精品解析：江西南昌新民外语学校2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题

新民学校2025—2026学年度第二学期期末考试 高一数学试卷 命题：陈慧玲 审题：高一数学组 时间：120分钟 分值：150分 一、单选题本大题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个一项符合题目要求，请将正确答案填在答题卡上． 1. 的值为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】 2. 如图，正方形的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积（ ） A. B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】在直观图中，，，则在原图形平行四边形OABC中，，如图， 所以原图形的面积为. 3. 如图，在平行四边形中，为靠近点的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的三角形法则表示即可． 【详解】因为为靠近点的三等分点，所以， 所以． 4. 已知向量与的夹角为，，，则（ ） A. 3 B. C. 7 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量模长公式，向量数量积定义结合题设可得答案. 【详解】 5. 在中，角所对的边分别为，若，则的形状是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形 【答案】C 【解析】 【详解】由及正弦定理，得， 因为，所以， 代入得，即， 因为，所以，故，因为，所以， 即的形状为直角三角形． 6. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】结合线面平行的定义、判定定理及性质定理逐一验证各选项，即可. 【详解】对选项A：若，，则或，因此A错误； 对选项B：该命题是线面平行的性质定理，即如果一条直线与一个平面平行， 如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行，因此B正确； 对选项C：若，，则或，因此C错误； 对选项D：若，，则与的位置关系为平行或异面，因此D错误. 7. 如图，正三棱柱的侧棱长为4，底面正三角形的边长为3，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为在正三棱柱  中，， 所以异面直线  与  所成的角即为直线  与  所成的角. 连接 ，在  中， 由题意可知，底面正三角形边长为 ，侧棱长为 ， 所以 . 在  中，. 同理，在  中，. 由余弦定理可得： . 因为异面直线所成角的范围是 ，且 ， 所以异面直线  与  所成角的余弦值为 . 8. 如图，在中，，，且与交于点，设，则（ ） A. -1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别利用和三点共线表示出，再利用平面向量的基本定理列方程组，解出即可. 【详解】因为，，三点共线，且，所以 又因为，，三点共线，且， 所以， 可得，解得，， 所以. 二、多选题本题共3小题，每题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. （多选）已知复数（i为虚数单位），则（ ） A. 的共轭复数为 B. 的虚部为 C. D. 【答案】BD 【解析】 【详解】对于A，，的共轭复数为，故A错误； 对于B，的虚部为，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确． 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据同角三角函数关系，倍角公式，和差角公式即可求出结果． 【详解】对于选项A，因为，所以，故A正确； 对于选项B，由选项A得B错误； 对于选项C，，故C正确； 对于选项D，，，故D正确. 11. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且该三角形有两解，则b的值可以为（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】CD 【解析】 【分析】根据三角形解的个数知，当时，该三角形有两解，可得到的取值范围，即可求解． 【详解】解：当时，即时，即时，该三角形有两解． 故选：CD． 三、填空题本大题共3小题，每题5分，共15分，请将正确答案填写在答题卡上． 12. 设向量、满足，，且，则向量在向量方向上的数量投影是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量投影的计算公式，即可求解. 【详解】向量、满足，，且， 则向量在向量方向上的数量投影是 13. 如图所示，四边形是梯形，，且平面，，与平面分别交于点，，且点是的中点，，，则_________． 【答案】5 【解析】 【分析】运用线面平行的性质得到线线平行，结合梯形中位线性质解题即可. 【详解】因为平面，平面，平面平面，所以， 又点是的中点，，所以是梯形的中位线，结合已知有． 故答案为：5. 14. 若函数在上有4个最值，则______． 【答案】 【解析】 【分析】求出的范围，根据条件建立不等式求解即可. 【详解】因为，则， 因为在上有4个最值， 所以 解得. 四、解答题本大题共5小题，共77分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知复数． （1）求； （2）求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数乘法的运算法则计算； （2）先求出，再根据复数的模求解即可． 【小问1详解】 . 【小问2详解】 ， ． 16. 已知向量，． （1）求与夹角的余弦值； （2）若，求 ． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据平面向量夹角坐标表示公式进行求解即可； （2）根据平面向量垂直的坐标表示公式，结合平面向量线性运算坐标表示公式进行求解即可. 【小问1详解】 由题意得， ，， 所以与夹角的余弦值为． 【小问2详解】 ， ， 因为， 所以， 得． 17. 已知，，分别为的三个内角，，的对边，若. （1）求： （2）若，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助正弦定理将边化为角后，结合两角和的正弦公式计算即可得； （2）借助余弦定理可求出，再利用面积公式计算即可得. 【小问1详解】 由正弦定理将边化为角，可得， 即， 即， 又，则，故， 又，故； 【小问2详解】 ，整理得， 故（负值舍去），则. 18. 如图，在正三棱柱中，分别是，，的中点． （1）B，C，H，G四点共面吗？（判断即可，无需证明） （2）求证：平面． 【答案】（1）共面 （2）在三棱柱中，，， ，， 四边形是平行四边形， ， 平面，平面， 平面． 【解析】 【分析】（1）借助三角形的中位线，证明，可得B，C，H，G四点共面； （2）结合平行四边形性质先证，再证平面． 【小问1详解】 G，H分别是，的中点， 是的中位线， ， 又在三棱柱中，， ， B，C，H，G四点共面． 【小问2详解】 略 19. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，分别为棱中点． （1）求证：平面平面； （2）若，，求AF与PC所成角． 【答案】（1）证明：因为分别为棱中点， 所以， 因为平面，平面， 所以平面， 因为，，为棱中点， 所以四边形为平行四边形， 故， 因为平面，平面， 所以平面， 因为，平面， 所以平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）由中位线和平行四边形得到线线平行，证明出线面平行，面面平行. （2）利用，找出AF与PC所成的角，再利用解三角形求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，所以为AF与PC所成角. 由（1）. 在中，，，， 所以. 在中，，所以，即. 所以AF与PC所成角为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新民学校2025—2026学年度第二学期期末考试 高一数学试卷 命题：陈慧玲 审题：高一数学组 时间：120分钟 分值：150分 一、单选题本大题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个一项符合题目要求，请将正确答案填在答题卡上． 1. 的值为（    ） A. B. C. D. 2. 如图，正方形的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积（ ） A. B. C. D. 4 3. 如图，在平行四边形中，为靠近点的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量与的夹角为，，，则（ ） A. 3 B. C. 7 D. 5. 在中，角所对的边分别为，若，则的形状是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形 6. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7. 如图，正三棱柱的侧棱长为4，底面正三角形的边长为3，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，且与交于点，设，则（ ） A. -1 B. C. D. 二、多选题本题共3小题，每题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. （多选）已知复数（i为虚数单位），则（ ） A. 的共轭复数为 B. 的虚部为 C. D. 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 11. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且该三角形有两解，则b的值可以为（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 7 三、填空题本大题共3小题，每题5分，共15分，请将正确答案填写在答题卡上． 12. 设向量、满足，，且，则向量在向量方向上的数量投影是________． 13. 如图所示，四边形是梯形，，且平面，，与平面分别交于点，，且点是的中点，，，则_________． 14. 若函数在上有4个最值，则______． 四、解答题本大题共5小题，共77分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知复数． （1）求； （2）求． 16. 已知向量，． （1）求与夹角的余弦值； （2）若，求 ． 17. 已知，，分别为的三个内角，，的对边，若. （1）求： （2）若，，求的面积. 18. 如图，在正三棱柱中，分别是，，的中点． （1）B，C，H，G四点共面吗？（判断即可，无需证明） （2）求证：平面． 19. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，分别为棱中点． （1）求证：平面平面； （2）若，，求AF与PC所成角． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $