精品解析：山西省晋中市太谷县2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题

太谷区2024-2025学年第二学期期末质量检测 试题（卷）八年级数学 （本试卷满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项符合要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列说法正确的是（　 　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 2. 国际数学教育大会于2021年在上海举办，大会标识（如图）中蕴含着很多数学文化元素，其中八卦符号（图2）中是中心对称图形的有（ ）个 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 3. 下列分式中属于最简分式的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 关于命题“同旁内角互补，两直线平行”的说法：其中正确的是（ 　） A. 原命题、逆命题都是真命题 B. 原命题为假命题，逆命题为真命题 C. 原命题为真命题，逆命题为假命题 D. 原命题、逆命题都是假命题 6. 如图，在中，边在直线上，且．将沿直线平移得到，点的对应点为．若平移的距离为，则的长为（　　） A. B. C. 或8 D. 或8 7. 不等式的解集在数轴上的可以表示为（　　） A. B. C. D. 8. 为促进环保，山西省政府宣布新能源汽车补贴每年递减．年每辆补贴为元，之后每年减少元．小明家计划购车，希望获得补贴不少于元．小明家最晚应在（ ）年购买才能享受不低于元的补贴？ A. B. C. D. 9. 如图，在中，分别以顶点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接，分别与边，相交于点D，E．若，的周长为17，则的周长为（ ） A. 20 B. 21 C. 25 D. 30 10. 如图， 在四边形中，，，，，， 动点P从点B 出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A 出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点D 运动，当动点Q到达点D时，动点 P也同时停止运动．设点 P的运动时间为t（秒）． 以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（ ）秒． A. 2或 B. C. 或 D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 当x ________ 时，分式 有意义． 12. 八角窗棂是中国传统建筑中一种极具特色的装饰元素，象征着天地间的和谐，寓意四面八方的吉祥．如图1是某景区的一个正八边形窗棂，其独特的几何美感为景区增添了艺术魅力，图2是该正八边形窗棂的平面示意图，其中正八边形的内角和为______°． 13. 如果二次三项式是一个完全平方式，那么的值是______． 14. 如图，一次函数与一次函数的图象交点，不等式的解集是______． 15. 如图，在四边形中，，，，过点作交的延长线于点．若，，则的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 把下列各式因式分解： （1）； （2）． 17. 解不等式组：，把解集表示在数轴上．并求其整数解． 18. 下面是一位同学化简代数式的解答过程： 解：原式……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 （1）这位同学的解答，在第_____步出现错误，错误的原因是_____； （2）请你写出正确的解答过程，并在中选一个你喜欢的整数代入求值． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． （1）把向左平移个单位后得到对应的，请画出平移后的； （2）若与关于点O成中心对称，请画出，点的对应点的坐标为（____，____）． （3）若点为内一点，则内部的对应点的坐标为____． 20. 如图，平行四边形两条对角线，相交于点，是的中点，连接并延长至点，连接，使，连接． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，，，求四边形的面积． 21. 2025年山西省财政安排亿元支持科技创新，科技创新是推动高质量发展的核心动力，山西省重点研发计划有能源环保、信创、智能化、大健康生物医药、新材料、现代农业等六个领域项目，展现出山西从一个能源型省份向一个绿色生态省份的转变的新姿态．某企业为加快产业转型升级步伐，引进一批A，B新能源型号的机器．已知一台A型机器比一台B型机器每小时多加工2个零件，且一台A型机器加工80个零件与一台B型机器加工60个零件所用时间相等． （1）每台A，B型号的机器每小时分别加工多少个零件？ （2）如果该企业计划安排A，B两种型号的机器共10台一起加工一批该零件，为了如期完成任务，要求这10台机器每小时加工的零件不少于72件，则至少需要安排几台A型机器． 22. 阅读下列材料并完成任务． 三角形的旁心 三角形一个内角的平分线和其他两个内角的外角平分线的交点，称为三角形的旁心，每个三角形有三个旁心．如图1，的平分线与另外两个内角，的外角平分线相交于点O，则点O是的一个旁心． 旁心与三角形的半周长（即周长的一半）关系密切，如图2，过的旁心O分别作于点D，交的延长线于点E，交的延长线于点F，则．下面是部分证明过程： ∵平分，，， ∴．（依据1） 同理可得，． ∵，∴（依据2）∴ …… 任务： （1）上述证明过程中的“依据1”是______；“依据2”是______； （2）请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分； （3）如图，在中，，点是的一个旁心且在边的下方． ①利用尺规作出旁心；（保留作图痕迹，不写作法） ②若，，则=_______． 23. 综合与探究 【问题情景】 一节数学综合实践课上，刘老师与同学们以“线段的旋转”为背景进行了探究，具体如下： 已知：如图1，在中，，，点是边上的一点（不与A、重合），连接，将沿绕点按逆时针方向旋转得到，连接． 【猜想证明】 （1）如图2，若连接，求证：； 【深入探究】 （2）如图3，若取的中点，连接，且设它们交于点，试判断与的数量关系与位置关系，并说明理由； 方法一：延长到H，使得，连接…… 方法二：延长到H，使得，连接…… 请选择其中一种方法做出解答． （3）如图1，在点的选取过程中，若是等腰三角形时，直接写出的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 太谷区2024-2025学年第二学期期末质量检测 试题（卷）八年级数学 （本试卷满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项符合要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列说法正确的是（　 　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，据此求解即可． 【详解】解：A、由可得，原说法错误，不符合题意； B、由可得，原说法错误，不符合题意； C、由可得，原说法错误，不符合题意； D、由可得，原说法正确，符合题意； 故选：D． 2. 国际数学教育大会于2021年在上海举办，大会标识（如图）中蕴含着很多数学文化元素，其中八卦符号（图2）中是中心对称图形的有（ ）个 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：第二个和第四个图形是中心对称图形 第一个和第三个图形不是中心对称图形； 故选：C． 3. 下列分式中属于最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简分式的定义，能熟记最简分式的定义（分式的分子和分母除1以外再没有其它的公因式，这样的方式叫最简分式）是解此题的关键． 根据最简分式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、，原分式不是最简分式，故本选项不符合题意； B．，原分式不是最简分式，故本选项不符合题意； C．，原分式是最简分式，故本选项符合题意； D．，原分式不是最简分式，故本选项不符合题意． 故选：C． 4. 下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的知识点是因式分解的定义，解题的关键是熟练的掌握因式分解的定义． 根据因式分解的定义，需将多项式转化为几个整式的乘积形式，且每个因子均为整式，逐一分析选项，判断是否符合条件 【详解】解：A选项：右边为，是乘积与单项式的和，不符合乘积形式，排除； B选项：左边为单项式，分解为多个单项式相乘，因式分解对象应为多项式，排除； C选项：右边含分式，非整式，排除； D选项：左边可视为，应用平方差公式分解为，符合整式乘积形式，正确； 故选D 5. 关于命题“同旁内角互补，两直线平行”的说法：其中正确的是（ 　） A. 原命题、逆命题都是真命题 B. 原命题为假命题，逆命题为真命题 C. 原命题为真命题，逆命题为假命题 D. 原命题、逆命题都是假命题 【答案】A 【解析】 【分析】题目主要考查命题真假判断，逆命题的书写，熟练掌握平行线的判定和性质是解题关键 写出命题的逆命题，然后根据平行线的判定和性质进行判断即可 【详解】解：命题“同旁内角互补，两直线平行”，根据平行线的判定定理，若同旁内角互补，则两直线平行，故原命题为真命题； 逆命题为：若两直线平行，则它们被第三条直线所截形成的同旁内角互补，根据平行线的性质定理，逆命题也为真命题， 综上，原命题和逆命题均为真命题， 故选：A 6. 如图，在中，边在直线上，且．将沿直线平移得到，点的对应点为．若平移的距离为，则的长为（　　） A. B. C. 或8 D. 或8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平移，正确分类计算是解题的关键．分向左平移和向右平移两种情况解答即可． 【详解】解：当向右平移距离为2时，； 当向左平移距离为2时，， 故选：D． 7. 不等式的解集在数轴上的可以表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据大于方向向右，小于方向向左，有等号，数用实点覆盖，无等号，数用空心圆圈覆盖，解答即可． 本题考查了不等式解集的数轴表示，正确掌握解集表示法是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得的解集为， 表示为 故选：D． 8. 为促进环保，山西省政府宣布新能源汽车补贴每年递减．年每辆补贴为元，之后每年减少元．小明家计划购车，希望获得补贴不少于元．小明家最晚应在（ ）年购买才能享受不低于元的补贴？ A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】题目主要考查一元一次不等式的应用，理解题意，列出不等式是解题关键． 设2024年为第1年，第n年的年份为，根据题意列出不等式求解即可． 【详解】解：设2024年为第1年，第n年的年份为， 根据题意得： ， 解得：， 因此，第6年对应的年份为， 故选C． 9. 如图，在中，分别以顶点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接，分别与边，相交于点D，E．若，的周长为17，则的周长为（ ） A. 20 B. 21 C. 25 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图作垂直平分线，线段垂直平分线的性质，由作图可知是的垂直平分线，得，，再根据的周长得，进而可求解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，是的垂直平分线， ∴， ∵的周长，即：， ∴的周长． 故选：C． 10. 如图， 在四边形中，，，，，， 动点P从点B 出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A 出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点D 运动，当动点Q到达点D时，动点 P也同时停止运动．设点 P的运动时间为t（秒）． 以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（ ）秒． A. 2或 B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，一元一次方程的应用，分两种情况：①当四边形为平行四边形时，②当四边形为平行四边形时，分别结合平行四边形的性质，列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵，动点同时从点出发，在线段上以每秒的速度向终点运动， ∴运动时间为（秒）， ，的速度为每秒个单位，到达的时间为（秒）， 当在点以及点的左边时，即时， 则， 当在的右边时，即时， 则， 以点、、、为顶点的四边形是平行四边形， ①当四边形为平行四边形时，，， ∴， 解得：； ②当四边形为平行四边形时，，， ∴， 解得， 综合上述，当或时，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形． 故选：C． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 当x ________ 时，分式 有意义． 【答案】≠3 【解析】 【详解】由题意得 x-3≠0, ∴x≠3. 12. 八角窗棂是中国传统建筑中一种极具特色的装饰元素，象征着天地间的和谐，寓意四面八方的吉祥．如图1是某景区的一个正八边形窗棂，其独特的几何美感为景区增添了艺术魅力，图2是该正八边形窗棂的平面示意图，其中正八边形的内角和为______°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和公式，掌握知识点是解题的关键． 根据多边形的内角和公式计算，即可解答． 【详解】解：根据多边形的内角和公式，得 正八边形的内角和为∶． 故答案为： 13. 如果二次三项式是一个完全平方式，那么的值是______． 【答案】3或 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 根据完全平方公式得到得到，然后求解即可． 【详解】解：是一个完全平方式， ∴， ∴， 或． 故答案为3或． 14. 如图，一次函数与一次函数的图象交点，不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了图象法解不等式． 根据图象判断即可． 【详解】解：由图象可知当时，， 即不等式的解集是， 故答案为：． 15. 如图，在四边形中，，，，过点作交的延长线于点．若，，则的长为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，线段垂直平分线的性质与判定，根据题意作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 连接交于点，过点作的垂线，交的延长线于点．根据题意得出，，再由含30度角的直角三角形的性质及勾股定理得出，，，结合图形求解即可． 【详解】解：如图所示，连接交于点，过点作的垂线，交的延长线于点． ∵，， 又∵， ∴． ∴． ∵， ∴，， ∵，， ∴垂直平分．， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：1． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 把下列各式因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式、提公因式法，合并同类型，解题的关键是掌握完全平方和公式和提公因式法． （1）先提取公因式进行计算，再合并同类型，即可得到答案； （2）先提取公因式得到，再用完全平方公式进行计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：原式． 【小问2详解】 原式． 17. 解不等式组：，把解集表示在数轴上．并求其整数解． 【答案】 在数轴上表示解集：，不等式组的整数解为：，，． 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后画数轴表示，再找出不等式组的整数解即可，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键． 【详解】解： ， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为：，，． 18. 下面是一位同学化简代数式的解答过程： 解：原式……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 （1）这位同学的解答，在第_____步出现错误，错误的原因是_____； （2）请你写出正确的解答过程，并在中选一个你喜欢的整数代入求值． 【答案】（1）二；去括号没有变号 （2）；当时，原式的值为（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值， （1）根据分式混合运算顺序和运算法则计算即可判断； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，再把的值代入计算即可； 解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则． 【小问1详解】 解：在第二步出现错误，错误的原因是去括号没有变号， 故答案为：二；去括号没有变号； 【小问2详解】 ， ∵（为整数），且、、， 当时，原式； 当时，原式． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． （1）把向左平移个单位后得到对应的，请画出平移后的； （2）若与关于点O成中心对称，请画出，点的对应点的坐标为（____，____）． （3）若点为内一点，则内部的对应点的坐标为____． 【答案】（1）见解析 （2）作图见解析，， （3） 【解析】 【分析】此题考查了平移和中心对称的作图，准确作图是关键． （1）找到向左平移4个单位后得到对应点，顺次连接即可； （2）找到关于原点对称的，顺次连接即可； （3）由平移方式和关于原点对称的点的坐标特征即可求解． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； ∵， ∴， 故答案为：，； 【小问3详解】 解：∵点为内一点， ∴由题意将向右平移个单位得到，在内， ∴关于原点对称的点即为， 故答案为：． 20. 如图，平行四边形两条对角线，相交于点，是的中点，连接并延长至点，连接，使，连接． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析； （2）12． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，熟知平行四边形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得到，由平行线的性质得到，证明，得到，则可得到，据此可证明四边形是平行四边形． （2）由平行四边形的性质得到，再由勾股定理求出的长，进而得到的长，再根据平行四边形面积计算公式求解即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 【小问2详解】 解：∵是平行四边形， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴． 21. 2025年山西省财政安排亿元支持科技创新，科技创新是推动高质量发展的核心动力，山西省重点研发计划有能源环保、信创、智能化、大健康生物医药、新材料、现代农业等六个领域项目，展现出山西从一个能源型省份向一个绿色生态省份的转变的新姿态．某企业为加快产业转型升级步伐，引进一批A，B新能源型号的机器．已知一台A型机器比一台B型机器每小时多加工2个零件，且一台A型机器加工80个零件与一台B型机器加工60个零件所用时间相等． （1）每台A，B型号的机器每小时分别加工多少个零件？ （2）如果该企业计划安排A，B两种型号的机器共10台一起加工一批该零件，为了如期完成任务，要求这10台机器每小时加工的零件不少于72件，则至少需要安排几台A型机器． 【答案】（1）每台B型号的机器每小时加工6个零件，每台A型号的机器每小时加工8个零件； （2）至少需要安排6台A型机器． 【解析】 【分析】本题考查分式方程，一元一次不等式的应用，理解题意是解题的关键． （1）设每台B型号的机器每小时加工x个零件，则每台A型号的机器每小时加工个零件，根据一台A型机器比一台B型机器每小时多加工2个零件，且一台A型机器加工80个零件与一台B型机器加工60个零件所用时间相等，列出分式方程，即可解答； （2）设需要安排a台A型机器，则需要安排台B型机器，根据该企业计划安排A，B两种型号的机器共10台一起加工一批该零件，为了如期完成任务，要求这10台机器每小时加工的零件不少于72件，列出一元一次不等式，求解即可． 【小问1详解】 解：设每台B型号的机器每小时加工x个零件，则每台A型号的机器每小时加工个零件，依题意，得 解得： 经检验：是原方程的解， ∴ 答：每台B型号的机器每小时加工6个零件，每台A型号的机器每小时加工8个零件． 【小问2详解】 解：设需要安排a台A型机器，则需要安排台B型机器，根据题意得 解得： 答：至少需要安排6台A型机器． 22. 阅读下列材料并完成任务． 三角形的旁心 三角形一个内角的平分线和其他两个内角的外角平分线的交点，称为三角形的旁心，每个三角形有三个旁心．如图1，的平分线与另外两个内角，的外角平分线相交于点O，则点O是的一个旁心． 旁心与三角形的半周长（即周长的一半）关系密切，如图2，过的旁心O分别作于点D，交的延长线于点E，交的延长线于点F，则．下面是部分证明过程： ∵平分，，， ∴．（依据1） 同理可得，． ∵，∴（依据2）∴ …… 任务： （1）上述证明过程中的“依据1”是______；“依据2”是______； （2）请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分； （3）如图，在中，，点是的一个旁心且在边的下方． ①利用尺规作出旁心；（保留作图痕迹，不写作法） ②若，，则=_______． 【答案】（1）角平分线上的点到这个角两边的距离相等；； （2）见解析； （3）①见解析；②． 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的性质定理和作答即可； （2）根据角平分线的性质定理同理可得，根据角的和差计算即可； （3）①利用尺规作出的平分线，外角的平分线，交点即是旁心I； ②作交延长线于F，由30度角的性质得到，证明是等腰直角三角形，可知，根据角平分线的定义求出，设，求出，可知，根据勾股定理计算即可． 【小问1详解】 解：上述证明过程中的“依据1”是角平分线上的点到这个角两边的距离相等；依据2是：， 故答案为：角平分线上的点到这个角两边的距离相等；； 【小问2详解】 解：同理可得， ∴ ； 【小问3详解】 ①解：如图：旁心I即为所求； ②解：如图所示，作交延长线于F， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴是等腰直角三角形 ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 设，则， ∴，即， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，尺规作图，全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． 23. 综合与探究 【问题情景】 一节数学综合实践课上，刘老师与同学们以“线段的旋转”为背景进行了探究，具体如下： 已知：如图1，在中，，，点是边上的一点（不与A、重合），连接，将沿绕点按逆时针方向旋转得到，连接． 【猜想证明】 （1）如图2，若连接，求证：； 【深入探究】 （2）如图3，若取的中点，连接，且设它们交于点，试判断与的数量关系与位置关系，并说明理由； 方法一：延长到H，使得，连接…… 方法二：延长到H，使得，连接…… 请选择其中一种方法做出解答． （3）如图1，在点的选取过程中，若是等腰三角形时，直接写出的长度． 【答案】（1）见解析；（2），，理由见解析；（3）或． 【解析】 【分析】（1）由中，，，可得，再根据证明，则可得，进而可得，则可得． （2）方法一：延长到H，使得，连接 则可得是的中位线，则，．再根据证明，则可得，，进而可得．由可得， 进而可得．由可得，进而可得． 方法二：如图，延长到H，使得，连接，则可得，则，．再根据证明，则可得，，进而可．由可得．由可得，进而可得. （3）分两种情况：时和时，讨论即可得解． 【详解】（1）∵中，，， ∴， ∵将沿绕点按逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）方法一：如图，延长到H，使得，连接 ∵，是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴与的数量关系与位置关系是，． 方法二：如图，延长到H，使得，连接． ∵，，， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴与的数量关系与位置关系是，． （3）∵中，，， ∴． ①当时，， 则， ， ． ②当时， ． 综上，若是等腰三角形时， 的长度为或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形中位线的判定和性质，熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $