第3章 培优增分4 导数中的工具性解题策略(课时作业Word)-【高考领航】2027年高考数学大一轮复习学案（创新版）

**基本信息** 聚焦导数综合应用，以构造函数、导数分析、洛必达法则为核心方法，系统覆盖恒成立、单调性证明等高频题型，培养数学思维与表达能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |恒成立求参数范围|题1、2(2)、3(2)|构造函数+导数判断单调性、洛必达法则|导数与函数单调性、最值的应用链条| |单调性证明|题2(1)|导数+二阶导数分析|导数符号判断与函数单调性的推导关系| |不等式证明|题4(2)|构造函数求最值|函数构造与不等式转化的逻辑| |切线方程|题4(1)|导数几何意义|导数与切线斜率的概念联系|

限时规范训练(二十四) (建议用时：60分钟　分值：64分) 1．(15分)设函数f(x)＝ex－e－x.若对任意x≥0都有f(x)≥ax，求a的取值范围． 解：依题意，若对任意x≥0都有f(x)≥ax，即要保证f(x)－ax≥0恒成立，也就是当x≥0时，ex－e－x－ax≥0恒成立．令F(x)＝ex－e－x－ax(x≥0)，由于F(0)＝e0－e0＝0，要使函数F(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，即保证F(x)在x＝0右侧附近区间上单调递增，则F′(x)≥0在x＝0右侧附近区间上恒成立，而F′(x)＝ex＋e－x－a，且F′(0)＝1＋1－a＝2－a，故F′(0)≥0，即a≤2. 下证：当a≤2时，F(x)≥0恒成立．当a≤2时，函数F′(x)＝ex＋e－x－a≥ex＋e－x－2≥2 －2＝0，故函数F(x)在[0，＋∞)上单调递增，即F(x)≥F(0)＝0恒成立，故实数a的取值范围是(－∞，2]. 2．(15分)洛必达法则对导数的研究产生了深远的影响．洛必达法则：给定两个函数F(x)，G(x)，当F(x0)＝0，G(x0)＝0时，.已知函数f(x)＝ax3＋sin x－x，h(x)＝3sin x－x cos x－2x. (1)证明：h(x)在区间[0，2π]上单调递减； (2)对于x∈[0，2π]，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围． 解：(1)h(x)＝3sin x－x cos x－2x，所以h′(x)＝2cos x＋x sin x－2，令m(x)＝2cos x＋x sin x－2，则m′(x)＝－sin x＋x cos x，令n(x)＝－sin x＋x cos x，则n′(x)＝－x sin x，若x∈[0，π]，则n′(x)≤0，所以n(x)单调递减，n(x)≤n(0)＝0，所以m(x)单调递减，m(x)≤m(0)＝0，所以h(x)在[0，π]上单调递减，若x∈(π，2π]，则n′(x)≥0，所以n(x)单调递增，所以n(π)<n(x)≤n(2π)，即－π<n(x)≤2π，所以存在唯一x0∈(π，2π)，使得n(x0)＝0，且在(π，x0)上，n(x)<0，m(x)单调递减，在(x0，2π]上，n(x)>0，m(x)单调递增，且m(π)＝－4<0，m(2π)＝0，所以m(x)≤0，所以h(x)在区间(π，2π]上单调递减，且h(x)在[0，2π]上连续，综上，h(x)在区间[0，2π]上单调递减． (2)当x＝0时，f(0)＝0，成立．当0<x≤2π时，由f(x)≥0可得，令g(x)＝，所以g′(x)＝，由(1)可知h(x)≤h(0)＝0，所以g′(x)≤0，所以g(x)在(0，2π]上单调递减，g(x)<由洛必达法则，所以，所以a≥1.故实数a的取值范围为[1，＋∞)． 3．(17分)已知函数f(x)＝aex＋x＋1. (1)讨论f(x)的单调性； (2)当x>1时，f(x)>ln ＋x，求实数a的取值范围． 解：(1)依题意，得f′(x)＝aex＋1.当a≥0时，f′(x)>0，所以f(x)在R上单调递增．当a<0时，令f′(x)>0，可得x<－ln (－a)；令f′(x)<0，可得x>－ln (－a)，所以f(x)在(－∞，－ln (－a))上单调递增，在(－ln (－a)，＋∞)上单调递减．综上所述，当a≥0时，f(x)在R上单调递增；当a<0时，f(x)在(－∞，－ln (－a))上单调递增，在(－ln (－a)，＋∞)上单调递减． (2)因为当x>1时，f(x)>ln ＋x，所以aex＋x＋1>ln ＋x，即eln aex＋x＋1>ln (x－1)－ln a＋x，即ex＋ln a＋ln a＋x>ln (x－1)＋x－1，即ex＋ln a＋x＋ln a>eln (x-1)＋ln (x－1).令h(x)＝ex＋x，则有h(x＋ln a)>h(ln (x－1))对∀x∈(1，＋∞)恒成立．因为h′(x)＝ex＋1>0，所以h(x)在R上是增函数，故只需x＋ln a>ln (x－1)，即ln a>ln (x－1)－x对∀x∈(1，＋∞)恒成立．令F(x)＝ln (x－1)－x，则F′(x)＝，令F′(x)＝0，得x＝2.当x∈(1，2)时，F′(x)>0，当x∈(2，＋∞)时，F′(x)<0，所以F(x)在(1，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减，所以F(x)≤F(2)＝－2.因此ln a>－2，所以a>.所以，实数a的取值范围是. 4．(17分)已知函数f(x)＝ex－a－ln x＋x. (1)当a＝1时，求曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)当a≤0时，证明：f(x)＞x＋2. 解：(1)当a＝1时，f(x)＝ex-1－ln x＋x，f′(x)＝ex-1－＋1，则f′(1)＝1，而f(1)＝2，则切线方程为y－2＝x－1，即x－y＋1＝0，所以曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x－y＋1＝0. (2)证明：当a≤0时，令F(x)＝f(x)－x－2＝ex－a－ln x－2，x＞0，F′(x)＝ex－a－ ＝ －ln x0－2＝－a－2＝－a，当且仅当＝x0即x0＝1时取等号，故式子取不到等号，故F(x)≥F(x0)＞－a≥0，即F(x)＞0.所以当a≤0时，f(x)＞x＋2. 学科网（北京）股份有限公司 $