培优专题03 利用空间向量解决最值与范围问题（专项训练）高二数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦空间向量工具性，系统覆盖13类几何最值题型，从基础运算到综合应用，构建“题型-向量运算-几何量”逻辑链条，培养数学思维与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常考题型·精准突破|13题型（含多选、解答题）|数量积/模长/夹角/面积/体积等最值与范围，标注“重”“高频”“难”|从向量基本运算（数量积、模长）到空间几何量（距离、角度、体积），层层递进| |综合攻坚·知能拔高|综合题（选择/填空/解答）|多知识点综合，考查空间向量工具的灵活应用|整合多题型方法，强化知识迁移与综合解题能力|

专题03 利用空间向量解决最值与范围问题 常考题型·精准突破 ◆题型1 数量积的最值与范围（重） ◆题型2 模长的最值与范围 （高频） ◆题型3 夹角的最值与范围 ◆题型4 面积的最值与范围 ◆题型5 体积的最值与范围（难） ◆题型6 截面的最值与范围（难） ◆题型7 线段和的最值与范围 ◆题型8 异面直线夹角的最值与范围 ◆题型9 线面角的最值与范围（高频） ◆题型10 二面角和面面角的最值与范围（难） ◆题型11 点到直线距离的最值与范围 ◆题型12 点到平面距离的最值与范围（重） ◆题型13 异面直线距离的最值与范围 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 数量积的最值与范围 1．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）在直三棱柱中，，点P为侧面上的任意一点，则的取值范围是________. 【答案】 【分析】解法一：建立空间直角坐标系，求出，利用的范围求出的范围.解法二：取CC1中点为D，由极化恒等式得，求出和，从而得到的取值范围. 【详解】解法一：由题可知三棱柱为正三棱柱， 如图取AB中点为原点O，建立空间直角坐标系， 设，其中，，又，， 所以，， ， 当，且或1时，取得最大值1， 当，且时，取最小值，所以的取值范围为. 解法二： 取CC1中点为D，由极化恒等式得， 又，， 所以的取值范围为. 2．（2026·上海静安·二模）设、分别是棱长为的正方体的两个不同顶点，点在该正方体的表面上（含棱和顶点）运动，且不与、两点重合．关于，给出下列两个结论： ①存在最小值，且最小值小于零； ②存在最大值，且最大值大于零． 则下列判断正确的选项是（    ）． A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①和②都错误 D．①和②都正确 【答案】A 【分析】分、为同一平面的相邻顶点、、为同一平面的不相邻顶点及、为体对角线上两顶点进行讨论，可求出对应的长度，取中点为，利用空间向量线性运算与数量积公式可得，再求出对应范围即可得解. 【详解】设中点为， 若、为同一平面的相邻顶点，则， 则，即， ， 此时存在最小值，且最小值小于零，存在最大值，且最大值大于零； 若、为同一平面的不相邻顶点，则， 则，即， 此时存在最小值，且最小值小于零，存在最大值，且最大值大于零； 若、为体对角线上两顶点，则， 则，即， 则， 此时存在最小值，且最小值小于零，存在最大值，最大值等于零； 综上可得：①正确；②错误. 3．（2025·河北·模拟预测）（多选）如图，在正八面体中，所有棱长均为，为正八面体内切球球面上的任意一点，则（   ） A．正八面体内切球的表面积为 B．正八面体的体积为 C．的取值范围是 D．的最大值为 【答案】ACD 【分析】根据正四棱锥的特征，结合切点的位置，构造几何关系，即可求解A选项；根据锥体的体积公式，即可求解C选项；根据几何关系，转化向量求数量积，并结合直线与球的位置关系，求最值，可判断C选项；设球心为，由球的几何性质可知，当与球相切时，最大，结合锐角三角函数的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，由题意得，可以只分析正四棱锥，易得正四棱锥的高为， 侧面正三角形的高为，设内切球的半径为，则由面积法可得，解得， 所以表面积为，故A正确； 对于B选项，正八面体的体积为两个正四棱锥的体积之和，， 因此，故B错误； 对于C选项，取中点， ， 而点到的距离为， 因此的最小值为，最大值为， ， 代入数据可得的范围是，故C正确； 对于D选项，设球心为， 由球的几何性质可知，当与球相切时，最大， 此时为锐角，如下图所示： 易知，，， 则， 所以，D对. 故选：ACD. 4．（25-26高二上·山东济宁·阶段检测）在三棱锥中，分别是的中点，且. (1)求. (2)已知,若分别是线段上的一个动点，且，求的最大值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）应用向量加减、数乘的几何意义，用表示出，即可得； （2）设，由、，应用向量数量积的运算律得关于的表示式，即可求最大值. 【详解】（1）由题意得 所以，所以； （2）①由题意， ， 由，得，设， 得 同理， 则 . 当时，取得最大值，且最大值为. ◆题型2 模长的最值与范围 5．（25-26高二下·甘肃兰州·期末）棱长为1的正方体中，点为上的动点，为底面的中心，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，设，先求，再求，最后利用二次函数即可求解. 【详解】以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如图， 由棱长为，所以， 所以， 设， 所以， 所以， 所以当时，的最小值为. 6．（2026·上海闵行·模拟预测）正三棱锥中，底面边长，侧棱，向量，满足，，则的取值范围为__________ 【答案】 【分析】利用向量运算化简变形，设，将向量等式转化为两动点轨迹均为球面，再利用球心距求两球面上任意两点间距离的最值即可. 【详解】已知正三棱锥，则，且， 由化简得， 由化简得. 设，代入，， 分别化简得，且， 故点在以为直径的球面上，半径； 点在以为直径的球面上，半径 分别取线段、的中点、， 则，显然这两球相交； 故， ， 故的取值范围为. 7．（2026·福建泉州·三模）已知三棱柱中，，，，，，且，，分别为，，的中点． (1)求证：平面； (2)求的长度的取值范围； (3)若，求与平面所成的角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接，可得，结合线面平行的判定定理分析证明； （2）以为基底表示，即，同时设，再利用，进而将表示为的函数后，再求其取值范围. （3）建立空间直角坐标系，设根据，求，根据求，再根据求，再设与平面所成的角为，即可利用进行求解. 【详解】（1）连接，则，分别为，的中点，， 又平面，平面，所以平面． （2）因为，，设，则，， 则， ， ， 又因为， ， ， 其中 ． 因为，所以， 又在单调递增，所以 ， ，所以， 故的长度的取值范围为． （3）以为坐标原点，，，为，，轴的正方向，建立如图空间直角坐标系． 则，，，设（）， ，，． 因为，所以，，，解得． 因为，所以，，，解得． 又因为，所以 ，所以． 设为平面的一个法向量，则， 又，，所以， 令，得，，． 设与平面所成的角为，， 则． 所以与平面所成的角的正弦值为． 8．（25-26高二上·上海·期末）如图，在平行六面体中，设为与的交点，若，，.    (1)用向量表示向量； (2)若该平行六面体的体积为4，现将其截去三棱锥，求剩余几何体的体积； (3)若该平行六面体的底面是边长为1的菱形，且. 已知为空间一点，满足，，对于任意实数，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3)3 【分析】（1）由向量的线性运算求解即可； （2）由等体积法可得，由平行六面体的体积减去该三棱锥的体积，即可得答案； （3）由题意可得，令，根据二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）易知为与的中点， 因为 ; （2）设平行六面体的底面积为，高为， 则， 则三棱锥的高也为， 则， 所以剩余几何体的体积； （3）因为， 所以， 又因为，， ， 令， 则其开口向上，对称轴为， 所以当时，取最小值， 为， 所以时，取最小值，为9， 即的最小值为9， 所以的最小值为3. ◆题型3 夹角的最值与范围 9．（25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）已知在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面为PC上一动点，，若为钝角，则实数的值可能为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】以为原点建系，根据得出即可判断. 【详解】以为原点，所在直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， 因为，所以，则， 则， 故， 因为为钝角，所以，即， 又一元二次函数，，所以恒成立， 故，得， 故只有B选项满足题意. 故选：B    10．（25-26高二下·福建厦门·期末）已知为单位向量，且与夹角的余弦值为，向量，则（   ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值 【答案】A 【分析】利用空间向量数量积的定义和坐标运算可得，再结合即可得出，最后利用夹角公式求最值. 【详解】由题可知①， 又②，①②联立， 结合，得，. 因为， 所以当时，取得最大值为. 故选：A 11．（25-26高二上·北京西城·期中）在正方体中，是线段上一点，则的大小可以为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，设点，其中，利用空间向量法求出的取值范围，结合选项即可得解. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 设正方体的棱长为，则、、、， 设，其中，则， 从而，， 所以， 当时，，则， 则， 所以， 因为，所以，结合选项可知符合题意. 故选：A ◆题型4 面积的最值与范围 12．（25-26高一下·黑龙江鸡西·期末）（多选）在棱长均为的三棱柱中，，点满足，其中，则下列说法正确的是（   ） A．当点为棱的中点时， B．当时，四点共面 C．当时， D．当时，面积的最小值为 【答案】BCD 【分析】依托三棱柱棱长与夹角条件得到基底向量数量积，分别对四个选项：A通过向量分解求出系数求和判断对错；B利用空间四点共面向量充要条件推导；C展开数量积化简消去参数得定值；D结合点到直线距离与均值不等式求三角形面积最小值． 【详解】 对于A，当点为棱的中点时， ， 所以，，，，A错误； 对于B，当时，， 所以，即， 所以四点共面，B正确； 对于C，当时， ， 所以， 所以 ，C正确； 对于D，当时， ， ， 所以点到的距离， 因为，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的面积， 即面积的最小值为，D正确． 13．（2026·重庆·模拟预测）（多选）在正方体中，，空间任意一点满足，则（    ） A．点的轨迹在正方体内的部分的面积为 B．直线与所成角的最大值为 C．的最小值为3 D．面积的最小值为 【答案】BCD 【分析】根据题意建立空间直角坐标系，得到相应空间向量的坐标，由两点间的距离公式及数量积可解决最值问题，要注意了解柯西不等式的使用. 【详解】对于A，点的轨迹在正方体内的部分是以为球心，1为半径的球面的，如图， 则其面积为球的表面积的，即，故A错误. 对于B，如图，建立空间直角坐标系，则， 设，由两点间的距离公式可得， 所以， 所以， 令，则， 所以的最值可转化为的最值， 由基本不等式知，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为，所以直线与所成角的最大值为，故B正确. 对于C，由知由柯西不等式知，当且仅当，即时等号成立， 所以，即的最小值为3，故C正确. 对于D，由正方体的结构可知，，即球心到直线的距离为， 所以点到直线的距离的最小值为， 所以面积的最小值为，故D正确. 14．（2026·湖南湘潭·二模）在四棱锥中，平面，，，，，E为的中点，点F在上，且，设点G是线段上（含端点）的一动点. (1)求证：平面； (2)设与平面所成角为，求的范围； (3)若Q为中点，求的面积取值范围. 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用线面垂直的性质定理和判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，求出的方向向量和平面的法向量，利用夹角公式结合换元法即可求解； （3）由题可得，设，再根据，结合二次函数求范围即可． 【详解】（1）证明：因为平面平面，所以， 又因为平面平面， 所以平面； （2）解：在底面中，过作，交于， 由题意可知，又平面， 则以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， ，可知. , 设， 则， 设平面的法向量为， 则，即， 令，有，故. 故 ， 令，则 ， 而， 故； （3）解：由题可知， 设， ，， ，， ． ◆题型5 体积的最值与范围 15．（25-26高三·全国·三轮复习）已知正四面体外接球的球心为，，过点，的平面与棱，分别相交，记在平面两侧的几何体的体积分别为、，则的取值范围为_____________. 【答案】 【分析】设，利用四点共面，可得，再进一步确定，进而得到，再计算得，结合得到的范围． 【详解】解：如图，延长分别交平面、平面于， 平面与棱，分别相交于， 连接交于，又为正四面体，不妨设正四面体的边长为， 为的重心，为的中点，， ，设， ， 共面，，解得， 即，又，，， ， 即，即， ，， ，且， ． 16．（2026·甘肃·模拟预测）（多选）如图1，矩形中，，过，向对角线作垂线，垂足分别为，，且，将沿翻折，得到三棱锥，如图2，则下列说法正确的是（   ） A．三棱锥的外接球的表面积是 B．三棱锥体积的最大值为 C．二面角为直二面角时，的长为 D．二面角为直二面角时，点到平面的距离为 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，利用直角三角形射影定理求出，确定三棱锥的外接球球心及半径判断A；求出最大体积判断B；利用空间向量求出线段长判断C；利用等体积法求出点到平面距离判断D. 【详解】在矩形中，由，得，又于， 则，而，解得，， 对于A，取中点，连接，则， 点是三棱锥的外接球球心，球半径，该球表面积是，A正确； 对于B，由，得，， 当且仅当平面平面，即平面时，点到平面的距离最大， 因此三棱锥体积的最大值为，B正确； 对于C，，，由二面角为直二面角， 得，由，得 ，C错误； 对于D，由选项C知，，在中，由余弦定理得 ，则，， 二面角为直二面角时，由选项B得，设点到平面的距离为， 因此，所以，D正确. 17．（25-26高三下·河北保定·阶段检测）如图，在三棱锥中，，M是线段上的点． (1)求证：平面平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长； (3)若平面，Q为垂足，直线PQ与平面的交点为N，当三棱锥的体积最大时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）取的中点O，连接，利用线线垂直证明平面，再由面面垂直的判定定理即可证明； （2）根据题设建系，写出相关点的坐标，设，利用线面所成角的向量公式列方程求出的值，即可求得的长； （3）设，由可得，由平面可得点，利用基本不等式求出三棱锥的体积最大值，可得，设，利用，求得，即得的坐标进而求其长. 【详解】（1）取的中点O，连接， 因为，则， 由，可得，则， 又因，所以，且， 又由，所以， 又因为平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面． （2） 因为平面，， 故可以O为坐标原点，所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系， 则，所以， 因为M为棱PC上的点，设，其中， 所以，，且， 设平面ABM的法向量为， 则，故可取， 因为直线与平面所成角的正弦值为， 所以， 化简得，即， 解得或（舍去）． 所以． （3） 设，由（2）得，其中， 可得，即点， 因为平面，则点，， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故当点M为线段PC的中点时，三棱锥的体积取得最大值，此时，点， 由（2）可知，此时，平面的一个法向量为， 设，其中， 则， 因为平面，则， 所以，，解得， 所以，， 所以.即的长为． 18．（2026高三·全国·专题练习）如图，在三棱锥中，平面ABC，平面平面，，．D为BC的中点，E为PD的三等分点（靠近P点）． (1)请用，，表示； (2)求直线AE与平面PBC所成角的正弦值； (3)设F为AB的中点，过EF的平面与射线AC、AP分别交于点G、H，当三棱锥的体积最小时，求平面FGH与平面PBC所成角的余弦值． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）连接，结合空间向量的线性运算求解即可； （2）过点作，垂足为，连接，由平面平面可得平面，则为直线AE与平面PBC所成角，进而求解即可； （3）建立空间直角坐标系，设，根据四点共面求出，进而得到，再利用等体积法求得三棱锥的体积最小时，进而利用空间向量求解平面FGH与平面PBC所成角的余弦值即可. 【详解】（1）由题意，连接， 则 . （2）过点作，垂足为，连接， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，则为直线AE与平面PBC所成角. 因为平面ABC，平面ABC，所以，， 又，则，即， 又平面，平面，则，， 因为平面， 所以平面，因为平面，则， 又，，则，即为等腰直角三角形， 由（1）知，， 则 ， 所以， 则直线AE与平面PBC所成角的正弦值为. （3）由（2）知，，，， 以为原点，以所在直线为轴，以与垂直的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设， 则， 由于四点共面，则存在实数使得， 即，解得， 而，即， 当且仅当，即时等号成立， 而到平面的距离为， 又， 则三棱锥的体积最小时， 此时， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 而， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 设平面FGH与平面PBC所成角为， 则， 所以平面FGH与平面PBC所成角的余弦值为． ◆题型6 截面的最值与范围 19．（25-26高二下·上海·期中）如图所示，为平行六面体（六个面均为平行四边形的棱柱），点E、F分别在棱、上，满足，（为实数）．若平面截所得截面是一个五边形，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】设平面与直线的交点为，由题意可得点在线段的延长线上，进而根据面面平行、线面平行的性质得到，，可得四边形为平行四边形，进而结合空间向量的线性运算可得，进而求解即可. 【详解】设平面与直线的交点为， 由于平面截所得截面是一个五边形， 则点在线段的延长线上， 在平行六面体中，平面平面， 因为平面，所以平面， 又平面，平面平面，则，同理可得， 所以四边形为平行四边形， 则， ， 由于点在线段的延长线上，则，即， 又点F在棱上，则，且时，点F与点重合，此时截面为四边形，不满足题意， 因此，则的取值范围是. 20．（26-27高三上·湖南怀化·开学考试）（多选）已知正四面体的棱长为2，点在棱上（不含端点），过点且平行于和的平面截四面体所得截面为四边形.则（    ） A．截面四边形面积的最大值为1 B．三棱锥的体积的最大值为 C．三棱锥的外接球半径的最小值为 D．异面直线与所成角的余弦值的取值范围是 【答案】ACD 【分析】A.先作平行线，找到截面四边形，由正四面体对棱互相垂直得四边形为矩形，设，，用表示截面四边形的面积，再求最值；B.利用正四面体的体积是，，，故，取不到最大值；C. 当, 底面外接圆半径是刚好是外接球的半径，取到最小值；D. 作平行线找到异面直线与所成角，用表示的三条边，由余弦定理求得，再由求解取值范围. 【详解】正四面体性质：对棱互相垂直；高；体积； 选项 A，过作交于, 过作交于, 过作交于， 则截面四边形为四边形, 因为正四面体对棱互相垂直，即， 所以，所以截面四边形是矩形， 设，，则，， 所以截面四边形面积， 当且仅当时，，A 正确； 选项 B，因为正四面体的体积，且， 因为不含端点，，故，取不到最大值，B 错误； 选项 C，将正四面体补形成正方体，正四面体刚好位于正方体中，由正四面体的棱长为2，得正方体的棱长为， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设的外接圆圆心为， 由正弦定理，得的外接圆的半径为， 可知三棱锥的外接球半径， 取的中点为，则三点共线，且， 得，， 设，，得， 令，即，得，解得， 所以当时，三棱锥的外接球球心为， 此时外接球的半径取得最小值为，C正确； 选项 D，过作交于，则异面直线与所成角等于， 设，，则， 在中，，，， 由余弦定理得，即， 在中，，，，同理由余弦定理得， 在中，由余弦定理得，， 设，得， 令，则， 则， 可得， 因为，则， 可得，所以， 所以，所以， 所以异面直线与所成角的余弦值的取值范围是，D正确. 21．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图所示，在长方体中，，，为棱的中点． (1)若是线段上的动点，试探究：是否为定值？若是，求出该定值；否则，请说明理由． (2)过作该长方体外接球的截面，求截面面积的取值范围． 【答案】(1)是定值， (2) 【分析】（1）根据题意利用勾股定理可得，所以向量在上的投影向量为，运算得解； （2）以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法求出点到直线的距离即点到过的截面的距离最大值，从而得到过的最小截面圆的半径，又最大的截面面积为，得解. 【详解】（1）因为是的中点，所以， 所以，，， 因为，所以，又点在线段上， 所以向量在上的投影向量为，故，为定值． （2）设球心为，外接球半径为，最小截面圆的半径为． 由已知可得，则最大的截面面积为． 以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立如图的空间直角坐标系， 则，，． 取，，则，． 所以点到直线的距离为， 即点到过的截面的距离最大值为． 所以过的最小截面圆的半径， 因此最小的截面面积为， 综上，截面面积的取值范围是． 【点睛】关键点点睛：第二问解题的关键是利用向量法求出点到直线的距离也就是点到过的截面的距离最大值，从而得到过的最小截面圆的半径. 22．（2026·新疆·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面，. (1)证明：平面平面； (2)若，，是上一点，且.，，，在同一个球的表面上，设该球的球心为，过点作球的截面，所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为. （i）求球的表面积； （ii）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见答案 (2)（i）   (ii) 【分析】（1）根据线面垂直的性质和线面垂直的判定定理，结合面面垂直的判定定理进行证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用球的截面性质和空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】（1）因为平面，平面， 所以， 又因为，平面， 所以平面，又因为平面， 所以平面平面； （2）将三棱锥补成直三棱柱， 且三棱锥和该直三棱柱的外接球都是球， 记三角形的中心为，设球的半径为，， 则球心到平面的距离为，即， 连接，则，∴. 在中，取的中点为，连接， 则，， 所以.在中，， 由题意得到当截面与直线垂直时，截面面积最小， 设此时截面圆的半径为， 则， 所以最小截面圆的面积为， 当截面过球心时，截面面积最大为， 所以，， 由， 所以，故， 已知平面，， 建立如图所示的空间直角坐标系， ， ， 设平面的法向量为， 则有，取，则， 所以是平面的一个法向量， 因此直线与平面所成角的正弦值为： . ◆题型7 线段和的最值与范围 23．（24-25高二上·福建南平·期末）如图，在棱长为2的正方体中，点，分别是平面和平面内的动点，若点为棱的中点，则的最小值为______ .    【答案】/ 【分析】先取，使，再结合对称性得出，最后应用空间向量法求点到平面距离即可得出最小值. 【详解】   以为坐标原点，以分别为轴建立直角坐标系， 在延长线上取，使，所以， 表示到平面的距离， 所以， 当平面，平面，此时取的最小值， 因为，所以， 设平面的法向量为，则， 所以，令，则， 所以. 故答案为：. 24．（25-26高二上·山东潍坊·期末）（多选）在棱长为2的正方体中，分别为的中点，点在侧面上运动，则（    ） A．当在线段上时，直线与所成角的范围为 B．当在线段上时，的最小值为 C．当为线段的中点时，过点与垂直的平面截正方体所得截面的面积为 D．若是线段上一动点，则使平面的点的轨迹长度为 【答案】ACD 【分析】先建立空间直角坐标系，对各选项分别运用向量夹角公式、两点间距离公式、共面向量定理等，结合坐标计算与几何分析，逐一判断其正误. 【详解】 如图所示，建立空间直角坐标系，，，，， ，，，，，； 选项A：当在线段上时，设， ，； 直线与所成角的余弦为，， ，， 代入夹角余弦公式化简后得，， 令， 当时，，对其求导得，故单调减， 当时，，对其求导得，故单调增， 闭区间上的连续函数的最值一定在区间端点或极值点处取得， 时，，时，， 此时对应的夹角为，是的极小值点，，对应的夹角为， 因此，对应的夹角范围为，选项A正确； 选项B：当在线段上时，设， ，， 令，则：， 令，则，则单调递增； 的最小值等价于的最小值， 是开口向上的二次函数，对称轴为，将其代入得， 则，选项B错误； 选项C：当为中点时，； ，，， 又，则与垂直，，则与垂直， 则可以确定当为线段的中点时，过点与垂直的平面是， 边长， 边长， 边长， 这是一个等腰三角形，底边，高为， 故截面面积为：，选项C正确； 选项D：取平面的两个不共线向量，，， 令，，则， 依据共面向量定理，， 代入坐标得：， 在侧面上，代入， 当时，，得点，当时，，得点， ，选项D正确. 故选：ACD 25．（25-26高二上·上海·期中）如图，已知正方体 内接于球 ，且球的半径为 (1)求正方体 的棱长； (2)若 分别是 上的动点，求 的最小值； (3)若 是棱 的中点， 是侧面 内的动点（包含边界），且 ，求直线 与平面 所成角的正切值的范围. 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】（1）根据正方体的结构特征和球心的位置即可求出正方体的棱长. （2）将沿翻折到与平面位于同一平面位置，结合垂线段最短即可确定最小值. （3）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据平行求出点的坐标关系，然后求出平面的法向量，然后根据向量夹角的余弦公式求出余弦值，再求出正弦值，从而可求出正切值的表达式，最后根据点的坐标范围求出正切值的范围即可. 【详解】（1）因为正方体内接于球，即球外接于该正方体， 那么球心位于正方体的中心，所以体对角线长为. 设正方体的棱长为，则， 所以，所以正方体的棱长为2. （2）将沿翻折到与平面位于同一平面位置，如图所示， 那么的长度的最小值就是点到线段上点的距离的最小值. 过点作，垂足为，线段与线段交于点， 因为， 所以为等腰直角三角形，且，， 所以，又， 所以为等腰直角三角形，又， 所以，，， 所以，所以 所以当点与点重合，点与点重合时， 取取 最小值，最小值为. （3）以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则. 所以，设平面的法向量为， 则，则有，令，则. 所以法向量，而，因为平面， 所以，所以，所以. 因为平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为， 所以， 所以. 所以，又，所以. 因为，所以. 所以. 由二次函数的性质得知，，所以. 所以直线与平面所成角的正切值的范围为. ◆题型8 异面直线夹角的最值与范围 26．（2026高二下·浙江·学业考试）斜三棱柱中，是边长为2的正三角形，侧棱，，点为棱上动点，则异面直线与所成角的最小值为（     ） A．30° B．45° C．60° D．75° 【答案】B 【分析】先选择恰当的空间基底，用基底向量表示相关向量，再利用向量数量积公式计算异面直线所成角的余弦值，将几何问题转化为代数问题，再结合函数单调性求角度的最小值. 【详解】设，，，则， ，， ，. 因为点为棱上动点，设，， 则，， ， ，则， ， ，， 设异面直线与所成角为，则， 因为函数在上单调递增， 所以，当时，取得最大值，此时，所以取得最小值为， 即异面直线与所成角的最小值为. 27．（24-25高一下·湖南长沙·期末）如图，在三棱锥中，平面，，，，以AB为直径的圆弧在平面PAB内，点D是三角形PAB内圆弧上（不含边界）的动点，则三棱锥的体积最大值是______，异面直线CD与AB所成角的余弦值范围是______． 【答案】 【分析】由题意可得平面平面，求得点D到的距离的最大值可求最大体积；建立空间直角坐标系，利用向量法可得，进而求得范围. 【详解】因为平面，平面，所以， 又平面，所以平面平面， 又因为，，所以，所以， 所以圆弧所对的圆心角为，又点D是三角形PAB内圆弧上， 所以点D到的距离的最大值为圆的半径1， 所以三棱锥的体积最大值是； 如图，在平面内过作， 以为坐标原点，为坐标轴建立如图的示的空间直角坐标系， 则， 因为，， 因为，所以，所以，， 设异面直线CD与AB所成的角为， 所以， 令，，则， 又函数在上为减函数，所以， 所以异面直线CD与AB所成角的余弦值范围是. 故答案为：①；②. 28．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）棱长为2的正方体，M为正方体中心，将四棱锥绕逆时针旋转（）后得到四棱锥，如图1.    (1)求四棱锥的表面积和体积； (2)若（如图2），求证：平面平面； (3)求为多少时，直线与直线DC所成角最小，并求出最小角的余弦值. 【答案】(1)表面积为，体积为 (2) 若，则平面､平面为同一个平面， 如图，补全正方体， 连接、，则是中点，是中点，    所以平面与平面重合，平面与平面重合， 由正方体性质可知平面， 因为平面，所以，， 为二面角的平面角， 因为，则，同理可得， 所以，所以平面平面； (3)时，直线与直线DC所成角最小，最小角的余弦值为 【分析】（1）根据棱锥的表面积公式和体积公式计算即可； （2）易得平面､平面为同一个平面，补全正方体，证明为二面角的平面角，再证明即可； （3）以为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】（1）由题意，， 则， 所以四棱锥的表面积为， 四棱锥的高为， 则； （2）略 （3）如图，以为原点，建立空间直角坐标系，    则， ，即， 故， 则， 因为，所以， 所以， 所以， 所以，此时，即， 所以时，直线与直线DC所成角最小，最小角的余弦值为. 【点睛】方法点睛：证明面面垂直常用的方法： （1）面面垂直的定义； （2）面面垂直的判定定理. 在证明面面垂直时，一般假设面面垂直成立，然后利用面面垂直转化为线面垂直，即为所证的线面垂直，组织论据证明即可. 29．（2025·湖南郴州·三模）如图所示，在圆柱中，矩形为圆柱的轴截面，圆柱过点的母线为，点，为圆上异于点，且在线段AB同侧的两点，且，点为线段的中点，. (1)求证：平面； (2)若平面与平面所成夹角的余弦值为，求的大小； (3)若，平面经过点，且直线与平面所成的角为，过点作平面的垂线（垂足为），求直线AQ与直线所成角的范围. 【答案】(1) 证明： 延长交于点Q，连接， 因为，是中点，所以是的中位线，则点是中点， 又因为是圆柱的母线，所以平行且相等， 所以易得相交与点，是的中点，则在中，， 又因为，在延长线上，所以可得平面，而不在平面内， 所以平面. (2)的大小为 (3)线AQ与直线所成角的范围为 【分析】（1）在平面内找到一条与平行的直线，由线线平行去证明线面平行即可； （2）建立坐标系，将坐标分别用表示出来，再根据平面与平面所成夹角的余弦值为列出方程求解； （3）由所给的条件分析出点的轨迹，再去利用向量数量积公式去求解夹角余弦值的取值范围，从而得到夹角的取值范围. 【详解】（1）略. （2） 由题意可知面，且因为直径，所以则，三线两两垂直，则建立如图所示空间直角坐标系， 又因为，所以设，则， 可得点坐标为，，，， 则， 由题意平面在平面内，所以平面的法向量为， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则解得，所以， 又因为平面与平面所成夹角的余弦值，解得或（舍）， 且因为，则，即. （3）因为过点的平面与直线所成的角为，又因为过点作平面的垂线（垂足为） 所以为直角三角形，且， 所以点是绕旋转的圆，且半径，圆心距离点的长度为 所以设点且，又因为点为，所以， 而，所以， 又因为，所以， 且因为，所以， 所以直线AQ与直线所成角的范围为. ◆题型9 线面角的最值与范围 30．（24-25高二上·河北张家口·阶段检测）空间直角坐标系中，经过点且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面的方程为，经过的直线的方程为，则当变化时，直线与平面所成角的正弦值最大时，平面的方程为__________. 【答案】 【分析】根据题设确定平面的法向量、直线的方向向量，应用向量法求线面角的正弦值可得，结合二次函数的图象与性质即可求解. 【详解】由题设知：平面的法向量，直线的方向向量， 且平面与直线相交于， 所以直线与平面所成角的正弦值为 ， 对于二次函数，其是图象一条开口向上的抛物线，对称轴为， 当时，函数取到最小值，且最小值为， 此时直线l与平面α所成角的正弦值取到最大值，最大值为， 对应平面的方程为. 故答案为：. 31．（25-26高二上·山东聊城·期中）（多选）四边形为正方形，平面.（    ） A．平面 B．点到的距离为 C．点到平面的距离为 D．点在线段上（不含端点），则与平面所成角的正弦值的范围为 【答案】ACD 【分析】建立空间直角坐标系，利用平面法向量的性质、空间点到直线和点到面的距离公式、空间向量夹角公式逐一判断即可. 【详解】因为四边形为正方形，平面， 所以建立如图所示的空间直角坐标系， . A：设平面的法向量为， ，，， 所以有， 显然，CE不在平面内，所以平面，因此本选项正确； B：，， 于是， 所以点到的距离为，所以本选项不正确； C：设平面的法向量为， ，，， 所以有， 点到平面的距离为， 所以本选项说法正确； D：，设， ， 设与平面所成角为， ， 设，， 二次函数的对称轴为， 所以当时，有，于是有， 于是有，所以本选项说法正确， 故选：ACD 32．（25-26高二上·四川成都·期中）在平行六面体中，，，，． (1)以为空间的一个基底，求平面的一个法向量； (2)求点到平面的距离； (3)动点P满足，且，，当时，求直线与平面所成角的取值范围； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，利用，再结合条件、数量积的定义及运算，得到，即可求解； （2）求出和，再利用点到平面的距离的向量法，即可求解； （3）利用向量法求出线面角的正弦值取值范围，再得出角的取值范围. 【详解】（1）由题可知，， 则，，， 设为平面的一个法向量， 由，得到，即， 取，得到，所以， 故平面的一个法向量为. （2）由（1）知平面的一个法向量， 所以， 又 ， 所以点到平面的距离为. （3）当时，设， 则， 所以， ， 设直线与平面所成角为， 则， 当时，，； 当时，， 因为，所以， 所以，由， 可知， 综上，直线与平面所成角的取值范围. 33．（2026·江苏扬州·模拟预测）如图，长方形中，，，若为线段的中点，将沿翻折至． (1)若， ①证明：平面平面； ②求与平面所成角的正弦值； (2)求与平面所成角的正弦值的范围． 【答案】(1)①由题意得，， 在中，因为， 所以， 同理，， 在中，因为， 所以， 因为，平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面. ②. (2) 【分析】（1）①应用线面垂直判定定理得出平面，再应用面面垂直判定定理证明即可； ②先求出平面的法向量，再应用线面角正弦公式计算求解； （2）先建系，再设点，再求出平面的法向量，再应用线面角正弦公式结合值域计算求解； 【详解】（1）①略； ②以为原点，以所在直线分别为轴，以过垂直于平面的直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系： 则，，，， 则，，，， 设平面的法向量为， 则，即， 取，则， 设与平面所成角为， 所以，所以与平面所成角的正弦值； （2）设，因为，所以， 所以，且，所以， 则，，， 设平面的法向量为， 则，即， 取，所以， 设与平面所成角为， 所以， 设，所以， 令，所以 ，单调递增，所以 所以与平面所成角的正弦值的范围是； ◆题型10 二面角和面面角的最值与范围 34．（26-27高三上·浙江·开学考试）（多选）正方体棱长为1，、分别为、中点，点在正方体的表面上运动，且满足．记点的轨迹为，则下列命题正确的是（   ） A．是矩形 B．所围图形的面积为 C．点与所围成的空间几何体的体积是 D．点线段，所在平面与平面的夹角余弦值范围为 【答案】ABD 【分析】连接，交于，则为中点，过点分别作，分别交于点，连接，进而可得点的轨迹是矩形，进而求解判断AB；建立空间直角坐标系，利用空间向量求解判断CD    . 【详解】对于A，在正方体中，连接交于点，则为中点， 连接，因为为的中点，所以， 由正方体的性质，可知平面，所以平面， 因为平面，所以， 过点作，分别交于点， 过点分别作，分别交于点，连接， 所以四点共面，且， 所以四边形为平行四边形， 因为平面，所以平面， 又平面，所以，所以四边形为矩形， 因为，平面，所以平面， 因为点在正方体的表面上运动，且满足， 所以当面时，始终有，则点的轨迹是矩形， 即是矩形，故A正确； 对于B，在正方形中，因为， 所以，则， 因为，所以， 所以，则，即， 所以，易得， 所以所围图形的面积为，故B正确； 对于C，以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 由于平面，则所在平面的一个法向量为， 而，则点到平面的距离为， 而四边形的面积为， 则点与所围成的空间几何体的体积是，故C错误； 对于D，设，， 由C知，，， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 而所在平面的一个法向量为， 设所在平面与平面的夹角为， 则， 当时，； 当时，， 由于，则，则. 综上所述，所在平面与平面的夹角余弦值范围为，故D正确. 35．（25-26高一下·河北保定·期中）已知直三棱柱中，侧面为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC，的中点，D为棱上的点，． (1)证明：AB⊥平面； (2)证明：BF⊥DE； (3)当为何值时，平面与平面DFE所成角的余弦值最大？并求出这个最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)当时，平面与平面DFE所成角的余弦值最大，最大值为 【分析】（1）根据条件，可得，根据线面垂直的判定定理，可证平面，即可得证. （2）如图作出辅助线，根据线面垂直的性质定理，可证，根据三角形全等，可证，根据线面垂直的判断及性质定理，可证平面，结合线面的位置关系，即可得证. （3）如图建系，求得各点坐标和所需向量的坐标，分别求出平面DFE和平面的法向量，根据二面角的向量求法，可得二面角余弦值的表达式，根据二次函数的性质，即可得答案. 【详解】（1）因为为正方形，所以， 又，且，平面， 所以平面， 因为直三棱柱，所以，所以平面. （2）取BC中点G，连接，如图所示， 因为E、G分别为AC、BC的中点，所以， 则平面， 因为平面，所以， 因为，所以， 则，则，所以， 因为平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，且平面， 所以平面， 因为D为棱上的点，所以平面， 所以. （3）由（1）得两两垂直，以B为原点，为轴正方向建系，如图所示， 设，则， 则， 设平面DEF的法向量，则， 所以，令，则，所以， 因为平面，所以平面的法向量为， 所以， 所以当时，有最大值， 所以当时，平面与平面DFE所成角的余弦值最大，最大值为 36．（25-26高一下·湖南长沙·期末）如图，四棱锥的底面是边长为的菱形，，平面平面． (1)证明：； (2)设直线与平面所成角为．若点为棱上的动点（不包括端点），求二面角的正弦值的最小值． 【答案】(1)证明：连接交于点，连接， 因为底面为菱形，所以为的中点，可得,， 又因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以，又，由为公共边， 所以，所以. (2) 【分析】（1）连接交于点，证得平面，得到，结合，证得，即可证得； （2）以,所在直线分别为轴和轴，建立空间直角坐标系，设，求得，求得平面和平面的法向量和，结合向量的夹角公式和二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）略 （2）解：过点作于点， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 所以为直线于平面所成的角，即， 因为平面，平面，所以， 又因为，且，平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为，所以为的垂心， 因为底面是边长为的菱形，且，所以为等边三角形， 所以点为的重心，可得， 则，且, 又因为，所以， 以为轴，以为轴，过点作平面的垂线为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 设，可得， 则， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设二面角的平面角为 ， 则， 令 ，则， 所以， 由于， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最大值为，所以的最小值为. 37．（2024·重庆·模拟预测）如图，ACDE为菱形，，，平面平面ABC，点F在AB上，且，M，N分别在直线CD，AB上． (1)求证：平面ACDE； (2)把与两条异面直线都垂直且相交的直线叫做这两条异面直线的公垂线，若，MN为直线CD，AB的公垂线，求的值； (3)记直线BE与平面ABC所成角为，若，求平面BCD与平面CFD所成角余弦值的范围． 【答案】(1)证明：，， 所以，，， ， 则，又因为平面平面，平面平面面， 故平面； (2) (3) 【分析】（1）先通过余弦定理及勾股定理得到，再根据面面垂直的性质证明； （2）以C为原点，CA的方向为x轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，利用向量的坐标运算根据，列方程求解即可； （3）利用向量法求面面角，然后根据列不等式求解. 【详解】（1）略 （2）以C为原点，CA的方向为x轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系， 由，可得，， 所以 所以，， 设，则， 设，则，， 由题知，， 解得，，故； （3），设， 则，， 可取平面ABC的法向量， 则， ， 则， 整理得，故， ，，， 记平面CDF的法向量为，则有， 可得， 记平面CBD的法向量为，则有， 可得， 记平面BCD与平面CFD所成角为， 则，， 所以，， 故． ◆题型11 点到直线距离的最值与范围 38．（25-26高二上·四川成都·期末）（多选）如图，在长方体中，，，若是的中点．则（    ） A．过三点作长方体的截面，则截面为菱形 B．存在实数，使得直线与平面垂直 C．直线平面，则 D．点到直线的距离的范围为 【答案】ABC 【分析】对于A：根据题意结合面面平行的性质分析判断；对于C：连接交于点，根据平面的性质可知，结合几何性质分析判断；对于BD：建系并标点，利用空间向量结合垂直关系判断B；利用空间向量求点到直线的距离，进而判断D. 【详解】对于选项A：因为平面与平面平行， 则平面与平面的交线和平面与平面的交线平行， 同理可得平面与平面的交线和平面与平面的交线平行， 取的中点，连接，则四边形为平行四边形， 又因为， 所以截面为菱形，故A正确； 对于选项C：连接交于点，连接， 因为平面平面，则， 可知，则， 所以，故C正确； 对于选项BC：以为坐标原点，所在直线分别为轴建系， 则，，， 可得， 若直线与平面垂直，则，解得， 所以存在实数，使得直线与平面垂直，故B正确； 因为， 则， 又因为，则，，可得，故D错误； 故选：ABC． 39．（26-27高三上·湖北·阶段检测）边长为的正方形，为中点，将沿翻折得到，记为线段上一点，且满足，若在翻折过程中，记二面角为，，则点到直线的距离的范围是__________． 【答案】 【分析】过作于，以为坐标原点，为轴，在平面内过作垂直于的直线为轴，垂直于平面的方向为轴，求出、、的坐标，可求得、的值，根据，可得为线段的中点，求出其坐标，由空间中点到线的距离公式求解即可. 【详解】由题意可得, 过作于，则在翻折过程中， 过作于，作交的其延长线于, 过作交的延长线于，作于， 在中，，， 所以，所以， 因为，，， 所以，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以，所以， 因为，，，故四边形为矩形， 所以， 以为坐标原点，为轴，在平面内过作垂直于的直线为轴， 过点且垂直于平面的直线为轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则，因为，， 所以二面角的平面角为， 则、、， 又因为，且， ， 所以， 所以为线段的中点，所以， 所以， 取的一个方向向量， 因此点到直线的距离. 又因为，所以， 所以. 40．（25-26高三下·江苏连云港·阶段检测）在三棱锥中，，，为的中点，点在上，． (1)若二面角的余弦值为，，求证：平面； (2)若，平面，设点到的距离为，到平面的距离为，求的取值范围． 【答案】(1)证明：因为，为中点，则， 又因为，则，可知二面角的平面角为， 即，且， 由余弦定理得， 由勾股定理可得，则， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 而，平面，所以平面． (2) 【分析】（1）作出二面角的平面角，由余弦定理可得，再利用线面垂直的判定理及性质定理即可得证； （2）建立空间直角坐标系，根据点到点到平面距离向量可得的表答式，再利用函数单调性计算即可求解. 【详解】（1）略 （2）设，， 以为原点，为轴建立空间直角坐标系， 则， 因为，所以， 设，则，， 所以，所以， 可得，， 所以， 整理可得；又因为，， 所以设平面的法向量为， 则，则， 令，则，可得， 则，可得， 因为，则，可得，， 所以的取值范围为. 41．（2026·河南开封·模拟预测）如图，在圆柱中，矩形为其轴截面，点为底面半圆弧上的动点（前半部分，且点不与点重合），点在母线上，，，点是上底面内的一个动点. (1)若，平面，求的长度； (2)若点F是上底面圆周上一点，求到的最大距离； (3)求平面与平面夹角余弦值的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量共线的概念，找出点的轨迹，再根据线面平行的判定定理，作出辅助线，求出结果即可； （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出方向向量坐标，根据向量的数量积，求出向量夹角，进而求出点到直线的距离即可，构造函数，判断距离的最大值； （3）根据点的坐标，求出方向向量和法向量，根据面面夹角的向量求出，求出夹角的余弦值的范围即可. 【详解】（1） 当时，点在线段上， 过作，交于，过作，交于， 此时，面，面， 所以平面，此时， 因为，所以，即，解得， 所以. （2） 过作，交下底面圆周于点， 以为坐标原点，以分别为轴建立空间直角坐标系， 可知点在以为圆心，以为半径的圆上，所以设点， 可知，， 可知点到的距离为， 可知， 所以， 设函数，可知函数对称轴为， 当时，最大值， 即当时，点到的最大距离为. （3）可知点在以为圆心，以为半径的圆周上， 所以设， 可知，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，解得， 即平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则，即， 令，解得， 即平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为， 则， 化简得， 令，即， 因为，所以，可得， 所以， 设函数，可知函数对称轴为， 所以函数在上单调递减， 所以当时，，所以， 即平面与平面夹角余弦值的取值范围为. ◆题型12 点到平面距离的最值与范围 42．（26-27高二上·湖南长沙·开学考试）在正方体中，，以的边所在直线为旋转轴将旋转一周，则在旋转过程中，点到平面的距离的取值范围是________． 【答案】 【分析】先分析出点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，并求出圆心到平面的距离.再分析出当点位于圆与的交点时，点到平面的距离分别取得最大值和最小值，求出和即可得解. 【详解】 如图所示，连结交于点，取的中点，连结， 则点的轨迹是在平面内以为圆心，以为半径的圆. 易知，由，知，， 且平面，所以平面，又平面， 所以平面平面，平面平面. 在平面内过点作，交于点，所以平面， 所以即为圆心到平面的距离. 又因为，所以， 在中，，， 所以. 如图所示，设与圆的交点分别为，当点位于点时， 点到平面的距离分别取得最大值和最小值. 由三角形相似可得，， 所以, ， 所以点到平面的距离的取值范围是. 43．（25-26高二上·湖南长沙·期中）如图所示，在四棱锥中，侧面是正三角形，且与底面垂直，平面，，是棱上的动点． (1)当是棱的中点时，求证：平面； (2)若，，求点到平面距离的范围． 【答案】(1) 因为平面,平面，且平面平面,所以， 取的中点，连接， 因为是棱的中点，可得，且， 又因为，所以，所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面. (2). 【分析】（1）取的中点，连接，根据题意，证得四边形为平行四边形，得到，结合线面平行的判定定理，即可证得平面. （2）取的中点，分别证得平面和，以为原点，建立空间直角坐标系，设，求得平面的一个法向量和向量，结合向量的距离公式和二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）略 （2）取的中点，连接，因为是正三角形，所以， 又因为平面平面，且平面，平面，所以平面， 因为，且，则，所以， 以为原点，以直线所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 如图所示，因为，可得， 则， 所以， 设，可得， 设平面的法向量为，则， 令，则，所以， 设点到平面的距离为，可得， 当时，可得； 当时，， 因为，当，即时，取得最大值，即， 综上可得，，即点到平面的距离的取值范围为. 44．（25-26高二下·江苏宿迁·期末）如图，三棱锥中，底面，平面平面． (1)求证：； (2)若，且二面角的正弦值为． ①求的长； ②为平面内一点，且满足，求点到平面距离的最大值． 【答案】(1)在面内，过A作交于， 因为平面平面，平面平面， 平面， 所以平面． 平面，所以． 因为底面，底面，所以． 又，且平面，所以平面． 因为平面，所以． (2)①；② 【分析】（1）由面面垂直的性质得到线面垂直，即可得到线线垂直，然后再证明线面垂直，由线面垂直的性质得证线线垂直； （2）①解法1：由二面角定义作出二面角的平面角，由线面垂直得到线线垂直，然后由直角三角形中边的关系即可求得； 解法2：建立空间直角坐标系，设点坐标，利用向量的数量积求得平面和平面的法向量，然后由二面角和向量的数量积公式求得点坐标.，从而求得. ②解法1：建立空间直角坐标系，设点坐标，由向量的数量积求得平面的法向量，由向量投影求得点到平面距离的表达式，即可求得答案； 解法2：利用等体积转换法求得点到平面距离的最大值. 【详解】（1）略 （2）①解法1：如图所示，在内过点M作交于，连接， 由（1）知，平面，又平面，所以． 又，平面，，所以平面． 又因为平面，所以． 故为二面角的平面角． 因为平面，平面PBC，所以． 因为平面，平面，平面，所以，． 设，则在中，，中，，． 在中，，即． 解得，即 解法2：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则， ， ， 设，由（1）可知，即． 设平面的一个法向量， 又， 所以，即，取，则，， 所以． 由题意得，平面的一个法向量 因为二面角的正弦值为， 所以二面角的余弦值的绝对值为． 所以． 即，将代入得，． 解得，． 当时，，此时，与C重合，舍； 当时，，此时．     ②解法1：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，则， ， ， ． 因为，为平面内一点， 所以在以为直径的圆上，则设． 设平面的一个法向量， 则，即，取，则． 所以． 到平面的距离为． 因为，所以到平面的距离最大值为． 解法2：因为平面，所以为三棱锥的高， 由（1）知，平面，平面，所以． 在直角三角形中，，，所以． 由（1）知， 设到平面的距离为h， 因为，所以，即． 又在平面内，且，所以在以为直径的圆上， 所以面积的最大值为． 故到平面的距离h的最大值为． 45．（25-26高二下·江苏连云港·期末）如图，在四棱台中，平面，，，，，． (1)证明：平面； (2)判断直线与直线是否垂直，并说明理由； (3)设为平面内一点，为的中点，，且．若直线与平面的交点为，求点到平面距离的最小值． 【答案】(1)连接， 在四棱台中，， 又，，所以， 又，则， 所以四边形为平行四边形， 故，又平面，平面， 所以平面； (2)直线与垂直，理由如下： 因为平面，，以为原点建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，，，，， 所以，，， 所以； (3) 【分析】（1）连接，可证四边形为平行四边形，得到，再利用线面平行的判定即可证明； （2）以为原点建立空间直角坐标系，得到，，再根据向量法可证垂直； （3）设的坐标为，根据椭圆的定义可得，设，再利用向量共面的基本定理可得，令，进而得到，然后利用空间向量法求点到平面的距离即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）在上述坐标系中，设的坐标为， 因为为的中点，且，则，即， 又因，所以的轨迹是以为两焦点的椭圆， 由,得,故的轨迹方程为. 因为直线与平面的交点为，所以在直线上， 则存在，使， 得， 又在平面内，得， 即，得 ， 所以，得， 因为，令， 则 ，即 因为，所以， 又，平面， 所以平面，则平面的一个法向量为， ， 点到平面的距离，因 所以当时，取最小值，即， 所以点到平面距离的最小值为． 【点睛】本题主要考查线面平行的判定，利用空间直角坐标法判定空间直线的位置关系，同时涉及椭圆的定义，利用坐标法得到点在直线上的变化是解题的关键． ◆题型13 异面直线距离的最值与范围 46．（2026·重庆·模拟预测）如图，在正四棱锥中，与交于点，，点是边上一点．    (1)若平面平面，求证：； (2)若二面角的余弦值为； ①求的长； ②点为空间内一动点，满足，求异面直线与距离的取值范围． 【答案】(1)过作于，由平面平面，平面平面， 平面，得平面，又平面，则， 在正四棱锥中，由平面，平面，得， 又，平面，因此平面， 又平面，则，又，所以. (2)①；② 【分析】（1）根据给定条件，利用面面垂直的性质、线面垂直的判定性质推理得证. （2）①建立空间直角坐标系，利用面面角的向量法列式求出；②求出点的轨迹，再求出过点与轨迹相切的直线与平面交点的轨迹，求出异面直线公垂线的方向向量，并求出在此方向向量上的投影的绝对值范围即可. 【详解】（1）略 （2）①在正四棱锥中，直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，    令，，则， ， 则，设平面的法向量为， 则，取，得， 设平面的法向量为，则，取，得， 由二面角的余弦值为，得， 则，又，解得，所以. ②由，得点的轨迹是以为球心，为半径的球面， 设与平面的交点为，当与球相切时，， 则，解得，点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆及内部， 令，则，，令， 由，得，取，得， 异面直线与距离为，则， 由，得，令， 则，令函数，求导得， 函数在上单调递减，则， 所以的取值范围是. 47．（25-26高三上·广东·期末）如图，圆台的轴截面为等腰梯形，，为底面圆周上异于，的任一点. (1)若劣弧中点为（如图1），过点作出平面平面，请说明平面的作法，并证明平面平面； (2)现定义：和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段叫做两条异面直线的公垂线段，两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离.当为半圆弧的中点（如图2）所示，设平面平面，，求异面直线与的距离的最大值. 【答案】(1)连接，平面即为所求作的平面 ， 证明如下： ∵在圆台中，平面平面 ， ∵为劣弧 中点，为圆的半径，∴ ， 又 ∵平面平面 ， 又 ∵平面 平面平面 . (2) 【分析】(1)先证线面垂直，再推面面垂直，结合圆台“上下底面圆心连线垂直底面”、圆“弧中点与圆心连线垂直弦”的性质. (2)空间向量法(建系表示点与向量求法向量距离公式函数最值)，利用圆台的几何特征(延长母线得圆锥顶点)简化坐标计算，通过换元法分析分式函数的最值. 【详解】（1）略 （2）延长交于点，故平面平面 ， 故平面平面 即在中， 均为圆锥母线．由，得,故 , 以为原点， 方向轴正向建立空间直角坐标系， 则， 设且，则 ， 将平移至平面，设平面的法向量 ， 则 ，即 ，取 ， 又 ，则异面直线与的距离为 令 ，则 ， 当时，，此时与相交，不为异面直线（舍）； 当时，， 当且仅当，异面直线与的距离有最大值为 ． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．点P在平面内的直线上，点P到点的距离最小，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把点到直线的距离转化为空间中两点间的距离，再利用函数的性质求最值． 【详解】由已知可设点， 当与平面内的直线垂直时，最小，， 因为点在平面内的直线上，所以位该直线的一个方向向量， 当最小时，， 即， 此时 所以当时，取最小值，此时点. 故选：C． 2．在直三棱柱中，，，点在线段上运动，E，F分别为，中点，则下列说法正确的是（    ） A．平面 B．当为中点时，AP与BC成角最大 C．当为中点时，AP与成角最小 D．存在点，使得 【答案】C 【分析】举特例否定选项A；求得AP与BC成角最大时点位置判断选项B；求得AP与成角最小时点位置判断选项C；求得时点位置判断选项D. 【详解】由题意得，两两垂直，不妨令 以C为原点，分别以所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系. 则 选项A：当点P与点B重合时，由为梯形的两个腰， 可得相交，则直线平面位置关系为相交.判断错误； 选项B：设AP与BC成角为，, 由，可得 当时，即两点重合时，，AP与BC成角为.判断错误； 选项C：设AP与成角为，由，可得 又，在单调递减， 则当即为中点时，AP与成角最小.判断正确； 选项D：, 由，解得（舍）， 则不存在点，使得.判断错误. 故选：C 3．如图，在正方体中，，为的中点，为棱（含端点）上的动点，给出下列四个结论： ①存在，使得； ②存在，使得平面； ③当为线段中点时，三棱锥的体积最小； ④当与重合时，直线与直线所成角的余弦值最小. 其中正确结论的个数是（   ）    A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】先建立合适空间直角坐标系，设， 对于①：根据求得的值并判断是否正确； 对于②：考虑与重合时的情况，结合线面平行的判定定理进行判断即可； 对于③：根据，分析的最小值即可判断； 对于④：利用向量法先表示出，然后结合换元法和二次函数性质求解出最小值并判断. 【详解】建立如图所示空间直角坐标系设，    ①：因为， 所以， 当时，，解得，不符合题意，故①错误； ②：当与重合时， 因为，所以四边形为平行四边形， 所以，且平面，平面， 所以平面，故②正确；    ③：设到平面的距离为， 所以，且为定值， 所以当最小时，三棱锥的体积最小， 因为， 所以， 设平面的法向量为， 所以，所以，取，所以， 又，所以， 当时有最小值，故③错误； ④：设直线与直线所成角为， 因为， 所以， 令，所以，所以， 因为，所以时取最大值，此时取最小值， 此时，即与重合，故④正确， 因此正确结论的个数是. 故选：C 4．在正四棱柱中，，，点，分别为正方形与正方形的中心，E为的中点，点M为线段上的动点，则当点M到平面的距离最大时，直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以为原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，根据点到平面距离的向量公式及直线与平面夹角的向量公式求解即可． 【详解】以为原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， 因为E为的中点，所以， 则，， 设平面的一个法向量为，则， 取，则， 设，所以， 所以， 点M到平面的距离， 当时，即与点重合时，点M到平面的距离最大， 此时， 直线与平面所成角的正弦值为， 故选：D． 5．已知点，，，，，都在同一个球面上，为正方形，若直线经过球心，且平面．则异面直线，所成的角最小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设球的半径为，记中心为，依题意可得过点且的中点为球心，设球心为，建立空间直角坐标，设，，利用空间向量法表示出，求出的最大值，即可得到. 【详解】设球的半径为，记中心为， 因为为正方形，直线经过球心，且平面， 所以过点且的中点为球心，设球心为， 以为原点，、、分别为，，轴正半轴，建立空间直角坐标系， 设，， 则，，，， 所以，， 所以， 所以，， 又，即， 所以 ，当且仅当时等号成立， 设直线，所成的角为，则， 又，所以. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题解答是建立空间直角坐标，利用空间向量法求出的最大值. 6．在三棱锥中，面面，，，，是的中点.设，若，则二面角的余弦值的范围为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，先求组成二面角的两个半平面的法向量，再求两个法向量的夹角的余弦值范围即可. 【详解】解：面面，面面，，面， 所以面，， 在平面作直线直线，则， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，    不妨设，则， 在，， 易求边上的高为，线段在上的投影长为， 所以，，，， ，，， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，则平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，则平面的一个法向量为， ，，， 设二面角的平面角为， ，， 显然是关于的减函数， 时，， 时，， 故选：D. 【点睛】考查用坐标向量法求二面角平面角余弦值的范围，运算量大，易出错，难题. 二、多选题 7．已知正三棱柱的所有棱长都为2，N为棱的中点，动点M满足，λ∈[0，1]，当M运动时，下列选项正确的是（    ） A．当时，的周长最小 B．当λ=0时，三棱锥的体积最大 C．存在λ使得AM⊥MN D．设平面与平面所成的角为θ，存在两个不同的λ值，使得 【答案】BC 【分析】根据特殊位置即可判断出周长，根据等体积，可判断高最大，体积最大，根据线面垂直可判断线线垂直，根据二面角的向量求法即可作出判断. 【详解】当时，是的中点， ,当 时，，,        故当时的周长并不是最小的.故A错. 当λ=0时， ,只需要面积最大体积就最大，此时重合，故B对. 当是中点时，平面 ,又平面，则 ，故C 正确. 取中点为,则平面,以所在直线为轴，故建立如图所示空间直角坐标系，平面的法向量为 ,故 设平面的法向量为 所以  令 ，则 ，故 ，故D不对. 故选：BC 8．立体几何中有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，半正多面体的棱长为，棱数为24，它所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得的，下列结论正确的有（   ）    A．平面 B．若是棱的中点，则与平面平行 C．若四边形的边界及其内部有一点，，则点的轨迹长度为 D．若为线段上的动点，则与平面所成角的正弦值的范围为 【答案】ACD 【分析】根据题意，推出“阿基米德体”的所有顶点都是正方体的棱的中点，再结合立体几何证明线面垂直、线面平行的判定定理，以及向量法求空间角，对选项逐一判定. 【详解】如图所示，“阿基米德体”的所有顶点都是正方体的棱的中点.    对于A选项，由图可知平面，A选项正确； 对于B选项，根据正方体的几何性质，易知平面平面， 而与平面相交，故与平面不平行，B选项错误； 对于C选项，半正多面体的棱长为，所以正方体的棱长为4， 在正方体中，平面，得， 故， 所以点的轨迹是以为圆心、2为半径的圆， 又点在四边形的边界及其内部，所以点的轨迹是劣弧， 所以点的轨迹长度为，故C正确； 对于D选项，如图建立空间直角坐标系，    则，，， 设，则， 所以，，， 设平面的法向量为，与平面所成角为， 则，取，则， ， 由，可得，故D选项正确. 故选：ACD. 三、填空题 9．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架，的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子，分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记，则当________时，的长最小. 【答案】 【分析】根据条件，建立空间直角坐标系，求出，两点的坐标，再利用空间两点间的距离公式，即可求出结果. 【详解】因为面面，又面面， ，面， 所以面，又， 如图，以为原点，所在直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系， 则， 又，则，得到， 同理可得， 所以， 又，所以当时，的长最小，最小值为. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：立体几何中的距离问题，一般的思路是建立空间直角坐标系，利用向量法来求解. 10．体积为的正四面体内有一个球，球与该正四面体的各面均有且只有一个公共点，，是球的表面上的两动点，点在该正四面体的表面上运动，当最大时，的最大值是___________． 【答案】 【分析】记该正四面体为，由题意得出球是该正四面体的内切球，球心也是外接球的球心，在高上，由体积求得正四面体的棱长，并求出内切球半径，最大时，是球的直径，由数量积的运算得出取最大值时，只要最大即可得． 【详解】记该正四面体为，如图，由题意球是该正四面体的内切球，    显然在其高上，是底面正的中心，设， 则，， ，得到， 因为是正四面体，则是内切球球心也是其外接球球心， 设内切球半径为，即，又， 由，得，解得， 当最大时，是球的直径， ， 因为点在正四面体的表面上运动，当是正四面体的顶点时， 取得最大值，最大值为， 所以的最大值是． 故答案为：． 四、解答题 11．如图，在长方体中，点E，F分别是棱，上的动点，且，， (1)求证：平面； (2)若，． ①求平面与平面夹角的余弦值的最大值； ②若平面截长方体的截面为五边形，求平面与平面夹角的余弦值的范围． 【答案】(1) 在长方体中,平面， 又平面，所以， 又，平面， 所以平面，又平面， 所以，同理可证， 又平面， 所以平面. (2)①，② 【分析】（1）在长方体中,平面，可得，结合，可证平面，得到，同理可证，进而证得平面； （2）①以为原点建立空间直角坐标系，设，分别得出两个平面的法向量，即可得到夹角的余弦值，再根据函数性质可求最值； ②根据截面可确定在棱（不包含端点），然后可得的范围即可得到余弦值的范围. 【详解】（1）略 （2）①以为原点建立空间直角坐标系，设， 则， ， 设平面的一个法向量， 则，不妨取，， 由（1）知为平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为， 则 ， 又，当，即时取等， 又点E，F分别是棱，上的动点，且，， 所以，则， 所以， 即平面与平面夹角的余弦值的最大值为. ②在平面中，过作， 同（1）的证明理由可得，即平面， 所以当在棱时，截面为四边形， 当在棱（不包含端点）时，且不在棱端点时，截面为五边形， ，， 又，， 又在棱（不包含端点），所以，解得， 又不在棱端点，所以， 由①知，所以， 所以平面与平面夹角的余弦值的范围为. 12．如图所示，在圆柱中，矩形为圆柱的轴截面，圆柱过点的母线为，点，为圆上异于点，且在线段AB同侧的两点，且，点为线段的中点，. (1)求证：平面； (2)若平面与平面所成夹角的余弦值为，求的大小； (3)若，平面经过点，且直线与平面所成的角为，过点作平面的垂线（垂足为），求直线AQ与直线所成角的范围. 【答案】(1) 证明： 延长交于点Q，连接， 因为，是中点，所以是的中位线，则点是中点， 又因为是圆柱的母线，所以平行且相等， 所以易得相交与点，是的中点，则在中，， 又因为，在延长线上，所以可得平面，而不在平面内， 所以平面. (2)的大小为 (3)线AQ与直线所成角的范围为 【分析】（1）在平面内找到一条与平行的直线，由线线平行去证明线面平行即可； （2）建立坐标系，将坐标分别用表示出来，再根据平面与平面所成夹角的余弦值为列出方程求解； （3）由所给的条件分析出点的轨迹，再去利用向量数量积公式去求解夹角余弦值的取值范围，从而得到夹角的取值范围. 【详解】（1）略. （2） 由题意可知面，且因为直径，所以则，三线两两垂直，则建立如图所示空间直角坐标系， 又因为，所以设，则， 可得点坐标为，，，， 则， 由题意平面在平面内，所以平面的法向量为， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则解得，所以， 又因为平面与平面所成夹角的余弦值，解得或（舍）， 且因为，则，即. （3）因为过点的平面与直线所成的角为，又因为过点作平面的垂线（垂足为） 所以为直角三角形，且， 所以点是绕旋转的圆，且半径，圆心距离点的长度为 所以设点且，又因为点为，所以， 而，所以， 又因为，所以， 且因为，所以， 所以直线AQ与直线所成角的范围为. 13．如图，四棱锥中，底面是矩形，，，且平面平面．分别是的中点．． (1)求证：是直角三角形； (2)求四棱锥体积的最大值； (3)求平面与平面的夹角余弦值的范围． 【答案】(1)设平面平面PCD， 由于，平面ADC，平面ADC， 因此平面PDC，而平面APB，平面平面， 因此，而，因此． 而平面平面PCD，平面平面，平面， 因此平面PDC，而平面PDC，因此. 故△PEF是直角三角形． (2) (3) 【分析】（1）设平面PAB平面PCD，由面面垂直的性质定理以及线面平行的性质定理即可得PE⊥PF，则△PEF是直角三角形； （2）求出P到平面ABCD的最大距离即可得四棱锥P―ABCD体积最大值； （3）利用空间向量法可求平面PEF与平面PBC夹角余弦值的表达式，再利用换元法以及导数的知识可得最值. 【详解】（1）略 （2）由于，，因此P是以EF为直径半圆上的点． 而，，平面PEF， 因此平面PEF，而AB平面ABCD， 因此平面平面ABCD． 故P到平面ABCD的最大距离为， 四棱锥体积最大为． （3）设EF中点为O，作过O垂直EF的直线m． 设平面PEF与平面PBC夹角为． 以O为原点，OE，m，过O垂直于平面ABCD的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系． 则，，，，并设． 平面PEF的一个法向量为， ，， 设平面PBC的法向量为，因此，可取， ，不妨设， ，，因此随增大而增大，因此． 14．在如图所示的圆柱中，轴截面是边长为4的正方形，点为底面半圆弧上的动点（点不与点，重合）. (1)当三棱锥体积最大时， （ⅰ）求平面与平面所成角的余弦值； （ⅱ）点在线段上运动，求的最小值. (2)是否存在点，使得直线与平面所成角最大？若存在，求成角最大时的正弦值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ） (2)存在， 【分析】（1）（i）建系，求得平面法向量代入夹角公式即可求解；（ii）将面与面绕旋转，展开成平面图，连接，结合余弦定理即可求解； （2）过点作，确定为直线与平面所成角，取最小值，夹角最大，结合线面夹角公式即可求解. 【详解】（1）（ⅰ）∵， 又∵是定值，∴当三棱锥体积最大时即高最大， 即点为半圆弧的中点 设线段的中点为O，以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，， 设平面的法向量为． 则，则，令，得，， 则． 因为平面，平面，∴， 又∵，，，平面， ∴平面，是平面的法向量． 设平面与平面所成角的平面角为，则． 平面与平面所成角的余弦值为 （ⅱ）将面与面绕旋转，展开成平面图，连接， 如图所示，此时最小，即为长， 由题意可知，，， 所以， ， 再由余弦定理可知， 即的最小值为． （2）结合（1）可设，，， 所以， 平面的法向量为， 设为直线与平面所成角， 当直线与平面所成角最大时，取最大值， 令， 则，     ∴当且仅当时，取最大值，此时直线与平面所成角最大， 即存在点，使得直线与平面所成角最大． 15．在直四棱柱中，底面为平行四边形，，，，，在上，，在上，，在上，，为棱上的动点，，分别是二面角和二面角的平面角. (1)当为棱的中点时， （i）求与面所成角大小； （ii）为底面（包括边界）内的一个动点，且到平面的距离等于到直线的距离，当最大时，确定的位置； (2)当最小时，求. 【答案】(1)（i）；（ii）在上，且； (2) 【分析】（1）（i）先利用勾股定理逆定理判断底面为矩形，再结合直四棱柱的性质建立空间直角坐标系，将线面垂直的几何证明转化为向量点积为零的代数运算，最终推得线面角为 ； （ii）确定 的轨迹方程，由 ，结合最大时，最大即可求解； （2）作, ，连接，得到 , . 设 , , ，再由两角和的正切公式得到，进而可求解． 【详解】（1）（i）因为，所以，所以， 又底面为平行四边形，所以底面为矩形， 因为为直四棱柱，所以两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以， 则，， 所以，又为平面内两条相交直线，所以平面； 与面所成角大小为． （ii）因为平面，平面，所以平面平面， 过在底面内作， 因为平面平面，所以平面， 即到平面为，到直线的距离为，由题可知， 设，， 则， 所以，故， ，最大时，最大， . 当，最大，即最大，此时， 在上，且时，最大； （2）作，连接， 因为，且为平面内两条相交直线， 所以平面，又在平面内，所以， 由直角三角形面积易得：， 因为，为平面内两条相交直线， 所以平面，同理平面，所以，所以四边形是矩形， 所以，因为，所以， 所以二面角的平面角即为，同理二面角的平面角即为， 当与（或）重合时，，. 当不与（或）重合时，设，,, 所以， 因为，当且仅当时取等号， 所以，最小时，最小，此时， 综上． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 利用空间向量解决最值与范围问题 常考题型·精准突破 ◆题型1 数量积的最值与范围（重） ◆题型2 模长的最值与范围 （高频） ◆题型3 夹角的最值与范围 ◆题型4 面积的最值与范围 ◆题型5 体积的最值与范围（难） ◆题型6 截面的最值与范围（难） ◆题型7 线段和的最值与范围 ◆题型8 异面直线夹角的最值与范围 ◆题型9 线面角的最值与范围（高频） ◆题型10 二面角和面面角的最值与范围（难） ◆题型11 点到直线距离的最值与范围 ◆题型12 点到平面距离的最值与范围（重） ◆题型13 异面直线距离的最值与范围 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 数量积的最值与范围 1．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）在直三棱柱中，，点P为侧面上的任意一点，则的取值范围是________. 2．（2026·上海静安·二模）设、分别是棱长为的正方体的两个不同顶点，点在该正方体的表面上（含棱和顶点）运动，且不与、两点重合．关于，给出下列两个结论： ①存在最小值，且最小值小于零； ②存在最大值，且最大值大于零． 则下列判断正确的选项是（    ）． A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①和②都错误 D．①和②都正确 3．（2025·河北·模拟预测）（多选）如图，在正八面体中，所有棱长均为，为正八面体内切球球面上的任意一点，则（   ） A．正八面体内切球的表面积为 B．正八面体的体积为 C．的取值范围是 D．的最大值为 4．（25-26高二上·山东济宁·阶段检测）在三棱锥中，分别是的中点，且. (1)求. (2)已知,若分别是线段上的一个动点，且，求的最大值. ◆题型2 模长的最值与范围 5．（25-26高二下·甘肃兰州·期末）棱长为1的正方体中，点为上的动点，为底面的中心，则的最小值为__________． 6．（2026·上海闵行·模拟预测）正三棱锥中，底面边长，侧棱，向量，满足，，则的取值范围为__________ 7．（2026·福建泉州·三模）已知三棱柱中，，，，，，且，，分别为，，的中点． (1)求证：平面； (2)求的长度的取值范围； (3)若，求与平面所成的角的正弦值． 8．（25-26高二上·上海·期末）如图，在平行六面体中，设为与的交点，若，，.    (1)用向量表示向量； (2)若该平行六面体的体积为4，现将其截去三棱锥，求剩余几何体的体积； (3)若该平行六面体的底面是边长为1的菱形，且. 已知为空间一点，满足，，对于任意实数，求的最小值. ◆题型3 夹角的最值与范围 9．（25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）已知在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面为PC上一动点，，若为钝角，则实数的值可能为（   ） A． B． C．1 D．2 10．（25-26高二下·福建厦门·期末）已知为单位向量，且与夹角的余弦值为，向量，则（   ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值 11．（25-26高二上·北京西城·期中）在正方体中，是线段上一点，则的大小可以为（　　） A． B． C． D． ◆题型4 面积的最值与范围 12．（25-26高一下·黑龙江鸡西·期末）（多选）在棱长均为的三棱柱中，，点满足，其中，则下列说法正确的是（   ） A．当点为棱的中点时， B．当时，四点共面 C．当时， D．当时，面积的最小值为 13．（2026·重庆·模拟预测）（多选）在正方体中，，空间任意一点满足，则（    ） A．点的轨迹在正方体内的部分的面积为 B．直线与所成角的最大值为 C．的最小值为3 D．面积的最小值为 14．（2026·湖南湘潭·二模）在四棱锥中，平面，，，，，E为的中点，点F在上，且，设点G是线段上（含端点）的一动点. (1)求证：平面； (2)设与平面所成角为，求的范围； (3)若Q为中点，求的面积取值范围. ◆题型5 体积的最值与范围 15．（25-26高三·全国·三轮复习）已知正四面体外接球的球心为，，过点，的平面与棱，分别相交，记在平面两侧的几何体的体积分别为、，则的取值范围为_____________. 16．（2026·甘肃·模拟预测）（多选）如图1，矩形中，，过，向对角线作垂线，垂足分别为，，且，将沿翻折，得到三棱锥，如图2，则下列说法正确的是（   ） A．三棱锥的外接球的表面积是 B．三棱锥体积的最大值为 C．二面角为直二面角时，的长为 D．二面角为直二面角时，点到平面的距离为 17．（25-26高三下·河北保定·阶段检测）如图，在三棱锥中，，M是线段上的点． (1)求证：平面平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长； (3)若平面，Q为垂足，直线PQ与平面的交点为N，当三棱锥的体积最大时，求的长． 18．（2026高三·全国·专题练习）如图，在三棱锥中，平面ABC，平面平面，，．D为BC的中点，E为PD的三等分点（靠近P点）． (1)请用，，表示； (2)求直线AE与平面PBC所成角的正弦值； (3)设F为AB的中点，过EF的平面与射线AC、AP分别交于点G、H，当三棱锥的体积最小时，求平面FGH与平面PBC所成角的余弦值． ◆题型6 截面的最值与范围 19．（25-26高二下·上海·期中）如图所示，为平行六面体（六个面均为平行四边形的棱柱），点E、F分别在棱、上，满足，（为实数）．若平面截所得截面是一个五边形，则的取值范围是________． 20．（26-27高三上·湖南怀化·开学考试）（多选）已知正四面体的棱长为2，点在棱上（不含端点），过点且平行于和的平面截四面体所得截面为四边形.则（    ） A．截面四边形面积的最大值为1 B．三棱锥的体积的最大值为 C．三棱锥的外接球半径的最小值为 D．异面直线与所成角的余弦值的取值范围是 21．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图所示，在长方体中，，，为棱的中点． (1)若是线段上的动点，试探究：是否为定值？若是，求出该定值；否则，请说明理由． (2)过作该长方体外接球的截面，求截面面积的取值范围． 22．（2026·新疆·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面，. (1)证明：平面平面； (2)若，，是上一点，且.，，，在同一个球的表面上，设该球的球心为，过点作球的截面，所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为. （i）求球的表面积； （ii）求直线与平面所成角的正弦值. ◆题型7 线段和的最值与范围 23．（24-25高二上·福建南平·期末）如图，在棱长为2的正方体中，点，分别是平面和平面内的动点，若点为棱的中点，则的最小值为______ .    24．（25-26高二上·山东潍坊·期末）（多选）在棱长为2的正方体中，分别为的中点，点在侧面上运动，则（    ） A．当在线段上时，直线与所成角的范围为 B．当在线段上时，的最小值为 C．当为线段的中点时，过点与垂直的平面截正方体所得截面的面积为 D．若是线段上一动点，则使平面的点的轨迹长度为 25．（25-26高二上·上海·期中）如图，已知正方体 内接于球 ，且球的半径为 (1)求正方体 的棱长； (2)若 分别是 上的动点，求 的最小值； (3)若 是棱 的中点， 是侧面 内的动点（包含边界），且 ，求直线 与平面 所成角的正切值的范围. ◆题型8 异面直线夹角的最值与范围 26．（2026高二下·浙江·学业考试）斜三棱柱中，是边长为2的正三角形，侧棱，，点为棱上动点，则异面直线与所成角的最小值为（     ） A．30° B．45° C．60° D．75° 27．（24-25高一下·湖南长沙·期末）如图，在三棱锥中，平面，，，，以AB为直径的圆弧在平面PAB内，点D是三角形PAB内圆弧上（不含边界）的动点，则三棱锥的体积最大值是______，异面直线CD与AB所成角的余弦值范围是______． 28．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）棱长为2的正方体，M为正方体中心，将四棱锥绕逆时针旋转（）后得到四棱锥，如图1.    (1)求四棱锥的表面积和体积； (2)若（如图2），求证：平面平面； (3)求为多少时，直线与直线DC所成角最小，并求出最小角的余弦值. 29．（2025·湖南郴州·三模）如图所示，在圆柱中，矩形为圆柱的轴截面，圆柱过点的母线为，点，为圆上异于点，且在线段AB同侧的两点，且，点为线段的中点，. (1)求证：平面； (2)若平面与平面所成夹角的余弦值为，求的大小； (3)若，平面经过点，且直线与平面所成的角为，过点作平面的垂线（垂足为），求直线AQ与直线所成角的范围. ◆题型9 线面角的最值与范围 30．（24-25高二上·河北张家口·阶段检测）空间直角坐标系中，经过点且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面的方程为，经过的直线的方程为，则当变化时，直线与平面所成角的正弦值最大时，平面的方程为__________. 31．（25-26高二上·山东聊城·期中）（多选）四边形为正方形，平面.（    ） A．平面 B．点到的距离为 C．点到平面的距离为 D．点在线段上（不含端点），则与平面所成角的正弦值的范围为 32．（25-26高二上·四川成都·期中）在平行六面体中，，，，． (1)以为空间的一个基底，求平面的一个法向量； (2)求点到平面的距离； (3)动点P满足，且，，当时，求直线与平面所成角的取值范围； 33．（2026·江苏扬州·模拟预测）如图，长方形中，，，若为线段的中点，将沿翻折至． (1)若， ①证明：平面平面； ②求与平面所成角的正弦值； (2)求与平面所成角的正弦值的范围． ◆题型10 二面角和面面角的最值与范围 34．（26-27高三上·浙江·开学考试）（多选）正方体棱长为1，、分别为、中点，点在正方体的表面上运动，且满足．记点的轨迹为，则下列命题正确的是（   ） A．是矩形 B．所围图形的面积为 C．点与所围成的空间几何体的体积是 D．点线段，所在平面与平面的夹角余弦值范围为 35．（25-26高一下·河北保定·期中）已知直三棱柱中，侧面为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC，的中点，D为棱上的点，． (1)证明：AB⊥平面； (2)证明：BF⊥DE； (3)当为何值时，平面与平面DFE所成角的余弦值最大？并求出这个最大值． 36．（25-26高一下·湖南长沙·期末）如图，四棱锥的底面是边长为的菱形，，平面平面． (1)证明：； (2)设直线与平面所成角为．若点为棱上的动点（不包括端点），求二面角的正弦值的最小值． 37．（2024·重庆·模拟预测）如图，ACDE为菱形，，，平面平面ABC，点F在AB上，且，M，N分别在直线CD，AB上． (1)求证：平面ACDE； (2)把与两条异面直线都垂直且相交的直线叫做这两条异面直线的公垂线，若，MN为直线CD，AB的公垂线，求的值； (3)记直线BE与平面ABC所成角为，若，求平面BCD与平面CFD所成角余弦值的范围． ◆题型11 点到直线距离的最值与范围 38．（25-26高二上·四川成都·期末）（多选）如图，在长方体中，，，若是的中点．则（    ） A．过三点作长方体的截面，则截面为菱形 B．存在实数，使得直线与平面垂直 C．直线平面，则 D．点到直线的距离的范围为 39．（26-27高三上·湖北·阶段检测）边长为的正方形，为中点，将沿翻折得到，记为线段上一点，且满足，若在翻折过程中，记二面角为，，则点到直线的距离的范围是__________． 40．（25-26高三下·江苏连云港·阶段检测）在三棱锥中，，，为的中点，点在上，． (1)若二面角的余弦值为，，求证：平面； (2)若，平面，设点到的距离为，到平面的距离为，求的取值范围． 41．（2026·河南开封·模拟预测）如图，在圆柱中，矩形为其轴截面，点为底面半圆弧上的动点（前半部分，且点不与点重合），点在母线上，，，点是上底面内的一个动点. (1)若，平面，求的长度； (2)若点F是上底面圆周上一点，求到的最大距离； (3)求平面与平面夹角余弦值的取值范围. ◆题型12 点到平面距离的最值与范围 42．（26-27高二上·湖南长沙·开学考试）在正方体中，，以的边所在直线为旋转轴将旋转一周，则在旋转过程中，点到平面的距离的取值范围是________． 43．（25-26高二上·湖南长沙·期中）如图所示，在四棱锥中，侧面是正三角形，且与底面垂直，平面，，是棱上的动点． (1)当是棱的中点时，求证：平面； (2)若，，求点到平面距离的范围． 44．（25-26高二下·江苏宿迁·期末）如图，三棱锥中，底面，平面平面． (1)求证：； (2)若，且二面角的正弦值为． ①求的长； ②为平面内一点，且满足，求点到平面距离的最大值． 45．（25-26高二下·江苏连云港·期末）如图，在四棱台中，平面，，，，，． (1)证明：平面； (2)判断直线与直线是否垂直，并说明理由； (3)设为平面内一点，为的中点，，且．若直线与平面的交点为，求点到平面距离的最小值． ◆题型13 异面直线距离的最值与范围 46．（2026·重庆·模拟预测）如图，在正四棱锥中，与交于点，，点是边上一点．    (1)若平面平面，求证：； (2)若二面角的余弦值为； ①求的长； ②点为空间内一动点，满足，求异面直线与距离的取值范围． 47．（25-26高三上·广东·期末）如图，圆台的轴截面为等腰梯形，，为底面圆周上异于，的任一点. (1)若劣弧中点为（如图1），过点作出平面平面，请说明平面的作法，并证明平面平面； (2)现定义：和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段叫做两条异面直线的公垂线段，两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离.当为半圆弧的中点（如图2）所示，设平面平面，，求异面直线与的距离的最大值. 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．点P在平面内的直线上，点P到点的距离最小，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．在直三棱柱中，，，点在线段上运动，E，F分别为，中点，则下列说法正确的是（    ） A．平面 B．当为中点时，AP与BC成角最大 C．当为中点时，AP与成角最小 D．存在点，使得 3．如图，在正方体中，，为的中点，为棱（含端点）上的动点，给出下列四个结论： ①存在，使得； ②存在，使得平面； ③当为线段中点时，三棱锥的体积最小； ④当与重合时，直线与直线所成角的余弦值最小. 其中正确结论的个数是（   ）    A．4 B．3 C．2 D．1 4．在正四棱柱中，，，点，分别为正方形与正方形的中心，E为的中点，点M为线段上的动点，则当点M到平面的距离最大时，直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 5．已知点，，，，，都在同一个球面上，为正方形，若直线经过球心，且平面．则异面直线，所成的角最小为（    ） A． B． C． D． 6．在三棱锥中，面面，，，，是的中点.设，若，则二面角的余弦值的范围为（    ）    A． B． C． D． 二、多选题 7．已知正三棱柱的所有棱长都为2，N为棱的中点，动点M满足，λ∈[0，1]，当M运动时，下列选项正确的是（    ） A．当时，的周长最小 B．当λ=0时，三棱锥的体积最大 C．存在λ使得AM⊥MN D．设平面与平面所成的角为θ，存在两个不同的λ值，使得 8．立体几何中有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，半正多面体的棱长为，棱数为24，它所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得的，下列结论正确的有（   ）    A．平面 B．若是棱的中点，则与平面平行 C．若四边形的边界及其内部有一点，，则点的轨迹长度为 D．若为线段上的动点，则与平面所成角的正弦值的范围为 三、填空题 9．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架，的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子，分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记，则当________时，的长最小. 10．体积为的正四面体内有一个球，球与该正四面体的各面均有且只有一个公共点，，是球的表面上的两动点，点在该正四面体的表面上运动，当最大时，的最大值是___________． 四、解答题 11．如图，在长方体中，点E，F分别是棱，上的动点，且，， (1)求证：平面； (2)若，． ①求平面与平面夹角的余弦值的最大值； ②若平面截长方体的截面为五边形，求平面与平面夹角的余弦值的范围． 12．如图所示，在圆柱中，矩形为圆柱的轴截面，圆柱过点的母线为，点，为圆上异于点，且在线段AB同侧的两点，且，点为线段的中点，. (1)求证：平面； (2)若平面与平面所成夹角的余弦值为，求的大小； (3)若，平面经过点，且直线与平面所成的角为，过点作平面的垂线（垂足为），求直线AQ与直线所成角的范围. 13．如图，四棱锥中，底面是矩形，，，且平面平面．分别是的中点．． (1)求证：是直角三角形； (2)求四棱锥体积的最大值； (3)求平面与平面的夹角余弦值的范围． 14．在如图所示的圆柱中，轴截面是边长为4的正方形，点为底面半圆弧上的动点（点不与点，重合）. (1)当三棱锥体积最大时， （ⅰ）求平面与平面所成角的余弦值； （ⅱ）点在线段上运动，求的最小值. (2)是否存在点，使得直线与平面所成角最大？若存在，求成角最大时的正弦值；若不存在，请说明理由. 15．在直四棱柱中，底面为平行四边形，，，，，在上，，在上，，在上，，为棱上的动点，，分别是二面角和二面角的平面角. (1)当为棱的中点时， （i）求与面所成角大小； （ii）为底面（包括边界）内的一个动点，且到平面的距离等于到直线的距离，当最大时，确定的位置； (2)当最小时，求. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 利用空间向量解决最值与范围问题 常考题型·精准突破 ◆题型1 数量积的最值与范围 1． 2．A 3．ACD 4．(1)； (2). 【分析】（1）应用向量加减、数乘的几何意义，用表示出，即可得； （2）设，由、，应用向量数量积的运算律得关于的表示式，即可求最大值. 【详解】（1）由题意得 所以，所以； （2）①由题意， ， 由，得，设， 得 同理， 则 . 当时，取得最大值，且最大值为. ◆题型2 模长的最值与范围 5． 6． 7．(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接，可得，结合线面平行的判定定理分析证明； （2）以为基底表示，即，同时设，再利用，进而将表示为的函数后，再求其取值范围. （3）建立空间直角坐标系，设根据，求，根据求，再根据求，再设与平面所成的角为，即可利用进行求解. 【详解】（1）连接，则，分别为，的中点，， 又平面，平面，所以平面． （2）因为，，设，则，， 则， ， ， 又因为， ， ， 其中 ． 因为，所以， 又在单调递增，所以 ， ，所以， 故的长度的取值范围为． （3）以为坐标原点，，，为，，轴的正方向，建立如图空间直角坐标系． 则，，，设（）， ，，． 因为，所以，，，解得． 因为，所以，，，解得． 又因为，所以 ，所以． 设为平面的一个法向量，则， 又，，所以， 令，得，，． 设与平面所成的角为，， 则． 所以与平面所成的角的正弦值为． 8．(1) (2) (3)3 【分析】（1）由向量的线性运算求解即可； （2）由等体积法可得，由平行六面体的体积减去该三棱锥的体积，即可得答案； （3）由题意可得，令，根据二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）易知为与的中点， 因为 ; （2）设平行六面体的底面积为，高为， 则， 则三棱锥的高也为， 则， 所以剩余几何体的体积； （3）因为， 所以， 又因为，， ， 令， 则其开口向上，对称轴为， 所以当时，取最小值， 为， 所以时，取最小值，为9， 即的最小值为9， 所以的最小值为3. ◆题型3 夹角的最值与范围 9．B   10．A 11．A ◆题型4 面积的最值与范围 12．BCD 13．BCD 14．(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用线面垂直的性质定理和判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，求出的方向向量和平面的法向量，利用夹角公式结合换元法即可求解； （3）由题可得，设，再根据，结合二次函数求范围即可． 【详解】（1）证明：因为平面平面，所以， 又因为平面平面， 所以平面； （2）解：在底面中，过作，交于， 由题意可知，又平面， 则以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， ，可知. , 设， 则， 设平面的法向量为， 则，即， 令，有，故. 故 ， 令，则 ， 而， 故； （3）解：由题可知， 设， ，， ，， ． ◆题型5 体积的最值与范围 15． 16．ABD 17．(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）取的中点O，连接，利用线线垂直证明平面，再由面面垂直的判定定理即可证明； （2）根据题设建系，写出相关点的坐标，设，利用线面所成角的向量公式列方程求出的值，即可求得的长； （3）设，由可得，由平面可得点，利用基本不等式求出三棱锥的体积最大值，可得，设，利用，求得，即得的坐标进而求其长. 【详解】（1）取的中点O，连接， 因为，则， 由，可得，则， 又因，所以，且， 又由，所以， 又因为平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面． （2） 因为平面，， 故可以O为坐标原点，所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系， 则，所以， 因为M为棱PC上的点，设，其中， 所以，，且， 设平面ABM的法向量为， 则，故可取， 因为直线与平面所成角的正弦值为， 所以， 化简得，即， 解得或（舍去）． 所以． （3） 设，由（2）得，其中， 可得，即点， 因为平面，则点，， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故当点M为线段PC的中点时，三棱锥的体积取得最大值，此时，点， 由（2）可知，此时，平面的一个法向量为， 设，其中， 则， 因为平面，则， 所以，，解得， 所以，， 所以.即的长为． 18．(1)； (2)； (3). 【分析】（1）连接，结合空间向量的线性运算求解即可； （2）过点作，垂足为，连接，由平面平面可得平面，则为直线AE与平面PBC所成角，进而求解即可； （3）建立空间直角坐标系，设，根据四点共面求出，进而得到，再利用等体积法求得三棱锥的体积最小时，进而利用空间向量求解平面FGH与平面PBC所成角的余弦值即可. 【详解】（1）由题意，连接， 则 . （2）过点作，垂足为，连接， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，则为直线AE与平面PBC所成角. 因为平面ABC，平面ABC，所以，， 又，则，即， 又平面，平面，则，， 因为平面， 所以平面，因为平面，则， 又，，则，即为等腰直角三角形， 由（1）知，， 则 ， 所以， 则直线AE与平面PBC所成角的正弦值为. （3）由（2）知，，，， 以为原点，以所在直线为轴，以与垂直的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设， 则， 由于四点共面，则存在实数使得， 即，解得， 而，即， 当且仅当，即时等号成立， 而到平面的距离为， 又， 则三棱锥的体积最小时， 此时， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 而， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 设平面FGH与平面PBC所成角为， 则， 所以平面FGH与平面PBC所成角的余弦值为． ◆题型6 截面的最值与范围 19． 20．ACD 21．(1)是定值， (2) 【分析】（1）根据题意利用勾股定理可得，所以向量在上的投影向量为，运算得解； （2）以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法求出点到直线的距离即点到过的截面的距离最大值，从而得到过的最小截面圆的半径，又最大的截面面积为，得解. 【详解】（1）因为是的中点，所以， 所以，，， 因为，所以，又点在线段上， 所以向量在上的投影向量为，故，为定值． （2）设球心为，外接球半径为，最小截面圆的半径为． 由已知可得，则最大的截面面积为． 以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立如图的空间直角坐标系， 则，，． 取，，则，． 所以点到直线的距离为， 即点到过的截面的距离最大值为． 所以过的最小截面圆的半径， 因此最小的截面面积为， 综上，截面面积的取值范围是． 【点睛】关键点点睛：第二问解题的关键是利用向量法求出点到直线的距离也就是点到过的截面的距离最大值，从而得到过的最小截面圆的半径. 22．(1)证明见答案 (2)（i）   (ii) 【分析】（1）根据线面垂直的性质和线面垂直的判定定理，结合面面垂直的判定定理进行证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用球的截面性质和空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】（1）因为平面，平面， 所以， 又因为，平面， 所以平面，又因为平面， 所以平面平面； （2）将三棱锥补成直三棱柱， 且三棱锥和该直三棱柱的外接球都是球， 记三角形的中心为，设球的半径为，， 则球心到平面的距离为，即， 连接，则，∴. 在中，取的中点为，连接， 则，， 所以.在中，， 由题意得到当截面与直线垂直时，截面面积最小， 设此时截面圆的半径为， 则， 所以最小截面圆的面积为， 当截面过球心时，截面面积最大为， 所以，， 由， 所以，故， 已知平面，， 建立如图所示的空间直角坐标系， ， ， 设平面的法向量为， 则有，取，则， 所以是平面的一个法向量， 因此直线与平面所成角的正弦值为： . ◆题型7 线段和的最值与范围 23．/ 24．ACD 25．(1)2 (2) (3) 【分析】（1）根据正方体的结构特征和球心的位置即可求出正方体的棱长. （2）将沿翻折到与平面位于同一平面位置，结合垂线段最短即可确定最小值. （3）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据平行求出点的坐标关系，然后求出平面的法向量，然后根据向量夹角的余弦公式求出余弦值，再求出正弦值，从而可求出正切值的表达式，最后根据点的坐标范围求出正切值的范围即可. 【详解】（1）因为正方体内接于球，即球外接于该正方体， 那么球心位于正方体的中心，所以体对角线长为. 设正方体的棱长为，则， 所以，所以正方体的棱长为2. （2）将沿翻折到与平面位于同一平面位置，如图所示， 那么的长度的最小值就是点到线段上点的距离的最小值. 过点作，垂足为，线段与线段交于点， 因为， 所以为等腰直角三角形，且，， 所以，又， 所以为等腰直角三角形，又， 所以，，， 所以，所以 所以当点与点重合，点与点重合时， 取取 最小值，最小值为. （3）以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则. 所以，设平面的法向量为， 则，则有，令，则. 所以法向量，而，因为平面， 所以，所以，所以. 因为平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为， 所以， 所以. 所以，又，所以. 因为，所以. 所以. 由二次函数的性质得知，，所以. 所以直线与平面所成角的正切值的范围为. ◆题型8 异面直线夹角的最值与范围 26．B 27． 28．(1)表面积为，体积为 (2) 若，则平面､平面为同一个平面， 如图，补全正方体， 连接、，则是中点，是中点，    所以平面与平面重合，平面与平面重合， 由正方体性质可知平面， 因为平面，所以，， 为二面角的平面角， 因为，则，同理可得， 所以，所以平面平面； (3)时，直线与直线DC所成角最小，最小角的余弦值为 【分析】（1）根据棱锥的表面积公式和体积公式计算即可； （2）易得平面､平面为同一个平面，补全正方体，证明为二面角的平面角，再证明即可； （3）以为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】（1）由题意，， 则， 所以四棱锥的表面积为， 四棱锥的高为， 则； （2）略 （3）如图，以为原点，建立空间直角坐标系，    则， ，即， 故， 则， 因为，所以， 所以， 所以， 所以，此时，即， 所以时，直线与直线DC所成角最小，最小角的余弦值为. 【点睛】方法点睛：证明面面垂直常用的方法： （1）面面垂直的定义； （2）面面垂直的判定定理. 在证明面面垂直时，一般假设面面垂直成立，然后利用面面垂直转化为线面垂直，即为所证的线面垂直，组织论据证明即可. 29．(1) 证明： 延长交于点Q，连接， 因为，是中点，所以是的中位线，则点是中点， 又因为是圆柱的母线，所以平行且相等， 所以易得相交与点，是的中点，则在中，， 又因为，在延长线上，所以可得平面，而不在平面内， 所以平面. (2)的大小为 (3)线AQ与直线所成角的范围为 【分析】（1）在平面内找到一条与平行的直线，由线线平行去证明线面平行即可； （2）建立坐标系，将坐标分别用表示出来，再根据平面与平面所成夹角的余弦值为列出方程求解； （3）由所给的条件分析出点的轨迹，再去利用向量数量积公式去求解夹角余弦值的取值范围，从而得到夹角的取值范围. 【详解】（1）略. （2） 由题意可知面，且因为直径，所以则，三线两两垂直，则建立如图所示空间直角坐标系， 又因为，所以设，则， 可得点坐标为，，，， 则， 由题意平面在平面内，所以平面的法向量为， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则解得，所以， 又因为平面与平面所成夹角的余弦值，解得或（舍）， 且因为，则，即. （3）因为过点的平面与直线所成的角为，又因为过点作平面的垂线（垂足为） 所以为直角三角形，且， 所以点是绕旋转的圆，且半径，圆心距离点的长度为 所以设点且，又因为点为，所以， 而，所以， 又因为，所以， 且因为，所以， 所以直线AQ与直线所成角的范围为. ◆题型9 线面角的最值与范围 30． 31．ACD 32．(1) (2) (3) 【分析】（1）设，利用，再结合条件、数量积的定义及运算，得到，即可求解； （2）求出和，再利用点到平面的距离的向量法，即可求解； （3）利用向量法求出线面角的正弦值取值范围，再得出角的取值范围. 【详解】（1）由题可知，， 则，，， 设为平面的一个法向量， 由，得到，即， 取，得到，所以， 故平面的一个法向量为. （2）由（1）知平面的一个法向量， 所以， 又 ， 所以点到平面的距离为. （3）当时，设， 则， 所以， ， 设直线与平面所成角为， 则， 当时，，； 当时，， 因为，所以， 所以，由， 可知， 综上，直线与平面所成角的取值范围. 33．(1)①由题意得，， 在中，因为， 所以， 同理，， 在中，因为， 所以， 因为，平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面. ②. (2) 【分析】（1）①应用线面垂直判定定理得出平面，再应用面面垂直判定定理证明即可； ②先求出平面的法向量，再应用线面角正弦公式计算求解； （2）先建系，再设点，再求出平面的法向量，再应用线面角正弦公式结合值域计算求解； 【详解】（1）①略； ②以为原点，以所在直线分别为轴，以过垂直于平面的直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系： 则，，，， 则，，，， 设平面的法向量为， 则，即， 取，则， 设与平面所成角为， 所以，所以与平面所成角的正弦值； （2）设，因为，所以， 所以，且，所以， 则，，， 设平面的法向量为， 则，即， 取，所以， 设与平面所成角为， 所以， 设，所以， 令，所以 ，单调递增，所以 所以与平面所成角的正弦值的范围是； ◆题型10 二面角和面面角的最值与范围 34．ABD 35．(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)当时，平面与平面DFE所成角的余弦值最大，最大值为 【分析】（1）根据条件，可得，根据线面垂直的判定定理，可证平面，即可得证. （2）如图作出辅助线，根据线面垂直的性质定理，可证，根据三角形全等，可证，根据线面垂直的判断及性质定理，可证平面，结合线面的位置关系，即可得证. （3）如图建系，求得各点坐标和所需向量的坐标，分别求出平面DFE和平面的法向量，根据二面角的向量求法，可得二面角余弦值的表达式，根据二次函数的性质，即可得答案. 【详解】（1）因为为正方形，所以， 又，且，平面， 所以平面， 因为直三棱柱，所以，所以平面. （2）取BC中点G，连接，如图所示， 因为E、G分别为AC、BC的中点，所以， 则平面， 因为平面，所以， 因为，所以， 则，则，所以， 因为平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，且平面， 所以平面， 因为D为棱上的点，所以平面， 所以. （3）由（1）得两两垂直，以B为原点，为轴正方向建系，如图所示， 设，则， 则， 设平面DEF的法向量，则， 所以，令，则，所以， 因为平面，所以平面的法向量为， 所以， 所以当时，有最大值， 所以当时，平面与平面DFE所成角的余弦值最大，最大值为 36．(1)证明：连接交于点，连接， 因为底面为菱形，所以为的中点，可得,， 又因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以，又，由为公共边， 所以，所以. (2) 【分析】（1）连接交于点，证得平面，得到，结合，证得，即可证得； （2）以,所在直线分别为轴和轴，建立空间直角坐标系，设，求得，求得平面和平面的法向量和，结合向量的夹角公式和二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）略 （2）解：过点作于点， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 所以为直线于平面所成的角，即， 因为平面，平面，所以， 又因为，且，平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为，所以为的垂心， 因为底面是边长为的菱形，且，所以为等边三角形， 所以点为的重心，可得， 则，且, 又因为，所以， 以为轴，以为轴，过点作平面的垂线为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 设，可得， 则， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设二面角的平面角为 ， 则， 令 ，则， 所以， 由于， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最大值为，所以的最小值为. 37．(1)证明：，， 所以，，， ， 则，又因为平面平面，平面平面面， 故平面； (2) (3) 【分析】（1）先通过余弦定理及勾股定理得到，再根据面面垂直的性质证明； （2）以C为原点，CA的方向为x轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，利用向量的坐标运算根据，列方程求解即可； （3）利用向量法求面面角，然后根据列不等式求解. 【详解】（1）略 （2）以C为原点，CA的方向为x轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系， 由，可得，， 所以 所以，， 设，则， 设，则，， 由题知，， 解得，，故； （3），设， 则，， 可取平面ABC的法向量， 则， ， 则， 整理得，故， ，，， 记平面CDF的法向量为，则有， 可得， 记平面CBD的法向量为，则有， 可得， 记平面BCD与平面CFD所成角为， 则，， 所以，， 故． ◆题型11 点到直线距离的最值与范围 38．ABC 39． 40．(1)证明：因为，为中点，则， 又因为，则，可知二面角的平面角为， 即，且， 由余弦定理得， 由勾股定理可得，则， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 而，平面，所以平面． (2) 【分析】（1）作出二面角的平面角，由余弦定理可得，再利用线面垂直的判定理及性质定理即可得证； （2）建立空间直角坐标系，根据点到点到平面距离向量可得的表答式，再利用函数单调性计算即可求解. 【详解】（1）略 （2）设，， 以为原点，为轴建立空间直角坐标系， 则， 因为，所以， 设，则，， 所以，所以， 可得，， 所以， 整理可得；又因为，， 所以设平面的法向量为， 则，则， 令，则，可得， 则，可得， 因为，则，可得，， 所以的取值范围为. 41．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量共线的概念，找出点的轨迹，再根据线面平行的判定定理，作出辅助线，求出结果即可； （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出方向向量坐标，根据向量的数量积，求出向量夹角，进而求出点到直线的距离即可，构造函数，判断距离的最大值； （3）根据点的坐标，求出方向向量和法向量，根据面面夹角的向量求出，求出夹角的余弦值的范围即可. 【详解】（1） 当时，点在线段上， 过作，交于，过作，交于， 此时，面，面， 所以平面，此时， 因为，所以，即，解得， 所以. （2） 过作，交下底面圆周于点， 以为坐标原点，以分别为轴建立空间直角坐标系， 可知点在以为圆心，以为半径的圆上，所以设点， 可知，， 可知点到的距离为， 可知， 所以， 设函数，可知函数对称轴为， 当时，最大值， 即当时，点到的最大距离为. （3）可知点在以为圆心，以为半径的圆周上， 所以设， 可知，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，解得， 即平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则，即， 令，解得， 即平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为， 则， 化简得， 令，即， 因为，所以，可得， 所以， 设函数，可知函数对称轴为， 所以函数在上单调递减， 所以当时，，所以， 即平面与平面夹角余弦值的取值范围为. ◆题型12 点到平面距离的最值与范围 42． 43．(1) 因为平面,平面，且平面平面,所以， 取的中点，连接， 因为是棱的中点，可得，且， 又因为，所以，所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面. (2). 【分析】（1）取的中点，连接，根据题意，证得四边形为平行四边形，得到，结合线面平行的判定定理，即可证得平面. （2）取的中点，分别证得平面和，以为原点，建立空间直角坐标系，设，求得平面的一个法向量和向量，结合向量的距离公式和二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）略 （2）取的中点，连接，因为是正三角形，所以， 又因为平面平面，且平面，平面，所以平面， 因为，且，则，所以， 以为原点，以直线所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 如图所示，因为，可得， 则， 所以， 设，可得， 设平面的法向量为，则， 令，则，所以， 设点到平面的距离为，可得， 当时，可得； 当时，， 因为，当，即时，取得最大值，即， 综上可得，，即点到平面的距离的取值范围为. 44．(1)在面内，过A作交于， 因为平面平面，平面平面， 平面， 所以平面． 平面，所以． 因为底面，底面，所以． 又，且平面，所以平面． 因为平面，所以． (2)①；② 【分析】（1）由面面垂直的性质得到线面垂直，即可得到线线垂直，然后再证明线面垂直，由线面垂直的性质得证线线垂直； （2）①解法1：由二面角定义作出二面角的平面角，由线面垂直得到线线垂直，然后由直角三角形中边的关系即可求得； 解法2：建立空间直角坐标系，设点坐标，利用向量的数量积求得平面和平面的法向量，然后由二面角和向量的数量积公式求得点坐标.，从而求得. ②解法1：建立空间直角坐标系，设点坐标，由向量的数量积求得平面的法向量，由向量投影求得点到平面距离的表达式，即可求得答案； 解法2：利用等体积转换法求得点到平面距离的最大值. 【详解】（1）略 （2）①解法1：如图所示，在内过点M作交于，连接， 由（1）知，平面，又平面，所以． 又，平面，，所以平面． 又因为平面，所以． 故为二面角的平面角． 因为平面，平面PBC，所以． 因为平面，平面，平面，所以，． 设，则在中，，中，，． 在中，，即． 解得，即 解法2：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则， ， ， 设，由（1）可知，即． 设平面的一个法向量， 又， 所以，即，取，则，， 所以． 由题意得，平面的一个法向量 因为二面角的正弦值为， 所以二面角的余弦值的绝对值为． 所以． 即，将代入得，． 解得，． 当时，，此时，与C重合，舍； 当时，，此时．     ②解法1：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，则， ， ， ． 因为，为平面内一点， 所以在以为直径的圆上，则设． 设平面的一个法向量， 则，即，取，则． 所以． 到平面的距离为． 因为，所以到平面的距离最大值为． 解法2：因为平面，所以为三棱锥的高， 由（1）知，平面，平面，所以． 在直角三角形中，，，所以． 由（1）知， 设到平面的距离为h， 因为，所以，即． 又在平面内，且，所以在以为直径的圆上， 所以面积的最大值为． 故到平面的距离h的最大值为． 45．(1)连接， 在四棱台中，， 又，，所以， 又，则， 所以四边形为平行四边形， 故，又平面，平面， 所以平面； (2)直线与垂直，理由如下： 因为平面，，以为原点建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，，，，， 所以，，， 所以； (3) 【分析】（1）连接，可证四边形为平行四边形，得到，再利用线面平行的判定即可证明； （2）以为原点建立空间直角坐标系，得到，，再根据向量法可证垂直； （3）设的坐标为，根据椭圆的定义可得，设，再利用向量共面的基本定理可得，令，进而得到，然后利用空间向量法求点到平面的距离即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）在上述坐标系中，设的坐标为， 因为为的中点，且，则，即， 又因，所以的轨迹是以为两焦点的椭圆， 由,得,故的轨迹方程为. 因为直线与平面的交点为，所以在直线上， 则存在，使， 得， 又在平面内，得， 即，得 ， 所以，得， 因为，令， 则 ，即 因为，所以， 又，平面， 所以平面，则平面的一个法向量为， ， 点到平面的距离，因 所以当时，取最小值，即， 所以点到平面距离的最小值为． 【点睛】本题主要考查线面平行的判定，利用空间直角坐标法判定空间直线的位置关系，同时涉及椭圆的定义，利用坐标法得到点在直线上的变化是解题的关键． ◆题型13 异面直线距离的最值与范围 46．(1)过作于，由平面平面，平面平面， 平面，得平面，又平面，则， 在正四棱锥中，由平面，平面，得， 又，平面，因此平面， 又平面，则，又，所以. (2)①；② 【分析】（1）根据给定条件，利用面面垂直的性质、线面垂直的判定性质推理得证. （2）①建立空间直角坐标系，利用面面角的向量法列式求出；②求出点的轨迹，再求出过点与轨迹相切的直线与平面交点的轨迹，求出异面直线公垂线的方向向量，并求出在此方向向量上的投影的绝对值范围即可. 【详解】（1）略 （2）①在正四棱锥中，直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，    令，，则， ， 则，设平面的法向量为， 则，取，得， 设平面的法向量为，则，取，得， 由二面角的余弦值为，得， 则，又，解得，所以. ②由，得点的轨迹是以为球心，为半径的球面， 设与平面的交点为，当与球相切时，， 则，解得，点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆及内部， 令，则，，令， 由，得，取，得， 异面直线与距离为，则， 由，得，令， 则，令函数，求导得， 函数在上单调递减，则， 所以的取值范围是. 47．(1)连接，平面即为所求作的平面 ， 证明如下： ∵在圆台中，平面平面 ， ∵为劣弧 中点，为圆的半径，∴ ， 又 ∵平面平面 ， 又 ∵平面 平面平面 . (2) 【分析】(1)先证线面垂直，再推面面垂直，结合圆台“上下底面圆心连线垂直底面”、圆“弧中点与圆心连线垂直弦”的性质. (2)空间向量法(建系表示点与向量求法向量距离公式函数最值)，利用圆台的几何特征(延长母线得圆锥顶点)简化坐标计算，通过换元法分析分式函数的最值. 【详解】（1）略 （2）延长交于点，故平面平面 ， 故平面平面 即在中， 均为圆锥母线．由，得,故 , 以为原点， 方向轴正向建立空间直角坐标系， 则， 设且，则 ， 将平移至平面，设平面的法向量 ， 则 ，即 ，取 ， 又 ，则异面直线与的距离为 令 ，则 ， 当时，，此时与相交，不为异面直线（舍）； 当时，， 当且仅当，异面直线与的距离有最大值为 ． 综合攻坚·知能拔高 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C C D C D BC ACD 9． 10． 11．(1) 在长方体中,平面， 又平面，所以， 又，平面， 所以平面，又平面， 所以，同理可证， 又平面， 所以平面. (2)①，② 【分析】（1）在长方体中,平面，可得，结合，可证平面，得到，同理可证，进而证得平面； （2）①以为原点建立空间直角坐标系，设，分别得出两个平面的法向量，即可得到夹角的余弦值，再根据函数性质可求最值； ②根据截面可确定在棱（不包含端点），然后可得的范围即可得到余弦值的范围. 【详解】（1）略 （2）①以为原点建立空间直角坐标系，设， 则， ， 设平面的一个法向量， 则，不妨取，， 由（1）知为平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为， 则 ， 又，当，即时取等， 又点E，F分别是棱，上的动点，且，， 所以，则， 所以， 即平面与平面夹角的余弦值的最大值为. ②在平面中，过作， 同（1）的证明理由可得，即平面， 所以当在棱时，截面为四边形， 当在棱（不包含端点）时，且不在棱端点时，截面为五边形， ，， 又，， 又在棱（不包含端点），所以，解得， 又不在棱端点，所以， 由①知，所以， 所以平面与平面夹角的余弦值的范围为. 12．(1) 证明： 延长交于点Q，连接， 因为，是中点，所以是的中位线，则点是中点， 又因为是圆柱的母线，所以平行且相等， 所以易得相交与点，是的中点，则在中，， 又因为，在延长线上，所以可得平面，而不在平面内， 所以平面. (2)的大小为 (3)线AQ与直线所成角的范围为 【分析】（1）在平面内找到一条与平行的直线，由线线平行去证明线面平行即可； （2）建立坐标系，将坐标分别用表示出来，再根据平面与平面所成夹角的余弦值为列出方程求解； （3）由所给的条件分析出点的轨迹，再去利用向量数量积公式去求解夹角余弦值的取值范围，从而得到夹角的取值范围. 【详解】（1）略. （2） 由题意可知面，且因为直径，所以则，三线两两垂直，则建立如图所示空间直角坐标系， 又因为，所以设，则， 可得点坐标为，，，， 则， 由题意平面在平面内，所以平面的法向量为， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则解得，所以， 又因为平面与平面所成夹角的余弦值，解得或（舍）， 且因为，则，即. （3）因为过点的平面与直线所成的角为，又因为过点作平面的垂线（垂足为） 所以为直角三角形，且， 所以点是绕旋转的圆，且半径，圆心距离点的长度为 所以设点且，又因为点为，所以， 而，所以， 又因为，所以， 且因为，所以， 所以直线AQ与直线所成角的范围为. 13．(1)设平面平面PCD， 由于，平面ADC，平面ADC， 因此平面PDC，而平面APB，平面平面， 因此，而，因此． 而平面平面PCD，平面平面，平面， 因此平面PDC，而平面PDC，因此. 故△PEF是直角三角形． (2) (3) 【分析】（1）设平面PAB平面PCD，由面面垂直的性质定理以及线面平行的性质定理即可得PE⊥PF，则△PEF是直角三角形； （2）求出P到平面ABCD的最大距离即可得四棱锥P―ABCD体积最大值； （3）利用空间向量法可求平面PEF与平面PBC夹角余弦值的表达式，再利用换元法以及导数的知识可得最值. 【详解】（1）略 （2）由于，，因此P是以EF为直径半圆上的点． 而，，平面PEF， 因此平面PEF，而AB平面ABCD， 因此平面平面ABCD． 故P到平面ABCD的最大距离为， 四棱锥体积最大为． （3）设EF中点为O，作过O垂直EF的直线m． 设平面PEF与平面PBC夹角为． 以O为原点，OE，m，过O垂直于平面ABCD的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系． 则，，，，并设． 平面PEF的一个法向量为， ，， 设平面PBC的法向量为，因此，可取， ，不妨设， ，，因此随增大而增大，因此． 14．(1)（ⅰ）；（ⅱ） (2)存在， 【分析】（1）（i）建系，求得平面法向量代入夹角公式即可求解；（ii）将面与面绕旋转，展开成平面图，连接，结合余弦定理即可求解； （2）过点作，确定为直线与平面所成角，取最小值，夹角最大，结合线面夹角公式即可求解. 【详解】（1）（ⅰ）∵， 又∵是定值，∴当三棱锥体积最大时即高最大， 即点为半圆弧的中点 设线段的中点为O，以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，， 设平面的法向量为． 则，则，令，得，， 则． 因为平面，平面，∴， 又∵，，，平面， ∴平面，是平面的法向量． 设平面与平面所成角的平面角为，则． 平面与平面所成角的余弦值为 （ⅱ）将面与面绕旋转，展开成平面图，连接， 如图所示，此时最小，即为长， 由题意可知，，， 所以， ， 再由余弦定理可知， 即的最小值为． （2）结合（1）可设，，， 所以， 平面的法向量为， 设为直线与平面所成角， 当直线与平面所成角最大时，取最大值， 令， 则，     ∴当且仅当时，取最大值，此时直线与平面所成角最大， 即存在点，使得直线与平面所成角最大． 15．(1)（i）；（ii）在上，且； (2) 【分析】（1）（i）先利用勾股定理逆定理判断底面为矩形，再结合直四棱柱的性质建立空间直角坐标系，将线面垂直的几何证明转化为向量点积为零的代数运算，最终推得线面角为 ； （ii）确定 的轨迹方程，由 ，结合最大时，最大即可求解； （2）作, ，连接，得到 , . 设 , , ，再由两角和的正切公式得到，进而可求解． 【详解】（1）（i）因为，所以，所以， 又底面为平行四边形，所以底面为矩形， 因为为直四棱柱，所以两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以， 则，， 所以，又为平面内两条相交直线，所以平面； 与面所成角大小为． （ii）因为平面，平面，所以平面平面， 过在底面内作， 因为平面平面，所以平面， 即到平面为，到直线的距离为，由题可知， 设，， 则， 所以，故， ，最大时，最大， . 当，最大，即最大，此时， 在上，且时，最大； （2）作，连接， 因为，且为平面内两条相交直线， 所以平面，又在平面内，所以， 由直角三角形面积易得：， 因为，为平面内两条相交直线， 所以平面，同理平面，所以，所以四边形是矩形， 所以，因为，所以， 所以二面角的平面角即为，同理二面角的平面角即为， 当与（或）重合时，，. 当不与（或）重合时，设，,, 所以， 因为，当且仅当时取等号， 所以，最小时，最小，此时， 综上． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $