专题02 整式的加减易错压轴题型专训（专项训练）数学新教材北京版七年级下册

专题02 整式的加减易错压轴题型专训（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、多项式的升降幂排列 1 题型二、整式的加减运算 2 题型三、整式加减中的化简求值 3 题型四、整式加减的无关型问题 5 题型五、整式加减的应用 6 题型六、带有字母的绝对值化简问题 8 题型七、整式加减的新定义问题（压轴） 9 题型八、二进制计算问题（压轴） 11 题型九、整式加减的几何无关型问题（压轴） 11 题型十、整式加减的应用综合（压轴） 11 题型十一、整式加减中规律问题（压轴） 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、多项式的升降幂排列 1．关于多项式，下列说法错误的是（   ） A．这个多项式是五次四项式 B．常数项是1 C．它的次数最高项是 D．按x的降幂排列为 【答案】B 【分析】本题考查多项式的相关定义，包括多项式的次数、项数、常数项及降幂排列． 根据多项式的次数、项数、常数项的定义及降幂排列方法逐一分析各选项即可． 【详解】解：∵多项式各项的次数分别为3、5、4、0，且共有四项， ∴该多项式是五次四项式， ∴选项A说法正确，不符合题意； ∵常数项是不含字母的项，此多项式的常数项为， ∴选项B说法错误，符合题意； ∵次数最高的项是次数为5的， ∴选项C说法正确，不符合题意； ∵按x的降幂排列是根据x的次数从高到低排列，各项x的次数依次为3、2、1、0， ∴排列结果为， ∴选项D说法正确，不符合题意； 故选：B． 2．把多项式，按的降幂排列为_______________． 【答案】 【分析】本题考查多项式的降幂排列，把多项式按的降幂排列就是把多项式中的单项式按的指数从高到低排列． 【详解】解：把多项式，按的降幂排列， 可得：． 故答案为：． 3．已知关于，的多项式（，为正整数且的指数不相同）是按的降幂排列的五次四项式，则的值为_________． 【答案】1 【分析】本题考查了将多项式按某个字母升幂（降幂）排列问题，多项式系数、指数中字母求值，理解题意得到m，n的关系式是解题的关键． 由多项式为五次四项式且按x降幂排列，最高次项次数为5，可知；再根据各项系数非零，可知；然后根据是按x的降幂排列递减，可知；结合m，n为正整数，求得m，n的值，代入计算即可． 【详解】解：∵多项式是按的降幂排列的五次四项式， ∴最高次项的次数为，且， ∴，且，， 又∵m，n为正整数， ∴，， ． 故答案为：1． 4．已知多项式是关于、的四次三项式． (1)直接写出 ； (2)将此多项式按的升幂重新排列． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查多项式的项与次数，绝对值，掌握知识点是解题的关键． （1）根据多项式的定义，列出方程且，求解即可； （2）根据多项式按的升幂重新排列即可． 【详解】（1）解：∵多项式是关于、的四次三项式， ∴且， 解得且， ∴． （2）∵ ∴ ． 题型二、整式的加减运算 5．若，互为相反数，则化简的结果为（   ） A． B．0 C． D． 【答案】B 【分析】利用  和 互为相反数的关系，即 ，代入表达式化简，或直接提取公因式后利用求解. 【详解】解：∵  和 互为相反数， ∴. 原式 = 　 ∵， ∴ 原式. 【点睛】本题考查了相反数，整式的混合运算，熟知互为相反数的两个数相加得0是解题的关键. 6．某同学做多项式减法运算时，将减去误认为是加上，求得的答案是（其他运算无误），那么正确的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据错误操作求出原多项式，再进行正确减法运算． 【详解】解：设原多项式为， ∵误加上得， ∴， ∴， ∴正确结果应为， 故选：B． 7．若，则________． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减运算，根据题意可知，再根据整式加减的运算法则即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 8．计算与化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减混合运算，熟练掌握整式加减混合运算法则是解题的关键． （1）合并同类项，即可求解； （2）利用整式的加减混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型三、整式加减中的化简求值 9．先化简，再求值：，其中，． 【答案】；6 【分析】先去小括号，再去中括号，然后合并同类项，再把a，b的值代入化简后的式子进行计算，即可求解． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 10．先化简，再求值：的值，其中． 【答案】，54 【分析】先去括号，再合并同类项，得到化简后的结果，再根据，由非负数的性质求出，然后代入化简后的代数式即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， 即， 解得， ∴原式． 11．已知多项式A：，多项式B：． (1)化简； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减化简求值，关键是熟练应用运算法则进行计算； （1）根据整式的加减运算法则进行计算即可； （2）整体代入化简后的代数式求值即可． 【详解】（1）解：∵多项式A：，多项式B：， ∴ ； （2）解：当时， ． 12．已知． (1)求的值； (2)若，求的值； (3)在（2）条件下，若，且，求的值． 【答案】(1)； (2)或或或； (3) 【分析】本题考查整式的加减运算、绝对值与平方根的性质及分类讨论思想，关键是熟练运用整式加减法则化简代数式，根据绝对值和平方的非负性求解未知数的所有可能值，并结合附加条件筛选出符合的取值． （1）先将、代入，利用乘法分配律去括号，再合并同类项得到化简结果； （2）根据绝对值的性质解方程得到的两个可能值，根据平方根的定义求出的两个可能值，再分四种组合计算的所有可能结果； （3）由得出，结合确定、的唯一符合条件的取值，再代入（1）中化简后的的表达式计算最终结果． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴或， 解得或； ∵， ∴或； 分情况计算： 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 故的值为：或或或； （3）解：∵， ∴，即； 又∵， ∴与同号，且； 由（2）知的可能值为，，的可能值为，； ∴，； 当，时，． 题型四、整式加减的无关型问题 13．已知代数式：． (1)当时，求的值； (2)若的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减，绝对值非负性和偶次方非负性，整式加减中的无关型问题，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据绝对值非负性和偶次方非负性求出，的值，再由整式的加减计算法则化简，然后代入求解即可； （2）根据（1）所求得到，根据的值与的取值无关，即含的项的系数为进行求解即可． 【详解】（1）解：因为， 所以， 解得． 又因为， 所以 ， 当时， ； （2）解：由（1）知， 又的值与的取值无关， ，解得． 14．对于有理数a，b，规定一种新的运算：． 例如，． (1)计算：； (2)若的值与m的取值无关，求n的值． 【答案】(1) (2)n的值为． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，整式的加减． （1）根据新定义可得，据此计算求解即可； （2）先根据新定义计算得到，根据的值与m的取值无关，得到，据此计算即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，∴； （2）解：∵， ∴ ， ∵的值与m的取值无关， ∴， 解得， ∴n的值为． 15．七年级某班同学学完合并同类项这节课后，数学老师给大家布置了一道题，如果多项式是关于x的多项式，且这个式子的值与x的取值无关， (1)请你求出m、n的值． (2)请你求出的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关问题，代数式求值； （1）先合并同类项，再根据题意得，，求出答案； （2）将字母的值，代入代数式求值，即可求解． 【详解】（1）解：原式， 由题意可知，， 解得； （2）解：当时， ． 16．已知关于x、y的多项式与多项式． (1)当时，多项式A是几次几项式：______． (2)当，时，计算； (3)如果A与的差中不含和y，求的值． 【答案】(1)二次三项式 (2) (3) 【分析】（1）依据多项式的次数与项数的定义进行判断，多项式的次数为最高次项的次数，项数为多项式中单项式的个数． （2）代入给定的与的值得到多项式和，再通过合并同类项完成整式的加法运算． （3）先求出与的差，根据差中不含某一项则该项系数为的性质，求出和的值，进而计算的值． 【详解】（1）解：∵多项式，且， ∴该多项式的最高次是2，包含3个单项式， ∴多项式A是二次三项式 （2）解：当，时 ， （3）解： ∵与的差中不含项和项， ∴，， 解得，， ∴． 题型五、整式加减的应用 17．十一黄金周期间，某景点门票价格为：成人票每张50元，儿童票每张20元，甲旅行团有x名成人和y名儿童；乙旅行团的成人数是甲旅行团的2倍，儿童数是甲旅行团的． (1)甲、乙两个旅行团在该景点的门票费用分别为多少？（用含x、y的代数式表示）． (2)若，，求两个旅行团门票费用的总和． 【答案】(1)甲：元；乙：元 (2)两个旅行团门票费用的总和为1680元 【分析】（1）根据“总费用=成人票费用+儿童票费用”结合甲乙旅行团的人数关系分别列式即可； （2）先计算两个旅行团总费用的代数式，再代入x和y的数值计算得到最终结果． 【详解】（1）解：∵成人票每张50元，儿童票每张20元，甲旅行团有名成人和名儿童， ∴甲旅行团门票费用为元， ∵乙旅行团的成人数是甲旅行团的2倍，儿童数是甲旅行团的， ∴乙旅行团成人数为，儿童数为， ∴乙旅行团门票费用为元； （2）解：两个旅行团门票费用总和为：元， 将，代入得：（元）， 答：两个旅行团门票费用的总和为1680元． 18．如图，公园有一块长为米，宽为a米的长方形土地（一边靠着墙），余下部分设计成花圃，并用篱笆把花圃不靠墙的三边围起来． (1)花圃的宽为 米，花圃的长为 米；（用含a，b的代数式表示） (2)求篱笆的总长度；（用含a、b的代数式表示） (3)若，，篱笆的单价为50元/米，则总费用为多少？ 【答案】(1)， (2)总长度米 (3)总价为950元 【分析】（1）利用图中尺寸计算即可； （2）先根据所给的图形，得出花圃的长和宽，然后根据长方形周长公式求出篱笆总长度； （3）直接将和代入第（2）问所得的式子中，将所得结果乘以篱笆的单价，得出篱笆的总价． 【详解】（1）解：米，米， （2）解：由图可得：花圃的长为米，宽为米； ∴篱笆的总长度为： 米， 答：篱笆的总长度米； （3）解：当，时，篱笆的总长度为（米）， 篱笆的总价为（元）， 答：篱笆的总价为950元． 19．小东同学用若干张长为，宽为的长方形纸片（如图1）拼图，图2是由4张该长方形纸片拼成的一个长方形，图3是在长方形中摆放9张长方形纸片．请你仔细观察所拼图形，解答下列问题． (1)观察图2，直接写出与之间满足的关系式（用的代数式表示）； (2)观察图3，请你用的代数式表示长方形的周长； (3)观察图3，若已知，求图3中5个阴影图形的周长和． 【答案】(1) (2)周长为 (3)5个阴影图形的周长和 【分析】本题主要考查了列代数式，整式加减的应用，代数式求值，理解题意，数形结合是解题的关键． （1）根据图2中长方形的边长，得出答案即可； （2）分别表示出，，再求出长方形的周长即可； （3）分别求出各个部分的周长，然后相加，最后代入数据求值即可． 【详解】（1）解：根据图2可知：与之间满足的关系式为； （2）解：根据图3可知：，， 长方形的周长为； （3）解：图3中5个阴影图形的周长和为： ， 把代入得：（） 答：5个阴影图形的周长和． 20．对联是中华传统文化的瑰宝，由上联、下联和横批三部分组成．如图①，上联（阴影部分）装裱后，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为侧边，一般情况下，天头长是上联长的，地头长是天头长的，侧边宽是天头长的，左、右的侧边宽相等．如图②，若上联长为，宽为． (1)上联装裱后的天头长为_________，地头长为________，侧边宽为________； (2)求上联装裱后的周长（用含，的代数式表示），并求出当时，上联装裱后的周长． 【答案】(1) (2)当时，上联装裱后的周长为 【分析】本题考查整式加减的应用，关键是正确地列代数式； （1）根据“天头长是上联长的，地头长是天头长的，侧边宽是天头长的”列代数式即可； （2）列代数式表示出装裱后的长和宽，再求周长即可； 【详解】（1）解：∵天头长是上联长的，地头长是天头长的，侧边宽是天头长的， ∴天头长为，地头长为：，侧边宽为：， 故答案为：； （2）解：上联装裱后的长为：， 上联装裱后的宽为：， ∴上联装裱后的周长为：． 当时，， 答：当时，上联装裱后的周长为． 题型六、带有字母的绝对值化简问题 21．、、三个有理数在数轴上对应点的位置如图所示，化简式子：（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的化简，整式的加减运算，掌握数轴上点的符号化简绝对值，整式的加减运算法则是关键． 根据题意得到，根据整式的加减运算求解即可． 【详解】解：根据题意，，且， ， ． 故选：C． 22．有理数a，b，c均不为0，且，设，则代数式的值为（   ） A．0或1 B． C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查绝对值化简、有理数乘方及代数式求值，根据推导等关系，结合的正负性确定的取值，再代入计算代数式的值． 【详解】解：∵ ∴，， ∴ ∵有理数均不为0，且 ∴不能全正或全负，仅存在两正一负或两负一正两种情况 ①当为两正一负时，，∴ ②当为两负一正时，，∴ ∵2026是偶数 ∴，或 ∴ 故选：D． 23．已知，且，则m的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值，有理数的混合运算，体现了分类讨论的数学思想，由可得 ，，，代入 的表达式化简为 ，根据 的符号情况（由于，不能全正或全负），分类讨论所有可能组合，计算的值，并比较得出最小值． 【详解】解：由 ，得 ，，， 代入原式得：，其中 、、 的值取决于对应变量的符号，可能为 1 或 ， 由于，不能全正或全负，需分情况讨论： 当两个正一个负时： 若 ，则 ， 若 ，则 ， 若 ，则 ， 当两个负一个正时： 若 ，则 ， 若 ，则 ， 若 ，则 ， 比较所有值，的最小值为． 故答案为：． 24．在学习一个数的绝对值过程中，化简时，可以这样分类：当时，，当时，；当时，．请用这种方法解决下列问题． (1)当时，则 ；当时，则 ． (2)已知，是有理数，当时，试求的值． (3)已知，，都不等于零，且的最大值是，最小值为，求的值． 【答案】(1)1； (2)2或 (3) 【分析】此题主要考查了绝对值的意义和有理数的混合运算， （1）直接将，代入求出答案； （2）分或两种情况求解即可； （3）分类讨论求出的值，从而得出，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：当时，则； 当时，则． 故答案为：；； （2）解：因为， 所以，异号． 当时，， 所以． 当时，， 所以． 综上可知，的值为2或； （3）解：a，b，c同正，原式； a，b，c同负，原式； a，b，c两正一负，不妨设， 原式； a，b，c两负一正，不妨设，原式． 因为的最大值是，最小值为， 所以， 所以． 题型七、整式加减的新定义问题（压轴） 25．定义一种新运算“”，规定：，例如：．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查新定义运算的理解和应用，以及整体代入思想．根据新运算“”的定义，将转化为常规的代数运算，再结合已知条件进行计算即可． 【详解】解：由题意可得，， ， 原式， 故选：． 26．定义一种新运算：．如：．若的值与的取值无关，则的值为（    ） A． B． C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查整式加减中的无关型问题，先根据新运算规则展开代数式，再根据代数式的值与x无关时x的系数为0求出k，最后代入计算结果即可． 【详解】解：∵根据新运算定义，， ∴展开得：． ∵该式的值与x的取值无关， ∴x的系数． ∴解得． 将代入，得． 故选：A． 27．对于任意有理数，，定义一种新运算，规定：，例：．则的化简结果为______． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，整式的加减，根据新运算的定义，从左到右依次计算即可，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ； ∴ ， 故答案为：． 28．我们规定：对于任意有理数a，b，定义新运算“”为：． 请根据定义完成下列问题： (1)计算：______；______．______；______． (2)观察（1）的结果，请判断在有理数的“”运算中交换律和结合律是否仍适用？若适用，请说明理由； (3)若，求有理数x的值． 【答案】(1)3，3，19，9 (2)“”运算中交换律仍适用，结合律不一定适用，理由见详解 (3) 【分析】（1）依次根据题目中的定义新运算的规则进行计算即可； （2）根据题目中的定义新运算的规则分别计算和可得；和不一定相等．因此“”运算中交换律仍适用，结合律不一定适用． （3）根据题目中的定义新运算的规则可得，由此可得方程，解方程即可． 【详解】（1）解：； ； ； ． 故答案为：3，3，19，9 （2）解：“”运算中交换律仍适用，结合律不一定适用，理由如下： 由题意得，， ∵， ∴， ∴“”运算中交换律仍适用； ∵ ， ． 当时，，即， 当时，，即， ∴“”运算中结合律不一定适用． （3）解：由题意得， 又∵， ∴， 解得． 【点睛】本题主要考查定义新运算，整式的运算，以及一元一次方程，掌握新运算的运算法则是解题的关键． 题型八、二进制计算问题（压轴） 29．进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统．