精品解析：黑龙江哈尔滨市道里区2025-2026学年八年级下学期6月期末数学试题

2025—2026学年度下学期八年级期末调研测试 数学学科试卷 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式，掌握最简二次根式的概念，如果一个二次根式符合下列两个条件：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式，那么这个根式叫做最简二次根式，是本题的解题关键． 【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、被开方数含有开得尽的因数，不是最简二次根式，不符合题意； C、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； D、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的加减乘除运算法则和完全平方公式，逐一计算判断即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能直接合并，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，故选项符合题意； D、，故选项不符合题意． 3. 我们约定“”为一种新运算，规定（其中，），则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，，计算求值即可． 【详解】∵由题意得规定， ∴，解得：．　 故选：C． 【点睛】本题主要考查定义新运算以及二次根式的运算，解题的关键是能够理解新运算的具体步骤以及二次根式的运算法则． 4. 若一次函数的图象向下平移3个单位后经过点，则b的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】设一次函数的图象向下平移3个单位后的解析式为，然后把点代入求解即可． 【详解】解：设一次函数的图象向下平移3个单位后的解析式为，则把点代入得： ，解得：； 故选C． 【点睛】本题主要考查一次函数图象的平移，熟练掌握一次函数图象的平移是解题的关键． 5. 下列有关一次函数的说法中，错误的是（ ） A. y的值随着x增大而减小 B. 当时， C. 函数图象与y轴的交点坐标为 D. 函数图象经过第一、二、四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，求一次函数与坐标轴的交点问题，对于一次函数（k为常数，），当的图象在一、二、三象限；当的图象在一、三、四象限；当的图象在一、二、四象限；当的图象在二、三、四象限，当时，y的值随着x增大而增大，当时，y的值随着x增大而减小． 【详解】解：∵一次函数解析式为，， ∴y的值随着x增大而减小，且函数图象经过第一、二、四象限，故A、D正确，不符合题意； 当时，， ∴函数图象与y轴的交点坐标为，当时，，故B说法错误，符合题意，C说法正确，不符合题意； 故选：B． 6. 在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则下列说法正确的是（ ） A. 如果AB＝CD，，那么四边形ABCD是平行四边形 B. 如果AC＝BD，AC⊥BD，那么四边形ABCD是矩形 C. 如果AB＝BC，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形 D. 如果AO＝CO，BO＝DO，BC＝CD，∠ABC＝90°，那么四边形ABCD是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】根据特殊四边形的判定定理，对各个选项中的说法进行判断即可得到答案． 【详解】解：A、如果AB = CD，AD// BC，那么四边形ABCD不一定是平行四边形，如等腰梯形，故选项不符合题意； B、如果AC = BD，AC⊥BD，那么四边形ABCD不一定是矩形，如等腰梯形中的对角线可能相等且垂直，故选项不符合题意； C、如果AB = BC，AC⊥BD，那么四边形ABCD不一定是菱形，如直角梯形，故选项C不符合题意 D、如果AO＝CO，BO＝DO，BC＝CD，∠ABC＝90°，那么四边形ABCD是正方形，故选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查正方形的判定、平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定，解答本题的关键是明确它们各自的判定定理． 7. 如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE=5，BE=12，则EF的长是（　　） A. 7 B. 8 C. 7 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】12和5为两条直角边长时，求出小正方形的边长7，即可利用勾股定理得出EF的值． 【详解】∵AE=5，BE=12，即12和5为两条直角边长时， 小正方形的边长=12-5=7， ∴EF=； 故选C． 【点睛】本题考查了勾股定理、正方形的性质；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键． 8. 下面的四个问题中都有两个变量： ①正方形的面积与边长； ②等腰三角形周长为20，底边长与腰长； ③汽车从地匀速行驶到地，汽车行驶的路程与行驶时间； ④用长度为10的绳子围成一个矩形，矩形的面积与一边长． 其中，变量与变量之间的函数关系可以用形如(其中是常数，)的式子表示的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了用关系式表示变量之间的关系，根据题意分别表示出变量之间的关系，逐项判断即可得出答案． 【详解】解：①正方形的面积与边长，则，故不符合题意； ②等腰三角形周长为20，底边长与腰长，则，即，故符合题意； ③汽车从地匀速行驶到地，汽车行驶的路程与行驶时间，则，故符合题意； ④用长度为10的绳子围成一个矩形，矩形的面积与一边长，则，故不符合题意； 综上所述，符合题意的有②③， 故选：C． 9. 如图，在四边形中，P 是对角线的中点，点E，F 分别是的中点，，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，根据三角形中位线定理得到，，得，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵P是的中点，E是的中点， ∴是的中位线， ∴，, ∴ ∴ 同理，， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 10. 在矩形中，，，动点P从点A出发，沿路线作匀速运动，连接，则的面积y与动点P的运动路程x之间的函数图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查动点问题的函数图象，能根据点的不同位置确定出变化趋势，且求出特殊点的值是解决此类问题的关键． 根据点在线段、线段两种情况确定随的变化规律，确定出当点与点重合时，的值即可判断． 【详解】解：当点在线段上运动时，的面积随点的增大而增大， 所以当时，， 当点在线段上运动时，的面积不随点的变化而变化，点在线段上运动的时间是线段上的2倍， 所以符合题意的是B选项． 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 使得二次根式在实数范围内有意义的的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，二次根式的被开方数为非负数，据此列出一元一次不等式求解，即可得到的取值范围. 【详解】要使二次根式在实数范围内有意义，则它的被开方数为非负数， 因此，移项得． 12. 如图是一个木花窗挂件，它的外周边缘为正八边形，则这个正八边形的每个内角为_______度． 【答案】 【解析】 【分析】根据正多边形的内角和公式计算即可． 【详解】解：∵八边形的内角和为， ∴正八边形的每个内角为． 13. 我国南宋时期著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载了这样一道题目： “今有沙田一块，有三斜，其中小斜七丈，中斜二十四丈，大斜二十五丈，欲知为田几何?”译文是：有一块三角形沙田，三条边长分别为丈，丈，丈，这块沙田的面积是__________平方丈 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理逆定理的实际应用，根据题意画出示意图，根据相关数据证明图形是直角三角形，根据面积公式计算即可． 【详解】解：根据题意，画出示意图如下： 丈，丈，丈， ，， ， 是直角三角形，且， （平方丈）, 故答案为：． 14. 一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，根据函数与的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键． 根据图象得：当时，函数图象位于轴下方，此时，即可求解． 【详解】解：通过图象可知，直线与轴的交点坐标为， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 15. 如图所示，购买一种苹果，所付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段和射线组成，则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省________元． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查利用函数的图象解决实际问题．正确理解函数图象上点的横纵坐标表示的意义是解题关键． 根据函数图象得到前面2千克，每千克元，超过2千克的每千克元，再分别求出两种购买情况需要的钱数进行比较，即可解题． 【详解】解：根据函数图象可得： 前面2千克，每千克元，超过2千克的每千克元． 则一次购买3千克需要的钱数为：（元）， 分三次每次购买1千克需要的钱数为：（元）， （元）， 则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省2元． 故答案为：2． 16. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，；分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线与交于点；以点为圆心，的长为半径画弧；再以点为圆心，的长为半径画弧，两弧在的右侧交于点；连接，．若的面积是60，，则四边形的周长是_______． 【答案】40 【解析】 【分析】由题意可得，平分，，，由，可得， ，由的面积是60，，可得，，即可求解． 【详解】解：由题意可得，平分，，， ∵， ∴，， ∵的面积是60，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴四边形的周长． 17. 如图，有一架秋千，当他静止时，踏板离地的垂直高度，将他往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，绳索的长度为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，利用勾股定理构造方程是解题关键． 秋千在运动过程中，长度固定不变，可得．两次的高度分别为和，因此．设，则，直角三角形的三边满足勾股定理，解出即可． 【详解】解：设， ∵绳索长度不变， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在直角三角形中，，代入得， ， 解得，， 故答案为：． 18. 有一个边长为1的正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上长出两个小正方形，其中，三个正方形的三条边围成的三角形是直角三角形，再经过1次这样的“生长”后，变成了如图1所示的图形．如果照此规律继续“生长”下去，它将变成如图2所示的“枝繁叶茂的勾股树”，请你算出“生长”了2027次后形成的图形中所有正方形的面积和是_______． 【答案】2028 【解析】 【分析】根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可．本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么． 【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1， ∵三个正方形的三条边围成的三角形是直角三角形， ∴由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积， ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， ∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， ……， ∴“生长”了2027次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2028． 19. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，连接，点是线段上的一个动点（包括两端点），直线上有一动点，连接，，已知的面积为，则点的坐标为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】先求出直线的解析式，判断出平行关系，用面积法求出原点到的距离，根据平行线间的距离处处相等得P到的距离，再根据的面积为，即可求出的长度． 【详解】解：∵，， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为：， ∵直线所在的斜率相同， ∴， 在中，， ∴，， 设原点到的距离， 则， ∴， 解得， ∵， ∴线段上任意点到直线的距离恒为， ∵， ∴， 解得， ∵在上，设， ∴， 解得：， ∴点的坐标为或． 20. 如图，四边形是矩形纸片，，对折矩形纸片，使与重合，折痕；展平后再过点折叠矩形纸片，使点落在上的点，折痕与相交于点；再次展平，连接、和，并延长交于点，点是中点，点是线段上一点，连接和．有如下结论：①是等边三角形；②四边形是菱形；③的值是；④的最小值是．上述结论中，所有正确结论的序号是_______． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】根据平行线的性质得出，根据第一次折叠得出，，，根据第二次折叠得出，，，，，，得出，，证出，再根据等边对等角和三角形内角和定理求出，即可证明是等边三角形，则①正确；证明，结合，，即可证明四边形是菱形，故②正确；根据，，，求出，即可求出，故③正确；连接，，根据折叠的性质可得，得出当三点共线时，最小，即最小，最小值是的值，证明是等边三角形，根据点是中点，得出，，勾股定理求出，即可求出的最小值，故④正确； 【详解】解： 在矩形中，，， ∴， 第一次对折使与重合，折痕是矩形， ∴，，， 第二次折叠使落于， ∴，，，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形，故①正确； ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴四边形是菱形，故②正确； ∵，，， ∴， ∴， ∴，故③正确； 连接，，， 根据折叠的性质可得， ∴， ∴当三点共线时，最小，即最小，最小值是的值， ∵，， ∴是等边三角形， ∵点是中点， ∴，， ∴， 即的最小值是，④正确； 综上，所有正确结论的序号是①②③④． 三、解答题（其中21题6分，22题7分，23题9分，24题8分，25―27题各10分，共计60分） 21. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的运算法则计算即可； （2）运用平方差公式和完全平方公式，计算即可． 【小问1详解】 解：原式． 【小问2详解】 解：原式． 22. 方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，请用无刻度直尺按下列要求画图．（保留作图痕迹，体现作图过程） （1）如图1，矩形四个顶点都是格点，点是上一点，过点作直线平分矩形的面积，直线交于点； （2）如图2，菱形四个顶点都是格点，过点画出菱形的高，垂足为点，并直接写出的长度． 【答案】（1）如图，即为所求． （2）如图，即为所求． ， 【解析】 【分析】（1）根据过中心对称图形的中心的直线平分图形的面积，即可画出图形； （2）取格点，连接，交于点，交于点，由图可得，，，可得，则，由，则，即． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：图略， 由图可得，，， ∵， ∴． 23. 某中学为了解学生对“爱眼护眼”知识的知晓情况，从七、八年级中各随机抽取了20名学生进行调查测试（百分制），测试成绩均不低于50分，对测试成绩进行了收集、整理、分析、描述、应用，将测试成绩共分五组：A．；B．；C．；D．；E．，并绘制了不完整的统计图（如图所示），请将统计过程中的有关问题补充完整． Ⅰ．收集、整理数据 七年级20名学生的测试成绩分别为：51，66，68，73，75，78，85，86，86，86，87，87，87，87，90，91，93，93，94，97 八年级学生测试成绩在C组和D组的分别为：76，78，78，78，78，78，78，84，86，88，89 Ⅱ．分析数据 成绩 平均数 中位数 众数 方差 七年级 83 86.5 122.6 八年级 81 128.85 Ⅲ．描述、应用数据 （1）通过计算补全频数分布直方图，并直接写出七年级测试成绩的第一四分位数是_______； （2）统计表格中_______，_______，_______（直接写出结果）； （3）从样本数据分析可以看出，测试成绩较好且比较整齐的是_______年级（填“七”或“八”）； （4）若该中学七年级共有学生300名，八年级共有学生200名，求估计七、八年级本次测试成绩不低于80分的总人数为多少人？ 【答案】（1）如图，补全频数分布直方图： ，第一四分位数是76.5 （2），， （3）七 （4）300人 【解析】 【分析】（1）根据七年级测试成绩在组的有8人，补全频数直方图即可，根据第一四分位数的定义即可求解； （2）根据相应数据即可求解； （3）根据表中的平均数，中位数，众数，方差，七年级的这些数据都好于八年级的，得到测试成绩较好且比较整齐的是七年级； （4）用300乘以七年级D组和E组所占比率，200乘以八年级D组和E组所占比率，取和即可求解． 【小问1详解】 解：七年级D组人数为（人），补全频数分布直方图略， ∵七年级20名学生的测试成绩从小到大排列为：51，66，68，73，75，78，85，86，86，86，87，87，87，87，90，91，93，93，94，97 解法一：∵， ∴七年级测试成绩的第一四分位数是第5个和第6个数据的平均数，即； 解法二：∵数据从小到大排列后，前10个数据的第5个和第6个数分别为75，78， ∴前10个数的中位数为， ∴七年级测试成绩的第一四分位数是． 【小问2详解】 解：∵七年级20名学生的测试成绩中，87分有4个，数量最多， ∴七年级20名学生的测试成绩的众数， 八年级学生测试成绩在A组的有：（人）， 在B组的有：（人）， 在C组和D组的测试成绩分别为：76，78，78，78，78，78，78，84，86，88，89， ∵， ∴第10位与第11位学生的成绩都是78分， ∴八年级学生测试成绩的中位数， ∵E组学生有：（人），C组中78分的有6个， ∴八年级学生测试成绩的众数， ∴，，． 【小问3详解】 解：由数据分析表可知，七年级的平均数，中位数，众数，方差都优于八年级的， ∴测试成绩较好且比较整齐的是七年级． 【小问4详解】 解：（人）． 答：估计七、八年级本次测试成绩不低于80分的总人数约为300人． 24. 数学活动： 宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界上有些著名的建筑，它们中有的建筑立面的矩形轮廓就非常接近黄金矩形． 下面我们折纸做一个黄金矩形： 第一步，在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 第二步，如图2，把这个正方形折成两个相同的矩形，再把纸片展平． 第三步，折出矩形的对角线，并把折到图3中所示的处． 第四步，展平纸片，如图4，按照所得的点折出，矩形就是黄金矩形． （1）你能说明为什么矩形是黄金矩形吗？（提示：设的长为2．） （2）如图3，下列线段的比中①；②；③；④比值为的是_______．（填所有正确的序号） 【答案】（1）证明：设， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵第二步中，折叠正方形得到两个相等的矩形， ∴点是的中点，， 在中，由勾股定理得：， 由第三步中折叠的性质得，， ∴， ∴矩形中，宽为，长为，，符合黄金矩形的定义， ∴矩形是黄金矩形； （2）①③ 【解析】 【分析】（1）设， 根据正方形的性质得出，，根据第二步中折叠得出，在中，由勾股定理得，由第三步中折叠的性质得，，求出，从而得出矩形中，，符合黄金矩形的定义，即可证明矩形是黄金矩形； （2）根据（1）中数据分别计算四个线段的比即可解答； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①，符合要求，正确； ②，错误； ③，符合要求，正确； ④，错误； 因此正确序号为①③． 25. 随着人们“环保低碳，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车商行经营的A型自行车去年销售总额为10万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低180元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求： （1）A型自行车去年每辆售价多少元？ （2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍．已知，A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型车销售价格为2300元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多？ 【答案】（1）A型自行车去年每辆售价为1800元 （2）新进A型车20辆，B型车40辆． 【解析】 【分析】（1）设A型自行车去年每辆售价为x元，则今年该型自行车每辆售价为(x-180)元．根据题意可列出关于x的方程，解出x再验算即可． （2）设这批自行车销售利润为w元，新进A型车y辆，则B型车(60-y) 辆．根据题意可列出关于w和y的一次函数关系式和关于y的一元一次不等式，再结合一次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：设A型自行车去年每辆售价为x元，则今年该型自行车每辆售价为(x-180)元． 根据题意有：， 解得：， 经检验是原分式方程的解， 答：A型自行车去年每辆售价为1800元； 【小问2详解】 解：设这批自行车销售利润为w元，新进A型车y辆，则B型车(60-y) 辆． 根据题意有， 整理得：， ∵， ∴当时，有最大值，即此时这批自行车销售获利最多． 答：应新进A型车20辆，B型车40辆． 【点睛】本题考查分式方程的应用、一次函数和一元一次不等式的实际应用．根据题意设出未知数，找出等量关系或不等关系，列出等式或不等式是解题关键． 26. 在数学活动课上，同学们开展“纸片折叠”为主题的探究活动． （1）如图1，四边形为矩形，，在上有一点，连接，将沿折叠，点的对称点为点，点正好落在对角线和的交点处，请直接写出的值； （2）如图2，四边形为矩形，，在上有一点，连接，将沿折叠，点的对称点为点，点恰好落在边的中点处，求的值； （3）如图3，四边形为正方形，在上有一点，连接，将沿折叠，点的对称点为点，延长交于点，延长到点，连接，使，延长到点，连接，使，若，，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据四边形为矩形，得出，，由折叠性质得，则，在中，由勾股定理求出，即可得出； （2）设，，由折叠性质得，根据是中点，得出，在中，由勾股定理得，整理得，即可解答； （3） 设，则， ，， 即可得， 等量代换得出，即可得，设，，则，在中和中，由勾股定理列方程求出，，即可得，，，由折叠的性质得，，，即可得，，设，则，连接，在和中，由勾股定理列方程求出，则，根据，，求出，由折叠的性质得，，求出，从而得，根据等角对等边得出，最后根据即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形为矩形， ∴，， 由折叠性质得， ∴， 在中，由勾股定理：， 又， ∴； 【小问2详解】 解：设，， 由折叠性质得， ∵是中点， ∴， 在中，由勾股定理：，即， 整理得， ∴； 【小问3详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，， 设，则： 在中，，  ∴， 在中，， ∴， ∴， 设，，则， 在中，由勾股定理得：①， 在中，由勾股定理得：②， 得：，展开化简得，解得， 代入①得， ∴（负值舍去）， ∴，，， 由折叠的性质得，，， ∴，， 设，则， 连接， 在和中，为公共斜边， ∴， ∴，化简得，解得， ∴， ∵，， ∴， 由折叠的性质得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 27. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，若点在轴的正半轴上，点在轴正半轴上，连接，若． （1）如图1，求直线的解析式； （2）如图2，点为线段上一点（不与、重合），点在轴的负半轴上，连接，过点作轴的平行线交于点，设点的横坐标为，点的横坐标为，线段的长度为，探究、、三者之间的数量关系（用含、的式子表示）； （3）如图3，在（2）的条件下，点是上一点，点是上一点（不与、重合）连接和，的延长线交轴于点，若，，，求线段的长度． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）原式可变形为，利用非负数的性质可得，，使用待定系数法求出直线的解析式； （2）先求出直线的解析式，再利用直线求出点的坐标，利用轴求出点的坐标，从而得出的长； （3）在轴的负半轴取点，使得，连接，作于点，连接，过点作的垂线，交的延长线于点，由坐标可计算出，．容易证明，则，，进而得到．由同角的余角相等可得，容易证明是等腰直角三角形，则，，从而得到，．容易证明，则，从而证明是等腰直角三角形，则．通过证明可得，在中，利用勾股定理构造方程，可计算出，则，．利用面积法可计算出，使用勾股定理可计算出，，求出直线的解析式，再与直线联立求出点的坐标．最后将求出的与的值代入（2）中的代数式即可求出的值． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴点的坐标为，点的坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入，得， ， 解得， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：由题意可知，点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∵轴， ∴， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∴； 【小问3详解】 解：如图，在轴的负半轴取点，使得，连接，作于点，连接，过点作的垂线，交的延长线于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在中，， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴点的坐标为， 在中，， ∴点的坐标为，即， 在中，， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 联立直线与直线，得， ， 解得， ∴点的坐标为，即， 由（2）可知，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度下学期八年级期末调研测试 数学学科试卷 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 我们约定“”为一种新运算，规定（其中，），则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 若一次函数的图象向下平移3个单位后经过点，则b的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 下列有关一次函数的说法中，错误的是（ ） A. y的值随着x增大而减小 B. 当时， C. 函数图象与y轴的交点坐标为 D. 函数图象经过第一、二、四象限 6. 在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则下列说法正确的是（ ） A. 如果AB＝CD，，那么四边形ABCD是平行四边形 B. 如果AC＝BD，AC⊥BD，那么四边形ABCD是矩形 C. 如果AB＝BC，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形 D. 如果AO＝CO，BO＝DO，BC＝CD，∠ABC＝90°，那么四边形ABCD是正方形 7. 如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE=5，BE=12，则EF的长是（　　） A. 7 B. 8 C. 7 D. 7 8. 下面的四个问题中都有两个变量： ①正方形的面积与边长； ②等腰三角形周长为20，底边长与腰长； ③汽车从地匀速行驶到地，汽车行驶的路程与行驶时间； ④用长度为10的绳子围成一个矩形，矩形的面积与一边长． 其中，变量与变量之间的函数关系可以用形如(其中是常数，)的式子表示的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④ 9. 如图，在四边形中，P 是对角线的中点，点E，F 分别是的中点，，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 在矩形中，，，动点P从点A出发，沿路线作匀速运动，连接，则的面积y与动点P的运动路程x之间的函数图象为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 使得二次根式在实数范围内有意义的的取值范围是_______． 12. 如图是一个木花窗挂件，它的外周边缘为正八边形，则这个正八边形的每个内角为_______度． 13. 我国南宋时期著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载了这样一道题目： “今有沙田一块，有三斜，其中小斜七丈，中斜二十四丈，大斜二十五丈，欲知为田几何?”译文是：有一块三角形沙田，三条边长分别为丈，丈，丈，这块沙田的面积是__________平方丈 14. 一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为___________． 15. 如图所示，购买一种苹果，所付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段和射线组成，则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省________元． 16. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，；分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线与交于点；以点为圆心，的长为半径画弧；再以点为圆心，的长为半径画弧，两弧在的右侧交于点；连接，．若的面积是60，，则四边形的周长是_______． 17. 如图，有一架秋千，当他静止时，踏板离地的垂直高度，将他往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，绳索的长度为___________． 18. 有一个边长为1的正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上长出两个小正方形，其中，三个正方形的三条边围成的三角形是直角三角形，再经过1次这样的“生长”后，变成了如图1所示的图形．如果照此规律继续“生长”下去，它将变成如图2所示的“枝繁叶茂的勾股树”，请你算出“生长”了2027次后形成的图形中所有正方形的面积和是_______． 19. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，连接，点是线段上的一个动点（包括两端点），直线上有一动点，连接，，已知的面积为，则点的坐标为_______． 20. 如图，四边形是矩形纸片，，对折矩形纸片，使与重合，折痕；展平后再过点折叠矩形纸片，使点落在上的点，折痕与相交于点；再次展平，连接、和，并延长交于点，点是中点，点是线段上一点，连接和．有如下结论：①是等边三角形；②四边形是菱形；③的值是；④的最小值是．上述结论中，所有正确结论的序号是_______． 三、解答题（其中21题6分，22题7分，23题9分，24题8分，25―27题各10分，共计60分） 21. 计算 （1） （2） 22. 方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，请用无刻度直尺按下列要求画图．（保留作图痕迹，体现作图过程） （1）如图1，矩形四个顶点都是格点，点是上一点，过点作直线平分矩形的面积，直线交于点； （2）如图2，菱形四个顶点都是格点，过点画出菱形的高，垂足为点，并直接写出的长度． 23. 某中学为了解学生对“爱眼护眼”知识的知晓情况，从七、八年级中各随机抽取了20名学生进行调查测试（百分制），测试成绩均不低于50分，对测试成绩进行了收集、整理、分析、描述、应用，将测试成绩共分五组：A．；B．；C．；D．；E．，并绘制了不完整的统计图（如图所示），请将统计过程中的有关问题补充完整． Ⅰ．收集、整理数据 七年级20名学生的测试成绩分别为：51，66，68，73，75，78，85，86，86，86，87，87，87，87，90，91，93，93，94，97 八年级学生测试成绩在C组和D组的分别为：76，78，78，78，78，78，78，84，86，88，89 Ⅱ．分析数据 成绩 平均数 中位数 众数 方差 七年级 83 86.5 122.6 八年级 81 128.85 Ⅲ．描述、应用数据 （1）通过计算补全频数分布直方图，并直接写出七年级测试成绩的第一四分位数是_______； （2）统计表格中_______，_______，_______（直接写出结果）； （3）从样本数据分析可以看出，测试成绩较好且比较整齐的是_______年级（填“七”或“八”）； （4）若该中学七年级共有学生300名，八年级共有学生200名，求估计七、八年级本次测试成绩不低于80分的总人数为多少人？ 24. 数学活动： 宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界上有些著名的建筑，它们中有的建筑立面的矩形轮廓就非常接近黄金矩形． 下面我们折纸做一个黄金矩形： 第一步，在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 第二步，如图2，把这个正方形折成两个相同的矩形，再把纸片展平． 第三步，折出矩形的对角线，并把折到图3中所示的处． 第四步，展平纸片，如图4，按照所得的点折出，矩形就是黄金矩形． （1）你能说明为什么矩形是黄金矩形吗？（提示：设的长为2．） （2）如图3，下列线段的比中①；②；③；④比值为的是_______．（填所有正确的序号） 25. 随着人们“环保低碳，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车商行经营的A型自行车去年销售总额为10万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低180元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求： （1）A型自行车去年每辆售价多少元？ （2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍．已知，A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型车销售价格为2300元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多？ 26. 在数学活动课上，同学们开展“纸片折叠”为主题的探究活动． （1）如图1，四边形为矩形，，在上有一点，连接，将沿折叠，点的对称点为点，点正好落在对角线和的交点处，请直接写出的值； （2）如图2，四边形为矩形，，在上有一点，连接，将沿折叠，点的对称点为点，点恰好落在边的中点处，求的值； （3）如图3，四边形为正方形，在上有一点，连接，将沿折叠，点的对称点为点，延长交于点，延长到点，连接，使，延长到点，连接，使，若，，求的值． 27. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，若点在轴的正半轴上，点在轴正半轴上，连接，若． （1）如图1，求直线的解析式； （2）如图2，点为线段上一点（不与、重合），点在轴的负半轴上，连接，过点作轴的平行线交于点，设点的横坐标为，点的横坐标为，线段的长度为，探究、、三者之间的数量关系（用含、的式子表示）； （3）如图3，在（2）的条件下，点是上一点，点是上一点（不与、重合）连接和，的延长线交轴于点，若，，，求线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $