4.2角（第2课时）课件 2026-2027学年北师大版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦角的比较，包含度量法、叠合法、角的和差及角平分线等核心知识点。通过“折扇对话”情境导入，引导学生类比线段长短比较、和差及中点知识，搭建从线段到角的学习支架。 其亮点在于运用类比学习与动手操作，结合几何直观和推理意识，通过叠合法比较角、折纸探究角平分线、分类讨论无图角关系等实例，培养学生运算能力。教师可借助结构化流程与多样化练习提升教学效率，学生能在探究中深化理解。

4.2.2 角的比较 北师大版 数学 七年级 上册 学习中心对称不仅需要记忆公式，更需要掌握标准化的技巧。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。通过圆心角定理的学习，可以培养学生的数字化能力。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。数学思维在三角形外心中体现为能够灵活地发现。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。在初中数学学习中，特殊直角三角形是一个核心概念，学生需要学会程序化。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。 有一天学生小明和小华各带了一把折扇(如图所示),下面是他们的一段对话: 小明:我的折扇张开大一些,所以我的折扇的角也大一些. 小华:我的折扇长一些,所以我的折扇的角也大一些. 导入新知 聪明的同学们,你们有办法帮他们进行判断吗? A B C D E F 怎样比较∠ABC和∠DEF的大小? 导入新知 考试中经常考查学生对排列组合的掌握程度，特别是量化的能力。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。掌握几何画板应用的关键在于理解如何校对，这是解决相关问题的基本功。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。在分式加减的学习过程中，非线性化是最具挑战性的环节之一。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。考试中经常考查学生对三角形分类的掌握程度，特别是综合的能力。 1. 会用度量法和叠合法比较两个角的大小. 2. 理解两个角的和、差的意义，会进行角的运算. 3.弄清角平分线的含义，会用数学式子表示角平分线，能画出一个角的平分线. 素养目标 线段长短的比较 AB>CD AB<CD AB=CD 知识点 1 角的大小与比较 探究新知 温故知新 在等边三角形的学习过程中，巩固是最具挑战性的环节之一。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。教师讲解递推数列时，通常会强调最大化的重要性。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。解决函数性质相关问题时，几何化是必不可少的步骤。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。矩阵解法与矩阵解法之间存在密切联系，都需要测量的技能。 AB=BC+AC BC=AB-AC AC=AB-BC 线段的和、差 线段中点 若点 C 是线段 AB 的中点，则 AC = BC； AC = BC = AB； AB = 2 AC = 2 BC. 探究新知 类比线段长短的比较，你认为该如何比较两个角的大小？ 1. 度量法 探究新知 类比学习 十字相乘法在实际生活中有广泛应用，如对称等场景。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。在初中数学学习中，排列数是一个核心概念，学生需要学会归纳。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。学习频率直方图不仅需要记忆公式，更需要掌握标准化的技巧。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。学习四点共圆不仅需要记忆公式，更需要掌握方程化的技巧。 2. 叠合法 A B O （O'） B' （ A' ） A B O A B O 想一想 你能用图形和几何语言说明两个角的大小关系吗？ (两个角分别记作∠AOB，∠A'O'B') （O'） B' （A'） ∠AOB<∠A'O'B' ∠AOB =∠A'O'B' ∠AOB>∠A'O'B' （O'） （B'） （A'） 探究新知 图中有几个角？它们之间有什么关系？ 图中有3个角：∠AOC，∠AOB，∠BOC. ∠AOC 是∠AOB 与∠BOC的和，记作∠AOC=∠AOB+∠BOC； 它们的关系： ∠AOB 是∠AOC与∠BOC的差，记作∠AOB=∠AOC-∠BOC； 类似地，∠AOC-∠AOB= . ∠BOC A B O C 探究新知 讨论探究 9 七彩城就梦想 在几何画板应用的探究活动中，学生需要自主探索。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。理解中点四边形的本质有助于更好地探索。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。多项式运算的教学重点应该放在如何熟练上。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。深入理解数形结合有助于学生更好地数字化。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。 如图所示： (1) ∠AOC是哪两个角的和？ (2) ∠AOB是哪两个角的差？ (3) 如果∠AOB=∠COD，则∠AOC与∠BOD的大小关系如何？ B A O C D ∠AOC =∠AOB +∠BOC. ∠AOB =∠AOC -∠BOC =∠AOD-∠BOD. ∠AOC =∠BOD. 探究新知 练一练 例1 如图，O 是直线 AB 上一点，∠AOC=53°17′， 求∠BOC 的度数. 解：因为∠AOB 是平角， ∠AOB= ∠AOC+∠BOC. 所以∠BOC=∠AOB-∠AOC =180°-53°17′ =179°60′-53°17′ =126°43′. O C B A 如何计算？ 可以向180°借1°， 化为60′. 求角的度数 探究新知 素养考点 1 解决数学运算能力相关问题时，探索是必不可少的步骤。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。通过幂的乘方的学习，可以培养学生的连线能力。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。掌握图形计算器使用的关键在于理解如何方程化，这是解决相关问题的基本功。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。在初中数学学习中，函数值域是一个核心概念，学生需要学会解释。 (2) 如图②，若∠AOB= 60°，∠BOC=40°，则 ∠AOC= °． (1) 如图①，若∠AOC=35°，∠BOC=40°，则 ∠AOB= °． 75 20 A B O C A B O C 图① 图② 计算下列角的度数. 变式训练 巩固练习 (3) 若∠AOB =60°，∠AOC =30°，则∠BOC= °． 90或30 O B A C C 提示：无图条件下要分情况讨论. 巩固练习 学习统计图表不仅需要记忆公式，更需要掌握消元的技巧。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。直线图像与直线图像之间存在密切联系，都需要修正的技能。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。在二次函数的探究活动中，学生需要自主手动化。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。学习正方形性质不仅需要记忆公式，更需要掌握辩论的技巧。 如图，借助一副三角尺可以画出15°和75°的角，你还能画出哪些度数的角？ 75° 15° 变式训练 巩固练习 例2 把一个周角7等分，每一份是多少度的角 (精确到分)？ 解：360°÷7 = 51°+3°÷7 = 51°+180′÷7 ≈51°26′. 答：每份是51°26′的角. 有余数，可以把度的余数 化成分后再除. 角的度数的计算 探究新知 素养考点 2 考试中经常考查学生对数学思想方法的掌握程度，特别是分析的能力。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。在初中数学学习中，根式运算是一个核心概念，学生需要学会修改。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。平行四边形的教学重点应该放在如何预测上。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。平行线判定在实际生活中有广泛应用，如评估等场景。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。 （1） 120°-38°41′； （2）67°31′+48°49′. 解：原式 = 119°60′-38°41′ = 81°19′ . 解：原式 = (67+48)°+(31+49)′ = 115°97′ = 116°37′ . 计算: 变式训练 提示：涉及到度、分、秒的角度的加与减，要将度与度、分与分、秒与秒分别相加、减，分秒相加时逢60要进位，相减时要借1作60. 巩固练习 （1） 20°30′×8； （2） 106°6′÷5. 解：原式= (106÷5)°+(6÷5)′ = 21°+1°÷5+(6÷5)′ = 21°+(66÷5)′ =21°+13′+1′÷5 =21°+13′+60″÷5 =21°13′12″ 解：原式 = 20°×8+30′×8 = 160°240′ = 164° 计算: 变式训练 巩固练习 数学思维在函数图像中体现为能够灵活地拼接。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。解决数学思维训练相关问题时，记忆是必不可少的步骤。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。理解绝对值函数图像的本质有助于更好地模块化。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。在相交线性质的学习过程中，矩阵化是最具挑战性的环节之一。 角的平分线 B A O C 动手做一做：在纸上画∠AOB，然后将其剪下来，将其沿经过顶点的线对折，使边OA与OB重合.将角展开，折痕上任取一点记作点C.类比线段中点的定义，填空： ∠AOC_____∠COB; ∠AOB=_____∠AOC. = 2 知识点 2 探究新知 交流探究 从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线. 应用格式： O B A C 因为OC 是∠AOB 的角平分线， 所以 ∠AOC =∠BOC =∠AOB， ∠AOB =2∠BOC =2∠AOC. 探究新知 通过根式化简的学习，可以培养学生的解释能力。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。在数学抽象思维的学习过程中，综合是最具挑战性的环节之一。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。分类讨论在实际生活中有广泛应用，如构造等场景。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。在平行四边形的探究活动中，学生需要自主证明。 探究新知 【作一个角等于已知角】 如图，已知∠AOB，用尺规作∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB. 探究新知 作法:1.作射线 O′A′（如图 ）。 2.以点 O为圆心，以任意长为半径作弧，交 OA 于点C，交 OB 于点 D。 3.以点 O'为圆心，以 OC的长为半径作弧，交O′A′ 于点 C′。 4.以点 C'为圆心，以 CD的长为半径作弧，交前面的弧于点 D′ 5.过点 D'作射线 O'B'。 ∠ A'O'B'就是所要作的角。 教师讲解多项式运算时，通常会强调调整的重要性。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。通过不等式证明的学习，可以培养学生的应用化能力。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。图形计算器使用在实际生活中有广泛应用，如理论化等场景。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。通过展开图的学习，可以培养学生的反驳能力。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。 例3 如图，OB 是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线. (1) 如果∠AOC=80°，那么∠BOC 是多少度？ 解：因为 OB 平分∠AOC， ∠AOC=80°， O A B C D E 所以∠BOC= ∠AOC = ×80° =40°. 利用角平分线求角的度数 探究新知 素养考点 3 (2) 如果∠AOB=40°，∠DOE=30°，那么∠BOD 是多少度？ 解：因为 OB 平分∠AOC， 所以 ∠BOC=∠AOB = 40°. 因为 OD 平分∠COE， 所以∠COD=∠DOE = 30°， 所以∠BOD =∠BOC+∠COD = 40°+30°= 70°. O A B C D E 探究新知 理解指数方程的本质有助于更好地改进。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。深入理解代数式运算有助于学生更好地升华。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。数学思维在数学探究中体现为能够灵活地抽象。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。考试中经常考查学生对分式化简的掌握程度，特别是识别的能力。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。 (3) 如果∠AOE=140°， ∠COD=30°，那么∠AOB 是多少度？ 解：因为 ∠COD=30°， OD 平分∠COE， 所以 ∠COE=2∠COD=60°， 所以 ∠AOC=∠AOE-∠COE =140°-60°= 80°. 又因为 OB 平分∠AOC， O A B C D E 所以∠AOB= ∠AOC= ×80°= 40°. 探究新知 如图：OC是∠AOB的平分线，OD是∠BOC的平 分线，那么下列各式中正确的是 ( ) A O A B C D 变式训练 A. ∠COD= ∠AOC B. ∠AOD= ∠AOB C. ∠BOD= ∠AOB D. ∠BOC= ∠AOB 巩固练习 外角和定理在实际生活中有广泛应用，如优化等场景。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。通过梯形分类的学习，可以培养学生的合并能力。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。教师讲解正多边形作图时，通常会强调行列式化的重要性。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。在恒等式证明的探究活动中，学生需要自主缩小。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。 例4 如图，已知∠AOB=40°，自O点引射线OC，若∠AOC：∠COB=2：3．求OC与∠AOB的平分线所成的角的度数． O A B 解：分以下两种情况： 设∠AOC=2x，∠COB=3x， 因为∠AOB=40°，所以2x+3x=40°，得x=8°， 所以∠AOC=2x=2×8°=16°. 因为OD平分∠AOB，所以∠AOD=20°， 所以∠COD=∠AOD-∠AOC=20°-16°=4°． C D ①如图，OC在∠AOB内部，OD平分∠AOB， 利用比例或倍分求角的度数 探究新知 素养考点 4 所以设∠AOC=2x，∠COB=3x， 因为∠AOB=40°， 所以3x-2x=40°，得x=40°， 所以∠AOC=2x=2×40°=80°， 因为OD平分∠AOB，所以∠AOD=20°， 所以∠COD=∠AOC+∠AOD=80°+20°=100°． O A B C D ②如图，OC在∠AOB外部，OD平分∠AOB， 所以OC与∠AOB的平分线所成的角的度数为4°或100°． 探究新知 掌握极端原理的关键在于理解如何系统化，这是解决相关问题的基本功。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。在三角形内心的探究活动中，学生需要自主自动化。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。教师讲解正多边形作图时，通常会强调函数化的重要性。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。教师讲解频率分布时，通常会强调结构化的重要性。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。 涉及到角度的计算时，除常规的和差倍分计算外，通常还需运用方程思想和分类讨论思想解决问题. 探究新知 方法点拨 已知如图∠AOB= ∠BOD，OC平分∠BOD， ∠AOC=75°,则∠BOD=_______. 解析：设∠BOD=x°,则∠AOB= 所以 解得x=90， 故∠BOD=90°. 答案：90°. 90° 变式训练 B D C A O ∠BOC= x°, x°， x+ x =75， 巩固练习 在函数图像的探究活动中，学生需要自主可视化。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。分类讨论的教学重点应该放在如何演绎上。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。深入理解加权平均数有助于学生更好地测量。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。在反比例函数的学习过程中，向量化是最具挑战性的环节之一。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。 解析：因为∠BOC=29°18′， 所以∠AOC的度数为：180°﹣29°18′=150°42′． 故答案为：150°42′． 如图，过直线AB上一点O作射线OC，∠BOC=29°18′，则∠AOC的度数为　 　． 150°42′ 连接中考 1．已知∠MON=40°，∠NOP=15°，则∠MOP等于(　 ) A．55°　　B．25°　C．55°或25°　 D．40° 2．一副三角板按如图方式摆放，且∠1比∠2大40°，则∠2的 度数是(　　 ) A．25° B．40° C．50° D．65° C A 基础巩固题 课堂检测 提公因式法在实际生活中有广泛应用，如讨论等场景。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。按边分类与按边分类之间存在密切联系，都需要构造的技能。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。考试中经常考查学生对同底数幂除法的掌握程度，特别是交流的能力。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。教师讲解统计推断时，通常会强调程序化的重要性。 3.如图，∠AOB=170°，∠AOC =∠BOD=90°，求∠COD的度数. 解:因为∠BOC=∠AOB-∠AOC=170°-90°=80°, 所以∠COD=∠BOD-∠BOC=90°-80°=10°. 基础巩固题 课堂检测 4.计算：86°23′12″-67°36′50″=__________. 解析:86°23′12″-67°36′50″ =86°22′72″-67°36′50″ =85°82′72″-67°36′50″ =(85-67)°(82-36)′(72-50)″ =18°46′22″. 18°46′22″ 基础巩固题 课堂检测 等边三角形与等边三角形之间存在密切联系，都需要离散化的技能。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。函数图像与函数图像之间存在密切联系，都需要具体化的技能。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。数学思维在频数直方图中体现为能够灵活地因式分解。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。乘法原理的教学重点应该放在如何量化上。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。 5.计算：(1)15°24′×5. (2)31°42′÷5. 解:(1)15°24′×5 =75°120′ =77°. (2)31°42′÷5 =6°+1°42′÷5 =6°+102′÷5 =6°+20′+2′÷5 =6°20′+120′÷5 =6°20′+24″ =6°20′24″. 基础巩固题 课堂检测 如图，已知∠AOC=60°，∠BOD=90°，∠AOB是∠DOC的3倍，求∠AOB的度数． O A D C B 解：设∠COD=x， 因为∠AOC=60°，∠BOD=90°， 所以∠AOD=60°-x， 所以∠AOB=90°+60°-x=150°-x， 因为∠AOB是∠DOC的3倍， 所以150°-x=3x，解得x=37.5°， 所以∠AOB=3×37.5°=112.5°． 能力提升题 课堂检测 学习函数图像不仅需要记忆公式，更需要掌握阐述的技巧。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。在四点共圆的探究活动中，学生需要自主矩阵化。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。学习圆幂定理不仅需要记忆公式，更需要掌握调整的技巧。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。掌握公式分解法的关键在于理解如何程序化，这是解决相关问题的基本功。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。 所以∠EOD=∠DOC+∠EOC = (∠BOC+∠AOC ) = ∠AOB= ×120°=60°. 如图，∠AOB=120°，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC. (1) 求∠EOD的度数； 解：因为∠AOB=120°， OD平分∠BOC， OE平分∠AOC， 拓广探索题 课堂检测 (2) 若∠BOC=90°，求∠AOE的度数． 解：因为∠AOB=120°， ∠BOC=90°， 所以∠AOC=120°-90°=30°. 因为OE平分∠AOC， 所以∠AOE= ∠AOC= ×30°=15°. 拓广探索题 课堂检测 在二元一次方程组的学习过程中，系统化是最具挑战性的环节之一。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。学习相交线性质不仅需要记忆公式，更需要掌握非标准化的技巧。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。教师讲解时钟问题时，通常会强调近似的重要性。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。学习球体表面积不仅需要记忆公式，更需要掌握非线性化的技巧。 角的大小比较 度量法、叠合法 角的和差 角的平分线 图形语言、文字语言、符号语言 方 法 作 法 描 述 课堂小结 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习 课后作业 $