轴对称的图形，即可得到的图象. （3）将的图象在轴右边部分保持不变，并将其作关于轴对称的图形，即可得到的图象. 6．图象见解析. 【分析】根据诱导公式化简可得函数解析式，根据余弦函数图象性质，可画出函数图象. 【详解】 故的图象实际就是的图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方后得到的图象，如图 7．见解析 【分析】去绝对值后，结合函数的图象，即可画出函数的图象. 【详解】，， 作出函数图象后，将轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，即为函数的图象，如图    8．C 【详解】根据正弦函数的单调性可知：在内单调递增，在内单调递减， 所以函数在上是先增后减. 9．D 【分析】根据正弦函数的单调性判断. 【详解】的减区间与的减区间相同， 而的减区间为， 故的减区间为. 10．D 【分析】利用奇函数定义及函数单调性逐项判断得解. 【详解】对于A，是定义在上的奇函数，且在上单调递增，A不是； 对于B，是R上的偶函数，不是奇函数，B不是； 对于C，是R上的奇函数，在上不单调，C不是； 对于D，是R上的奇函数，在上单调递减，D是. 故选：D 11．A 【详解】令，得，. 当时可得的一个单调递减区间为. 令，得，. 当时可得的一个单调递增区间为. ， 在区间上单调递减. 12．B 【详解】因为， 所以令，解得， 当时，单调递增区间为， 因为， 所以是函数的一个单调递增区间. 13．B 【分析】先由最小正周期求，根据求，再结合余弦函数的单调递增区间推导的增区间，结合选项得出结果. 【详解】由于函数最小正周期，得， 由，且，得，因此， 令，解得：， 当时，一个递增区间为，而， 所以函数在上单调递增. 14．D 【分析】通过整体代换法，再根据余弦函数的单调性判断可得. 【详解】令，则. 若，则，所以函数在上单调递增，在上单调递减，故A错误；. 若，则,所以函数在上单调递减，故B错误；. 若，则,所以函数在单调递减，在单调递增，故C错误；. 若，则,所以函数在单调递增，故D正确. 15．B 【分析】由正弦函数的单调性以及复合函数单调性即可求解. 【详解】当时，， 所以当，即时，函数单调递增． 故选：B. 16．D 【分析】利用整体法求解正弦型函数的单调性，即可求解. 【详解】令,所以， 当，由于，故D正确，ABC均错误， 故选：D 17．C 【分析】先由正弦函数的周期性求出的大致范围，再根据正弦函数的递增区间求出的具体范围. 【详解】令，因为，所以 因为函数在区间上单调递增， 所以函数在上单调递增，且，即． 因为， 所以函数在上单调递增，等价于或， 解不等式得或，所以的取值范围是． 18．C 【分析】利用正弦型函数的单调性得，即可求. 【详解】由，则，且， 由函数在区间上单调递增，则，所以. 19．C 【分析】根据函数单调性和特殊值条件可得，求出的取值范围及的表达式，再由结合周期确定出的表达式，确定取值，从而求得． 【详解】因为在上单调递增，， 所以且， 所以， 又，则，故， 所以，解得， 因，则，所以， 又，则当时，. 20．B 【分析】确定的取值范围，根据余弦函数的单调性列出不等式即可求解. 【详解】令，因为，且，所以， 因为函数在上单调递减， 所以函数在上单调递减， 因为余弦函数在上单调递减， 则，解得，所以的取值范围为. 21．B 【分析】由题知，进而得到，结合单调性可得，再解不等式即可． 【详解】解：， ，， ， 又函数（）在区间上单调递增， ，解得． 22．C 【分析】根据给定条件，可得在上单调，借助函数图象的对称轴建立不等式求出范围即可. 【详解】依题意，函数在上单调，函数图象对称轴为， ，解得， 由，解得，又，则或， 所以或，的取值不可能是. 故选：C 23．A 【分析】由是函数的一条对称轴，可得，再根据在区间上单调，则，可得，运算可求得的值. 【详解】由直线是函数的图象的一条对称轴，有，可得， 又由函数在区间上单调，则，可得， 有，有，可得，. 故选：A. 24．(1) (2) 【分析】（1）利用正弦函数结合根式的性质，结合正弦型函数图象求解； （2）利用正弦函数结合根式的性质求出各自定义域，再利用数轴法求交集． 【详解】（1）由，得，把当作整体t，作的图象如下： 在内，满足，得， ． 在上满足，， 即，， 定义域为． （2）根据函数表达式可得， 在数轴上表示如下： 由图示可得，函数定义域为． 25．(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据余弦函数的性质即可得解； （2）解不等式即可得解； （3）根据余弦函数的性质即可求解； （4）根据对数函数性质，解不等式即可得解. 【详解】（1）由知定义域为． （2）要使函数有意义，则，即，解得， 所以函数的定义域为． （3）因为，所以，所以函数定义域为． （4）要使函数有意义，则，解得， 所以函数定义域为 26． 【分析】由题可得，由同角三角函数的平方关系得，解不等式，再根据正弦函数的性质即可求解． 【详解】由题可知，，即，解得， 由正弦函数的性质可得， 所以函数的定义域为． 27．(1) (2) 【分析】（1）根据根号下大于等于0得到不等式，再结合正弦函数性质解出即可， （2）根据根号下大于等于0得到不等式，再结合余弦函数性质解出即可. 【详解】（1）要使得函数有意义，则，即. 解得，. 故函数定义域为 （2）要使得函数有意义，则，即. 解得，. 故函数定义域为 28．(1) (2) (3) 【分析】（1）由函数特征得到，求出定义域； （2）由对数函数的真数大于0，得到不等式，求出定义域； （3）根据函数特征得到，求出定义域. 【详解】（1）要使有意义，则，解得， 故定义域为； （2）要使有意义，可得， 即，解得， 故定义域为； （3）要使有意义，可得． 解得， 所以函数的定义域为. 29．B 【分析】根据正弦函数的最值即可求解； 【详解】由可得，， 所以，. 30．B 【分析】由的取值范围求出的范围，再根据正弦函数的性质求出的值域，即可得到，从而得解. 【详解】当，则， 所以，则， 因为对于，不等式恒成立， 所以，解得，所以实数的取值范围为. 31．B 【分析】根据函数的单调性求解即可. 【详解】因为和在上均单调递减，所以在上单调递减. 所以，，故的值域为. 32．B 【分析】应用整体法，结合余弦函数的性质求函数值域. 【详解】因为，所以，则， 所以. 故选：B 33．C 【分析】利用整体法，结合余弦函数的性质即可求解. 【详解】因为，所以，则， 故，故的值域为. 故选:C. 34．B 【分析】利用三角函数的基本关系式，化简函数为，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由函数， 当且仅当时，取得最大值，最大值为. 35．B 【分析】利用平方关系化简得到，再利用二次函数求解即可. 【详解】． ，． 故选：B. 36．D 【分析】先求得函数的最小正周期，结合正弦函数的性质求得最大值点和最小值点满足的条件，再对四个选项一一判断检验，即得答案. 【详解】由题意可得函数的最小正周期为， 最大值点满足，解得， 最小值点满足，解得， 因为函数在区间上既有最大值1又有最小值， 且区间的长度为8， 对于A，若，当时，最大值点为， 最小值点为， 由于，满足要求； 对于B，若，当时，最大值点为， 最小值点为， 由于，满足要求； 对于C，若，当时，最大值点为， 最小值点为， 由于，满足要求； 对于D，若，当时，最大值点为， 最小值点为，当时，最大值点为2038， 显然，内只包含最小值点，不包含最大值点，不满足要求. 故选：D 37．C 【分析】由题意得到，同时由，得到，代入各个选项判断是否存在，即可得到结论. 【详解】因为函数，且， 所以，则， 因为，所以， 当时，，，符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，， ∵，∴，，∴， 即存在，使得，不符合题意； 当时，， ∵，，∴且， 即，符合题意； 所以的取值不可能是， 故选：C 38．B 【详解】当时，在上第一次使得，解得， 当时，在上第二次使得，解得， 当时，函数在上无最小值，解得. 所以的取值范围为. 39．B 【分析】根据正弦函数的最值求解即可. 【详解】因为函数在处取最大值， 所以，即， 当时，. 故选：B 40．B 【详解】所有选项的定义域都是， 对于A，因为，所以是奇函数，A错误； 对于B：因为，所以是偶函数， 的周期为，加绝对值后，图象把轴下方的部分翻折到上方，周期变为（如图）， B正确； 对于C：，图象为 很显然不具备周期性，C错误； 对于D，是周期为的偶函数，D错误． 41．A 【详解】由诱导公式可得：， 则原式可化简为：，函数定义域为， 且满足， 故函数为奇函数. 42．A 【分析】根据题意，得到函数为奇函数，且当时，且，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】由函数的图像，可得函数的定义域为， 且其图像关于原点对称，即函数为奇函数， 且当时，且， 对于A，函数的定义域为，且， 所以函数为奇函数，且当时，且，所以A符合题意； 对于B，函数的定义域为，且， 所以函数为偶函数，所以B不符合题意； 对于C，函数为最小周期为的周期函数，所以C不符合题意； 对于D，函数的定义域为， 且满足，所以函数为奇函数， 当时，且，所以D不符合题意. 43．B 【分析】结合正弦函数的奇偶性代入求解. 【详解】，所以， 则. 故选:B. 44．C 【分析】分别判断四个函数的奇偶性和周期性. 【详解】四个选项中函数定义域均为全体实数，均满足题目要求，分别看每个选项： A选项，为奇函数，故不正确； B选项，，最小正周期为，故不正确； C选项，是将沿轴翻折，是偶函数，周期为，故正确； D选项，是将沿轴翻折，是偶函数，但周期为，故不正确. 45．A 【分析】首先判断函数的奇偶性，再由时的函数值的特征，利用排除法判断即可. 【详解】函数，， 则， 所以为奇函数，则函数图象关于原点对称，故排除C； 当时，则， 所以，故排除B. 因为，排除C. 故选：A 46．A 【分析】结合余弦函数性质及充分条件与必要条件定义判断即可得. 【详解】若，则， 由为奇函数，故是奇函数， 故“”是“函数是奇函数”的充分条件； 若函数是奇函数，则， 故“”不是“函数是奇函数”的必要条件； 综上可得：“”是“函数是奇函数”的充分不必要条件. 47．A 【分析】根据奇函数的性质，建立方程，结合三角函数的奇偶性，可得答案. 【详解】由题意可得，即， 化简可得，解得. 故选：A. 48．B 【分析】由正余弦函数的奇偶性，结合诱导公式易得． 【详解】因为函数为偶函数，所以.又，所以，解得，代入检验，得到，显然符合题意. 故选：B. 49．D 【详解】因是偶函数，则， 即，也即函数是偶函数，则， ，则得，所以， 则. 50．A 【详解】最小正周期，解得， 则， ． 51．D 【详解】由函数的最小正周期为4，得，解得， 由，得，解得， 所以. 52．D 【详解】由题意可得, 所以，则的最小正周期，且. 53．C 【详解】因为最小正周期为4，，得，可排除AB选项. 代入，C选项是函数的一条对称轴； D选项为函数的一个对称中心，并非对称轴， 故排除D. 54．B 【详解】函数的最小正周期为，，， ，令，解得， 令，得，故的一个对称中心的坐标可以是. 55．D 【详解】的图象关于点中心对称， 所以，即， 所以的最小值为4． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $