精品解析：黑龙江省哈尔滨市道里区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试卷

2024—2025学年度下学期八年级数学学科调研测试 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可． 【详解】解：A、，是分式方程，故此选项不符合题意； B、，是二元二次方程，故此选项不符合题意； C、，是一元一次方程，故此选项不符合题意； D、，是一元二次方程，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是含有一个未知数且未知数的最高次数是2是解答本题的关键． 2. 下列图形中不是轴对称图形的是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 平行四边形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义逐项分析即可． 【详解】解：选项A、B、C均能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形， 选项D不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形． 故选D． 3. 下列长度的线段首尾相连构成三角形，其中不能构成直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理逆定理可进行求解． 【详解】解：A、由可知：，故该选项不符合题意； B、由可知：，故该选项不符合题意； C、由可设，则有，故该选项不符合题意； D、由可知：，所以不能构成直角三角形，故该选项符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键． 4. 在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向下平移2个单位长度可得到函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象平移的规律．根据“上加下减”的原则，向下平移2个单位长度只需在函数表达式中的常数项减去2即可． 【详解】原函数为，向下平移2个单位长度后，常数项由变为， 因此平移后的解析式为． 故选C． 5. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】由方程有实数根的情况可以的得到关于m的不等式，从而求解. 【详解】解；∵ 关于的一元二次方程有实数根， ∴ 且，即且， 解得且. 【点睛】本题考查一元二次方程，根据根的情况掌握根的判别式，列出不等式是解题关键. 6. 在一次同学聚会时，大家相互握手问候．如果每人都和其他人握手一次，一共握了45次手，那么参加这次聚会的同学共有（ ）人 A. 9 B. 10 C. 45 D. 46 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据握手次数的计算方式建立方程求解即可． 【详解】设有名同学参加聚会．每人与其他人各握手一次，但每两次握手会被重复计算一次，因此总握手次数为．根据题意，总握手次数为45次，列方程： ， 整理得： 解得（舍去） 故选B． 7. 如图，菱形的对角线，相交于点O，若，，则菱形边的长为（ ） A. B. 4 C. 8 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 由菱形的性质得出，由菱形的面积得出，则，进而根据勾股定理，即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，； 故选：D． 8. 若一次函数的图象经过第一、三、四象限，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查不等式组的解法，以及一次函数图象与系数的关系，掌握不等式组的解法，熟记一次函数图象与系数的关系是解题关键． 根据一次函数的图象经过第一、三、四象限，得到关于m的不等式组，求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：． 故选D． 9. 如图，点E是长方形的边上一点，将沿着对折，点D恰好折叠到边上的F点，若，，那么长为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据沿着对折，点D恰好折叠到边上的F点得到，，在中求出，即可得到，设，在中根据勾股定理求出，在运用勾股定理即可得到答案； 【详解】解：∵沿着对折，点D恰好折叠到边上的F点， ∴，， ∵四边形是长方形， ∴， 在中， ， ∴， 设， 在中， ，解得：， 在中， ， 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理与折叠问题，解题的关键是根据折叠得到线段相等，将线段转换在一个三角形中根据勾股定理求解． 10. 如图，在矩形OABC中，已知A（6，0），C（0，4），动点P从点A出发，沿A﹣B﹣C﹣O的路线匀速运动，设动点P的运动时间为t，△OAP的面积为S，则下列能大致反映S与t之间关系的图象是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分三段求解：①当在上运动时；②当在上时；③当在上；分别求出关于的函数关系式即可选出答案． 【详解】解：设的速度为 ①当在上运动时，， 、， ，， ； ②当在上时， ； ③当在上 ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，解题的关键是根据图形求出关于的函数关系式． 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 函数中自变量x的取值范围是__． 【答案】x≠3 【解析】 【详解】根据题意得x﹣3≠0， 解得x≠3． 故答案为x≠3． 12. 已知x＝1是方程x2+2mx﹣3＝0的一个根，则m＝_____． 【答案】1． 【解析】 【分析】把方程的根代入方程可以求出字母系数的值． 【详解】解：把x＝1代入x2+2mx﹣3＝0得1+2m﹣3＝0，解得m＝1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，一元一次方程的解法，掌握一元二次方程的解的定义，一元一次方程的解法是解题关键． 13. 若点，在正比例函数图象上，则________________（填，或） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数图象上的点的坐标特征，熟练掌握知识点是解题的关键．点，代入，比较大小比较即可． 【详解】解：∵点，在正比例函数图象上， ∴将点，代入得：， ∴， 故答案为：． 14. 如图，一次函数的图象经过点（0，1）和（2，0），则不等式的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】观察函数图象即可得解． 【详解】由图象可得：当x<0时，kx+b>1， 所以关于x的不等式kx+b>1的解集是x<0， 故答案为x<0．　 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于1的自变量x的取值范围；从一元一次不等式的角度看，就是求不等式 kx+b>1 的解集． 15. 符号“”表示一种新的运算，规定，则的值为 __． 【答案】 【解析】 【分析】根据新运算将6*2变换成，然后再计算即可． 【详解】解：由题意得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算、新定义的运算等知识点，将新定义运算转换成二次根式的混合运算是解答本题的关键． 16. 如图，在中，点D、E分别是、的中点，点F在上，且，若，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理求出，根据直角三角形的性质求出，计算即可． 【详解】解：∵D、E分别为、的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵E为的中点，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，解题的关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 17. 如图，在正方形中，点为对角线上的一点，，垂足分别为、，若，则的长度为_________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，根据正方形的性质证明，进而证明四边形是矩形，勾股定理求得即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，， 四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握矩形的对角线相等． 18. 如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象分别为直线，，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过作y轴的垂线交于点，…依次进行下去，则的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的找规律问题，一次函数的性质，根据一次函数的性质和图象的规律分别求出，，，依次求解即可求出. 【详解】解：∵过点作轴的垂线交于点， ∴， 把代入得，即， 把代入得，即， 把代入，得，即， 把代入得，即， 把代入得，即， 把代入，得，即， 把代入得，即． 故答案为：． 19. 如图，在中，，，P、Q分别是和上的点，，，M是边上的一动点，连接、．则的最小值为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定与性质，轴对称最短距离问题，作点关于的对称点，连接，根据题意易证是等边三角形，得到，再根据，，求出，由对称的性质易得，易证，推出，推出，易证四边形是平行四边形，得到，当三点共线时，则有最小值为的长，即可得到结果． 【详解】解：作点关于的对称点，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 由对称的性质易得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 当三点共线时，则有最小值为的长， ∴的最小值为． 故答案为：． 20. 如图，矩形中，于H，点P在上，，连接．若，，则线段的长等于_____． 【答案】5或 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形外角的性质，等腰三角形的判定与性质，利用分类讨论的思想是解题的关键．连接交于点O，连接，，分点P在和两种情况讨论，利用矩形的性质结合三角形面积公式，勾股定理求解即可． 【详解】解：当点P在上时， ∵四边形是矩形，，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 此时，点O，P重合， ∵， ∴； 当点在上时，分别过点，点C作，，垂足分别为G，M， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，线段 的长等于5或． 故答案为：5或． 三、解答题（共60分） 21. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是关键． （1）先把二次根式进行化简，再合并同类二次根式即可； （2）利用平方差公式进行运算再计算二次根式的除法即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 22. 按要求解方程： （1）（用因式分解法）； （2）（用公式法）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握解方程的方法是关键； （1）把方程化为，再进一步求解即可； （2）方程移项得：，再利用公式法解方程即可． 【小问1详解】 解： ∵， ∴， ∴，或， 解得：，； 【小问2详解】 解：， 移项得：， 则，，， ∴， 原方程有两个不相等的实数根， ， ，． 23. 如图，在边长为1的小正方形组成的的网格中，给出了以格点（网格线交点）为端点的线段． （1）以为边作菱形，使得C、D两点都在格点上，A并且菱形的面积为20； （2）以为对角线作矩形，点E在的左侧，点F在的右侧，使其面积等于菱形面积的一半； （3）连接，直接写出的长度． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了基本作图，菱形的性质，矩形的性质，勾股定理等知识． （1）网格中，由勾股定理得，则菱形的边长为5， 而点A到经过点B的水平线的距离为4，从而得出作法， （2）连接、交于点F；网格中，过点B作的平行线、过点A作的平行线，两条平行线交于点E，则四边形即为所求，由作法知∶，，则四边形是平行四边形，由“菱形对角线互相垂直平分”知∶，，则四边形是矩形且 （3）由（2）得F为的中点，即，利用勾股定理求出，进而可得出． 【小问1详解】 解：如下图：菱形即为所求： 【小问2详解】 解：连接、交于点F；网格中，过点B作的平行线、过点A作的平行线，两条平行线交于点E，则四边形即为所求： 【小问3详解】 解：由（2）得F为的中点，即， 由勾股定理，得， ∴． 24. 已知：中，对角线、相交于点O，、分别是和的角平分线． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若，于点F，直接写出长度等于长度的倍的所有线段． 【答案】（1）见解析 （2）、、 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理．解题的关键是熟练掌握以上知识点． （1）根据平行四边形的性质得到，，推出，由角平分线的定义，利用证明，即可得出结论； （2）由垂直的定义得到，由角平分线的定义求出，可证，由垂线的定义得到，求出，易证都是等腰直角三角形，即可求出，再结合，得到，再根据等腰三角形三线合一易证，即可答案． 【小问1详解】 证明：四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵ 分别是和 的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵ 分别是和 的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴都是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵都是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴长度等于长度的倍的所有线段有、、． 25. 夏季来临，救生衣销售日益火爆，某品牌救生衣五月份标价为每件80元，七月份标价增长至每件115.2元，假设两个月平均每月增长率相同． （1）求这两个月平均每月增长率； （2）七月份某商场购进该品牌甲、乙两种型号的救生衣共200件．甲、乙两型号的救生衣的进价分别为每件70元和每件78元．商场按照每件标价降低了15.2元的价格销售这批救生衣，为了保证总利润不少于5440元，该商城至少购进甲型号救生衣多少件？ 【答案】（1） （2）该商场至少购进130件甲型救生衣 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键． （1）设救生衣标价的月平均增长率为x，根据5月份标价为每件80元，七月份标价增长至每件115.2元，建立方程求解即可； （2）设该商场购进甲救生衣m件，则购进乙救生衣件，根据商场按照每件标价降低了15.2元的价格销售这批救生衣，保证总利润不少于5440元，建立不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设这两个月平均每个月增长率为x． ． 解得：，（舍） ． 答：这两个月平均每个月增长率为． 【小问2详解】 解：设该商场购进甲种型号的救生衣m件． （元） 解得： 答：该商场至少购进130件甲型救生衣． 26. 一次函数的图象分别交x轴和y轴于点A和点B． （1）如图1，求的度数； （2）如图2，在x轴上有一点，点E在线段上，直线交y轴于点D，，求经过C、E两点的一次函数的解析式； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，点P在直线上，Q是平面内一点，当以O、E、P、Q为顶点的四边形为矩形时，请直接写出点Q的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先求出点的坐标，得到，再根据，利用三角形内角和定理即可求解； （2）设，根据，可得点是点中点，由点D的横坐标为，求出e的值，可得点E的坐标，再利用待定系数法即可求解； （3）由（2）可求出，易得，求出，则，由（1）知，求出，分当为以 O、E、P、Q为顶点构成的矩形的边时，当为以 O、E、P、Q为顶点构成的矩形的对角线时，两种情况讨论，根据矩形的性质即可求解． 【小问1详解】 解：将代入，则， 令，解得：， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：设， ∵，， ∴点是点中点， ∵点D在y轴上，即点D的横坐标为， ∴， 解得：，则， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为； 【小问3详解】 解：由（2）知直线的解析式为， 将代入，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， 如图，当为以 O、E、P、Q为顶点构成的矩形的对角线时，则点Q在直线上， 设， 由（2）知， ∴， 解得：， 则， ∴； 如图，当为以 O、E、P、Q为顶点构成的矩形的边时， 设， 在中，， ∴，即， ∴，则， ∴， ， 解得：， ∴； 综上，点Q的坐标为或． 【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，一次函数与坐标轴的交点问题，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是得出的函数关系式． 27. 在中，点E在上，． （1）如图1，求证：是直角三角形； （2）如图2，是的角平分线，过点E作的垂线，垂足为点G，交于点F，交延长线于点H，K是上一点，，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，M是的中点，连接，过C作交的延长线于点N，，，求线段的长． 【答案】（1） 证明： 在中， 即 ∴，即 ∴ 是直角三角形； （2） 证明： 在中，， 在中， 是角平分线 ． 又 即． 即； （3）1 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得，即可得结论； （2）根据直角三角形的两个锐角互余和余角性质证得，再根据角平分线的定义得到，进而再利用直角三角形的两个锐角互余得到，结合已知可得结论； （3）过K作于点Q．先利用直角三角形斜边中线性质得到．利用等腰三角形的性质及等量代换可得，则，证明得到，；利用平行线的性质和等腰三角形的判定证明，利用直角三角形的斜边中线性质创造条件分别证明和得到，，， 设，利用勾股定理列方程求得，再设，利用勾股定理求得即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过K作于点Q． 是斜边中线， ． ， ． 即， ， 而， , 由（2）知， ， ，又 ， ， ， ，又 ， ，即 又且 ， ，， 设 在中， 在中， 则 解得：， ，， 在中， ，， ∴，， 设，则， 在中， 则 解得： ． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理及外角性质、角平分线的定义、直角三角形斜边上的中线、全等三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的性质等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度下学期八年级数学学科调研测试 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中不是轴对称图形的是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 平行四边形 3. 下列长度的线段首尾相连构成三角形，其中不能构成直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向下平移2个单位长度可得到函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 6. 在一次同学聚会时，大家相互握手问候．如果每人都和其他人握手一次，一共握了45次手，那么参加这次聚会的同学共有（ ）人 A. 9 B. 10 C. 45 D. 46 7. 如图，菱形的对角线，相交于点O，若，，则菱形边的长为（ ） A. B. 4 C. 8 D. 8. 若一次函数的图象经过第一、三、四象限，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 9. 如图，点E是长方形的边上一点，将沿着对折，点D恰好折叠到边上的F点，若，，那么长为（ ） A. 5 B. C. D. 10. 如图，在矩形OABC中，已知A（6，0），C（0，4），动点P从点A出发，沿A﹣B﹣C﹣O的路线匀速运动，设动点P的运动时间为t，△OAP的面积为S，则下列能大致反映S与t之间关系的图象是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 函数中自变量x的取值范围是__． 12. 已知x＝1是方程x2+2mx﹣3＝0的一个根，则m＝_____． 13. 若点，在正比例函数图象上，则________________（填，或） 14. 如图，一次函数的图象经过点（0，1）和（2，0），则不等式的解集是________． 15. 符号“”表示一种新的运算，规定，则的值为 __． 16. 如图，在中，点D、E分别是、的中点，点F在上，且，若，则的长为___________． 17. 如图，在正方形中，点为对角线上的一点，，垂足分别为、，若，则的长度为_________． 18. 如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象分别为直线，，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过作y轴的垂线交于点，…依次进行下去，则的坐标为_____． 19. 如图，在中，，，P、Q分别是和上的点，，，M是边上的一动点，连接、．则的最小值为______． 20. 如图，矩形中，于H，点P在上，，连接．若，，则线段的长等于_____． 三、解答题（共60分） 21. 计算： （1）； （2）． 22. 按要求解方程： （1）（用因式分解法）； （2）（用公式法）． 23. 如图，在边长为1的小正方形组成的的网格中，给出了以格点（网格线交点）为端点的线段． （1）以为边作菱形，使得C、D两点都在格点上，A并且菱形的面积为20； （2）以为对角线作矩形，点E在的左侧，点F在的右侧，使其面积等于菱形面积的一半； （3）连接，直接写出的长度． 24. 已知：中，对角线、相交于点O，、分别是和的角平分线． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若，于点F，直接写出长度等于长度的倍的所有线段． 25. 夏季来临，救生衣销售日益火爆，某品牌救生衣五月份标价为每件80元，七月份标价增长至每件115.2元，假设两个月平均每月增长率相同． （1）求这两个月平均每月增长率； （2）七月份某商场购进该品牌甲、乙两种型号的救生衣共200件．甲、乙两型号的救生衣的进价分别为每件70元和每件78元．商场按照每件标价降低了15.2元的价格销售这批救生衣，为了保证总利润不少于5440元，该商城至少购进甲型号救生衣多少件？ 26. 一次函数的图象分别交x轴和y轴于点A和点B． （1）如图1，求的度数； （2）如图2，在x轴上有一点，点E在线段上，直线交y轴于点D，，求经过C、E两点的一次函数的解析式； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，点P在直线上，Q是平面内一点，当以O、E、P、Q为顶点的四边形为矩形时，请直接写出点Q的坐标． 27. 在中，点E在上，． （1）如图1，求证：是直角三角形； （2）如图2，是的角平分线，过点E作的垂线，垂足为点G，交于点F，交延长线于点H，K是上一点，，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，M是的中点，连接，过C作交的延长线于点N，，，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $