第3章 培优增分5 极值点偏移问题(课时作业Word)-【高考领航】2027年高考数学大一轮复习学案（创新版）

**基本信息** 聚焦函数零点不等式证明，系统整合比值代换、差值代换等方法，通过构造函数与导数应用培养推理能力与创新意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |函数零点不等式证明|4道|比值代换、差值代换、构造函数、对数均值不等式|零点条件→变量代换转化→构造函数→导数分析单调性→不等式证明|

画学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 62ZXXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 限时规范训练（二十八） (建议用时：60分钟分值：64分) 1.(15分)若x1,3是函数x)=e一x>0)的两个零点，且<x,求证： 十x2>2且xx2<1. 证明：法一（比值代换）：因为x>0,由题意结合e=(x>0)可知，a0,x= In a+ln x, 所以x1-nx1=3-ln3=lna. 令也 ，则L,=,代入上式得 Int tInt x=c,=1 对于-2共等价于+之， 即hmt 2t-10 t+1 构造函数80=1n12t-1 c0,则g0=1.2+-2t-1=t- t+1 t+12 tt+1P>0, 所以厨数0在Q,十c)上单调递增，所以0h12:山-0，即十 1+1 x2>2得证. tInt2 好于L,其等价于平1，即<1，即血仁 t-1 令=b,则b>l，构造函数b)=血b-b+b>)，则n⑥= 子1-60， b2 b2 在(l,十o)上单调递减，所以1n1-1+0,即<1得证。 法二（差值代换）：由e=a(x>O)可得a=二O. X 独家授权侵权必究 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 62ZXXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 按顾装y式，则以= x2) 当x∈(0,1)，y<0,则函数在(0,1)上单调递减， 当x∈(1，十∞)，y>0,则函数在(1，+∞)上单调递增， 所以0sl，则有e=a以，e=ax,则a=e心 为X，且81= 对于x1+x>2,即e1+e) 。e2,即+e心2 aexX,-X’即+12 e2-x1-1X2-X1’ 令x2-x1=t,则t0,则只需证t(e+1)-2(e-1)>0. 令g()=t(e+1)-2(e-1)t>0),则g'(t)=t-1)e+1,g"(t=te>0, 则g'(t)在(0，+∞)上单调递增，则g'(①>(0-1)e°+1=0， 则g①在(0，+∞)上单调递增，则g()>0×(e°+1)-2×(e°-1)=0，即x1+ X2>2成立. 对于sl,其等价于ee <l,即ee<ee xx,即ee 2 1 X2-X1 左边分子分母月时除以e,得X，令灯=，则 t0, 令h()=te2-e+1(t0), 独家授权侵权必究 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 62ZXXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 令m0=-e2+专+1(c0), 0在0，©上调莲减，欣m0=e+1<-e2+日 以h'(t)<0, 所以h)在(0，+∞)上单调递减，所以ht<0×ei-e+1=0,即x<1成 立 2.(15分)已知函数x)=21nx一x2一a(a∈R)有两个不同的零点x1,x2,且 3 满足0<x<,求证：x> 证明：法一（换元法）：设函数x)与x轴的两个交点分别为A(:,0), B3,0), &2lnx1-x=ax1,① 由 &2lnx2-x3=ax2,② &2(Inx+Inx2)-+x=a(x+x), 得 &2 Inx1-Inx2--=ax-x2). 两式相清去a得20n十n的-好+-2n-n--十， X1-X2 In xi-In x2 化筒得lnx1X2+xx2= (+x).因为(x)=nx十x(x>0)是单调递增 X1-X2 3 的，所以x>2()> -n号+号丽n2+2安号2，故只稽证明 m3+31+3 血点>2x资4= >1,拘造函数g0=n1+>,由于g0 2t-1 X1 X2+X1 t-12 t+1下>0，所以0在(1，十)上单调递增，所以g0>g()=0,所以1n 独家授权侵权必究· 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 6.ZXXk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 2t-1 t+1(>l1),即n 2、2x2x X1 X2+X1 .故xx>2 法二（对数均值不等式法）：设函数)与x轴的两个交点分别为A(:,O), B(x,0), &2nx1=a'得21nx-x到=x2n为-x,即2（血 由&2lnx2-X=ax,' xnx3)=x1x2(x一x2).所以有 &hx+xnX-n=xx刘 In x1-In x2 &xIn-Inx2)= 两式相加得Xx+ =ln)+xw,由对数均值不等式nX1-lnx< 2<1,2及nc+1)≤x,知血 3,3 (c)+x>2>n气+气，因为)=lnx+r>0)是增函数，所以x>2 3.(I7分)已知函数)=nx+”-1. X (1)若存在实数x,使)<一1成立，求实数m的取值范围； (2)若x)有两个不同的零点，2，求证：十2>2. 解：)白<-1，得nx+哭<0，即m<-xhx在0，+)上有解， 令p=-x血x,只需m<o0,o(0=-1-hx,当0<x<2时，p()> 0,年酒范报，当>，<0，的单话莲减，所以600日-君 所以加<。，故实数m的取值范围为 -00 (2)证明：因为x)有两个不同的零点x1,,所以m=x(1一nx)有两个不同 的实根x1,x2,令g)=x(1-ln),则gx)=(x)=m,又g(w)=-1nx,当 x∈(0,1)时，g(x)>0,g)单调递增，当x∈(1，+∞)时，g(x)<0,g(x)单调 递减，又g(1)=1>0,g(e)=0,所以0<m<1,不妨设0<x<1<x<e,令 幸独家授权侵权必究 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 62ZXXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 h(x)=gx-g2-x)(0<x<1),所以h(x)=g(x)+g'(2-x)=-1n(-x2+2x>0, 所以h(x)在(0,1)上单调递增，所以h(x)<h(1)=0,所以gx)<g(2-x),即gx) <g(2-x1),又g(x1)=gx),所以g(x)<g(2-x),因为>1,2-x1>1,所以 x>2-x,所以x1十>2 4.(17分)已知函数x)=x2+2cosx,fx)为函数x)的导函数. (1)讨论函数x)的单调性； (2)己知函数w)=fy一5x十5a1nx,存在x,x且x≠龙，使得gx)= g(x),证明：x1十x2>2a 解：(I)术x)的定义域为R,f(x)=2x-2sinx,令hw=2x-2sinx,则h'(x) =2一2cosx≥0，所以函数h(x)在R上单调递增，又因为h(0)=0,所以h(x)< 0→x<0,h(x)>0→x>0,即fx)<0→x<0,f(x)>0→x>0,所以函数x)在( ∞，0)上单调递减，在(0，十∞)上单调递增 (2)证明：由(1)得g(x)=2x-2sinx-5x+5alnx=-2sinx-3x+5anx, x>0,又gx1)=g),即-2sinx1-3x1+5a1nx=-2sinx-3x+5an为， 所以5alnx2lnx1=2(sin2-in)+3(2-x).不妨设x3>x1>0,所以lnx >nx1.由(1)得当x>0时，函数f(x)单调递增，所以2x12sinx1<2x-2sin2, 故2(sim-sinxi)<2(x-x),所以5a0nx3-lnx)=2sinx2-sinx1+3(x-x） X2-X1 过<山点 <5g-0,所以a<nX-nx:故2a<nx-nX 2xn-血杀设文-1，的-h2,1,测公 X2+X1 t-12 0= t+1>0,所以函数在区间(，十)上单调递增，所以0>n1- 独家授权侵权必究 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 6.ZXXk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 2.1 2 2×:1=0,故h1>2 所以 1+1 t+1,即ln X1 (x2-x1<Inx-Inxi, 2+1 X2+X1 X1 2X-<0+,所以面+>2a,原式得证， 即nx2-nx1 ·独家授权侵权必究·