精品解析：湖南省长沙市立信中学2025-2026学年七年级下学期期末考试数学试卷

2026年初一数学期末 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 在下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，（每两个8之间依次多0个0）等形式．根据无理数、有理数的定义即可判定选择项． 【详解】解：，，是有理数，是无理数， 故选：D． 2. 在平面直角坐标系中，点一定在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵点P的纵坐标， ∴点一定在第二象限． 3. 下列问题中，最适合采用全面调查方式的是（ ） A. 调查所生产的整批火柴是否能够划燃 B. 了解一批导弹的杀伤半径 C. 疫情防控期间，调查我校出入校门口学生的体温 D. 了解全国中小学生的体重情况 【答案】C 【解析】 【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而且考虑调查是否带有破坏性，而抽样调查得到的调查结果比较接近准确值，具有科学价值，从而逐一判断可得答案． 【详解】解：A、调查所生产的整批火柴是否能够划燃，具有破坏性，适合抽样调查，故本选项不合题意； B、了解一批导弹的杀伤半径，具有破坏性，适合抽样调查，故本选项不合题意； C、疫情防控期间，调查我校出入校门口学生的体温，适合采用全面调查方式，故本选项符合题意； D、了解全国中小学生的体重情况，适合抽样调查，故本选项不合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查全面调查与抽样调查，关键是根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较接近准确值，具有科学价值．掌握以上知识是解题的关键． 4. 如图是一把剪刀，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了初中数学中对顶角相等及邻补角性质的知识点，解题的关键在于理解并运用对顶角相等的原理计算出与各为，进而依据邻补角之和为的性质推导出 ．本题可先根据对顶角相等求出与的度数，再利用邻补角的性质求出的度数 ． 【详解】解：，， ， ． 故选 ：D． 5. 如图，人字梯的支架、的长度都为2m（连接处的长度忽略不计），则、两点之间的距离可能是（ ） A. 3m B. 4m C. 5m D. 6m 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，掌握三角形任意一边小于其它两边之和是解决问题的关键． 【详解】解：， ， 即． 故选：A． 6. 若，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断选择即可．本题考查了不等式的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】∵， ∴， 故A不符合题意； ∴， 故B符合题意； ∴， 故C不符合题意； ∴， 故D不符合题意； 故选B． 7. 如图，若数轴上点表示的数为无理数，则该无理数可能是（ ） A. 2.7 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了无理数与数轴，估算出，，结合数轴即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：解：∵2.7是有理数，，，， 由图可知，点表示的数为无理数，且点表示的数在和之间， ∴点表示的无理数为， 故选：D． 8. 下列命题正确的是（ ） A. 所有实数不是正数就是负数 B. 三角形的三条高都在三角形的内部 C. 有公共顶点并且相等的两个角是对顶角 D. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】D 【解析】 【详解】解：选项A，实数分为正数，零，负数，零既不是正数也不是负数，∴A错误； 选项B，钝角三角形有两条高在三角形外部，∴B错误； 选项C，对顶角需要满足有公共顶点，且一个角的两边是另一个角两边的反向延长线，仅相等且有公共顶点的两个角不一定是对顶角，∴C错误； 选项D，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，命题正确，∴D正确． 9. 九章算术中记载．“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”其大意是：“现有一些人共同买一个物品，每人出钱，还盈余钱；每人出钱，还差钱，问人数、物品价格各是多少？”设人数为人，物品的价格为钱，根据题意，可列方程组为(    ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“每人出元，还盈余元；每人出元，则还差元”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设人数为人，物品的价格为钱， 依题意，得． 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 10. 如图，在中，分别平分，，，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①④ D. ①③ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，三角形的外角，平行线的性质，角平分线的定义结合平角的定义，求出，判断①，三角形的外角的性质，结合角平分线的定义推出，判断②，平行线的性质结合三角形的外角的性质，判断③，平行线的性质，等量代换判断④． 【详解】解：∵分别平分，，， ∴， ∴， ∴；故①正确； ∵，，， ∴， ∴；故②错误； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴；故③正确； ∵，，， ∴；故④正确； 故选B． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 的算术平方根是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查算术平方根，掌握知识点是解题的关键． 先求出，再根据算术平方根的定义，即可解答． 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是2． 故答案为：2． 12. 已知方程，用含的代数式表示，则________． 【答案】 【解析】 【分析】把含y的项放到方程左边，移项，化系数为1，求y即可 【详解】解： ，即 故答案为： 【点睛】本题考查的是方程的基本运算技能：移项、合并同类项、系数化为1等，表示谁就该把谁放到等号的一边，其他的项移到另一边，然后合并同类项、系数化1就可用含y的式子表示x的形式． 13. 若点在y轴上，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了轴上点坐标的特征．熟练掌握轴上点坐标的横坐标为0是解题的关键． 由点在y轴上，可得，计算求解即可． 【详解】解：∵点在y轴上， ∴， 解得，， 故答案为：2． 14. 一副角三角板如图所示放置，点E在的延长线上．，则的度数为_____． 【答案】##15度 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据平行线的性质可以得到，再根据角的和差计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 15. 等腰三角形的两条边长分别为3和4，则这个等腰三角形的周长是_____． 【答案】10或11 【解析】 【分析】分3是腰长与底边长两种情况讨论求解即可． 【详解】解：①3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、4， ∵此时能组成三角形， ∴周长＝3+3+4＝10； ②3是底边长时，三角形的三边分别为3、4、4， 此时能组成三角形， 所以周长＝3+4+4＝11． 综上所述，这个等腰三角形的周长是10或11． 故答案为：10或11． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，根据题意，正确分情况讨论是解题的关键． 16. 按图中程序计算，规定：从“输入一个值”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作进行了两次才停止，则的取值范围为_______________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得到第一次运算结果小于17，第二次运算结果大于等于17，列出不等式组，解不等式组即可求解． 【详解】解：由题意得 解不等式①得 ， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为． 故答案为： 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，理解运算程序并根据题意列出不等式组是解题关键． 三、解答题（共9个小题，满分72分）） 17. 计算 【答案】 【解析】 【分析】先算乘方、开方、化简绝对值，然后算加减即可． 【详解】解：原式 ． 18. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】； 【解析】 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为. 数轴上表示解集为： 19. 如图，平分，，求证：． 将下面的证明过程补全完整． 证明： ∵平分， ∴__________． ∵， ∴__________， ∴____________（_______________）（填推理的依据） ∴ （____________________）（填推理的依据） 【答案】；；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．利用平行线的判定与性质，角平分线的定义进行推理即可． 【详解】∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴ （两直线平行，同旁内角互补）． 故答案为：；；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补 20. 某市为了解初中生每周锻炼身体的时长（单位：小时）的情况，在全市随机抽取部分初中生进行调查，按五个组别：A组（）；B组（）；C组（）；D组（）；E组（）进行整理，绘制成如下两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题： （1）求出这次抽样调查的学生总人数； （2）补全频数分布直方图； （3）C组所在扇形的圆心角的度数为______度； （4）根据样本估计全市12000名初中生中，每周锻炼身体的时长不少于5小时的有多少名． 【答案】（1）500 （2） 补全图形如下： ． （3） （4）8400 【解析】 【分析】（1）由B组人数及其所占百分比可求出这次抽样调查的学生总人数； （2）根据各组人数之和等于样本容量求出D组人数，然后补全图形即可； （3）用360°乘以C组人数所占比例即可解答； （3）用总人数乘以样本中C、D、E组人数和所占比例即可解答． 【小问1详解】 解：这次抽样调查的学生总人数． 答: 这次抽样调查的学生总人数为500． 【小问2详解】 解：D组人数为（人）， 【小问3详解】 解：C组所在扇形的圆心角的度数为． 故答案为． 【小问4详解】 解：估计全市12000名初中生中，每周锻炼身体的时长不少于5小时的有（人）． 答：估计全市12000名初中生中，每周锻炼身体的时长不少于5小时的有8400人． 【点睛】本题主要考查频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体等知识点，理解两个统计图中数量之间的关系是解决问题的前提，掌握频率=频数÷总数是正确解答的关键． 21. 如图，将先向左平移1个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到． （1）画出； （2）求出的面积； （3）y轴上是否存在一点P，使得，若存在，求出点P坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）先确定A、B、C坐标，根据题意找到平移后的对应点，顺次连接即可； （2）利用割补法求出三角形面积； （3）设，先求出点，的坐标，再根据三角形面积公式列出方程，求出t的值，从而得到点P的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：． 【小问3详解】 解：∵，点P在y轴上， 设， ∴， 由（1）知，平移后的，， ∴， ∴， 整理得：， 解得：，， ∴或． 22. 如图，中，，是的角平分线． （1）若，求的度数； （2）若D是的中点，的面积为，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质和三角形内角和．熟练掌握角平分线的性质和三角形内角和是解题的关键． （1）先由三角形内角和求出，再根据角平分线的性质得到； （2）由点是中点，得到，结合面积为，根据三角形面积公式求出即可． 【小问1详解】 解：， ， 是的角平分线． ∴； 【小问2详解】 解：是的中点， ， ∵， ∴， ． 23. 在经济新风向吹拂下，“地摊经济”正散发着无限可能，小明准备去批发市场购进一批花盆和种子．已知购买1个花盆、2包种子共需6元，购买2个花盆、3包种子共花费11元． （1）求花盆和种子的单价； （2）小明准备购进x个花盆（），90包种子，批发店给出以下优惠方案： 方案一：花盆和种子都按9折优惠； 方案二：买一个花盆送一包种子，剩余的种子按原价购买． ①求两种方案所需的费用（用含x的式子表示）； ②请你帮小明选择哪种方案更省钱？ 【答案】（1）1个花盆4元，1包种子1元 （2）①方案一：元．方案二：元；②，选方案一，，方案一、方案二都可以，，选方案二 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确的列出方程组和不等式是解题的关键： （1）设1个花盆a元，1包种子b元，根据购买1个花盆、2包种子共需6元，购买2个花盆、3包种子共花费11元，列出方程组进行求解即可； （2）①根据两种优惠方法，列出代数式即可；②分三种情况，列出不等式进行求解即可． 【小问1详解】 解：设1个花盆a元，1包种子b元， ， 解得：， 答：1个花盆4元，1包种子1元． 【小问2详解】 ①方案一：元； 方案二：元； ②， 解得：； ∴当，选方案一， ， 解得：，方案一、方案二都可以， ， 解得：， ∴当，选方案二． 24. 在平面直角坐标系中，对于点，，…，，给出如下定义：把，，…，这个数中的最大值记为，最小值记为，将称为点，，…，的“特征值”，记作． 已知点，，．正方形的顶点坐标分别是，，，，其中． （1）_________； （2）当时，若点在正方形的边上，且，直接写出点的坐标； （3）点是正方形的边上的动点，将的最大值记为，的最小值记为，若，直接写出的取值范围． 【答案】（1）9 （2），或 （3） 【解析】 【分析】本题考查新定义“特征值”，一元一次不等式（组），一元一次方程，理解“特征值”是解题的关键． （1）根据“特征值”的定义，即可解答． （2）先求出正方形的顶点坐标，再逐一分类讨论，即可解答； （3）设点的坐标为，则，求出，根据“特征值”的定义可得，且，由将的最大值记为，的最小值记为，且，列出一元一次不等式组，即可解答． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∴，， 则． 故答案为：9． 【小问2详解】 ∵正方形的顶点坐标分别是，，，，， ∴，，，， 设点的坐标为， ①当点在上时，时，则， ∴， ∵，，，，， ∴， 即， 解得． ∴点的坐标为． ②当点在上时， 时，则， ∴， ∵，，，，， ∴， 即， 解得． ∴点的坐标为． ③当点在上时， 时，则， ∴， ∵，，，，， ∴， 即， 解得． ∴点的坐标为． ④当点在上时，同理可得点的坐标为． 综上所述，点的坐标为，或． 故答案为：点的坐标为，或． 【小问3详解】 ∵点是正方形的边上的动点，，， ∴设点的坐标为， 则， ∴， ∴，且， ∵将的最大值记为，的最小值记为，且， ∴， 解得． 25. 在平面直角坐标系中，已知点，，． （1）如图1，若，求的面积； （2）在（1）的条件下，若点为射线上一点，且满足，求此时点的坐标； （3）点为线段上一点（不与，两点重合），点为线段上一点（不与，两点重合）； ①如图2，若，点是轴上点左侧的一点，连接，的角平分线和的角平分线交于点，求与的数量关系； ②如图3，若，，连接，，交于点，记的面积为，的面积为，的面积为，那么是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）①②为定值， 【解析】 【分析】（1）根据可得，，，进而求出的面积； （2）根据可得，进而求出此时点的坐标； （3）①设，，由得，由可得，进而求解；②设，由可得，由可得，进而求解． 【小问1详解】 解：， ，，， ，，， ，， ， 的面积为； 【小问2详解】 ， ，即， 解得或， 此时点的坐标为或； 【小问3详解】 ①设，， 如图，过点作射线，则，，则， ， ，即， ， ； ②为定值， 设， ， ，即， ， ，即， ， 即为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初一数学期末 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 在下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点一定在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 下列问题中，最适合采用全面调查方式的是（ ） A. 调查所生产的整批火柴是否能够划燃 B. 了解一批导弹的杀伤半径 C. 疫情防控期间，调查我校出入校门口学生的体温 D. 了解全国中小学生的体重情况 4. 如图是一把剪刀，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，人字梯的支架、的长度都为2m（连接处的长度忽略不计），则、两点之间的距离可能是（ ） A. 3m B. 4m C. 5m D. 6m 6. 若，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，若数轴上点表示的数为无理数，则该无理数可能是（ ） A. 2.7 B. C. D. 8. 下列命题正确的是（ ） A. 所有实数不是正数就是负数 B. 三角形的三条高都在三角形的内部 C. 有公共顶点并且相等的两个角是对顶角 D. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 9. 九章算术中记载．“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”其大意是：“现有一些人共同买一个物品，每人出钱，还盈余钱；每人出钱，还差钱，问人数、物品价格各是多少？”设人数为人，物品的价格为钱，根据题意，可列方程组为(    ) A. B. C. D. 10. 如图，在中，分别平分，，，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①④ D. ①③ 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 的算术平方根是______． 12. 已知方程，用含的代数式表示，则________． 13. 若点在y轴上，则______． 14. 一副角三角板如图所示放置，点E在的延长线上．，则的度数为_____． 15. 等腰三角形的两条边长分别为3和4，则这个等腰三角形的周长是_____． 16. 按图中程序计算，规定：从“输入一个值”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作进行了两次才停止，则的取值范围为_______________________． 三、解答题（共9个小题，满分72分）） 17. 计算 18. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 19. 如图，平分，，求证：． 将下面的证明过程补全完整． 证明： ∵平分， ∴__________． ∵， ∴__________， ∴____________（_______________）（填推理的依据） ∴ （____________________）（填推理的依据） 20. 某市为了解初中生每周锻炼身体的时长（单位：小时）的情况，在全市随机抽取部分初中生进行调查，按五个组别：A组（）；B组（）；C组（）；D组（）；E组（）进行整理，绘制成如下两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题： （1）求出这次抽样调查的学生总人数； （2）补全频数分布直方图； （3）C组所在扇形的圆心角的度数为______度； （4）根据样本估计全市12000名初中生中，每周锻炼身体的时长不少于5小时的有多少名． 21. 如图，将先向左平移1个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到． （1）画出； （2）求出的面积； （3）y轴上是否存在一点P，使得，若存在，求出点P坐标，若不存在，请说明理由． 22. 如图，中，，是的角平分线． （1）若，求的度数； （2）若D是的中点，的面积为，，求的长． 23. 在经济新风向吹拂下，“地摊经济”正散发着无限可能，小明准备去批发市场购进一批花盆和种子．已知购买1个花盆、2包种子共需6元，购买2个花盆、3包种子共花费11元． （1）求花盆和种子的单价； （2）小明准备购进x个花盆（），90包种子，批发店给出以下优惠方案： 方案一：花盆和种子都按9折优惠； 方案二：买一个花盆送一包种子，剩余的种子按原价购买． ①求两种方案所需的费用（用含x的式子表示）； ②请你帮小明选择哪种方案更省钱？ 24. 在平面直角坐标系中，对于点，，…，，给出如下定义：把，，…，这个数中的最大值记为，最小值记为，将称为点，，…，的“特征值”，记作． 已知点，，．正方形的顶点坐标分别是，，，，其中． （1）_________； （2）当时，若点在正方形的边上，且，直接写出点的坐标； （3）点是正方形的边上的动点，将的最大值记为，的最小值记为，若，直接写出的取值范围． 25. 在平面直角坐标系中，已知点，，． （1）如图1，若，求的面积； （2）在（1）的条件下，若点为射线上一点，且满足，求此时点的坐标； （3）点为线段上一点（不与，两点重合），点为线段上一点（不与，两点重合）； ①如图2，若，点是轴上点左侧的一点，连接，的角平分线和的角平分线交于点，求与的数量关系； ②如图3，若，，连接，，交于点，记的面积为，的面积为，的面积为，那么是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $