精品解析：广东韶关市2025-2026学年高一下学期7月期末练习数学试题

2025-2026学年第二学期期末（高一数学）练习 本练习共4页，19小题，满分150分，练习时间120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. A. B. C. D. 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. 5 B. 4 C. 2 D. 1 4. 已知空间中有三条不重合的直线和两个不重合的平面，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 5. 在某次数学测试中，10位同学的得分依次为：80， 84， 80， 95， 88， 89， 86， 88， 97， 88， 这组数据的众数和第75百分位数分别为（ ） A. 80， 88 B. 80， 89 C. 88， 88.5 D. 88， 89 6. 甲、乙两人独立地破译一份密码，已知各人能成功破译的概率分别是和，则密码被成功破译的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，为了测量河对岸的塔的高度，某测量队选取与塔底在同一水平面内且相距约为米的两个测量基点与．现测量得，在点处测得塔顶的仰角分别为，，则塔高约为（ ）米. A. B. C. D. 8. 在中，已知，，，为线段的中点，为线段上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，，则（ ） A. 若，则的虚部为 B. 若复数为纯虚数，则 C. 若，则 D. 若，则在复平面内对应的点在第四象限 10. 某中学高一（3）班有45人，其中男生、女生的人数及其团员人数如下表所示.在班级里随机选一人，事件 “选到男生”， 事件“选到女生”，事件“选到团员”，则（ ） 团员 非团员 合计 男生 15 10 25 女生 12 8 20 合计 27 18 45 A. B. C. 事件与事件互斥 D. 事件与事件相互独立 11. 在中，角的对边分别为，若的外接圆半径为，且，则（ ） A. B. 的面积为 C. 当时， D. 当最小时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量与不共线，向量，，，则_________. 13. 从长度为的条线段中任取条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为__________. 14. 在棱长为的正方体中，，分别为棱的中点，为棱上的点，且，则过，，三点的平面交正方体所得截面的周长为__________. 四、解答题：本题共5小题，共计77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 从某小区抽取户居民进行月用电量调查，发现他们的用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），其频率分布直方图如图所示，其中月用电量超过的居民有户. （1）求和的值； （2）采用样本量比例分配的分层随机抽样从和两组中随机抽取了户居民，现从已抽取的户居民中随机抽取户，求这户居民月用电量不在同一组的概率. 16. 如图，在正四棱柱中，，，为线段中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面. 17. 如图，在△中，点，满足，，边上的中线与交于点.设，. （1）用，表示，； （2）设，，， 求的余弦值； （3）设， 求的值. 18. 在锐角△中， 已知角的对边分别为，且. （1）求证： ； （2）求的最小值； （3）若，求△周长的取值范围. 19. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，， ，. （1）求证：平面⊥平面； （2）求点到平面的距离； （3）在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为? 若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期期末（高一数学）练习 本练习共4页，19小题，满分150分，练习时间120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】 选C 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，化简复数为，结合共轭复数的定义，即可求解. 【详解】由复数，可得，所以． 故选：B． 3. 已知向量，，若，则（ ） A. 5 B. 4 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【详解】由题可得, 因为，则,解得： 4. 已知空间中有三条不重合的直线和两个不重合的平面，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间中线面关系的判定定理依次判断选项即可. 【详解】对于A，若，则与可能平行，可能相交，可能异面，故A错误； 对于B，若，则与可能平行，可能相交，可能异面，故B错误； 对于C，若，，则与可能平行，也可能相交，故C错误； 对于D，若，， 过作平面与交于直线，由线面平行性质得， 由， ，得， 又，，故， 所以，故D正确. 5. 在某次数学测试中，10位同学的得分依次为：80， 84， 80， 95， 88， 89， 86， 88， 97， 88， 这组数据的众数和第75百分位数分别为（ ） A. 80， 88 B. 80， 89 C. 88， 88.5 D. 88， 89 【答案】D 【解析】 【分析】先统计数据中出现次数最多的数得到众数，再将数据从小到大排序，根据百分位数的计算规则确定第75百分位数，即可选出正确选项． 【详解】现将数据排序，80，80，84，86，88，88，88，89，95，97，共个数据， 88出现次数最多，故众数为88， ，故第75百分位数为89． 6. 甲、乙两人独立地破译一份密码，已知各人能成功破译的概率分别是和，则密码被成功破译的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由独立事件概率乘法公式结合对立事件概率公式可得答案. 【详解】由题可得密码不被成功破译的概率为：，则密码被破译概率为：. 7. 如图，为了测量河对岸的塔的高度，某测量队选取与塔底在同一水平面内且相距约为米的两个测量基点与．现测量得，在点处测得塔顶的仰角分别为，，则塔高约为（ ）米. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设塔高米，因为平面， 由平面，所以， 即与均为直角三角形， 在中，，则， 在中，，则， 在中，由余弦定理可得， 即，整理得， 即，解得或（舍去）． 故塔高约为35米． 8. 在中，已知，，，为线段的中点，为线段上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设，因为为线段的中点，所以， ， ， 所以 ， 由二次函数的对称轴可知，当时，取最小值， 所以的最小值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，，则（ ） A. 若，则的虚部为 B. 若复数为纯虚数，则 C. 若，则 D. 若，则在复平面内对应的点在第四象限 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，由虚部定义可判断选项正误；对于B，由纯虚数定义可判断选项正误；对于C，由共轭复数，复数模概念可判断选项正误；对于D，由复数坐标表示可判断选项正误. 【详解】对于A，当时，，则其虚部为1，故A正确； 对于B，当为纯虚数时，，则，故B错误； 对于C，当时，，故C正确； 对于D，由题可得在复平面上对应坐标为，因，则， 则在第二象限，故D错误. 10. 某中学高一（3）班有45人，其中男生、女生的人数及其团员人数如下表所示.在班级里随机选一人，事件 “选到男生”， 事件“选到女生”，事件“选到团员”，则（ ） 团员 非团员 合计 男生 15 10 25 女生 12 8 20 合计 27 18 45 A. B. C. 事件与事件互斥 D. 事件与事件相互独立 【答案】BD 【解析】 【分析】对于AB，直接用古典概型概率的计算方法计算即可；对于C，说明两事件可能同时发生即可，对于D，根据相互独立事件的定义判断即可． 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，事件“选到非团员”，则，故B正确， 对于C，由于存在既是团员也是女生的人，故事件与事件可能同时发生， 从而不是互斥事件，故C错误； 对于D，，， ， 则事件与事件相互独立，故D正确． 11. 在中，角的对边分别为，若的外接圆半径为，且，则（ ） A. B. 的面积为 C. 当时， D. 当最小时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用正弦定理求出的值判断A；由面积公式求出其面积判断B；利用已知条件及三角恒等变换可求得或判断C；由题意可得，由三角恒等变换得，从而得，整理得，求出等号成立时的条件判断D. 【详解】A，由正弦定理可得 所以，故A正确； B，因为，故B正确； C，当时，， 又，所以， 又，所以， 即，整理得， 即，所以， 因为，所以， 所以或，得或， 当时，，此时； 当时，，此时，故C错误； D，因为，要使最小，则最小， 因为,, 所以， 因为, 因为，所以， 即，整理得， 当且仅当时，等号成立，此时最小，即最小，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量与不共线，向量，，，则_________. 【答案】 【解析】 【详解】因为，则存在实数，使得， 则， 且向量与不共线，可得，解得. 13. 从长度为的条线段中任取条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】采用列举法可得所有基本事件和满足题意的基本事件个数，根据古典概型概率公式可得结果. 【详解】从条线段中任取条，则有，，，，，，，，，，共个基本事件； 其中三条线段能够成三角形的基本事件有：，，，共个； 所求概率. 故答案为：. 14. 在棱长为的正方体中，，分别为棱的中点，为棱上的点，且，则过，，三点的平面交正方体所得截面的周长为__________. 【答案】 【解析】 【分析】在线段上取点，画直线交的延长线分别于点，连接交于点，连接交于点，可得六边形即为过点，，的截面，解三角形求其周长即可. 【详解】在线段上取点，使得， 则，所以， 因为，分别为棱的中点，所以，又， 所以， 如图，画直线交的延长线分别于点，连接交于点， 连接交于点，连接，， 则六边形即为过点，，的截面， 因为，所以，又， 所以， 因为，分别为棱的中点，所以， 因为，， 所以，所以， 因为，， 所以，又， 所以，所以，， 所以，， 同理可得，， 所以截面图形的周长为． 四、解答题：本题共5小题，共计77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 从某小区抽取户居民进行月用电量调查，发现他们的用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），其频率分布直方图如图所示，其中月用电量超过的居民有户. （1）求和的值； （2）采用样本量比例分配的分层随机抽样从和两组中随机抽取了户居民，现从已抽取的户居民中随机抽取户，求这户居民月用电量不在同一组的概率. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图可知每组频率，根据频率和为1求的值，根据频率和频数求的值； （2）根据分层抽样求各层人数，利用列举法结合古典概型运算求解. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知每组频率依次为：，，，，，， 则，解得， 又因为月用电量超过的频率为，且居民有户，所以. 【小问2详解】 因为和两组的频率比为， 若随机抽取了户居民，则中有人，设为； 中有人，设为； 若从已抽取的户居民中随机抽取户， 则样本空间， 设这户居民月用电量不在同一组为事件A，则， 可得，，所以这户居民月用电量不在同一组的概率. 16. 如图，在正四棱柱中，，，为线段中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面. 【答案】（1）连接交于点，连接， 因为分别为的中点，所以， 因为平面，平面，所以 平面. （2）因为正四棱柱中，，，为线段中点， 所以， 因为，所以， 因为，所以平面. 【解析】 【分析】（1）作中位线，利用线线平行证明线面平行. （2）利用勾股定理得到，证得线面垂直. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 如图，在△中，点，满足，，边上的中线与交于点.设，. （1）用，表示，； （2）设，，， 求的余弦值； （3）设， 求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用平面向量的线性运算即可求解； （2）利用平面向量的数量积公式即可求解. （3）利用平面向量的线性运算即可求解； 【小问1详解】 M是中点，则. 由得是中点，由得. 因此. 【小问2详解】 由已知，得. 因为， ， ， 所以. 【小问3详解】 因为在上，设. 因为，所以，故. 又在上，设， 由系数相等得，解得， 因此. 18. 在锐角△中， 已知角的对边分别为，且. （1）求证： ； （2）求的最小值； （3）若，求△周长的取值范围. 【答案】（1）已知，由正弦定理，可得， 化简得，因为△为锐角三角形，所以，所以. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将等式边化弦后化简，得到，由锐角三角形确定后得证; （2）利用三角恒等变换将化简为，再结合锐角三角形条件得，最后利用基本不等式得最小值； （3）利用正弦定理将用表示，把周长转化为关于的函数，最后利用的范围求周长的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题， 因为△是锐角三角形，，， 所以，则，所以； 因为， 当且仅当，即时等号成立， 综上所述，最小值为. 【小问3详解】 由（2）可知，即， 因为， 所以， 周长； 因为，所以， 则周长 19. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，， ，. （1）求证：平面⊥平面； （2）求点到平面的距离； （3）在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为? 若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）取中点，连接、， 因为，所以，又，故， 所以 ， 因为底面是菱形，，，故是等边三角形， 又为中点，因此，， 在中，，则， 因为，，，平面， 故平面，又平面， 所以平面平面. （2）点到平面的距离为. （3）存在满足条件的点，且. 【解析】 【分析】（1）取中点，先证明，，根据线面垂直判定定理证明平面，再由面面垂直判定定理证明结论； （2）利用，求点到平面的距离； （3）设在线段上存在一点满足条件，设，，设点到平面的距离为，点到平面的距离为，根据线面角的定义可得​​，结合关系列方程可求. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由（1）知平面，故到平面的距离为， 的面积 ​， 因此， 在中，，，， 所以， 因为平面，平面， 所以，故为直角三角形， 在中，，，， 所以， 在中，，，， 所以，又， 所以， 所以 ， 设点到平面的距离为，因为， 所以，故 ， 所以点到平面的距离为； 【小问3详解】 设在线段上存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为， 设，，直线与平面所成角为， 设点到平面的距离为，点到平面的距离为，则， 因为，平面，平面， 所以平面， 故点到平面的距离等于点到平面的距离，由（2）， 由线面角定义得​​，结合可得， 所以 ， 在中，，，， 所以， 在中，，，， 所以， 所以，即，  解得，因为，舍去大于的根，得，符合条件. 因此存在满足条件的点，且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $