精品解析：山西省晋中市太谷区2025-2026学年第二学期期末质量检测试题（卷）八年级数学

太谷区2025-2026学年第二学期期末质量检测试题（卷） 八年级数学 （考试时间：120分钟；满分：120分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 2025年12月，《电动自行车安全技术规范》实施过渡期正式结束，旧标车型全面禁售，以下四个电动自行车品牌的图标中，是中心对称图形的是（） A. 新蕾 B. 速珂 C. 爱玛 D. 雅迪 2. 2025年夏至太谷区最低气温，最高气温．若用表示当日气温（单位：），则当天我区气温（）满足的不等关系为（ ） A. B. C. D. 3. 下面是两位同学在讨论一个不等式．根据对话提供的信息，他们讨论的不等式可能是（ ） A. B. C. D. 4. 下列由左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在四边形中，对角线和相交于点O，，下列条件不能判断四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列分式中，最简分式的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在三角形中，，将三角形沿直线向右平移3个单位得到三角形，连接．则下列结论： ①；②；③；④四边形的面积等于四边形的面积； 其中正确结论的个数有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 如图，在中，，以点A为圆心，的长为半径作弧交于点D，再分别以点D和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点M和点N，作直线交于点E，交于点F．若，，的周长是15，则的周长为（ ） A. 21 B. 23 C. 25 D. 29 9. 跳绳时，小红按照老师教的方法调节绳长（如图1）：双脚踩住绳中央，大臂紧贴身体，小臂水平，两肘弯曲．将绳拉直，此时绳长为合适长度．将双脚抽象看作一点，得到图2，数据如图所示，则适合的绳长为（ ） A. B. C. D. 10. 实验室的一个容器内盛有克食盐水，其中含盐克．如何处理能将该容器内食盐水的含盐百分比提高到原来的倍？晓华根据这一情景中的数量关系列出方程，则未知数表示的意义是（ ） A. 加入的食盐量 B. 减少的食盐量 C. 增加的水量 D. 蒸发掉的水量 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若分式的值为0．则_________． 12. 如图，直线与坐标轴的两个交点分别为，，则不等式的解集为_________． 13. 如图1，四边形中，，．小文同学以图1中的四边形为“基本图形”无缝隙、无重叠的拼成了如图2所示的图案，其外围轮廓恰好是一个正十边形，则的度数为_______． 14. 随着Deepseek的AI技术开发，更大激活智能机器人应用市场，为了更方便地服务广大读者，某图书馆准备引进智能机器人服务读者．同时购进甲、乙两种型号的机器人，已知甲种型号的智能机器人单价为15万元，乙种型号的智能机器人单价为10万元，图书馆经过统筹安排，准备用不超过120万元的资金购进甲、乙两种型号的机器人共10套（两种型号均有），那么图书馆最多能购进________套甲种型号的智能机器人． 15. 如图，在四边形中，，，对角线平分，且，，点E是线段上一点，连接，若，则的长为_____． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．） 16. 按要求完成下列小题 （1）因式分解：； （2）解不等式组：． 17. 先化简，再从0，，2中选一个合适的数代入求值． 18. 解分式方程． 19. 如图，在由边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D均在格点（网格线的交点）上． （1）将先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度，得到，请在图中画出； （2）请画出以点D为对称中心的对称图形； （3）与是否成中心对称？若是，画出它们的对称中心O；若不是，说明理由． 20. 【问题情境】如图，实验中学“几何之美”社团绘制了一个平行四边形．将一把刻度尺（）如图放置，刻度尺有一边分别经过平行四边形的顶点D、B，另一边分别交，于点E，F．连接，分别与，相交于点M，N． （1）求证：． 【图形判定】 （2）求证：四边形是平行四边形． 21. 阅读与思考 下面是善思小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务． 差直角三角形 【研究背景】 在研究三角形、四边形等几何图形的过程中，我们积累了一定的研究经验．运用这些经验和方法，可以研究其他的特殊图形． 【定义对象】 有两个内角的差为的三角形，叫做差直角三角形．如图1，在中，，则是一个差直角三角形． 由定义可知，差直角三角形一定是 ▲ 三角形． 【定义运用】 定义——性质： 问题1：已知差直角三角形中，，则的度数为 ▲ ． 定义——判定： 问题2：如图2，已知中，是对角线，，点E是边上一点，交于点F．若，求证：是差直角三角形． 证明：∵四边形是平行四边形， ，（依据： ▲ ） ，． ，∴……． 任务： （1）“定义对象”部分“▲”处为 （填“锐角”“直角”或“钝角”）；“定义运用”部分问题1的“▲”处为 ；问题2的“▲”处为 ； （2）补全上述报告中问题2的推理过程； （3）如图3，已知中，，，，点E在边上，若是差直角三角形，则的长为 ． 22. 山西博物院以丰富的馆藏和展览资源为设计元素，潜心研发了一系列特色的文创产品，其中“卣”趣系列鸮卣毛毡背包和“铜”趣系列鸟尊毛绒玩具颇受广大游客喜爱．某网店为了满足人们的购物需求，计划购进两种系列的文创产品进行销售，已知每个鸮卣毛毡背包的进价是每个鸟尊毛绒玩具进价的2倍，现用1500元购进鸮卣毛毡背包的数量比用1200元购进鸟尊毛绒玩具的数量少15个． （1）求每个鸮卣毛毡背包和每个鸟尊毛绒玩具的进价分别为多少元； （2）该网店决定用1500元购进鸮卣毛毡背包和鸟尊毛绒玩具，且购进鸟尊毛绒玩具的数量不超过鸮卣毛毡背包数量的一半，则购进鸮卣毛毡背包至少多少个？ 23. 综合与探究 问题情境： 如图1，在中，，，点分别是边，上的一点，且，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点的对应点为，连接，． 猜想证明： （1）猜想线段与的数量关系，并说明理由． 独立思考： （2）如图2，连接，过点作于点，延长交于点，判断四边形的形状，并说明理由． 拓展延伸： （3）在（2）的条件下，若，时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 太谷区2025-2026学年第二学期期末质量检测试题（卷） 八年级数学 （考试时间：120分钟；满分：120分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 2025年12月，《电动自行车安全技术规范》实施过渡期正式结束，旧标车型全面禁售，以下四个电动自行车品牌的图标中，是中心对称图形的是（） A. 新蕾 B. 速珂 C. 爱玛 D. 雅迪 【答案】B 【解析】 【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：观察选项A、C、D，它们的图形旋转后都不能与原图形重合，不是中心对称图形； 选项B图形旋转后能与原图形重合，是中心对称图形． 2. 2025年夏至太谷区最低气温，最高气温．若用表示当日气温（单位：），则当天我区气温（）满足的不等关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据当日最低气温和最高气温确定气温的取值范围，温度可以取到最低值和最高值，因此端点包含等号，即可得到正确结果． 【详解】∵当日最低气温为，最高气温为， ∴气温不低于，同时不高于， 可得满足的不等关系为． 3. 下面是两位同学在讨论一个不等式．根据对话提供的信息，他们讨论的不等式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两位同学的对话进行判断即可得到答案． 【详解】解：由左边同学的对话可知，讨论的不等式的未知数的系数是负数； 由右边同学的对话可知，讨论的不等式的解集为， 综上，不等式符合他们的讨论． 4. 下列由左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解的定义即可判断，掌握因式分解的定义是解题的关键． 【详解】解：A、从左到右的变形不属于因式分解，故选项不符合题意； B、从左到右的变形不属于因式分解，故选项不符合题意； C、从左到右的变形不属于因式分解，故选项不符合题意； D、从左到右的变形属于因式分解，故选项符合题意； 故选：D． 5. 如图，在四边形中，对角线和相交于点O，，下列条件不能判断四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、， ， 四边形是平行四边形，故选项A不符合题意； B、， ． 又，  四边形可能是等腰梯形，不能判定是平行四边形，故选项B符合题意； C、， ． 又，  四边形是平行四边形，故选项C不符合题意； D、， ， 四边形是平行四边形，故选项D不符合题意． 6. 下列分式中，最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简分式的定义判断，分子与分母没有公因式的分式是最简分式，对每个选项化简后即可得出答案． 【详解】A选项 ，∵分子分母有公因数，约分后得，∴不是最简分式． B选项 ，∵，分子分母有公因式，约分后得，∴不是最简分式． C选项 ，∵分子与分母没有公因式，不能约分，∴是最简分式． D选项 ，∵，分子分母有公因式，约分后得，∴不是最简分式． 7. 如图，在三角形中，，将三角形沿直线向右平移3个单位得到三角形，连接．则下列结论： ①；②；③；④四边形的面积等于四边形的面积； 其中正确结论的个数有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】平移的性质：平移前后的图形全等，对应线段平行且相等，对应角相等，对应点连线平行且相等． 【详解】解：  将三角形沿直线向右平移3个单位得到三角形，  ，，故①和②正确；  ， ，故③正确； 由平移性质可知，，，   四边形和四边形均为平行四边形， 设点到的距离为，则点到的距离也为，  ，，  ，故④正确； 综上所述，正确的结论有4个． 8. 如图，在中，，以点A为圆心，的长为半径作弧交于点D，再分别以点D和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点M和点N，作直线交于点E，交于点F．若，，的周长是15，则的周长为（ ） A. 21 B. 23 C. 25 D. 29 【答案】D 【解析】 【分析】，，通过同一个圆的半径相等，和垂直平分线的性质运用可得，之后代换即可． 【详解】解：由题意可得：，， ． 9. 跳绳时，小红按照老师教的方法调节绳长（如图1）：双脚踩住绳中央，大臂紧贴身体，小臂水平，两肘弯曲．将绳拉直，此时绳长为合适长度．将双脚抽象看作一点，得到图2，数据如图所示，则适合的绳长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点A作于D，则，由等腰三角形“三线合一”的性质得，然后根据勾股定理即可求得，即可得解． 【详解】解：如图， 过点A作于D，则， 由题意可知，， ∴， ∴， ∴适合小红的绳长为． 10. 实验室的一个容器内盛有克食盐水，其中含盐克．如何处理能将该容器内食盐水的含盐百分比提高到原来的倍？晓华根据这一情景中的数量关系列出方程，则未知数表示的意义是（ ） A. 加入的食盐量 B. 减少的食盐量 C. 增加的水量 D. 蒸发掉的水量 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，关键是理解题意找准方程中等量关系；根据容器内盛有克食盐水，其中含盐克及食盐水含盐的百分比提高到原来的倍．可求出含盐的百分比，然后通过分式方程可知含盐仍为克，而盐水变为克，故可得出减少了水分克，即可得出答案． 【详解】解：根据分式方程可知： 食盐水含盐的百分比提高到原来的倍后，含盐克不变， 而盐水总量变为克， ∴应蒸发掉了克水分， 即：表示的意义是蒸发掉的水量． 故选：D． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若分式的值为0．则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式值为的条件，分式值为需满足分子为且分母不为． 【详解】解：∵分式的值为． ∴， 解得． 12. 如图，直线与坐标轴的两个交点分别为，，则不等式的解集为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据图像确定直线与轴的交点坐标，结合图像在轴下方的部分对应的的取值范围进行求解． 【详解】解：由图像可知，直线与轴的交点为． 函数随的增大而增大，  当时，，即．  ∴不等式的解集为． 13. 如图1，四边形中，，．小文同学以图1中的四边形为“基本图形”无缝隙、无重叠的拼成了如图2所示的图案，其外围轮廓恰好是一个正十边形，则的度数为_______． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据正多边形内角和公式求出正十边形的内角度数，结合图形可知即为正十边形的一个内角，即可求解． 【详解】解：外围轮廓恰好是一个正十边形，  ． 14. 随着Deepseek的AI技术开发，更大激活智能机器人应用市场，为了更方便地服务广大读者，某图书馆准备引进智能机器人服务读者．同时购进甲、乙两种型号的机器人，已知甲种型号的智能机器人单价为15万元，乙种型号的智能机器人单价为10万元，图书馆经过统筹安排，准备用不超过120万元的资金购进甲、乙两种型号的机器人共10套（两种型号均有），那么图书馆最多能购进________套甲种型号的智能机器人． 【答案】 4 【解析】 【分析】根据题意设未知数，结合总费用的限制条件列出一元一次不等式，根据未知数为正整数求解最大值． 【详解】解：设图书馆购进甲种型号的智能机器人x套，则购进乙种型号的智能机器人套，x为正整数，且， 根据题意，得， 解得， 因此x的最大取值为4． 15. 如图，在四边形中，，，对角线平分，且，，点E是线段上一点，连接，若，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义证明，从而得到；过点作于点，构造矩形和；利用矩形的性质得到和的长，设，在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：， ， 平分，即， ， ， 过点作于点， ，， ， 四边形为矩形， ，， 设，则，， 在中，由勾股定理得，，即， 解得， ． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．） 16. 按要求完成下列小题 （1）因式分解：； （2）解不等式组：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）因式分解先提取公因式，再利用完全平方公式进行二次分解即可得到结果. （2）分别求出不等式组中两个不等式的解集，再取两个解集的公共部分，即可得到不等式组的最终解集. 【小问1详解】 解：  【小问2详解】 解：  解不等式① 得； 解不等式② 得  ； 所以原不等式组的解集为. 17. 先化简，再从0，，2中选一个合适的数代入求值． 【答案】，当时，值为；当时，值为（任选其一作答即可） 【解析】 【分析】先化简原分式，再根据分式有意义的条件选一个合适的数代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 由题意，得， 当时，原式； 当时，原式． 18. 解分式方程． 【答案】原分式方程无解 【解析】 【分析】先整理方程，将分式方程转化为整式方程求解，最后检验所得根是否为增根，判断原方程的解的情况． 【详解】解： 整理原方程得， 方程两边同乘最简公分母得，， 展开整理得，   移项合并同类项得，  解得，  检验：把代入最简公分母，得， 因此是原分式方程的增根，原分式方程无解． 19. 如图，在由边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D均在格点（网格线的交点）上． （1）将先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度，得到，请在图中画出； （2）请画出以点D为对称中心的对称图形； （3）与是否成中心对称？若是，画出它们的对称中心O；若不是，说明理由． 【答案】（1）画图见解析 （2）画图见解析 （3）是，画图见解析 【解析】 【分析】（1）根据平移方式和网格的特点找到点的位置，再作图即可； （2）根据中心对称和网格的特点找到点的位置，再作图即可； （3）根据中心对称的定义即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； 【小问3详解】 解：与是成中心对称；连接，，则与的交点，即为对称中心O． 20. 【问题情境】如图，实验中学“几何之美”社团绘制了一个平行四边形．将一把刻度尺（）如图放置，刻度尺有一边分别经过平行四边形的顶点D、B，另一边分别交，于点E，F．连接，分别与，相交于点M，N． （1）求证：． 【图形判定】 （2）求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即 ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）证明：∵四边形是平行四边形 ∴，，即 ∵ ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定与性质证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 阅读与思考 下面是善思小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务． 差直角三角形 【研究背景】 在研究三角形、四边形等几何图形的过程中，我们积累了一定的研究经验．运用这些经验和方法，可以研究其他的特殊图形． 【定义对象】 有两个内角的差为的三角形，叫做差直角三角形．如图1，在中，，则是一个差直角三角形． 由定义可知，差直角三角形一定是 ▲ 三角形． 【定义运用】 定义——性质： 问题1：已知差直角三角形中，，则的度数为 ▲ ． 定义——判定： 问题2：如图2，已知中，是对角线，，点E是边上一点，交于点F．若，求证：是差直角三角形． 证明：∵四边形是平行四边形， ，（依据： ▲ ） ，． ，∴……． 任务： （1）“定义对象”部分“▲”处为 （填“锐角”“直角”或“钝角”）；“定义运用”部分问题1的“▲”处为 ；问题2的“▲”处为 ； （2）补全上述报告中问题2的推理过程； （3）如图3，已知中，，，，点E在边上，若是差直角三角形，则的长为 ． 【答案】（1）钝角；30；平行四边形的定义 （2）理由如下：∵四边形是平行四边形， ∴，（依据：平行四边形的定义） ∴，． ∵， ∴， ∴， ∵， ， ， ， 是差直角三角形． （3） 【解析】 【分析】（1）根据 ，得，判定是一个钝角，求解即可；根据得，利用三角形内角和列式解答即可；根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，解答即可； （2）根据平行四边形的性质，等腰三角形的性质，等量代换，差直角三角形的定义解答即可； （3）先确定当是差直角三角形，只能是为钝角，然后分和两种情况讨论，根据直角三角形的性质以及勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解： ， ， 是一个钝角， 故是一个钝角三角形； ， ， ， ， ， ， 解得； ∵四边形是平行四边形， ∴，（依据：平行四边形的定义）； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵和均为锐角， ∴当是差直角三角形，只能是为钝角， 当时 ∵， ∴ ∴， ∴ ∵， ∴， ∵ ∴，解得（舍负） ∴； 当时， ∵ ∴ 解得，则与上述情况相同，故此时 综上：若是差直角三角形，则的长为． 22. 山西博物院以丰富的馆藏和展览资源为设计元素，潜心研发了一系列特色的文创产品，其中“卣”趣系列鸮卣毛毡背包和“铜”趣系列鸟尊毛绒玩具颇受广大游客喜爱．某网店为了满足人们的购物需求，计划购进两种系列的文创产品进行销售，已知每个鸮卣毛毡背包的进价是每个鸟尊毛绒玩具进价的2倍，现用1500元购进鸮卣毛毡背包的数量比用1200元购进鸟尊毛绒玩具的数量少15个． （1）求每个鸮卣毛毡背包和每个鸟尊毛绒玩具的进价分别为多少元； （2）该网店决定用1500元购进鸮卣毛毡背包和鸟尊毛绒玩具，且购进鸟尊毛绒玩具的数量不超过鸮卣毛毡背包数量的一半，则购进鸮卣毛毡背包至少多少个？ 【答案】（1）每个鸟尊毛绒玩具的进价为元，每个鸮卣毛毡背包的进价为元 （2）购进鸮卣毛毡背包至少个 【解析】 【分析】（1）设每个鸟尊毛绒玩具的进价为元，则每个鸮卣毛毡背包的进价为元，根据“现用1500元购进鸮卣毛毡背包的数量比用1200元购进鸟尊毛绒玩具的数量少15个”列出分式方程，解分式方程即可得出结果； （2）设购进鸮卣毛毡背包个，则购进鸟尊毛绒玩具个，根据“购进鸟尊毛绒玩具的数量不超过鸮卣毛毡背包数量的一半”列出一元一次不等式，解不等式即可得出结果． 【小问1详解】 解：设每个鸟尊毛绒玩具的进价为元，则每个鸮卣毛毡背包的进价为元， 由题意可得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解且符合题意； ∴， ∴每个鸟尊毛绒玩具的进价为元，每个鸮卣毛毡背包的进价为元； 【小问2详解】 解：设购进鸮卣毛毡背包个，则购进鸟尊毛绒玩具个， 由题意可得：， 解得：， ∴购进鸮卣毛毡背包至少个． 23. 综合与探究 问题情境： 如图1，在中，，，点分别是边，上的一点，且，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点的对应点为，连接，． 猜想证明： （1）猜想线段与的数量关系，并说明理由． 独立思考： （2）如图2，连接，过点作于点，延长交于点，判断四边形的形状，并说明理由． 拓展延伸： （3）在（2）的条件下，若，时，请直接写出的长． 【答案】（1） 理由如下：由旋转性质得，， ， ， 在与中： ， ， ． （2）四边形为平行四边形 理由如下：，， 为等腰直角三角形，． ，， ， ， ． 由（1），得． ， ， 又， ， ． ，， 四边形两组对边分别平行，为平行四边形． （3）或 【解析】 【分析】（1）由旋转性质证明即可得到结论； （2）根据旋转性质以及（1）中全等条件证明四边形两组对边分别平行即可得到结论； （3）由（2）四边形是平行四边形及是等腰直角三角形可得，设，则，，过作于，设，在及中，表示各边长，结合（1）中，平行四边形中，，列方程求出的值，即可得到的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：已知， ， 又， ． 由（2）四边形是平行四边形， ． 因为是等腰直角三角形，， 故， 设，则，， 即， 过作于，设， 在中，， ，； 在中，， ，； ． 又， ①． 又，，， ， 由（1），平行四边形中，， ②． 联立： 由得，代入②： ， ， 两边平方： ， ， 展开整理： ， ， 两边除以公因子： ， ， 解得，． 当时：； 当时：． 故长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $