精品解析：河南省信阳市固始县2025-2026学年八年级下学期6月期末数学试题

2025—2026学年度下学期八年级期末考试 数学试题 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列二次根式中是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 《周髀算经》记载“勾三股四弦五”，奠定了直角三角形判定基础．已知的三边为a，b，c，可以判定为直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. D. 4. 对于两组数据甲和乙，如果，且，则（ ） A. 这两组数据的波动相同 B. 数据甲的波动小一些 C. 它们的平均水平不相同 D. 数据乙的波动小一些 5. 匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度随时间的变化规律如图所示（图中是一条折线）．则这个容器的形状可能是（ ） A. B. C. D. 6. 关于一次函数的性质及其图象，下列说法正确的是（ ） A. 的值随值的增大而减小 B. 该函数的图象经过第一、三、四象限 C. 点一定在函数图象上 D. 和是图象上两点，则 7. 如图，在平面直角坐标系中有一个矩形，点B的坐标是，则的长为（ ） A. B. C. 3 D. 8. 嘉淇在用描点法画一次函数的图象时列得如表格，已知其中有一组数据是错误的，则这组错误的数据是（ ） … 0 1 2 … … 12 10 8 6 2 … A. B. C. D. 9. 如图，四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A. 当时，平行四边形是菱形 B. 当时，平行四边形是矩形 C. 当时，平行四边形是菱形 D. 当且时，平行四边形是正方形 10. A，B两地相距2千米，甲步行从A地出发到B地，同时乙骑自行车从B地出发到A地，乙到达A地12分钟后甲到达B地，如图，，分别表示甲、乙离A地的距离y（千米）和所用时间x（分钟）之间的函数关系．下列结论：①的表达式为；②的表达式为；③甲、乙相遇时，距B地千米；其中正确的有（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 12. 若，是一次函数图象上的两个点，则与的大小关系是______（填，或） 13. 小文参加了学校广播站招聘小记者的三项素质测试，成绩（百分制）如下：采访写作分，计算机操作分，创意设计分．若采访写作、计算机操作和创意设计的成绩分别按，，的比例计算最终成绩，则她的素质测试的最终成绩为______分． 14. “今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？ ”这是我国数学史上的“葭 生池中 ”问题．即， ，，则 __________ 15. 如图，正方形和正方形中，点在上，，，是的中点，则的长等于__________． 三、解答题（共8小题，满分75分） 16. 计算 （1）； （2）． 17. 如图，在四边形中，对角线和相交于点O，，，平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）过点D作交的延长线于点H，若，，求的长． 18. 学校为了解使用辅助学习工具的反馈，从七、八年级各随机抽取20名学生进行使用满意度评分，随后将评分进行整理、描述和分析（评分为百分制且为整数，均不低于60分，用表示，共分四组：；；；）．下面给出了部分信息： 七年级20名学生评分在组的数据为：80，83，84，85，87，88，88，89． 八年级20名学生的评分是：65，68，70，72，74，76，78，80，82，82，84，86，86，86，88，90，92，93，94，94． 七、八年级所抽取学生使用满意度评分统计表 年级 七年级 八年级 平均数 82 82 中位数 a 83 众数 78 b （1）上述图表中=_________，=_________，=_________； （2）若该校七年级有600人，八年级有500人，估计该校七、八年级所有学生中评分达到“非常满意”（不低于90分）的一共有_________人； （3）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生对辅助学习工具的满意度更高？请说明理由（写出一条理由即可）． 19. 图1中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度与旋转时间之间的关系如图2所示． （1）根据图2补全表格： 旋转时间x/min 0 3 6 8 12 … 高y/m 5 ______ 5 ______ 5 … （2）变量y是x的函数吗？为什么？ （3）根据图象，摩天轮的直径为______m． （4）假设摩天轮匀速旋转，在开始旋转的第一圈内，离地面高度是40m时，所用时间大约是______min（精确到0.1）． 20. 定义：我们将与称为一对“对偶式”． 因为，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：化简 ________， 可以这样解答： ； 又例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为， 已知，所以． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： （1）化简：______； （2）已知：，求的值． 21. 如图，在某地的清明上河园景区，有一个用于表演豫剧的矩形舞台，其面积为平方米，长为米． （1）求这个舞台的宽（结果化为最简二次根式）； （2）为了增加舞台效果，准备在舞台的中央建造一个边长为米的正方形升降台，舞台的剩余部分（图中阴影部分）铺设地板，已知地板的价格为每平方米200元，求铺设地板需花费的总费用． 22. 某班“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． （1）下表列出了部分研究数据： … 0 1 2 3 4 … … 6 2 0 2 4 … 上表中，________，________； （2）在如图所示的平面直角坐标系中，描出以上表中各组对应值为坐标的点，并画出该函数图象； （3）结合函数图象，写出该函数的两条性质：________________________________；________________________________； （4）进一步探究函数图象： ①函数图象与轴有________个交点，则方程有________个实数根； ②关于的方程无实数根，则的取值范围为________； ③不等式的解集为________． 23. 综合与实践 问题情境： 如图，四边形为正方形，点为对角线上的一动点，连接，过点作，交直线于点，以为邻边作矩形，连接 . 猜想证明： （1）求证：四边形是正方形． 解决问题： （2）求的度数． （3）已知，请直接写出CG的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度下学期八年级期末考试 数学试题 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列二次根式中是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】满足以下两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，像这样的二次根式叫做最简二次根式，由此判断即可． 【详解】解：A、被开方数含有能开得尽方的因数4，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； B、是最简二次根式，故此选项符合题意； C、被开方数是小数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D、被开方数含有分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的乘除运算法则和算术平方根的非负性，逐一计算判断即可． 【详解】解：A、 ，故选项错误，不符合题意； B、，故选项错误，不符合题意； C、 ，故选项错误，不符合题意； D、 ，故选项正确，符合题意． 3. 《周髀算经》记载“勾三股四弦五”，奠定了直角三角形判定基础．已知的三边为a，b，c，可以判定为直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】三角形中，若两较小边的长的平方和等于最大边的长的平方，那么这个三角形是直角三角形，据此可判断A、B；根据三角形内角和定理可判断C、D． 【详解】解：A、∵，，， ∴，， ∴， ∴ 是直角三角形，符合题意； B、∵，，， ∴，， ∴， ∴ 不是直角三角形，不符合题意； C、∵，， ∴， ∴ 不是直角三角形，不符合题意； D、设，，， ∵， ∴， 解得， ∴ 最大角， ∴ 不是直角三角形，不符合题意； 4. 对于两组数据甲和乙，如果，且，则（ ） A. 这两组数据的波动相同 B. 数据甲的波动小一些 C. 它们的平均水平不相同 D. 数据乙的波动小一些 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均数和方差的意义即可判断结果． 【详解】解：∵， ∴两组数据的平均水平相同； 又∵， ∴数据甲的波动比数据乙的波动小． 5. 匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度随时间的变化规律如图所示（图中是一条折线）．则这个容器的形状可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图象斜率的大小判断水面上升速度的快慢，进而推断容器横截面积的变化情况． 【详解】解：向容器内匀速注水，图象的斜率越大，水面上升越快，说明容器的横截面积越小；图象的斜率越小，水面上升越慢，说明容器的横截面积越大， 由图象可知，段最陡峭，段次之，段最平缓， 则水面上升的速度关系为：， 可知容器对应部分的横截面积关系为：， 即容器的形状从下到上依次为：较细、最粗、最细，选项符合． 6. 关于一次函数的性质及其图象，下列说法正确的是（ ） A. 的值随值的增大而减小 B. 该函数的图象经过第一、三、四象限 C. 点一定在函数图象上 D. 和是图象上两点，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据一次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴图象过一，二，三象限，的值随值的增大而增大，故A，B选项错误； 当时，， ∴点一定在函数图象上；故C选项正确； ∵和是图象上两点，且， ∴；故D选项错误； 故选C． 7. 如图，在平面直角坐标系中有一个矩形，点B的坐标是，则的长为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，根据两点间距离公式求出的长，再根据矩形的对角线相等即可求解． 【详解】解：连接， ∵点B的坐标是， ∴， ∵四边形是矩形， ∴． 8. 嘉淇在用描点法画一次函数的图象时列得如表格，已知其中有一组数据是错误的，则这组错误的数据是（ ） … 0 1 2 … … 12 10 8 6 2 … A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象，数形结合是解题的关键．在坐标系描点，即可得到在同一直线上的点，从而得到结论． 【详解】解：根据表格数据描点，如图， 可知点不在一次函数的图象上， 故选：A 9. 如图，四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A. 当时，平行四边形是菱形 B. 当时，平行四边形是矩形 C. 当时，平行四边形是菱形 D. 当且时，平行四边形是正方形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形，菱形，正方形的判定，熟练掌握矩形的判定定理、菱形的判定定理，正方形的判定定理是解此题的关键． 根据有一个角等于的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，有一组邻边相等且对角线垂直的平行四边形是正方形，逐一判定． 【详解】A．当时，无法确定平行四边形是菱形，故该选项不正确，符合题意； B．当时，平行四边形是矩形，故该选项正确，不符合题意； C．当时，平行四边形是菱形，故该选项正确，不符合题意； D．当且时，平行四边形是正方形，故该选项正确，不符合题意． 故选A． 10. A，B两地相距2千米，甲步行从A地出发到B地，同时乙骑自行车从B地出发到A地，乙到达A地12分钟后甲到达B地，如图，，分别表示甲、乙离A地的距离y（千米）和所用时间x（分钟）之间的函数关系．下列结论：①的表达式为；②的表达式为；③甲、乙相遇时，距B地千米；其中正确的有（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】设的表达式为，将和代入解析式可得的表达式为，即可判断②正确；求出甲到达地所用时间为，则经过点，待定系数法求出的表达式为，即可判断①正确；联立，求解即可判断③错误． 【详解】解：设的表达式为， 将和代入解析式可得， 解得：， ∴的表达式为，故②正确； 当时，， 解得， ∴乙到达地所用时间为， ∵乙到达A地12分钟后甲到达B地， ∴甲到达地所用时间为， ∴经过点， 设的表达式为， 将代入解析式可得， 解得， ∴的表达式为，故①正确； 联立，解得， ， 故甲、乙相遇时，距B地千米，③错误； 综上所述，正确的是①②． 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件， 要使在实数范围内有意义，必须， ∴． 故答案为： 12. 若，是一次函数图象上的两个点，则与的大小关系是______（填，或） 【答案】 【解析】 【分析】先根据一次函数解析式判断函数的增减性，再比较两点横坐标的大小，即可得到纵坐标的大小关系． 【详解】解：在一次函数中， ， 随的增大而减小. 的横坐标为，的横坐标为，且， . 13. 小文参加了学校广播站招聘小记者的三项素质测试，成绩（百分制）如下：采访写作分，计算机操作分，创意设计分．若采访写作、计算机操作和创意设计的成绩分别按，，的比例计算最终成绩，则她的素质测试的最终成绩为______分． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查加权平均数，掌握相关知识是解决问题的关键．根据加权平均数的定义，将各科成绩乘以对应的权重比例后求和 【详解】解：（分）． 故答案为． 14. “今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？ ”这是我国数学史上的“葭 生池中 ”问题．即， ，，则 __________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的实际应用．设，则，由勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】解：设，则， ∵，， ∴， 解得：，即， 故答案为：． 15. 如图，正方形和正方形中，点在上，，，是的中点，则的长等于__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理；延长、相交于点，由正方形的性质可得，结合是的中点可得，最后利用勾股定理求出即可． 【详解】解：如图所示，延长、相交于点， ∵四边形和四边形都是正方形且点B，C，E在一条直线上，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴，即， ∵，， ∴在中，， ∴． 三、解答题（共8小题，满分75分） 16. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，在四边形中，对角线和相交于点O，，，平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）过点D作交的延长线于点H，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）由平行线的性质和角平分线的定义推出，得到；再证明四边形是平行四边形，即可证明四边形是菱形； （2）利用菱形的性质得到，则可求出的长，进而可求出的长，再利用等面积法求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴． 18. 学校为了解使用辅助学习工具的反馈，从七、八年级各随机抽取20名学生进行使用满意度评分，随后将评分进行整理、描述和分析（评分为百分制且为整数，均不低于60分，用表示，共分四组：；；；）．下面给出了部分信息： 七年级20名学生评分在组的数据为：80，83，84，85，87，88，88，89． 八年级20名学生的评分是：65，68，70，72，74，76，78，80，82，82，84，86，86，86，88，90，92，93，94，94． 七、八年级所抽取学生使用满意度评分统计表 年级 七年级 八年级 平均数 82 82 中位数 a 83 众数 78 b （1）上述图表中=_________，=_________，=_________； （2）若该校七年级有600人，八年级有500人，估计该校七、八年级所有学生中评分达到“非常满意”（不低于90分）的一共有_________人； （3）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生对辅助学习工具的满意度更高？请说明理由（写出一条理由即可）． 【答案】（1），， （2） （3）八年级学生对辅助学习工具的满意度更高， 理由：因为七、八年级评分的平均数相等，但八年级评分的中位数和众数均高于七年级，所以八年级学生对辅助学习工具的满意度更高． 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义计算即可得出结果； （2）用600乘以七年级所有学生中评分达到“非常满意”（不低于90分）的人数所占的比例，用500乘以八年级所有学生中评分达到“非常满意”（不低于90分）的人数所占的比例，再求和即可 （3）根据中位数和众数分析即可得出结果． 【小问1详解】 解：七年级20名学生的评分在组中的数据有（个）， 在组中的数据有（个）， 在组中的数据有8人， ∴在组中的数据有（个）， ∴， ∴， 将七年级20名学生的评分从小到大排列后的第10个和第11个数据是80，83， ∴， 八年级20名学生的评分中出现次数最多的是86， ∴； 【小问2详解】 解：估计该校七、八年级所有学生中评分达到“非常满意”（不低于90分）的一共有（人）， 答案为：215； 【小问3详解】 略 19. 图1中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度与旋转时间之间的关系如图2所示． （1）根据图2补全表格： 旋转时间x/min 0 3 6 8 12 … 高y/m 5 ______ 5 ______ 5 … （2）变量y是x的函数吗？为什么？ （3）根据图象，摩天轮的直径为______m． （4）假设摩天轮匀速旋转，在开始旋转的第一圈内，离地面高度是40m时，所用时间大约是______min（精确到0.1）． 【答案】（1） 补全的表格如下： 旋转时间x/min 0 3 6 8 12 … 高y/m 5 70 5 54 5 … （2）变量y是x的函数； 理由：函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定了一个x值，相应地就确定唯一的一个y值，那么我们称y是x的函数； 根据图2中圆上一点离地面的高度与旋转时间之间的关系可知，该关系符合函数的定义，故变量y是x的函数； （3）65 （4）1.6或4.4 【解析】 【分析】（1）根据图2中的数据进行解答即可； （2）根据函数定义结合图2进行解答即可； （3）根据图2可知摩天轮的最高点和最低点，两者相减即可得出直径； （4）先算出摩天轮上该点旋转的平均速度，再根据速度公式分别计算出上升和下降过程中所对应的时间即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， ∴摩天轮的直径为， 故答案为：65； 【小问4详解】 若摩天轮匀速旋转，则摩天轮上该点从最低点到最高点（或从最高点到最低点）的平均速度为， 第一圈，上升到时，所用时间为； 第一圈，下降到时，所用时间为； 故答案为：1.6或4.4． 【点睛】本题考查了函数图象的时间应用，理解题意，熟练运用数形结合是解题的关键． 20. 定义：我们将与称为一对“对偶式”． 因为，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：化简 ________， 可以这样解答： ； 又例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为， 已知，所以． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： （1）化简：______； （2）已知：，求的值． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的运算， 对于（1），分子和分母都乘以，根据平方差公式计算即可； 对于（2），根据平方差公式求出，再根据，可得答案． 【小问1详解】 解：原式； 故答案为：； 【小问2详解】 解：因为 = 已知， 所以 ． 21. 如图，在某地的清明上河园景区，有一个用于表演豫剧的矩形舞台，其面积为平方米，长为米． （1）求这个舞台的宽（结果化为最简二次根式）； （2）为了增加舞台效果，准备在舞台的中央建造一个边长为米的正方形升降台，舞台的剩余部分（图中阴影部分）铺设地板，已知地板的价格为每平方米200元，求铺设地板需花费的总费用． 【答案】（1）这个舞台的宽是米 （2）铺设地板需花费的总费用为14400元 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）利用二次根式的除法解题即可； （2）先算出阴影部分面积，再计算铺设地板需花费的总费用即可． 【小问1详解】 解：这个舞台的宽为（米）， 答：这个舞台的宽为米； 【小问2详解】 解：阴影部分的面积平方米， 铺设地板需花费元． 22. 某班“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． （1）下表列出了部分研究数据： … 0 1 2 3 4 … … 6 2 0 2 4 … 上表中，________，________； （2）在如图所示的平面直角坐标系中，描出以上表中各组对应值为坐标的点，并画出该函数图象； （3）结合函数图象，写出该函数的两条性质：________________________________；________________________________； （4）进一步探究函数图象： ①函数图象与轴有________个交点，则方程有________个实数根； ②关于的方程无实数根，则的取值范围为________； ③不等式的解集为________． 【答案】（1）4，0 （2） 解：描点、连线，函数图象如图： ； （3） 解：性质1：函数图象关于直线对称； 性质2：当时，函数取得最小值，无最大值； （4）①2，2；②；③或 【解析】 【分析】（1）当和时，分别代入求解即可； （2）描点、连线，画出函数图象即可； （3）根据函数图象写出该函数的两条性质即可； （4）根据函数图象回答即可． 【小问1详解】 解：当时，； 当时，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：观察图象得： ①函数图象与轴有2个交点，则方程有2个实数根； ②关于的方程无实数根，则的取值范围为； ③不等式的解集为或． 23. 综合与实践 问题情境： 如图，四边形为正方形，点为对角线上的一动点，连接，过点作，交直线于点，以为邻边作矩形，连接 . 猜想证明： （1）求证：四边形是正方形． 解决问题： （2）求的度数． （3）已知，请直接写出CG的长． 【答案】 （1）证明：过作于点，过作于点， 正方形， ， ，且， 四边形为正方形， 四边形是矩形， ， ， 又， 在和中， ， ， ， 矩形为正方形， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接辅助线，由，得到，即可求解， （2）由，得到，即可求解， （3）由正方形，正方形，得到，由，得到，依次求出，，，,的长，由，得到，即可求解， 本题考查正方形的判定与性质，全等三角形的性质与判定，解题关键是：连接辅助线构造全等三角形． 【详解】解：（1）略 （2）矩形为正方形， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， （3）∵正方形，正方形， ∴，， ∴，即：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴,, ∵， ， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $