广东深圳外国语学校2025-2026学年第二学期高一期末考试数学试题

**基本信息** 深圳外国语学校高一期末数学试卷，围绕三角函数、立体几何、概率统计核心模块，融入人工智能（随机森林）、生态养殖等真实情境，通过分层设问（如翻折问题三问）考查数学眼光、思维与语言，适配期末综合能力评估。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|三角函数终边计算、圆柱与球体积比|基础概念辨析，如线面关系判断| |多项选择题|3/18|频率分布直方图分析、有放回抽样概率|数据意识与逻辑推理，如第9题百分位数估计| |填空题|3/15|复数模的最大值、函数奇偶性与单调性|抽象能力与符号运算，如完美集合概率| |解答题|5/77|随机森林预测概率、扇形区域面积最值、翻折问题线面角|真实情境应用与综合推理，如第19题二面角余弦值（空间观念）|

深圳外国语学校2025~2026学年度第二学期高一期末考试 数学试题 命题：高德凯 审题：金珊珊 本试卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号码等信息填写在答题卡上。 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将答题卡交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知角的终边过点，则（ ） A． B． C． D． 2．已知，，则（ ） A． B． C．2 D．8 3．如图所示，，，为的中点，则为（ ）    A． B． C． D． 4．如图圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的体积之比为（ ） A． B． C． D． 5．设m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下面正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，则 6．异面直线，所成的角为，，，，，垂直于，垂直于，且，，．则可能为（ ） A．1 B． C． D．2 7．已知平面向量，满足，，则的最大值为（ ） A．4 B． C． D．6 8．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，如图所示，，且图中阴影部分的面积为，则（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 9．某高中100位学生成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：．则根据直方图可得（ ） A． B．估计这100名学生成绩的平均分为73 C．估计这组数据的第80百分位数为85 D．若采用样本量比例分配的分层随机抽样从两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取1人，则此人成绩在区间的概率为 10．已知口袋中装有除颜色外完全相同的2个红球和2个白球，从中有放回地随机取2次，每次取1个球.记事件M为“第一次摸到红球”，N为“第二次摸到白球”，Q为“两次摸出的球颜色相同”，则下列说法正确的有（ ） A． B．M与Q互斥 C． D．M与N相互独立 11．如图，在棱长为2的正方体中，E为棱的中点，F为底面内一动点（含边界），则下列说法正确的命题有（ ） A．若平面，则动点F的轨迹长度为 B．不存在动点F，使平面 C．若平面，则三棱锥体积的最大值为2 D．若正方体的外接球为球O，则球O被平面所截截面圆的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知复数满足，则的最大值为______． 13．已知（，）是偶函数，在区间上单调递增．则__________，__________．（第一空2分，第二空3分） 14．若对任意的，都有，则称是完美集合．从集合的所有非空子集中任选1个，该集合不是完美集合的概率是__________． 四、解答题：本题共5小题，15题13分，16题15分，17题15分，18题17分，19题17分，共77分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知函数，，．最小正周期为，且，． (1)求、的值； (2)求的单调递减区间． 16．如图，在正三棱柱中，，为棱的中点. (1)证明：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)求三棱锥的体积. 17．在人工智能算法中，随机森林是将多个模型综合起来创建更高性能模型的预测方法，它选择多个模型预测结果中的多数作为最终结果。 （1）假设某随机森林综合了3个相互独立的模型，每个模型预测的正确率都是0.6，请问使用随机森林后预测正确率是多少？ （2）某随机森林对一批测试样本进行预测，其中正类样本有 20 个，模型输出的平均预测概率为 0.7，方差为 0.02；负类样本有 80 个，平均预测概率为 0.45，方差为 0.005。求全部样本预测概率的总体平均数和总体方差。 18．近年来，某区认真践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向．为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示扇形区域内修建矩形水池，矩形一边在上，点在圆弧上，点在边上，且米，设． (1)求扇形区域的面积； (2)若，求的长； (3)若矩形的面积为，当为何值时， 取得最大值，并求出这个最大值． 19．如图1，在平面五边形中，，，，是正三角形，为中点，将沿翻折到，形成四棱锥，如图2所示．    (1)求证：； (2)当时，求直线与平面所成角的正切值； (3)求平面与平面夹角的余弦值的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $