第3章 第1节 导数的概念及其意义、导数的运算(课时作业Word)-【高考领航】2027年高考数学大一轮复习学案（创新版）

**基本信息** 聚焦导数几何应用，以切线问题为主线，覆盖斜率计算、方程构建、存在性判断等核心考法，通过模拟题实现从概念到综合应用的逻辑递进，培养逻辑推理与数学建模能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础计算|5题（如3,5题）|切线斜率与方程求解|导数概念→几何意义→切线方程构建| |综合应用|7题（如9,10题）|过点切线条数、公切线|方程思想→函数单调性→解的个数判断| |拓展延伸|3题（如6,15题）|二阶导数、凸函数定义|导数性质→高阶导数→函数凹凸性|

限时规范训练(二十) (建议用时：60分钟　分值：104分) 单项选择题、填空题5分；多项选择题6分． 1．若函数f(x)满足＝2，则＝(　　) A．2 B．1 C．0 D．－1 解析：D　因为＝2，所以×2＝－1.故选D. 2．(2025·海南海口二模)函数f(x)＝f′(1)x2＋在x＝1时的瞬时变化率是(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．1 解析：A　f′(x)＝2f′(1)x＋＝2f′(1)x＋，令x＝1，可得f′(1)＝2f′(1)＋2，解得f′(1)＝－2.故选A. 3．(2025·山东聊城一模)曲线y＝x ln x在x＝1处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(　　) A．4 B．3 C．1 D． 解析：D　对函数y＝x ln x求导得y′＝ln x＋1，故所求切线斜率为k＝ln 1＋1＝1，切点坐标为(1，0)，所以曲线y＝x ln x在x＝1处的切线方程为y＝x－1，该切线交x轴于点(1，0)，交y轴于点(0，－1)，因此曲线y＝x ln x在x＝1处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为.故选D. 4．(2025·广西南宁三模)过点A(1，1)的直线l与曲线y＝ln (x－1)＋2相切于点B，则|AB|＝(　　) A．1 B． C．2 D．2 解析：B　依题意，设B(x1，y1)，对y＝ln (x－1)＋2求导得y′＝，y1＝ln (x1－1)＋2，则，化简得ln (x1－1)＝0，解得x1＝2，故B(2，2)，故|AB|＝ ＝ .故选B. 5．(2026·陕西榆林模拟)已知函数f(x)＝a ln x＋x2的图象在x＝1处的切线方程为3x－y＋b＝0，则a＋b＝(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．1 解析：B　因为f(x)＝a ln x＋x2，所以f′(x)＝＋2x.又函数f(x)的图象在x＝1处的切线方程为3x－y＋b＝0，所以f′(1)＝a＋2＝3，解得a＝1，则f(x)＝ln x＋x2，所以f(1)＝1，代入切线方程得3－1＋b＝0，解得b＝－2，故a＋b＝－1.故选B. 6．(多选)给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝(f′(x))′，若f″(x)＜0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．以下四个函数在上是凸函数的是(　　) A．f(x)＝sin x＋cos x B．f(x)＝ln x－2x C．f(x)＝－x3＋2x－1 D．f(x)＝－xe－x 解析：ABC　对于A，f(x)＝sin x＋cos x，则f″(x)＝－sin x－cos x，当x∈时，恒有f″(x)＜0，是凸函数，故A正确；对于B，f(x)＝ln x－2x，则f″(x)＝－，当x∈时，恒有f″(x)＜0，是凸函数，故B正确；对于C，f(x)＝－x3＋2x－1，则f″(x)＝－6x＜0在x∈上恒成立，是凸函数，故C正确；对于D，f(x)＝－xe－x，则f″(x)＝2e－x－xe－x＝(2－x)e－x，则f″(x)＞0在x∈上恒成立，故不是凸函数，故D错误．故选ABC. 7．(5分)已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________． 解析：由题图可知，曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率k＝，所以f′(3)＝－.因为g(x)＝xf(x)，所以g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，所以g′(3)＝f(3)＋3f′(3)＝1＋3×＝0. 答案：0 8．(13分)已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)． (1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值； (2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围． 解：f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)． (1)由题意，得解得b＝0，a＝－3或a＝1. (2)因为曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，所以关于x的方程3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)＞0，即4a2＋4a＋1＞0，所以a≠－.所以a的取值范围为∪. 9．(2025·北京市第二中学二模)已知过点A(a，0)作曲线y＝(1－x)ex的切线有且仅有1条，则a＝(　　) A．－3 B．3 C．－3或1 D．3或1 解析：C　设切点为，由已知得y′＝－xex，则切线斜率k＝，切线方程为(x－x0)，直线过点A(a，0)，则(a－x0)，化简得－(a＋1)x0＋1＝0，切线有且仅有1条，即Δ＝(a＋1)2－4＝0，化简得a2＋2a－3＝0，即(a＋3)(a－1)＝0，解得a＝－3或1.故选C. 10．若曲线C1：y＝ax2(a＞0)与曲线C2：y＝ex存在公共切线，则实数a的取值范围为(　　) A．(e2，＋∞) B．[e2，＋∞) C． D． 解析：D　由y＝ax2(a＞0)得y′＝2ax，由y＝ex得y′＝ex.设公切线与曲线C1切于点，与曲线C2切于点，则2ax1＝，可得2x2＝x1＋2，所以a＝.因为a＞0，所以x1＞0，记f(x)＝(x＞0)，则f′(x)＝，当x∈(0，2)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．所以当x＝2时，f(x)min＝＞0，所以实数a的取值范围是.故选D. 11．(5分)若点P是曲线y＝ln x－x2上任意一点，则点P到直线l：x＋y－4＝0距离的最小值为________． 解析：过点P作曲线y＝ln x－x2的切线，当切线与直线l：x＋y－4＝0平行时，点P到直线l：x＋y－4＝0的距离最小．设切点为(x0＞0)，又y′＝－2x，所以切线斜率k＝－2x0，由题意知－2x0＝－1，解得x0＝1或x0＝－(舍去)，所以P(1，－1)，此时点P到直线l：x＋y－4＝0的距离d＝ . 答案：2 12．(13分)设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0. (1)求f(x)的解析式； (2)证明曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值． 解：(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3，当x＝2时，y＝，又因为f′(x)＝a＋，所以解得所以f(x)＝x－. (2)设P(x0，y0)为曲线y＝f(x)上任一点，由f′(x)＝1＋知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－＝(x－x0)．令x＝0，得y＝－，所以切线与直线x＝0的交点坐标为.令y＝x，得y＝x＝2x0，所以切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0，2x0)．所以曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0和y＝x所围成的三角形的面积S＝上任一点处的切线与直线x＝0和y＝x所围成的三角形面积为定值，且此定值为6. 13．(15分)已知函数f(x)＝ln (x＋m)－n2和g(x)＝ex－n，其中m，n为常数且n>0.若存在斜率为1的直线与曲线y＝f(x)，y＝g(x)同时相切． (1) 若曲线y＝g(x)在点(x1，g(x1))处的切线斜率为1，求x1； (2) 求的取值范围． 解：(1)g′(x)＝ex，则g′(x1)＝＝1，解得x1＝0. (2)f′(x)＝＝ln (x＋m)－n2 在(t，ln (t＋m)－n2) 处的切线斜率为1，则＝1，从而t＝1－m，故切点为(1－m，－n2)． 由(1)可知，曲线y＝g(x)＝ex－n 在(0，1－n) 处的切线斜率为1，故切线方程为y－(1－n)＝x，因为斜率为1的直线与曲线y＝f(x)，y＝g(x)同时相切，所以(1－m，－n2) 在切线y－(1－n)＝x 上，故－n2－(1－n)＝1－m，所以m＝n2－n＋2.因为n>0，所以－1，当且仅当n＝，即n＝ 时，等号成立，故 的取值范围为. 14．(多选)若过y轴上一点P(0，m)最多可作出n(n∈N*)条直线与函数f(x)＝xex的图象相切，则(　　) A．n可以取到3 B．m＋n<3 C．当n＝1时，m的取值范围是 D．当n＝2时，m存在且唯一 解析：ABD　设切点为，f′(x)＝(x＋1)ex，则，所以－m＝.令g(x)＝x2ex，则g′(x)＝(x2＋2x)ex，易得g(x)在区间(－∞，－2)，(0，＋∞)上单调递增，在区间(－2，0)上单调递减．极大值为g(－2)＝4e-2，极小值为g(0)＝0，当x→－∞时，g(x)→0，作出g(x)的图象如图所示， 显然当m∈(－4e-2，0)时，g(x)＝－m有三个解，即有三条切线，n＝3； 当m＝0时，g(x)＝－m有一个解，即有且仅有一条切线，n＝1； 当m>0时，g(x)＝－m无解，即不存在切线，不符合题意； 当m＝－4e-2时，g(x)＝－m有两个解，即有两条切线，n＝2； 当m<－4e-2时，g(x)＝－m有一个解，即有一条切线，n＝1. 所以A、B、D正确，C错误．故选ABD. 15．(多选)已知直线l1是曲线f(x)＝ln x上任一点A(x1，y1)处的切线，直线l2是曲线g(x)＝ex上点B(y1，x1)处的切线，则下列结论中正确的是(　　) A．当x1＋y1＝1时，l1∥l2 B．存在x1，使得l1⊥l2 C．若l1与l2交于点C时，且△ABC为等边三角形，则x1＝2＋ D．若l1与曲线g(x)相切，切点为C(x2，y2)，则x1y2＝1 解析：AD　对于A，由题意，得y1＝ln x1，由x1＋y1＝1，得＝1，如图①，可知y＝x＋ln x与y＝1交点是(1，1)，可得x1＝1，y1＝ln x1＝ln 1＝0，由f(x)＝ln x，得f′(x)＝＝ex，得g′(x)＝ex，所以直线l2的斜率为g′(y1)＝g′(0)＝e0＝1＝f′(x1)，即直线l1的斜率等于直线l2的斜率，且l1：y＝x－1，l2：y＝x＋1，所以l1∥l2，故A正确；对于B，因为＝f′(x1)·g′(y1)＝·x1＝1≠－1，所以不存在x1，使得l1⊥l2，故B错误；对于C，如图②，设l1，l2的倾斜角分别为α，β，因为△ABC为等边三角形，所以β＝α±，又tan α＝f′(x1)＝，tan β＝g′(y1)＝＝x1，所以当β＝α＋时， tan β＝tan ＝＝x1，整理得x1－1＝0，所以x1＝＋2(负值舍去)；当β＝α－时，tan β＝tan ＝＝x1，整理得x1－1＝0，所以x1＝－＋2(负值舍去)；所以x1＝±＋2，又由题意可得△ABC关于直线y＝x对称，△ABC为等边三角形，故C错误；对于D，若l1与曲线，则＝f′(x1)＝＝g′(x2)＝，即，又C(x2，y2)在g(x)＝ex上，所以y2＝，所以＝y2，即x1y2＝1，故D正确．故选AD. 学科网（北京）股份有限公司 $