约定十进制就是逢十进一，二进制就是逢二进一，以此类推，X进制就是逢X进一．如：二进制数等于十进制数的13，六进制数等于十进制数的56．仿照前面进位制的转化，则等于十进制数的________；若一个三位数，其八进制数转化成的十进制数能被7整除，且整式是关于x，y的八次三项式，则满足条件的三位自然数的最大值与最小值的差为________．（） 【答案】 201 241 【分析】根据进位制转换规则，将四进制数每位数字乘以4的相应次幂求和；根据八进制数转换及整除条件、多项式次数和项数条件，列出方程和不等式，求出所有可能的三位数，再计算最大值与最小值的差即可． 【详解】解：计算四进制数转换为十进制数，即： ． 设三位数m的各位数字分别为a，b，c，其中a为1~7的整数，b，c为0~7的整数， 八进制数对应的十进制数为：， ， ∵能被7整除， ∴是7的倍数， ∵整式是关于x，y的八次三项式， ∴最高次项的次数为8， ∴，且第二项系数即， ∵， ∴， 把代入得： ， ∴是7的倍数， ∵， ∴所有满足条件的三位数m为：520，527，644，761， ∴最小值为520，最大值为761， ∴差值为：． 故答案为：201；241． 30．当前计算机常用的数据形式是二进制，二进制数与十进制数之间的转化问题，二进制数的计算问题十分常见．为了区分二进制与十进制的数，我们一般在二进制数的右下角标注2，二进制数可用十进制表示为，同样地，三进制数可用十进制表示为．现有二进制数、三进制数． (1)请通过计算并比较、的大小关系． (2)若一个五进制三位数与一个八进制三位数之和能被13整除（，且a，b均为整数），求a的值． 【答案】(1)，计算见解析 (2)4 【分析】本题考查有理数的混合运算，整式的加减运算，熟练掌握不同进制之间的转化方法，是解题的关键： （1）将转化为十进制数字，比较大小即可； （2）将五进制和八进制转化为十进制，求和后，根据和能被13整除进行求解即可． 【详解】（1）解：， ， ∴； （2），， ， ∵五进制三位数与一个八进制三位数之和能被13整除， ∴能被整除， ∵， ∴当时，能被整除，符合题意； 故． 31．【阅读材料】：进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．可用以下方法将进制数转化为十进制数，如进制表示的数中，右起第一位上的1表示，第二位上的1表示，第三位上的1表示，第四位上的1表示．故，其中．当时，． 结合以上材料，解决下列问题： (1)直接写出下列进制数转化为十进制表示的数： ___________，___________； (2)一个四进制三位数与七进制三位数之和能被8整除（，．且，均为整数），求的值； (3)若一个八进制数与一个六进制数之差为220，则称这两个数互为“坤鹏数”，试判断与是否互为“坤鹏数”（为正整数，且），并说明理由． 【答案】(1)5，13 (2) (3)不是，理由见解析 【分析】本题考查进制数与十进制数的转化及整式的加减运算，解题的关键是掌握进制数转化为十进制数的规则． （1）根据进制数转十进制的规则，展开计算； （2）先将两个进制数转化为十进制数，求和后根据“能被8整除”的条件确定的值； （3）分别将八进制数和六进制数转化为十进制数，计算差值后判断是否等于220． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：5，13； （2）解： ∵四进制三位数与七进制三位数之和能被8整除， ∴就是8的整数倍， ∵．且均为整数， ∴； （3）解：与不互为“坤鹏数” 理由：∵， ， ∴， 当时，， ∵为正整数，且， ∴与不是互为坤鹏数． 32．进制也就是进位制，是人们规定的一种进位方法，对于任何一种进制进制，就表示某一位置上的数运算时是逢进一位．十进制是逢十进一，十六进制是逢十六进一，二进制就是逢二进一，以此类推，进制就是逢进一．为与十进制进行区分，我们常把用进制表示的数a写成． 类比于十进制，我们可以知道：进制表示的数中，右起第一位上的1表示，第二位上的1表示，第三位上的1表示，第四位上的1表示，故，即：转化为十进制表示的数为．如：，．根据材料，完成以下问题： (1)把下列进制表示的数转化为十进制表示的数： ； ； ． (2)若一个五进制三位数与八进制三位数之和能被13整除（，，且a、b均为整数），求a的值； (3)若一个六进制数与一个八进制数之和为666，则称这两个数互为“如意数”，试判断与是否互为“如意数”？若是，求出这两个数；若不是，说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)不是，理由见解析 【分析】本题考查了有理数的混合运算、整式的加减的应用、列代数式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据进制的算法计算即可得解； （2）先表示出和，再求和得出，结合能被13整除且，即可得解； （3）先表示出和，求出，令得出，结合，，即可得解． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：，， ∴， ∵一个五进制三位数与八进制三位数之和能被13整除， ∴能被整除， ∵， ∴； （3）解：与不互为“如意数”，理由如下： ，， ∴， 令， ∴， ∵，， ∴，，不符合题意， ∴与不互为“如意数”． 题型九、整式加减的几何无关型问题（压轴） 33．材料一：数轴上，点、表示的数分别为，，则，两点之间的距离表示为； 材料二：数轴上，点、表示的数分别为，，若点是线段的中点，则此时点所对应的数为． 根据上面的材料解决下面问题： 如图，数轴上，，三点对应的数分别是，，，且，满足，点是线段的中点(其中是原点)． (1)填空： ， ， ； (2)点是数轴上一动点，若，求点对应的数； (3)点从点出发，以每秒个单位长度的速度匀速向左运动；点从点出发，以每秒个单位长度的速度匀速向左运动；点是线段的中点，若点、运动过程中，点到点的距离始终是定值，求的值． 【答案】(1)，，； (2)点对应的数为或； (3) 【分析】（1）利用绝对值与平方的非负性求出、的值，再根据数轴中点坐标公式求出的值； （2）设点对应的数为，根据两点距离公式列出绝对值方程，分三种情况讨论求解，舍去矛盾的解； （3）设运动时间为秒，用含、、的式子表示出点、的坐标，再根据中点公式求出点的坐标，计算的距离，根据距离为定值的条件(含的项系数为)求出速度比． 【详解】（1）解：∵，且，， ∴，， 解得，． ∵点是线段的中点， ∴点对应的数． （2）解：设点对应的数为， ∴，． ∵， ∴， ①当时，方程化为， 解得，与矛盾，舍去； ②当时，方程化为， 解得，符合条件； ③当时，方程化为， 解得，符合条件； 综上，点对应的数为或． （3）解：设运动时间为秒， ∵点从点出发，以每秒个单位长度向左运动，点从点出发，以每秒个单位长度向左运动， ∴秒后点对应的数为，点对应的数为； ∵点是线段的中点， ∴点对应的数为； 则 ∵点到点的距离始终是定值， ∴，即． 34．【知识回顾】 在学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式的值与的取值无关，求的值”．通常的解题方法是：把，看作字母，看作系数合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，则． 【理解应用】 已知代数式，． （1）化简：； （2）若的值与的取值无关，求的值． 【能力提升】 （3）有7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的阴影部分面积为，周长为，左下角的阴影部面积为，周长为，设． ①当时，求． ②当的长变化时，下列代数式值不变的是( ) A．    B．    C．    D． 【答案】（1） （2）   （3）①  ②D 【分析】本题考查整式的混合运算，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． （1）将，，代入中，化简即可； （2）的值与的取值无关，即的系数为0，由此解答即可； （3）①先将表示出来，再将代入求解即可； ②分别计算，，，，判断哪一项与的取值无关即可． 【详解】解：（1） ． （2） 又的值与的值无关   ，． （3）①∵阴影部分的面积=大长方形的面积－7个小长方形的面积， ． 当时，． ②由①得，； ； ； ； 与的取值无关． 故选：D． 35．【问题背景】 如图1，有一长，宽的长方形电脑屏幕，动点以每秒2个单位从向运动，同时点以每秒个单位从向运动，设点的运动时间为秒，连接． 【初步探究】 （1）当，时，求四边形的面积 （2）当为何值时，四边形的面积与的取值无关： 【拓展提升】 （3）如图2，若点每运动1秒，电脑屏幕的区显示的结果就会自动加上2，同时区的结果会自动将整个代数式乘以2，且均显示化简后的结果．已知两区初始显示的分别是和，若，试比较区、区显示的结果哪个大，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）N区显示的结果大，理由见解析 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，整式加减中的无关型问题，代数式求值，正确理解题意和熟知整式的加减计算法则是解题的关键． （1）求出此时的长，再根据列式求解即可； （2）同（1）求出，根据面积与t无关可得，据此可得答案； （3）根据题意求出时，M区和N区的结果，再利用作差法求解即可． 【详解】解：（1）当，时，， ∴， ∴ ； （2）由题意得，， ∴， ∴ ， ∵四边形的面积与的取值无关， ∴， ∴； （3）N区显示的结果大，理由如下： 由题意得，当时，， ， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴N区显示的结果大； 36．已知，两点在数轴上所表示的数分别为，，有一个玩具火车按如图所示放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，记火车移动后对应的位置为．当点移动到点时，点所对应的数为，当点移动到点时，点所对应的数为．当玩具火车匀速向右移动时，火车从车头到车尾完全经过点需要2秒． (1)玩具火车的长为________个单位长度；玩具火车的速度为每秒________个单位长度；点所对应的数为_____； (2)在数轴上放置与大小相同的火车，使点与点重合，火车和在数轴上分别从点和点同时出发向右移动，记火车移动后对应的位置为．火车的速度为5个单位长度/秒，求几秒后两火车的处与处相距7个单位长度； (3)当火车匀速向右移动，同时点和点分别从，出发，分别以每秒1个单位长度和2个单位长度的速度沿数轴向左和向右移动，点、间的距离用表示，点、间的距离用表示，是否存在有理数使得的值与它们的运动时间无关？若存在，请直接写出和这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)秒后两火车的处与处相距7个单位长度 (3)存在有理数使得的值与它们的运动时间无关，且，定值为 【分析】本题考查了数轴上的点表示有理数，数轴上点的平移，数轴上两点之间的距离，解方程，整式计算中的无关问题，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）设初始位置处表示的数为，初始位置处表示的数为，火车的长度为， 根据题意得，，求出，即可得到答案； （2）设处表示的数为，处表示的数为，秒后两火车的处与处相距7个单位长度，则，，根据题意得，求解即可； （3）设火车匀速向右移秒，则，，火车匀速向右移动个单位长度，则，得到，继而得到根据已知表示，令的系数为，求解即可． 【详解】（1）解：设初始位置处表示的数为，初始位置处表示的数为，火车的长度为， 根据题意得，， ， ； 小火车的速度为个单位长度； ， ； 故答案为：； （2）解：设处表示的数为，处表示的数为，秒后两火车的处与处相距7个单位长度， 则，， 根据题意得， ， 解得， 秒后两火车的处与处相距7个单位长度； （3）解：设火车匀速向右移秒，则，，火车匀速向右移动个单位长度， 则， 解得， ， ， ， ， 的值与它们的运动时间无关， ， ， ， 故存在有理数使得的值与它们的运动时间无关，且，定值为． 题型十、整式加减的应用综合（压轴） 37．某市为了增强市民节约用水的意识，自来水公司实行阶梯收费，具体收费标准如下： 每月用水量 收费标准 第一阶梯 不超过10吨 1.8元/吨 第二阶梯 10吨以上至20吨的部分 2.7元/吨 第三阶梯 20吨以上的部分 5.4元/吨 (1)已知小明家6月份用水15吨，则小明家6月份应交水费__________元； (2)已知小亮家7月份用水量为吨，按照第三阶梯交费，则小亮家7月份应交水费__________元（用含的代数式表示）； (3)已知小华家6月份和7月份共用水40吨，其中7月份用水量超过6月份，两月共交纳水费103.5元．小华家6月份，7月份各用水多少吨？ 【答案】(1)31.5 (2)（5.4a－63） (3)6月份用水15吨，7月份用水25吨 【分析】（1）根据第一阶梯每月用水量不超过10吨的收费标准是1.8元/吨，第二阶梯10吨以上至20吨的部分收费标准是2.7元/吨列式计算即可； （2）根据三个阶梯的收费标准，列式化简即可； （3）设小华家6月份用水x吨， 7月份用水吨， 7月份用水量超过6月份，得，则,根据两月共交纳水费103.5元，分当时， 当时，列方程求解即可． 【详解】（1）解：由表可知，每月用水量不超过10吨的收费标准是1.8元/吨，10吨以上至20吨的部分的收费标准为2.7元/吨， 小明家6月份用水15吨，则小明家6月份应交水费 （元）； 故答案为：31.5； （2）解：∵小亮家7月份用水量为吨，按照第三阶梯交费， 第三阶梯20吨以上的部分收费标准为5.4元/吨， ∴ 故答案为：； （3）解：设小华家6月份用水x吨，则7月份用水吨， ∵7月份用水量超过6月份， ∴， 解得，则, 当时，， 解得，舍去； 当时，， 解得，符合题意， ∴， 答：小华家6月份，7月份各用水15吨、25吨． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用——阶梯收费，熟练掌握阶梯收费标准，列式计算，列一元一次方程计算，分类讨论，是解决本题的关键． 38．有一种可计算之间整数相乘的手指算法． 例：计算时，按图1标记数字并摆放手掌．将“7”和“8”对齐摆放，并在它们的上方画一条虚线．在虚线的下方，双手共有5个手指，则以5作为十位数字；在虚线的上方，左手有3个手指，右手有2个手指，取两数乘积作为个位数字（如果乘积满10，则往十位数字进位），即算法为（注：为体现“算理算法”思想，本题填写分析与“算法”时不要化简或计算，如“波浪线”表示“虚线下方共有指头数作为十位数字”）． 【学习算法】 （1）计算时，按上述方法，算法为： ； 【总结算法】 （2）设a，b分别为6～10中的任一整数．在计算时，a在左手，b在右手，则虚线上方左手有 个手指，右手有 个手指；虚线下方双手共有 个手指．则算法为： （用含a，b的代数式表示）． 【探究拓展】 （3）若a，b变为之间整数也有类似的算法，请你探究：如图2标记数字，并按相同方法画出虚线．若在虚线的上方，左、右手分别有m和n个手指．则算法为： （用含m，n的代数式表示）． （4）若a为6～10之间整数，b为16～20之间整数也有类似的算法，请你探究：如图3标记数字，并按相同方法画出虚线．若在虚线的上方，左、右手分别有m和n个手指．则算法为： （用含m，n的代数式表示）． 【答案】（1）； （2），，，； （3）； （4） 【分析】理解新方法是解题关键． 【详解】解：（1）； （2）设a，b分别为6～10中的任一整数．在计算时，a在左手，b在右手，则虚线上方左手有个手指，右手有个手指；虚线下方双手共有个手指．则算法为：（用含a，b的代数式表示）； （3）由题意得虚线的上方，左、右手分别有m和n个手指，则在虚线下方共有个手指，但因为a，b为之间整数，所以算法为：； （4）若在虚线的上方，左、右手分别有m和n个手指，下方则有左右手分别有个手指，，但因为a为6～10之间整数，b为16～20之间整数，则算法为：． 39．某市某公司燃气收费标准如表： 表某市某燃气公司收费标准 收费方式 年用气量（立方米） 费用（元/立方米） 第一档 不超过250的部分 3.4 第二档 超过250且不超过360的部分 4.0 第三档 超过360的部分 5.1 针对多人口家庭的用气需求，该市推出“一户多人口”燃气收费普惠政策： 人口超过4人的家庭，每增加1人，每户每档年用气量增加60立方米． 例如，某居民家有6口人，申请政策后，各档年用气量（立方米）范围调整为： 第一档，不超过370的部分； 第二档，超过370且不超过480的部分； 第三档，超过480的部分． (1)居民甲家有4口人， ①若年用气量为230立方米，则应缴燃气费______元． ②已知居民甲家一年的燃气费为1050元，求居民甲家的年用气量． (2)居民乙家有5口人，年用气量为a立方米，其中a超过360且不超过400．若居民乙家申请普惠政策，相比未申请政策前，一年可节省多少燃气费？（用含a的代数式表示） 【答案】(1)①782；②居民甲家的年用气量为300立方米； (2)居民乙家申请普惠政策，相比未申请政策前，一年可节省元燃气费． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出未申请政策前及申请政策后一年的燃气费． （1）①利用应缴燃气费居民甲家的年用气量，即可求出结论； ②设居民甲家的年用气量为x立方米，根据居民甲家一年的燃气费为1050元，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）根据燃气收费标准，用含a的代数式表示出未申请政策前及申请政策后一年的燃气费，二者作差后，即可求出结论． 【详解】（1）解：①根据题意得：（元）， ∴应缴燃气费782元． 故答案为：782； ②设居民甲家的年用气量为x立方米， ∵（元），（元），， ∴． 根据题意得：， 解得：． 答：居民甲家的年用气量为300立方米； （2）解：根据题意得： 未申请政策前一年的燃气费为 （元）； 申请政策后一年的燃气费为 （元）， ∴（元）． 答：居民乙家申请普惠政策，相比未申请政策前，一年可节省元燃气费． 40．根据以下素材，回答问题： 问题背景 某临河的农场决定在场内使用某种耗材围建养殖基地，现向项目化学习小组征集养殖基地的设计方案． 素材一 如图1，该临河的农场在河岸边有一堵现成的“L”型墙面，墙面另一侧是河流，农场区域其他边上没有墙．已知农场每个拐角都为，即，米，米，米，米，米，米，点，分别在，上．    素材二 初步围建方案有三种． 方案一：如图2，利用墙围建一个长方形养殖区域，利用墙的部分不消耗围栏耗材，下面方案同理； 方案二：如图3，利用墙围建一个长方形养殖区域； 方案三：如图4，利用墙围建一个养殖区域，每个拐角都为    问题一 如果使用方案一进行围建，在可建区域内，最多用去多少米耗材？（即求的最大值，不考虑其他损耗，下面问题同理） 问题二 如果使用方案二进行围建，共用去耗材17米，长方形的长宽都为整数，则该长方形面积最大值与最小值之差为多少平方米？ 问题三 如果使用方案三进行围建，已知米，是比1大的小数；米，是比0大的整数；围建耗材共用去的长度（单位：米）是偶数；直接写出围建耗材共用去的长度（单位：米）的所有情况． 【答案】问题一：14米；问题二：5平方米；问题三：12，14，16，18 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用、一元一次方程的应用、整式加减的应用、长方形的周长与面积，理解题意是解题的关键． 问题一：结合图形的特点求出的长，使用方案一进行围建，以和为边作长方形，耗材最多，再利用长方形的周长减去利用墙的部分的长度即可求解； 问题二：设米，米，根据题意得到，整理得，再结合的取值范围以及，都为整数，求出的值，再利用长方形的面积公式即可求解； 问题三：结合图形的特点求出和的长，计算出围建耗材共用去的长度为米，根据题意可得和，再结合是比0大的整数以及围建耗材共用去的长度（单位：米）是偶数，分别求出对应的值，再根据是比1大的小数，确定的值，即可得出答案． 【详解】解：问题一： 由题意得，（米）， 使用方案一进行围建，以和为边作长方形，耗材最多， 此时耗材为（米）， 答：最多用去14米耗材； 问题二： 设米，米， 则， 整理得：， 由题意得，，， ∵，都为整数， ∴，或，， 当，时，长方形面积为（平方米）； 当，时，长方形面积为（平方米）； ∴长方形面积最大值为21平方米，最小值为16平方米， （平方米）， 答：该长方形面积最大值与最小值之差为5平方米； 问题三： 由题意得，（米）， （米）， ∴（米）， 由题意得，围建耗材共用去的长度为（米）， ∵米，是比1大的小数； ∴， ∵米， ∴， ∵是比0大的整数， ∴或； 当时，围建耗材共用去的长度为米， ∵， ∴， ∵围建耗材共用去的长度（单位：米）是偶数， ∴或或或， 当时，则，符合题意； 当时，则，不符合题意； 当时，则，符合题意； 当时，则，不符合题意； ∴围建耗材共用去的长度（单位：米）可以是12或16； 当时，围建耗材共用去的长度为米， ∵， ∴， ∵围建耗材共用去的长度（单位：米）是偶数， ∴或或或， 当时，则，符合题意； 当时，则，不符合题意； 当时，则，符合题意； 当时，则，不符合题意； ∴围建耗材共用去的长度（单位：米）可以是14或18； ∴综上所述，围建耗材共用去的长度（单位：米）可以是12，14，16，18． 题型十一、整式加减中规律问题（压轴） 41．【综合实践】 数形结合是常见数学思想方法，早在公元前六世纪，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家就用小石子来研究具备图形特点的数，如图，第一行的1，3，6，10…称为三角形数，第二行的1，4，9，16…称为正方形数，第三行的1，5，12，22…称为五边形数．对于一个边形，其第个多边形数，记作，如：．“数海传奇”小组利用软件对多边形数的衍生规律进行了探究，并得出了当，，时，第个多边形数的规律： 名称 图例 第个多边形数 三角形数 正方形数 五边形数 【初步探究】 （1）通过观察“数海传奇”小组总结的，，时，第个多边形数的规律，请写出当时第个多边形数的代数式：________；（请将结果化简后再填入） （2）列举出所有100以内既是三角形数又是正方形数的数：_________； 【深入探究】 （3）按照上表中总结的第个多边形数的规律，若，求出所有满足条件的整数的值的和． 【答案】（1）；（2）和；（3） 【分析】（1）根据当，，时，第个多边形数的规律，可得当时第个多边形数为，化简即可； （2）根据规律，分别写出100以内所有的三角形数和正方形数，即可得出既是三角形数又是正方形数的数； （3）按照上表中总结的第个多边形数的规律，可得 ，则可得，进而可得，由n是正整数，求得x的对应值，最后再求和即可． 【详解】（1）解：通过观察“数海传奇”小组总结的，，时，第个多边形数的规律，当时第个多边形数为． 故答案为：． （2）根据题目中总结的规律，第个三角形数为， 第个正方形数为． 100以内所有的三角形数有：1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91． 100以内所有的正方形数有：1，4，9，16，25，36，49，64，81． ∴所有100以内既是三角形数又是正方形数的数为：1和36． 故答案为：1和36． （3） ， 为正整数，1，3，5，15． ，2，0，． ∴满足条件的值的和为． 【点睛】此题主要考查了图形的变化类问题，要熟练掌握，解答此类问题的关键是首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题． 42．下图的数阵是由全体奇数排成： (1)图中平行四边形框内的九个数之和与中间的数有什么关系？ (2)在数阵图中任意作一类似（1）中的平行四边形，这九个数之和是否能等于2016？说明理由． (3)依据规律这九个数之和能否等于18171呢？若能，请写出这九个数中最大的一个；若不能，请说出理由． 【答案】(1)平行四边形框内的九个数之和是中间的数的9倍 (2)不能，见解析 (3)不能，见解析 【分析】本题考查了数字类规律题，整式的加减，通过数表，寻找数字间的规律并运用这一规律解决问题． （1）应算出平行四边形框内的九个数之和，进而判断与中间的数的关系； （2）任意作一类似（1）中的平行四边形框，仿照（1）的算法，进行简单判断；然后设最框中间的数为未知数，左右相邻的两个数相差，上下相邻的两个数相差，得到这个数的和，再判断能否被整除，且一定是奇数才可以． （3）看所给的数能否被整除，再次判断位置，能不能用平行四边形框出符合题意的数． 【详解】（1）解：∵， 平行四边形框内的九个数之和是中间的数的9倍； （2）解：这九个数之和不能等于2016，理由如下： 不妨设框中间的数为，这九个数按大小顺序依次为： ，，，，，，，，． ∴． ∴平行四边形框内的九个数之和是中间的数的9倍， ∵，是偶数，而数阵所有的数是奇数， ∴这九个数之和不能等于2016； （3）解：不能，理由如下： ∵， ， ∴是第个奇数， ∵数阵每行有个数，， ∴是第行第个数， 而此时无法构成平行四边形框， 因此这九个数之和不能等于18171． 43．将除去零以外的自然数按以下规律排列，根据第一列的奇数行的数的规律，写出第1列第9行的数为_______，再根据第1行的偶数列的规律，写出第3行第6列的数为_____，判断2024所在的位置是第_______行，第_______列． 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 … 第1行 1 4 5 16 17 … 第2行 2 3 6 15 18 第3行 9 8 7 14 19 第4行 10 11 12 13 20 第5行 25 24 23 22 21 第6行 26 … 【答案】 81 34 45 2 【分析】本题主要考查了数字类规律题，明确题意，准确得到规律是解题的关键． 根据题意得到第一列的奇数行的数的规律是第几行就是那个数平方；根据题意第1行第6列的数为，且第6列的数向下依次减小，可得第3行第6列的数为34；又由，可得2024在第45行，向右依次减小，即可求解． 【详解】解：根据题意得：第1列第1行的数为， 第1列第3行的数为， 第1列第5行的数为， 由此得到第一列的奇数行的数的规律是第几行就是那个数平方， ∴第1列第9行的数为9的平方，即：； 根据题意得：第1行第2列的数为， 第1行第4列的数为， 第1行第6列的数为， ∵第6列的数向下依次减小， ∴第3行第6列的数为34； ∵， ∴2025在第1列第45行， 而奇数行的数往后在递减， ∴2024在2025的后面，即第2列第45行， 故答案为：81；34；45；2． 44．对于正整数a，我们规定：若a为奇数，则；若a为偶数，则．例如，，若，…，依此规律进行下去，得到一列数，…，，…（n为正整数），则 _____． 【答案】2 【分析】本题考查了规律型——数字的变化类问题，解题的关键是寻找规律，利用规律解决问题. 按照规定：若a为奇数，则；若a为偶数，则，直接运算得出前面几个数，进一步找出规律解决问题． 【详解】解：∵， ∴，，，，…， ∴这列数从开始按4，2，1循环， ∵， ∴． 故答案为：2． 1．（25-26七年级上·北京·期末）已知有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，那么下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上点的特点，有理数乘法的符号法则，有理数的大小比较，绝对值的化简等知识点，掌握减法、乘法的符号法则是解决本题的关键． 观察数轴得：，且，从而得到，，，再根据有理数的除法，绝对值的性质解答即可． 【详解】解：观察数轴得：，且， ∴，，，故选项A，B错误； ∴，故选项C错误； ∴，故选项D正确； 故选：D 2．（25-26七年级下·北京东城·期中）我国明朝数学家程大位所著的《算法统宗》中介绍了一种计算乘法的方法，称为“铺地锦”．如图1，计算，首先把乘数31和47分别写在方格的上面和右面，然后以31的每位数字分别乘以47的每位数字，将结果记入对应的格子中（如的12写在3下面的方格里，十位1写在斜线的上面，个位2写在斜线的下面），再把同一斜线上的数相加，结果写在斜线末端，最后把得数依次写下来是1457，即．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，则的值是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查新定义，一元一次方程，根据“铺地锦”定义得出，然后解方程即可，通过读懂题意，理解“铺地锦”的运算法则是解题的关键． 【详解】解：根据“铺地锦”定义可知，如图， ∴， ∴， 故选：B． 3．（24-25七年级下·北京海淀·月考）现有1张大长方形和3张相同的小长方形卡片（大长方形的宽与小长方形的长相等），按如图所示的两种方式摆放，则小长方形的长与宽的差是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查整式加减的应用，解题的关键是理解题意；设小长方形的长为，宽为，由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 由方式一可知大长方形的长为； 由方式二可知大长方形的长为； ∴， ∴， ∴； 故选：D． 4．（25-26七年级上·北京·期中）对任意两个有理数，定义如下运算：．有下列四个结论：；；；若，则．其中所有正确结论的序号是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数混合运算，绝对值化简． 根据新定义运算，逐项计算并判断结论的正确性． 【详解】解：∵ ， ，正确； ，当 时 ，错误； ，，，正确； ，，由 得 或 ，或，错误。 ∴ 正确结论为． 故选：B． 5．（25-26七年级上·北京·期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图，化简______． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值、数轴、整式的加减，记住正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零．首先判断出，然后根据绝对值的定义化简，合并同类项即可求解． 【详解】解：根据题意可知，，， 那么， ∴ 故答案为：． 6．（25-26七年级上·北京朝阳·期中）（1）__________； （2）若一个多项式减去等于，则这个多项式是______________； （3）若，则的化简结果是_______．（用含有、的代数式表示） 【答案】 / / / 【分析】本题考查了整式的加减，绝对值的化简， （1）根据去括号法则进行运算即可； （2）根据等式的性质，通过减数和差相加求多项式即可； （3）依据绝对值的代数意义，结合已知条件判断的符号，进而化简． 【详解】解：（1）原式， 故答案为：； （2）， 则这个多项式为； 故答案为：； （3）因为，且，所以， 因此． 故答案为：． 7．（25-26七年级上·北京昌平·期中）对于任意正整数a，b定义一种新运算：．比如，则，，那么的结果是______． 【答案】 【分析】本题考查数字类规律探究，根据新定义运算的规律得到，将2026转化为，即可求解． 【详解】解：由和， 可得． 因为，所以． 故答案为：． 8．（25-26七年级上·北京·期末）如图，点为原点，、为数轴上两点，，且，点从点开始以每秒个单位的速度向右运动，当点开始运动时，点、分别以每秒个单位和每秒个单位的速度同时向右运动，设运动时间为秒． （1）当时，______________ ； （2）若的值在某段时间内不随着t的变化而变化，则______________ ． 【答案】 或0 【分析】（1）根据移动的时间，求出移动后点，点P在数轴上所表示的数，再根据数轴上两点距离的计算方法进行计算即可； （2）用含有的代数式表示移动后点，点，点P所表示的数，进而得到，，，由的值与无关求出的值． 【详解】解：（1）点为原点，、为数轴上两点，，且， ，， 数轴上点所表示的数为，点所表示的数为， 当时，点点对应的数为，点点对应的数为， ， 故答案为：； （2）设移动的时间为，则移动后点所表示的数为，点所表示的数为，点所表示的数为， ，，， 当时，， 若的值与的取值无关， 则， 解得：， 当时，， 若的值与的取值无关， 则， 解得：； 故答案为：或0． 9．（25-26七年级上·北京·期末）先化简，再求值：，其中 【答案】，10 【分析】本题考查了整式的加减-化简求值．熟练掌握去括号法则，合并同类项法则是解题的关键．原式去括号合并得到最简结果，把m，n的值代入计算即可． 【详解】解： ， 代入得：原式． 10．（25-26七年级上·北京海淀·期末）小聪同学遇到这样一道题目：“已知，求的值．” 由题目中的已知条件不能求出和的值．小聪同学对进行如下变形： ． 小聪同学把作为一个整体解决问题，原式． 请仿照上面的解题方法，解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减，以及整体代入法求代数式的值． (1)整理多项式可得：原式，再利用整体代入法求代数式的值； (2)整理多项式可得：原式，再利用整体代入法求代数式的值． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：，， ∴ ． 11．（25-26七年级上·河南郑州·月考）若一个两位数的十位和个位上的数字分别为和，我们可将这个两位数记为，类似的，一个三位数的百位、十位和个位上的数字分别为，和，则这个三位数可记为． (1)若，则 ；若，则 ； (2)试探究一定能被哪个大于1 的整数整除，写出结论并说明理由； (3)老师提出：末两位是25的任何数都能被25整除．你知道为什么吗？请解释其中的道理． 【答案】(1)67；； (2)能被11整除，理由见解析； (3)见解析． 【分析】本题考查了有理数加减混合运算的应用，数的整除，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． （1）依据题意直接得解； （2）由，即可得解； （3）设一个数末两位为，其他位数为，则这个数可表示为，能被25整除，也能被25整除，即可得解． 【详解】（1）解：当时， ； 当时， ； 故答案为：67；； （2）解：能被11整除，理由如下： ， ∴能被11整除； （3）解：由一个数末两位为25，设其他位数为，则这个数可表示为， ∵，且为整数， ∴能被25整除， ∴末两位是25的任何数均能被25整除． 12．（25-26八年级上·北京西城·月考）如果整式A与整式B的和为有理数a，我们称A，B为数a的“关联整式”．例如和为数1的“关联整式”：和为数7的“关联整式”． (1)和为数 的“关联整式”； (2)若和B为数1的“关联整式”，，求代数式B； (3)若关于x的整式与为数n的“关联整式”，求有理数n的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将两式相加即可求解； （2）根据题干新定义得到，据此求解； （3）由题意得，再整理求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 即为数的“关联整式”； （2）解：由题意得， ； （3）解：由题意知，， 即， ∴， 解得 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 整式的加减易错压轴题型专训 目录 A题型建模・专项突破 题型一、多项式的升降幂排列 1 题型二、整式的加减运算 2 题型三、整式加减中的化简求值 3 题型四、整式加减的无关型问题 5 题型五、整式加减的应用 6 题型六、带有字母的绝对值化简问题 8 题型七、整式加减的新定义问题（压轴） 9 题型八、二进制计算问题（压轴） 11 题型九、整式加减的几何无关型问题（压轴） 11 题型十、整式加减的应用综合（压轴） 11 题型十一、整式加减中规律问题（压轴） 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、多项式的升降幂排列 1．关于多项式，下列说法错误的是（   ） A．这个多项式是五次四项式 B．常数项是1 C．它的次数最高项是 D．按x的降幂排列为 2．把多项式，按的降幂排列为_______________． 3．已知关于，的多项式（，为正整数且的指数不相同）是按的降幂排列的五次四项式，则的值为_________． 4．已知多项式是关于、的四次三项式． (1)直接写出 ； (2)将此多项式按的升幂重新排列． 题型二、整式的加减运算 5．若，互为相反数，则化简的结果为（   ） A． B．0 C． D． 6．某同学做多项式减法运算时，将减去误认为是加上，求得的答案是（其他运算无误），那么正确的结果是（    ） A． B． C． D． 7．若，则________． 8．计算与化简： (1)； (2)． 题型三、整式加减中的化简求值 9．先化简，再求值：，其中，． 10．先化简，再求值：的值，其中． 11．已知多项式A：，多项式B：． (1)化简； (2)当时，求的值． 12．已知． (1)求的值； (2)若，求的值； (3)在（2）条件下，若，且，求的值． 题型四、整式加减的无关型问题 13．已知代数式：． (1)当时，求的值； (2)若的值与的取值无关，求的值． 14．对于有理数a，b，规定一种新的运算：． 例如，． (1)计算：； (2)若的值与m的取值无关，求n的值． 15．七年级某班同学学完合并同类项这节课后，数学老师给大家布置了一道题，如果多项式是关于x的多项式，且这个式子的值与x的取值无关， (1)请你求出m、n的值． (2)请你求出的值． 16．已知关于x、y的多项式与多项式． (1)当时，多项式A是几次几项式：______． (2)当，时，计算； (3)如果A与的差中不含和y，求的值． 题型五、整式加减的应用 17．十一黄金周期间，某景点门票价格为：成人票每张50元，儿童票每张20元，甲旅行团有x名成人和y名儿童；乙旅行团的成人数是甲旅行团的2倍，儿童数是甲旅行团的． (1)甲、乙两个旅行团在该景点的门票费用分别为多少？（用含x、y的代数式表示）． (2)若，，求两个旅行团门票费用的总和． 18．如图，公园有一块长为米，宽为a米的长方形土地（一边靠着墙），余下部分设计成花圃，并用篱笆把花圃不靠墙的三边围起来． (1)花圃的宽为 米，花圃的长为 米；（用含a，b的代数式表示） (2)求篱笆的总长度；（用含a、b的代数式表示） (3)若，，篱笆的单价为50元/米，则总费用为多少？ 19．小东同学用若干张长为，宽为的长方形纸片（如图1）拼图，图2是由4张该长方形纸片拼成的一个长方形，图3是在长方形中摆放9张长方形纸片．请你仔细观察所拼图形，解答下列问题． (1)观察图2，直接写出与之间满足的关系式（用的代数式表示）； (2)观察图3，请你用的代数式表示长方形的周长； (3)观察图3，若已知，求图3中5个阴影图形的周长和． 20．对联是中华传统文化的瑰宝，由上联、下联和横批三部分组成．如图①，上联（阴影部分）装裱后，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为侧边，一般情况下，天头长是上联长的，地头长是天头长的，侧边宽是天头长的，左、右的侧边宽相等．如图②，若上联长为，宽为． (1)上联装裱后的天头长为_________，地头长为________，侧边宽为________； (2)求上联装裱后的周长（用含，的代数式表示），并求出当时，上联装裱后的周长． 题型六、带有字母的绝对值化简问题 21．、、三个有理数在数轴上对应点的位置如图所示，化简式子：（   ） A． B． C． D． 22．有理数a，b，c均不为0，且，设，则代数式的值为（   ） A．0或1 B． C．或 D． 23．已知，且，则m的最小值是______． 24．在学习一个数的绝对值过程中，化简时，可以这样分类：当时，，当时，；当时，．请用这种方法解决下列问题． (1)当时，则 ；当时，则 ． (2)已知，是有理数，当时，试求的值． (3)已知，，都不等于零，且的最大值是，最小值为，求的值． 题型七、整式加减的新定义问题（压轴） 25．定义一种新运算“”，规定：，例如：．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 26．定义一种新运算：．如：．若的值与的取值无关，则的值为（    ） A． B． C．6 D． 27．对于任意有理数，，定义一种新运算，规定：，例：．则的化简结果为______． 28．我们规定：对于任意有理数a，b，定义新运算“”为：． 请根据定义完成下列问题： (1)计算：______；______．______；______． (2)观察（1）的结果，请判断在有理数的“”运算中交换律和结合律是否仍适用？若适用，请说明理由； (3)若，求有理数x的值． 题型八、二进制计算问题（压轴） 29．进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统．约定十进制就是逢十进一，二进制就是逢二进一，以此类推，X进制就是逢X进一．如：二进制数等于十进制数的13，六进制数等于十进制数的56．仿照前面进位制的转化，则等于十进制数的________；若一个三位数，其八进制数转化成的十进制数能被7整除，且整式是关于x，y的八次三项式，则满足条件的三位自然数的最大值与最小值的差为________．（） 30．当前计算机常用的数据形式是二进制，二进制数与十进制数之间的转化问题，二进制数的计算问题十分常见．为了区分二进制与十进制的数，我们一般在二进制数的右下角标注2，二进制数可用十进制表示为，同样地，三进制数可用十进制表示为．现有二进制数、三进制数． (1)请通过计算并比较、的大小关系． (2)若一个五进制三位数与一个八进制三位数之和能被13整除（，且a，b均为整数），求a的值． 31．【阅读材料】：进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．可用以下方法将进制数转化为十进制数，如进制表示的数中，右起第一位上的1表示，第二位上的1表示，第三位上的1表示，第四位上的1表示．故，其中．当时，． 结合以上材料，解决下列问题： (1)直接写出下列进制数转化为十进制表示的数： ___________，___________； (2)一个四进制三位数与七进制三位数之和能被8整除（，．且，均为整数），求的值； (3)若一个八进制数与一个六进制数之差为220，则称这两个数互为“坤鹏数”，试判断与是否互为“坤鹏数”（为正整数，且），并说明理由． 32．进制也就是进位制，是人们规定的一种进位方法，对于任何一种进制进制，就表示某一位置上的数运算时是逢进一位．十进制是逢十进一，十六进制是逢十六进一，二进制就是逢二进一，以此类推，进制就是逢进一．为与十进制进行区分，我们常把用进制表示的数a写成． 类比于十进制，我们可以知道：进制表示的数中，右起第一位上的1表示，第二位上的1表示，第三位上的1表示，第四位上的1表示，故，即：转化为十进制表示的数为．如：，．根据材料，完成以下问题： (1)把下列进制表示的数转化为十进制表示的数： ； ； ． (2)若一个五进制三位数与八进制三位数之和能被13整除（，，且a、b均为整数），求a的值； (3)若一个六进制数与一个八进制数之和为666，则称这两个数互为“如意数”，试判断与是否互为“如意数”？若是，求出这两个数；若不是，说明理由． 题型九、整式加减的几何无关型问题（压轴） 33．材料一：数轴上，点、表示的数分别为，，则，两点之间的距离表示为； 材料二：数轴上，点、表示的数分别为，，若点是线段的中点，则此时点所对应的数为． 根据上面的材料解决下面问题： 如图，数轴上，，三点对应的数分别是，，，且，满足，点是线段的中点(其中是原点)． (1)填空： ， ， ； (2)点是数轴上一动点，若，求点对应的数； (3)点从点出发，以每秒个单位长度的速度匀速向左运动；点从点出发，以每秒个单位长度的速度匀速向左运动；点是线段的中点，若点、运动过程中，点到点的距离始终是定值，求的值． 34．【知识回顾】 在学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式的值与的取值无关，求的值”．通常的解题方法是：把，看作字母，看作系数合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，则． 【理解应用】 已知代数式，． （1）化简：； （2）若的值与的取值无关，求的值． 【能力提升】 （3）有7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的阴影部分面积为，周长为，左下角的阴影部面积为，周长为，设． ①当时，求． ②当的长变化时，下列代数式值不变的是( ) A．    B．    C．    D． 35．【问题背景】 如图1，有一长，宽的长方形电脑屏幕，动点以每秒2个单位从向运动，同时点以每秒个单位从向运动，设点的运动时间为秒，连接． 【初步探究】 （1）当，时，求四边形的面积 （2）当为何值时，四边形的面积与的取值无关： 【拓展提升】 （3）如图2，若点每运动1秒，电脑屏幕的区显示的结果就会自动加上2，同时区的结果会自动将整个代数式乘以2，且均显示化简后的结果．已知两区初始显示的分别是和，若，试比较区、区显示的结果哪个大，并说明理由． 36．已知，两点在数轴上所表示的数分别为，，有一个玩具火车按如图所示放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，记火车移动后对应的位置为．当点移动到点时，点所对应的数为，当点移动到点时，点所对应的数为．当玩具火车匀速向右移动时，火车从车头到车尾完全经过点需要2秒． (1)玩具火车的长为________个单位长度；玩具火车的速度为每秒________个单位长度；点所对应的数为_____； (2)在数轴上放置与大小相同的火车，使点与点重合，火车和在数轴上分别从点和点同时出发向右移动，记火车移动后对应的位置为．火车的速度为5个单位长度/秒，求几秒后两火车的处与处相距7个单位长度； (3)当火车匀速向右移动，同时点和点分别从，出发，分别以每秒1个单位长度和2个单位长度的速度沿数轴向左和向右移动，点、间的距离用表示，点、间的距离用表示，是否存在有理数使得的值与它们的运动时间无关？若存在，请直接写出和这个定值；若不存在，请说明理由． 题型十、整式加减的应用综合（压轴） 37．某市为了增强市民节约用水的意识，自来水公司实行阶梯收费，具体收费标准如下： 每月用水量 收费标准 第一阶梯 不超过10吨 1.8元/吨 第二阶梯 10吨以上至20吨的部分 2.7元/吨 第三阶梯 20吨以上的部分 5.4元/吨 (1)已知小明家6月份用水15吨，则小明家6月份应交水费__________元； (2)已知小亮家7月份用水量为吨，按照第三阶梯交费，则小亮家7月份应交水费__________元（用含的代数式表示）； (3)已知小华家6月份和7月份共用水40吨，其中7月份用水量超过6月份，两月共交纳水费103.5元．小华家6月份，7月份各用水多少吨？ 38．有一种可计算之间整数相乘的手指算法． 例：计算时，按图1标记数字并摆放手掌．将“7”和“8”对齐摆放，并在它们的上方画一条虚线．在虚线的下方，双手共有5个手指，则以5作为十位数字；在虚线的上方，左手有3个手指，右手有2个手指，取两数乘积作为个位数字（如果乘积满10，则往十位数字进位），即算法为（注：为体现“算理算法”思想，本题填写分析与“算法”时不要化简或计算，如“波浪线”表示“虚线下方共有指头数作为十位数字”）． 【学习算法】 （1）计算时，按上述方法，算法为： ； 【总结算法】 （2）设a，b分别为6～10中的任一整数．在计算时，a在左手，b在右手，则虚线上方左手有 个手指，右手有 个手指；虚线下方双手共有 个手指．则算法为： （用含a，b的代数式表示）． 【探究拓展】 （3）若a，b变为之间整数也有类似的算法，请你探究：如图2标记数字，并按相同方法画出虚线．若在虚线的上方，左、右手分别有m和n个手指．则算法为： （用含m，n的代数式表示）． （4）若a为6～10之间整数，b为16～20之间整数也有类似的算法，请你探究：如图3标记数字，并按相同方法画出虚线．若在虚线的上方，左、右手分别有m和n个手指．则算法为： （用含m，n的代数式表示）． 39．某市某公司燃气收费标准如表： 表某市某燃气公司收费标准 收费方式 年用气量（立方米） 费用（元/立方米） 第一档 不超过250的部分 3.4 第二档 超过250且不超过360的部分 4.0 第三档 超过360的部分 5.1 针对多人口家庭的用气需求，该市推出“一户多人口”燃气收费普惠政策： 人口超过4人的家庭，每增加1人，每户每档年用气量增加60立方米． 例如，某居民家有6口人，申请政策后，各档年用气量（立方米）范围调整为： 第一档，不超过370的部分； 第二档，超过370且不超过480的部分； 第三档，超过480的部分． (1)居民甲家有4口人， ①若年用气量为230立方米，则应缴燃气费______元． ②已知居民甲家一年的燃气费为1050元，求居民甲家的年用气量． (2)居民乙家有5口人，年用气量为a立方米，其中a超过360且不超过400．若居民乙家申请普惠政策，相比未申请政策前，一年可节省多少燃气费？（用含a的代数式表示） 40．根据以下素材，回答问题： 问题背景 某临河的农场决定在场内使用某种耗材围建养殖基地，现向项目化学习小组征集养殖基地的设计方案． 素材一 如图1，该临河的农场在河岸边有一堵现成的“L”型墙面，墙面另一侧是河流，农场区域其他边上没有墙．已知农场每个拐角都为，即，米，米，米，米，米，米，点，分别在，上．    素材二 初步围建方案有三种． 方案一：如图2，利用墙围建一个长方形养殖区域，利用墙的部分不消耗围栏耗材，下面方案同理； 方案二：如图3，利用墙围建一个长方形养殖区域； 方案三：如图4，利用墙围建一个养殖区域，每个拐角都为    问题一 如果使用方案一进行围建，在可建区域内，最多用去多少米耗材？（即求的最大值，不考虑其他损耗，下面问题同理） 问题二 如果使用方案二进行围建，共用去耗材17米，长方形的长宽都为整数，则该长方形面积最大值与最小值之差为多少平方米？ 问题三 如果使用方案三进行围建，已知米，是比1大的小数；米，是比0大的整数；围建耗材共用去的长度（单位：米）是偶数；直接写出围建耗材共用去的长度（单位：米）的所有情况． 题型十一、整式加减中规律问题（压轴） 41．【综合实践】 数形结合是常见数学思想方法，早在公元前六世纪，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家就用小石子来研究具备图形特点的数，如图，第一行的1，3，6，10…称为三角形数，第二行的1，4，9，16…称为正方形数，第三行的1，5，12，22…称为五边形数．对于一个边形，其第个多边形数，记作，如：．“数海传奇”小组利用软件对多边形数的衍生规律进行了探究，并得出了当，，时，第个多边形数的规律： 名称 图例 第个多边形数 三角形数 正方形数 五边形数 【初步探究】 （1）通过观察“数海传奇”小组总结的，，时，第个多边形数的规律，请写出当时第个多边形数的代数式：________；（请将结果化简后再填入） （2）列举出所有100以内既是三角形数又是正方形数的数：_________； 【深入探究】 （3）按照上表中总结的第个多边形数的规律，若，求出所有满足条件的整数的值的和． 42．下图的数阵是由全体奇数排成： (1)图中平行四边形框内的九个数之和与中间的数有什么关系？ (2)在数阵图中任意作一类似（1）中的平行四边形，这九个数之和是否能等于2016？说明理由． (3)依据规律这九个数之和能否等于18171呢？若能，请写出这九个数中最大的一个；若不能，请说出理由． 43．将除去零以外的自然数按以下规律排列，根据第一列的奇数行的数的规律，写出第1列第9行的数为_______，再根据第1行的偶数列的规律，写出第3行第6列的数为_____，判断2024所在的位置是第_______行，第_______列． 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 … 第1行 1 4 5 16 17 … 第2行 2 3 6 15 18 第3行 9 8 7 14 19 第4行 10 11 12 13 20 第5行 25 24 23 22 21 第6行 26 … 44．对于正整数a，我们规定：若a为奇数，则；若a为偶数，则．例如，，若，…，依此规律进行下去，得到一列数，…，，…（n为正整数），则 _____． 1．（25-26七年级上·北京·期末）已知有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，那么下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·北京东城·期中）我国明朝数学家程大位所著的《算法统宗》中介绍了一种计算乘法的方法，称为“铺地锦”．如图1，计算，首先把乘数31和47分别写在方格的上面和右面，然后以31的每位数字分别乘以47的每位数字，将结果记入对应的格子中（如的12写在3下面的方格里，十位1写在斜线的上面，个位2写在斜线的下面），再把同一斜线上的数相加，结果写在斜线末端，最后把得数依次写下来是1457，即．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，则的值是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．（24-25七年级下·北京海淀·月考）现有1张大长方形和3张相同的小长方形卡片（大长方形的宽与小长方形的长相等），按如图所示的两种方式摆放，则小长方形的长与宽的差是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·北京·期中）对任意两个有理数，定义如下运算：．有下列四个结论：；；；若，则．其中所有正确结论的序号是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·北京·期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图，化简______． 6．（25-26七年级上·北京朝阳·期中）（1）__________； （2）若一个多项式减去等于，则这个多项式是______________； （3）若，则的化简结果是_______．（用含有、的代数式表示） 7．（25-26七年级上·北京昌平·期中）对于任意正整数a，b定义一种新运算：．比如，则，，那么的结果是______． 8．（25-26七年级上·北京·期末）如图，点为原点，、为数轴上两点，，且，点从点开始以每秒个单位的速度向右运动，当点开始运动时，点、分别以每秒个单位和每秒个单位的速度同时向右运动，设运动时间为秒． （1）当时，______________ ； （2）若的值在某段时间内不随着t的变化而变化，则______________ ． 9．（25-26七年级上·北京·期末）先化简，再求值：，其中 10．（25-26七年级上·北京海淀·期末）小聪同学遇到这样一道题目：“已知，求的值．” 由题目中的已知条件不能求出和的值．小聪同学对进行如下变形： ． 小聪同学把作为一个整体解决问题，原式． 请仿照上面的解题方法，解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知，，求的值． 11．（25-26七年级上·河南郑州·月考）若一个两位数的十位和个位上的数字分别为和，我们可将这个两位数记为，类似的，一个三位数的百位、十位和个位上的数字分别为，和，则这个三位数可记为． (1)若，则 ；若，则 ； (2)试探究一定能被哪个大于1 的整数整除，写出结论并说明理由； (3)老师提出：末两位是25的任何数都能被25整除．你知道为什么吗？请解释其中的道理． 12．（25-26八年级上·北京西城·月考）如果整式A与整式B的和为有理数a，我们称A，B为数a的“关联整式”．例如和为数1的“关联整式”：和为数7的“关联整式”． (1)和为数 的“关联整式”； (2)若和B为数1的“关联整式”，，求代数式B； (3)若关于x的整式与为数n的“关联整式”，求有理数n的值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $