精品解析：江西鹰潭市余江区第一中学2025-2026学年高一下学期7月期末数学试题

高一数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：北师大版必修第二册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的运算法则和几何意义即可得出． 【详解】由，知复数z在复平面内对应的点为，位于第一象限. 故选：A. 2. 已知，，点P满足，则点P的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出向量的坐标，进而求出点的坐标. 【详解】点，，则，于是， 所以点的坐标为. 故选：C 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正切函数定义域的求法可得答案. 【详解】令， 解得， 所以函数的定义域为． 4. 已知a，b是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，若，，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先判断时，是否成立；再判断时，是否成立. 【详解】当时，与可能相交，充分性不成立； 当时，根据面面平行的性质定理可知，，所以必要性成立． 综上可知，“”是“”的必要不充分条件． 5. 已知某平面图形的斜二测画法直观图是一个边长为1的正方形，如图所示，则该平面图形的面积是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】斜二测画法换元注意纵坐标长度是原来的倍，横坐标长度不变． 【详解】，所以，还原如图所示： 则，所以平面图形面积． 故选：D． 6. 如图，小胡同学为了测量地面上一栋大楼AB的高度（大楼AB垂直于地面），在与楼底同一水平面内选取两个测量基点和，在点测得大楼顶部的仰角是，在点测得大楼顶部的仰角是，测得水平面上的米，则该大楼的高度为（ ） A. 37米 B. 38米 C. 39米 D. 40米 【答案】B 【解析】 【分析】设出大楼高度，然后分别表示出相关线段长度，最后在中利用余弦定理列出方程求解. 【详解】设大楼米. 在中，因为在点测得大楼顶部的仰角是，，，所以. 在中，因为在点测得大楼顶部的仰角是，，，所以.  已知在中，，米，根据余弦定理. 将，，代入上式可得：， 即，移项可得，即，解得 得到，（高度不能为负舍去）.  该大楼的高度为38米. 故选：B. 7. 已知函数，若在区间上恰有3个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用三角恒等变换化简函数式，结合区间零点的个数及正弦函数的图象列不等式求参数范围. 【详解】由， 因为，所以， 又在区间上恰有3个零点，所以，解得. 8. 如图，在梯形中，为上一点，且满足，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及定义求解. 【详解】在梯形中，令，由，得， 由，得，所以 . 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，其中i为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. z的虚部为 【答案】BD 【解析】 【分析】先由求出复数，然后逐个分析判断即可. 【详解】， 对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，z的虚部为，故D正确． 故选：BD． 10. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】平方再利用倍角公式化简可判断A；利用及正切的差角公式化简可判断B；利用辅助角公式化简等式右侧可判断C；利用倍角公式及积化和差公式化简等式左边可判断D. 【详解】， 又，，所以，A正确； 因为， 所以，B正确； ，C错误； ，D正确． 11. （多选题）已知正三棱柱的高为2，且有内切球O（球O位于三棱柱的内部且与各个面有且只有一个公共点），若过O，A，B三点的平面截该三棱柱所得截面为，则（ ） A. B. 平面平面 C. 截面的面积为 D. 该三棱柱被截面分成两部分，较小部分与较大部分的体积之比为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，先求出下底面等边三角形的高，进而求出；B选项，找到两平面所成夹角的平面角，结合勾股定理逆定理得到垂直关系；C选项，找到截面四边形为等腰梯形，求出面积；D选项，在C基础上，得到两部分的体积，得到比值. 【详解】A选项，如图1，取上底面，下底面的中心分别为，，取AB，的中点M，N，取MN中点I，于是四边形为矩形，则，于是，，又为等边三角形，则，A正确； 选项B，由于，且平面OAB，平面OAB，所以平面OAB，又平面，设平面平面，则，如图2，连接OM，ON，由于，，则为平面OAB与平面所成角的平面角，又，，则，，所以平面平面，B正确； 选项C，如图3，延长MO，交于点H，过点H作AB的平行线交，于E，F，由于，则，则H为上靠近的三等分点，于是，因为，M为AB中点，H为EF中点，所以四边形ABFE为等腰梯形，且，所以，即截面的面积为，C错误； 选项D，由于正与正相似，三条侧棱延长相交于一点，于是为三棱台，该三棱柱被截面分成两部分，分别为三棱台和剩余部分，其中，同理，可得，三棱台的体积，而三棱柱的体积，于是截面所截的另一部分的体积，则较小部分与较大部分的体积之比为，D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知圆锥的底面半径为2，轴截面为直角三角形，则该圆锥的侧面积为______． 【答案】 【解析】 【详解】 因为圆锥的底面半径为2，轴截面为直角三角形， 所以圆锥的母线长为， 则该圆锥的侧面积为． 13. 若命题“对任意，函数的值恒大于m”为假命题，则实数m的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意将假命题转化为真命题，得出，；再根据函数在上单调递增，得出，即可解答. 【详解】因为命题“对任意，函数的值恒大于m”为假命题， 则该命题的否定是真命题，即，函数的值不大于m. 即，. 又因为正弦函数和正切函数在区间上都单调递增， 所以函数在上单调递增， 当时，， 则， 所以m的取值范围为． 故答案为： 14. 已知锐角的内角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】由余弦定理化角为边，结合锐角三角形得出，根据锐角三角形确定的范围，再用换元法：令，化待求式为二次函数形式，从而可得取值范围. 【详解】因为，所以，整理得， 所以或， 若，即，与是锐角三角形矛盾，所以不成立， 所以，则，，由得， ， 设，， 因为，所以，，所以， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量. （1）若，求的值； （2）若，求向量与的夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量共线求出，再根据向量的模求解即可. （2）根据向量垂直求出，再利用向量夹角公式求解即可. 【小问1详解】 若，则，解得， 所以，则. 【小问2详解】 因为，则， 解得，设向量与的夹角为， 则， 即向量与的夹角的余弦值为. 16. 已知． （1）求的值； （2）若，，且，求及的值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ， 又，所以， 因为，，所以，则，， 所以. 17. 某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 （1）求函数的解析式； （2）求不等式的解集； （3）将图象上的所有点向右平移个单位长度，并把图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象.若满足，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合表格中的点代入求解即可. （2）结合正弦型函数的图形求解即可. （3）根据函数图象的平移得到的图象，结合求出的对称中心，得到的代数式，进而求出最小值. 【小问1详解】 由题意知，解得，， 又，解得， 所以. 【小问2详解】 由，得，所以， 解得， 即不等式的解集为. 【小问3详解】 将的图象向右平移个单位长度，得到的图象， 再将图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到的图象， 因为，所以的图象关于中心对称， 所以，解得， 因为，所以当时，此时取得最小值为. 18. 在中，角所对的边分别为，且． （1）求证：； （2）若 的面积为52，求； （3）若 是边（不含端点）上的动点，且，求的面积的最小值． 【答案】（1）证明：由及正弦定理，得， 所以． 因为，所以， 所以或，解得或（舍）． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理和三角恒等变换证明； （2）先根据正弦定理和三角恒等变换求出 ，再根据三角形的面积公式求； （3）分别在与中运用正弦定理求出，再应用三角形的面积公式求最值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为， 所以 ， 又，所以，即． 因为，所以． 因为， 所以的面积 ，解得． 【小问3详解】 由，得，即， 又，所以． 不妨设在线段上，设，则． 在中， ，所以， 即． 在中， ， 所以， 即． 所以的面积． 令， 因为，所以， ， 所以当时，取到最大值， 所以， 即的面积的最小值为． 19. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，且，平面平面，点E，F分别是的中点． （1）求证：平面平面； （2）求三棱锥外接球的表面积； （3）设与平面所成角为，求的取值范围． 【答案】（1）因为底面是边长为2的菱形，且， 所以和均为等边三角形. 因为点是的中点，所以． 因为，所以. 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质定理结合菱形的性质证得平面，再由面面垂直的判定定理得平面平面； （2）由三棱锥的特征，确定其外接球的半径等于外接圆的半径，利用正弦定理求得外接圆的半径，从而求得三棱锥外接球的表面积； （3）取的中点，作，垂足为，根据线面角的定义，.若点在线段（不含端点）上，设；若点在线段（不含端点）上，设.利用余弦定理及同角三角函数关系式，用或表示，结合基本不等式可求得的取值范围.若点与重合，直接求出的值，综合所有情况，可得的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接，则. 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面，因为为直角三角形，所以为外接圆的圆心. 所以三棱锥的外接球球心一定在平面内，且为的外心， 三棱锥的外接球的半径等于外接圆的半径. 因为是等边三角形，， 由正弦定理，得（为的外接圆半径）， 解得，即三棱锥的外接球半径为． 所以三棱锥外接球的表面积为． 【小问3详解】 取的中点，作，垂足为，连接． 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面为与平面所成的角，所以． ①若在线段（不含端点）上，如图1，设， 因为为的中点，所以， 因为F，G分别是的中点，所以，又， 所以，由余弦定理得， 所以． 令，由，得， 所以，当且仅当，即时等号成立． 又，所以的取值范围为． ②若在线段上（不含端点），如图2，设， 因为，所以， 又，所以，由余弦定理得， 所以． 令，由，得，所以． 令，任取， 则， 因为，所以， 故，即， 所以在上单调递增，且，所以的取值范围为． ③若与重合，则． 综上所述，的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：北师大版必修第二册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知，，点P满足，则点P的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 已知a，b是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，若，，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知某平面图形的斜二测画法直观图是一个边长为1的正方形，如图所示，则该平面图形的面积是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 6. 如图，小胡同学为了测量地面上一栋大楼AB的高度（大楼AB垂直于地面），在与楼底同一水平面内选取两个测量基点和，在点测得大楼顶部的仰角是，在点测得大楼顶部的仰角是，测得水平面上的米，则该大楼的高度为（ ） A. 37米 B. 38米 C. 39米 D. 40米 7. 已知函数，若在区间上恰有3个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在梯形中，为上一点，且满足，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，其中i为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. z的虚部为 10. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 11. （多选题）已知正三棱柱的高为2，且有内切球O（球O位于三棱柱的内部且与各个面有且只有一个公共点），若过O，A，B三点的平面截该三棱柱所得截面为，则（ ） A. B. 平面平面 C. 截面的面积为 D. 该三棱柱被截面分成两部分，较小部分与较大部分的体积之比为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知圆锥的底面半径为2，轴截面为直角三角形，则该圆锥的侧面积为______． 13. 若命题“对任意，函数的值恒大于m”为假命题，则实数m的取值范围为______． 14. 已知锐角的内角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量. （1）若，求的值； （2）若，求向量与的夹角的余弦值. 16. 已知． （1）求的值； （2）若，，且，求及的值． 17. 某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 （1）求函数的解析式； （2）求不等式的解集； （3）将图象上的所有点向右平移个单位长度，并把图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象.若满足，求的最小值. 18. 在中，角所对的边分别为，且． （1）求证：； （2）若 的面积为52，求； （3）若 是边（不含端点）上的动点，且，求的面积的最小值． 19. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，且，平面平面，点E，F分别是的中点． （1）求证：平面平面； （2）求三棱锥外接球的表面积； （3）设与平面所成角为，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $