福建龙岩市2025-2026学年第二学期高一期末监测数学试题

**基本信息** 高二期末数学试卷聚焦核心素养，通过立体几何、概率统计等综合题考查逻辑推理与实际应用，如概率题结合活动情境分析决策，立体几何题分层设计空间关系探究。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|三角函数、立体几何|第8题正弦定理应用，第11题空间截面与外接球计算，考查直观想象| |填空题|3/15|几何体外接球、向量|第14题结合外心求距离，体现空间观念| |解答题|5/77|概率、立体几何、三角函数|17题活动情境概率决策，18题分层考查空间角与面面平行，19题三角函数性质与导数应用，注重数学思维与表达|

2025~2026学年第二学期高一期末监测 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上． 2．答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若复数z满足，则z在复平面所对应的点在 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．在中，点D满足，设，，则 A． B． C． D． 3．某班级15名学生的物理单元测试成绩如下：72，75，78，80，81，83，85，86，88，90，92，93，95，97，98，则这组数据的第25百分位数为 A．78 B．79 C．80 D．83 4．已知圆台的上、下底面半径分别为2和4，母线与底面的夹角为，则该圆台的表面积为 A． B． C． D． 5．已知事件A和B互斥，满足，，则 A． B． C． D． 6．在四棱锥中，底面为平行四边形，点M满足，点N在棱上，使得平面，则 A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知平面向量，满足，且，则与夹角的余弦值的最小值为 A． B． C． D． 8．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若的平分线交边于点D，满足，且，则的值为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数z在复平面内对应的点为P，且满足，则 A．点P的轨迹是一条直线 B．复数z可以为纯虚数 C．的最小值为1 D．复数z的实部和虚部之和为0 10．随着居民收入水平提高，大众旅游时代全面来临．暑假期间，甲、乙两名同学独立地从龙岩、漳州、厦门、泉州四个城市中等可能地随机选择一个作为短途旅游目的地．设事件“甲选择龙岩”，事件“乙选择龙岩或厦门”，事件“两人选择的城市相同”，事件“至少有一人选择龙岩”，则 A．事件A与事件C相互独立 B．事件A与事件D相互独立 C．事件B与事件C相互独立 D．事件B与事件D相互独立 11．如图，在棱长为4的正方体中，M为的中点，P为线段上动点（含端点），则 A．过点A，C，M的截面的周长为 B．的最小值为 C．与平面所成角的正弦值的最大值为 D．当时，过点P作三棱锥外接球的截面，所得截面面积最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．平面向量，满足,，则向量在上的投影为________． 13．若复数z满足，则________． 14．三棱锥中，底面是边长为6的正三角形，，二面角为，三棱锥的外接球的体积为，则点P到平面的距离为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知平面向量，满足，，与的夹角为． （1）求； （2）若向量与相互垂直，求实数k的值． 16．（15分） 某单位承办了马拉松志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100个面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3． （1）求a，b的值，并估计这100个面试成绩的中位数（结果精确到小数点后3位）； （2）为了进一步研究情况，从以上各组中用分层抽样的方法选取20人，落在第二组的面试成绩的平均数和方差分别为63和18，落在第四组的面试成绩的平均数和方差分别为72和27，据此估计这两组的面试成绩的方差． 17．（15分） 2026年闽超足球比赛拉开帷幕．某商场为促进消费，组织一场“送足球挂件”项目．该项目由三个活动组成，每个活动各需参加一次且互不影响，连胜两个活动可以获得一样挂件，连胜三个活动可以获得两样挂件，活动规则如下：盒子中有五个相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5． 活动一：取出一个小球，数字为偶数则获胜； 活动二：有放回地依次取出两个小球，数字之和为6则获胜； 活动三：不放回地依次取出两个小球，数字之和为奇数则获胜． （1）分别求出活动一，活动二获胜的概率； （2）一名顾客先参加了活动一，接下来该顾客应该先参加活动二还是先参加活动三能使获得挂件的概率更大？ 18．（17分） 如图，等腰梯形中，，，，垂足为E，将沿翻折，得到四棱锥．在四棱锥中，，点M，N分别在线段，上，且． （1）求直线与直线所成角的余弦值； （2）求证：平面； （3）设二面角的大小为，点Q在线段上，二面角的大小为．是否存在实数，使得当时，满足？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19．（17分） 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，． （1）证明：； （2）若A，B为锐角， （ⅰ），求周长的最小值； （ⅱ）若k为整数，不等式成立，求k的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年第二学期高二期末监测 数学试题参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 选项 A C C B C B D A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 题号 9 10 11 选项 AB AC ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．2 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15．（本题满分13分） 解：（1）因为，，，2分 则，4分 所以．6分 （2）若向量与相互垂直， 则，即，11分 解得．13分 16．（本题满分15分） 解：（1）由题意可知，，解得；4分 ， 所以中位数为 7分 （2）设第二组、第四组的平均数分别为，，方差分别为，， 且各组频率之比为： ， 所以用分层抽样的方法抽取第二组面试者人， 第四组面试者人，9分 则第二组和第四组面试者的面试成绩的平均数，11分 第二组、第四组面试者的面试成绩的方差 故估计第二组、第四组面试者的面试成绩的方差是42．15分 17．（本题满分15分） 解：（1）设事件“活动一获胜”，事件“活动二获胜”， 事件“活动三获胜”，1分 活动一取出一个小球的样本空间为，则， 因为，所以，从而， 即活动一获胜的概率为；3分 活动二中有放回地依次取出两个小球的样本空间为， 则，因为，所以， 所以，所以活动二获胜的概率为．6分 （2）活动三不放回地依次取出两个球的样本空间为 ，则， 因为C为含有一个奇数一个偶数，所以，则， 即活动三获胜的概率为．8分 设“先玩活动二，获得挂件”，“先玩活动三，获得挂件”， 则，且，，两两互斥，A，B，C两两独立，所以 ，11分 又，且，，互斥，A，C，B独立，所以 ，14分 因为，所以接下来该顾客应该先玩活动三能使获得挂件的概率更大．15分 18．（本题满分17分） 解：（1）在线段上取点Q，使得，则四边形是平行四边形，故，连接，故是异面直线与所成角（或补角），，， 由勾股定理，． 由余弦定理得， 故异面直线与所成角的余弦值是．4分 （2）若F，G分别是，上的点，且， 连接，，，又， 所以，，即M，N，F，G四点共面， 由平面，平面，则平面， 同理可证平面，又，且都在平面内， 所以平面平面，平面， 故平面．9分 （3）等腰梯形中，，，，垂足为E，故， 连接，则易得， 过P作于H，连接， 因为面，面， 所以，又， 所以为二面角的一个平面角，11分 故，13分 同理，过Q作于R，连接，则为二面角的一个平面角，故 ，15分 根据，解得．16分 故 17分 19．（本题满分17分） 解：（1）因为， 所以， 整理可得，，3分 （2）（ⅰ）由， 可得，4分 因为A，B为锐角，则有： ①若，即，则A，B，，， 且在内单调递增， 可得，，且，， 即，， 可得，不合题意；5分 ②若，即，则A，B，，， 且在内单调递增， 可得，，且，， 即，， 可得，不合题意；6分 ③若，即，则，， 即，， 可得，符合题意； 综上所述：，即，可得，7分 又因为，即， 可得，， 当且仅当时，等号成立， 则，所以周长的最小值为．9分 （ⅱ）由（ⅰ）知，则， 设，，，10分 ， 因为，则，11分 则，则， 则 13分 ， 易知函数在上单调递减，15分 则， 则． 所以．17分 学科网（北京）股份有限公司 $