山东省青岛第五十八中学2025-2026学年高一下学期期末测试数学试题

保密★启用前 2025级高一（下）期末测试 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案题号。回答非选择题时，将答案写在答题 卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的) 1.已知iz=3+i,则z的虚部为（) A.1 B.i C.-3 D.-3i 2.某市开展“全民阅读实施效果的调查研究，按区域划分为核心区、开发区、远郊区， 各区的人口比例为2：3：4.现采用按比例分层抽样的方法从各区中抽取人员进行调 研.已知从开发区抽取的人数为300，则从核心区抽取的人数为() A.90 B.120 C.180 D.200 3.已知a、B是两个不同的平面，m、是两条不同的直线，则下列结论正确的是（) A.若ln,l/a,nlB,则a B.若clB,Ca,nCB,则lln C.若⊥n,⊥a,n⊥B,则a⊥B D.若⊥n,⊥a,llB,则a⊥B 4.已知响量a与6的夹角为30°，ld=2,a.6-3,则a-=() A.1 B.阝 C.2 D.V13 数学试题 第1页（共6页） 5.记AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=3,b=4,B=2A,则S△Bc=() A.2√5 B.4W5 c.145 D.28V5 9 9 6.球体被平面截得的一部分几何体称为球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径 被截得的线段长叫做球缺的高（如图）.若球缺的底面半径为r,高为h,则球缺的体 积-2h(3r2+h).已知棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的各个顶点都在球O上， 平面ABCD将球O截成两部分，那么较小部分的体积为() Ag B.8-4V3 37元 C.2(V3-1)π D. 43-4 3元 7.在三棱锥P-ABC中，G为△ABC的重心，PA=PD,PB=PE,PC-4P (>1,心1)若PG交平面DEF于点M,且P正PG,则+的最小值为) G A.9 B. c. D. 8.已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的所有棱长均为2，O为AC的中点，且A1OL平面 ABCD,若直线AA1与底面ABCD的夹角为45°，则三棱锥A-A1BD的外接球被平面 BCC1B1截得的截面面积为() A B.π C. D.2π 数学试题 第2页 (共6页) 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分) 9.如图，四边形ABCD的斜二测直观图为等腰梯形AB'C"D,若AB'=2C'D'=4,则() A.AD=√2 B.BC=22 C.四边形ABCD的周长为6+2W2+2√3 D.四边形ABCD的面积为6√2 (A) B 10.已知平面向量ā，6满足团=2，=1， ā.6=1.对实数t,设立=石+b,方=ta-b.则下列说法正确的是（) A.团的最小值为√ B.存在两个实数t,使得元⊥d c.若园=，则t=1 D.以，为邻边的平行四边形面积的最小值为√ 11.如图，棱长为4的正方体ABCD-AB,CD中，点P为4B,的中点，动点9满足 D0=2DC+uDD1,1,∈(0,1)，则下列说法正确的是() C B A.平面BD2⊥平面ACD A B.直线P2与平面CCDD所成角为日，则sim6的取值范围是 B C,设CDn平面BPD=Q,则三棱锥P-ACQ的体积为 D.以△CCD的边CD所在直线为旋转轴将△CCD旋转，则在旋转过程中，则PC的 取值范围是2,2W13 数学试题 第3页（共6页） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分) 12.已知向量p在基底a,b,c下的坐标是(2,3，-1)，则p在基底a,a+b,万+c下的坐标 为 13.学校为了解学生身高（单位：cm)情况，采用按比例分层随机抽样的方法从3000 名学生中抽取了一个容量为100的样本，其中男女生人数之比为3：2，统计数据得到 男生平均身高为176，方差为164，女生平均身高为161，方差为169，用样本估计总 体，则该学校学生身高的方差为 角△4BC的内角4，B,C的对边分别为a,b,c,smA=,则6十2cS bc 围为 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题13分)已知m∈R,i为虚数单位，复数=(2-2-3)+(m2-5H6)i (1)当复数z为纯虚数时，求m的值； (2)已知p,q∈R,当=1时，若z是关于x的方程2x2+px+0的一个根， 求p与q的值. 16.(本小题15分)某中学积极响应国家号召，举行了一次红色文化知识竞赛。学校在 竞赛后，随机抽查了100人的成绩整理后得到如图所示的频率分布直方图. (1)求a的值，以及样本的平均数； ◆频率/组距 (2)若本次竞赛中获奖的人数占参赛总人数的 0.035 e--------E 20%,试估计获奖分数线（精确到0.1）； 0.025 (3)估计这组样本数据的众数和中位数， 0.015 0.005- 0405060708090100分数 数学试题 第4页（共6页） 17.(本小题15分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为 S,若=2，且有csinc-asinA=sinB(c-b). (1)求sinA; (2)若△ABC的面积为SV3,求b,c; (3)若△ABC为锐角三角形，求sinB+sinC的取值范围. 18.(本小题17分)如图1所示，在等腰梯形ABCD,BC∥AD,CE⊥AD,垂足为E, AD=3BC=3,EC=1，将△DEC沿EC折起到△DEC的位置，如图2所示，平面 DEC⊥平面ABCE (1)求证：平面BCD,⊥平面CDE; (2)求直线CD与平面ABD所成角的正弦值； (3)在棱AD(不包括端点)上是否存在点G,使平面ABD与平面GEC的夹角的 余弦值为S,若布在，求山日的值。若不布在，济说明星由 6 图1 图2 数学试题第5页（共6页） 19.(本小题17分)如图，已知锐角△4BC中，BC=4,其外接圆0的半径为8万， 且三条圆弧沿AABC三边翻折后交于垂心H. (1)求sin∠HCA; (2)若点T为劣弧BHC上一动点，求TB·TC的最小值； (3)若BO·AC=-10,求HA+HB+HC的值 20.（附加题) (1)半径为的球内部装有4个半径相同的小球，则小球半径r的可能最大值 为 (2).将{2+2'+2x、以z∈N,x<y<z集合中的数从小到大排列，第100个数 为（用数字作答）. 数学试题 第6页（共6页)2025级高一（下）期末考试 数学参考答案 2026.07 题号 2 3 5 6 7 8 9 10 答案 c D C c A D C ACD ABD 5733 12.(-1,4,-1) 13.220 14. 20’10 15.(1)因为z为纯虚数，所以(m2-2m-3)=0且(m2-5m+6)≠0，解得m=-1. (2)m=1时，z=-4+2i: 因为z是方程的一个根，所以代入得：2(-4+2i)2+p(-4+2)+q=0, (-32+2p)i+24-4p+q=0,解得p=16,q=40. 16.(1)由题意可得10(a+0.015+0.025+0.035+a+0.005)=1,解得a=0.01; 设平均数为x, 则元=45×10×0.01+55×10×0.015+65×10×0.025+75×10×0.035+85× 10×0.01+95×10×0.005=68.5; (2)因为本次竞赛中获奖的人数占参赛总人数的20%，所以不获奖人数占参赛总人数 的80%，设获奖分数线为x, 因为[40,50)分人数占总人数10×0.01=0.1；[50,60)分人数占总人数10×0.015=0.15； [60,70)分人数占总人数10×0.025=0.25；[70,80)分人数占总人数的10×0.035=0.35； 而0.1+0.15+0.25=0.5<0.8,0.1+0.15+0.25+0.35=0.85>0.8，所以x∈「70,80)， 所以0.1+0.15+0.25+0.035(x-70)=0.8,解得x=78.6; (3)由众数的定义可知：此组数据的众数为0：0=75：设中位数为m, 由（2)可知0.1+0.15+0.25=0.5，所以m=70 17.(1）已知csinC-asinA=sinB(c-b),由正弦定理得c2-a2=bc-b2, 高一数学参考答案第1页（共6页） 即62十2-2=ic,由余弦定理得cos4=-会-京 2bc 因为A∈(0，T),所以sinA= 11 2 ABD (2)由三角形面积公式S=besinA=bc×9-V5,得bc=40, 2 由余弦定理知a2=b2+c2-2bcc0sA,即4=b2+c2-2×4×号，得b2+c2=8②， 由①②解得c=2,b=2. (3)因为osA=分AE0,m,所以A-了，则B+C=号，即C=-B, sin2B+sin2CC-1-(cos2B+cos2C). 2 2 cos2B+c0s2C=cos2B+co(B)=cos2B-cos2 2sin2B -c0s2B-9sim2B=c0s(2B+号)，所以sim2B+sim2C=1-c0s(2B+3). 因为△ABC为锐角三角形，A=行， 0<B< 所以 0<C=号-B< ,解得后<B<行，则号<2B+号<号 所以-1≤c0s(2B+3)<-克，所以<1-c0s(2B+7)≤ 即sin28+sim2C的取值范围是（存引 18.1)'ABCD为等腰梯形，CE⊥AD,BC⊥CE, 又：平面DEC⊥平面ABCE,平面DECO平面ABCE=EC,∴BC⊥平面DEC, 又：BCC平面BCD,.平面BCD⊥平面CDE. (2)DE⊥EC,.DE⊥EC, 高一数学参考答案第2页（共6页） :平面DEC⊥平面ABCE,平面DEC⌒平面ABCE=EC,DE⊥EC,DEC平面DEC, ∴.DE⊥平面ABCE,又AE,CEC平面ABCE, “.DE⊥AE,DE⊥CE,故EA,EC,ED两两互相垂直， G 以E为坐标原点，EA,EC,ED为x,y,z轴，建立空间直角坐标系， 在等腰梯形ABCD,CE⊥AD,AD=3BC=3,EC=1, .CB=1,EA=2,ED=1, .A(2,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,1),则AB=(-1,1,0),AD1=（2,0,1),CD1=0,1,1), 设平面ABD的法向量为=(x,y,z),则 西4=0，即 -x+y=0 AD= ’-2x+z=0' 取x=1,则y=1,z=2,则h=(1,1,2), mc可 设直线与平面所成角为a,则sina=cos,CD= 1√3 cD 6.√56 (3)设AG=1AD=(-210,),0<<1,则 EG=EA+AG=(2,0,0)+(-2,0,)=(2-2,0,), 设平面GEC的法向量为n=(心2，y2,22),则 C正-0，即0 EG.2=0’(2-2)x+152=0’ 取x2=1,则z2=21-2,则2=(2,0,2-2)， 由题(2)可知，平面ABD的法向量为？=(1,1,2)， 高一数学参考答案 第3页（共6页） 5-4√6 设平面ABD与平面GEC的夹角为B,则cos8 V6V22+(2-2)3 6 整理得52-82+3=0，解得元=3或1=1（舍去）， 故棱AD(不包括端点)上存在点G,使平面ABD与平面GBC的夹角的余弦值为V6 此时4G、3 AD 5 19.(1)解：在锐角A4BC中，因为BC=4,其外接圆0的半径为8万， 由正弦定理得 BC 4 =2x8V万，可得n∠BAC-万 sin∠BAC sin∠BAC 4 所以BC=-raC---子 由∠iC1-7AaC,所以sm∠cA=sin号AAq-BAC=} (2)解：设点M为△ABC的边BC所对的外接圆的劣弧上的一点，点D为边BC的中点， 由题意及对称性知：TBTC=MB.MC=(MD+DB)-(MD-DB)=MD-DB=MD-4, 所以要使得B.元取得最小值，只需M而最小， 在圆O上，由三角形三边关系知aMD+OD≥OM-厅， 当且仅当M,O,D三点共线时，取等号， 此时MD-oM-0D-7-6D-BD-万-6c-BD-万-9厅-行， 所以历元-0-4之弓-4=4，即方元的最小值4 (3)解：由(1)知：n∠BAC-5, —·cos∠B4C—3, 因为BO.AC=-OB.AC=-10,可得OB.AC=10, 高一数学参考答案第4页（共6页) 又因为 OB.AC-OB.(OC-0A)=OB.0C-0B.0A=OBOCcos/BOC-B DAcos/BOA, 由圆的性质知： O5.Ac-97x8万os2∠BAC-g万87cos2∠BC4 7cos2∠BAC-64c0 64 7cos2∠BCA=10, 9 1 又因为c0S2∠BAC=2c0s2∠BAC-1=2×-1= 168' 所以64×1_64 62_31 787 0s2∠BCA=10,解得cos2∠BCA=- 6432 在锐角△ABC中，COS∠BCA= c0S2∠BCA+11 sin∠BCA= 1-cos2∠BCA_3V万 2 8 2 sin∠ABC=sin(∠BCA+∠BAC)=sin∠BCAcos∠BAC+cos∠BCAsin∠BAC- 5 16 cos∠ABC=V1-(Sin∠ABCy-9 6’ 由正弦定理得 AB AC sin∠BCAsin.∠ABc=2x 所以AB-2xg万sm∠BCA=295x万-6， 8 4c=2x8V7sin∠ABc=2x8V万xV7=5, 7 16 在△ABC中，点H是△ABC的垂心，可得 ∠AHC=π-∠ABC,∠BHC=π-∠BAC,∠AHB=π-∠ACB, 在△AHC中，由正弦定理得 HA AC sin∠ACH sin∠AHC 可得HA=ACsin.∠ACH 5cOS∠BAC5coS∠BAC 12Γ7 sin∠AHC sinc-∠4BC)sin∠ABC 57 7, 16 高一数学参考答案 第5页（共6页） 同理可得B=AB sin∠B1H_6cos∠ABC6coS∠ABC 6+、0 169f sin∠AHB sim(π-∠ACB)sin☑ACB3V万7 8 1 HC=BC sin∠CBE_4cos∠BCA 14cos∠BCA 4× &2 sin∠BHC sin(元-∠BAC)sin/BAC 7 4 所以ZA+B+HC=1277,2723√7 7 7 7 7 20.(1)四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时，这些小球的半径最大，以四 个小球球心为顶点的正四面体棱长为2？，该正四面体的中心（外接球球心)就是大球的 球心，该正四面体的高为 23 _26 该正四面体的外接球半径为x,则 3 解x-5,R=5 6 r+r,..r= R 3+5 (2)注意到，使得0≤x≤y≤z≤n的(x,y,z)组合共有C个. 因为C=84<100<120=C8,所以，第100个数满足==9. 再注意到，使得0≤x≤y≤m的(x,y)组合共有C1个. 因为C3+C2=99,所以，第100个数满足y=6,x=0, 即第100个数为2°+26+2=577. 高一数学参考答案 第6页（共6页)2025级高一（下）期末测试 数学 姓名： 班级： 考场/座位号： 正确填涂 考 号 [o] [0] [0] [o] [0] [o] [o] [0] [0] 缺考标记 [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] ▣ [2] [2] [2] [2] [2) [21 [2] [2] [21 [3] [3] [3] 「31 [3] [3] [3] ▣离▣ [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [71 [7] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [9] [9] [9] [9] [9] [9] I9] [9] [9] 注意事项 1.答题前请将姓名、班级、考场、准考证号填写清楚 2.客观题答题，必须使用B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 3.必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效。 客观题(18为单选题9-11为多选题 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 填空题 12. 13. 14. 囚囚■ 解答题 15. 囚囚■ 16. 频率/组距 0.035 0.025 0.015 0.005 0 405060708090100分数 ■ ■ 17. I 囚■囚 囚■囚 Z阁 I 8L ■ 口 ■ 2025级高一（下）期末测试 数学 姓名： 班级： 考场/座位号： 正确填涂 考 ■ [o] [0] [0] [o] [0] [0] [0] [0] [0] 缺考标记 [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] ▣ [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] (aj [3] ▣回 [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [6] [6] [6] [6] [6] [6J [6] [6] [7] [7] [7] [7] [7] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [9] [9] 9] [9] [9] [9 [9] [9] [9] 注意事项 1.答题前请将姓名、班级、考场、准考证号填写清楚 2.客观题答题，必须使用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 3.必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效。 19 0·H I I 囚■■ ■■▣ 附加题 20(1). 20(2) 0