山东省青岛第五十八中学2025-2026学年高二下学期期末测试数学试题

保密★启用前 2024级高二（下）期末测试 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案题号。回答非选择题时，将答案写在答题 卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合A={x∈Nx≤5}，集合B={x|x(x-2)>0},则AOB=() A.{2,3,4} B.{3,4,5} C.[2,5) D.(2,5] 2.已知随机变量X的概率分布如下表，则D(2X+1)=() 2 3 0.3 a 0.3 A.2 B.0.6 C.5 D.2.4 3.设xy∈R,则“xy<1”是“x2+y2<2”的（) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 数学试题 第1页（共8页） 4.青岛某中学为了解高一高二学生的校园活动偏好，随机抽取两个年级各200名学生， 调查他们参与科技类、文艺类活动的情况，并用等高堆积条形图直观地展示调查结果如 图所示，经计算得到x2=8.651.下表是X独立性检验中几个常用的小概率值和相应的 临界值，下列说法正确的是() 0.05 0.01 0.005 0.001 Xa 3.841 6.635 7.879 10.828 1.0 口文艺类 0.8 科技类 0.6 0.4 0.2 0.0 高 高二 A.在调查的高一学生中，若按比例分层随机抽样抽20人，则参加科技类的学生有8人 B.在调查的高二学生中，选择文艺类比选择科技类的学生多20人 C.依据=0.01的独立性检验，我们认为年级与校园活动偏好类型的选择有关联，此推 断犯错的概率不大于0.01 D.依据α=0.001的独立性检验，我们认为年级与校园活动偏好类型的选择有关联，此 推断犯错的概率不大于0.001 5.某装置按如下规则亮灯：第1次亮2盏灯，以后每次亮灯数比前一次多3盏.现将每 连续两次的亮灯数合并为一组，记第k组亮灯总数为b.=马k-1+4k(k=1,2,…).若 4,4,…为该装置每次亮灯数，则数列{b,}的公差为（) A.3 B.6 C.9 D.12 数学试题 第2页共8页 6.若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)+f(2-x)=0,且当0≤x≤1时，f(x)=21-x2, 则f(2026)=（) A月 B.0 2 D.-2 7.已知 +诉 的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，将展开式中所有的 项重新随机排列，则有理项互不相邻的概率为() A. 8 B.7 9 C. D. 8.已知函数f(x)= 3,x≤0 ,若ffa)=log:f@),则a的取值范围是(） log;x,x>0 A.(-0,1) B.(-0,1] C.(-0,0)U(1,+0) D.(-0,0]U1,+m) 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有 多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知a>b>0,c<d<0,则() A.ac2>bc2 B. 11 a-c b-d C.be<ad D.ac<bd 10.中国科学院海洋研究所（海洋)、青岛港自动化码头（科技）、中国人民解放军海 军博物馆（人文）是青岛市适合高中生的代表性研学地，点.现有甲、乙、丙、丁4位同 学计划利用假期研学，每人从这三个地点中随机选择一个前往，且每个地，点至少有一人 前往.设事件A为“甲同学前往中国科学院海洋研究所研学”，事件B为“乙同学前往青 岛港自动化码头研学”.则() 数学试题第3页 （共8页) A.事件A发生有12种方案 R.P()} C.P(aB)=36 D.P(A B)=P(B A) 11.已知三次函数f(x)=ax(x-b)2,则() A.函数f(x)一定有两个极值点 B.当a<0<b时，f(a>f(a+b) C.当ab>0时，f(x)的极小值为0 D.3a,b∈R,f(x)在区间[ab]上的值域为[a,b 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.多项式(x-2y2-3)的展开式中x2y4项的系数为 13.设随机变量X~N(1,o2),若P(X≤@)=0.2，且P(1≤X≤a+2)=0.3,则 a= 14.已知集合A={1,a2,4,,an},B=h,b2,b,,bn,bnt},A×B={(x,y)川x∈A,y∈B}, 若集合c为有限集合，将集合C中的元素个数记为C设c,-Hx4BxB, AxB 数列{c,n}的 前n项和为S,,则S=一一 数学试题 第4页共8页 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.某种水稻可以生长在滩涂和盐碱地，将海水稀释后对其进行灌溉.青岛海水稻研发 中心为了研究海水浓度x(%)对亩产量y(t)的影响，通过在试验田的种植实验，测得了该 水稻的亩产量与海水浓度的数据如下表， 海水浓度x/% 3 4 5 亩产量y/t 0.57 0.53 0.44 0.36 0.30 残差e -0.01 0.02 m 0 绘制散点图发现，可以用一元线性回归模型拟合y与x的相关关系，用最小二乘法计算得 y关于x的经验回归方程为y=0.07.x+a. (1)求a,m,n的值； (2)请计算该回归模型的决定系数R(精确到0.01)，并评价其拟合效果.（若0.85≤R2≤1， 就认为拟合效果好；若0.7≤R2<0.85,就认为拟合效果一般；若2<0.7，就认为拟合 效果差) 附：决定系数R2=1- - 24- ，其中∑(y-y可=0.051 数学试题 第5页（共8页） 16. 已知数列{an}满足4.=a-1+nl(n≥2)，a=1 山证明：数列品是等差数列： ②设倒-2r+P+…+n,求r2. 3 (n+1)！ 17.已知函数f(x)=xe-a(x+1)2+1,a为实数. (1)讨论f(x)的单调性； (2)若函数f(x)有3个零点，且a∈Z,求a的最小值 数学试题 第6页共8页 18.将4个面上分别写有数字1,2,3,4的一个正四面体在桌面上连续独立地抛次（n为 正整数)，设X为与桌面接触的数字为偶数的次数，p为抛正四面体一次与桌面接触的 数字为偶数的概率 (1)当=5时，若正四面体的质地是均匀的，求X的数学期望和方差； 化若正四时体有袋疵，即p号 ①设p是抛掷正四面体次中与桌面接触的数字为偶数出现奇数次的概率，求证： pn=p+(1-2p)pm-1(n≥2)； ②求抛掷正四面体次中与桌面接触的数字为偶数出现偶数次的概率 19.若定义域为D的函数f(x)满足：①f(k)=O,k∈D; ②(f(x)-|x-k)·(f(x2)-|x2-kD<0对任意，飞∈D且x<k<七恒成立，则称f(x)具 有性质 [-2x+4,x≤2 (1)证明：函数f(x)={1 -1x>2 具有性质T; (2)判断函数g(x)=lx|是否具有性质T,并说明理由； 3i记)=（宁r2-++1)e-(+),若61具有性质工，求实数a的值 数学试题 第7页（共8页） 五、附加题 1数列a}满是a-日a=aaae.么2S-么+a++a, Pn=bbb.试求2Pn+Sn的值. 2设酒数)=r+a任水a∈R),且的最小值为0，若数列a}满足am-1. a+ad+2(n∈Z+),记S=[a]+[a2]+.+[a,[川表示不超过实数m的最大整数，求S. 数学试题第8页共8页2024级高二（下）期末考试 数学参考答案 2026.07 1.B2.D 3.B4.C5.D6.C7.B8.D 9.ABD 10.ACD 11.BCD 12.-360 13.0 14. 2m+3n n+1 5【详解】(1)x=+40+=5,=×(0.57+0.53+0.44+0.36+0.30)=04, 将(5,0.44)代入=0.07x+à可得0.44=-0.07x5+a,即a=0.79. 所以经验回归方程为y=-0.07x+0.79 因=0.07×5+0.79=0.44，则m=⅓-=0.44-0.44=0 又因y4=-0.07×6+0.79=0.37,则n=4-y4=0.36-0.37=-0.01. (2)g-9户=(-0.0D2+0.02+02+(-0.0102+02=0.00c 所以决定系数R'=1-00006=0.99,故该模型拟合效果良好. 0.051 16.(1)由a.=0-1+!(n≥2)，两边同除以l, 得%=+四，即2=8+1. n!!n! 'n!(n-1)！ 令6=%，则b-6=1 所以弘}是首项为1，公差为1的等差数列，即 是等差数列 n! (2)由(1)可知，b,=1+(n-1)×1=n,即a,=n!,n=1时，4=1.1！=1也满足. 由f四-r+7++r。 (n+1) 数学参考答案第1页（共8页) 得f(闭-品+经r++品，又a,=n心， 2! n! 所以f'(x)=1x+2x2+3.x+…+nx” 所以f(2)=12+2.22+3.2+…+n2”, 令S=1.2+2.22+3.23+…+n.2”, 则2S=122+2.2+3.24+…+(n-1)2”+n2+, 两武相减，得-S=2+2+2+…+2-.24= 20-2）-2=【←n24-2 1-2 所以S=(-1)2m1+2，即f(2)=(n-1)2++2. 17.【详解】(1)f'(x)=(x+1)e-2a(x+1)=(x+1)(e-2a). 当a≤0时，令f"(x)>0,解得x>-1,令f"(x)<0,解得x<1, .f(x)在(-o,-1)上单调递减，在(-1，+o)上单调递增： 当a>0时，令f"(x)=0,x1=-1,x2=ln(2. @a0时，4>4， x<h(2)或x>-1时，f'(x)>0,x∈(ln(2,-1)时，f'(x)<0, .f(x)在(o,h(2a),(-1,+o)上单调递增，在(n(2a),-1)上单调递减： ②当a=时，飞=，f')≥0，f)在R上单调递增： 2e ③当a>时，<5， x<-1或x>h(2a)时，f'(x)>0,x∈(-1，ln(2a)时，f"(x)<0, .f(x)在(-o,-1),(n(2a,+o)上单调递增，在(-1，h(2a)单调递减. 综上：当α≤0时，f(x)在(-，-l)单调递减，在(-1，+)上单调递增： 数学参考答案第2页共8页 当ae0, 1 时，f(x)在(-o,ln(2a),(-1,+w)上单调递增，在(n(2ad),-1)上单调递减： 2e 1 当a=时，f(x)在R单调递增； 2e 当a 2e时，f(在(-0-0.h(2a.+o)单调递增，在(1n(2a》单调递减. (2)由(1知，当a≤0或a-公时，f)至多2个零点，不合题意： 当a=0对)时，在-oh2aj(eL+o)上单调送地在a(a-)上单词莲藏 而fm(2a)>f(-1=1-1>0, .f(x)在(-o,ln(2a)上至多1个零点，在(ln(2,+o)上无零点，不合题意； a云在（小u(20+)单调通增，在(Lh(2a上单调道减。 因为f(-1)>0,所以需f(n(2a)=2an(2a)-a(1+ln2a2+1<0. 令1=2a名g0=h1号0+n时+1g0-之0+h<08g0在上单调递减 80-7082=-m2<0i≥2a1. 又当a=1时，f@=2e-8>0,f-2)=30 根据函数在R上的连续性以及零点存在性定理知f(x)在(-o,-1),(-1,ln(2),(ln(2a,+w) 上分别有一个零点.综上，a的最小值为1. 18.【详解】(1)因为正四面体的质地是均匀的，p为抛掷正四面体一次与桌面接触的数 字为偶数的概率， 所以n=子分进步得，X~8》 所以B(X)=四=5x1-5 22 D(X)=m1-p)=5xx1 22 以X的数学期望和方差分别为号 4 数学参考答案第3页 (共8页) (2)①因为卫，是抛正四面体次中与桌面接触的数字为偶数出现奇数次的概率， 所以P,-1是抛正四面体n-1次中与桌面接触的数字为偶数出现奇数次的概率， 当n≥2时，当在前-1次抛掷试验中正四面体与桌面接触的数字为偶数出现奇数次时， 第n次抛掷的结果必须出现奇数，才可以保证前次抛掷中与桌面接触的数字为偶数出 现奇数次，所以Pn=Pn1(1-p), 当在前-1次抛掷试验中正四面体与桌面接触的数字为偶数出现偶数次时， 第n次抛掷的结果必须出现偶数，才可以保证前次抛掷中与桌面接触的数字为偶数出 现奇数次，所以Pn=(1-P-1)p, 由互斥事件概率的加法法则得P.=Pn-1(1-p)+(1-P-1)p=p+P,1(1-2p), 即Pn=p+P(1-2p)(n≥2)； ②设P.-x=(1-2p)(p-x),结合①所得关系，则x= 即a0-2p叭)且n≥2，义Ap- 所以以号(pa2p,所以n=上2 2B(@ex): 2 所以抛掷正四面体次中与桌面接触的数字为偶数出现偶数次的概率为 1-A=1+02eN) 19.【详解】(1)依题意，f(2)=0: 当<2时，f(3)-|x1-2=-2x+4+x1-2=2-x1>0, 当%>2时，)5-221-+21-2<0， 因此(f(x)|x1-2)·(f(x2)x2-2)<0,所以f(x)具有性质T 数学参考答案第4页共8页 (2)依题意，81)=0： 令G)=nx-x+1,求导得G)=1-1, 当0<x<1时，G(x)<1,当x>1时，G'(x)>0, 函数G(x)在(0,1)上单调递增，在1，+0)上单调递减， 因此当x>0,x≠1时，G(x)<G)=0,即lnx<x-1, 当0<x1<1<x2时，lnx1<x1-1<0<ln2<x2-1,则llnx>x1-1,nx2K|2-1, 因此(8(x1)-|-1)(g(x2)-x2-1)<0,所以8(x)具有性质T: (3)由)=+（兮r*a2-a+e=3a++0, 所以h(x)在R上单调递增，又h(O)=0, 所以函数h(x)有唯一零点0，则Ihx)川只能具有性质T, 令0=)-，求导得H)-导+号ax+d2-a+1e-1, 令()=H),求导得)=+0-x+云-2a+e=G兮-a++e>0, 函数H'(x)在R上单调递增，H'(O)=a2-a,H(0)=0, ①当a=0或1时，H'(0)=0,由H'(x)在R上单调递增， 当x<0时，H'(x)<0;当x>0时，H'(x)>0, 函数H(x)在(-∞，0)上单调递减，在(0，+o)上单调递增， 则对任意x1∈(-0,0)，x2∈(0，+0)，均有H(x1)>0,H(x2)>0, 即x1<h(x)<0<x2<h(x2),于是|h(x)kx1,x3Kh(x2)川， (h(3)D(3),0,因此函数h1具有性质： 数学参考答案第5页（共8页） ②当0<a<1时，r0<0H0-a-+3e1>景10， 于是存在m∈(0,1)使得H'(m)=0, 当x<m时，H'(x)<0,函数H(x)在(-o,m)上单调递减， 则对任意x1∈(-0,0)，x2∈(0，)，均有H(x)>0,H(x2)<0, 即x1<h)<0<h(2)<x2,于是|)xl,lhx)x, （h(x)k）h(s)k)>0,因此函数1不具有性质： ③当a<0或a>1时，H'(0)>0, 当x→-o时，H'(x)<0,则存在n∈(0,0)使得H'(m=0, 由H'(x)在R上单调递增， 当x>n时，H'(x)>0,则H(x)在，+∞)上单调递增， 则对任意x1∈(n,0),x2∈(0，+o),均有H(x)<0,H(x2)>0, 即h(x)<x<0<x2<h(x),于是|h(x)>x,l(x2)x2|, (h())2))>0,因此函数1不具有性质， 所以实数a的值为0或1. 附加题 1.2 【详解】因为4=2’ai=a+a,neN,所以，a1=a.(a.+). 1=42=4H-4-11 则b.=1+dad.s a.d dho doe R=Ab,b-9马4=1 dd a 2a 数学参考答案第6页共8页 故22+=1+2-1）=2 2.S72=2t1 【详解】了闭-号-8e0 当a≤0时，∫'(x)>0,则x)在区间(0，+∞)内单调递增，无最小值，不符合题意. 当a>0时，若0<x<a,则f'(x)<0: 若x>a,则f'(x)>0. 所以，函数x)在区间(0，)内单调递减，在区间(a,+∞)内单调递增。 故fx)mtfa=ln-a+1. 设8la=lmaa+1a>0.则g'(a)=1-1=1-a 若0<a<1,则g'(a)>0: 若a心1，则g'(a)<0 所以，函数g(@在区间(0,1)内单调递增，在区间(1，+∞)内单调递减. 故g(ag（1)=0 当且仅当a=1时，上式等号成立 从而，当a=1时，x)取得最小值0. f()=mx+1-1. 1 则a+1an)+2=lna+ +1. 数学参考答案第7页（共8页） 由a=1,得a2=2. 从而，a=2, 因为亏<2<1，所以，2<asx3. 下面用数学归纳法证明：当23时，2<4<3. 当3时，结论已成立. 假设11=k23)时，2<<3. 当作+1时，有a=ha+1+1 由(1)知 hx)=x)+2=lx+二+1 在区间(2,3)内单调递增. 所以，h(2)<h(3)，即 2+<a)kh3+含1 由h2>5,hm33→2<Mak3p2<aK3. 5 即当=k+1时，结论也成立. 由归纳假设，知对一切整数心3，均有2<<3. 于是，[a]=1,[a=222). 故S4=[a]+[a]+…+[a1]=1+2(n-1)=2n-1. 数学参考答案第8页共8页可搦口 2024级高二（下)期末测试数学答题卡 姓名： 班级： 考场/座位号： 注意事项 1.答题前请将姓名、班级、考场、准考证 号填写清楚。 [0] [0] [0] [o] [0] [0] [0] [0] [0] 2.客观题答题，必须使用2B铅笔填涂，修 [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1 改时用橡皮擦干净。 [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] 2 3.必须在题号对应的答题区域内作答，超出 [3] [3] [3] [3] 31 [3] [3] 答题区域书写无效。 [4] [4] [4] [4] [4 [5] [5] [5] [5] 6 [5] [6] [6] [6] (6) [6] [61 正确填涂 缺考标记 [7] [7] [71 [7] [7] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] 客观题(18为单选题；9~11为多选题) 1[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] T[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 填空题 12. 13. 14 1 ■ ■囚ㄖㄖ (EI)'SI ■ ■ 16.(15分) I I I l ■ 囚囚■囚 ■ 囚■ㄖㄖ (SI)LI ▣ ■ 见圆职 2024级高二（下）期末测试数学答题卡 姓名： 班级： 考场/座位号： 考 注意事项 1.答题前请将姓名、班级、考场、准考证 号填写清楚。 [o] [0] 0] o 0) [o] (oj 2.客观题答题，必须使用2B铅笔填涂，修 改时用橡皮擦干净。 3833 [1 [ ] 3.必须在题号对应的答题区域内作答，超出 23 3] [3] 答题区域书写无效 [4] 1 [4] [4 [4] [5] [5] 5] 333359 [ [6 56 正确填涂 缺考标记 7剧S H88456789 0123456789 1 1 1 ■ 囚 ■■ ■ ■■囚ㄖ (LI)8I ■ ■ 19.(17分) 1 l I l 1 ■ 囚■囚囚 ■ 囚囚■囚 r拟 ▣