第09讲 相似三角形的判定（知识详解+7典例精讲+课后作业）-2026年九年级数学暑假预习讲义（沪教版五四制）

宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期未 第09讲相似三角形的判定（知识详解+7典例精讲+课后作业) 目标导航 知识点01：相似三角形基础概念 知识点02：四大核心判定定理（考试核心） 知识详解核心内容 知识点03：判定方法选用（解题技巧） 题型01：概念判断题（选择填空高频） 题型02：平行线模型计算（A字型、8字型) 典例精讲·例题解析 (举三反三) 题型03：共角母子型相似(AA核心模 知识点04：一线三等角模型(K型相似重难 型) 点) 知识点05：网格三角形相似判定(SSS》 知识点06：直角三角形相似判定 知识点07：旋转手拉手相似(SAS中 档) 课后作业·巩固延伸 一、单选题(6) 二、填空题(7) 三、解答题(7) 2 知识详解·核心内容 【知识点01】相似三角形基础概念 1.定义：若两个三角形的三个角对应相等，三条边对应成比例，则这两个三角形相似，记作 △ABC一△ABC。两个三角形相似也可以表述为“两个三角形是相似三角形”或“一个三角形与另一个三角形相 似”. 两个相似三角形的对应边的比值叫作它们的相似比。全等三角形是相似比k=1的特殊相似三角形。 2.书写规范：使用“∽”符号时，顶点必须严格对应；若题目仅文字表述“两个三角形相似”，无固定对应关系，需 分类讨论。 3.三角形相似的传递性：如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似若 △ABC一△A1B,C1,△A1B,C1一△A2B,C2,则△ABC~△A2B,C2 1 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期未 4.相似预备定理（平行线判定）：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形 相似。 符号语言：.DE‖BC,∴.△ADE一△ABC 基础模型：正A字型、8(X)字型，是教材最基础的相似判定依据。 【知识点02】四大核心判定定理（考试核心） 判定定理1：两角对应相等(AA,最高频考点) 文字表述：两角分别对应相等的两个三角形相似。 符号语言：在△ABC与△A1B1C1中，，'∠A=∠A1,∠B=∠B1,∴.△ABC一△A1B1C1。 拓展：两个直角三角形，只需一组锐角对应相等，即可判定相似。 判定定理2：两边成比例且夹角相等(SAS) 文字表述：两组对应边成比例，且两边的夹角对应相等的两个三角形相似。 为时言“滑 ,∠A=∠A1,.△ABC-△A1B1C1。 △致命易错：SSA（(两边成比例、其中一边对角相等)无法判定相似，为高频错题点。 判定定理3：三边对应成比例(SSS) 文字表述：三组对应边成比例的两个三角形相似。 符号E:“82,小△c-△Aa 适用场景：网格三角形、已知完整边长的三角形判定。 判定定理4：直角三角形专属相似判定(HL) 1.斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似； 2.射影定理模型（母子相似）：Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC,则△ABD一△CAD一△CBA。 核心等积结论：AB=BD·BC,AC=CD·BC,AD=BD·CD。 【知识点03】判定方法选用优先级（解题技巧) 1.有平行线→优先用预备定理（平行相似）； 2.有公共角、对顶角、等角→优先用AA判定 2 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 3.已知两边比例+夹角→用SAS判定， 4.已知完整三边长→用SSS判定； 5.直角三角形→优先锐角相等或斜边直角边成比例判定。 典例精讲·例题解析 【题型01】概念判断题（选择填空高频） 【典例1-1】(25-26九年级上上海期中)在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，联结DE,那么下列条件中不 能判断△ADE和△ABC相似的是() AE AB AE AC A.DE∥BC B.∠AED=∠B C.AD AC D.DE BC 【答案】D 【详解】解：由题意得，∠A=∠A, A、当DE∥BC时，△ADE一△ABC;故本选项不符合题意： B、当∠ADE-∠B时，△ADE-△ABC;故本选项不符合题意； AEAB C、当AD=AC时，△4DB-△MCB:故本选项不符合题意： AE AC D、当DE=BC时，不能推断△4DB与△4BC相似：故本选项符合题意： 故选：D 3 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期蛛 D B 【典例1-2】(25-26九年级上·上海崇明期末)如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC的反向延长线上，已知 AC=2AE,下列条件中能判定DE∥BC的是() B AD 1 AB 2 马 AD 2 DE 1 A. AB3 BD3 C.BD-3 D. BC2 【答案】B 【详解】解：：DE∥BC, ∴.△DAE△BAC ,点D、E分别在AB、AC的反向延长线上， .∠DAE=∠BAC AE 1 ADAE1 己知AC=2AE,则AC2,若要判定DAE6BAC,还需满足边的关系是ABAC2· AD 11 选项A中AB32,不满足比例关系，不合题意： 4 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 AB 2 选项B中：BD3' AB+AD 3 :.AB Γ2 AD 1 ·AB2,满足题意 AD 2 得0-2+分，不合题意厨 1 选项C中BD3,推得AB= DE 1 选项D中8C2仅为线段长度比，无夹角相等条件，无法判定相似与平行. 故选：B 【典例1-3】(24-25九年级上·上海静安·期中)四边形ABCD中，点F在边AD上，BF的延长线交CD的延长线于E 点，下列式子中能判断AD∥BC的式子是() F B C FD ED AFBF AB AF A. EFED BC EC B.DFEF C.EDFD D.BE EC 【答案】D FD ED 【详解】解：A. BCEC,结合∠FED=∠BEC不能证明&FEDPABEC,不能推出∠EFD=∠EBC,因此不能判断 AD∥BC,不合题意： 5 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 AF BF B. DF=EF,结合∠AFB=∠DFE'可证AAFB∽ADFE'可得∠A=∠FDE:可以判断AB∥DC,不能判断 AD∥BC,不合题意： AB AF C. EDFD,结合∠AFB=∠DFE'不能证明。AFB6DFE'不能判断AB∥DC,也不能判断AD∥BC'不合题意； D. FED BEEC,结合∠FED=∠BEC可证AFEDBEC,推出∠EFD=∠EBC,能够判断AD//BC,符合题意； 故选D 【变式1-1】(25-26九年级上·上海浦东新·期末)如图，点D、E分别在△ABC的边ABAC上，下列条件中一定能判 定DE∥BC的是() B AD AB DE AD AD AE AE AB A.AE=AC B. BC AB C.AC-AB D. EC BD 【答案】A AD AB 【详解】解：A、由AEAC,能得到DE∥BC,故选项符合题意： DE_AD B、由BCAB,不能得到DE∥BC:故选项不符合题意： AD AE C、由AC=AB,不能得到DE∥BC,故选项不符合题意： AE AB D,由ECBD,不能得到DE∥BC,故选项不符合题意： 6 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 故选：A 【变式1-2】(25-26九年级上·上海浦东新期中)如图，在三角形纸片ABC中，AB=6,AC=4,BC=8,沿虚线 剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是() D D B 【答案】A 【详解】解：在三角形纸片ABC中，AB=6,AC=4,BC=8 DC 2 1 AC 4 1DC AC A,因为AC428C82:则AC8C,又由∠C=∠C,故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与。4BC相似， 故此选项符合题意： AD31AB6_33+1 B.因为AB62,AC84:42,故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△1BC不相似，故此选项不合题意， BD 2 AB 6 3 23 C,因为AB3,8C84,即：34，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△MBC不相似，故此选项不合题 意： BD 1 BC 44 1 D、因为8C2，AB3,32,故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△MBC不相似，故此选项不合题意： 故选：A AE 式13)2526九年级上上海期中)点D,B分别在4BC的边8.4C上，如果-}”那么C 时， 7 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 DE∥BC. 【答案】2 AD 3 【详解】解：当DE∥BC:AB5 AE AD 3 AC AB5 AE AE 3 CE AC-AE 2' AE3 AE AD3 若CE=2可推导出4C=AB5 :∠A=∠A, △ADE一△ABC, ∴.∠ADE=∠B .DE∥BC, E B 3 故答案为： 【题型02】平行线模型计算（A字型、8字型) 【典例2-1】(25-26九年级上·上海期中)如图，已知在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，射线AE交DC的延 8 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 长线于点F,AB=2,BE=3EC,那么DF的长为 B 8 【答案】 【详解】，四边形ABCD为平行四边形， .AB//CD,CD=AB=2. .△ABE-△FCE, AB_BE _3CE CF-CECE' .Ch=2 3 .'DF=CD+CF=2+ 2_8 3 3 故答案为： 【典例2-2】(25-26九年级上·上海期中)定义：如果以一条线段为对角线作正方形，那么称该正方形为这条线段的 “对角线正方形”，例如，图①中正方形ABCD即为线段AC的“对角线正方形”.如图②，在Rt△ABC中， ∠C=90°，AC=3,BC=4,点P在边AB上，如果线段PC的“对角线正方形”有两边同时落在△ABC的边上，那 么AP的长是一 9 ⊙ 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 图① 图② 【答案】7 【详解】解：当线段PC的“对角线正方形”有两边同时落在△ABC的边上时，设正方形的边长为x,则 PE=CE=PD=CD=x,BE=4-x, B D PE∥AC, .△BPEn△BAC, PEBE AC-BC' x_4-x …34 解得：x2 7 号，4D=4C-cD=3-12g :PD= 77, 10 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 .AP=VAD +PD:=15 15 故答案为： 7 【典例2-3】(25-26九年级上·上海徐汇期中)在菱形ABCD中，点E为边BC的中点.联结AE,将△ABE沿着AE AF 所在的直线翻折得到△4E,点B落在点P处，延长AF交边CD于点G.如果EF的延长线恰好经过点D,那么AG 的值为 【苦1 【详解】解：延长AG、BC交于点M, :四边形ABCD是菱形， AB=AD=DC=BC,AB∥DC,AD∥BC, .∠DCE+∠ABE=180°， 由折叠得∠ABE=∠AFE,AB=AF, .∠DCE+∠AFE=180°，AD=AF, ,∠AFD+∠AFE=180°， .∠DCE=∠AFD, ∠ADF=∠AFD=∠DEC, .∠DCE=∠ADF=∠DEC, .DE DC=BC=AD, 在△DCE和△ADF中， 11 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 ∠DCE=∠ADF ∠DEC=∠AFD DC=AD :.ADCE≌△ADF(AAS), ..CE=DF, 点E为边BC的中点， .CE=BE=BC DF-iDE ..DF =EF, ∴.在△ADF和△HEF中， ∠ADF=∠HEF DF=EF ∠AFD=∠HFE '△ADF≌△HEF(ASA. .AD=HE,AF=HF, .HC-CE-TAD, 2 :HC∥AD, AHCG△ADG, 12 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 HG AC 1 .AG AD2 ∴.AG= 1 .AF HF= H, AF AH 2 3 AH 4, AF 3 :AG的值为4： ----H 故答案为：4 【变式2-1】(25-26九年级上·上海期中)平行于梯形两底的直线截梯形的两腰，当两交点分别是两腰的黄金分割点 时，我们称这条线段是梯形的“黄金分割线”.如图，在梯形ABCD中，AD‖BC,AD=6,BC=10,点E、F分 别在边AB、CD上(AE>BE),如果EF是梯形ABCD的“黄金分制线”，那么EF=一， 【答案】25+4 【详解】解：过点A作AG∥CD交EF于点H, 13 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 F B G EF是梯形ABCD的“黄金分割线”， AE 5-1 ∴AD//BC∥EF'AB 2 四边形ADFH,ADCG均为平行四边形， ∴.HF=CG=AD=6. ∴.BG=BC-CG=4. AG∥CD, ∴.△AEH△ABG. EH AE 5-1 BG AB 2 EH=25-2, .EF=EH+HF=25+4: 故答案为：2V5+4 【变式2-2】(25-26九年级上·上海浦东新期中)如图，平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为(2,0)、(1-2)， △AB'O'△AB0(点A、点B、点O的对应点分别是点A、点B、点O),O的坐标为(-1,0)，点B在第四象限， 那么点B的坐标为 14 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 【答案】 3 【详解】：点4的坐标是(2,0)，点0的坐标是一1,0)， .A0=2,AO=3 ,△AB'O'∽△ABO, ABAO2 ·ABA03 如图所示， 过点B作BE⊥x轴，过点B作B'F⊥x轴， :点B的坐标为山，-2)，点A的坐标是(2,0)， ∴.BE=2,AE=2-1=1, .AB=V(2-1)2+(-2-0)2=V5 15 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 BE⊥x轴，B'F⊥x轴， ∴.BE∥B'F, ∴.△ABEP△AB'F, AE AB BE 2 心AFAB=BF3, 12V52 ·AF3AB3' 解得4F=3 AB=3 2 .B'F= 22 点B在第四象限， 六点B的坐标是23)。 故答案为： 3-3) 【变式2-3】(25-26九年级上·上海青浦期中)在矩形ABCD中，点E在BC上，将△ABE沿AE翻折得到△AFE,点 AF B的对应点F恰好落在线段DE上，线段AF的延长线交CD于点G,BE:CE=4:3:则AG的值为 0 【答案】49 【详解】解：如图，延长BC,AG交于点H, 16 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 G H E 设BE=4x,则EC=3x,四边形ABCD矩形，.AD=BC=7x,AD‖BC,:∠DAE=∠AEB, :将△ABE沿AE翻折得到△AFE,.∠AEB=∠AEF,BE=EF=4x,∠DAE=∠AED, .AD=DE =7x,.DF =3x, 、AD DF AF7x3xAF3 ADI‖BC,ADFAHEF'E丽=EFFH,六EH4xFH4, B-g,AF-A,cH=A-8c 3t, AG 7x 21 ，AD-AG,GH919, ADIBC'六ADGHCG'CHG 3 r 7,AF:AG=40 设4G=21v,则GH=19v,4H=40y·AF=2x3=20 40 9, 故答案为：49· 【题型03】共角母子型相似（AA核心模型) 【典例3-1】(25-26九年级上·上海期中)如图，RtAABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D,下列结论中错误的是 () D A.AC2=AD.AB B.CD2-CA·CB C.CD2-AD-DB D.BC2=BDBA 17 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉兰 【答案】B 【详解】解：：∠ACB=90°，CD⊥AB于点D, ∴.AC2=AD·AB,CD2=DA·DB,BC2=BD.BA. 故选B 【典例3-2】(25-26九年级上·上海静安·期末)如图，已知在△ABC中，点D在边AB上， CD AD=4,DB=5,∠ACD=∠B,那么BC=一 B 【客案灯号 【详解】解：，AD=4,DB=5, 、AB=AD+DB=9, 在△ACD和△ABC中， ∠ACD=∠B ∠A=∠A ∴.△ACD∽△ABC, AC AD CD AC 4 CD AB=AC=BC,即9=AC=BC, ,AC=6或AC=-6<0(不符合题意，舍去)， 18 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 经检验，AC=6是所列方程的解， CD 62 ·BC93 故答案为：{ 【变式3-1】(24-25九年级上：上海浦东新阶段练习)如图，△ABC中，AD1AB,∠EAC=90°，点D是EC边上的 中点，图中与△ABC相似三角形是一 E 【答案】△EBA 【详解】解：：∠EAC=90°，点D是EC边上的中点， ,∴.AD=DE=CD,∠AEC+∠C=90°， ∴.∠C=∠CAD, ,AD⊥AB, .∠BAD=∠CAE=90°， ∴.∠BAD-∠DAE=∠CAE-∠DAE ∴.∠BAE=∠CAD, ∴.∠BAE=∠CAD=∠C ∠B=∠B,∠BAE=∠C, ,△EBAAABC, 19 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 故答案为：△EBA 【变式3-2】(25-26九年级上：上海崇明期末)定义：当一个三角形有两个内角的差为90°时，这个三角形叫做“差 直角三角形”.如图，在△ABC中，AC=BC=10,AB=16,点D是边AB上的一动点（且AD>BD),若△BCD是 “差直角三角形”，则CD的长为 15 【答案】2或35 【详解】解：如图，过点C作CM⊥AB于M,过点D作DN‖CM,交BC于N. B MD ,AC=BC=10,AB=16, .M为AB中点，AM=MB=8, .CM=VBC2-MB2=V102-82=6. AD>BD, .∠BDC为钝角. 分两种情况： ①∠BDC-∠B=90°，则∠BDC=∠B+90°， ∴.∠MDC=180°-∠BDC=90°-∠B 20 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 一教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 :∠CMD=∠BMC=90°，∠MDC=∠BCM=90°-∠B ∴.ACMDABMC, 8MCN86,解得MD=6-g CM MD 6 MD Γ82’ CD=CM+MD=15 : ②∠BDC-∠BCD=90°，则∠BCD=∠BDC-90°， :∠CDN=∠BDC-90° ∴.∠CDN=∠BCD .DN I CM, ∴.△NDBACMB, ND DB BN ND BD BN ∴CM-MB CB,即6=8=10， :.ND-3BD,BN-5BD 4 4 .∠CDN=∠BCD, :.CN=DN, :BC=DN+BN=子BD+BD=10,解得BD-5 4 4 .MD=BM-BD=8-5=3, ∴.CD=VCM2+MD2=3√5 21 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 15 综上，CD的长为2或35 【变式3-3】(25-26九年级上上海期中)已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC, ∠BDC=∠DEC.求证： (I)△ADEP△ACD: C能 (2) 【答案】(1) 证明：：∠BDC=∠DEC,∠BDC=∠A+∠ACD,∠DEC=∠A+ADE .∠ADE=∠ACD, ∠A=∠A, .△ADEAACD: (2) 证明：，DE∥BC, ∴.∠EDC=∠BCD, .∠BDC=∠DEC, .△DECACDB. 3 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 CD DE ·BCCD' CD2=DE·BC CDDE BC DE∥BC, ∴.△ADE-△ABC, DE AE BC-AC' CD2 AE BC2 AC 【题型04】一线三等角模型（K型相似，重难点) 【典例4-1】如图，CAL AD,ED L AD,点B是线段AD上的一点，且CB⊥BE,求证：△ABC∽△DEB, B 【详解】证明：CA⊥AD,ED⊥AD,CB⊥BE, .∠A=∠D=∠CBE=90°， .∠C+∠ABC=∠ABC+∠DBE=90°， ∴.∠C=∠DBE, ∴.△ABC∽△DEB 【典例4-2】如图，在矩形ABCD中，E为边CD上一点，将点C沿BE翻折恰好落到边AD上的点F处.求证： △DEFr△AFB; 23 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 【详解】证明：在矩形ABCD中，∠A=∠C=∠D=90°， 根据翻折可得，∠EFB=∠C=90°， .∠AFB+∠DFE=90°， ,∠DEF+∠DFE=90°. ∴.∠DEF=∠AFB, ∴，△DEF∽△AFB 【变式4-1】如图，四边形ABCD中，ABCD,∠C=90°，AB=1,CD=2,BC=3,点P为BC边上一动点，若 AP⊥DP,则BP的长为一 【答案】1或2 【详解】设BPx,则PC-3-x, .AB|CD,∠C=90°， .∴.∠B=180°-∠C-90°， .∠B=∠C, 24 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 AP⊥DP, .∠APB+∠DPC-90°， ∠CDP+∠DPC-90°， ∴.∠CDP=∠APB, ∴.△CDP-△BPA, AB-PB PC-CD' AB=1,CD=2,BC=3, 1 x 3-x2 解得：=1,2， .BP的长为1或2， 故答案为：1或2 【变式4-2】(2425九年级上上海期中)如图，已知，等边三角形ABC的边长为4，D在BC边上，BD=CD且 3 ∠BAD=∠CDE (1)填空：EC的长为一： (2)求证：△ADE∽△ACD: 25 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 (3)求△ADE的面积. 【详解】(I)解：△ABC是等边三角形， .AB=AC=BC=4,∠B=∠C=∠BAC=60°， BD=CD 3 .CD-3BC-3.BD-IRC-1. ∠BAD=∠CDE, .△BADP△CDE, AB BD 4 CD-CE3' CE-3BD=3 4 4 3 故答案为：4： (2)证明：：∠B=∠C,∠BAD=∠CDE, .∠C+∠CDE=∠B+∠BAD, :∠ADC=∠B+∠BAD,LAED=∠C+LCDE, ∴.∠AED=∠ADC, :∠EAD=∠DAC, ∴.△ADEn△ACD; (3)解：作AF⊥BC于F, 26 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 ⊙ 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 E B D F ,△ABC是等边三角形，AB=AC=BC=4,∴BF=CF=2, ∴.△ABC的高AF=√AB2-BF2=2√5， 5x4x25=45, 由(1)知BD=1,CD=3. ,△BADACDE, SABD= AB216 .S.CDE CD 9 9√5 ∴.S.cnE= 16 5.4ae=S.cm-Scme=359W5_395 1616· 【变式4-3】(25-26九年级上·上海浦东新期中)(1)如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4,D是 AB边上一点，AD=V2,F是BC边上一点，∠CDF=45°.求BF的长： 27 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 D 图1 图2 图3 (2)如图2，在四边形ABFC中，点D是AB边的中点，∠A=∠B=∠CDF=45°，若AC=9,BF=8,求线段CF的 长 (3)在△ABC中，AB=4V2,∠B=45°，以A为直角顶点作等腰直角三角形ADE,点D在BC上，点E在AC上. 若CD=x,CE=y,求y关于x的函数解析式及定义域. 【详解】解：(1)，∠ABC=90°，AC=BC=4, .∠A=∠B=45,AB=4V2, .BD=AB-AD=4W2-2=32, ∠A+∠ACD=∠CDF+∠BDF,∠A=∠CDF=45°， ∴∠ACD=∠BDF, .△ACDABDF, AC_AD .BD BF' 4√2 ·3W2BF, :Bp=3 : (2)如图2中，延长AC交BF的延长线于点T, 28 ,⊙ 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 C B D 图2 :∠A=∠CDF=∠B=45°， .∠T=90°，TA=TB, ,∠CDB=∠A+∠ACD=∠CDF+∠BDF, .∠ACD=∠BDF, ∴.△ACDP△BDF, AC AD ·BD=BF, AD DB, 9 AD ·AD8 ∴.AD=6N2, .AB=2AD=12V2, ∴.TA=TB=12, .CT=12-9=3,TF=12-8=4, .CF=VCT2+TF2=V32+42=5: (3)如图，过点E作EF与CD交于点F,使∠EFD=45°， 29 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 E B D ,∠B=∠ADE=45°， ∴.∠BAD=∠EDF, .△ABDP△DFE, ∴提-提 .DE=√2AD,AB=4V2, .DF=2AB=8, :∠EFD=45°，∠ADE=45°， .∠EFC=∠DEC=135°， ∴.△EFC∽△DEC, 瓷器 x-8=y .yx' y=Vx2-8x(x>8). 【题型05】网格三角形相似判定(SSS专属题型) 【典例5-1】(2026上海徐汇·一模)下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁， 其中互为相似形的是() 30 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味二 甲 丙 A.甲和乙 B.甲和丙 C.甲和丁 D.丙和丁 【答案】B VP+121 【详解】解：由图可知，只有甲和丙中的对应角相等，且对应边对应成比例，即2？+云 V22+121 2,22+4 29 V1P+22 1 V2+平2，它们的形状相同，大小不同，是相似形， 故选：B 【典例5-2】(25-26九年级上上海阶段检测)如图是一个正方形网格，里面有许多三角形.在下面所列出的各三角 形中，与△ABC不相似的是（) A G A.△BDE B.△BCD C.△FGH D.△BFG 【答案】B 【详解】解：设每个小正方形的边长为1，则在△ABC中，AB=1,AC=√2，BC=√5， A、在△BDE中，DE=2,BD=2N2,BE=2V5, B=1.4C-2-1BC.51 DE2'BD2W22BE2√52' 31 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期蛛 AB AC BC .DE BD BE' AABC∽△DEB,故A选项不符合题意； B、在△BCD中，CD=1,BC=V5,BD=2√2， :g=1,8C55,8D25 AC√2√10BC√5√10 CD 4 AB≠AC卖BC :.CDBCBD, △ABC和△BCD不相似，故B选项符合题意： C、在△FGH中，HG=V2,FH=2,FG=10, 4B-1-24C.2Bc5.5 HG2=2,FH=2’FG1o2, AB AC BC .HG FH FG △ABC∽aHGF,故C选项不符合题意： D、在△BFG中，BF=5,FG=V0,BG=5, ~B-↓-54C-2-5BC-5 BFV55,FG√105’BG5 AB AC BC BF FGBG ∴△ABC∽aFBG,故D选项不符合题意： 故选：B. 32 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 【变式5-1】(25-26九年级上·上海·期中)在每个小正方形的边长都为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格 点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形.如图，已知△ABC是4×6的网格图形中的格点三角形，则该图中所有与 △ABC相似的格点三角形中，最大的三角形面积是 【答案】4.5 【详解】图中所有与△ABC相似的格点三角形中，最大的△DEF如图所示： B C 1 DS.DEF= ×3×3=4.5 故答案为：4.5 【变式5-2】(25-26九年级上：上海·期中)在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形 叫做格点三角形.如图，△ABC是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形△ADE(不含△ABC), 使得△ADE∽△ABC(同一位置的格点三角形△ADE只算一个)，这样的格点三角形一共有 个 B 33 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期蛛 【答案】6 【详解】解：有图可知：△ABC的三边为： AB=V42+22=2N5,AC=V42+22=25, BC=V22+22=2√2 .AB:AC:BC=V5:V5:√2， 如图所示： 可能出现的相似三角形共有以下六种情况： B 故答案为：6. 【变式5-3】(25-26九年级上·上海单元复习)如图，在边长为1个单位的方格纸上，有△ABC与△DEF.求证： △ABCAFDE B 【详解】证明：由图知：BC=1,AC=V1?+1?=√2，AB=V22+1P=√5， 34 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 DE=+1=2.EF=2,DF=3+1=10 BC AC AB DEEF=DF=2, .△ABC∽△FDE 【题型06】直角三角形相似判定 【典例6-1】如图，四边形ABCD中，∠BAC=∠ADC=90°，AD=a,BC=b,AC=Vab.求证：DC⊥BC. A D 【解析】证明：，AD=a,BC=b,AC=√ab, AC BC .AC2=AD●BC··.ADAC· 又∠BAC=∠ADC=90°， ∴.△ADC∽ACAB .∴∠ACD=∠B 又∠B+∠ACB=90°， .∠ACD+∠ACB=90°. .DC⊥BC. 【变式6-1】如图，AB⊥AD,BD⊥DC,且BD=ABBC.求证：∠ABD=∠DBC 35 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 【解析】证明：AB⊥AD,BD⊥DC, .∠BAD=∠BDC=90° BC BD ·BD=ABBC,.BDAB .△BADP△BDC..∠ABD=∠DBC. 【变式6-2】如图，在△MBC中，CD⊥AB于D,DF⊥AC于F,DG⊥BC于G.求证：CF.CA=CG,CB. G D B 【解析】证明：~CD⊥AB,DF⊥AC, .∠ADC=∠CFD=90°. 又：∠DCF=∠DCA,.△DCF∽△ACD DC CF :ACDC,即DC2=CACF 同理可得： DC2=CG.CB .CF.CA=CG.CB 36 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期蛛 【变式6-3】(25-26九年级上·上海期中)如图，在△ABC中，点P,D分别在边BC,AC上，PA⊥AB,垂足为 AP AB A,DP⊥BC,垂足为P,且PD=PC: (I)求证：∠APD=∠C (2)如果AB=3,DC=2,求AP的长. 【详解】(1)证明：：PA⊥AB,DP⊥BC, .∠BAP=∠CPD=90° APAB 又PDPC' ∴.△ABP∽△PCD, .∠APB=∠PDC, ,∠APB+∠APD=90°，∠C+∠PDC=90°， .∠APD=∠C (2)解：由(1)，得△ABP∽△PCD. ∴.∠B=∠C, .'AC=AB=3 .DC=2, .AD=AC-DC=1. 37 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 一教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉二 :∠PAD=∠CAP,∠APD=∠C, .△APDAACP, AP AD ·ACAP’ .AP2=AC·AD=3×1=3, AP=V5(负值已舍去)， 故AP的长为V3】 【题型07】旋转手拉手相似(SAS中档题型) 【典例7-1】(25-26九年级上上海青浦期中)已知：如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O, ∠BAC=∠BDC B (I)求证：△AODABOC: (2)过点A作AE∥CD,AE交BD于点E.求证：AB·AD=AE·BC, 【答案】(I)证明：，∠BAC=∠BDC,∠AOB=∠DOC, △OBADOC, AO BO D0C0' ,∠AOD=∠BOC, ∴.∠AOD∽ABOC 38 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味二 (2)证明：如图，过点A作AE∥CD, ∴.∠AED=∠BDC, B .:∠BAC=∠BDC, ∴.∠AED=∠BAC, △AODn△BOC, .∠ADE=∠ACB, .△EDAP△ACB, AEAD AB-BC' ∴AE·BC=ABAD 【典例7-2】(25-26九年级上：上海期中)如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，点E在边AB上，联结CE交 BD于点O,且AD:OC=AB.OD,AF是∠BAC的平分线，交BC于点F,交DE于点G. (I)求证：CE⊥AB」 (2)求证：AF.DE=AG.BC. 39 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 【详解】(I)ADOC=ABOD, AD AB ·0D0C1 BD是AC边上的高， ∴.∠BDC=90°，△ADB和△ODC是直角三角形. ∴.Rt△ADB一Rt△ODC ,∴.∠ABD=∠OCD 又，∠EOB=∠DOC,∠DOC+∠OCD+∠ODC=180°， ∠EOB+∠ABD+∠OEB=180° .∠OEB=90° ,∴.CE⊥AB (2)在△ADB和△AEC中， .∠BAD-∠CAE,∠ABD=∠OCD, ∴.△ADB-△AEC ADAB AD=AE AE AC 即 AB AC 在△DAE和△BAC中 40 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 AD AE :∠DAE=∠BAC,AB=AC .∴.△DAE-△BAC AF是∠BAC的平分线， AG DE AFBC,即AF.DE=AGBC 【变式7-1】(25-26九年级上·上海·期中)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2,BC=4,点D、E分别是边BC、AB的中 点，将△BDE绕着点B旋转，点D、E旋转后的对应点分别为点D'、E,当直线DE经过点A时，线段CD'的长为 【答案】265 【详解】解：如图1，当点A在ED的延长线上时， D' -7E E B 图1 ∠C-90°，AC=2,BC-4, ∴.AB=√AC2+BC2=V4+16=25, :点D、E分别是边BC、AB的中点， ..DEAC,DE=7AC=1,BD=7BC-2, .∴.∠EDB=∠ACB=90° ,将△BDE绕着点B旋转， 41 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 一教学课件讲义、单元、月考、期中期味白 ∴.∠BDE'=∠BDE-90°，DE=DE=1,BD=BD=2, 在Rt△ABC和Rt△BAD'中， D'B=AC-2,AB=BA, 「AC=DB 即AB=BA' 'Rt△ABC≌Rt△BAD'(HL), .AD'BC,且AC-DB, ∴.四边形ACBD'是平行四边形，且∠ACB=90°， ∴.四边形ACBD'是矩形， ..CD=AB-2v5; 如图2，当点A在线段DE的延长线上时， E D B 图2 ∠ADB-90°， ∴.AD=√AB2-D'B2=V20-4=4, ∴.AE=AD-DE=3, ,将△BDE绕着点B旋转， 42 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 ∴.∠ABC=∠EBD, 需℃ ∴.△ABE-△BCD AE'AB CD BC 3-25 CD=4 CD'=5 5, .65 故答案为： 2N5或5 【变式7-2】(25-26九年级上：上海期中)已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,对角线AC、BD交于点E, 点F在边AB上，联结CF交线段BE于点G,CG=GE·GD. E B (I)求证：∠ACF=∠ABD: (2)联结EF,求证：EF.CG=EG·CB 【详解】(1)证明：CG2=GEGD, CG GD .GE CG 43 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 一教学课件讲义、单元、月考、期中期蛛 又~∠CGD=∠EGC, ∴.△GCD∽△GEC :.∠GDC=∠GCE AB∥CD, ∴∠ABD=∠BDC. ∴.∠ACF=∠ABD (2)证明：：∠ABD=∠ACF,∠BGF=∠CGE, .∴△BGF∽△CGE FG EG .BG CG 又：∠FGE=LBGC, ·△FGE∽△BGC. FE_EG .BC CG .FE.CG=EG.CB 【变式7-3】(25-26九年级上：上海期中)如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC,E是边BC上一点，AE与对角线 BD相交于点F,且BE2=EF·AE. (I)求证：△DABAFB: 44 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 (2)联结AC,与BD相交于点O,若AB.OB=BC·AF,求证：AF2=OD·BF. 【答案】(1) 证明：，BE2=EF·AE, BE AE EF BE '∠AEB=∠BEF, ∴.△AEB∽△BEF, ∴.∠EBF=∠BAE; AD∥BC, ∴.∠ADB=∠EBF, ∴∠BAE=∠ADB; ,∠ABF=∠DBA, ∴.△DABP△AFB: (2) 证明：：AB.OB=BC,AF AB BC ·AF0B 由(I)知∠EBF=∠BAE, .△ABF∽aBCO, .∠AFB=∠BOC, 45 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 ∴.∠AFO=∠AOF, .AF=OA; :∠BOC=∠AOD, ∴.∠AFB=∠AOD: 由(I)知∠BAE=∠ADB, △AOD△BFA, OA OD ·BFAF, 即OAAF=OD.BF .AF =OA, ∴.AF2=ODBF 课堂小结·知识梳理 (一)四大判定方法精简汇总 1.平行预备定理：见平行直接得相似，最快最简便： 2.AA两角相等：考场使用率最高，优先寻找公共角、等角； 3.SAS两边成比例+夹角相等：严控夹角”，杜绝SSA错误； 4.SSS三边成比例：专属网格、已知全边长题型， 5.直角三角形专属：斜边直角边成比例可直接判定。 (二)四大必考模型口诀 平行分出A8型，公共角出母子型： 46 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 一线三等证AA,共顶旋转SAS。 (三)高频易错失分点 1.SSA绝对不能判定三角形相似，是最常见陷阱： 2.符号∽”自带顶点对应关系，文宇描述相似必须分类讨论； 3.SAS判定中，相等的角必须是成比例两边的夹角； 4.相似三角形对应边、对应角必须匹配，禁止乱对应。 ☆8 ☆ 课后作业·巩固延伸 一、单选题 1.(25-26九年级上·上海青浦期中)如图，点F时平行四边形ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线与点 卫，则下列结论错误的是() ED DF DE EF BC BF BF BC A.EA AB B.BCFB C.DE BE D.BEAE 【详解】解：：四边形ABCD是平行四边形， AD∥BC,AB∥CD, ∴.△EDF∽△EAB,△EDF∽△BCF, ED DF EF DE EF ∴EA ABBE,BC=FB,故A、B不符合题意，C符合题意： 47 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 EF=ED·BE EA· DE_ED·BE BF BC ·BC FB.EA' 即BE=AE,故D不符合题意： 故选C 2.(25-26九年级上：上海浦东新期中)如图，在三角形纸片ABC中，AB=6,BC=8,AC=4.沿虚线剪下的涂 色部分的三角形与△ABC相似的是() 6 B B B X2 D B 3 【答案】B 441 AB_6_31 【详解】解：A:“BC82,对应边BC842 故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故该选项不合题意： 21 AC 41 B::AC=2,对应边BC82, 48 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味二 2-AC 即：AC=BC,LC=∠C 故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似，故该选项符合题意： 33 AC42,3 C::AC=4,对应边4B634: 故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故该选项不合题意； 3=3-1 ,4B6=31 D:4B62对应边BC842 故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故该选项不合题意. 故选：B 3.(25-26九年级上·上海静安·期末)已知在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，那么下列条件中能判定 △ABC与△ADE相似的是() AD AB A.DE BC R促配 AD AB C.AE AC ADAB D.AE BC 【答案】C 【详解】解：：点D、E分别在边AB、AC上， .∠DAE=∠BAC(公共角). 对T港项C:治格.即份能.BZDE∠BC AD AE .△ADE∽△ABC AD AB 对于选项A:DE8C,但DE与BC的对应关系不明确，且夹角不一定是公共角，故不能判定相似， 49 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 AD AC 对于选项B: DE8C,类似地，对应边和夹角不匹配，不能判定相似。 AD AB 对于选项D:AEBC,但AD、AE的夹角为∠A'AB、BC的夹角为∠B夹角不相等，故不能判定相似， 因此，能判定相似的是C. 故选：C 4.(25-26九年级上·上海·期中)如图，在正方形ABCD中，△ABP是等边三角形，AP、BP的延长线分别交边CD 于点E、F,连接AC、CP,AC与BF相交于点H,下列结论中错误的是() A.AE=2DE B.△CFP∽△APH C.△CFP∽△ACP D.CP2=PH.PB 【答案】C 【详解】解：，正方形ABCD, ∴.AB=BC=CD=AD,∠ABD=∠BCD=∠ADC=∠BAD=90°， '△ABP是等边三角形， ∴∠ABP=∠APB=∠BAP=6O°，AB=AP=BP, .∠DAE=∠CBF=30°， .AE=2DE;故A正确： 50 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 BP=AB=BC,∠PBC=30° .∠BPC=∠BCP=75°， .∠FCP=15°： .∠BAC=45°，∠BAP=60°. ∴.∠CAP=15°=∠FCP, ∠CBF=30°， ∴.∠CFP=60°=∠APH, ∴.△CFP∽△APH,故B正确： 若△CFP∽△ACP,则∠CFP=∠ACP, :∠CFP=60,∠ACP=∠BCP-∠BCA=30°，与假设矛盾， 故C错误： :∠PCH=30,∠CPH=75°， ∴.∠PHC=75°，CP=CH, :∠PBC=30°，∠BPC=∠BCP=75°， ∴.△BCP∽△CPH, .CP:PH=PB:CH,即CP.CH=PB·PH, .CP2=PHPB,故D正确： 故选：C 5.(25-26九年级上上海浦东新期中)如图，矩形ABCD中，点P在对角线BD上，延长AP交DC于点G,过点P 51 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 作EF⊥AG,分别交AD、BC于点E、F,AB=3,AD=4,如果∠AEP=∠APB,那么AP的长是() A.2 B.3 ats D. 5 【答案】C 【详解】如图，过点A作AQ⊥BD于点Q, :矩形ABCD中，AB=3,AD=4, .BD=VAB2+AD2=V32+42=5, S-BD:AQ=AB-AD 2 2 .BD·AQ=AB·AD,即5AQ=3×4, :40s12 52 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 ⊙ 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 :AQ⊥BD,EF⊥AG, .∠A0P=∠APE=90°， 又：∠AEP=∠APB, .△AQP△APE, 咒8器罪 OP PE ,∠I+∠AEP=90°，∠2+∠DPG=90°， 又：∠AEP=∠APB=∠DPG. .∠1=∠2， 又，∠PDE=∠ADP, ∴.△PDE∽△ADP, PE_PD .APAD’ OP PD A0AD’ 设QP=x,则PD=16 x, 16 -x =5 .12 4, 5 6 解得：x= 53 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 一教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 2 在R△AOP中，P=VA0+OP= 12)2 76 65 5+5 ”p的长是 5 故选：C 6. (25-26九年级上·上海宝山期末)关于等腰三角形相似的判定，某同学提出如下猜想，下列说法中正确的是( ) ①两腰及一腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似； ②底边和底边上的高对应成比例的两个等腰三角形相似. A.①错误②正确B.①正确②错误C.①②均正确 D.①②均错误 【答案】A 【详解】解：猜想① 、A m h' B 设等腰△ABC中，AB=AC=m,腰AC上的高为h: 等腰△A'B'C'中，A'B'=AC=n, m=h=k 腰C上的高为H,且n=? 则∠BAC与∠BAC可能相等或互补， 若∠BAC=120°，∠B'AC=60°， 54 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 两三角形顶角互补，底角分别为30°和60°，形状不同，不相似： ∴.猜想①错误 分析猜想② A h a D B a'D' 设等腰△ABC中，底边BC=a,底边高AD=h; 等腰△f8C中.底边8C=0,底边有0=，且后产大 ,等腰三角形底边高平分底边， 2.8D-4 ..BD= , BD a/2 则BD =k=AD a12 A'D' 又：∠ADB=∠AD'B=90°， .RtAABD∽RIA'B'D'(两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似) ∴∠B=∠B',等腰△ABC中∠B=∠C,等腰△AB'C'中∠B'=∠C', 故∠B=∠B,∠C=∠C ∴：△ABC∽△AB'C'(两角对应相等，两三角形相似) .猜想②正确 综上，①错误②正确， 故选A 55 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味二 二、填空题 7.(25-26九年级上上海崇明期末)如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC,∠ABD=∠C,如果AD=3,BD=4, 那么BC= B 6 【答案】3 【详解】解：：AD∥BC, ∴.∠ADB=∠DBC, 又：∠ABD=∠C, .△ABD∽△DCB BC BD BD-AD' BC_4 即4=3 BC=16 16 故答案为：3· 8.(25-26九年级上·上海期中)布洛卡点定义：己知△ABC中，P是内部一点，当∠PAB=∠PBC=∠PCA时，点P 为△ABC的布洛卡点.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点P为△ABC的布洛卡点，AP=1,那么CP= 56 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 B 【答案】2 【详解】解：，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°， ∴∠ABC=∠ACB=45°， ,点P为△ABC的布洛卡点， .∠PAB=∠PBC=∠PCA, ∴∠ABC-∠PBC=∠ACB-∠PCA, ∴∠ABP=∠BCP. .△ABPABCP, AP BP AB BP-CP BC' 在Rt△ABC中，BC=VAB2+AC2=V2AC, AP_BP BP CP 2 AP=1, BP=√2， ∴CP=2, 故答案为：2 57 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味二 9.(25-26九年级上·上海·期中)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8,BC=6,点D、E分别在BC、AC上，且 BD=CE,设点C关于DE的对称点为F,若DFAB,则BD的长为 B E 【答案】2 B D 【详解】解： A G E C 如图，设BD=CEX, ∠C-90°，AC-8,BC=6, .AB=V82+62=10 ,点C关于DE的对称点为F, “.EF=CEX, .'DFAB, ∴.∠A=∠EGF, ∴.△ABC-△GEF, AB BC ·GEEF, 58 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 10_6 即GEx 解得GE 3, 5 3, CG-GE+CE-3+x .'DF AB, CG CD AC BC 即36-x, 86 解得：-2， 即BD=2 故答案为：2. 10.(25-26九年级上·上海期中)如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称作为这 个平面图形的一条优美线.己知△ABC中，AB=AC=5,BC=6,点D、E在边BC上，且BD=2,E为BC中点，过 点D的优美线交过点E的优美线于F,那么线段AF的长等于一· 6 【答案】7 【详解】如图，△ABC中，AB=AC=5,BC=6, E为BC中点， AE⊥BC, BE-EC-BC3.S.mw-S.we 59 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 ∴.AE是△ABC的一条优美线 ∴AE=VAB2-BE2=4 1 1 :S6c=2BC×4E=2×6x4=12 BD=2, .DC=BC-BD=6-2=4 作△GDC使得GD是△ABC一条优美线，过点G作GH⊥BC于点H, 1 则Saac=25aac=6 ∴.GH=6×2÷DC=3 :GH⊥BC,AE⊥BC :GH∥AE ∴.△CGH∽△CAE,△DEF∽△DGH HC GH EC AE 设HC=x,则 -3 34 解得×号 .EH=EC-HC=3-9_3 Γ44 .△DEF∽△DGH 60 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 EF ED .GH DH DH-BC-BD-HC=6-2-9_1 44 EF 1 即3=7 4 解得EF2 7 AF=AE-EF=4-12-16 77 G D E H 6 故答案为：7 11. (25-26九年级上：上海静安期末)如图，已知平行四边形ABCD中，点E在边D上，AE=D,射线CE交 2 BD于点F,交射线BA于点G,那么GE:EF:FC= (结果化为最简整数比) G E D 【答案】5：4：6 【详解】解：，四边形ABCD是平行四边形， 61 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 ·ADI‖BC,AD=BC, .∠GAE=∠GBC,LGEA=∠BCG,LDEF=∠BCF,LEDF=LCBF, ∴.△GAEP△GBC,△DEF∽△BCF, AEGE EF DE BC-GC'FC BC' 6-知 3 GE AE 1 EF DE 2 GC BC3'FC BC3 EccF cF 3 :.GE-1EC-5cF 6 GE:EF:FC-5CF:2 CF:FC=5:4:6, 6 3 故答案为：5：4：6」 12.(25-26九年级上·上海浦东新·期中)在等腰△ABC中，AB=AC,AD是边BC上的高，将线段AD绕着点D逆 ,FE-3 DE 时针旋转，点A旋转到点B,ED与边AB交于点B,且DF2,如果△4FE与△DFB相似，那么AB的值为 14 【答案】4 【详解】解：过点D作DG⊥AE于点G,交AB于点H, 62 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 一教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 G H B C.∠EAF+∠BAD<90° ∠DGE=90°， :AD⊥BC,AB=AC, ∴∠B+∠BAD=90°， ∠BAD=∠CAD. ∴∠EAF<∠B, :∠BFD=∠AFE,△AFE与△DFB相似， △AEF∽△DBF, ∠E=∠B, EF AF BFDF· BF DF EF AF 由旋转得：DE=AD, .∠E=∠DAG. ∠FDH=∠ADG, ∠DAG+∠BAD=90° 63 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 .∠DAG+∠CAD=90°， ∠CAE=90°， .∠CAE=∠DGE=90°， DG∥AC, ∴∠BAD=∠CAD=∠ADG, ∠BDH=∠C, ∴.∠B=∠BDH, ∠FDH=∠BAD, ..BH DH, =DH=BH- .·∠DFH=∠AFD. ADFH∽△AFD, DF FH DH AF FD AD FE 3 :DF2: .设EF=3a,DF=2a, 则AD=DE=5a, 2a FH DH AF2a5a· 64 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 BF 2a 3aAF· :AF.FH=4a2, AF.BF=6a2, FH Aa22 BF-6a=3· .设FH=2b,BF=3b, .:BH=FH+BF =5b, .AB=2BH =10b, DH=AH=5b. .AF=AH+FH =7b, .7b-2b=4a2, 解得：a=4 2 (负值已舍)， AD 5a 5x 2 b4, AB 10b 10b 4 V14 故答案为： 4 13.(25-26九年级上·上海松江期中)己知矩形ABCD中，CD=3,E是边AD上一点，DE=1,将△CDE沿着CE 所在的直线翻折，点D的对应点为点F,连接EF并延长交边BC于点G,连接AG,如果△ABG与△CGF相似，那么 边AD的长为 65 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 E D B 9 【答案】9或4 【详解】解：设AD=x,BG=m,CG=x-m, B G 当△ABG∽△CFG时， AB BG AG CF FG CG,∠AGB=∠CGF: ~将△CDE沿着CE所在的直线翻折得到△CFE, ∴CF=AB=3,EF=DE=1,∠DEC=∠FEC, 在矩形ABCD中，AD∥BC, .∠AGB=∠GAE,∠EGC=∠AEG, .FG=BG=m.AG=GE=m+1,GC=GE, 在Rt△ABG中根据勾股定理得(m+1)2-m2=9,解得：m=4, GC=5.BG=4. ∴BC=CG+BG=9,即AD=9, 66 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 当△ABG∽aGFC时， AB BG AG GF FC GC,∠AGB=∠GCF, .GF=9 46=3-m. .GC=GE, 9 .之+1=x-m, m 0 ∴x=一+1+m, m AG=3+m 在RABG中根据勾股定理得写+3-m=9,解得网-号m=0(舍去) .x=4+1+ 929 44: 29 故答案为：9或4· 三、解答题 14.(25-26九年级上上海期中)己知：如图，在四边形ABCD中，AD‖BC,AB⊥BC,点M是边BC的中点，且 ∠ADB=∠BDM. D B M 67 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 (I)求证：BD=AD·BC: (②)以BD为一边作LDBF=∠ABD,BF交DM于点E,交CD于点F.求证：2AD·DM=DF·DC, 【详解】(1)证明：AD‖BC. ∴.∠ADB=∠DBM, 又∠ADB=∠BDM, .∠ADB=∠DBC=∠MDB, :BM=DM ,点M是边BC的中点， ∴.BM=DM=CM, ∴.∠DCM=∠CDM, :∠DCM+∠DBM+∠CDM+∠BDM=180°， .2(ZCDM+∠BDM)=180°，即∠CDB=90°， ∴.∠BDC=∠A=90°， .△ADBn△DBC, AD BD BD-BC' .'.BD2=AD-BC: (2)证明：如图， 68 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 B M △ADBADBC, ∴.∠ABD=∠C, ∠DBF=∠ABD, ∴.∠DBF=∠C, 又：∠BDF=∠CDB=90°， .RtADFB∽RtADBC, BD DC DF BD' ∴BD2=DF.DC, 由(1)得BD=ADBC,BC=2DM, .'DF.DC=AD.BC =2AD.DM. 即：2ADDM=DFDC. 15.(25-26九年级上上海松江期中)如图，已知梯形ABCD中，AD‖BC,对角线AC、BD交于点O, AC=AD·BC,点E在线段AC的延长线上，连接DE. 69 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期蛛 (I)求证：∠BAD=∠DCE: (②)若∠ADB=∠CDE,求证：AB=AC.CE. 【详解】(1)证明：：AC2=AD.BC, AC AD BC AC ADI BC, .∠DAC=∠ACB,∠BAD+∠CBA=180 ADAC△ACB, ∴∠ACD=∠CBA, :∠BAD+∠CBA=180°，∠DCE+∠ACD=180°， .∠BAD=∠DCE (2)证明：aDAC∽△ACB, AD CD AC AB' AD AC CDAB· :∠BAD=∠DCE,∠ADB=∠CDE, AADB∽△CDE, AD AB CD CE' AB AC CEAB· 70 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味兰 .AB2=AC.CE. 16.(25-26九年级上：上海青浦期中)己知：如图，在△ABC中，点D、E分别在AB,AC上，DE∥BC,点F在 边AB上，BC2=BFBA,CF与DE相交于点G. D E G (I)求证：DFAB=BCDG: (2)当点E为AC的中点时，求证：2EG·DF=AF·DG 【详解】(1)证明：：BC2=BFBA, BC BA BF BC' 而∠ABC=∠CBF, .△BAC∽aBCF, ,DE∥BC, .△BCFADGF, ∴.△DGFOABAC, DF DG BC BA ..DF-AB=BC-DG: (2)证明：作AH∥BC交CF的延长线于H,如图， 71 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 :DE∥BC, ∴.AH∥DE, :点E为AC的中点， .AH=2EG, AH∥DG, .△AHF∽△DGF, AHAF ·DGDF' 2EG AF :.DG DE 即2EG·DF=AF.DG H D 17.(25-26九年级上·上海期中)如图，己知在四边形ABCD中，ADBC,E为边CB延长线上一点，联结DE交边 FG AD AB于点F,联结AC交DE于点G,且GDCE· (I)求证：ABIICD: (2)如果AD=DGDE,求证： EG2 AG CE?AC 72 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 G B 【详解】(1)ADBC, ∴.△ADG-△CEG, AD AG CE CG' FG AD GD-CE' AG FG :.CG GD ..AB CD: (2).ADIBC. ..△ADG△CEG DG_AD :.EG CE EG2 CE2 DG= AD2, EG2 DG2 AD2, .AD2=DGDE, EG2 DG DE· 73 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 .AD BC, AG DG .4C DE EG2 AG CE AC' 18.(24-25九年级上：上海静安·期中)己知：如图，四边形ABCD、ACED都是平行四边形，M是边CD的中点，联 结BM并延长，分别交AC、DE于点F、G. B (1)求证：BF2=FM·BG: (2)联结CG,如果AB=V2CG,求证：∠BGC=∠BAC. 【答案】(1) 证明：四边形ABCD为平行四边形， .AB∥CD,AB=CD, :M是边CD的中点， :AB=2CM,CM=DM, 74 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期脉 :AB∥CM, △ABF∽△CMF, BF AB .FMCM =2, :四边形ACED为平行四边形， AC∥DE, .△CMF∽△DMG, 品瑞1， .BF=2FM =2MG, .BF2=4FM2,FM BG=FM.4FM =4FM2, BF2=FM·BG: (2) AB=√2CG,AB=CD, CM-cG, .CD=√2CG, 2 CG_v2 CM_V2 .'CD 2'CG2, CG CM .CD CG, :∠MCG=∠GCD, .∴.△CMG∽△CGD 75 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 .∠MGC=∠DEC, ,AC∥ED, .∠EDC=∠ACD AB∥CD, .∠BAC=∠ACD, 、.∠BAC=∠BGC 19.(25-26九年级上·上海浦东新期中)已知：如图，点D、E分别在△ABC的AB、AC边上， E=ECA-4DAB,联结DE B (I)求证：△ADE△ACB: (2)取AD的中点F,联结EF、BE,求证：∠DEF=∠CBE 【答案】() 证明：：AE=EC, .AC=2AE, AE=AD.AB, 2 76 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 .2AE2=AD·AB, AEAC=AD·AB, AE AD AB AC' ∠DAE=∠CAB, AADES△ACB: (2) 证明：如图， D E 点 是线段 的中点， B AD .AD=2DF, .△ADE∽△ACB, DE AD ∠FDE=∠ECB CB AC DE 2DF DF CB 2EC EC .△DEFACBE, .∠DEF=∠CBE 20.(25-26九年级上·上海期中)已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AC、BC上，BD=DC, 77 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期蛛 BD·BC=BE·AC D (I)求证：∠ABE=∠DEB: FD-AD (②)延长BAED交于点F,求证：FEDC, 【详解】(1)证明：BD=DC, ∠DBC=∠C, BDBC=BE·AC, BD BE AC BC .∴△ABC∽ADEB. .∠ABC=∠DEB. 即∠ABE=∠DEB; (2)解：如图所示，延长BA和ED相交于点F, 78 ⊙ 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 学科网 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 由(I)得△ABCADEB .∠CAB=∠BDE. ∴.∠FAD=∠FDB, :∠F=∠F, .△FAD~△FDB, FD AD FB DB' 又∠ABE=∠DEB, ∴.FB=FE, 又：BD=DC, FDAD FEDC' 79学科网 第09讲 相似三角形的判定（知识详解+7典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：相似三角形基础概念 知识点02：四大核心判定定理（考试核心） 知识点03：判定方法选用（解题技巧） 典例精讲·例题解析 （举三反三） 题型01：概念判断题（选择填空高频） 题型02：平行线模型计算（A字型、8字型） 题型03：共角母子型相似（AA核心模型） 知识点04：一线三等角模型（K型相似重难点） 知识点05：网格三角形相似判定（SSS） 知识点06：直角三角形相似判定 知识点07：旋转手拉手相似（SAS中档） 课后作业·巩固延伸 一、单选题（6） 二、填空题（7） 三、解答题（7） 【知识点01】相似三角形基础概念 1. 定义：若两个三角形的三个角对应相等，三条边对应成比例，则这两个三角形相似，记作。两个三角形相似也可以表述为“两个三角形是相似三角形”或“一个三角形与另一个三角形相似”. 两个相似三角形的对应边的比值叫作它们的相似比。全等三角形是相似比的特殊相似三角形。 2. 书写规范：使用“∽”符号时，顶点必须严格对应；若题目仅文字表述“两个三角形相似”，无固定对应关系，需分类讨论。 3.三角形相似的传递性：如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似.若，，则。 4. 相似预备定理（平行线判定）：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似. 符号语言： 基础模型：正A字型、8（X）字型，是教材最基础的相似判定依据。 【知识点02】四大核心判定定理（考试核心） 判定定理1：两角对应相等（AA，最高频考点） 文字表述：两角分别对应相等的两个三角形相似。 符号语言：在与中，。 拓展：两个直角三角形，只需一组锐角对应相等，即可判定相似。 判定定理2：两边成比例且夹角相等（SAS） 文字表述：两组对应边成比例，且两边的夹角对应相等的两个三角形相似。 符号语言：。 ⚠️ 致命易错：SSA（两边成比例、其中一边对角相等）无法判定相似，为高频错题点。 判定定理3：三边对应成比例（SSS） 文字表述：三组对应边成比例的两个三角形相似。 符号语言：。 适用场景：网格三角形、已知完整边长的三角形判定。 判定定理4：直角三角形专属相似判定（HL） 1. 斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似； 2. 射影定理模型（母子相似）：Rt中，，，则。 核心等积结论：，，。 【知识点03】判定方法选用优先级（解题技巧） 1. 有平行线→优先用预备定理（平行相似）； 2. 有公共角、对顶角、等角→优先用AA判定； 3. 已知两边比例+夹角→用SAS判定； 4. 已知完整三边长→用SSS判定； 5. 直角三角形→优先锐角相等或斜边直角边成比例判定。 【题型01】概念判断题（选择填空高频） 【典例1-1】（25-26九年级上·上海·期中）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，联结DE，那么下列条件中不能判断△ADE和△ABC相似的是（　　） A．DEBC B．∠AED＝∠B C． D． 【典例1-2】（25-26九年级上·上海崇明·期末）如图，在中，点、分别在、的反向延长线上，已知，下列条件中能判定的是（   ） A． B． C． D． 【典例1-3】（24-25九年级上·上海静安·期中）四边形中，点在边上，的延长线交的延长线于点，下列式子中能判断的式子是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26九年级上·上海浦东新·期末）如图，点分别在的边上，下列条件中一定能判定的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26九年级上·上海浦东新·期中）如图，在三角形纸片中，，，，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26九年级上·上海·期中）点分别在的边上，如果，那么______时，． 【题型02】平行线模型计算（A字型、8字型） 【典例2-1】（25-26九年级上·上海·期中）如图，已知在平行四边形中，点在边上，射线交的延长线于点，，，那么的长为________． 【典例2-2】（25-26九年级上·上海·期中）定义：如果以一条线段为对角线作正方形，那么称该正方形为这条线段的“对角线正方形”．例如，图①中正方形即为线段的“对角线正方形”．如图②，在中，，，，点P在边上，如果线段的“对角线正方形”有两边同时落在的边上，那么的长是____． 【典例2-3】（25-26九年级上·上海徐汇·期中）在菱形中，点E为边的中点．联结，将沿着所在的直线翻折得到，点B落在点F处，延长交边于点G．如果的延长线恰好经过点D，那么的值为__________． 【变式2-1】（25-26九年级上·上海·期中）平行于梯形两底的直线截梯形的两腰，当两交点分别是两腰的黄金分割点时，我们称这条线段是梯形的“黄金分割线”．如图，在梯形中，，，，点、分别在边、上，如果是梯形的“黄金分割线”，那么______． 【变式2-2】（25-26九年级上·上海浦东新·期中）如图，平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为、，（点A、点B、点O的对应点分别是点A、点、点），的坐标为，点在第四象限，那么点的坐标为______ 【变式2-3】（25-26九年级上·上海青浦·期中）在矩形中，点E在上，将沿翻折得到，点B的对应点F恰好落在线段上，线段的延长线交于点G，，则的值为___________． 【题型03】共角母子型相似（AA核心模型） 【典例3-1】（25-26九年级上·上海·期中）如图，中，，于点，下列结论中错误的是（ ） A．AC2=AD⋅AB B．CD2=CA⋅CB C．CD2=AD⋅DB D．BC2=BD⋅BA 【典例3-2】（25-26九年级上·上海静安·期末）如图，已知在中，点在边上，，那么_____． 【变式3-1】（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，中，，，点D是边上的中点，图中与相似三角形是 ． 【变式3-2】（25-26九年级上·上海崇明·期末）定义：当一个三角形有两个内角的差为时，这个三角形叫做“差直角三角形”．如图，在中，，点是边上的一动点（且），若是“差直角三角形”，则的长为__________． 【变式3-3】（25-26九年级上·上海·期中）已知：如图，在中，点D、E分别在边、上，，．求证： (1)； (2) 【题型04】一线三等角模型（K型相似，重难点） 【典例4-1】如图，，点B是线段上的一点，且，求证：． 【典例4-2】如图，在矩形中，为边上一点，将点沿翻折恰好落到边上的点处．求证：； 【变式4-1】如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°，AB＝1，CD＝2，BC＝3，点P为BC边上一动点，若AP⊥DP，则BP的长为_____． 【变式4-2】（24-25九年级上·上海·期中）如图，已知，等边三角形的边长为4，D在边上，且． (1)填空：的长为_____； (2)求证：； (3)求的面积． 【变式4-3】（25-26九年级上·上海浦东新·期中）（1）如图1，在中，，，D是边上一点，，F是边上一点，．求的长； （2）如图2，在四边形中，点D是边的中点，，若，，求线段的长． （3）在中，，，以A为直角顶点作等腰直角三角形，点D在上，点E在上．若，，求y关于x的函数解析式及定义域． 【题型05】网格三角形相似判定（SSS专属题型） 【典例5-1】（2026·上海徐汇·一模）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中互为相似形的是 （    ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．甲和丁 D．丙和丁 【典例5-2】（25-26九年级上·上海·阶段检测）如图是一个正方形网格，里面有许多三角形．在下面所列出的各三角形中，与不相似的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26九年级上·上海·期中）在每个小正方形的边长都为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知是的网格图形中的格点三角形，则该图中所有与相似的格点三角形中，最大的三角形面积是______．    【变式5-2】（25-26九年级上·上海·期中）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，是格点三角形，在图中的正方形网格中作出格点三角形（不含），使得（同一位置的格点三角形只算一个），这样的格点三角形一共有________个． 【变式5-3】（25-26九年级上·上海·单元复习）如图，在边长为1个单位的方格纸上，有与．求证：． 【题型06】直角三角形相似判定 【典例6-1】如图，四边形ABCD中，，，，．求证：． A B C D 【变式6-1】如图，，，且．求证：． A B C D 【变式6-2】如图，在中，于D，于F，于G．求证：． A B C D F G 【变式6-3】（25-26九年级上·上海·期中）如图，在中，点P，D分别在边，上，，垂足为A，，垂足为P，且． (1)求证： (2)如果，，求的长． 【题型07】旋转手拉手相似（SAS中档题型） 【典例7-1】（25-26九年级上·上海青浦·期中）已知：如图，在四边形中，对角线和相交于点O，． (1)求证：； (2)过点A作，交于点E．求证：． 【典例7-2】（25-26九年级上·上海·期中）如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，点E在边AB上，联结CE交BD于点O，且，AF是∠BAC的平分线，交BC于点F，交DE于点G. (1)求证：CE⊥AB． (2)求证：.    【变式7-1】（25-26九年级上·上海·期中）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4，点D、E分别是边BC、AB的中点，将△BDE绕着点B旋转，点D、E旋转后的对应点分别为点D′、E′，当直线D′E′经过点A时，线段CD′的长为_____． 【变式7-2】（25-26九年级上·上海·期中）已知：如图，在四边形中，，对角线交于点E，点F在边上，联结交线段于点G，．    (1)求证：； (2)联结，求证：． 【变式7-3】（25-26九年级上·上海·期中）如图，已知在梯形中，，E是边上一点，与对角线相交于点F，且． (1)求证：； (2)联结，与相交于点O，若，求证：． （一）四大判定方法精简汇总 1. 平行预备定理：见平行直接得相似，最快最简便； 2. AA两角相等：考场使用率最高，优先寻找公共角、等角； 3. SAS两边成比例+夹角相等：严控“夹角”，杜绝SSA错误； 4. SSS三边成比例：专属网格、已知全边长题型； 5. 直角三角形专属：斜边直角边成比例可直接判定。 （二）四大必考模型口诀 平行分出A8型，公共角出母子型； 一线三等证AA，共顶旋转SAS。 （三）高频易错失分点 1. SSA绝对不能判定三角形相似，是最常见陷阱； 2. 符号“∽”自带顶点对应关系，文字描述相似必须分类讨论； 3. SAS判定中，相等的角必须是成比例两边的夹角； 4. 相似三角形对应边、对应角必须匹配，禁止乱对应。 一、单选题 1．（25-26九年级上·上海青浦·期中）如图，点F时平行四边形的边上一点，直线交的延长线与点E，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）如图，在三角形纸片中，，，．沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似的是（　　） A．B．C． D． 3．（25-26九年级上·上海静安·期末）已知在中，点、分别在边、上，那么下列条件中能判定与相似的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·上海·期中）如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交边于点、，连接、，与相交于点，下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）如图，矩形中，点在对角线上，延长交于点，过点作，分别交、于点、，，．如果，那么的长是（   ）    A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·上海宝山·期末）关于等腰三角形相似的判定，某同学提出如下猜想，下列说法中正确的是（    ） ①两腰及一腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似； ②底边和底边上的高对应成比例的两个等腰三角形相似． A．①错误②正确 B．①正确②错误 C．①②均正确 D．①②均错误 二、填空题 7．（25-26九年级上·上海崇明·期末）如图，已知在四边形中，，如果，那么__________． 8．（25-26九年级上·上海·期中）布洛卡点定义：已知中，是内部一点，当时，点为的布洛卡点．如图，在中，，点为的布洛卡点，，那么___________． 9．（25-26九年级上·上海·期中）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点D、E分别在BC、AC上，且BD=CE，设点C关于DE的对称点为F，若DF∥AB，则BD的长为__________． 10．（25-26九年级上·上海·期中）如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称作为这个平面图形的一条优美线．已知ΔABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D、E在边BC上，且 BD＝2，E为BC中点，过点D的优美线交过点E的优美线于F，那么线段AF的长等于_____． 11．（25-26九年级上·上海静安·期末）如图，已知平行四边形中，点在边上，，射线交于点，交射线于点，那么________．（结果化为最简整数比） 12．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）在等腰中，，是边上的高，将线段绕着点D逆时针旋转，点A旋转到点E，与边交于点F，且，如果与相似，那么的值为 ___________ ． 13．（25-26九年级上·上海松江·期中）已知矩形中，，E是边上一点，，将沿着所在的直线翻折，点D的对应点为点F，连接并延长交边于点G，连接，如果与相似，那么边的长为______． 三、解答题 14．（25-26九年级上·上海·期中）已知：如图，在四边形中，，，点是边的中点，且． (1)求证：； (2)以为一边作，交于点，交于点．求证：． 15．（25-26九年级上·上海松江·期中）如图，已知梯形中，，对角线交于点O，，点E在线段的延长线上，连接． (1)求证：； (2)若，求证：． 16．（25-26九年级上·上海青浦·期中）已知：如图，在中，点D、E分别在，上，，点F在边上，，与相交于点G． (1)求证：； (2)当点E为的中点时，求证：． 17．（25-26九年级上·上海·期中）如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，E为边CB延长线上一点，联结DE交边AB于点F，联结AC交DE于点G，且．   (1)求证：AB∥CD；     (2)如果AD2=DG•DE，求证：．    18．（24-25九年级上·上海静安·期中）已知：如图，四边形、都是平行四边形，是边的中点，联结并延长，分别交、于点、． (1)求证：； (2)联结，如果，求证：． 19．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）已知：如图，点D、E分别在的边上，，联结． (1)求证：； (2)取的中点，联结，求证：． 20．（25-26九年级上·上海·期中）已知：如图，在中，点、分别在边、上，，． (1)求证：； (2)延长、交于点，求证：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $